phương pháp tọa độ trong không gian oxyz phần 2 - nguyễn quốc thịnh

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA<br /> <br /> Trang | 82<br /> <br /> PHẦN 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG<br /> A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT<br /> 1. Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng<br />  Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và có vectơ chỉ<br /> phương a  (a1 ; a2 ; a3 ) với a  0 là:<br />  x  xo  a1t<br /> <br /> ( d ) :  y  yo  a2 t<br /> (t  )<br /> z  z  a t<br /> o<br /> 3<br /> <br /> x  x0 y  y0 z  z0<br /> <br /> <br />  Nếu a1a2 a3  0 thì (d ) :<br /> được gọi là phương trình chính tắc của d<br /> a1<br /> a2<br /> a3<br /> <br /> 2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Cho hai đường thẳng d, d lần lượt đi qua hai điểm M0  x0 ; y0 ; z0  , M0 x0 ; y0 ; z0 và có vectơ<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> chỉ phương lần lượt là a   a1 ; a2 ; a3  , a  a1 ; a2 ; a3 . Khi đó, ta có:<br />   a; a  0<br /> <br />  d€d    <br />  M0  d <br /> <br />   a; a  0<br /> <br /> <br /> d<br /> <br /> d<br /> <br /> <br /> <br />  M0  d <br /> <br />   a ; a   0<br /> <br /> <br />  d cắt d   <br />   a; a . M0 M0  0<br /> <br /> <br /> <br />  d và d  chéo nhau  a; a . M0 M0  0<br /> <br /> <br />  d  d  a.a  0<br /> 3. Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt phẳng<br />  x  x0  ta1<br /> <br /> Cho mặt phẳng   : Ax  By  Cz  D  0 và đường thẳng d :  y  y0  ta2<br />  z  z  ta<br /> 0<br /> 3<br /> <br /> Xét phương trình: A( x0  ta1 )  B( y0  ta2 )  C ( z0  ta3 )  D  0 (ẩn t)<br /> <br />  d€   (*) vô nghiệm<br /> <br />  d cắt    (*) có đúng một nghiệm<br />  d     (*) có vô số nghiệm<br /> <br /> SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM<br /> <br /> (*)<br /> <br /> TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA<br /> <br /> Trang | 83<br /> <br /> 4. Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt cầu<br />  x  x0  ta1<br /> <br /> Cho đường thẳng d :  y  y0  ta2 (1) và mặt cầu  S  : ( x  a)2  ( y  b)2  ( z  c)2  R 2 (2)<br />  z  z  ta<br /> 0<br /> 3<br /> <br /> <br /> Để xét vị trí tương đối của đường thẳng d và mặt cầu  S  ta thay (1) vào (2), a được phương<br /> trình:  x0  ta1  a    yx0  ta2  b    z0  ta3  c   0 (*)<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br />  d và  S  không có điểm chung  (*) vô nghiệm<br /> <br /> <br /> <br /> d tiếp xúc  S   (*) có đúng một nghiệm<br /> <br />  d  I, d   R<br />  d  I, d   R<br /> <br />  d cắt  S  tại hai điểm phân biệt  (*) có hai nghiệm phân biệt  d  I , d   R<br /> 5. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng (chương trình nâng cao)<br /> Cho đường thẳng d đi qua M0 và có VTCP a và điểm M .<br /> d (M , d ) <br /> <br />  M 0 M ; a <br /> a<br /> <br /> 6. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (chương trình nâng cao)<br /> Cho hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2 .<br /> d1 đi qua điểm M1 và có VTCP a1 , d2 đi qua điểm M2 và có VTCP a2<br /> <br /> d (d1 , d 2 ) <br /> <br />  a1 , a2 .M1M 2<br />  a1 , a2 <br /> <br /> Chú ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d1 , d2 bằng khoảng cách giữa d1 với mặt<br /> phẳng   chứa d2 và song song với d1.<br /> <br /> 7. Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song<br /> Khoảng cách giữa đường thẳng d với mặt phẳng   song song với nó bằng khoảng cách từ một<br /> điểm M bất kì trên d đến mặt phẳng   .<br /> 8. Góc giữa hai đường thẳng<br /> Cho hai đường thẳng d1 , d2 lần lượt có các VTCP a1 , a2 .<br /> Khi đó góc giữa d1 , d2 là: cos  d1; d2   cos  a1 , a2  <br /> <br /> a1.a2<br /> a1 . a2<br /> <br /> 9. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng<br /> Cho đường thẳng d có VTCP a  (a1 ; a2 ; a3 ) và mặt phẳng   có VTPT n  ( A; B; C ) .<br /> Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng   bằng góc giữa đường thẳng d với hình chiếu d  của<br /> nó trên   .<br /> sin  d , ( )  <br /> <br /> Aa1  Ba2  Ca3<br /> A2  B 2  C 2 . a12  a22  a32<br /> <br /> SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM<br /> <br /> TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA<br /> <br /> Trang | 84<br /> <br /> B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN<br /> Dạng 1. Phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và biết 1 véctơ chỉ phương.<br /> Phương pháp giải:<br /> Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , đường thẳng d đi qua điểm M 0  x0 ; y0 ; z0  và có một<br /> vectơ chỉ phương a   a1 ; a2 ; a3  với a12  a22  a32  0 có phương trình tham số là:<br />  x  x0  a1t<br /> <br />  y  y0  a2 t .<br /> z  z  a t<br /> 0<br /> 3<br /> <br /> <br /> VD 1.<br /> <br /> Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng  P  : x  2 y  3z  4  0 và<br /> <br />  Q  : 3x  2 y  5z  4  0. Giao tuyến của  P <br />  x  2  2t<br /> <br /> A.  y  1  7t .<br />  z  4t<br /> <br /> <br /> và  Q  có phương trình tham số là:<br /> <br />  x  2  2t<br /> <br /> B.  y  1  7t .<br />  z  4t<br /> <br /> <br />  x  2  2t<br /> <br /> C.  y  1  7t .<br /> <br />  z  4t<br /> <br />  x  2  2t<br /> <br /> D.  y  1  7t .<br /> <br />  z  4t<br /> <br /> Hướng dẫn giải<br />  x  2 y  3z  4  0<br /> ()<br /> Cách 1: Xét hệ <br /> 3 x  2 y  5 z  4  0<br /> Cho x  0 thay vào () tìm được y  8, z  4<br /> <br /> Đặt A(0; 8; 4)<br /> Cho z  0 thay vào () tìm được x  2, y  1<br /> Đặt B (2; 1; 0)  AB   2;7; 4  là một VTCP của  P    Q <br />  x  2  2t<br /> <br /> Như vậy, phương trình tham số của  P    Q  là  y  1  7t<br />  z  4t<br /> <br /> <br /> Chọn đáp án A.<br />  x  2 y  3z  4  0<br /> ()<br /> Cách 2: Xét hệ <br /> 3 x  2 y  5 z  4  0<br /> Cho z  0 thay vào () tìm được x  2, y  1<br /> Đặt B (2; 1; 0)<br /> <br />  P  : x  2 y  3z  4  0 có VTPT nP  (1; 2;3)<br />  Q  : 3x  2 y  5z  4  0 có VTPT nQ  (3; 2; 5)<br />  nP , nQ    4;14;8  chọn u  (2; 7; 4) là một VTCP của giao tuyến  P    Q <br />  x  2  2t<br /> <br /> Như vậy, PTTS của  P    Q  là  y  1  7t<br />  z  4t<br /> <br /> <br /> Chọn đáp án A.<br /> Cách 3: (kỹ năng máy tính cầm tay)<br /> Xem như phím A,B,C (trên máy) là x, y, z (trong phương trình), nhập cùng lúc 2 biểu thức<br /> SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM<br /> <br /> TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA<br /> <br /> Trang | 85<br /> <br /> A  2B  3C  4:3A  2B  5C  4<br /> <br /> Rút toạ độ điểm ( x0 ; y0 ; z0 ) từ trong các PTTS của các câu, dùng lệnh CALC nhập vào máy.<br /> KQ ứng với câu nào cho 2 đáp số cùng bằng 0 thì nhận (ở bài này tạm thời nhận A và B)<br /> Tiếp tục cho t  1 (ngoài nháp) vào mỗi PTTS được nhận để có bộ số ( x; y; z ) lại thay vào 2<br /> biểu thức đã nhập trên màn hình<br /> Lại tìm bộ số cho 2 đáp số cùng bằng 0 (ở bài này câu A đảm bảo điều đó nên đáp án là A)<br /> VD 2.<br /> <br /> Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm M 1; 2;0  và có<br /> véctơ chỉ phương u  0;0;1 . Đường thẳng d có phương trình tham số là:<br /> x  1<br /> <br /> A.  y  2 .<br /> z  t<br /> <br /> <br /> x  1 t<br /> <br /> B.  y  2  2t .<br /> z  t<br /> <br /> <br /> x  t<br /> <br /> C.  y  2t .<br /> z  1<br /> <br /> <br />  x  1  2t<br /> <br /> D.  y  2  t .<br /> z  0<br /> <br /> <br /> Hướng dẫn giải<br /> <br />  x  x0  at<br /> <br /> Học thuộc lòng công thức  y  y0  bt và thay số vào nhé<br />  z  z  ct<br /> 0<br /> <br /> <br />  x  1  0t<br /> x  1<br /> <br /> <br />  y  2  0t   y  2<br />  z  0  1t<br /> z  t<br /> <br /> <br /> <br /> Chọn đáp án A.<br /> VD 3.<br /> <br /> Phương trình tham số của đường thẳng d biết đi qua điểm M (1; 2;3) và có véctơ chỉ<br /> a  1; 4;5  là<br /> <br /> x  1 t<br /> <br /> A.  y  2  4t .<br />  z  3  5t<br /> <br /> <br /> x  1 t<br /> <br /> B.  y  4  2t .<br />  z  5  3t<br /> <br /> <br /> x  1 t<br /> <br /> C.  y  2  4t .<br />  z  3  5t<br /> <br /> <br /> x  1 t<br /> <br /> D.  y  4  2t .<br />  z  5  3t<br /> <br /> <br /> Hướng dẫn giải<br /> Đường thẳng d đi qua điểm M (1; 2;3) và có một vectơ chỉ phương a  1; 4;5  có phương<br /> x  1 t<br /> <br /> trình tham số là:  y  2  4t .<br />  z  3  5t<br /> <br /> <br /> Chọn đáp án A.<br /> VD 4.<br /> <br /> Phương trình tham số của đường thẳng d biết đi qua điểm M (0; 2;5) và có véctơ chỉ<br /> a  1; 1;3 là<br /> <br />  x  1  0t<br /> <br /> A.  y  1  2t<br />  z  3  5t<br /> <br /> <br /> x  1 t<br /> <br /> B.  y  4  2t<br />  z  5  3t<br /> <br /> <br />  x  0  2t<br /> <br /> C.  y  2  2t<br />  z  5  6t<br /> <br /> <br /> Hướng dẫn giải<br /> SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM<br /> <br />  x  0  2t<br /> <br /> D.  y  2  2t<br />  z  5  6t<br /> <br /> <br /> TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA<br /> <br /> Trang | 86<br /> <br /> Đường thẳng d đi qua điểm M (0; 2;5) và có vectơ chỉ phương a  1; 1;3 có phương trình<br />  x  0  2t<br /> <br /> tham số là:  y  2  2t .<br />  z  5  6t<br /> <br /> <br /> Chọn đáp án C.<br /> VD 5.<br /> <br /> Phương trình tham số của đường thẳng d biết đi qua điểm M (1; 2;3) và có véctơ chỉ<br /> a   2;0;0  là<br /> <br /> x  1 t<br /> <br /> A.  y  2  t .<br /> z  3  t<br /> <br /> <br /> x  1 t<br /> <br /> B.  y  0  2t .<br />  z  0  3t<br /> <br /> <br /> x  1 t<br /> <br /> C.  y  2 .<br /> z  3<br /> <br /> <br /> x  1 t<br /> <br /> D.  y  2  t .<br /> z  3<br /> <br /> <br /> Hướng dẫn giải<br /> Đường thẳng d đi qua điểm M (1; 2;3) và có véctơ chỉ phương a   2;0;0  có phương trình<br /> x  1 t<br /> <br /> tham số là:  y  2 .<br /> z  3<br /> <br /> <br /> Chọn đáp án C.<br /> VD 6.<br /> <br /> Phương trình tham số của đường thẳng d biết đi qua gốc tọa độ O và có véctơ chỉ phương<br /> a   2; 3;1 là<br /> <br /> x  2  t<br /> <br /> A.  y  3  t .<br /> z  1 t<br /> <br /> <br />  x  0  2t<br /> <br /> B.  y  0  3t .<br /> z  0  t<br /> <br /> <br />  x  1  2t<br /> <br /> C.  y  0  3t .<br /> z  0  t<br /> <br /> <br /> x  1 t<br /> <br /> D.  y  2  t .<br /> z  3<br /> <br /> <br /> Hướng dẫn giải<br /> Đường thẳng d đi qua điểm qua gốc tọa độ O và có véctơ chỉ phương a   2; 3;1 có phương<br />  x  0  2t<br /> <br /> trình tham số là:  y  0  3t .<br /> z  0  t<br /> <br /> <br /> Chọn đáp án B.<br /> Dạng 2. Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm M ; N .<br /> Phương pháp giải:<br />  Tìm tọa độ véctơ MN<br />  Phương trình đường thẳng cần tìm đi qua M ( hoặc N ) và có véctơ chỉ phương cùng<br /> phương với véctơ MN<br /> VD 7.<br /> <br /> Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đoạn thẳng AB với hai đầu mút lần lượt là A  2;3; 1<br /> và B 1; 2; 4  có phương trình tham số là:<br /> <br /> SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM<br /> <br />