zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Ôn thi Tốt nghiệp THPT

Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp 2025 - Chuyên đề 20: Phương trình đường thẳng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:74

Báo xấu

2
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

"Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp 2025 môn Toán - Chuyên đề 20: Phương trình đường thẳng" giúp học sinh ôn luyện kỹ năng viết và xác định phương trình đường thẳng trong không gian. Tài liệu gồm lý thuyết cô đọng, ví dụ sách giáo khoa, bài tập tự luận, trắc nghiệm theo năng lực học sinh, bài tập đúng sai và câu hỏi ngắn. Học sinh sẽ làm quen nhiều dạng bài quen thuộc trong đề thi tốt nghiệp. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp 2025 - Chuyên đề 20: Phương trình đường thẳng

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ 20. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG • Fanpage: Nguyễn Bảo Vương - https://www.nbv.edu.vn/ PHẦN A. LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng    Cho đường thẳng  và vectơ u khác 0 . Vectơ u được gọi là vectơ chỉ phương của đường  thẳng  nếu giá của u song song hoặc trùng với  .   Nhận xét: Nếu u là vectơ chỉ phương của một đường thẳng thì ku (k  0) cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.      Ví dụ 1: Trong Hình, các vectơ AB, CD và A B có là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB hay không? Vì sao? Giải      Do vectơ AB khác 0 và có giá là đường thẳng AB nên vectơ AB là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB . 2. Phương trình tham số của đường thẳng Trong trường hợp tổng quát, ta có: - Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , nếu  là đường thẳng đi qua M 0  x0 ; y0 ; z0  và có  x  x0  at   vectơ chỉ phương u  ( a; b; c ) thì  có phương trình dạng  y  y0  bt (t là tham số)  z  z  ct  0  x  x0  at  - Ngược lại, mỗi hệ phương trình  y  y0  bt , trong đó a , b, c không đồng thời bằng 0 và t là  z  z  ct  0 tham số, xác định đường thẳng  đi qua M 0  x0 ; y0 ; z0  và có một vectơ chỉ phương là  u  ( a ; b; c ) .  x  x0  at  Hệ phương trình  y  y0  bt , trong đó a, b, c không đồng thời bằng 0, t là tham số, được gọi  z  z  ct  0 là phương trình tham số của đường thẳng  đi qua M 0  x0 ; y0 ; z0  và có vectơ chỉ phương  u  ( a ; b; c ) . Trong các ví dụ, bài tập sau đây, nếu không chú ý gì thêm thì ta hiểu là xét trong không gian với hệ toạ độ Oxyz . Ví dụ 2 a) Viết phương trình tham số của đường thẳng  đi qua điểm A(2; 1; 4) và có vectơ chỉ  phương u  (3; 4; 5) . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/  x  1  2t  b) Cho đường thẳng  có phương trình tham số là:  y  5  7t ( t là tham số).  z  9t  Chỉ ra toạ độ một vectơ chỉ phương của  và một điểm thuộc đường thẳng  . Giải  x  2  3t  a) Phương trình tham số của đường thẳng  là:  y  4  7t (t là tham số)  z  6  8t   b) Toạ độ của một vectơ chỉ phương của  là u  (2; 7;9).  x  1  2  0  1  Ứng với t  0 ta có:  y  5  7  0  5  z  9  0  0.  Suy ra điểm B ( 1;5; 0) thuộc đường thẳng  . 3. Phương trình chính tắc của đường thẳng Trong trường hợp tổng quát, ta có: - Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , nếu  là đường thẳng đi qua điểm M 0  x0 ; y0 ; z0  và  có vectơ chỉ phương u  (a; b; c ) (với abc  0) thì  có phương trình dạng: x  x0 y  y0 z  z0   . a b c x  x0 y  y0 z  z0 - Ngược lại, với abc  0 , mỗi hệ phương trình   xác định đường thẳng a b c   đi qua M 0  x0 ; y0 ; z0  và có một vectơ chỉ phương là u  ( a; b; c ) . x  x0 y  y0 z  z0 Nếu abc  0 thì hệ phương trình   được gọi là phương trình chính tắc a b c  của đường thẳng  đi qua M 0  x0 ; y0 ; z0  và có vectơ chỉ phương u  (a; b; c ) . Ví dụ 2: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng  đi qua điểm A(1;3; 6) và có vectơ chỉ phương  u  (9; 2;13) . Giải Phương trình chính tắc của đường thẳng  đi qua điểm A(1;3; 6) và có vectơ chỉ phương  x 1 y  3 z  6 u  (9; 2;13) là:   . 9 2 13 4. Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cho trước Đường thẳng  đi qua hai điểm A  x0 ; y0 ; z0  , B  x1 ; y1 ; z1  có:  x  x0   x1  x0  t  - Phương trình tham số là:  y  y0   y1  y0  t ( t là tham số). z  z   z  z t  0 1 0 x  x0 y  y0 z  z0 - Phương trình chính tắc là:   (với x0  x1 , y0  y1 , z0  z1 ). x1  x0 y1  y0 z1  z0 Ví dụ 3: Lập phương trình chính tắc và phương trình tham số của đường thẳng AB biết A(4;1; 2) và B (5;8; 6) . Giải - Phương trình chính tắc của đường thẳng AB là: x  4 y 1 z  2 x  4 y 1 z  2      . 5  4 8 1 6  2 1 7 4 Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 x  4  t  - Phương trình tham số của đường thẳng AB là:  y  1  7t (t là tham số)  z  2  4t  II. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG Trước hết, ta có định nghĩa sau: Trong không gian, hai vectơ được gọi là cùng phuơng nếu các giá của chúng cùng song song với một đường thẳng, ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng. Người ta cũng chứng minh được những điều kiện sau. Trong không gian Oxyz , cho ba vectơ    u1   a1 ; b1 ; c1  ; u2   a2 ; b2 ; c2  ; u3   a3 ; b3 ; c3  .      - Hai vectơ u1 , u2 là cùng phương khi và chỉ khi u1 , u2   0 .       - Ba vectơ u1 , u2 , u3 là đồng phẳng khi và chỉ khi u1 , u2 .u3  0 . Ta có định lí sau: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai đường thẳng phân biệt 1 ,  2 lần lượt đi qua các   điểm M 1 , M 2 và tương ứng có u1 , u2 là hai vectơ chỉ phương. Khi đó, ta có:      u1 ,u 2   0 u ,u cïng ph¬ng   1 2 1 / /  2          u1 , M 1M 2 kh«ng cïng ph¬ng u1 , M 1M 2   0.         u1 ,u 2 kh«ng cïng ph¬ng  u1 ,u 2   0  1 c¾t  2             u1 ,u 2 , M 1M 2 ®ång ph¼ng  u1 ,u 2   M 1M 2  0.     1 và  2 chéo nhau  u1 , u2   M1M 2  0. Chú ý: Trong một số trường hợp, để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng, ta có thể giải hệ phương trình được lập từ những phương trình xác định hai đường thẳng đó, sau đó xét cặp vectở chỉ phương của hai đường thẳng đó có cùng phương hay không (nếu cẩn thiết). Ví dụ 4: Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng 1 ,  2 trong mỗi trường hợp sau:  x  1  5t1  x  2  10t2   a) 1 :  y  2  t1 ,  2 :  y  4  2t2 ;  z  3  2t  z  1  4t  1  2 x2 y 3 z  4 x  2 y 1 z  2 b) 1 :   , 2 :   ; 3 2 1 2 1 3  x  6  3t x  3 y 1 z  2  c) 1 :   ,  2 :  y  8  2t 1 1 2  z  1  t .  Giải  a) Đường thẳng 1 đi qua điểm M1 (1; 2;3) và có u1  (5; 1; 2) là vectơ chỉ phương. Đường  thẳng  2 đi qua điểm M 2 (2; 4;1) và có u2  (10; 2; 4) là vectơ chỉ phương.     Ta có: 2u1  (10; 2; 4)  u2 , suy ra u1 , u2 cùng phương;  1 2   M1M 2  (1; 2; 2) và  nên u1 , M1M 2 không cùng phu'o'ng. 5 1 Vậy 1 / /  2 .  b) Đường thẳng 1 đi qua điểm M1 (2;3; 4) và có u1  (3; 2;1) là vectơ chỉ phương. Đường  2 1 thẳng  2 đi qua điểm M 2 (2;1; 2) và có u2  (2;1; 3) là vectơ chỉ phương. Ta có:  , suy 3 2   ra u1 , u2 không cùng phương; Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/    2 1 1 3 3 2 M 1M 2  (4; 2;6), u1 , u2    ; ;   (7;11; 1).  1 3 3 2 2 1        Do u1 , u2   M1M 2  (7)  (4)  11 (2)  (1)  6  0 nên u1 , u 2 , M 1 M 2 đồng phẳng. Vậy 1 cắt  2 .  c) Đường thẳng 1 đi qua điểm M1 (3;1; 2) và có u1  (1; 1; 2) là vectơ chỉ phương. Đường  thẳng  2 đi qua điểm M 2 (6;8; 1) và có u2  (3; 2; 1) là vectơ chỉ phương. Ta có:     1 2 2 1 1 1  M 1M 2  (9; 7; 3), u1 , u2    ; ;   (3;7;5).  2 1 1 3 3 2        Do u1 , u2   M1M 2  (3)  9  7  7  5  (3)  7  0 nên u1 , u 2 , M 1 M 2 không đồng phẳng. Vậy 1 và  2 chéo nhau. III. GÓC 1. Góc giữa hai đường thẳng Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai đường thẳng 1 và  2 có vectơ chỉ phương lần   lượt là u1   a1 ; b1 ; c1  , u2   a2 ; b2 ; c2  . Khi đó, ta có: a1a2  b1b2  c1c2 cos  1 ,  2   . a  b12  c12  a2  b2  c2 2 1 2 2 2 Nhận xét: 1   2  a1a2  b1b2  c1c2  0 .  x  1  t1  x  4  3t2   Ví dụ 5: Tính góc giữa hai đường thẳng 1 ,  2 biết: 1 :  y  2  3t1 và  2 :  y  5  t2 ( t1 , t2 là tham z  3 z  6   số) Giải   Hai đường thẳng 1 và  2 có vectơ chỉ phương lần lượt là u1  (1;  3; 0) , u2  (  3;1; 0) . Ta có: |1  (  3)  (  3) 1  0  0 | 2 3 3 cos  1 ,  2     . 12  ( 3) 2  02  ( 3) 2  12  02 4 2 Suy ra  1 ,  2   30 . x 1 y z 1 x y 2 z 3 Ví dụ 6: Cho hai đường thẳng 1 :   , 2 :   . 3 2 1 1 2 1 Chứng minh rằng 1   2 . Giải   Đường thẳng 1 và  2 có vectơ chỉ phương lẩn lượt là u1  (3; 2;1), u2  (1; 2; 1) .   Ta có: u1  u2  3  (1)  2  2  1 (1)  0 . Suy ra 1   2 . 2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  có vectơ chỉ phương u   a1 ; b1 ; c1   và mặt phẳng ( P) có vectơ pháp tuyến n   a2 ; b2 ; c2  . Gọi ( , ( P )) là góc giữa đường thẳng  và mặt phẳng ( P) . Khi đó,     |u n | a1a2  b1b2  c1c2 sin( , ( P )) | cos(u , n ) |    . | u || n | a1  b12  c12  a2  b2  c2 2 2 2 2 Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025  Ví dụ 7: Cho mặt phẳng ( P) có vectơ pháp tuyến n  (1; 2; 2) và đường thẳng  có vectơ chỉ phương  u  (2; 2; 1) . Tính sin của góc giữa đường thẳng  và mặt phẳng ( P ) . Góc giữa đường thẳng  và mặt phẳng ( P) bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)? Giải |1 2  2  2  2  (1) | 4 Ta có: sin(,( P))   . Suy ra (, ( P))  26 . 2 2 2 2 1  2  2  2  2  (1) 2 2 9 Ví dụ 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình lăng trụ đứng OBC .O  B C  với O (0; 0; 0) , B (2a;0;0), C (0; a;0), O (0;0;3a), a  0 . a) Xác định toạ độ của điểm B  . b) Viết phương trình mặt phẳng  O BC  . c) Tính sin của góc giữa đường thẳng BC và mặt phẳng ( O BC  . Giải.    a) Ta có: BB  OO  (0;0;3a) . Suy ra xB  xB  2a , yB  yB  0, z B  0  3a , tức là B (2a;0;3a) . b) Vì B(2a;0;0), C (0; a;0), O (0;0;3a) nên mặt phẳng  O BC  có phương trình là x y z    1  3x  6 y  2 z  6a  0. 2a a 3a  c) Mặt phẳng  O BC  có một vectơ pháp tuyến là n  (3; 6; 2) .   Do B (2a;0;3a), C (0; a; 0) nên BC  (2a; a; 3a) , suy ra vectơ BC  (2a; a; 3a) cùng   phương với vectơ u  ( 2;1; 3) . Vì thế vectơ u  (2;1; 3) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng BC . Suy ra sin của góc giữa đường thẳng B C và mặt phẳng  O BC  bằng: | 3  (2)  6 1  2  (3) | 6 3 14   . 2 2 2 2 3  6  2  (2)  1  (3) 2 2 7 14 49 3. Góc giữa hai mặt phẳng Góc giũa hai mặt phẳng  P  và  P2  là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc vôi hai 1 mặt phẳng đó, kí hiệu là  P  ,  P  . 1 2 Ví dụ 9: Trong không gian, cho hình lập phương ABCD  A B C  D  . Tính góc giữa hai mặt phẳng ( ABCD ) và ( CDA B   . Giải. Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Trong hình vuông ADD A , ta có: AD  DA . Do CD   ADD A  nên AD   CD . Suy ra   AD  CDA B . Mặt khác, ta có:  AA  ( ABCD) , suy ra góc giữa hai mặt phẳng ( ABCD ) và  CDA B  là góc giữa hai đường   thẳng AA và AD , đó là góc A AD . Vì tam giác A AD  vuông cân tại A nên   45 . A AD IV. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẨNG TRONG THỰC TIỄN Tương tự như phương trình mặt phẳng, phương trình đường thẳng có nhiều ứng dụng trong thực tiễn. Ví dụ 10: Trên một sườn núi (có độ nghiêng đểu), người ta trồng một cây thông và muốn giữ nó không bị nghiêng bằng hai sợi dây neo như Hình. Giả thiết cây thông mọc thẳng đứng và trong một hệ tọa độ phù hợp, các điểm O (gốc cây thông) và A, B (nơi buộc dây neo) có tọa độ tương ứng là O (0; 0; 0), A(3; 4; 2) , B ( 5; 2;1) , đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét. Biết rằng hai dây neo đều được buộc vào cây thông tại điểm (0; 0;5) và được kéo căng tạo thành các đoạn thẳng. a) Tính độ dài của mỗi dây neo được sử dụng. b) Tính góc tạo bởi mỗi dây neo và mặt phẳng sườn núi (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ). Giải a) Do điểm C (0; 0;5) nên AC  (3  0) 2  ( 4  0) 2  (2  5) 2  34( m) ; BC  (5  0) 2  (2  0) 2  (1  5)2  45  3 5( m).   b) Ta có: OA  (3; 4; 2), OB  ( 5; 2;1) nên    4 2 2 3 3 4    [OA, OB]   ; ;   (0; 13; 26).  2 1 1 5 5 2   Vì thế, vectơ n  (0;1; 2) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (OAB) .     Mặt khác, do CA  (3; 4; 3), BC  (5; 2; 4) nên ta có:       | CA  n | | 3  0  (4) 1  (3)  2 | 10 - sin(CA,(OAB)) | cos(CA, n ) |      , | CA |  | n | 34  5 170 suy ra (CA, (OAB))  50 . Vậy góc tạo bởi dây neo CA và mặt phẳng sườn núi là khoảng 50 .       | BC  n | | 5  0  2 1  4  2 | 2  sin( BC, (OAB)) | cos( BC , n ) |      , | BC |  | n | 3 5 5 3  suy ra ( BC , (OAB))  42 . Vậy góc tạo bởi dây neo BC và mặt phẳng sườn núi là khoảng 42 . Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 Ví dụ 11: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , một cabin cáp treo xuất phát từ điểm A(10;3; 0) và  chuyển động đều theo đường cáp có vectơ chỉ phương là u  (2; 2;1) với tốc độ là 4,5m/s (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là mét). a) Viết phương trình đường cáp. b) Giả sử sau t ( s ) kể từ lúc xuất phát (t  0) , cabin đến điểm M . Tìm tọa độ của điểm M . c) Cabin dừng ở điểm B có hoành độ xB  550 . Tìm độ dài quãng đường AB (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của mét). d) Đường cáp AB tạo với mặt phẳng (Oxy ) góc bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ)? Giải x  10 y  3 z a) Phương trình chính tắc của đường cáp là:   . 2 2 1 b) Do tốc độ chuyển động của cabin là 4,5 m / s nên độ dài AM bằng 4,5t ( m) . Vì vậy   | AM | 4,5t (t  0) .      Do hai vectơ AM và u là cùng phương và cùng hướng nên AM  ku với k là số thực dương    3t nào đó. Suy ra: | AM | k | u | k  22  (2) 2  1  3k . Do đó 3k  4, 5t . Suy ra k  . Vì thế, 2  3t    3t  ta có: AM  u   3t ; 3t ;  . 2  2 Gọi toạ độ của điểm M là  xM ; y M ; z M  .    xM  3t  x A  xM  3t  10    3t    Do AM   xM  x A ; yM  y A ; zM  z A    3t ; 3t ;  nên  yM  3t  y A   yM  3t  3  2   3t 3t  zM   z A  zM  .  2  2  3t  Vậy điểm M có toạ độ là  3t  10; 3t  3;  .  2 c) Do xB  550 nên 3t  10  550 , tức là t  180 (s). Do đó, ta có điểm B (550; 537; 270) . Vậy AB  (550  10) 2  ( 537  3)2  (270  0) 2  656100  810( m) .  d) Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương u  (2; 2;1) và mặt phẳng (Oxy ) có vectơ pháp  tuyến k  (0; 0;1) . Do đó, ta có:     | u k | 1 1 sin(, (Oxy )) | cos(u , k ) |     . | u |  | k | 3 1 3 Vậy (, (Oxy ))  19 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN Dạng 1. Xác định phương trình đường thẳng 1. Dạng 1. Viết phương trình đường thẳng d dạng tham số và dạng chính tắc (nếu có), biết  d đi qua điểm M ( x ; y ; z ) và có véctơ chỉ phương ud  (a1 ; a2 ; a3 ).  Qua M ( x ; y ; z ) Phương pháp. Ta có: d :    VTCP : ud  ( a1 ; a2 ; a3 )  x  x  a1t  Phương trình đường thẳng d dạng tham số d :  y  y  a2t , (t   ). z  z  a t   3 x  x y  y z  z Phương trình đường thẳng d dạng chính tắc d :   , (a1a2 a3  0). a1 a2 a3 2. Dạng 2. Viết phương trình tham số và chính tắc (nếu có) của đường thẳng d đi qua A và B. B d  Qua A (hay B)  A Phương pháp. Đường thẳng d :    (dạng 1)   VTCP : ud  AB  3. Dạng 3. Viết phương trình đường thẳng d dạng tham số và chính tắc (nếu có), biết d đi qua điểm M và song song với đường thẳng .   u   Qua M ( x ; y ; z )  Phương pháp. Ta có d :    (dạng 1)   M d  VTCP : ud  u  4. Dạng 4. Viết phương trình đường thẳng d dạng tham số và chính tắc (nếu có), biết d đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng ( P) : ax  by  cz  d  0.   d u n  Qua M d P M Phương pháp. Ta có d :    (dạng 1)  VTCP : ud  n( P )  ( a; b; c) P 5. Dạng 5. Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng ( P) và (Q) cho trước.  Qua A  ( P )  (Q ) A Phương pháp. Ta có d :     (dạng 1) d   VTCP : ud  [ n( P ) , n( Q ) ] 6. Dạng 6. Viết phương trình tham số và chính tắc (nếu có) của đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với hai đường thẳng d1 , d2 cho trước.   u d1 ud 2  Qua M Phương pháp. Ta có d :     (dạng 1)  VTCP : ud  [ud1 , ud2 ] d1 d2 d 7. Dạng 7. Viết phương trình đường thẳng d qua M và song song với hai mặt phẳng ( P ), (Q ).  Qua M Phương pháp. Ta có d :     (dạng 1)  VTCP : ud  [ nP , nQ ] 8. Dạng 8. Viết phương trình đường thẳng d qua M , vuông góc đường d  và song song mặt ( P).  Qua M Phương pháp. Ta có d :     (dạng 1)  VTCP : ud  [ud  , nP ] 9. Dạng 9. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt ( P), song song mặt (Q) và qua M .  Qua M Phương pháp. Ta có d :     (dạng 1)  VTCP : ud  [ nP , nQ ] Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 10. Dạng 10. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A, vuông góc và cắt đường thẳng d . Phương pháp. Viết phương trình mặt phẳng ( P) qua A, vuông góc d . d  Qua A d Nghĩa là mặt phẳng ( P ) :     A B   VTPT : nP  ud  P Tìm B  d   ( P). Suy ra đường thẳng d qua A và B (dạng 1) Lưu ý: Trường hợp d  là các trục tọa độ thì d  AB, với B là hình chiếu của A lên trục. 11. Dạng 11. Viết phương trình tham số và chính tắc (nếu có) của đường thẳng d đi qua điểm M và cắt đường thẳng d1 và vuông góc d2 cho trước. Phương pháp. Giả sử d  d1  H , ( H  d1 , H  d ) d1 d2  H ( x1  a1t; x2  a2t ; x3  a2t )  d1.    d H M Vì MH  d 2  MH .ud 2  0  t  H .   Qua M  ud 2 Suy ra đường thẳng d :    (dạng 1)   VTCP : ud  MH  Dạng 12. d đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và cắt hai đường thẳng d1 , d 2 :  Cách 1: Gọi M1  d1 , M 2  d 2 Từ điều kiện M, M1 , M 2 thẳng hàng ta tìm được M1 , M2 . Từ đó suy ra phương trình đường thẳng d .  Cách 2: Gọi  P   ( M 0 , d1 ) ,  Q   ( M 0 , d 2 ) . Khi đó d   P    Q  , do đó, một VTCP của    d có thể chọn là a   nP , nQ  .   Dạng 13. d nằm trong mặt phẳng  P  và cắt cả hai đường thẳng d1 , d 2 : Tìm các giao điểm A  d1   P  , B  d 2   P  . Khi đó d chính là đường thẳng AB . Dạng 14. d song song với  và cắt cả hai đường thẳng d1 , d 2 : Viết phương trình mặt phẳng  P  chứa  và d1 , mặt phẳng  Q  chứa  và d2 . Khi đó d   P    Q  . Dạng 15. d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1 , d 2 chéo nhau:  MN  d1  Cách 1: Gọi M  d1 , N  d 2 . Từ điều kiện  , ta tìm được M , N .  MN  d 2 Khi đó, d là đường thẳng MN .  Cách 2:    – Vì d  d1 và d  d2 nên một VTCP của d có thể là: a   ad1 , ad2  .   – Lập phương trình mặt phẳng  P  chứa d và d1 , bằng cách: + Lấy một điểm A trên d1 .    + Một VTPT của  P  có thể là: nP   a , ad1  .   – Tương tự lập phương trình mặt phẳng  Q  chứa d và d1 . Khi đó d   P    Q  . Dạng 16. Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu vuông góc của đường thẳng  lên mặt ( P). M  Phương pháp: Xét vị trí tương đối của đường thẳng  và ( P).  Nếu   ( P). Chọn một điểm M trên . d H P Tìm H là hình chiếu của M lên ( P).  M Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Qua H Hình chiếu d :     VTCP : ud  u  Nếu   ( P )  I . Chọn một điểm M  I trên . Tìm H là hình chiếu của M lên ( P). Hình chiếu vuông góc của  lên ( P) là d  IH . Dạng 17. Viết đường thẳng d là đường thẳng đối xứng với đường thẳng  qua mặt phẳng ( P). M  Phương pháp: Xét vị trí tương đối của đường thẳng  và ( P).  Nếu   ( P). Chọn một điểm M trên  . H P Tìm H là hình chiếu của M lên ( P). Tìm M  đối xứng với M qua ( P). M d Qua M  Đường thẳng đối xứng d :     VTCP : ud  u   Nếu   ( P )  I . M Chọn một điểm M trên . Tìm H là hình chiếu của M lên ( P). Tìm M  đối xứng với M qua ( P). P I H Qua M   Đường thẳng đối xứng d :    .   VTCP : ud  IM   M d Câu 1. (Chuyên Đại Học Vinh 2019) Trong không gian Oxyz , cho E (1;0; 2) và F (2;1; 5) . Viết phương trình đường thẳng EF Câu 2. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng  đi qua điểm M  2; 0;  1 và có một vectơ chỉ  phương a   4; 6;2 . Viết phương trình tham số của  Câu 3. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Trong không gian Oxyz , viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A 1; 2;3  và B  5; 4;  1 Câu 4. (Chuyên Đại học Vinh - 2019) Trong không gian Oxyz , cho E  1; 0; 2  và F  2;1; 5  . Viết phương trình đường thẳng EF Câu 5. (Ngô Quyền - Hải Phòng 2019) Trong không gian Oxyz ,viết phương trình tham số của đường  thẳng d đi qua điểm M 1; 2;3 và có véctơ chỉ phương a 1; 4; 5  Câu 6. (Sở Bình Thuận 2019) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d đi qua điểm M  0; 1; 4   và nhận vectơ u   3; 1;5  làm vectơ chỉ phương. Viết phương trình tham số của d ? Câu 7. (Mã 101 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , cho điểm M 1; 2;3  và mặt phẳng  P  : 2 x  y  3 z  1  0 . Viết phương trình của đường thẳng đi qua M và vuông góc với  P  Câu 8. (Mã 103 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , cho điểm M 1; 2; 2  và mặt phẳng  P  : 2 x  y  3z  1  0 . Viết phương trình của đường thẳng qua M và vuông góc với mặt phẳng  P  Câu 9. Trong không gian Oxyz, cho điểm M (3; 2; 1) và mặt phẳng ( P ) : x  z  2  0. Viết phương trình đường thẳng đi qua M và vuông góc với ( P ) Câu 10. (SGD Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ oxyz , viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A 1; 2;1 và vuông góc với mặt phẳng  P  : x  2 y  z  1  0 Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 Câu 11. (Nguyễn Huệ- Ninh Bình- 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho  P  : 2 x  5 y  z  1  0 và A 1; 2 ; 1 . Viết phương trình đường thẳng  qua A và vuông góc với  P  Câu 12. (Mã 103 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A(1; 2;0), B(1;1; 2) và C (2;3;1) . Viết phương trình đường thẳng đi qua A và song song với BC Câu 13. (Nho Quan A - Ninh Bình - 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(0; 0; 1), B  1;  2; 0  , C  2;1;  1 . Viết phương trình đường thẳng  đi qua C và song song với AB Câu 14. (Mã 101 2018) Trong không gian Oxyz cho điểm A1;2;3 và đường thẳng x  3 y 1 z  7 d:   . Viết phương trình đường thẳng đi qua A , vuông góc với d và cắt trục 2 1 2 Ox Câu 15. (Đề Tham Khảo 2018) Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng x 3 y 3 z  2 x  5 y 1 z  2 d1 :   ; d2 :   và mặt phẳng  P  : x  2 y  3z  5  0 . Viết 1 2 1 3 2 1 phương trình đường thẳng vuông góc với  P  , cắt d1 và d2 NỘI DUNG TIẾP THEO ĐÃ BỊ CẮT Dạng 2. Xác định một số phương trình đường thẳng đặc biệt (phân giác, trung tuyến, giao tuyến…) Hai đường thẳng d1 , d 2 cắt nhau tại điểm A  x0 ; y0 ; z0  và có vécto chỉ phương |ân lượt là    u1  a1 ; b1; c1  , u2  a2 ; b2 ; c2  Đường thẳng phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng này có vécto chỉ phương được xác định theo công thức  1  1   1 1 u  u1   u2   a1; b1; c1   2 2 2  a2 ; b2 ; c2  u1 u2 2 2 2 a1  b1  c1 a2  b2  c2 Chi tiết có hai phân giác:    1  1   Nếu u1 u2  0  u   u1   u2 là vécto chỉ phương của phân u1 u2  1  1   giác tạo bởi góc nhọn giữa hai đường thẳng và u   u1   u2 là vécto chỉ phương của u1 u2 phân giác tạo bởi góc tù giữa hai đường thẳng.    1  1   Nếu u1 u2  0  u   u1   u2 là vécto chỉ phương của phân u1 u2  1  1   giác tạo bởi góc tù giữa hai đường thẳng và u   u1   u2 là vécto chỉ phương của phân u1 u2 giác tạo bởi góc nhọn giữa hai đường thẳng.  x  1  3t  Câu 30. (Mã 102 2018) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :  y  3 . Gọi  là đường  z  5  4t   thẳng đi qua điểm A 1; 3;5 và có vectơ chỉ phương u 1; 2; 2  . Viết phương trình đường thẳng đường phân giác của góc nhọn tạo bởi d và  8 4 8 Câu 31. Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(2; 2;1), B ( ; ; ) . Viết phương trình đường thẳng 3 3 3 đường phân giác trong của tam giác OAB Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Câu 32. (THPT Gang Thép Thái Nguyên -2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho 2 điểm M 1; 2;3 , A  2;4;4  và hai mặt phẳng  P  : x  y  2 z  1  0 ,  Q  : x  2 y  z  4  0. Viết phương trình đường thẳng  đi qua M , cắt ( P), (Q) lần lượt tại B, C sao cho tam giác ABC cân tại A và nhận AM làm đường trung tuyến.  x  1  3t  Câu 33. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :  y  3 . Gọi  là đường thẳng đi qua điểm  z  5  4t   A 1; 3;5 và có vectơ chỉ phương u 1; 2; 2  . Viết phương trình đường thẳng đường phân giác của góc nhọn tạo bởi d và  Câu 34. (THPT Ninh Bình-Bạc Liêu-2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  x  2  2t  P  : 2x  y  z 10  0 , điểm A 1;3;2 và đường thẳng d :  y  1  t . Tìm phương trình  z  1 t  đường thẳng  cắt  P  và d lần lượt tại hai điểm M và N sao cho A là trung điểm của đoạn MN . NỘI DUNG TIẾP THEO ĐÃ BỊ CẮT Dạng 3. Xác định phương trình mặt phẳng có yếu tố đường thẳng Dạng 1. Viết phương trình mặt phẳng ( P) qua M và vuông góc với đường thẳng d  AB.     Qua M ( x ; y ; z )  n( P )  ud  AB d Phương pháp. ( P) :       VTPT : n( P )  ud  AB  P M Dạng 2. Viết phương trình mặt phẳng qua M và chứa đường thẳng d với M  d .       Bước 1: Chọn điểm A  d và một VTCP ud . Tính  AM , ud  .   qua M Bước 2: Phương trình mp( P)      VTPT n   AM , ud    Câu 37. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng đi qua x  1 y  2 z 1 điểm M 1;1;  1 và vuông góc với đường thẳng  :   2 2 1 Câu 38. (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz, cho điểm M ( 2;1;0) và đường thẳng x  3 y 1 z 1 :   . Viết phương trình mặt phẳng đi qua M và vuông góc với  1 4 2 Câu 39. (Mã 123 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M  3; 1;1 . Viết phương x 1 y  2 z  3 trình mặt phẳng đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng  :   ? 3 2 1 NỘI DUNG TIẾP THEO ĐÃ BỊ CẮT Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 Dạng 4. Bài toán liên quan điểm (hình chiếu) thuộc đường, giao điểm đường với mặt phẳng Câu 43. (Thpt Vĩnh Lộc - Thanh Hóa 2019) Trong không gian Oxyz, cho đường  x  1  2t  thẳng d :  y  3  t , t   và mặt phẳng  P  : x  2 y  3 z  2  0. Tìm tọa độ của điểm A là z  1 t  giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng  P  . x  3 y 1 z  3 Câu 44. (Bến Tre 2019) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d :   và mặt 2 1 1 phẳng  P  : x  2 y  z  5  0 . Tìm tọa độ giao điểm M của đường thẳng d và mặt phẳng  P  . Câu 45. (SGD Thái Bình - lần 1 - 2022 - 2023) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng (d ) đi qua điểm A(2;3; 5) và vuông góc với mặt phẳng (P ) : 2x  3y  z  17  0 . Tìm tọa độ giao điểm M của (d) và trục Oz Câu 46. (SGD Hưng Yên 22-23) Tìm hình chiếu của điểm M  2;0;1 trên mặt phẳng   : x  y  z  0 . Câu 47. (SGD Hải Dương - 2022 – 2023) Cho A  2;1; 1 và  P  : x  2 y  2 z  3  0 . Gọi d là đưởng thẳng đi qua A và vuông góc với  P  . Tìm tọa độ M thuộc d sao cho OM  3 . NỘI DUNG TIẾP THEO ĐÃ BỊ CẮT Dạng 5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng Ta có định lí sau: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai đường thẳng phân biệt 1 ,  2 lần lượt đi qua các   điểm M1 , M 2 và tương ứng có u1 , u2 là hai vectơ chỉ phương. Khi đó, ta có:      u1 ,u 2   0 u ,u cïng ph¬ng   1 2 1 / /  2          u1 , M 1M 2 kh«ng cïng ph¬ng  u1 , M 1M 2   0.         u1 ,u 2 kh«ng cïng ph¬ng  u1 ,u 2   0  1 c¾t  2             u1 ,u 2 , M 1M 2 ®ång ph¼ng  u1 ,u 2   M 1M 2  0.     1 và  2 chéo nhau  u1 , u2   M 1M 2  0. Câu 53. (SGD Cần Thơ - Lần 01 - 2022 - 2023) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng x 1 y z  2 d:   , mặt phẳng  P  : x  y  2 z  5  0 và điểm A 1;  1; 2  . Đường thẳng  đi 1 2 1 qua điểm A , cắt d và  P  lần lượt tại M , N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN .  Biết  có một vectơ chỉ phương u   a; b; 4  , tính giá trị của a  b Câu 54. (THPT Kiến Thụy – Hải Phòng – 2022 - 2023) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho  x  2  2t  mặt phẳng ( P ) : 2 x  y  z  10  0 , điểm I (1;3; 2) và đường thẳng d :  y  1  t . Tìm z  1 t  phương trình đường thẳng  cắt ( P ) và d lần lượt tại hai điểm M và N sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng MN . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/  x  1  2t  x  1  2s    Câu 55. Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng: d :  y  2  t và d :  y  2  s  z  4  3t    z  5  3s a) Chứng minh rằng d / / d  . b) Viết phương trình mặt phẳng ( P) chứa d và d  .  x  1 t  x  2 y 1 z Câu 56. Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng: d :  y  2  t và d  :   .  z  3  2t 3 2 1  Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng d và d  . Câu 57. Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng 1 , 2 trong mỗi trường hợp sau:  x  2  3t1  x  5  t2   a) 1 :  y  4  6t1 ,  2 :  y  1  2t2  t1 , t2 là tham số )  z  1  12t  z  3  4t  1  2 x  3 y 1 z  4 x6 y5 z 5 b) 1 :   , 2 :   ; 2 1 3 5 4 7  x  11  5t x 1 y  4 z  c) 1 :   ,  2 :  y  2  3t ( t là tham số). 1 2 3  z  3  2t  NỘI DUNG TIẾP THEO ĐÃ BỊ CẮT Dạng 6. Bài toán liên quan khoảng cách, góc 1. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng – Khoảng cách giữa hai đường thẳng   Khoảng cách từ điểm M đến một đường thẳng d qua điểm M  có véctơ chỉ phương ud    M  M , ud    được xác định bởi công thức d ( M , d )    ud Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia.  Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: d đi qua điểm M và có véctơ chỉ phương      u , u.M  M u và d  đi qua điểm M  và có véctơ chỉ phương u  là d ( d , d )      u , u  2. Góc giữa hai đường thẳng   Góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 có véctơ chỉ phương u1  (a1 ; b1; c1 ) và u2  (a2 ; b2 ; c2 ).   u1.u2 a1a2  b1b2  c1c2 cos(d1 ; d 2 )  cos      với 0    90. u1 . u2 a1  b12  c12 . a2  b2  c2 2 2 2 2 3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng  Góc giữa đường thẳng d có véctơ chỉ phương ud  (a; b; c) và mặt phẳng ( P) có véctơ pháp  tuyến n( P )  ( A; B; C ) được xác định bởi công thức:     ud .n( P ) aA  bB  cC sin   cos(n( P ) ; ud )     với 0    90. ud . n( P ) a 2  b 2  c 2 A2  B 2  C 2 Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 Câu 61. (Đề Tham Khảo 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng x 1 y  2 z 1  P  : 2 x  2 y  z  1  0 và đường thẳng  :   . Tính khoảng cách d giữa  2 1 2 và  P  . Câu 62. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (P):  3x  y  1  0 . Tính góc tạo bởi ( P) với trục Ox ? Câu 63. (Chuyên Hạ Long - Lần 2 - 2022-2023) Trong không gian có hệ trục Oxyz , đường thẳng  d  x  2  t  có phương trình:  y  3  t và mặt phẳng    : x  2 y  2 z  3  0 . Góc giữa  d  và    bằng z  1 t   . Tính sin  Câu 64. (Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - Lần 2 - 2022 - 2023) Trong hệ tọa độ O xyz , cho hai mặt x  2 y 1 z  4 phẳng  P  :    1 và  Q  :x  2 y  3z  7  0 . Tính tang góc tạo bởi hai mặt 3 2 6 phẳng đã cho. NỘI DUNG TIẾP THEO ĐÃ BỊ CẮT Dạng 7. Một số ứng dụng của phương trình đường thẩng trong thực tiễn Tương tự như phương trình mặt phẳng, phương trình đường thẳng có nhiều ứng dụng trong thực tiễn. Câu 74. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là kilômét), một máy bay đang ở vị trí A(3,5; 2;0, 4) và sẽ hạ cánh ở vị trí B (3,5;5,5; 0) trên đường băng EG . a) Lập phương trình đường thẳng AB . b) Hãy cho biết góc trượt (góc giữa đường bay AB và mặt phẳng nằm ngang (Oxy) ) có nằm trong phạm vi cho phép từ 2,5 đến 3,5 hay không. c) Có một lớp mây được mô phỏng bởi một mặt phẳng ( ) đi qua ba điểm M (5; 0;0), N (0; 5;0), P(0;0;0,5) . Tìm toạ độ của điểm C là vị trí mà máy bay xuyên qua đám mây để hạ cánh. d) Tìm tọa độ của điểm D trên đoạn thẳng AB là vị trí mà máy bay ở độ cao 120 m. e) Theo quy định an toàn bay, người phi công phải nhìn thấy điểm đầu E (3,5; 4,5;0) của đường băng ở độ cao tối thiểu là 120 m. Hỏi sau khi ra khỏi đám mây, người phi công có đạt được quy định an toàn đó hay không? Biết rằng tầm nhìn của người phi công sau khi ra khỏi đám mây là 900 m Câu 75. Trong tình huống mở đầu hãy thực hiện các bước sau và trả lời câu hỏi đã được nêu ra. a) Viết phương trình tham số của đường thẳng MN . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ b) Tính toạ độ giao điểm D của đường thẳng MN với mặt phẳng Oxy . c) Hỏi điểm D có nằm giữa hai điểm M và N hay không? NỘI DUNG TIẾP THEO ĐÃ BỊ CẮT PHẦN C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Dành cho đối tượng học sinh trung bình Câu 1. (Mã 101-2021-Lần 2) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm M 1; 2;1 và N  3;1; 2  . Đường thẳng MN có phương trình là x 1 y  2 z 1 x 1 y  2 z 1 A.   . B.   . 4 3 1 2 1 3 x 1 y  2 z 1 x 1 y  2 z 1 C.   . D.   . 4 3 1 2 1 3 Câu 2. (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M (1;0;1) và N (3;2;  1) . Đường thẳng MN có phương trình tham số là  x  1  2t x  1 t x  1 t x  1 t     A.  y  2t . B.  y  t . C.  y  t . D.  y  t . z  1 t z  1 t z  1 t z  1 t     Câu 3. (Đề Tham Khảo 2017) Trong không gian tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương  x  1  2t  trình chính tắc của đường thẳng d :  y  3t ?  z  2  t  x 1 y z  2 x 1 y z  2 x 1 y z  2 x 1 y z  2 A.   B.   C.   D.   2 3 1 1 3 2 2 3 2 2 3 1 Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm M 1;  2; 1 , N  0; 1; 3  . Phương trình đường thẳng qua hai điểm M , N là x 1 y  2 z 1 x 1 y  3 z  2 A.   . B.   . 1 3 2 1 2 1 x y 1 z  3 x y 1 z  3 C.   . D.   . 1 3 2 1 2 1 Câu 5. (Mã 101-2021-Lần 1) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d đi qua điểm M  3; 1; 4   và có một vectơ chỉ phương u   2; 4;5  . Phương trình của d là  x  2  3t  x  3  2t  x  3  2t  x  3  2t     A.  y  4  t . B.  y  1  4t . C.  y  1  4t . D.  y  1  4t .  z  5  4t  z  4  5t  z  4  5t  z  4  5t     Câu 6. Trong không gian Oxyz, phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M  2;0; 1 và có  véctơ chỉ phương a   2; 3;1 là  x  4  2t  x  2  2t  x  2  4t  x  2  2t     A.  y   6 . B.  y   3t . C.  y   6t . D.  y   3t . z  2  t z  1 t  z  1  2t  z  1  t     Câu 7. (THPT Yên Phong 1 Bắc Ninh 2019) Trong không gian Oxyz , viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm P 1;1; 1 và Q  2;3; 2  Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 x 1 y 1 z 1 x 1 y  1 z  1 A.   . B.   . 2 3 2 1 2 3 x 1 y 2 z 3 x2 y 3 z  2 C.   . D.   . 1 1 1 1 2 3 Câu 8. Trong không gian Oxyz , đường thẳng Oy có phương trình tham số là x  t x  0 x  0 x  t     A.  y  t  t    . B.  y  2  t  t    . C.  y  0  t    . D.  y  0  t    . z  t z  0 z  t z  0     Câu 9. (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Trong không gian Oxyz có đường thẳng có phương trình  x  1  2t  tham số là (d ) :  y  2  t . Khi đó phương trình chính tắc của đường thẳng d là  z  3  t  x 1 y  2 z  3 x 1 y  2 z  3 A.   B.   2 1 1 2 1 1 x 1 y  2 z  3 x 1 y  2 z  3 C.   D.   2 1 1 2 1 1 Câu 10. (THPT Phan Bội Châu - Nghệ An 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , phương trình tham số trục Oz là x  0 x  t x  0    A. z  0 . B.  y  t . C.  y  0 . D.  y  0 . z  0 z  0 z  t    Câu 11. (THPT Cẩm Bình 2019) Trong không gian Oxyz , trục Ox có phương trình tham số x  0 x  t   A. x  0. B. y  z  0. C.  y  0. D.  y  0. z  t z  0   Câu 12. (Chuyên Nguyễn Huệ 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , phương trình tham số  của đường thẳng d đi qua gốc tọa độ O và có vectơ chỉ phương u  1;3; 2  là x  0 x  1 x  t  x  t     A. d :  y  3t . B. d :  y  3 . C. d :  y  3t . D. d :  y  2t .  z  2t z  2  z  2t  z  3t     Câu 13. (Chuyên Nguyễn Huệ 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , phương trình tham số  của đường thẳng d đi qua gốc tọa độ O và có vectơ chỉ phương u  1;3; 2  là x  0 x  1 x  t  x  t     A. d :  y  3t . B. d :  y  3 . C. d :  y  3t . D. d :  y  2t .  z  2t z  2  z  2t  z  3t     Câu 14. (Đà Nẵng 2019) Trong không gian Oxyz , viết phương trình đường thẳng đi qua điểm  A 1; 2; 3  và có vectơ chỉ phương u   2; 1; 2  . x  2 y 1 z  2 x 1 y  2 z  3 A.   . B.   . 1 2 3 2 1 2 x  2 y 1 z  2 x 1 y  2 z  3 C.   . D.   . 1 2 3 2 1 2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Câu 15. (Sở GD Nam Định - 2019) Trong không gian Oxyz , đường thẳng  đi qua M 1; 2;  3  nhận  vectơ u   1; 2;1 làm vectơ chỉ phương có phương trình là x 1 y  2 z  3 x 1 y  2 z  3 A.   . B.   . 1 2 1 1 2 1 x 1 y  2 z  3 x 1 y  2 z  3 C.   . D.   . 1 2 1 1 2 1 Câu 16. (Mã 101-2023) Trong không gian Oxyz , phương trình đường thẳng d đi qua điểm  M  2;1; 1 và có véc tơ chỉ phương u 1; 2;3 là x 1 y  2 z  3 x  2 y 1 z 1 A.   . B.   . 2 1 1 1 2 3 x 1 y  2 z  3 x  2 y 1 z 1 C.   . D.   . 2 1 1 1 2 3 Câu 17. (Mã 102-2023) Trong không gian Oxyz , phương trình đường thẳng d đi qua điểm  M  3; 1;2  và có một vectơ chỉ phương u   4;3; 2  là x4 y3 z2 x  3 y 1 z  2 A.   . B.   . 3 1 2 4 3 2 x  3 y 1 z  2 x4 y3 z2 C.   . D.   . 4 3 2 3 1 2 Câu 18. (Đề Minh Họa 2023) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm M 1;  1;  1 và N  5; 5; 1 . Đường thẳng MN có phương trình là:  x  5  2t x  5  t  x  1  2t  x  1  2t     A.  y  5  3t B.  y  5  2t C.  y  1  3t D.  y  1  t  z  1  t  z  1  3t  z  1  t  z  1  3t     Câu 19. (Mã 101-2021-Lần 1) Trong không gian Oxyz , cho điểm M  1;3; 2  và mặt phẳng  P  : x  2 y  4z  1  0. Đường thẳng đi qua M và vuông góc với  P  có phương trình là x 1 y  3 z  2 x 1 y  3 z  2 A.   . B.   . 1 2 1 1 2 1 x 1 y  3 z  2 x 1 y  3 z  2 C.   . D.   . 1 2 4 1 2 4 Câu 20. (Mã 102 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , cho M 1; 2; 3  và mặt phẳng ( P) : 2x  y  3z  1  0 . Phương trình của đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với ( P) là x  2  t  x  1  2t  x  1  2t  x  1  2t     A.  y  1  2t . B.  y  2  t . C.  y  2  t . D.  y  2  t .  z  3  3t  z  3  3t  z  3  3t  z  3  3t     Câu 21. (Mã 104 - 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , cho điểm M 1;2; 2  và mặt phẳng  P  : 2 x  y  3 z  1  0 . Phương trình của đường thẳng đi qua M và vuông góc với  P  là:  x  1  2t  x  1  2t  x  1  2t x  2  t     A.  y  2  t . B.  y  2  t . C.  y  2  t . D.  y  1  2t  z  2  3t  z  2  3t  z  2  3t  z  3  2t     Câu 22. (THPT Yên Phong Số 1 Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng   : x  y  2 z  1 . Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào vuông góc với   . Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025  x  2t x y 1 z x y 1 z x y 1 z  A. d1 :   . B. d 2 :   . C. d 3 :   . D. d 4 :  y  0 1 1 2 1 1 1 1 1 1  z  t  Câu 23. (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua điểm A 1;1;1 và vuông góc với mặt phẳng tọa độ  Oxy  có phương trình tham số là: x  1 t x  1 x  1 t x  1 t     A.  y  1 . B.  y  1 . C.  y  1 . D.  y  1  t . z  1 z  1 t z  1 z  1     Câu 24. Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho điểm M 1;  3; 2  và mặt phẳng  P  : x  3 y  2 z  1  0 . Tìm phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc với  P  . x 1 y  3 z  2 x 1 y  3 z  2 A.   . B.   . 1 3 2 1 3 2 x y z x 1 y  3 z  2 C.   . D.   . 1 3 2 1 3 2 Câu 25. (Sở Thanh Hóa 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 1;0; 2  và đường x 1 y z  1 thẳng d :   . Đường thẳng  đi qua A , vuông góc và cắt d có phương trình là 1 1 2 x  2 y 1 z 1 x 1 y z  2 A.  :   . B.  :   . 1 1 1 1 1 1 x  2 y 1 z 1 x 1 y z  2 C.  :   . D.  :   . 2 2 1 1 3 1 Câu 26. (Đà Nẵng 2019) Trong không gian Oxyz , đường thẳng đi qua điểm A  3;1;2  và vuông góc với mặt phẳng x  y  3z  5  0 có phương trình là x  3 y 1 z  2 x 1 y 1 z  3 A.   . B.   . 1 1 3 3 1 2 x 1 y 1 z  3 x  3 y 1 z  2 C.   . D.   . 3 1 2 1 1 3 Câu 27. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P : 2 x  y  z  3  0 và điểm A 1; 2 ;1 . Phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với  P  là  x  1  2t  x  1  2t x  2  t  x  1  2t     A. d :  y  2  t . B. d :  y  2  4t . C.  y  1  2t . D. d :  y  2  t . z  1 t  z  1  3t z  1 t  z  1  3t     Câu 28. (Chu Văn An - Hà Nội - 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , đường thẳng  đi qua điểm A  2 ; 4;3  và vuông góc với mặt phẳng    :2 x  3 y  6 z  19  0 có phương trình là x2 y 3 z 6 x  2 y 4 z 3 A.   . B.   . 2 4 3 2 3 6 x  2 y 3 z 6 x2 y4 z 3 C.   . D.   . 2 4 3 2 3 6 Câu 29. (Mã 101-2022) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 1; 2; 1 , B  3; 0;1 và C  2; 2; 2  . Đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng  ABC  có phương trình là x 1 y  2 z 1 x  1 y  2 z 1 A.   . B.   . 1 2 3 1 2 1 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ x 1 y  2 z 1 x 1 y  2 z 1 C.   . D.   . 1 2 1 1 2 1 Câu 30. (Mã 104-2022) Trong không gian Oxyz , cho điểm M  2;  2;1 và mặt phẳng  P  : 2 x  3 y  z  1  0 . Đường thẳng đi qua M và vuông góc với mặt phẳng  P  có phương trình là  x  2  2t  x  2  2t  x  2  2t  x  2  2t     A.  y  2  3t . B.  y  2  3t . C.  y  2  3t . D.  y  3  2t . z  1 t z  1 t z  1 t  z  1  t     NỘI DUNG TIẾP THEO ĐÃ BỊ CẮT Dành cho đối tượng học sinh khá giỏi Câu 84. (Chuyên Bắc Giang 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz viết phương trình đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng    : x  3 y  z  1  0 ,    : 2 x  y  z  7  0 . x2 y z3 x2 y z 3 A.   B.   2 3 7 2 3 7 x y  3 z  10 x2 y z 3 C.   D.   2 3 7 2 3 7 Câu 85. (Chuyên KHTN 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , gọi   là mặt phẳng chứa x  2 y 3 z đường thẳng (d ) :   và vuông góc với mặt phẳng    : x  y  2z  1  0 . Hỏi 1 1 2 giao tuyến của   và    đi qua điểm nào? A.  0;1;3 . B.  2;3;3 . C.  5;6;8 D. 1; 2;0  x  2  3t  Câu 86. (Mã 105 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d :  y  3  t và  z  4  2t  x4 y 1 z d :   . Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng thuộc mặt 3 1 2 phẳng chứa d và d , đồng thời cách đều hai đường thẳng đó. x3 y2 z2 x3 y2 z2 A.   B.   . 3 1 2 3 1 2 x3 y2 z2 x3 y2 z2 C.   D.   3 1 2 3 1 2 Câu 87. (Mã 101-2021-Lần 2) Trong không gian Oxyz , cho điểm A(1;1; 3) và đường thẳng x 1 y z  1 d:   . Đường thẳng đi qua A , cắt trục Oy và vuông góc với d có phương trình 1 2 1 là: x  1 t  x  3  3t x  1 t  x  1  t     A.  y  1  2t . B.  y  4  2t . C.  y  1  t . D.  y  5  2t .  z  3  3t  z  1  t z  3  t  z  3  3t     Câu 88. (Mã 102 - 2019) Trong không gian Oxyz, cho các điểm A1;0;2 , B 1;2;1 , C 3; 2;0 và D 1;1;3. Đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng  BCD có phương trình là  x  1 t  x  1 t  x  2  t   x  1 t          A.  y  4t . B.  y  4 . C.  y  4  4t . D.  y  2  4t   z  2  2t   z  2  2t   z  4  2t   z  2  2t             Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.02: Bộ 500+ Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2020

576 tài liệu

914 lượt tải

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright ©2025 TaiLieu.VN. All rights reserved.