§êng trßn vµ c¸c ®êng c«nic Ph¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng
Created by Nguyen Van Rin Page 1
Ngêi cã häc kh«ng ph¶i lµ ngêi biÕt nhiÒu mµ lµ ngêi biÕt râ nh÷ng g× m×nh ph¶i biÕt
vµ hiÓu râ nh÷ng g× m×nh ®· biÕt.
. ĐƯỜNG TRÒN
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
Đường tròn tâm
0 0
( ; )
I x y
, bán kính R có phương trình
2 2 2
0 0
( ) ( )
x x y y R
.
Phương trình 2 2
2 2 0
x y ax by c
với 2 2
a b c
là phương trình
đường tròn tâm
( ; )
I a
b
, bán kính 2 2
R a b c
.
Đường thẳng
: 0
ax by c
là tiếp tuyến đường tròn (C) tâm I, bán kính
R khi ( ; )
d I
R
.
Phương tích của điểm
( ; )
A A
A x y
đối với đường tròn:
2 2 2
0 0
( ) : ( ) ( )
C x x y y R
là
2 2 2
/( ) 0 0
( ) ( )
M C A A
x x y y R
P
.
2 2
( ) : 2 2 0
C x y ax by c
là 2 2
/( )2 2
M C A A A A
x y ax by c
P
.
Trục đẳng phương d của hai đường tròn không đồng tâm
1 2
(), ( )
C C
:
1 2
/( )/( )
( ; )
M C M C
M x y d
P P
.
B. CÁC DẠNG TOÁN
. Dạng
: Các yếu tố của đường tròn
Đưa về phương trình: 2 2
0 0
( ) ( )
x x y y k
, nếu
0
k
thì đó là phương
trình đường tròn (C) tâm
0 0
( ; )
I x y
, bán kính
R k
.
Đưa về phương trình: 2 2
2 2 0
x y ax by c
, nếu 2 2
a b c
thì đó là
phương trình đường tròn (C) tâm
( ; )
I a
b
, bán kính 2 2
R a b c
.
Để tìm quỹ tích tâm I của họ các đường tròn, ta phải tìm điều kiện xác định
đường tròn, tìm tọa độ tâm, khử tham số giữa x và y. Chuyển điều kiện của
tham số nếu có về điều kiện của x (hoặc y).
Để tìm quỹ tích (tập hợp) các điểm M, ta gọi
( ; )M x y
rồi dùng quan hệ đã
cho để lập phương trình đường tròn.
1. Tìm tâm và bán kính của đường tròn:
a. 2 2
(1) ( 2) 5
x y
b. 2 2
( 2) ( 5) 16
x y
c. 2 2
2( 3) 2( 1) 9
x y
2. Mỗi phương trình sau đây có phải phương trình đường tròn không? Nếu có,
hãy tìm tâm và bán kính.
a. 2 2
2 2 2 0
x y x y
b.
2 2
4 6 2 0
x y x y
c. 2 2
6 8 30 0
x y x y
Ph¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng §êng trßn vµ c¸c ®êng c«nic
Page 2 Created by Nguyen Van Rin
NÕu cø m·i ®i theo lèi mßn ®· ®îc v¹ch s½n, ta còng chØ cã thÓ nhËn lÊy nh÷ng g× ngêi ®i
tríc ®· ®¹t ®îc mµ th«i.
3. Mỗi phương trình sau đây có phải phương trình đường tròn không? Nếu có,
hãy tìm tâm và bán kính.
a. 2 2
16 16 16 8 11
x y x y
b. 2 2
7 9 16 8 11
x y x y
c. 2 2 2
2 2 5 4 1 0
x y x y m
4. Cho đường cong 2 2
1
( ) : 4 2 4 0,
m
C x y mx y m m
.
a. Chứng minh rằng
( )
m
C
là đường tròn với mọi m.
b. Tìm tập hợp tâm của các đường tròn
( )
m
C
khi m thay đổi.
5. Cho đường cong 2 2
( ) : 2( 1) 1 0
m
C x y mx m y
.
a. Với m nào thì
( )
m
C
là đường tròn.
b. Khi
( )
m
C
là đường tròn, tìm tập hợp các tâm khi m thay đổi.
6. Cho phương trình 2 2
2 2( 1) 40 (1)
x y mx m y m
a. Với giá trị nào của m thì (1) là phương trình của một đường tròn.
b. Chứng minh rằng các đường tròn (1) luôn đi qua 2 điểm cố định.
7. Cho đường cong 2 2
( ) : ( 2) ( 4) 1 0
m
C x y m x m y m
.
a. Chứng minh rằng
( )
m
C
luôn là đường tròn với mọi giá trị của m.
b. Chứng minh rằng khi m thay đổi, họ các đường tròn
( )
m
C
luôn đi qua 2 điểm
cố định.
c. Tìm những điểm trong mặt phẳng tọa độ mà họ
( )
m
C
không đi qua dù m lấy
bất kỳ giá trị nào.
8. Cho ABC, biết
: 2 3 7 0
AB x y
,
: 2 1 0
BC x y
và
: 3 0
CA x y
.
Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn: 2 2 2
44
MA MB MC
.
9. Cho hai điểm
(1;1)
A và
(9;7)
B.
a. Tìm quỹ tích các điểm M sao cho 2 2
90
MA MB
.
b. Tìm quỹ tích các điểm M sao cho
2 2 2
2 3
MA MB k
, trong đó k là một số
cho trước.
10. Cho hai điểm cố định A và B. Tìm tập hợp các điểm M thỏa
2 2 2
MA MB k
với k là một số cho trước.
(HD: Chọn đường thẳng AB làm trục hoành và đường trung trực của AB làm
trục tung).
11. Cho hai điểm
(;0)A a
và
(;0)
B a
. Tìm tập hợp các điểm M thỏa
2 2 2
MA MB k
với
0
.
. Dạng
: Lập phương trình đường tròn.
Phương trình đường tròn có 2 dạng nên có 2 cách lập phương trình đường
tròn:
Tìm tâm
0 0
( ; )
I x y
và bán kính R:
2 2 2
0 0
( ) ( )
x x y y R
.
Tìm các hệ số a, b, c( 2 2
a b c
): 2 2
2 2 0
x y ax by c
.
Các quan hệ thường dùng đối với đường tròn (C):
§êng trßn vµ c¸c ®êng c«nic Ph¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng
Created by Nguyen Van Rin Page 3
Ngêi cã häc kh«ng ph¶i lµ ngêi biÕt nhiÒu mµ lµ ngêi biÕt râ nh÷ng g× m×nh ph¶i biÕt
vµ hiÓu râ nh÷ng g× m×nh ®· biÕt.
Đi qua 1 điểm A: tọa độ A thỏa mãn phương trình.
Đi qua 2 điểm A, B: tọa độ A thỏa mãn phương trình và tâm I thuộc
đường trung trực của AB.
Đi qua 3 điểm A, B, C: tọa độ A, B, C thỏa mãn phương trình và
,
IA IB IC RIA
.
Đường kính PQ: Tâm I là trung điểm của PQ và
2
PQ
R.
Tâm I thuộc đường thẳng d: tọa độ I thỏa mãn phương trình của d.
Đường tròn tiếp xúc với trục hoành: tâm
0 0
( ; )
I x y
và
0
R y
.
Đường tròn tiếp xúc với trục tung: tâm
0 0
( ; )
I x y
và
R x
.
Đường tròn tiếp xúc với đường thẳng
: ( ; )
d I
R
.
Đường tròn ngoại tiếp với tam giác vuông: tâm I là trung điểm của
cạnh huyền.
12. Viết phương trình đường tròn:
a. Tâm
(1; 3)
I và đi qua điểm
(2;5)
A
.
b. Tâm
(2;0)
I
và tiếp xúc với
: 2 1 0
x y
.
13. Viết phương trình đường tròn:
a. Đường kính AB với
(1;1)
A
và
(5;3)
B.
b. Tâm
(4; 7)
I
và tiếp xúc với trục hoành.
14. Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm:
a.
(1; 2), (1;2), (5;2)
A B C
.
b.
(1; 2), (5; 2), (1; 3)
A B C
.
15. Viết phương trình đường tròn:
a. Đi qua điểm
(1; 2)
A
,
(2;3)
B
và có tâm ở trên đường thẳng
:3 10 0
x y
.
b. Đi qua gốc tọa độ O và có tâm
(1; 5)
I
.
16. Viết phương trình đường tròn nội tiếp ABC biết
:3 4 6 0
AB x y
,
: 4 3 1 0
AC x y
và
: 0
BC y
.
17. Cho điểm
(3; 0)
A
và
(0;4)
B. Viết phương trình đường tròn nội tiếp OAB.
18. Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ và đi qua điểm
(2;1)
M.
19. Viết phương trình đường tròn đi qua
(1;1)
A,
(1; 4)
B và tiếp xúc với trục Ox.
20. Viết phương trình đường tròn có tâm I thuộc đường thẳng
: 2 4 0
d x y
và tiếp xúc với hai trục tọa độ.
21. Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với trục hoành tại điểm
(6;0)
A và đi
qua điểm
(9;9)
B.
22. Viết phương trình đường tròn đi qua 2 điểm
(1; 0)
A
,
(1; 2)
B và tiếp xúc với
đường thẳng
: 1 0
x y
.
Ph¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng §êng trßn vµ c¸c ®êng c«nic
Page 4 Created by Nguyen Van Rin
NÕu cø m·i ®i theo lèi mßn ®· ®îc v¹ch s½n, ta còng chØ cã thÓ nhËn lÊy nh÷ng g× ngêi ®i
tríc ®· ®¹t ®îc mµ th«i.
23. Viết phương trình đường tròn đi qua gốc tọa độ O và tiếp xúc với 2 đường
thẳng 1
: 2 1 0
x y
, 2
: 2 2 0
x y
.
24. Cho đường tròn 2 2
( ) : 4 3 0
C x y x
. Viết phương trình đường tròn (C’)
đối xứng với đường tròn (C) qua đường thẳng
: 4 3 0
x y
.
25. Cho hai điểm
(3;4)
A và
(6;0)
B.
a. Chứng minh OAB cân tại A.
b. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp OAB.
c. Viết phương trình đường tròn nội tiếp OAB.
. Dạng
: Tương giao và tiếp tuyến.
Tương giao của đường tròn (C) tâm I, bán kính R và đường thẳng
:
( ; )
d I
R
: không có điểm chung.
( ; )
d I
R
: tiếp xúc (
: tiếp tuyến).
( ; )
d I
R
: đường thẳng
cắt đường tròn (C) tại 2 điểm.
Tương giao của đường tròn (C) tâm I, bán kính R và đường tròn (C’) tâm
I’, bán kính R’:
' '
II
R R
: ngoài nhau.
' '
II
R R
: tiếp xúc ngoài.
' ' '
R R II R R
: cắt nhau.
' '
II
R R
: tiếp xúc trong.
' '
II
R R
: đựng nhau.
Tiếp tuyến với đường tròn (C) tâm I tại điểm A: đường thẳng đi qua A và có
VTPT
n AI
 .
Tiếp tuyến với đường tròn (C) tâm I, bán kính R đi qua điểm A: Viết
phương trình đường thẳng qua A và có VTPT
( ; )nab
, 2 2
0
a b
. Nếu:
/( ) 0
B C
IB R
P: không có tiếp tuyến.
/( ) 0
B C
IB R
P: có 1 tiếp tuyến.
/( ) 0
B C
IB R
P: có 2 tiếp tuyến.
Tiếp tuyến chung
: 0
ax by c
với 2 đường tròn (C) và (C’):
( ; )
( ; ) '
d I R
d I R
.
26. Tìm giao điểm của đường thẳng
1 2
:
2
x t
d
y t
với đường tròn
2 2
( ) : ( 1) ( 2) 16
C x y
.
27. Tìm m để đường thẳng :
y
x m
có điểm chung với đường tròn
2 2
( ) : 4 2 3 0
C x y x y
.
§êng trßn vµ c¸c ®êng c«nic Ph¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng
Created by Nguyen Van Rin Page 5
Ngêi cã häc kh«ng ph¶i lµ ngêi biÕt nhiÒu mµ lµ ngêi biÕt râ nh÷ng g× m×nh ph¶i biÕt
vµ hiÓu râ nh÷ng g× m×nh ®· biÕt.
28. Chứng minh đường thẳng
: ( 1) 0
x m y m
không tiếp xúc với đường
tròn 2 2
( ) : 4 8 5 0
C x y x y
.
29. Xét vị trí tương đối của đường thẳng
:3 0
x y m
với đường tròn
2 2
( ) : 4 2 1 0
C x y x y
.
30. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường tròn: 2 2
( ) : 2 2 1 0
C x y x y
và
2 2
(') : 2 2 7 0
C x y x y
.
31. Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn:
a. 2 2
( ) : 4 4 17 0
C x y x y
tại
(2;1)
M.
b. 2 2
( ) : 8 6 0
C x y x y
đi qua gốc O.
32. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn 2 2
( ) : 4
C x y
, biết:
a. Tiếp tuyến song song với đường thẳng
:3 17 0
x y
.
b. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
: 2 5 0
x y
.
33. Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn:
a. 2 2
( ) : 4
C x y
và đi qua
(2; 2)
M
.
b. 2 2
( ) : 2 2 1 0
C x y x y
và đi qua
(2;0)
N.
34. Cho đường tròn 2 2
( ) : 4
C x y
và điểm
(2;3)
A
.
a. Chứng minh A ở ngoài đường tròn. Viết phương trình 2 tiếp tuyến kẻ từ A.
b. Tính khoảng cách từ A đến 2 tiếp tuyến trên và khoảng cách giữa hai tiếp
điểm T, T’.
35. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn 2 2
( ) : 1
C x y
và
2 2
(') : ( 8) ( 6) 16
C x y
.
36. Cho hai đường tròn 2 2
( ) : 6 5 0
C x y x
và
2 2
(') : 12 6 44 0
C x y x y
.
a. Chứng minh hai đường tròn ngoài nhau.
b. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn.
37. Cho đường tròn 2 2
( ) : 8 4 5 0
C x y x y
và điểm
(2;1)
A.
a. Chứng minh qua A kẻ được hai tiếp tuyến đến (C).
b. Viết phương trình đường thẳng qua hai tiếp điểm.
38. Cho đường tròn 2 2
( ) : 2 6 5 0
C x y x y
và đường thẳng
: 2 1 0
d x y
.
Viết phương trình tiếp tuyến
của (C), biết
song song với d. Tìm tọa độ tiếp
điểm.
. Dạng
: Tổng hợp về đường tròn.
39. Cho đường tròn 2 2
( ) : 2 2 0
C x y ax by c
. Chứng minh phương tích
của điểm
0 0
( ; )
M x y
đối với đường tròn (C) bằng
2 2
/( ) 0 0 0 0
2 2
M C
x y ax by c
P.