intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp 2025 - Chuyên đề 4: Tiệm cận của đồ thị hàm số

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:91

Thêm vào BST
Báo xấu
1
lượt xem 0
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

"Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp 2025 môn Toán - Chuyên đề 4: Tiệm cận của đồ thị hàm số" giúp học sinh lớp 12 ôn tập các kiến thức về tiệm cận đứng, tiệm cận ngang và tiệm cận xiên. Tài liệu có hướng dẫn xác định tiệm cận dựa trên giới hạn và đạo hàm, kèm theo bài tập trắc nghiệm chuẩn cấu trúc. Đây là nội dung thường xuất hiện trong các câu vận dụng cơ bản. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu chuyên đề này để vững vàng khi giải quyết bài toán tiệm cận.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp 2025 - Chuyên đề 4: Tiệm cận của đồ thị hàm số

  1. CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ 4. TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ • Fanpage: Nguyễn Bảo Vương - https://www.nbv.edu.vn/ PHẦN A. LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ SÁCH GIÁO KHOA 1. ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG Đường thẳng y  y0 gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y  f ( x) nếu lim f ( x)  y0 hoặc lim f ( x)  y0 . x  x  3x  2 Ví dụ 1. Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  f ( x )  . x 1 Giải 2 3 3x  2 x  3 . Tương tự, lim f ( x)  3 . Ta có: lim f ( x )  lim  lim x  x  x  1 x  1 x  1 x Vậy đồ thị hàm số f ( x) có tiệm cận ngang là đường thẳng y  3 . x2  1 Ví dụ 2. Tìm các tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  f ( x)  . x Giải Ta có: x2  1 x2  1 1 lim f ( x)  lim  lim 2  lim 1  2  1; x  x  x x  x x  x 2 x 1  x 1  2  1  lim f ( x)  lim  lim     lim   1  2   1 . x  x  x x    x  x  2   x  Vậy đồ thị hàm số f ( x) có hai tiệm cận ngang là y  1 và y  1 . Nhận xét. Đồ thị hàm số f ( x) như Hình. 2. ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG Đường thẳng x  x0 gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y  f ( x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn: lim f ( x)  ; lim f ( x)  ; lim f ( x)  ; lim f ( x)  .   x  x0 x  x0 x  x0 x  x0 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
  2. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 3 x Ví dụ 3. Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  f ( x)  . x2 Giải 3 x Ta có: lim f ( x)  lim   . Tương tự, lim f ( x)   . Vậy đồ thị hàm số f ( x) có tiệm cận x 2 x 2 x2 x 2 đứng là đường thẳng x  2 . x2  2 Ví dụ 4. Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  f ( x)  . x Giải x2  2 Ta có: lim f ( x)  lim   . Tương tự, lim f ( x)   . Vậy đồ thị hàm số f ( x) có tiệm cận đứng x  0 x 0  x x 0 là đường thẳng x  0 . 3. ĐƯỜNG TIỆM CẬN XIÊN Đường thẳng y  ax  b(a  0) gọi là đường tiệm cận xiên (gọi tắt là tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y  f ( x) nếu lim [ f ( x)  (ax  b)]  0 hoặc lim [ f ( x)  (ax  b)]  0 x  x  1 Ví dụ 5. Cho hàm số y  f ( x)  x  . Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số f ( x) . x2 Giải 1 Ta có: lim [ f ( x )  x]  lim  0 . Tương tự lim [ f ( x)  x]  0 . x  x2 x  x  Vậy đồ thị hàm số f ( x) có tiệm cận xiên là đường thẳng y  x . Chú ý. Ta biết rằng nếu đường thẳng y  ax  b(a  0) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y  f ( x) thì lim [ f ( x)  ( ax  b)]  0 hoặc lim [ f ( x)  ( ax  b)]  0 . x  x  1 1 Do đó lim [ f ( x)  (ax  b)]   0 hoặc lim [ f ( x )  (ax  b)]   0 . x  x x  x f ( x) f ( x) Từ đây suy ra a  lim hoặc a  lim . x  x x  x Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  3. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 Khi đó, ta có b  lim [ f ( x)  ax] hoặc b  lim [ f ( x)  ax] . x  x  Ngược lại, với a và b xác định như trên, đường thẳng y  ax  b(a  0) là một tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y  f ( x) . Đặc biệt, nếu a  0 thì đồ thị hàm số có tiệm cận ngang. x2  x  2 Ví dụ 6. Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y  f ( x)  . x 1 Giải Ta có: f ( x) x2  x  2 a  lim  lim 1 x  x x  x2  x 2 x  2 b  lim [ f ( x)  x]  lim  2. x  x  x 1 f ( x) (Tương tự, lim  1, lim [ f ( x)  x]  2 .) x  x x  Vậy đồ thị hàm số f ( x) có tiệm cận xiên là đường thẳng y  x  2 . Nhận xét. Trong thực hành, để tìm tiệm cận xiên của hàm phân thức trong Ví dụ 6, ta viết: x2  x  2 4 y  f ( x)   x2 . x 1 x 1 4 Ta có: lim [ f ( x)  ( x  2)]  lim 0; x  x  x  1 4 lim [ f ( x)  ( x  2)]  lim  0. x  x  x  1 Do đó, đồ thị hàm số f ( x) có tiệm cận xiên là đường thẳng y  x  2 . PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN Dạng 1. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số Phương pháp. 1. Tìm tiệm cận ngang,tiệm cận đứng của đồ thị hàm Thực hiện theo các bước sau B1. Tìm tập xác định của hàm số f  x  B2. Tìm các giới hạn của f  x  khi x dần tới các biên của miền xác định và dựa vào định nghĩa của các đường tiệm cận để kết luận 2. Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm Thực hiện theo các bước sau B1. Tìm tập xác định của hàm số (đồ thị hàm số f chỉ có thể có tiệm cận xiên nếu tập xác định của nó là là một khoảng vô hạn hay một nửa khoảng vô hạn) B2. Sử dụng định nghĩa Hoặc sử dụng định lí: f ( x) f ( x) Nếu lim  a  0 và lim [ f ( x)  ax]  b hoặc lim  a  0 và lim [ f ( x)  ax]  b x  x x  x  x x  thì đường thẳng y  ax  b là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số f P ( x) CHÚ Ý: Đối với hàm phân thức: f  x   trong đó P  x  , Q  x  là hai đa thức của x ta Q ( x) thường dùng phương pháp sau để tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số i) Tiệm cận đứng.  P( x0 )  0 Nếu  thì đường thẳng: x  x0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số Q( x0 )  0 ii) Tiệm cận ngang Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
  4. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Nếu bậc của P  x  bé hơn bậc của Q  x  thì đồ thị của hàm số có tiệm cận ngang là trục hoành độ A Nếu bậc của P  x  bằng bậc của Q  x  thì đồ thị hàm có tiệm cận ngang là đường thẳng: y  B trong đó A, B lần lượt là hệ số của số hạng có số mũ lớn nhất của P  x  và Q  x  Nếu bậc của P  x  lớn hơn bậc của Q  x  thì đồ thị của hàm số không có tiệm cận ngang iii) Tiệm cận xiên Nếu bậc của P  x  bé hơn hay bằng bậc của Q  x  hoặc lớn hơn bậc của Q  x  từ hai bậc trở lên thì đồ thị hàm số không có tiệm cận xiên Nếu bậc của P  x  lớn hơn bậc của Q  x  một bậc và P  x  không chia hết cho Q  x  thì đồ thị hàm có tiệm cận xiên và ta tìm tiệm cận xiên bằng cách chia P  x  cho Q  x  và viết R( x) R ( x) R ( x) f  x   ax  b  , trong đó lim  0 , lim  0. Q ( x) x  Q ( x ) x  Q ( x ) Suy ra đường thẳng: y  ax  b là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số. 2  4x Câu 1. Cho hàm số y  f ( x)  có đồ thị là đường cong như Hình. 4  x2 Các đường thẳng x  2 và x  2 có phải là các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho hay không? Vì sao? 2x 1 Câu 2. Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  f ( x)  . x2 3x  2 Câu 3. Giải thích vì sao đường thẳng x  1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  f ( x)  ? x 1 x 1 Câu 4. Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  f ( x)  . x2 Câu 5. Tìm tiệm cận đứng của đồ thị các hàm số sau: x a) y  2 x 1 2 b) y  . x 1 2 x  1 Câu 6. Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  . x 1 x2  5x  7 Câu 7. Đường cong ở Hình là đồ thị (C ) của hàm số y  f ( x )  . x 3 Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  5. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 Chứng minh rằng đường thẳng  : y  x  2 là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y  f ( x) . Vẽ  lên cùng hệ trục toạ độ với  C  . Câu 8. Chứng minh rằng đường thẳng y  2 x  1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số 1 y  f ( x)  2 x  1  2 . x 1 x 2  3x Câu 9. Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y  f ( x)  . x2 x 2  3x  1 Câu 10. Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số f ( x)  . x2 Câu 11. Tìm tiệm cận của hàm số: 2x 1 a) y  x 1 2  4x b) y  1 x 1 c) y  2 x  1  x2 2 x d) y  1 x Câu 12. Tìm tiệm cận của hàm số: x2  1 a) y  x b) y  x 2  2 x  2 c) y  x  x 2  1 Câu 13. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số sau: 1 a) y  x  1  x 5 2 x2  6x  1 b) y  3x  1 Câu 14. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số sau: 2x  3 a) y  2 x 4 4x b) y  2 x 8 Câu 15. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số sau: 2x  4 a) y  3  2x  3 x 1 x3  2 b) y  2 x  2x Câu 16. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số sau: 2 x3  x  4 a) y  x2  4 2 x  x2 b) y  2 x  2x  3 Câu 17. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số sau: a) y  x  4  x 2  3 x  2 b) y  3x  x 2  4 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
  6. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 2x c) y  x2  3 Dạng 2. Bài toán chứa tham số x2 Câu 18. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số y  2 . Có tất cả bao nhiêu mx  2 x  4 giá trị của tham số m để đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận ( tiệm cận đứng và tiệm cận ngang)? 3 x  1  ax  b Câu 19. Hàm số y  2 không có tiệm cận đứng. Khi đó hiệu a  b bằng?  x  1 1 Câu 20. Cho hàm số y  2 x  1  có đồ thị là (C). Gọi M là một điểm bất kỳ thuộc (C), qua M x2 vẽ hai đường thẳng lần lượt song song với hai đường tiệm cận của (C), hai đường thẳng này tạo với hai đường tiệm cận một hình bình hành, chứng minh hình bình hành này có diện tích không đổi. 1 Câu 21. Tìm m   để hàm số y  mx  có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của hàm số đã x 2 cho đến đường tiệm cận xiên của nó bằng . 17 1  x2 Câu 22. Cho hàm số y  có đồ thị là (C). Tìm các điểm M thuộc (C) sao cho x d  M , TCĐ   2d  M , TCX  . x2 Câu 23. Cho hàm số y  , có đồ thị là  C  . Tìm tất cả các điểm M thuộc  C  sao cho khoảng x3 cách từ M đến tiệm cận đứng bằng 5 lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang. 2 Câu 24. Cho hàm số y  2 x  1  có đồ thị là (C). Tìm hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau của 2x 1 (C) sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó nhỏ nhất. 3  2x Câu 25. Cho hàm số y  có đồ thị là (C). Tìm các điểm trên (C) có tổng các khoảng cách từ đó x đến hai trục tọa độ nhỏ nhất. 2 x 2  3mx  m  2 Câu 26. Tìm giá trị tham số m sao cho y  có tiệm cận xiên tạo với hai trục tọa độ x 1 một tam giác có diện tích bằng 4 . m2  1 Câu 27. Tìm giá trị tham số m sao cho y  2mx  m  2  có tiệm cận xiên cách gốc tọa độ O x 1 1 một khoảng bằng . 17 mx 2  x  1 Câu 28. Cho hàm số y  . Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu và tiệm cận xiên, tiệm x 1 cận đứng của đồ thị hàm số cùng với trục hoành tạo thành một tam giác vuông có một góc 600 . Câu 29. Tuỳ theo giá trị m hãy tìm các tiệm cận của hàm số. mx  1 a. y  xm x2  4 x  m b. y  x2 x2  2x  5 Câu 30. Cho hàm số y  (C) x 1 a. Chứng minh rằng tích số các khoảng cách từ điểm M bất kỳ trên đồ thị (C) của hàm số đến hai đường tiệm cận của nó là hằng số. Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  7. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 b. Tìm những điểm trên (C ) sao cho từng khoảng cách từ điểm đó đến 2 tiệm cận là nhỏ nhất. 2m  x Câu 31. Cho hàm số: y  có đồ thị là  Cm  . Cho A  0;1 và I là tâm đối xứng. Tìm m để trên xm  Cm  tồn tại điểm B sao cho tam giác ABI vuông cân tại A . Câu 32. (Bình Giang-Hải Dương -2019) Cho hàm số y  f ( x ) liên tục trên  \ 1 và có bảng biến thiên như sau: 1 Đồ thị y  có bao nhiêu đường tiệm cận đứng? 2 f  x  3 Câu 33. (THPT Minh Khai 2020) Cho hàm số y  f  x   ax3  bx2  cx  d có đồ thị như bên dưới. Hỏi đồ thị hàm số y  x 2  2x 2  x có bao nhiêu đường tiệm cận đứng  x  3  f 2  x   f  x     Câu 34. (Chuyên Lê Quý Đôn - Điện Biên - 2021) Cho hàm số y  f  x  xác định trên  , có bảng biến thiên như hình vẽ. 1 Tìm giá trị của m thì đồ thị hàm số y  2 có tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm f  x  m cận đứng bằng 3 . PHẦN C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Dành cho đối tượng học sinh trung bình Câu 1. (Đề Minh Họa 2017) Cho hàm số y  f ( x ) có lim f ( x )  1 và lim f ( x )  1 . Khẳng định nào x  x  sau đây là khẳng định đúng? A. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng x  1 và x  1 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7
  8. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ B. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang. C. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang. D. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y  1 và y  1 . x2 Câu 2. (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  là x 1 A. y  2 . B. y  1 . C. x  1 . D. x  2 . 4x 1 Câu 3. (Mã 101 - 2020 Lần 1) Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  là x 1 1 A. y  . B. y  4 . C. y  1 . D. y  1 . 4 5x  1 Câu 4. (Mã 102 - 2020 Lần 1) Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  là x 1 1 A. y  1. B. y  . C. y  1 . D. y  5 . 5 2x 1 Câu 5. (Mã 103 - 2020 Lần 1) Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  là: x 1 1 A. y  . B. y  1 . C. y  1. D. y  2 . 2 3x  1 Câu 6. (Mã 104 - 2020 Lần 1) Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  là: x 1 1 A. y  . B. y  3 . C. y  1 . D. y  1 . 3 2x  2 Câu 7. (Mã 101 – 2020 Lần 2) Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  là x 1 A. x  2 . B. x  2 . C. x  1. D. x  1 . x 1 Câu 8. (Mã 102 - 2020 Lần 2) Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  là x3 A. x  3 . B. x  1 . C. x  1 . D. x  3. 2x  2 Câu 9. (Mã 103 - 2020 Lần 2) Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  là x 1 A. x  2 . B. x  1 . C. x  1 . D. x  2. x 1 Câu 10. (Mã 104 - 2020 Lần 2) Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  là x3 A. x  1 . B. x  1 . C. x  3 . D. x  3. 2x  4 Câu 11. (Đề Minh Họa 2021) Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  x 1 A. x  1 . B. x  1 . C. x  2 . D. x  2 . 2x 1 Câu 12. (Mã 101 - 2021 Lần 1) Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  là đường thẳng có phương x 1 trình: 1 A. x  1 . B. x  1 . C. x  2 . D. x  . 2 2x 1 Câu 13. (Mã 103 - 2021 - Lần 1) Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  là đường thẳng có x 1 phương trình 1 A. x  2 . B. x  1 . C. x   . D. x  1 . 2 Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  9. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 x 1 Câu 14. (Mã 102 - 2021 Lần 1) Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  là đường thẳng có phương x2 trình A. x  1 . B. x  2 . C. x  2 . D. x  1 . x 1 Câu 15. (Mã 104 - 2021 Lần 1) Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  là đường thẳng có phương x2 trình B. x  2 . B. x   1 . C. x   2 . D. x  1 . Câu 16. (Mã 103 - 2019) Cho hàm số y  f  x  có báng biến thiên như sau: Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là: A. 2. B. 3. C. 4. D. 1. Câu 17. (Mã 102 - 2019) Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên như sau Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là A. 1. B. 2 . C. 4 . D. 3 . Câu 18. (Mã 101 - 2019) Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau: Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là: A. 4 . B. 1. C. 3 . D. 2 . Câu 19. (Đề Tham Khảo 2019) Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau Tổng số đường tiệm cận ngang và đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9
  10. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ A. 3 B. 2 C. 4 D. 1 Câu 20. (THPT - Yên Dịnh Thanh Hóa 2019) Cho hàm số có bảng biến thiên như hình sau Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  f  x  là A. 3 . B. 2 . C. 4 . D. 1 . Câu 21. (Đề Tham Khảo 2017) Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Hỏi đồ thị của hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận? A. 3 B. 2 C. 4 D. 1 Câu 22. (Mã 104 2019) Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau: x ∞ 0 3 +∞ y' 0 + +∞ 3 0 y 3 4 Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là A. 1. B. 3. C. 4. D. 2. Câu 23. (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên như sau: Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là: A. 4 . B. 3 . C. 1. D. 2 . Câu 24. (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Cho hàm số y  f ( x ) có bảng biến thiên như sau Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  11. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là A. 4 B. 2 C. 3 D. 1 Câu 25. Cho hàmsố f ( x) có bảng biến thiên như sau Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là A. 4 . B. 1. C. 3 . D. 2 . Câu 26. Cho hàm số y  f ( x ) có bảng biến thiên như sau Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là A. 4 . B. 1. C. 3 . D. 2 . Câu 27. (Sở Hà Nội 2019) Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho bằng A. 2 . B. 1. C. 0 . D. 3 . Câu 28. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  \ 1 có bảng biến thiên như hình vẽ. Tổng số đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  f  x  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11
  12. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ A. 1 . B. 4 . C. 2 . D. 3. Câu 29. (Thi thử cụm Vũng Tàu 2019) Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là A. 4 . B. 2 . C. 3 . D. 1 . 3x  2 Câu 30. (Đề minh họa 2022) Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  là đường thẳng có phương x2 trình: A. x  2 . B. x  1 . C. x  3 . D. x  2 . 2x 1 Câu 31. (Mã 101-2022) Tiệm cận ngang của đồ thì hàm số y  là đường thẳng có phương trình: 2x  4 A. x  2 . B. x  1 . C. y  1 . D. y  2 . 2x 1 Câu 32. (Mã 102 - 2022) Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  là đường thẳng có phương trình 2x  4 A. y  2 . B. x  2 . C. x  1 . D. y  1 . Câu 33. (Mã 103 - 2022) Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng có phương trình: A. x   1 . B. y  1. C. y  2 . D. x   2 . Câu 34. (Mã 104-2022) Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau: Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  13. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 x -∞ -2 +∞ f '(x) - - -1 +∞ f(x) -∞ -1 Tiệm cận đứng của đồ thị đã cho là đường thẳng có phương trình: A. y  1 . B. y  2 . C. x  2 . D. x  1 . 3x  1 Câu 35. (Mã 101-2023) Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  có phương trình là x2 1 A. x  2 . B. x  2 . C. x  3 . D. x  . 2 Câu 36. (Mã 102-2023) Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho có phương trình là A. x  1 . B. x  3 . C. x  3 . D. x  1 . 2x 1 Câu 37. (Đề Minh Họa 2023) Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  là đường thẳng có phương 3x  1 trình 1 2 1 2 A. y  B. y   C. y   D. y  3 3 3 3 x 1 Câu 38. Cho hàrn số y  2 . x  3x  2 Xét các mệnh đề sau: (I). Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y  0 . (II). Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng x  1 và x  2 . (III). Đồ thị hàm số không có tiệm cận xiên. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Chỉ có (III) đúng. B. Chỉ có (I) và (II) đúng. C. Chỉ có (I) và (III) đúng. D. Cả (I), (II) và (III) đều đúng. Dành cho đối tượng học sinh khá – giỏi Câu 39. Hàm số nào sau đây có một tiệm cận: x3 x 2  3x  2 4 2x A. y  B. y  C. y  D. y  2 . 2x 1 x3 x 1 x 1 Câu 40. Đường thẳng 2 y  1  0 là tiệm cận ngang của hàm số nào sau đây? x 1 x2  x  1 2x 1 3  x2 A. y  B. y  C. y  D. y  2x 1 1  2x 1 x 2 x 2  3x  1 Câu 41. Đường thẳng x  1 là tiệm cận đứng của hàm số nào sau đây? x 2  3x  2 x 2  3x  2 x 1 x 1 A. y  2 B. y  2 C. y  2 D. y  x 1 x 1 x  4x  3 x2  1 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13
  14. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 3 Câu 42. Cho hàm số y  2 x  1  (C). Khoảng cách từ M (2; 1) đến tiệm cận xiên của đồ thị (C ) x3 là: 2 4 A. B. y  C. 2 D. 4 5 5 3 Câu 43. Với giá trị nào của m thì tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y  x  m  đi qua điểm mx M (1; 2) . A. m  1 B. m  0 C. m  2 D. Một đáp án khác. 2x 1 Câu 44. Cho hàm số y  có đồ thị là (C ), M 0  x0 ; y0   (C ) . Giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng x 1 cách từ M 0 đến hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số là: A. 2. B. 4. C. 1. D. 0. 2x 1 Câu 45. Cho hàm số y  (C). Tìm điểm M  (C ) có tổng khoảng cách đến hai đường tiệm cận là x 1 nhỏ nhất. Chọn câu trả lời đúng? A. M1 (0;1) B. M 2 (2;3) . C. M 3 (0; 2) D. Cả 2 điểm M 1 và M2 . x2  2 x  4 Câu 46. Cho hàm số y  có đồ thị (C). Tích khoảng cách từ M bất kỳ trên (C ) đến hai x2 đường tiệm cận của (C ) bằng: A. 2 2 B. 2 C. 2 . D. 1. 2 2 x  3x  m Câu 47. Đồ thị hàm số y  là  Cm  . Giá trị của m làm cho  Cm  không có tiệm cận đứng xm là: A. m  0 . B. m  1 C. m  0 hoặc m  1 . D. m  0 hoặc m  1 . 2 mx  6 x  2 Câu 48. Cho hàm số y  có đồ thị  Cm  . x2 Với giá trị nào của m thì đồ thị  Cm  có tiệm cận đứng và không có tiệm cận xiên. Chọn câu trả lời đúng. 7 3 A. m  B. m  C. m  2 D. m  0 2 2 x2 Câu 49. Với giá trị của m thì đồ thị hàm số y  2 chỉ có một tiệm cận đứng và một tiệm cận x  4x  m ngang. Chọn câu trả lời đúng. A. 4. B. 3 C. 2. D. 1 mx  1 Câu 50. Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số y  có tiệm cận đứng đi qua M (1, 2) . Chọn 2x  m câu trả lời đúng: 1 2 A. m  B. m  2 C. m  0 D. m  2 2 2 3x  12 x  1 Câu 51. Đồ thị hàm số y  2 có bao nhiêu tiệm cận. Chọn câu trả lời đúng. x  4x  5 A. 4. B. 3. C. 2 D. 5. 3x  1 Câu 52. Cho hàm số y  (C) và đường thẳng 5 x  12 y  7  0() . Khoảng cách từ giao điểm của x2 hai đường tiệm cận của đồ thị (C) đến đường thẳng ( ) bằng: 46 37 41 A. B. C. D. 3. 13 13 3 Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  15. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 Câu 53. Câu nào sau đây là sai? 2x  3 A. Đồ thị hàm số y  có một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang. x 1 x5 B. Đồ thị hàm số y  2 có một tiệm cận ngang. x 1 x2 C. Đồ thị hàm số y  2 có một tiệm cận ngang và 2 tiệm cận đứng. x  x6 D. Tất cả các ý A, B, C đều sai. Câu 54. Cho các hàm số sau: x 1 2x 1 1 y  C1  ; y  2  C2  ; y   C3  ; y  x3  3x  C4  x 1 x 1 x Các đồ thị của các hàm số trên, đồ thị hàm số nào không có tiệm cận? A.  C1  và  C3  B.  C4  . C.  C3  và  C4  D.  C2  ,  C3  và  C4  . Câu 55. Tìm phương trình các đường tiệm cận của hàm số y  x  x 2  1 . Chọn câu trả lời đúng. A. y  2 x . B. y  0 . C. y  2 x và y  0 . D. Một đáp án khác. Câu 56. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 5 x2  4 x 1 y là x2 1 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Câu 57. (Đề Tham Khảo 2018) Đồ thị của hàm số nào dưới đây có tiệm cận đứng? x 2  3x  2 x2 x A. y  B. y  2 C. y  x 2  1 D. y  x 1 x 1 x 1 x2  5x  4 Câu 58. (Mã 110 2017) Tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số y  . x2  1 A. 2 B. 3 C. 0 D. 1 2 x  3x  4 Câu 59. (Mã 123 2017) Tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số: y  x 2  16 A. 2 B. 3 C. 1 D. 0 x9 3 Câu 60. (Mã 101 2018) Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  là x2  x A. 1 B. 2 C. 0 D. 3 x42 Câu 61. (Mã 102 2018) Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  là x2  x A. 2 B. 1 C. 3 D. 0 2 x 1  x2  x  3 Câu 62. Tìm tất cả các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  . x2  5x  6 A. x  3 và x  2 . B. x  3 . C. x  3 và x  2 . D. x  3 . x  25  5 Câu 63. (Mã 103 2018) Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  là x2  x A. 3 B. 2 C. 0 D. 1 x  16  4 Câu 64. (Mã 104 2018) Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  là x2  x A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 x4 2 Câu 65. (Chuyên Sơn La 2019) Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  là x2  x A. 3 . B. 0 . C. 1. D. 2 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15
  16. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ x 1 Câu 66. (THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Đồ thị hàm số f  x   có tất cả bao nhiêu x2  1 tiệm cận đứng và tiệm cận ngang? A. 4 . B. 3 . C. 1 . D. 2 . x  4x  6  2 Câu 67. Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y  là? x2 A. 1 B. 3 C. 2 D. 4 Câu 68. (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị x  2 1 hàm số y  2 là x  3x  2 A. 4 B. 1 C. 3 D. 2 1 4  x 2 Câu 69. Đồ thị hàm số y  có số đường tiệm cận đứng là m và số đường tiệm cận ngang x2  2 x  3 là n . Giá trị của m  n là A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 Câu 70. Gọi n, d lần lượt là số đường tiệm cận ngang và số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 1 x y . Khẳng định nào sau đây là đúng?  x 1 x A. n  0, d  2 . B. n  d  1 . C. n  1, d  2 . D. n  0, d  1 . Câu 71. (Đề Minh Họa 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số x 1 y có hai tiệm cận ngang mx 2  1 A. m  0 B. m  0 C. m  0 D. Không có giá trị thực nào của m thỏa mãn yêu cầu đề bài Câu 72. (Chuyên KHTN - 2020) Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên m để đồ thị hàm số x2 y có hai đường tiệm cận đứng. Số phần tử của S là x 2  6 x  2m A. vô số. B. 12 . C. 14 . D. 13 .  n  3 x  n  2017 Câu 73. (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Biết rằng đồ thị của hàm số y  ( m, n là các số xm3 thực) nhận trục hoành làm tiệm cận ngang và trục tung là tiệm cận đứng. Tính tổng m  n . A. 0 B. 3 C. 3 D. 6 ax  1 1 Câu 74. Cho hàm số y  . Tìm a , b để đồ thị hàm số có x  1 là tiệm cận đứng và y  là tiệm bx  2 2 cận ngang. A. a  1; b  2 . B. a  4; b  4 . C. a  1; b  2 . D. a  1; b  2 .  x 2  2016 x  2017  24 7 Câu 75. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham để m đồ thị hàm số y  có xm tiệm cận đứng? A. vô số. B. 2 . C. 2017 D. 2019 . Câu 76. (THPT Lương Thế Vinh - 2021) Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m sao cho đồ thị hàm x 1 số y  3 có đúng một tiệm cận đứng? x  3x 2  m  1  m  4  m  5  m  5 A.  . B.  . C. 5  m  1 . D.  m  0  m  1  m  1 Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  17. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 Câu 77. (Sở Vĩnh Phúc 2022) Có bao nhiêu giá trị của tham số m để đồ thị hàm số x 1 y 2 có đúng hai đường tiệm cận? x   2m  1 x  m 2  3 A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 0 . 3x  1 Câu 78. (THPT Lương Văn Can - 2018) Cho đồ thị hàm số y  f  x   . Khi đó đường thẳng x 1 1 nào sau đây là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  ? f  x  2 A. x  1 . B. x  2 . C. x  1 . D. x  2 . Câu 79. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình vẽ 2019 Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y  là f  x  1 A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 4 . Câu 80. (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho hàm số f  x  xác định và liên tục trên  \ 1 có bảng biến thiên như sau: 1 Hỏi đồ thị hàm số y  có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang? f  x A. 4 . B. 3 . C. 2 . D. 1. Câu 81. (Kim Liên - Hà Nội 2019) Cho hàm số y  f ( x) thỏa mãn f (tan x)  cos 4 x . Tìm tất cả các 2019 giá trị thực của m để đồ thị hàm số g ( x)  có hai tiệm cận đứng. f ( x)  m A. m  0 . B. 0  m  1 . C. m  0 . D. m  1 . 3 2 Câu 82. (THPT Quỳnh Lưu- Nghệ An- 2019) Cho hàm số bậc ba f  x   ax  bx  cx  d có đồ thị như hình vẽ sau. Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17
  18. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Hỏi đồ thị hàm số g  x   x 2  3x  2  x  1 có bao nhiêu tiệm cận đứng?  x  1  f 2  x   f  x    A. 5 . B. 4 . C. 6 . D. 3 . PHẦN D. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI Câu 1. (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Cho đồ thị hàm số y  f  x  như hình bên. y 1 1 O x Các mệnh đề sau đúng hay sai? Mệnh đề Đúng Sai a) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  0 , tiệm cận ngang y  1. b) Hàm số có hai cực trị. c) Đồ thị hàm số chỉ có một đường tiệm cận. d) Hàm số nghịch biến trong khoảng   ; 0  và  0 ;    . Câu 2. (Cụm liên trường Hải Phòng 2019) Cho hàm số y  f  x  có bảng biến như sau: Các mệnh đề sau đúng hay sai? Mệnh đề Đúng Sai a) Đồ thị hàm số nhận đường thẳng y  0 là tiệm cận ngang. b) Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x  3 là tiệm cận đứng. c) Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số là 4. d) Hàm số đồng biến trong khoảng   ;    Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  19. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 2 x  2x  3 Câu 3. Cho hàm số y  . x 4  3x 2  2 Các mệnh đề sau đúng hay sai? Mệnh đề Đúng Sai a) Đường thẳng x  1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số b) Đường thẳng y  2 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số c) Đồ thị hàm số đã cho có 2 tiệm cận ngang, 2 tiệm cận đứng d) Đồ thị hàm số đã cho có 4 đường tiệm cận 5 x 2  6  x  12 Câu 4. Cho hàm số y  có đồ thị  C  . 4 x3  3x  1 Các mệnh đề sau đúng hay sai? Mệnh đề Đúng Sai a) Đồ thị  C  của hàm số không có tiệm cận. b) Đồ thị  C  của hàm số chỉ có một tiệm cận ngang y  0 . c) Đồ thị  C  của hàm số có một tiệm cận ngang y  0 và hai tiệm cận đứng 1 x  1; x   . 2 d) Đồ thị  C  của hàm số chỉ có một tiệm cận ngang y  0 và một tiện cận đứng x  1 x2  2 x  2 Câu 5. Cho hàm số y  . x2 Các mệnh đề sau đúng hay sai? Mệnh đề Đúng Sai a) Hàm số có hai tiệm cận. b) Giao điểm của hai tiệm cận là I ( 2; 6) . c) Khoảng cách từ O đến tiệm cận xiên bằng 4 2 . d) Tiệm cận xiên của hàm số đi qua điểm M (0; 4) . x 1 Câu 6. Cho hàm số y  3 .Các mệnh đề sau đúng hay sai? mx  1 Mệnh đề Đúng Sai a) m  0 đồ thị hàm số không có tiệm cận. b) m  1 đồ thị hàm số không có tiệm ngang c) m  1 đồ thị hàm số không có tiệm đứng d) m  0  đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận m  1 mx 2  (3  m) x  m 2  2 Câu 7. Gọi  C  là đồ thị của hàm số y  ,m là tham số. Khi  C  có tiệm cận x 1 xiên, gọi đường tiệm cận xiên này là  d  . Các mệnh đề sau đúng hay sai? Mệnh đề Đúng Sai a) Khi m  2 thì  d  có phương trình là y  2 x  3 b) Khi m  1 thì  d  đi qua điểm A 1; 4  . c) Có 1 đường thẳng  d  tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 6. d) Khi m   3 thì khoảng cách từ gốc tọa độ O đến  d  bằng 3. 2 x  mx  1 Câu 8. Cho hàm số y   Cm  ( m là tham số). Các mệnh đề sau đúng hay sai? x 1 Mệnh đề Đúng Sai Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19
  20. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ a) Để đồ thị  Cm  của hàm số có tiệm cận xiên thì m  0 . b) Để tiệm cận xiên của  Cm  đi qua M (2, 5) thì m  8 c) Để tiệm cận xiên của  Cm  tạo với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 8 (đvdt) thì tổng tất cả các giá trị m tìm được bằng 2 d) Với m  3 thì giao điểm của hai đường tiệm cận của  Cm  nằm trên Parapol y  x2  3 x3 Câu 9. Cho đường cong (C ) : y  . Các mệnh đề sau đúng hay sai? x 1 Mệnh đề Đúng Sai a) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  1 b) Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y  1 c) Tâm đối xứng của (C ) : I (1;1) d) Biết điểm M thuộc (C ) và tiếp tuyến của (C ) tại M tạo với hai đường tiệm cận của (C ) một tam giác có chu vi nhỏ nhất. Giả sử chu vi nhỏ nhất đó bằng a  b c (a , b, c  ) thì giá trị của a  b  c bằng 15 mx 2   3m 2  2  x  2 Câu 10. Cho hàm số y  ,  Cm  với m   . Các mệnh đề sau đúng hay sai? x  3m Mệnh đề Đúng Sai a) 1 Đồ thị hàm số có hai tiệm cận m  . 3 b) Khi m  1 thì tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là y  x  2 c) Biết đồ thị  Cm  có 2 đường tiệm cận, khi đó m  2 thì góc giữa hai tiệm cận của đồ thị  Cm  bằng 450 d) Biết đồ thị  Cm  có tiệm cận xiên tạo cắt hai trục tọa độ tại A, B sao cho tam giác AOB có diện tích bằng 4 khi đó tổng tất cả các giá trị của m bằng 4 x2 Câu 11. Cho hàm số y  , m là tham số. Các mệnh đề sau đúng hay sai? x2  m Mệnh đề Đúng Sai a) Với m  0 , đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang y  1 . b) Với m  0 , đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang y  1 và có một tiệm cận đứng x 0. c) Với m  1 , đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang y  1 và có một tiệm cận đứng x 1. d) Với 0  m  1 , đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang y  1 và có hai tiệm cận đứng x m x 1 Câu 12. Cho hàm số y  2 , m là tham số. Các mệnh đề sau đúng hay sai? x  8x  m Mệnh đề Đúng Sai a) Đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận ngang b) Khi m  16 thì đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận c) Khi m  16 thì đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng d) Có 14 giá trị nguyên dương của m để đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận 4x 1 Câu 13. Gọi  C  là đồ thị của hàm số y  . 3 x Mệnh đề Đúng Sai a) Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định của nó Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright ©2025 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
24=>0