intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Phương trình đường thẳng trong không gian

Chia sẻ: Trần Thị Thủy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:14

Thêm vào BST
Báo xấu
146
lượt xem 26
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo phương trình đường thẳng trong không gian dành cho các em học sinh lớp 12 củng cố lại kiến thức và rèn luyện các phương pháp giải các bài tập được tốt hơn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Phương trình đường thẳng trong không gian

  1. Phương trình ư ng th ng trong không gian PHƯƠNG TRÌNH Ư NG TH NG TRONG KHÔNG GIAN I. VÉCTƠ C TRƯNG C A Ư NG TH NG TRONG KHÔNG GIAN: 1. Véctơ a = ( a1 ; a 2 ; a 3 ) là véc tơ ch phương (VTCP) c a (∆) ⇔ (∆) // giá c a a 2. Nh n xét: N u a là m t VTCP c a (∆) thì ka (k ≠ 0) cũng là VTCP c a (∆) t c là (∆) có vô s VTCP. II. PHƯƠNG TRÌNH Ư NG TH NG TRONG KHÔNG GIAN 1. Phương trình tham s : Phương trình ư ng th ng (∆) i qua M0(x 0, y 0, z0)  x = x 0 + a1t   và có VTCP a = ( a1 ; a 2 ; a 3 ) :  y = y 0 + a 2 t ( t ∈ » )   z = z 0 + a3t  2. Phương trình chính t c: Phương trình ư ng th ng (∆) i qua M0(x0, y0, z0) x − x0 y − y 0 z − z 0 và có VTCP a = ( a1 ; a 2 ; a 3 ) : = = a1 a2 a3 3. Phương trình t ng quát: Phương trình ư ng th ng (∆) t ng quát là giao  A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0  tuy n c a hai m t ph ng  v i A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B 2 : C 2  A2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0  4. Phương trình ư ng th ng (∆) i qua 2 i m M1 (x1, y1, z1), M2(x 2, y2, z2): x − x1 y − y1 z − z1 = = x 2 − x1 y 2 − y1 z 2 − z1 5. Chuy n d ng phương trình t ng quát sang d ng tham s , chính t c:  ( α ) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 Cho (∆):  ( A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B 2 : C 2 ) ( β ) : A2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0  n1 = ( A1 , B1 , C1 )  ⇒VTPT c a hai m t ph ng là  ⇒ VTCP a =  n1 , n 2    n 2 = ( A2 , B 2 , C 2 )  x − x0 y − y 0 z − z 0 Tìm i m M0(x0, y0, z0) ∈ (α) ∩ (β) ⇒ = = . a1 a2 a3 t t s này b ng t suy ra d ng tham s . 91
  2. Chương IV. Hình gi i tích – Tr n Phương III. V TRÍ TƯƠNG I C A CÁC Ư NG TH NG VÀ M T PH NG TRONG KHÔNG GIAN 1. V trí tương i c a 2 ư ng th ng: Cho (∆ 1) i qua M1(x 1; y 1 , z1) v i VTCP u = ( a1 , a 2 , a 3 ) , (∆2) i qua M2(x 2; y 2, z2) v i VTCP là v = ( b1 , b2 , b3 ) N u [u , v ] ⋅ M 1 M 2 ≠ 0 thì ( ∆ 1 ) , ( ∆ 2 ) chéo nhau. N u [u , v ] ⋅ M 1 M 2 = 0 và a1 : a 2 : a 3 ≠ b1 : b2 : b3 thì (∆1), (∆2) c t nhau. [u , v ] ⋅ M M = 0 ( ∆ 1 )  1 2  N u  và h phương trình c a  vô nghi m  a1 : a 2 : a 3 = b1 : b2 : b3  ( ∆ 2 )  thì (∆1), (∆2) song song nhau. [u , v ] ⋅ M M = 0 ( ∆ 1 )  1 2  N u  và h phương trình c a  có nghi m  a1 : a 2 : a 3 = b1 : b2 : b3  ( ∆ 2 )  thì (∆1), (∆2) trùng nhau. 2. V trí tương i c a ư ng th ng và m t ph ng: Cho (∆) i qua M0(x0 ; y0, z0) v i VTCP u = ( a, b, c ) và mp(α): Ax + By + Cz + D = 0 v i VTPT n = ( A, B, C ) N u n ⋅ u ≠ 0 ⇔ Aa + Bb + Cc ≠ 0 thì (∆) c t (α). N u n // u ⇔ a : b : c = A : B : C thì (∆) ⊥ (α). n ⋅ u = 0   Aa + Bb + Cc = 0  N u  ⇔  thì (∆) // (α). M 0 ∉ (α )   Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D ≠ 0  n ⋅ u = 0   Aa + Bb + Cc = 0  N u  ⇔  thì (∆) ⊂ (α). M 0 ∈ (α )   Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0  92
  3. Phương trình ư ng th ng trong không gian IV. GÓC GI A CÁC Ư NG TH NG VÀ M T PH NG TRONG KHÔNG GIAN 1. Góc gi a 2 ư ng th ng: Cho (∆1) i qua M 1(x1; y1, z1) v i VTCP u = ( a1 , a 2 , a 3 ) , (∆2) i qua M2(x 2; y2, z2) v i VTCP là v = ( b1 , b2 , b3 ) Góc gi a (( ∆ 1 ) , ( ∆ 2 ) ) = ϕ∈ [0, 90°] xác nh b i: u ⋅v a 1 b1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 cos ϕ = = u ⋅v a 12 + a 2 + a 3 2 2 b12 + b 2 + b 32 2 2. Góc gi a ư ng th ng và m t ph ng: Cho (∆) i qua M0(x0 ; y0, z0) v i VTCP u = ( a, b, c ) và mp(α): Ax + By + Cz + D = 0 v i VTPT n = ( A, B, C ) Góc gi a ( ( ∆ ) , ( α ) ) = ϕ∈ [ 0, 90°] xác nh b i: u ⋅n aA + bB + cC sin ϕ = = u ⋅ n a + b + c2 2 2 A2 + B 2 + C 2 3. Góc gi a hai m t ph ng: Góc gi a 2 m t ph ng (α 1): A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 và (α2): A2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 là ϕ (0 ≤ ϕ ≤ 90°) th a mãn: n1 .n2 A1 A2 + B1 B2 + C1C2 cos ϕ = = v i n1 , n 2 là 2 VTPT c a (α1), (α2). n1 n2 A12 + B12 + C12 A2 + B2 + C2 2 2 2 V. KHO NG CÁCH 1. Kho ng cách t 1 i m n 1 ư ng th ng: Cho (∆) i qua M0(x0 ; y0, z0) v i VTCP u = ( a, b, c ) . Kho ng cách t i m   u ⋅ M 0 M 1  M1(x1; y 1, z1) n ư ng th ng (∆) là: d ( M 1 , ( ∆ ) ) = u 2. Kho ng cách gi a 2 ư ng th ng chéo nhau: Cho (∆ 1) i qua M1(x 1; y 1 , z1) v i VTCP u = ( a1 , a 2 , a 3 ) , (∆2) i qua M2(x 2; y2, z2) v i VTCP là v = ( b1 , b2 , b3 ) [ u , v ] ⋅ M 1M 2 Gi s ( ∆1 ) , ( ∆ 2 ) chéo nhau, khi ó d ( (∆ 1 ),(∆ 2 ) ) = [u , v ] 93
  4. Chương IV. Hình gi i tích – Tr n Phương 3. Kho ng cách t 1 i m n 1 m t ph ng: Kho ng cách t M0(x0, y0 , z0) n m t ph ng (α): Ax + By + Cz + D = 0 là: Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D d ( M , α) = A2 + B 2 + C 2 VI. CÁC D NG BÀI T P 1. D ng 1: Xác nh v trí tương i c a các ư ng th ng và m t ph ng ( ∆ 1 ) ( ∆ )   Phương pháp: Gi i h PT t o b i  ;  ho c s d ng d u hi u nh n ( ∆ 2 )  ( α )  bi t qua h th c c a các véctơ Bài 1. Xét v trí tương i b ng 2 cách khác nhau:  x = 9t   2 x − 3 y − 3z − 9 = 0 ( ∆ 1 ) :  y = 5t (∆ 2 ) :   ;  x − 2 y + z + 3 = 0   z = −3 + t  x − 2 y + 3 = 0  y + 2z − 8 = 0 ( ∆1 ) :   (∆ 2 ) :   2 x + 3 y = 0  x + z − 8 = 0   x = 1 + 2t   Bài 2. Xác nh giao i m c a ư ng th ng ( ∆ ) :  y = 1 − t ( t ∈ » ) v i m t  z = 1 + t  ph ng ( α ) : 2 x + y − z − 2 = 0 x + y + z − 2 = 0  Bài 3. Xác nh giao i m c a ư ng th ng ( ∆ ) :  v im t x + 2 y − z − 1 = 0  ph ng ( α ) : x + y + 2 z − 1 = 0 Bài 4. Cho 3 ư ng th ng:  x = 3t   x − y + 3z − 3 = 0 (∆3 ) :  − y+2 ( ∆1 ) :  y = 1 − t , ( ∆ 2 ) : x 1 1 = 4 = z − 2 , 3  z = 5 + t 2 x − y + z + 1 = 0   a. Xét v trí tương i c a các c p 2 ư ng th ng v i nhau. b. Vi t phương trình ư ng th ng (∆) song song v i (∆1), c t (∆2) và (∆ 3) 94
  5. Phương trình ư ng th ng trong không gian 2. D ng 2: Xác nh hình chi u vuông góc c a 1 i m M lên m t ph ng (α) α Phương pháp: Vi t phương trình tham s c a ư ng th ng (∆ ) qua M và (∆ ) ⊥(α) Giao i m H c a (∆ ) và (α) là hình chi u vuông góc c a M lên (α) Bài 1. Tìm hình chi u vuông góc c a M(1; 2;−3) lên ( α ) : x + y − 3 z + 5 = 0 3. D ng 3: Xác nh i m i x ng v i i m M cho trư c qua m t ph ng (α) α Phương pháp: Tìm hình chi u vuông góc H c a M lên (α ). Gi s M(x1, y 1 , z1), H(x0 , y0, z0), khi ó i m M’ i x ng M qua (α) là M ′ ( 2 x 0 − x1 , 2 y 0 − y1 , 2 z 0 − z1 ) Bài 1. Xác nh i m i x ng v i i m M(13; 2; 3) qua m t ph ng (α): x + y – 3z + 5 = 0 4. D ng 4: Xác nh hình chi u vuông góc c a 1 i m M lên ư ng th ng (∆) ∆ Phương pháp 1: Vi t PT m t ph ng (α) qua M và (α ) ⊥ (∆ ). Giao i m H c a (∆) và (α ) là hình chi u vuông góc c a M lên (∆) Phương pháp 2: Vi t PT tham s c a (∆ ) ⇒ T a H theo tham s t. MH ⊥ u là véctơ ch phương c a (∆). GPT MH ⋅ u = 0 ⇒ tham s t ⇒ T a H Bài 1. Xác nh hình chi u vuông góc c a M(−1; −1; 1) lên ư ng th ng (∆): { x = 1 + t ; y = 2 + t ; z = −3 − 3t} 5. D ng 5: Xác nh i m i x ng v i i m M cho trư c qua ư ng th ng (∆) ∆ Phương pháp: Tìm hình chi u vuông góc H c a M lên (∆ ) Gi s M(x1, y 1 , z1), H(x0 , y0, z0), khi ó i m M’ i x ng M qua (∆) là M ′ ( 2 x 0 − x1 , 2 y 0 − y1 , 2 z 0 − z1 ) Bài 1. Xác nh i m i x ng v i i m M(0; 2; −1) lên ư ng th ng (∆): { x = 1 + t ; y = 2 + t ; z = 3 − 3t} 6. D ng 6: Xác nh hình chi u vuông góc c a ư ng th ng (∆) lên m t ph ng (α) ∆ α Phương pháp: TH1: (∆ ) ⊥ (α ) ⇒ Hình chi u vuông góc c a (∆ ) lên (α ) là i m H≡ (∆) ∩ (α ) 95
  6. Chương IV. Hình gi i tích – Tr n Phương TH2: (∆ ) ⊂ (α ) ⇒ Hình chi u vuông góc c a (∆ ) lên (α ) là ư ng th ng (∆) TH3: (∆ ) không vuông góc v i (α), (∆ ) ⊄ (α ): C1: Vi t phương trình m t ph ng (β ) ch a (∆ ) và (β ) ⊥ (α ). Hình chi u vuông góc c a (∆) lên (α) là ư ng th ng (∆ ’) = (β ) ∩ (α ). C2: L y 2 i m A, B phân bi t thu c (∆ ). Xác nh hình chi u vuông góc c a A, B lên (α ) là H1, H2. Hình chi u vuông góc c a (∆) lên (α) là ư ng th ng (∆ ’) ≡ H1 H2 C3: N u (∆ ) c t (α ): Xác nh A ≡ (∆ ) ∩ (α ). L y M b t kì ∉ (∆) và M ≠ A. Xác nh hình chi u vuông góc H c a M lên (α). Hình chi u vuông góc c a (∆) lên (α) là (∆ ’) ≡ AH 5 x − 4 y − 2 z − 5 = 0  Bài 1. Xác nh hình chi u vuông góc c a (∆):  x + 2z − 2 = 0  lên m t ph ng (α): 2x – y + z – 1 = 0 7. D ng 7: Xác nh hình chi u song song c a ư ng th ng (∆1) lên (α) ∆ α theo phương (∆2) c t (α) ∆ α Phương pháp: TH1: (∆1 ) // (∆ 2) ⇒ Hình chi u song song c a (∆1 ) lên (α ) theo phương (∆2 ) là i m H≡ ( ∆1 ) ∩ (α ) TH2: (∆1 ) và (∆2 ) không song song: Vi t phương trình m t ph ng (β ) ch a (∆1 ) và // (∆2 ) Hình chi u song song c a (∆1) lên (α) theo phương (∆2) là (∆) = (β) ∩ (α) 7 x + y − z − 1 = 0  Bài 1. Xác nh hình chi u song song c a t (∆1):  lên (α):   x + 2y + z +1= 0 y +1 z + 2 x − 2 y + 2 z − 3 = 0 theo phương (∆ 2): x − 1 = = 2 1 3 8. D ng 8: VPT ư ng th ng (∆) qua M và c t (∆1), (∆2) v i (∆1), (∆2) chéo ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ nhau và không i qua M Phương pháp 1: Vi t phương trình m t ph ng (α ) qua M ch a (∆ 1) N u cho (∆1) dư i d ng t ng quát thì nên vi t phương trình (α) dư i d ng chùm N u (∆1 ) d ng tham s thì l y 2 i m A, B ∈ (∆1 ) 96
  7. Phương trình ư ng th ng trong không gian ⇒ Phương trình (α ) qua 3 i m A, B, M. N u (α ) // (∆2 ) thì bài toán vô nghi m. N u (α) c t (∆2 ) thì tìm N = (∆ 2) ∩ (α ) N u MN // (∆ 1) thì bài toán vô nghi m, n u MN c t (∆1 ) suy ra ư ng th ng c n tìm là (∆) ≡ MN. Phương pháp 2: Vi t phương trình m t ph ng (α ) qua M ch a (∆ 1), m t ph ng (β ) qua M ch a (∆2 ) Xét (∆) = (α ) ∩ (β ). N u (∆) c t (∆1 ) và (∆2 ) thì ư ng th ng (∆ ) là ư ng th ng c n tìm. N u (∆ ) // (∆1 ) ho c (∆ 2) thì bài toán vô nghi m. y − 2 = 0  Bài 1. VPT T (∆) qua M(1; 3; 0) và (∆) c t (∆1):  , 2 x − z − 5 = 0  (∆2): { x = 1 + 2t , y = 3 − t , z = 4 + t} 9. D ng 9: VPT ư ng th ng (∆) c t (∆1), (∆2) và song song v i (∆3) ∆ ∆ ∆ ∆ Phương pháp 1: Vi t phương trình m t ph ng (α ) ch a (∆1 ) và // (∆3 ), m t ph ng (β ) ch a (∆2 ) và // (∆3 ) N u (α ) // (β ) thì bài toán vô nghi m. N u (α ) c t (β ) thì xét (∆ ) = (α) ∩ (β). N u (∆ ) c t (∆1 ) và (∆2 ) thì ư ng th ng (∆) là ư ng th ng c n tìm. N u (∆ ) // (∆ 1) ho c (∆2 ) thì bài toán vô nghi m. Phương pháp 2: Vi t phương trình tham s c a (∆1 ) theo t1, c a (∆ 2) theo t2. L y M ∉ (∆1 ), N ∉ (∆2 ) ⇒ T a M, N theo t1, t2. ⇒ MN theo t1, t2. Xác nh t1, t2 sao cho MN // (∆ 3) ⇒ ư ng th ng (∆ ) c t (∆1 ), (∆ 2) và song song v i (∆3 ) là (∆ ) ≡ MN Phương pháp 3: G i M(x0, y0, z0) là giao i m c a (∆) và (∆ 1). (∆) nh n VTCP c a (∆3) làm VTCP ⇒ Phương trình tham s c a (∆) theo x0, y0, z0. ( ∆ )  (∆ ) c t (∆ 2) suy ra h  có nghi m ⇒ x 0, y0, z0. ⇒ Phương trình (∆ ) ( ∆ 2 )  y − 2 = 0  Bài 1. VPT ư ng th ng (∆) c t (∆1):  , (∆2): 2 x − z − 5 = 0  { x = 1 + 2t , y = 3 − t , z = 4 + t} và // v i tr c Oz. 97
  8. Chương IV. Hình gi i tích – Tr n Phương y + 2 z −1 y −3 z −9 Bài 2. VPT T (∆) c t (∆1): x − 2 = = , (∆2): x − 7 = = 3 4 1 1 2 1 y+3 z−2 và // (∆3): x + 1 = = 3 −2 1 10. D ng 10: VPT ư ng th ng (∆) qua M và vuông góc (∆1), c t (∆2) trong ∆ ∆ ∆ ó M ∉ (∆1), (∆2) ∆ ∆ Phương pháp: Vi t phương trình m t ph ng (α ) qua M và ⊥ (∆1 ), m t ph ng (β ) qua M ch a (∆ 2) N u (α ) // (β ) thì bài toán vô nghi m. N u (α ) c t (β ) thì xét (∆ ) = (α) ∩ (β). N u (∆ ) c t (∆2 ) thì ư ng th ng (∆ ) là ư ng th ng c n tìm. N u (∆ ) // (∆ 2) thì bài toán vô nghi m. y +1 z + 2 Bài 1. VPT ư ng th ng (∆) qua M(1; 2; 0) và ⊥ (∆1): x − 1 = = , 2 2 1 7 x + y − z − 1 = 0  c t (∆ 2):  x + 2 y + z + 1 = 0  11. D ng 11: VPT ư ng vuông góc chung c a 2 ư ng th ng (∆1), (∆2) ∆ ∆ chéo nhau a. TH c bi t: (∆ 1) ⊥ (∆2): Vi t phương trình m t ph ng (α ) ch a (∆1 ) và (α) ⊥ (∆2 ) Tìm M = ( ∆ 2 ) ∩ ( α ) , H là hình chi u vuông góc c a M lên (∆1 ) ⇒ MH là ư ng vuông góc chung c a (∆1 ), (∆2) b. Phương pháp 1: Vi t phương trình (∆1 ), (∆ 2) dư i d ng tham s L y M∈ (∆ 1), N∈ (∆ 2) ⇒ T a M, N theo t1 , t 2 ⇒ MN theo t1 , t 2 . MN là ư ng vuông góc chung c a (∆1 ), (∆ 2) ⇒ MN ⊥ ( ∆ 1 ) , MN ⊥ ( ∆ 2 ) ⇒ t1 , t 2 ⇒ MN. c. Phương pháp 2: G i a1 , a 2 là VTCP c a (∆1 ) và (∆ 2) ⇒ ư ng vuông góc chung (∆) có VTCP a = a1 , a2    Vi t phương trình m t ph ng (α ) ch a (∆1 ) và // (∆), m t ph ng (β) ch a (∆2 ) và // (∆) ⇒ (∆) = (α) ∩ (β). 98
  9. Phương trình ư ng th ng trong không gian Bài 1. Cho A(6; 3; 0), B(−2; 9; 1), S(0; 5; 8). Vi t phương trình ư ng vuông góc chung c a SB, OA. Bài 2. Vi t phương trình ư ng vuông góc chung c a x + y + z − 3 = 0 x − 2 y − 2z + 9 = 0 ( ∆1 ) :  y + z − 1 = 0 và ( ∆ 2 ) :   y − z +1= 0 Bài 3. Vi t phương trình ư ng vuông góc chung c a  x = 1 + 2t1 x = 2 + t2 ( ∆ 1 ) :  y = 2 + t1 và ( ∆ 2 ) :  y = −3 + 2t 2    z = −3 + 3t  z = 1 + 3t  1  2 Bài 4. VPT ư ng vuông góc chung c a 3 x − 2 y − 8 = 0 ( ∆ 1 ) : 5 x + 2 z − 12 = 0 và ( ∆ 2 ) : {x = −1 + 3t; y = −3 − 2t; z = 2 − t}  x = 2 + t  x + 2z − 2 = 0 Bài 5. Cho ( ∆ 1 ) :  y = 1 − t và ( ∆ 2 ) :  .  z = 2t y − 3 = 0  Vi t phương trình m t ph ng cách u (∆ 1) và (∆2). 12. D ng 12: Các bài toán v kho ng cách 12.1. Tính kho ng cách: y +1 z −1 Bài 1. Tính kho ng cách t M(1; 2; 3) n (∆) : x − 1 = = 2 1 3 Bài 2. Cho A(1; 2; 3), B(0; 1; 2), C(4;−1; 1). Tính kho ng cách t A n BC. Bài 3. Tính kho ng cách gi a 2 ư ng th ng x + y = 0 ( ∆ 1 ) :  x − y + z − 4 = 0 ( ∆ 2 ) : { x = 1 + 3t; y = −t; z = 2 + t}  Bài 4. Tính kho ng cách gi a 2 ư ng th ng − y −2 z −3 x + 2 y − z = 0 ( ∆1 ) : x 1 1 = 2 = 3 , ( ∆ 2 ) : 2 x − y + 3z − 5 = 0  Bài 5. Tính kho ng cách gi a 2 ư ng th ng  x + 8 z + 23 = 0 x − 2z − 3 = 0 ( ∆ 1 ) :  y − 4 z + 10 = 0 , ( ∆ 2 ) :  y + 2 z + 2 = 0   Bài 6. Tính kho ng cách gi a 2 m t ph ng (α): 2x + y + z – 1 = 0 và (β):2x + y + z + 10 = 0. 99
  10. Chương IV. Hình gi i tích – Tr n Phương Bài 7. Cho A(5; 7;−2), B(3;1;1), C(9; 4;−4). Tính kho ng cách t D(−1; 5; 0) n (ABC) 12.2. Tìm i m bi t kho ng cách cho trư c: Bài 1. Cho (α): x + 2y – 2z – 2 = 0. Tìm M∈Oy sao cho kho ng cách t M n (α) b ng 4. Bài 2. Cho A(1;−2; 0). Tìm M∈Oz sao cho kho ng cách t M n (α): 3x – 2y + 6z + 9 = 0 b ng MA. Bài 3. Cho (α): x + y + z + 5 = 0. 2 x + y + z − 1 = 0 Tìm M∈(∆):  sao cho d ( M , ( α ) ) = 3 . x + y + 2z + 3 = 0 Bài 4. Cho (α): 12x – 16y + 15z + 1 = 0 và (β): 2x + 2y – z – 1 = 0. Tìm M∈Ox cách u (α) và (β) 12.3. Các bài toán v t ng, hi u kho ng cách l n nh t, nh nh t: a. D ng 1: Cho 2 i m A ( x1 , y1 , z1 ) ; B ( x 2 , y 2 , z 2 ) . Tìm M∈(P): ax + by + cz + d = 0 (MA + MB) min. Phương pháp: Xác nh v trí tương i c a A, B i v i m t ph ng (P) b ng cách tính các i lư ng: t A = ax1 + by 1 + cz1 + d ; t B = ax 2 + by 2 + cz 2 + d N u t A t B < 0 ⇔ A, B khác phía i v i (P). G i M 0 ≡ (AB)∩ (P), khi ó MA + MB ≥ AB = M 0A + M0 B. N u t A t B > 0 ⇔ A, B cùng phía i v i (P). L y A1 i x ng A qua (P). G i M0 ≡ (A1 B)∩ (P). Khi ó MA + MB = MA1 + MB ≥ A1 B = M 0A1 + M 0 B. b. D ng 2: Cho 2 i m A ( x1 , y1 , z1 ) ; B ( x 2 , y 2 , z 2 ) . Tìm M∈(P): ax + by + cz + d = 0 |MA – MB| max. Phương pháp: Xác nh v trí tương i c a A, B i v i m t ph ng (P) b ng cách tính các i lư ng: t A = ax1 + by 1 + cz1 + d ; t B = ax 2 + by 2 + cz 2 + d N u t A t B > 0 ⇔ A, B cùng phía i v i (P). G i M 0 ≡ (AB)∩ (P), khi ó |MA – MB| ≤ AB = | M0 A – M 0B|. N u t A t B < 0 ⇔ A, B khác phía i v i (P) L y A1 i x ng A qua (P). G i M0 ≡ (A1B)∩ (P).Khi ó |MA – MB| = |MA1 – MB| ≤ A1B = | M0A1 – M0B| 100
  11. Phương trình ư ng th ng trong không gian b. D ng 3: Cho 2 i m A ( x1 , y1 , z1 ) ; B ( x 2 , y 2 , z 2 ) . Tìm M∈(∆) cho trư c sao cho (MA + MB) min. Phương pháp: Xác nh t a các i m A’, B’ là hình chi u tương ng c a các i m A, B lên (∆ ). G i M0 là i m chia o n A’B’ theo t s M 0 A' AA ' k= =− . Ta ch ng minh MA + MB ≥ M 0A + M0 B M 0B' BB ' Th t v y, g i A1 ∈(P) = ((∆), B) sao cho A 1 khác phía B so v i (∆ ) và th a mãn  A1 A ' = AA '  A A′ M A′  ⇒ 1 = 0 ⇒ A1, M 0 ,B th ng hàng  A1 A ' ⊥ ( ∆ )  B1 B ′ M 0 B ′ ⇒ MA + MB = MA1 + MB ≥ A1 B = M 0A1 + M 0B = M0 A + M 0B Bài 1. Cho A(−7; 4; 4), B(−6; 2; 3). Tìm M∈(P): 3x – y – 2z + 19 = 0 (MA + MB) min;|MA – MB| max. Bài 2. Cho A(1; 2; 3), B(4; 4; 5). Tìm M∈ m t ph ng Oxy sao cho: (MA + MB) min; |MA – MB| max. Bài 3. Cho A(1; 0; 2), B(2; −1; 3). Tìm M∈ ( P ) : x − 2 y + z − 4 = 0 (MA + MB) min; |MA – MB| max. Bài 4. Cho A(1; 3; −2), B(13; 7; −4). Tìm M∈ ( P ) : x − 2 y + 2 z − 9 = 0 (MA + MB) min; |MA – MB| max. Bài 5. Cho A(1; 2;−1), B ( 2 − 2; 2; −3) . x + y + z − 3 = 0 Tìm M∈ ( ∆ ) :  sao cho (MA + MB) min. y + z − 5 = 0 Bài 6. Cho A(1; 1; 0), B(3;−1; 4). y −1 z + 2 Tìm M∈ ( ∆ ) : x + 1 = = sao cho (MA + MB) min. 1 −1 2  A(1;2; −1) y−2 z −2 Bài 7. Cho  Tìm M∈ ( ∆) : x + 1 = = sao cho (MA + MB) min. B ( 7; −2;3)  3 −2 2 Bài 8. Cho A(2; 3; 0) và B ( 0; − 2; 0 ) . x + y + z − 2 = 0 Tìm M∈ ( ∆ ) :  sao cho (MA + MB) min. x − y + z − 2 = 0 101
  12. Chương IV. Hình gi i tích – Tr n Phương 13. D ng 13: Các bài toán v góc Bài 1. Xác nh góc gi a 2 m t ph ng ( P ) : x + y + 2z + 4 = 0, ( P2 ) : 2x + y + z + 1 = 0 1 Bài 2. Cho t di n ABCD v i A(1; 0; 1), B(2; 1; 0), C(−1; 0;−2), D(−2; 1; 1). Tính góc c a m i c p c nh i c a ABCD; Tính góc ((AB); (BCD)). Bài 3. Cho ( P1 ) : 3 x − y − z + 2 = 0 , ( P2 ) : x + 2 y + z − 3 = 0 , ( P3 ) : − x + 3 y − 2 z + 1 = 0 . G i (∆) là giao tuy n c a (P1) và (P2). Tính góc gi a (∆) v i giao tuy n c a (P1), (P3) và v i m t ph ng (P3). x = 2 + t 3 x − y − 1 = 0  Bài 4. Cho ( ∆ 1 ) :  và ( ∆ 2 ) :  y = −1 . Tìm m :  z − 3y − 5 = 0  z = 1 + mt  a. Góc gi a (∆1) và (∆2) b ng 45° b. Góc gi a (∆1) và (∆2) b ng 60°. Khi ó tính góc gi a (P) v i (∆2) bi t r ng (P) ⊥ (∆1). Bài 5. Cho A(0;−2; −2), B(−1; −1; 0), C(−2; −2; 0), D − 1 ; −1; 0 . 2 ( ) a. Tính góc gi a ((ABC); (ABD)) b. Tính góc và kho ng cách gi a 2 ư ng th ng (AD) và (BC). y+2 z 14. Bài m u. Trong h Oxyz cho A(1; 4; 2); B(−1; 2; 4) và ( d ) : x − 1 = = −1 1 2 1. Tìm t a i m M thu c ư ng th ng (d) sao cho: a) MA + MB nh nh t; b) MA 2 + MB 2 nh nh t; c) MA + MB nh nh t d) Di n tích tam giác AMB nh nh t 2. VPT m t ph ng (P) ch a (d) sao cho kho ng cách t A n (P) là l n nh t. 3. VPT m t ph ng (Q) ch a (d) và t o v i m t ph ng (xOy) m t góc nh nh t. 4. VPT m t ph ng (R) ch a ư ng th ng (d) và t o v i tr c Oy góc l n nh t. 5. Trong s các ư ng th ng i qua A và c t ư ng th ng (d), vi t phương trình các ư ng th ng sao cho kho ng cách t B n nó là l n nh t? nh nh t? Gi i 1. M (1 − t ; − 2 + t ; 2t ) ∈ d ⇒ MA = ( t ; 6 − t ; 2 − 2t ) , MB = ( −2 + t ; 4 − t ; 4 − 2t ) 2 a. MA + MB = ( −2 + 2t ; 10 − 2t ; 6 − 4t ) . Suy ra MA + MB = 24 ( t − 2 ) + 44 Do ó MA + MB nh nh t khi t = 2 và lúc ó M ( −1; 0; 4 ) 102
  13. Phương trình ư ng th ng trong không gian 2 b. Ta có MA 2 + MB 2 = 12t 2 − 48t + 76 = 12 ( t − 2 ) + 28 V y MA 2 + MB 2 nh nh t khi t = 2 và khi ó M ( −1; 0; 4 ) c. Ta s xác nh hình chi u A1 , B1 c a hai i m A, B lên ư ng th ng (d) 3 ( 3 3 3 ) MA 2 = 2 ( 3t 2 − 10t + 20 ) min ⇔ t = 5 ⇔ M ≡ A1 − 2 ; − 1 ; 10 v i AA1 ⊥ ( d ) MB 2 = 2 ( 3t 2 − 14t + 18 ) min ⇔ t = 7 ⇔ M ≡ B ( − 4 ; 1 ; 14 ) v i BB ⊥ ( d ) 1 1 3 3 3 3 AA1 = 1 210 ; BB1 = 1 30 . i m M c n tìm là i m chia o n A1 B1 theo t 3 3 AA1  −2 (1 + 2 7 ) 10 − 14 7  s k =− = − 7 nên t a c a M là  ; − 1;  BB1  3 (1 + 7 ) 3 3 (1 + 7 )    d. AM ( −t ; − 6 + t ; − 2 + 2t ) ; AB ( −2; − 2; 2) ;  AM ; AB  = ( 6t −16; − 2t + 4; 4t −12)   S AMB = 1  AM ; AB  = 1 ( 6t − 16 ) + ( −2t + 4 ) + ( 4t − 12 ) = 1 56t 2 − 304t + 416 2 2 2 2   2 2 D th y S AMB nh nh t khi t = 112 7 ( 304 = 19 , khi ó M − 12 ; 5 ; 38 . 7 7 7 ) x + y + 1 = 0  2. PT t ng quát c a (d) là  . Vì m t ph ng (P) ch a ư ng th ng 2 y − z + 4 = 0  (d) nên (P) có phương trình a ( x + y + 1) + b ( 2 y − z + 4 ) = 0 v i a 2 + b 2 ≠ 0 2.4 − 2 + 4 • N u a = 0 thì (P): 2 y − z + 4 = 0 . Khi ó d ( A; ( P ) ) = = 10 = 2 5 2 5 2 + ( −1) 2 • N u a ≠ 0 thì có th gi s a = 1 . Khi ó ( P ) : x + (1 + 2b ) y − bz + 1 + 4b = 0 . 2 5b + 3 ( 5b + 3) 2 Suy ra d ( A; ( P ) ) = . Xét hàm s f (b) = . 5b 2 + 4b + 2 5b 2 + 4b + 2 2 Ta có f ′ ( b ) = −50b + 10b + 24 = 0 ⇔ b = 4 ∨ b = − 3 ( 5b 2 + 4b + 2 ) 2 5 5 () 6 ( ) Do f 4 = 35 ; f − 3 = 0 ; lim f ( b ) = 5 nên d ( A; ( P ) ) l n nh t b ng 2 35 . 5 5 b →∞ 6 K t lu n: So sánh hai trư ng h p ta có Max d ( A; ( P ) ) = 2 35 khi b = 4 , lúc ó 6 5 phương trình (P) có d ng x + 13 y − 4 z + 21 = 0 , hay ( P ) : 5 x + 13 y − 4 z + 21 = 0 5 5 5 3. Do (Q) ch a (d) nên PT (Q): a ( x + y + 1) + b ( 2 y − z + 4 ) = 0 v i a 2 + b 2 ≠ 0 . M t ph ng (xOy) có phương trình z = 0 103
  14. Chương IV. Hình gi i tích – Tr n Phương • N u a = 0 thì (Q): 2 y − z + 4 = 0 và khi ó cos α = 1 . 5 • N u a ≠ 0 ta có th gi s a = 1 . Khi ó (Q): x + (1 + 2b ) y − bz + 1 + 4b = 0 . T ó cos α = b . Xét hàm s g (b) = b2 = cos 2 α . 2 5b 2 + 4b + 2 5b + 4b + 2 Ta có g ′ ( b ) = 4b 2 + 4b = 0 ⇔ b = 0 ∨ b = −1 ( 5b 2 + 4b + 2 ) 2 Do g ( 0 ) = 0; g ( −1) = 1 ; lim g ( b ) = 1 nên cos α l n nh t b ng 1 khi b = −1 3 b→∞ 5 3 K t lu n: So sánh hai trư ng h p trên ta th y cos α l n nh t hay (Q) t o v i m t ph ng (xOy) góc nh nh t khi b = −1 . Lúc ó (Q) x − y + z − 3 = 0 4. PT (R): a ( x + y + 1) + b ( 2 y − z + 4 ) = 0 . Tr c Oz có VTCP là v ( 0; 1; 0 ) N u a = 0 thì (R): 2 y − z + 4 = 0 thì β = ((Q), Oy) th a mãn sin β = 2 . 5 N u a ≠ 0 ta có th gi s a = 1 . Khi ó (R): x + (1 + 2b ) y − bz + 1 + 4b = 0 2 1 + 2b Khi ó sin β = . Xét hàm s h ( b ) = 4b2 + 4b + 1 = sin 2 β . 5b 2 + 4b + 2 5b + 4b + 2 2 Ta có h ′ ( b ) = −4b + 6b + 42 = 0 ⇔ b = 2 ∨ b = − 1 . ( 5b 2 + 4b + 2 ) 2 6 ( ) Do h ( 2 ) = 5 ; h − 1 = 0 ; lim h ( b ) = 4 nên sin β l n nh t b ng 5 , khi b = 2 . 2 b →±∞ 5 6 K t lu n: So sánh hai trư ng h p ta th y sin β l n nh t khi b = 2 . Khi ó m t ph ng (R) có phương trình x + 5 y − 2 z + 9 = 0 . 5. Gi s d 2 là ư ng th ng b t kì i qua A và c t d t i M (1 − t ; − 2 + t ; 2t ) .  AM ; AB    56t 2 − 304t + 416 2 Khi ó d ( B; d 2 ) = = = 28t 2 − 152t + 208 AM 6t 2 − 20t + 40 3t − 10t + 20 2 16 (11t 2 − 8t − 60 ) Xét u ( t ) = 28t 2 − 152t + 208 . Ta có u ′ ( t ) = 2 = 0 ⇔ t = −2 ; t = 30 . 3t − 10t + 20 ( 3t − 10t + 20 ) 2 11 ( ) Do u ( −2 ) = 48; u 30 = 4 ; lim u ( t ) = 28 nên kho ng cách t B 11 35 b→∞ 3 n d2 l n nh t b ng 48 khi t = −2 và nh nh t b ng 4 khi t = 30 . Khi ó d 2 tương ng 35 11 y−4 z−2 y−4 có phương trình là d 2 : x − 1 = = và d 2 : x − 1 = = z−2 1 −4 −3 15 18 −19 104
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2