Phng trình ng thng trong không gian
91
PHNG TRÌNH NG THNG TRONG KHÔNG GIAN
AA
1.
Véct
(
)
1 2 3
; ;
a a a a
=
là véc t ch phng (VTCP) ca (
∆
)
⇔
(
∆
) // giá ca
a
2.
Nhn xét:
Nu
a
là mt VTCP ca (
∆
) thì
ka
(
k
≠
0) cng là VTCP ca (
∆
)
tc là (
∆
) có vô s VTCP.
A
1.
Phng trình tham s:
Phng trình ng thng (
∆
) i qua M
0
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
và có VTCP
(
)
1 2 3
; ;
a a a a
=
:
( )
0 1
0 2
0 3
x x a t
y y a t t
z z a t
= +
= + ∈
= +
2.
Phng trình chính tc:
Phng trình ng thng (
∆
) i qua M
0
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
và có VTCP
(
)
1 2 3
; ;
a a a a
=
:
0 0 0
1 2 3
x x y y z z
a a a
− − −
= =
3.
Phng trình tng quát:
Phng trình ng thng (
∆
) tng quát là giao
tuyn ca hai mt phng
1 1 1 1
2 2 2 2
0
0
A x B y C z D
A x B y C z D
+ + + =
+ + + =
vi
1 1 1 2 2 2
: : : :
A B C A B C
≠
4.
Phng trình ng thng (
∆
) i qua 2 im M
1
(
x
1
,
y
1
,
z
1
), M
2
(
x
2
,
y
2
,
z
2
):
1 1 1
2 1 2 1 2 1
x x y y z z
x x y y z z
− − −
= =
− − −
5.
Chuyn dng phng trình tng quát sang dng tham s, chính tc:
Cho (
∆
):
(
)
( )
1 1 1 1
2 2 2 2
: 0
: 0
A x B y C z D
A x B y C z D
α + + + =
β + + + =
(
1 1 1 2 2 2
: : : :
A B C A B C
≠
)
VTPT ca hai mt phng là
(
)
( )
1 1 1 1
2 2 2 2
, ,
, ,
n A B C
n A B C
=
=
VTCP
1 2
,
a n n
=
Tìm im M
0
(
x
0
,
y
0
,
z
0
)
∈
(
α
)
∩
(
β
)
0 0 0
1 2 3
x x y y z z
a a a
− − −
= =
.
t t s này bng
t
suy ra dng tham s.
Chng IV. Hình gii tích – Trn Phng
92
AA
1. V trí tng i ca 2 ng thng
:
Cho (
∆
1
) i qua M
1
(
x
1
;
y
1
, z
1
) vi VTCP
(
)
1 2 3
, ,
u a a a
=
,
(
∆
2
) i qua M
2
(
x
2
;
y
2
, z
2
) vi VTCP là
(
)
1 2 3
, ,
v b b b
=
Nu
[
]
1 2
, 0
u v M M
⋅ ≠

thì
(
)
(
)
1 2
,
∆ ∆
chéo nhau.
Nu
[
]
1 2
, 0
u v M M
⋅ =

và
1 2 3 1 2 3
: : : :
a a a b b b
≠
thì (
∆
1
), (
∆
2
) ct nhau.
Nu
[ ]
1 2
1 2 3 1 2 3
, 0
: : : :
u v M M
a a a b b b
⋅ =
=

và h phng trình ca
(
)
( )
1
2
∆
∆
vô nghim
thì (
∆
1
), (
∆
2
) song song nhau.
Nu
[ ]
1 2
1 2 3 1 2 3
, 0
: : : :
u v M M
a a a b b b
⋅ =
=

và h phng trình ca
(
)
( )
1
2
∆
∆
có nghim
thì (
∆
1
), (
∆
2
) trùng nhau.
2. V trí tng i ca ng thng và mt phng:
Cho (
∆
) i qua M
0
(
x
0
;
y
0
, z
0
) vi VTCP
(
)
, ,
u a b c
=
và mp(
α
):
0
Ax By Cz D
+ + + =
vi VTPT
(
)
, ,
n A B C
=
Nu
0
n u
⋅ ≠
0
Aa Bb Cc
⇔ + + ≠
thì (
∆
) ct (
α
).
Nu
//
n u
: : : :
a b c A B C
⇔ =
thì (
∆
)
⊥
(
α
).
Nu
( )
0
0
n u
M
⋅ =
∉ α
⇔
0 0 0
0
0
Aa Bb Cc
Ax By Cz D
+ + =
+ + + ≠
thì (
∆
) // (
α
).
Nu
( )
0
0
n u
M
⋅ =
∈ α
⇔
0 0 0
0
0
Aa Bb Cc
Ax By Cz D
+ + =
+ + + =
thì (
∆
)
⊂
(
α
).
Phng trình ng thng trong không gian
93
!"A A
1. Góc gia 2 ng thng:
Cho (
∆
1
) i qua M
1
(
x
1
;
y
1
, z
1
) vi VTCP
(
)
1 2 3
, ,
u a a a
=
,
(
∆
2
) i qua M
2
(
x
2
;
y
2
, z
2
) vi VTCP là
(
)
1 2 3
, ,
v b b b
=
Góc gia
(
)
(
)
(
)
[
]
1 2
, 0,90
∆ ∆ = ϕ∈ °
xác nh bi:
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
cos a b a b a b
u v
u v
a a a b b b
+ +
⋅
ϕ = =
⋅+ + + +
2. Góc gia ng thng và mt phng:
Cho (
∆
) i qua M
0
(
x
0
;
y
0
, z
0
) vi VTCP
(
)
, ,
u a b c
=
và mp(
α
):
0
Ax By Cz D
+ + + =
vi VTPT
(
)
, ,
n A B C
=
Góc gia
(
)
( )
(
)
[
]
, 0,90
∆ α = ϕ∈ °
xác nh bi:
2 2 2 2 2 2
sin u n aA bB cC
u n
a b c A B C
⋅ + +
ϕ = =
⋅+ + + +
3. Góc gia hai mt phng:
Góc gia 2 mt phng (
α
1
):
1 1 1 1
0
A x B y C z D
+ + + =
và (
α
2
):
2 2 2 2
0
A x B y C z D
+ + + =
là
ϕ
(0
≤
ϕ
≤
90
°
) tha mãn:
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 2
1 1 1 2 2 2
.
cos n n A A B B C C
n n
A B C A B C
+ +
ϕ = =
+ + + +
vi
1 2
,
n n
là 2 VTPT ca (
α
1
), (
α
2
).
#
1. Khong cách t 1 im n 1 ng thng:
Cho (
∆
) i qua M
0
(
x
0
;
y
0
, z
0
) vi VTCP
(
)
, ,
u a b c
=
. Khong cách t im
M
1
(
x
1
;
y
1
, z
1
) n ng thng (
∆
) là:
( )
( )
0 1
1,u M M
d M u
⋅
∆ =

2. Khong cách gia 2 ng thng chéo nhau:
Cho (
∆
1
) i qua M
1
(
x
1
;
y
1
, z
1
) vi VTCP
(
)
1 2 3
, ,
u a a a
=
,
(
∆
2
) i qua M
2
(
x
2
;
y
2
, z
2
) vi VTCP là
(
)
1 2 3
, ,
v b b b
=
Gi s
(
)
(
)
1 2
,
∆ ∆
chéo nhau, khi ó
( )
[ ]
[ ]
1 2
1 2
,
( ),( ) ,
u v M M
du v
⋅
∆ ∆ =

Chng IV. Hình gii tích – Trn Phng
94
3. Khong cách t 1 im n 1 mt phng:
Khong cách t M
0
(
x
0
,
y
0
,
z
0
) n mt phng (
α
):
0
Ax By Cz D
+ + + =
là:
( )
0 0 0
2 2 2
,
Ax By Cz D
d M
A B C
+ + +
α =
+ +
$%&'
1. Dng 1: Xác nh v trí tng i ca các ng thng và mt phng
Phng pháp:
Gii h PT to bi
(
)
( )
1
2
∆
∆
;
( )
( )
∆
α
hoc s dng du hiu nhn
bit qua h thc ca các véctơ
Bài 1.
Xét v trí tng i bng 2 cách khác nhau:
( ) ( )
1 2
9
2 3 3 9 0
: 5 :
2 3 0
3
x t
x y z
y t
x y z
z t
=
− − − =
∆ = ∆
− + + =
= − +
;
( ) ( )
1 2
2 3 0 2 8 0
: :
2 3 0 8 0
x y y z
x y x z
− + = + − =
∆ ∆
+ = + − =
Bài 2.
Xác nh giao im ca ng thng
( )
( )
1 2
: 1
1
x t
y t t
z t
= +
∆ = − ∈
= +
vi mt
phng
(
)
: 2 2 0
x y z
α + − − =
Bài 3.
Xác nh giao im ca ng thng
( )
2 0
:
2 1 0
x y z
x y z
+ + − =
∆
+ − − =
vi mt
phng
(
)
: 2 1 0
x y z
α + + − =
Bài 4.
Cho 3 ng thng:
( ) ( )
( )
1 2 3
3
3 3 0
2
12
: 1 , : , :
1 4 3
2 1 0
5
x t x y z
y
xz
y t
x y z
z t
=
− + − =
+
−−
∆ = − ∆ = = ∆
− + + =
= +
a.
Xét v trí tng i ca các cp 2 ng thng vi nhau.
b.
Vit phng trình ng thng (
∆
) song song vi (
∆
1
), ct (
∆
2
) và (
∆
3
)
Phng trình ng thng trong không gian
95
2. Dng 2: Xác nh hình chiu vuông góc ca 1 im M lên mt phng (
α
αα
α
)
Phng pháp:
Vit phương trình tham s ca ưng thng (
∆
) qua M và (
∆
)
⊥
(
α
)
Giao im H ca (
∆
) và (
α
) là hình chiu vuông góc ca M lên (
α
)
Bài 1.
Tìm hình chiu vuông góc ca M(1; 2;
−
3) lên
(
)
: 3 5 0
x y z
α + − + =
3. Dng 3: Xác nh im i xng vi im M cho trc qua mt phng (
α
αα
α
)
Phng pháp:
Tìm hình chiu vuông góc H ca M lên (
α
).
Gi s M(x
1
, y
1
, z
1
), H(x
0
, y
0
, z
0
), khi ó im M’ i xng M qua (
α
) là
(
)
0 1 0 1 0 1
2 , 2 , 2
M x x y y z z
′− − −
Bài 1.
Xác nh im i xng vi im M(13; 2; 3) qua mt phng (
α
):
x
+
y
– 3
z
+
5
=
0
4. Dng 4: Xác nh hình chiu vuông góc ca 1 im M lên ng thng (
∆
∆∆
∆
)
Phng pháp 1:
Vit PT mt phng (
α
) qua M và (
α
)
⊥
(
∆
).
Giao im H ca (
∆
) và (
α
) là hình chiu vuông góc ca M lên (
∆
)
Phng pháp 2:
Vit PT tham s ca (
∆
)
Ta H theo tham s t.
MH u
⊥

là véctơ ch phương ca (
∆
). GPT
0
MH u
⋅ =

tham s t
Ta H
Bài 1.
Xác nh hình chiu vuông góc ca M(
−
1;
−
1; 1) lên ng thng (
∆
):
{
}
1 ; 2 ; 3 3
x t y t z t
= + = + = − −
5. Dng 5: Xác nh im i xng vi im M cho trc qua ng thng (
∆
∆∆
∆
)
Phng pháp:
Tìm hình chiu vuông góc H ca M lên (
∆
)
Gi s M(x
1
, y
1
, z
1
), H(x
0
, y
0
, z
0
), khi ó im M’ i xng M qua (
∆
) là
(
)
0 1 0 1 0 1
2 , 2 , 2
M x x y y z z
′− − −
Bài 1.
Xác nh im i xng vi im M(0; 2;
−
1) lên ng thng (
∆
):
{
}
1 ; 2 ; 3 3
x t y t z t
= + = + = −
6. Dng 6:
Xác nh hình chiu vuông góc ca ng thng (
∆
∆∆
∆
) lên mt phng (
α
αα
α
)
Phng pháp:
TH1: (
∆
)
⊥
(
α
)
Hình chiu vuông góc ca (
∆
) lên (
α
) là im H
≡
(
∆
)
∩
(
α
)