Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng: Đường tròn - đường Conic

§­êng trßn vµ c¸c ®­êng c«nic Ph­¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng

;

, bán kính R có phương trình





x

y

y

(

)

(

)

0

2

2

 . ĐƯỜNG TRÒN A. KIẾN THỨC CƠ BẢN  Đường tròn tâm I x y ) ( 0 0 2 2 2 .  R 2

2

a



b

0

c

x  0  Phương trình

  là phương trình

2

2

R





a

b

0

  2 x y ax  2 by c   với 0

 Đường thẳng

)

 .   , bán kính đường tròn tâm ( a b ; I ) c   là tiếp tuyến đường tròn (C) tâm I, bán kính :  ax by  c   . R

R khi

d I ( ;  Phương tích của điểm

2

2

2

2

2

)

x





C (

) : (

; ) A x (

R



y

)

(







x

(

)

)



R

(

y



y đối với đường tròn: A 2 P 



là

.

)

2

2

2

2

/( M C P

x 0 y

A x





A ax

2

y 0 



c

x 0 y

C x ( ) : ax    2 c   là 0



.

M C /(

A

A

)

A ), (

2 by A C : ) 2

M x y ( ;

d 

)

)

A y 0 2 by   Trục đẳng phương d của hai đường tròn không đồng tâm P . / ( M C 2

P ) M C / ( 1 B. CÁC DẠNG TOÁN

C ( 1

. Dạng : Các yếu tố của đường tròn 2

2

(

x





y

)

k

(

)

y



 Đưa về phương trình:

 , nếu

k  thì đó là phương

0

0

) ;

, bán kính R

2

2

trình đường tròn (C) tâm 2

x 0 I x y ( 0 0 2 ax 2

a



b

0

c

x  c  2 by  y

 Đưa về phương trình:

. k   , nếu 0

  thì đó là

2

2

R



a



b

a b ; )

phương trình đường tròn (C) tâm ( I

  , bán kính

 . c

( ;

)

 Để tìm quỹ tích tâm I của họ các đường tròn, ta phải tìm điều kiện xác định đường tròn, tìm tọa độ tâm, khử tham số giữa x và y. Chuyển điều kiện của tham số nếu có về điều kiện của x (hoặc y).  Để tìm quỹ tích (tập hợp) các điểm M, ta gọi

M x y rồi dùng quan hệ đã

cho để lập phương trình đường tròn.

2

2

2

2

16 2) 2) 5) 1)       x y x y ( ( (  2 2( 2( 3) 1)    x y

1. Tìm tâm và bán kính của đường tròn:  b. a. 5 ( 2 c.  9 2. Mỗi phương trình sau đây có phải phương trình đường tròn không? Nếu có,

2

2 4 

x  y x  6 y

b.

  2 0

hãy tìm tâm và bán kính. 2 x 2 2 x 8

2 2 y  x 2 6  x y

    y y   2 0   30 0

a. c.

Created by Nguyen Van Rin Page 1

Ng­êi cã häc kh«ng ph¶i lµ ng­êi biÕt nhiÒu mµ lµ ng­êi biÕt râ nh÷ng g× m×nh ph¶i biÕt vµ hiÓu râ nh÷ng g× m×nh ®· biÕt.

Ph­¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng §­êng trßn vµ c¸c ®­êng c«nic

3. Mỗi phương trình sau đây có phải phương trình đường tròn không? Nếu có,

2

2

2

2

    8 y x y 7 x  9 y 16 x  8 y  11

b.

16 2 x 2   1 m    2 2 5 4 x y x y

hãy tìm tâm và bán kính. 11 16 16 2  0

a. c.

2

2

) :

x



y



4

mx



2

 y m 4



0,

m



4. Cho đường cong

mC (

1  . 2

2

2

y







1)

) :

)mC là đường tròn với mọi m.

  . 1 0

mC (

x y mx  )mC là đường tròn.

2

)mC khi m thay đổi. m 2(

2 2 

2

2

y m

1 0

2)

4)

) :

m







x

y

(

   .

)mC là đường tròn, tìm tập hợp các tâm khi m thay đổi.  0 (1) 2( 1) m m     4 x y y

a. Chứng minh rằng ( b. Tìm tập hợp tâm của các đường tròn ( 5. Cho đường cong a. Với m nào thì ( b. Khi ( 6. Cho phương trình mx a. Với giá trị nào của m thì (1) là phương trình của một đường tròn. b. Chứng minh rằng các đường tròn (1) luôn đi qua 2 điểm cố định. 7. Cho đường cong  x m  ( mC ( a. Chứng minh rằng ( )mC luôn là đường tròn với mọi giá trị của m. b. Chứng minh rằng khi m thay đổi, họ các đường tròn (

)mC luôn đi qua 2 điểm

cố định.

c. Tìm những điểm trong mặt phẳng tọa độ mà họ (

AB x : 2

y 3

CA x :

3 0

y   .

  , 7 0 2

BC x : 2 2  MA MB MC

44

y   và 1 0 2 .  

(9; 7)

(1;1)

B

)mC không đi qua dù m lấy

và

2

2 MA MB  2 2 MB 3 2

MA



. 90 2  k

, trong đó k là một số

bất kỳ giá trị nào. 8. Cho ABC , biết Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn: 9. Cho hai điểm . A a. Tìm quỹ tích các điểm M sao cho b. Tìm quỹ tích các điểm M sao cho

cho trước.

2

2

2  MA MB



k

10. Cho hai điểm cố định A và B. Tìm tập hợp các điểm M thỏa

với k là một số cho trước.

(HD: Chọn đường thẳng AB làm trục hoành và đường trung trực của AB làm

trục tung).

và

. Tìm tập hợp các điểm M thỏa

11. Cho hai điểm 2 2 MB MA

A a ( ; 0) 2  k

B a (  

;0)  . 0



với

 . Dạng : Lập phương trình đường tròn.

 Phương trình đường tròn có 2 dạng nên có 2 cách lập phương trình đường

tròn:

2

2

2

x



y



)



R

y

) ;

và bán kính R:

) 2

( 2

2

x 0 x

0 ax

c



b

  2  2 by 0 c

 Tìm tâm I x y ( 0 0  Tìm các hệ số a, b, c( 2 a

(    ): 0

.   .

y  Các quan hệ thường dùng đối với đường tròn (C):

Created by Nguyen Van Rin Page 2 NÕu cø m·i ®i theo lèi mßn ®· ®­îc v¹ch s½n, ta còng chØ cã thÓ nhËn lÊy nh÷ng g× ng­êi ®i tr­íc ®· ®¹t ®­îc mµ th«i.

§­êng trßn vµ c¸c ®­êng c«nic Ph­¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng

 Đi qua 1 điểm A: tọa độ A thỏa mãn phương trình.  Đi qua 2 điểm A, B: tọa độ A thỏa mãn phương trình và tâm I thuộc

đường trung trực của AB.

 Đi qua 3 điểm A, B, C: tọa độ A, B, C thỏa mãn phương trình và

IA IB IC R IA

,







.

R 

 Đường kính PQ: Tâm I là trung điểm của PQ và

.

PQ 2

R

) ;

 Tâm I thuộc đường thẳng d: tọa độ I thỏa mãn phương trình của d.  Đường tròn tiếp xúc với trục hoành: tâm

và

.

R

) ;

 Đường tròn tiếp xúc với trục tung: tâm

y 0 .

x 0

R

d I ( ;

)

I x y ( 0 0 và I x y ( 0 0   .

 Đường tròn tiếp xúc với đường thẳng  :  Đường tròn ngoại tiếp với tam giác vuông: tâm I là trung điểm của

cạnh huyền.

và đi qua điểm

y

1 0

và tiếp xúc với

.    .

A 

(5;3)

.

( 1;1)  và tiếp xúc với trục hoành.



B (1; 2), (1; 2), B (1; 2), (5; 2),

A A

. C (5; 2) C  . (1; 3)

( 1; 2)

( 2;3)

B 

,

và có tâm ở trên đường thẳng

10 0

  y



: 3

I

 .

AB x : 3

y 4

biết

  , 6 0

12. Viết phương trình đường tròn: a. Tâm (1;3) A  I ( 2;5) b. Tâm ( 2;0)  x : 2 I  13. Viết phương trình đường tròn: và a. Đường kính AB với B b. Tâm (4; 7) I 14. Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm: a. b. 15. Viết phương trình đường tròn: a. Đi qua điểm A   . x b. Đi qua gốc tọa độ O và có tâm (1; 5) 16. Viết phương trình đường tròn nội tiếp ABC

0

BC y  . B

: (0; 4)

A 



  và 1 0 và ( 3; 0)

.

. Viết phương trình đường tròn nội tiếp OAB

AC x y 3 : 4 17. Cho điểm 18. Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ và đi qua điểm

M

(2;1)

.

(1; 4)

(1;1)

A

B

,

: 2

d

và tiếp xúc với trục Ox. y   x 4 0

19. Viết phương trình đường tròn đi qua 20. Viết phương trình đường tròn có tâm I thuộc đường thẳng

và tiếp xúc với hai trục tọa độ.

A

(6; 0)

21. Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với trục hoành tại điểm

và đi

B

(9;9)

qua điểm

.

A 

( 1; 0)

B

(1; 2)

,

và tiếp xúc với

22. Viết phương trình đường tròn đi qua 2 điểm y

1 0



x

:

   .

đường thẳng Created by Nguyen Van Rin

Page 3

Ng­êi cã häc kh«ng ph¶i lµ ng­êi biÕt nhiÒu mµ lµ ng­êi biÕt râ nh÷ng g× m×nh ph¶i biÕt vµ hiÓu râ nh÷ng g× m×nh ®· biÕt.

Ph­¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng §­êng trßn vµ c¸c ®­êng c«nic

2 0  x 1 0 x

23. Viết phương trình đường tròn đi qua gốc tọa độ O và tiếp xúc với 2 đường    .

thẳng

1 : 2

2

2 : 2  y

   , 2 C x ( ) :  4 x 3 0  y 24. Cho đường tròn

: 4



x

y

 . 0

(6; 0)

(3; 4)

A

B

y   . Viết phương trình đường tròn (C’)  3

.

đối xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng và cân tại A.



.



25. Cho hai điểm a. Chứng minh OAB  b. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp OAB . c. Viết phương trình đường tròn nội tiếp OAB

. Dạng : Tương giao và tiếp tuyến.

 Tương giao của đường tròn (C) tâm I, bán kính R và đường thẳng  :

d I ( ; ( ; d I d I ( ;

R R R

) ) )

  

  : không có điểm chung.   : tiếp xúc (  : tiếp tuyến).   : đường thẳng  cắt đường tròn (C) tại 2 điểm.

 Tương giao của đường tròn (C) tâm I, bán kính R và đường tròn (C’) tâm

I’, bán kính R’:   R R II ' ' R R ' '   II   II R R '

: ngoài nhau. : tiếp xúc ngoài.   ' '

R R

  

: cắt nhau.

II

'



 R R

'



: tiếp xúc trong.

II

'



 R R

'



: đựng nhau.

 Tiếp tuyến với đường tròn (C) tâm I tại điểm A: đường thẳng đi qua A và có

.

  VTPT n AI

 Tiếp tuyến với đường tròn (C) tâm I, bán kính R đi qua điểm A: Viết

2

2

 n a b ( ; )

a

b

0

,

 . Nếu:

P

phương trình đường thẳng qua A và có VTPT IB R

  

0

: không có tiếp tuyến.



B C /(

)

P

  

IB R

0

: có 1 tiếp tuyến.



B C /(

)

P

  

IB R

0



: có 2 tiếp tuyến.

B C /(

)



:

 ax by

0

c

  với 2 đường tròn (C) và (C’):

 Tiếp tuyến chung   )

d I ( ; R

.

d I ( ;   ) R '   

x   t 1 2

26. Tìm giao điểm của đường thẳng

với đường tròn

2

2

d : y    2 t   

x m

  có điểm chung với đường tròn

2

( x y    C ( ) : ( 2)

 1) 27. Tìm m để đường thẳng 2 y C x ( ) :    2 4 x y

. 16 : y   . 3 0

Created by Nguyen Van Rin Page 4 NÕu cø m·i ®i theo lèi mßn ®· ®­îc v¹ch s½n, ta còng chØ cã thÓ nhËn lÊy nh÷ng g× ng­êi ®i tr­íc ®· ®¹t ®­îc mµ th«i.



1)

 y m

0

 không tiếp xúc với đường

§­êng trßn vµ c¸c ®­êng c«nic Ph­¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng

28. Chứng minh đường thẳng 2

2

y  C x ( ) :  4 8 y x

tròn

  x m ( :   . 5 0



: 3

x

 

y m

0

 với đường tròn

2

2

2

2

 29. Xét vị trí tương đối của đường thẳng  C x ( ) : x y 4     . 1 0

2

2

y y x 2 2    C x ( ) :   và 1 0

2

2

x y 2    C x ( ') :   . 7 0

M

y y x 4 4    17 C x ( ) :

.

2

2

2

2

y x y 8 0 6    C x ( ) :

 

2

2

4  , biết:

M  . (2; 2)

2

2

C x ( ) : y 4

(2;0)

N

C x ( ) : 2 x y  và đi qua  y 1 0 2 2   và đi qua 2 C x ( ) : y 4

. A  ( 2;3)

.

y 2 30. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường tròn: y 2 31. Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn: a.  tại (2;1)  0  đi qua gốc O. b. 32. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn y ( ) : C x  . a. Tiếp tuyến song song với đường thẳng 17 0 x y : 3     . b. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng  y x 5 0 2 : 33. Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn: a. b.   34. Cho đường tròn  và điểm a. Chứng minh A ở ngoài đường tròn. Viết phương trình 2 tiếp tuyến kẻ từ A. b. Tính khoảng cách từ A đến 2 tiếp tuyến trên và khoảng cách giữa hai tiếp

điểm T, T’.

2

2

2

2

C x ( ) : y  và 1

2

( y x    8) C ( 16 ') : (

x 6 

35. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn . 2 C x ( ) :

2

2

  và 5 0

2

y x y   12 44 0 C x ( ') : y   .

A

(2;1)

C x ( ) : 5 0   8 4 x y   và điểm

.

2

1 0

: 2

d

x

C x ( ) : 5 0   2 6 y x y   và đường thẳng

 6) 36. Cho hai đường tròn   6 a. Chứng minh hai đường tròn ngoài nhau. b. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn. 2 37. Cho đường tròn  y a. Chứng minh qua A kẻ được hai tiếp tuyến đến (C). b. Viết phương trình đường thẳng qua hai tiếp điểm. 2 38. Cho đường tròn  y   .

Viết phương trình tiếp tuyến  của (C), biết  song song với d. Tìm tọa độ tiếp

điểm.

2

2

ax   0 c y   . Chứng minh phương tích

. Dạng : Tổng hợp về đường tròn. C x by 2 ( ) : )

39. Cho đường tròn ;

0

(

của điểm P

by 2

0 2











c

.

ax 0

2 y 0

M C /(

0

)

 2 M x y đối với đường tròn (C) bằng 2 x 0

Created by Nguyen Van Rin Page 5

Ng­êi cã häc kh«ng ph¶i lµ ng­êi biÕt nhiÒu mµ lµ ng­êi biÕt râ nh÷ng g× m×nh ph¶i biÕt vµ hiÓu râ nh÷ng g× m×nh ®· biÕt.

M

(3; 4)

I 

Ph­¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng §­êng trßn vµ c¸c ®­êng c«nic

40. Tính phương tích của điểm

đối với đường tròn (C) có tâm ( 2;1)

và bán kính

3R  .

2

2

2

2

C x ( ) :  y  3 x  và 0

41. Tìm trục đẳng phương của hai đường tròn:  4

2

2



y







2

') : 3 C (   3 6 x x y

 và 0

a x 1

c 1

2

2

0

2



y





b y 2 1  . Viết phương trình trục đẳng phương của

b y 2

c 2

a x 2

2

2

C x ( ) :

2







 C x ( 2 ') : hai đường tròn. 43. Cho hai đường tròn

a x 1

b y 2 1

c 1

2

2

2



0

2





 và y  0  cắt nhau tại M, N. Viết phương trình

b y 2

c 2

2

2

y



6

x



4

y



23 0

 và

  . y 1 0 42. Cho hai đường tròn đồng tâm C x ( ) :

( 1;3)

A 

B

 a x C x ( ') : y 2 đường thẳng MN. 44. Cho hai đường tròn và ,

1(  C x ) : C  . (1; 1)

(0; 2) a. Viết phương trình đường tròn

)C đi qua 3 điểm 2(

2

5 0

 





4

x

y

x

y

)C và tính phương tích của tâm mỗi đường 2( tròn đối với đường tròn còn lại.

45. Tìm m để hệ sau có nghiệm

.

2 8   y m





4

0

x

b. Viết phương trình các tiếp tuyến chung của hai đường tròn.   3 

2

2

2

2

  1 ( a   b 0)

46. Tìm điều kiện để hệ sau có nghiệm duy nhất

.

2

2

2

2

2

y x a b Ax By C    0 ( A  B  0)

x



(

y



1)

a

     

.

47. Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất

2

2

2

(

x



a

2

2

    

A  B 

  4 8 y x y

. ( 1; 0) . (3; 11)

1) y   48. Cho đường tròn   . 5 0 C x ( ) : a. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua c. Gọi BM, BN là các tiếp tuyến với (C) kẻ từ B (M, N là các tiếp điểm).

i. ii.

Viết phương trình đường thẳng MN. Tính MB, MN.

d. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng

d x :

y 2

 . 0

e. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng



: 3

x



4

y

  . 1 0

2

2 2 

x 4  11 0 y  .

M

(0;1)

 x (0;1) y  và cắt (C) tại 2 điểm A, B

và cắt (C) tại 2 điểm A, B

49. Cho đường tròn (C) tâm I có phương trình a. Viết phương trình đường thẳng  đi qua M sao cho AB nhỏ nhất. b. Viết phương trình đường thẳng  đi qua sao cho M là trung điểm của AB.

Created by Nguyen Van Rin Page 6 NÕu cø m·i ®i theo lèi mßn ®· ®­îc v¹ch s½n, ta còng chØ cã thÓ nhËn lÊy nh÷ng g× ng­êi ®i tr­íc ®· ®¹t ®­îc mµ th«i.

M

(0;1)

§­êng trßn vµ c¸c ®­êng c«nic Ph­¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng

và cắt (C) tại 2 điểm A, B

IAB

có diện tích lớn nhất.

M

(0;1)

và cắt (C) tại 2 điểm A, B

2 7 AB 

.

M

(0;1)

và chia đường tròn thành 2

(0;1)

M

và cắt (C) tại 2 điểm A, B

. 2MA MB  2 2  y C x ) : (

1 0

d x :

y   .Tìm M d mà qua đó kẻ

2MA  .

  2 4 x  và 0

c. Viết phương trình đường thẳng  đi qua sao cho d. Viết phương trình đường thẳng  đi qua sao cho e. Viết phương trình đường thẳng  đi qua cung có độ dài bằng 2. f. Viết phương trình đường thẳng  đi qua sao cho 50. Cho y được 2 đường thẳng tiếp xúc với (C) tại A và B sao cho: a.  60o . AMB  b.  90o . AMB  c.  120o . AMB  d. Góc giữa hai tiếp tuyến bằng 60o . e.

. CÁC ĐƯỜNG CÔNIC . Dạng : Đường elip

 a a  0)

.

1

2 c 2

a

c 

0)

.

(

)

 MF MF 2 ( 2 , F F là 2 tiêu điểm. 1 F F 1 2 M E , MF MF là 2 bán kính qua tiêu ứng với điểm M.

gọi là tiêu cự ( thì

1

 Định nghĩa: (   ) M E    2  Phương trình chính tắc:

2

2

2

2

2

(





) :

1 (

 

0)

a



b



c

E

a b

,

.

2

2

; 0), ( ;0)

.

2

1 (

) :





(

 

0)

E

a b

 F c ( 1

.

Cho

2

2

y x a b Tiêu điểm F c 2  Bán kính qua tiêu: 2 x a

y b

 

  a

M x y ( ;

)

E (

)

ta có

và

.

MF a 1

MF 2

cx a

cx a

2

1 (

) :

E





(

a b

 

0)

Cho

2

2

 Hình dạng của elip: 2 x a

y b

, Ox Oy , tâm đối xứng là O.

 Hai trục đối xứng là  Ox là trục lớn, Oy là trục bé.  a (0;

( ; 0), (0; ), ;0), b )  là các đỉnh.

a 2

 

B A ( b B 2 1 2 là độ dài trục lớn.

A a 1 A A 1 2 Created by Nguyen Van Rin

Page 7

Ng­êi cã häc kh«ng ph¶i lµ ng­êi biÕt nhiÒu mµ lµ ng­êi biÕt râ nh÷ng g× m×nh ph¶i biÕt vµ hiÓu râ nh÷ng g× m×nh ®· biÕt.

Ph­¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng §­êng trßn vµ c¸c ®­êng c«nic

b 2

là độ dài trục bé.

x

a 

, y= b

 gọi là hình

B B 1 2

 Hình chữ nhật giới hạn bởi các đường thẳng

a b

chữ nhật cơ sở của (E).

 Diện tích hình chữ nhật cơ sở là 4ab .  Chu vi hình chữ nhật cơ sở là 4( . )  Tiêu điểm luôn nằm trên trục lớn.

e



(0

1)

e

 Tâm sai:

  .

c a

( ;

M x y thành )

1k  : biến điểm

'( ';

M x y sao cho ')

x

.

ky

 Phép co về trục hoành với hệ số co k, 0  x '   y '

Tìm ảnh của (C) bằng cách tính tọa độ x, y theo x’, y’ rồi thế vào phương trình (C) ta được phương trình (C’).

51. Xác định độ dài các trục, tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh và vẽ elip

2

2

23 y



x

a.

 1

b.

 . 9

(E): 2 y x 25 9

2

2

24 y

y 3 36  4 x x  . 4

b.

52. Tìm tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh, độ dài các trục và tâm sai của mỗi elip có phương trình sau: 2 a. 53. Lập phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp:

e 

a. Độ dài trục lớn bằng 8 và tâm sai

.

3 2 b. Độ dài trục bé bằng 8 và tiêu cự bằng 4. 54. Lập phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp:

F

( 3; 0)

M

(1;

)

a. Có một tiêu điểm

và đi qua

.

3 2

 

7;

x

y

  . 2

b. Các cạnh hình chữ nhật cơ sở có phương trình: 55. Lập phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp:

M

(4;

)

N

(3;

)

và

.

a. Đi qua hai điểm

9 5

12 5

M

(

)

;

b. Đi qua

và M nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông.

3 5

4 5

56. Tìm tâm sai của elip (E) trong các trường hợp sau: a. Các đỉnh trên trục bé nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông. b. Độ dài trục lớn bằng k lần độ dài trục bé (k>1). c. Khoảng cách từ một đỉnh trên trục lớn tới một đỉnh nằm trên trục bé bằng tiêu cự.

Created by Nguyen Van Rin Page 8 NÕu cø m·i ®i theo lèi mßn ®· ®­îc v¹ch s½n, ta còng chØ cã thÓ nhËn lÊy nh÷ng g× ng­êi ®i tr­íc ®· ®¹t ®­îc mµ th«i.

2

2

(

E

) :

1



§­êng trßn vµ c¸c ®­êng c«nic Ph­¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng

57. Qua tiêu điểm của elip

 vẽ đường thẳng vuông góc với trục

2

2

x a

y b

Ox, cắt elip tại hai điểm A và B. Tính độ dài dây AB.

2

2

(

E

) :



1

58. Cho elip (E):

 có 2 tiêu điểm

2

x 9

y 1

, F F . Tìm điểm M thuộc (E) 1

2 

. 2

2

MF 2 x 225 ) : 9 25 

.

2

 , F F và tâm sai. 1

sao cho MF 1 59. Cho elip y E ( a. Tìm tọa độ hai tiêu điểm b. Tìm điểm M thuộc (E) sao cho M nhìn

1 2F F dưới một góc vuông.

2

2



(

E

) :

1

 2

60. Tìm trên elip

 một điểm M sao cho

, trong đó

2

2

x a

y b

MF 1 MF 2

2

, F F là các tiêu điểm của elip. 1

61. Một elip (E) có độ dài trục lớn bằng 6, tâm sai bằng

và khoảng cách từ

1 2

1F bằng 7.

2F .

2

2



) :

(

E

t 2

62. Tìm giao điểm của đường thẳng

 . 1

với elip

d :    1 t

một điểm M của (E) đến tiêu điểm a. Tìm khoảng cách từ M đến tiêu điểm b. Viết phương trình chính tắc của elip (E) và tìm tọa độ của M. x 4

2

2

)

M

(1;

 x  y 

( E x ) : y 4  16

63. Cho elip

và đường thẳng  đi qua điểm

và song

y 5 1 2

3 0

y 2

  . Tìm tọa độ các giao điểm A và B của

song với đường thẳng d x : đường thẳng  và elip (E). Chứng minh MA MB

2

2

(

E

) :



1

d

: 2

x

 

y m

0

64. Cho đường thẳng

 và elip

 . Tìm m để:

. x 5

y 4

2

2

) :

E



(

1

65. Cho elip

 và đường thẳng  thay đổi có phương trình tổng

y 9

2

2



Ax By C

25

B



9

2 A

C

a. d cắt (E) tại hai điểm phân biệt. b. d và (E) có điểm chung duy nhất. x 25  luôn thỏa mãn 0

. Tính tích khoảng cách từ

quát   , F F của (E) đến đường thẳng  . hai tiêu điểm 1

2

2

(

E

) :



1

I

66. Cho elip

 và điểm (1; 2)

. Viết phương trình đường thẳng đi

2 x 16

y 9

qua I biết rằng đường thẳng đó cắt elip (E) tại hai điểm A, B mà I là trung điểm của AB.

2

2

(

E

) :



1

67. Cho elip

 . Viết phương trình tổng quát của đường thẳng 

x 9

y 4

(1;1)M

đi qua

và cắt (E) tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm của AB.

Created by Nguyen Van Rin Page 9

Ng­êi cã häc kh«ng ph¶i lµ ng­êi biÕt nhiÒu mµ lµ ng­êi biÕt râ nh÷ng g× m×nh ph¶i biÕt vµ hiÓu râ nh÷ng g× m×nh ®· biÕt.

2

2

(

E

) :

1



Ph­¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng §­êng trßn vµ c¸c ®­êng c«nic

68. Cho elip

 có hai tiêu điểm

2

x 100

y 36

1 2F F .

2

 

a b

1 (

0)

) :

E





(

, F F . 1

69. Cho elip

. Gọi

2

2

2

, F F là các tiêu điểm và 1 ,A A là 1 2

a. Viết phương trình đường tròn (C) có đường kính là b. Chứng minh (E) và (C) không có điểm chung. 2 y b

x a

2

2

2

 .MF MF OM a





b

1

2

2

2 OM b



)



.

các đỉnh trên trục lớn của (E). M là một điểm tùy ý trên (E) có hình chiếu trên Ox là H. Chứng minh rằng: a. . b. 

 MF MF 2

1

2

2

MH

 

.

c.

2 4(   HA HA . 1 2

2 .

b a

2

2

(

E

) :





1 (

a b

 

0)

70. Cho elip

.

2

2

y b

x a

 .

   x y

d

:

0

 với (E). Tính OA theo

,

a. Chứng minh rằng với mọi M thuộc (E), ta có b OM a b. Gọi A là giao điểm của đường thẳng a b  . , ,

1

. Chứng minh rằng tổng

c. Gọi B là điểm trên (E) sao cho OA OB

2

2

1  OA OB

2

2

2

C x ( ) :

9,





y

k

k 9,

) :

E







2

(

b.

a.

.

2  3

có giá trị không đổi. d. Chứng minh rằng đường thẳng AB luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định. 71. Tìm ảnh qua phép co về trục Ox theo hệ số k của: 2 x 25

y 9

. Dạng : Đường hyperbol



2 (

a a



0)

(

  )

.

1

2 c 2

a 

0)

.

)

1

2

, MF MF là hai bán kính qua tiêu ứng với điểm M.

 Định nghĩa:  M H  MF MF 2  , F F là hai tiêu điểm. 1  là tiêu cự ( c F F 1 2  Với thì M H (  Phương trình chính tắc:

2

2

2

2

2

(



H

) :



1 (

a



0,

b



0)

c



a



b



,

.

2

2

là hai tiêu điểm.

x a  F c ( ; 0), 1

y b F c 2

2

M x y ( ;

)

H (

)

) :

H



(



1 (

a



0,

b



0)

 Cho

và

.

2

2

 ( ;0)  Bán kính qua tiêu: 2 y b

x a

Created by Nguyen Van Rin Page 10 NÕu cø m·i ®i theo lèi mßn ®· ®­îc v¹ch s½n, ta còng chØ cã thÓ nhËn lÊy nh÷ng g× ng­êi ®i tr­íc ®· ®¹t ®­îc mµ th«i.

 

,

   a

§­êng trßn vµ c¸c ®­êng c«nic Ph­¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng

 Nếu x>0 thì

.

MF 2

MF a 1

   a

,

  a

 Nếu x<0 thì

.

MF 2

MF 1

cx a cx a

cx a cx a

2

1 (

0)

) :

0,

H









b

a

(

Cho

.

2

2

 Hình dạng của hyperbol (H): 2 y b

x a

; 0) ( ; 0),

là hai đỉnh của (H).

a 2

x

 

b

a y ,

  gọi là hình

b 2 A a 1 A A 1 2 B B 1 2

 Hai trục đối xứng là Ox, Oy; tâm đối xứng là O.  Ox là trục thực, Oy là trục ảo.  A ( a 2  là độ dài trục thực. là độ dài trục ảo.  Hình chữ nhật giới hạn bởi các đường thẳng chữ nhật cơ sở của (H).

y

 

x

gọi là

 Hai đường chéo của hình chữ nhật cơ sỏ có phương trình

b a

hai đường tiệm cận.  Diện tích hình chữ nhật cơ sở là 4ab.  Chu vi hình chữ nhật cơ sở là 4(a+b).

e



(

e

 . 1)

 Tâm sai:

c a

72. Tìm tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh, độ dài trục thực, trục ảo, phương trình các tiệm cận và vẽ hyperbol (H):

2

2

2

2





a.

 1

b.

 . 1

x 9

y 4

x 9

y 16

2

2

2

29 y

 

y

x

x y  9  . 1

b. Có tiêu cự bằng 2 3 và một tiệm cận là

.

73. Tìm tọa độ các tiêu điểm, các đỉnh, độ dài trục thực, trục ảo, phương trình các tiệm cận và tâm sai của hyperbol (H): b. a. x 4 74. Lập phương trình chính tắc của (H): a. Có tiêu điểm (5;0) và độ dài trục thực bằng 8. 2 3

M

5 e 

và đi qua

( 8; 2 2)

Q 

c. Độ dài trục thực là 8, tiêu cự là 10. . d. Tâm sai ( 10; 6) 75. Lập phương trình chính tắc của (H): a Độ dài của trục ảo bằng 6 và hai đường tiệm cận vuông góc với nhau. b. Góc giữa hai đường tiệm cận bằng 60 và (H) đi qua điểm N(6;3). c. Đi qua hai điểm

P  và (6; 1)

.

Created by Nguyen Van Rin Page 11

Ng­êi cã häc kh«ng ph¶i lµ ng­êi biÕt nhiÒu mµ lµ ng­êi biÕt râ nh÷ng g× m×nh ph¶i biÕt vµ hiÓu râ nh÷ng g× m×nh ®· biÕt.

M

(4 2;3)

Ph­¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng §­êng trßn vµ c¸c ®­êng c«nic

và có các tiêu điểm trùng với các tiêu điểm của elip

d. Đi qua điểm 2

2

(

) :

E

 . 1

2

2

1 2F F và tìm giao điểm của (C)

y x  35 10 76. Cho hyperbol ( a. Tìm tọa độ các tiêu điểm của (H). b. Lập phương trình đường tròn (C) đường kính và (H). c. Viết phương trình chính tắc của elip (E) có các tiêu điểm trùng với các tiêu điểm của (H) và ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của (H).

2

2

(



) :

E

 1

x  H ) : 9 144 16  y

77. Cho elip

x 25

  ( 3; 2), ( 3; 2), (3;-2) 

(3; 2),

Q

P

S

.

),   ( ) ( , ,

và giá trị tuyệt đối của hiệu các khoảng cách từ mỗi điểm

y 9 a. Xác định hai tiêu điểm và các đỉnh của (E). b. Lập phương trình chính tắc của hyperbol (H) nhận các tiêu điểm của (E) làm đỉnh và có hai tiêu điểm là hai đỉnh của (E). c. Lập phuuwong trình đường tròn đi qua các giao điểm của (E) và (H). 78. Cho bốn điểm R a. Viết phương trình elip (E) và hyperbol (H) cùng có hình chữ nhật cơ sở PQRS. b. Tìm tọa độ giao điểm của elip (E) với các đường tiệm cận của hyperbol (H). 79. Cho m>0. Chứng minh rằng hyperbol (H) có các tiêu điểm F m m F m m 1

2

2

xy 

.

trên (H) tới các tiêu điểm là 2m, có phương trình

m 2

(



2,



2),

( 2, 2)

( ;

)

. Chứng minh mỗi điểm

M x y thuộc đồ thị

F 1

F 2

y



2 2

 đều có

.

MF MF 2

1

80. Cho 1 x

2

2

) : 4 H x (   . 4 0

81. Tìm các điểm trên hyperbol y a. Nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông. b. Nhìn hai tiêu điểm dưới một góc 120 . c. Có tọa độ nguyên.

2

2

(

) :



1

H



:

x

 

y m

82. Cho hyperbol

 và đường thẳng

 . 0

x 4

y 5

)

.

N

2F là tiêu điểm phải của (H). Xác định m để

x M

.

a. Chứng minh rằng  luôn cắt (H) tại 2 điểm M, N thuộc hai nhánh khác nhau của (H) ( b. Gọi F N 2

x 1F là tiêu điểm trái và F M 12

Created by Nguyen Van Rin Page 12 NÕu cø m·i ®i theo lèi mßn ®· ®­îc v¹ch s½n, ta còng chØ cã thÓ nhËn lÊy nh÷ng g× ng­êi ®i tr­íc ®· ®¹t ®­îc mµ th«i.

2

2



(

H

) :

1

§­êng trßn vµ c¸c ®­êng c«nic Ph­¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng

83. Cho hyperbol

 . Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ

2

2

x a

y b

một điểm tùy ý trên (H) đến hai đường tiệm cận bằng

.

2

2 2 a b 2 b a

2

2



(

H

) :

1

84. Cho hyperbol

 . Gọi

2

2

2

2

x a

y b

2

2

2

2

2

2 OM b

4(











a

b

(

)

)

.

, F F là các tiêu điểm và 1 , A A là các 1

đỉnh của (H). M là điểm tùy ý trên (H) có hình chiếu trên Ox là N. Chứng minh rằng: a.

b.

.

OM MF MF 2

 MF MF 2

1

1

2

2

NM



.

c.

NA NA . 1 2

2 .

b a

. Dạng : Đường parabol

,

(

  )

.

p

thì MF gọi là bán kính qua tiêu ứng với M.

2

0)  2 y

 Định nghĩa: M P   MH d M ( )   là đường chuẩn.  F là tiêu điểm, F   .    gọi là tham số tiêu. d F ) , (  M P ) (  Phương trình chính tắc: 

(

F

;0)

 Tiêu điểm

.

:



x



( px p p 2

 Đường chuẩn

.

 p 2

 Bán kính qua tiêu:

2

MF x 

M x y ( ;

)

P (

)

( P y ) :  2 px p (  0)

Cho

và

:

.

p 2

2

(  0) P y ) : px p (

 Hình dạng của parabol (P): Cho  2  Trục đối xứng là Ox.  Đỉnh là gốc O.  Đường chuẩn không cắt parabol (P).  Một số dạng parabol có đỉnh là gốc O và trục đối xứng là Ox hoặc Oy:

 2 px p (  0) px p (  0)

 Dạng 2: 2 y

.

.

 Phương trình:

(

;0)

; 0)

F

( F 

 Tiêu điểm:

.

 Tiêu điểm:

.

 Dạng 1: 2  Phương trình: y p 2

:



x



x



  2 p 2

 Đường chuẩn

.

 Đường chuẩn :

.

 p 2

p 2

Created by Nguyen Van Rin Page 13

Ng­êi cã häc kh«ng ph¶i lµ ng­êi biÕt nhiÒu mµ lµ ng­êi biÕt râ nh÷ng g× m×nh ph¶i biÕt vµ hiÓu râ nh÷ng g× m×nh ®· biÕt.

Ph­¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng §­êng trßn vµ c¸c ®­êng c«nic

 Dạng 3: 2 x

 2 py p (  0) py p (  0)

 Dạng 4: 2 x

 Phương trình:

.

.

 Phương trình:

F

(0;

)

F

(0;

)

 Tiêu điểm:

.

 Tiêu điểm:

.

p 2

y

: y



  2  p 2

 Đường chuẩn :

 Đường chuẩn

.

p   . 2

p 2

2

2

y x 4 0 y

b.

(3;0)

F

85. Tìm tiêu điểm, đường chuẩn và vẽ parabol sau: a. x  . 86. Lập phương trình chính tắc của parabol a. Có tiêu điểm

b. Đi qua

M  . (1; 1)

c. Có đường chuẩn

d. Có tham số tiêu

x :

  5

1 p  . 3

2

2

( x   E 16 ) : 9 144

.

2

12 x (

có tiêu điểm F. Tìm 2 điểm A, B trên (P) sao cho

 có trực tâm là F.

87. Cho elip y a. Tìm các tiêu điểm, tiêu cự và tâm sai của elip (E). b. Lập phương trình chính tắc của hyperbol (H) có cùng hình chữ nhật cơ sở với (E). c. Lập phương trình chính tắc của parabol (P) có tiêu điểm trùng với tiêu điểm bên phải của elip (E). 88. Cho parabol P y ) : 

OAB

2

1



b

ac 4

F

(

)

;

89. Chứng minh rằng parabol (P) có tiêu điểm

và đường

 b 2 a

 a

4

2

1



b

4

ac

2



:



0

y

 có phương trình

y  ax  bx  . c

chuẩn

 a

4

x



y 5

10 0

F  . Tìm hệ thức giữa x, y để điểm M(x;y) cách đều điểm F và

y

x

4



: 3

  . 5 0

2

x 4 y

. Tìm tọa độ các điểm M nằm trên

2

2

px p ( 0)   2

px p ( 0)   2 y

, ta vẽ một đường thẳng cắt (P) tại 2 điểm M và N. Chứng

90. Lập phương trình của parabol (P) biết tiêu điểm là gốc tọa dộ và đường chuẩn có phương trình 4  . 91. Cho (1; 2) trục hoành. 92. Tìm tham số tiêu của parabol (P) có tiêu điểm F(1;2), đường chuẩn  93. Cho parabol (P) có phương trình (P) và cách tiêu điểm một khoảng bằng 3. 94. Tìm độ dài dây cung vuông góc với trục đối xứng của parabol tại tiêu điểm F. ( P y ) : 95. Qua một điểm A cố định trên trục đối xứng của parabol (P): minh rằng tích các khoảng cách từ M và N tới trục đối xứng của (P) là hằng số.

Created by Nguyen Van Rin Page 14 NÕu cø m·i ®i theo lèi mßn ®· ®­îc v¹ch s½n, ta còng chØ cã thÓ nhËn lÊy nh÷ng g× ng­êi ®i tr­íc ®· ®¹t ®­îc mµ th«i.

§­êng trßn vµ c¸c ®­êng c«nic Ph­¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng

96. Cho dây cung AB đi qua tiêu điểm F của parabol (P). Chứng minh khoảng

. Suy ra, đường tròn

cách từ trung điểm I của AB đến đường chuẩn  bằng

AB 2

2

px p ( P y ) : 0)  (

sao cho tổng các khoảng

2

(

P y ) :

đường kính PB tiếp xúc với đường chuẩn. 97. Cho A, B là hai điểm trên  2 cách từ A và B tới đường chuẩn của (P) bằng độ dài AB. Chứng minh rằng AB luôn đi qua tiêu điểm của (P).

98. Cho parabol

. Hai điểm lưu động M, N thuộc (P) khác gốc O

1 x 2

2

2

2

( 2   0) px p (

P y ) : ') :P px ax bx   2 y c

và

2

2

2

 

a b

1 ( ,

a b

1 (

0)

0)

) :

) :

H

E











(

(

và Hyperbol

 Elip

có 2

2

2

2

2

sao cho OM vuông góc với ON. Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định. 99. Cho parabol , A là một điểm cố định trên (P). Một góc P y ) : vuông uAt quay quanh đỉnh A có các cạnh cắt (P) tại B và C. Chứng minh rằng đường thẳng BC luôn đi qua một điểm cố định. 100. Cho hai parabol  . Chứng minh rằng  ( ( nếu hai parabol cắt nhau tại bốn điểm phân biệt thì bốn điểm đó nằm trên một đường tròn. . Dạng : Ba đường cônic 1. Đường chuẩn: 2 y b

x a

y b

x a



x

  ứng với tiêu điểm

;0)

.



1 :

F c 1(

đường chuẩn: a e



x



 ứng với tiêu điểm

.

2 :

a e

2



:

x



F c 2 ( ; 0)

( P y ) :  2 px p (  0)

 Parabol

có 1 đường chuẩn

ứng với tiêu điểm

 p 2

F

(

, 0)

.

p 2

2. Tính chất:

M x y ( ;

)



conic







e



.

d M (

)

)

MF 2  ,

2

MF 1  , 1

d M ( 3. Định nghĩa chung của 3 đường conic:

e







M conic

.



)



)

MF d M ( ,  F là tiêu điểm.   là đường chuẩn ( F   .  e là hằng số gọi là tâm sai.  0 1e  thì conic là elip.

Created by Nguyen Van Rin Page 15

Ng­êi cã häc kh«ng ph¶i lµ ng­êi biÕt nhiÒu mµ lµ ng­êi biÕt râ nh÷ng g× m×nh ph¶i biÕt vµ hiÓu râ nh÷ng g× m×nh ®· biÕt.

1e  thì conic là hyperbol. 1e  thì conic là parabol.

Ph­¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng §­êng trßn vµ c¸c ®­êng c«nic

  101. Tìm tiêu điểm và đường chuẩn của các đường conic: 2

2

2

2

2





y  14 x

a.

 1

c.

.

 1

b.

x 10

y 7

x 14

y 1

102. Tìm tọa độ tiêu điểm, phương trình đường chuẩn và vẽ các đường conic:

2

2

2

2

2





3 x y 2

a.

 1

b.

 1

c.

x 9

y 4

x 9

y 16

x  . 2

 . 0

, đường chuẩn tương ứng là 3e  . , tâm sai

103. Lập phương trình chính tắc của conic: a. Một tiêu điểm là 2 (3, 0) F b. Một tiêu điểm là F  1( 6, 0) 104. Lập phương trình chính tắc của elip (E) biết: a. Khoảng cách giữa hai đường chuẩn là 5 và khoảng cách giữa hai tiêu điểm là 4.

b. Tâm sai

e  và khoảng cách từ tâm đối xứng đến đường chuẩn là

.

16 3

3 4

y 3

x

0

105. Lập phương trình chính tắc của hyperbol (P) biết: a. Phương trình các đường tiệm cận là 4

 và khoảng cách giữa hai

đường chuẩn là

.

18 5

x 

b. Phương trình một đường chuẩn là

, tâm sai

16 5

5 e  . 4

1 0

(1;1)



F

y

x

:

. Viết phương trình đường

106. Cho đường thẳng    và điểm conic nhận F làm tiêu điểm và  làm đường chuẩn trong mỗi trường hợp:

e 

a. Tâm sai

b. Tâm sai

c. Tâm sai

1e  .

e 

2

(2;3)

F

0

2 2 107. Viết phương trình các đường conic trong các trường hợp sau: a. Tiêu điểm

y  và tâm sai

, đường chuẩn

F

(0;3)

0

b. Tiêu điểm

, đường chuẩn

y  và tâm sai

F

(0;3)

0

c. Tiêu điểm

, đường chuẩn

y  và tâm sai

1e  . 1 e  . 2 e  . 2

2

2

(

) :



E

F c

( ;0)

108. Một đường thẳng đi qua tiêu điểm

của elip

 , 1

2

2

x a

y b

(

a b 

0)

và cắt (E) tại 2 điểm A, B. Chứng minh rằng đường tròn đường kính

x

AB không có điểm chung với đường chuẩn

 của (E).

a e

Created by Nguyen Van Rin Page 16 NÕu cø m·i ®i theo lèi mßn ®· ®­îc v¹ch s½n, ta còng chØ cã thÓ nhËn lÊy nh÷ng g× ng­êi ®i tr­íc ®· ®¹t ®­îc mµ th«i.

2

2

(

H

) :



F c

( ;0)

§­êng trßn vµ c¸c ®­êng c«nic Ph­¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng

109. Một đường thẳng đi qua tiêu điểm

của hyperbol

 1

2

2

x a

y b

và cắt (H) tại 2 điểm A, B. Chứng minh rằng đường tròn đường kính AB cắt

x

đường chuẩn

 của (H).

a e

b. Chứng minh rằng mỗi đường chuẩn của hyperbol luôn đi qua chân

110. a. Chứng minh rằng đoạn thẳng trên đường tiệm cận bị chắn bởi đường chuẩn và tâm của hyperbol bằng nửa trục thực. đường vuông góc hạ từ tiêu điểm tương ứng tới hai đường tiệm cận. . Đề thi tuyển sinh: 111. (KHỐI A-2008) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, hãy viết phương

trình chính tắc của elip (E) biết rằng (E) có tâm sai bằng

và hình chữ nhật

5 3

cơ sở của (E) có chu vi bằng 20.

2

2

(

E

) :



(ĐS:

 ). 1

x 9

y 4

2

(1; 4)

A



. Hai điểm phân biệt B, C (B và C khác A) di động

và điểm

 . Chứng minh rằng đường thẳng BC luôn đi qua BAC 

112. (KHỐI D-2008) Trong mặt phẳng với hệ rọa độ Oxy cho parabol ( x 16 P y ) : trên (P) sao cho  90 một điểm cố định.

(ĐS: (17; 4) I

( 2; 2)

(4; 2)

(0; 2)

B   và

,

 ). 113. (KHỐI A-2007) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có C  . Gọi H là chân đường cao kẻ từ B; M, N lần A lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC. Viết phương trình đường tròn đi qua các điểm H, M, N.

2

2

C x ( ) :  y 2 0 x y

(ĐS:

    ).

114. (KHỐI D-2007) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn

2

2

 y m

: 3



4

0

d

x

 . Tìm m để trên

19;

m

m



( y x 9    1) 2) ) : (  và đường thẳng

  ). 41

C ( d có duy nhất một điểm P mà từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến PA, PB tới (C) (A, B là các tiếp điểm) sao cho tam giác PAB đều. (ĐS:

115. (KHỐI B-2006) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn

2

2

( 3;1)

M 

y x y 6 2    6 0   và điểm

. Gọi 1

2

, T T là các tiếp điểm ( C x ) : của các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C). Viết phương trình đường thẳng 1 2T T . 3 0 x y   ).

(ĐS: 1 2 : 2 T T

2

2

3 0

d x :

y   . Tìm tọa độ điểm M

 1 0   2 2 y x y   và đường thẳng

116. (KHỐI D-2006) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn C x ) : ( nằm trên d sao cho đường tròn tâm M, có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn (C) và tiếp xúc ngoài với đường tròn (C).

Created by Nguyen Van Rin Page 17

Ng­êi cã häc kh«ng ph¶i lµ ng­êi biÕt nhiÒu mµ lµ ng­êi biÕt râ nh÷ng g× m×nh ph¶i biÕt vµ hiÓu râ nh÷ng g× m×nh ®· biÕt.

(1; 4),

M 

M

Ph­¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng §­êng trßn vµ c¸c ®­êng c«nic

(ĐS:

).

( 2;1) 117. (KHỐI B-2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(2;0) và B(6;4). Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại điểm A và khoảng cách từ tâm của (C) đến điểm B bằng 5.

2

2

) : (

x



2)



(

y



1)



1

(ĐS:

).

2

2

) : (

2)

7)









x

y

(

C ( 1 C (

2

49 118. (KHỐI D-2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm C(2;0) và

2

2

(

) :



1

E

A B ,

E (

)

elip

 . Tìm tọa độ các điểm

, biết rằng hai điểm A,

x 4

y 1





A (

A (

B

B

),

),

(

)

(

;

;

;

;

)

(ĐS:

hoặc

).

B đối xứng với nhau qua trục hoành và tam giác ABC là tam giác đều. 2 4 3 2 7 7

2 4 3 7

4 3 7

4 3 7

2 7

7

7

2

2

d x :

y   . Viết 1 0

2

x  1) C ( ) : ( 2)   y (  và đường thẳng

119. (KHỐI D-2003) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy cho đường tròn 4 phương trình đường tròn (C’) đối xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng d. Tìm tọa độ các giao điểm của (C) và (C’). 2 

(1; 0),

(3; 2)

A

B

') : ( C ( 3)  x y  , 4

). (ĐS: 120. (KHỐI D-2002) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxy cho

2

2



(

E

) :

1

elip

 . Xét điểm M chuyển động trên tia Ox và điểm N

x 16

y 9

chuyển động trên tia Oy sao cho đường thẳng MN luôn tiếp xúc với (E). Xác định tọa độ của M, N để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.

M

(2 7, 0),

N

(0, 21),

7

(

Min MN  ). )

(ĐS:

HÕt

Tµi liÖu l­u hµnh néi bé – NguyÔn V¨n Rin - §HSP HuÕ Email: Rinnguyen1991@gmail.com

Created by Nguyen Van Rin Page 18 NÕu cø m·i ®i theo lèi mßn ®· ®­îc v¹ch s½n, ta còng chØ cã thÓ nhËn lÊy nh÷ng g× ng­êi ®i tr­íc ®· ®¹t ®­îc mµ th«i.