intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp 2025 - Chuyên đề 19: Phương trình mặt phẳng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:49

Thêm vào BST
Báo xấu
7
lượt xem 1
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

"Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp 2025 môn Toán - Chuyên đề 19: Phương trình mặt phẳng" được biên soạn để giúp học sinh ôn luyện các kiến thức quan trọng trong hình học không gian Oxyz. Nội dung chuyên đề gồm lý thuyết, ví dụ minh họa, bài tập tự luận, trắc nghiệm phân loại, câu hỏi đúng sai và dạng bài trả lời ngắn. Tài liệu giúp học sinh hình thành tư duy tọa độ trong giải bài toán mặt phẳng. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu chuyên đề này để thành thạo kỹ năng viết phương trình mặt phẳng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp 2025 - Chuyên đề 19: Phương trình mặt phẳng

  1. CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ 19. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG • Fanpage: Nguyễn Bảo Vương - https://www.nbv.edu.vn/ Để đảm bảo quyền lợi cho giáo viên đã mua tài liệu, thì nội dung file pdf này bên mình sẽ cắt giảm đi số lượng câu hỏi so với file thực tế. PHẦN A. LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ I. VECTƠ PHÁP TUYẾN. CẶP VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA MẶT PHẲNG 1. Vectơ pháp tuyến    Cho mặt phẳng ( P) . Nếu vectơ n khác 0 và có giá vuông góc với mặt phẳng ( P) thì n được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( P) .  Ở Hình, vectơ n là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( P) .   Nhận xét: Nếu n là vectơ pháp tuyến của một mặt phẳng thì kn ( k  0) cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó. Ví dụ 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxy ) . Giải   Vectơ k  (0; 0;1) có giá là trục Oz và Oz  (Oxy ) nên k  (0; 0;1) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxy ) . 2. Cặp vectơ chỉ phương Cho mặt phẳng ( P) . Hai vectơ không cùng phương có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng ( P) được gọi là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng ( P) . Ví dụ 2: Quan sát Hình.   a) A B , A D  có là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng ( A B C  D   hay không? Vì sao?     b) BC , CD có là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng ( A B C  D  hay không? Vì sao? Giải   a) Do hai vectơ A B , A D không cùng phương và có giá cùng nằm trong mặt phẳng     A BC  D  nên A B , A D là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng  A BC  D  .     b) Do hai vectơ BC , CD không cùng phương và có giá cùng song song với mặt phẳng      A BC  D  nên BC , CD là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng ( A BC  D  . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
  2. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 3. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng khi biết cặp vectơ chỉ phương   Nếu hai vectơ a   a1 ; a2 ; a3  , b   b1 ; b2 ; b3  là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng ( P) thì     a a3 a3 a1 a1 a2  n  [a , b ]   2 ; ;  là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( P) .  b2 b3 b3 b1 b1 b2    Ví dụ 3: Cho mặt phẳng ( P ) có cặp vectơ chỉ phương là a  (1;3;5), b  (3; 1;1) . Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( P ) . Giải Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( P) là:    3 5 5 1 1 3  n  [a , b ]   ; ;    8; 16;8   1 1 1 3 3 1  II. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG Trong trường hợp tổng quát, ta có: - Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , mỗi mặt phẳng ( P) có phương trình dạng Ax  By  Cz  D  0 , trong đó A, B , C không đồng thời bằng 0. - Ngược lại, mỗi phương trình Ax  By  Cz  D  0 , trong đó A, B, C không đổng thời bằng 0, đều xác định một mặt phẳng trong không gian với hệ toạ độ Oxyz . Phương trình Ax  By  Cz  D  0 ( A, B , C không đồng thời bằng 0 ) là phương trình tổng quát của mặt phẳng. Hệ số D gọi là hệ số tụ do của phương trình tổng quát. Nhận xét Ta có thể chứng minh được rằng nếu mặt phẳng ( P) có phương trình tổng quát là  Ax  By  Cz  D  0, trong đó A, B , C không đồng thời bằng 0, thì vectơ n  ( A; B; C ) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( P) . Ví dụ 4: Phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng? A. x 2  y  z  1  0 . B. x  y 2  z  1  0 . C. x  y  z 2  1  0 . D. x  y  z  1  0 . Giải Ta thấy chỉ có phương trình x  y  z  1  0 là phương trình tổng quát của mặt phẳng. Chọn D Ví dụ 5: Chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( P ) : 2 x  y  z  1  0. Giải Ta có: 2 x  y  z  1  0  2  x  ( 1)  y  1  z  1  0 .  Mặt phẳng ( P) nhận n  (2; 1;1) làm vectơ pháp tuyến. Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  3. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 III. LẬP PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG BIẾT MỘT SỐ ĐIỀU KIỆN 1. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua một điểm và biết vectơ pháp tuyến  Mặt phẳng ( P) đi qua điểm I  x0 ; y0 ; z0  và nhận n  ( A; B; C ) làm vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là: Ax  By  Cz  D  0, D   Ax0  By0  Cz0 .  Chú ý: Mặt phẳng ( P ) đi qua điểm I  x0 ; y0 ; z0  và nhận n  ( A; B; C ) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: A  x  x0   B  y  y0   C  z  z0   0.  Ví dụ 6: Lập phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua điểm I (1; 2; 7) và nhận n  (3; 2;1) làm vectơ pháp tuyến. Giải Phương trình mặt phẳng ( P ) là: 3  ( x  1)  2  ( y  2)  1  ( z  7)  0  3 x  2 y  z  14  0 . 2. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương   Để lập phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua điểm I  x0 ; y0 ; z0  có cặp vectơ chỉ phương là u , v , ta có thể làm như sau:    Bước 1. Tìm n  [u , v ] .  Bước 2. Lập phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua điểm I  x0 ; y0 ; z0  nhận n làm vectơ pháp tuyến. Ví dụ 7: Lập phương trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm I ( 3;1; 0) có cặp vectơ chỉ phương là   u  (2;1; 1), v  ( 1;3; 2) . Giải     1 1 1 2 2 1    Xét vectơ n  [u , v ]   ; ;  , tức là n  (5; 3; 7) . Khi đó, n là vectơ pháp  3 2 2 1 1 3  tuyến của mặt phẳng ( ) . Vậy mặt phẳng ( ) có phương trình là: 5  ( x  3)  (3)  ( y  1)  7  ( z  0)  0  5 x  3 y  7 z  18  0. 3. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng Để lập phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua ba điểm H  a1 ; b1 ; c1  , I  a2 ; b2 ; c2  , K  a3 ; b3 ; c3  không thẳng hàng, ta có thể làm như sau: Bước 1. Tìm cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng ( P ) là:    HI   a2  a1 ; b2  b1 ; c2  c1  , HK   a3  a1; b3  b1 ; c3  c1  .     Buớc 2. Tìm n  [ HI , HK ] .  Buớc 3. Lập phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua điểm H  a1 ; b1 ; c1  nhận n làm vectơ pháp tuyến. Ví dụ 8: Lập phương trình mặt phẳng ( ) đi qua ba điểm A(1; 0; 2), B (1;1;1) và C (0;1; 2) . Giải   Ta có: AB  (0;1; 1), AC  (1;1; 0) .     1 1 1 0 0 1    Xét vectơ n  [ AB, AC ]   ; ;  , tức là n  (1;1;1) .  1 0 0 1 1 1   Khi đó, n là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
  4. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Vậy mặt phẳng ( ) có phương trình là: x  y  z  3  0. Ví dụ 9: Cho ba điểm A( a; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c ) với abc  0 . Viết phương trình mặt phẳng ( ABC ) . Giải      Ta có: AB  (a; b;0)  0, AC  ( a;0; c)  0 . Xét vectơ     b 0 0  a a b    n  [ AB, AC ]   ; ;  , tức là n  (bc; ca; ab ) .  0 c c  a a 0     Do n  0 nên n là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ABC ) . Vậy mặt phẳng ( ABC ) có phương trình là: x y z bc  ( x  a )  ca  ( y  0)  ab  ( z  0)  0  bcx  cay  abz  abc  0     1. a b c Chú ý: Mặt phẳng đi qua ba điểm A( a; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c ) với abc  0 có phương trình là: x y z   1 a b c Phương trình đó còn được gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn. Ví dụ 10: Khối rubik được gắn vởi hệ toạ độ Oxyz có đơn vị bằng độ dài cạnh hình lập phương nhỏ. Xét bốn điểm A(3; 0; 0), B (0;3; 0), C (0; 0; 2) và D (1;1;1) . a) Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B , C . b) Bốn điểm A, B, C , D có đồng phẳng hay không? Giải x y z a) Phương trình mặt phẳng ( ABC ) là:    1(*) 3 3 2 1 1 1 b) Thay tọa độ của điểm D vào vế trái của phương trình (*), ta có:    1 . Suy ra điểm 3 3 2 D không thuộc mặt phẳng ( ABC ) . Vậy bốn điểm A, B, C , D không đồng phẳng. Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  5. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 IV. ĐIỀU KIỆN SONG SONG, VUÔNG GÓC CỦA HAI MẶT PHẲNG, GÓC CỦA HAI MẶT PHẲNG 1. Điều kiện song song của hai mặt phẳng Cho mặt phẳng  P  có phương trình tổng quát là A1 x  B1 y  C1 z  D1  0 và mặt phẳng  P2  1 có phương trình tổng quát là A2 x  B2 y  C2 z  D2  0 .   Gọi n1   A1 ; B1 ; C1  , n2   A2 ; B2 ; C2  lần lượt là vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng  P1  ,  P2  .   n1  kn2 Khi đó:  P  / /  P2  1 khi và chỉ khi tồn tại số thực k  0 sao cho  .  D1  kD2 Ví dụ 11: Cho hai mặt phẳng  P1  : 2 x  y  3z  1  0,  P2  : 6 x  3 y  9 z  1  0. Chứng minh rằng  P  / /  P2  . 1 Giải   Hai mặt phẳng  P  ,  P2  có vectơ pháp tuyến n1  (2; 1; 3), n2  (6; 3; 9). 1   Vì n2  3n1 và D1  1  3.1  3D1 nên  P  / /  P2  . 1 2. Điều kiện vuông góc của hai mặt phẳng Cho mặt phẳng  P  có phương trình tổng quát là A1 x  B1 y  C1 z  D1  0 và mặt phẳng  P2  1 có phương trình tổng quát là A2 x  B2 y  C2 z  D2  0 . Khi đó:  P1    P2   A1 A2  B1B2  C1C2  0. 3. Góc giữa hai mặt phẳng Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai mặt phẳng  P  ,  P2  có vectơ pháp tuyến lần lượt là 1   n1   A1 ; B1 ; C1  , n2   A2 ; B2 ; C2  . Khi đó, ta có: A1 A2  B1 B2  C1C2 cos   P  ,  P2    1 . A12  B12  C12  A2  B2  C2 2 2 2 Ví dụ 12: Cho hai mặt phẳng  P  : 3 x  z  5  0 và  P2  :  3 x  z  7  0 . 1 Tính góc giữa hai mặt phẳng  P  và  P2  . 1 Giải    Do  P1  và  P2  có hai vectơ pháp tuyến lần lượt là n1      3;0;1 , n2   3;0;1 nên | 3  ( 3)  0  0  11| 1 cos   P  ,  P2    1  . ( 3)2  02  12  ( 3)2  02  12 2 Suy ra   P  ,  P    60 . 1 2  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
  6. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Ví dụ 13: Cho hai mặt phẳng  P1  : x  y  2 z  4  0,  P2  : x  y  z  5  0. Chứng minh rằng  P    P2  . 1 Giải   Hai mặt phẳng  P  ,  P2  có vectơ pháp tuyến lần lượt là n1  (1; 1; 2), n2  (1; 1;1) . 1     Vì n1  n2  11  (1)  (1)  (2) 1  0 nên n1  n2 . Vậy  P    P2  . 1 V. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG Một cách tổng quát, ta có: Khoảng cách từ điểm M 0  x0 ; y0 ; z0  đến mặt phẳng ( P ) :   Ax  By  Cz  D  0 A2  B 2  C 2  0 được tính theo công thức: Ax0  By0  Cz0  D d  M 0 , ( P)   . A2  B 2  C 2 Ví dụ 14: Cho mặt phẳng ( P ) : 2 x  2 y  z  3  0 và điểm M 0 (3;1; 5) . Tính khoảng cách từ điểm M 0 đến mặt phẳng ( P ) . Giải Khoảng cách từ điểm M 0 đến mặt phẳng ( P ) là: | 2  3  (2) 1  (1)  (5)  3 | d  M 0 ,( P)    4. 22  (2)2  (1)2 Ví dụ 15: Cho mặt phẳng  P  : 2 x  4 y  4 z  3  0 và mặt phẳng  P2  : x  2 y  2 z  1  0 . 1 a) Chứng minh rằng  P  / /  P2  . 1 b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song  P  ,  P2  . 1 Giải   a) Ta có n1  (2; 4; 4), n2  (1; 2; 2) lần lượt là hai vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng    P1  ,  P2  . Do n1  2n2 , D1  3  2  2D2 nên  P1  / /  P2  .  3  b) Chọn điểm M 0   ;0; 0    P  . Suy ra khoảng cách từ điểm M 0 đến mặt phẳng  P2  là: 1  2  3  1 2 1 d  M 0 ,  P2     . 12  ( 2) 2  ( 2) 2 6 Do khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song  P  ,  P2  bằng d  M 0 ,  P2   nên khoảng cách 1 1 giữa hai mặt phẳng song song  P  ,  P2  bằng 1 . 6 VI. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG THỰC TIỄN Phương trình mặt phẳng có nhiều ứng dụng trong thực tiễn như trong thiết kế xây dựng, tính toán các yếu tố kĩ thuật,... Ta sẽ tìm hiểu qua một số ví dụ sau đây. Ví dụ 16: Hình minh hoạ hình ảnh hai mái nhà của một nhà kho trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là mét). Các bức tường của nhà kho đều được xây vuông góc với mặt đất. Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  7. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 a) Lập phương trình của hai mặt phẳng tương ứng mỗi mái nhà. b) Tìm toạ độ của điểm Q .  c) Tìm toạ độ của vectơ PQ . Giải a) Hai mặt phẳng tương ứng mỗi mái nhà là ( ABP ) và (CDP ) .    - Do mặt phẳng ( ABP ) có cặp vectơ chỉ phương là AB  (0; 20;1), AP  (5;0; 3) nên có một vectơ pháp tuyến là:    20 1 1 0 0 20    [ AB, AP]   ; ;   (60; 5;100).  0 3 3 5 5 0  Mà mặt phẳng ( ABP ) đi qua điểm A(10; 0;9) nên có phương trình là: 60( x  10)  5( y  0)  100( z  9)  0  12 x  y  20 z  60  0.   - Do mặt phẳng (CDP ) có cặp vectơ chỉ phương là DP  (5;0; 3), DC  (0; 20;1) nên có một vectơ pháp tuyến là:    0 3 3 5 5 0   [ DP, DC ]   ; ;   (60; 5;100).  20 1 1 0 0 20  Mà mặt phẳng (CDP ) đi qua điểm D (0;0;9) nên có phương trình là: 60( x  0)  5( y  0)  100( z  9)  0  12 x  y  20 z  180  0. b) Vì các bức tường của nhà kho đều được xây vuông góc với mặt đất nên với hệ toạ độ trên ta có Q ( x; 20; z ) . Do điểm Q thuộc mặt phẳng ( ABP ) nên tọa độ của điểm Q thoả mãn: 12 x  20  20 z  60  0, là 3 x  5 z  20. Do điểm Q thuộc mặt phẳng (CDP ) nên toạ độ của điểm Q thoả mãn 12 x  20  20 z  180  0, là 3 x  5 z  50. 3 x  5 z  20 x  5 Ta có hệ phương trình:   . 3 x  5 z  50 z  7 Vậy Q (5; 20; 7) .  c) Với P (5; 0; 6) và Q (5; 20; 7) ta có: PQ  (0; 20;1) . Ví dụ 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là kilômét), một máy bay đang ở vị trí A(3; 2, 5; 0, 5) và sẽ hạ cánh ở vị trí B (3; 7, 5; 0) trên đường băng. a) Sau bao nhiêu phút máy bay từ vị trí A hạ cánh tại vị trí B ? Biết tốc độ của máy bay là 300 km / h trên quãng đường AB (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của phút). Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7
  8. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ b) Có một lốp mây được mô phỏng bởi một mặt phẳng ( ) đi qua ba điểm M (9; 0; 0) , N (0; 9; 0), P (0; 0; 0, 9) . Tính độ cao của máy bay khi máy bay xuyên qua đám mây để hạ cánh. Giải a) Ta có: AB  (3  3)2  (7, 5  2,5)2  (0  0,5) 2  100, 25( km) . Do đó, thời gian để máy bay từ vị trí A hạ cánh tại vị trí B là: 100, 25 100, 25 100, 25 ( h)   60 (phút)  (phút)  4, 01 (phút)  2 (phút). 300 300 5 b) Giả sử điểm C  xC ; yC ; zC  là vị trí mà máy bay xuyên qua đám mây để hạ cánh, suy ra C  ( ) . Áp dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn, ta thấy mặt phẳng ( ) có phương trình là: x y z    1  x  y  10 z  9. Suy ra xC  yC  10 zC  9. 9 9 0,9      Mặt khác, vì AC , AB là hai vectơ cùng hương nên tồn tại số thực t  0 sao cho AC  t AB . Do  AC   xC  3; yC  2,5; zC  0,5  ;  xC  3  0t  xC  3   nên  yC  2,5  10t   yC  10t  2,5  z  0,5  0,5t  z  0,5t  0,5.  C  C Vì C  ( ) nên 3  (10t  2, 5)  10( 0, 5t  0,5)  9  t  0,1 . Suy ra C (3; 1, 5; 0, 45) . Vậy tại vị trí C , độ cao của máy bay là 0, 45 km . PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN Dạng 1. Xác định phương trình mặt phẳng  Qua A( x ; y ; z ) Dạng 1. Mặt ( P ) :    ( P ) : a ( x  x )  b( y  y )  c ( z  z )  0 .  VTPT : n( P )  ( a; b; c ) Dạng 2. Viết phương trình ( P) qua A( x ; y ; z ) và ( P)  (Q) : ax  by  cz  d  0.    Qua A( x , y , z ) n( P )  n(Q ) Phương pháp. ( P ) :     VTPT : n( P )  n( Q )  ( a; b; c ) Q Dạng 3. Viết phương trình mặt phẳng trung trực ( P) của đoạn thẳng AB. P   x A  xB y A  yB z A  z B   Qua I  2 ; 2 ; 2  : là trung điểm AB. A Phương pháp. ( P) :       P I  VTPT : n  AB  (P) B Dạng 4. Viết phương trình mặt phẳng ( P) qua M và vuông góc với đường thẳng d  AB.     Qua M ( x ; y ; z )  n( P)  ud  AB d Phương pháp. ( P) :       VTPT : n( P )  ud  AB  M   P Dạng 5. Viết phương trình mặt phẳng ( P) qua điểm M và có cặp véctơ chỉ phương a, b.  a  Qua M ( x ; y ; z )  Phương pháp. ( P) :       VTPT : n( P )  [a , b ]  P b Dạng 6. Viết phương trình mặt phẳng ( P) đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng.  Qua A, (hay B hay C )  B P Phương pháp. ( P ) :       VTPT : n( ABC )   AB, AC    A C  Dạng 7. Viết phương trình mặt phẳng ( P) đi qua A, B và ( P)  (Q). Q  n(Q ) A Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ P B
  9. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025  Qua A, (hay B )  Phương pháp. ( P ) :        VTPT : n( P )   AB, n(Q )     Dạng 8. Viết phương trình mp ( P) qua M và vuông góc với hai mặt ( ), (  ).  Qua M ( x ; y ; z )     Phương pháp. ( P ) :     n (  ) n( )  VTPT : n( P )   n( ) , n(  )     Dạng 9. Viết ( P) đi qua M và giao tuyến d của hai mặt phẳng:  P M (Q) : a1 x  b1 y  c1 z  d1  0 và (T ) : a2 x  b2 y  c2 z  d2  0. Phương pháp: Khi đó mọi mặt phẳng chứa d đều có dạng: ( P) : m(a1 x  b1 y  c1 z  d1 )  n(a2 x  b2 y  c2 z  d 2 )  0, m2  n2  0. Vì M  ( P)  mối liên hệ giữa m và n. Từ đó chọn m  n sẽ tìm được ( P). Dạng 10. Viết phương trình mặt phẳng đoạn chắn Phương pháp: Nếu mặt phẳng ( P) cắt ba trục tọa độ lần lượt tại các điểm A(a;0;0), x y z B(0; b;0), C (0;0; c) với (abc  0) thì ( P) :    1 gọi là mặt phẳng đoạn chắn. a b c Câu 1. (Chuyên Đại Học Vinh 2019) Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng  P  đi  qua điểm M  3; 1; 4  đồng thời vuông góc với giá của vectơ a  1; 1; 2  Câu 2. (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho ba điểm A  2;1; 1 , B  1;0; 4  , C  0; 2; 1 . Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC Câu 3. (Sở Bắc Giang 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1;1; 2  và B  2;0;1 . Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với AB Câu 4. (Mã 101 2018) Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm A  2; 1; 2  và song song với mặt phẳng  P  : 2 x  y  3z  2  0 Câu 5. Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng qua điểm A  1;1; 2  và song song với mặt phẳng   : 2 x  2 y  z  1  0 Câu 6. Trong không gian Oxyz , cho điểm A  2; 1; 3  và mặt phẳng  P  : 3 x  2 y  4 z  5  0 . Viết phương trình mặt phẳng  Q  đi qua A và song song với mặt phẳng  P  Câu 7. (SGD Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng   đi qua điêm A  0; 1;0  , B  2;0;0  , C  0;0;3 Câu 8. (Lômônôxốp - Hà Nội 2019) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm M 1;0;0  , N  0; 2;0  , P  0;0;3 . Viết phương trình mặt phẳng  MNP  Câu 9. (THPT Ngô Sĩ Liên Bắc Giang 2019) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A(2;0;0) , B(0;0;7) và C (0;3;0) . Viết phương trình phương trình mặt phẳng ( ABC ) Câu 10. (Mã 110 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A  4;0;1 và B  2;2;3 . Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB ? Câu 11. (Mã 101 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1;3; 0  và B  5;1; 1 . Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB Câu 12. (Chuyên Sơn La 2019) Trong không gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng  P  đi qua hai điểm A  0;1;0  , B  2;3;1 và vuông góc với mặt phẳng  Q  : x  2 y  z  0 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9
  10. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Câu 13. (THPT Yên Phong Số 1 Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A 1; 1; 2  ; B  2;1;1 và mặt phẳng  P  : x  y  z  1  0 . Viết phương trình mặt phẳng  Q  chứa A, B và vuông góc với mặt phẳng  P  . Câu 14. (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng   : 3x  2 y  2 z  7  0 và    : 5 x  4 y  3z  1  0 . Viết phương trình mặt phẳng đi qua O đồng thời vuông góc với cả   và    NỘI DUNG TIẾP THEO ĐÃ BỊ CẮT Dạng 2. Khoảng cách từ điểm đến mặt, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song  Khoảng cách từ điểm M ( xM ; yM ; zM ) đến mặt phẳng ( P) : ax  by  cz  d  0 được xác định axM  byM  czM  d bởi công thức: d ( M ;( P))   a 2  b2  c 2 Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng đến mặt phẳng  Cho hai mặt phẳng song song ( P) : ax  by  cz  d  0 và (Q) : ax  by  cz  d   0 có cùng d  d véctơ pháp tuyến, khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó là d  (Q),( P)    a 2  b2  c 2 Viết phương trình ( P)  (Q) : ax  by  cz  d  0 và cách M ( x ; y ; z ) khoảng k . Phương pháp:  Vì ( P)  (Q) : ax  by  cz  d  0  ( P) : ax  by  cz  d   0. ax  by  cz  d   Sử dụng công thức khoảng cách d M ,( P )   k  d . a 2  b2  c 2 Viết phương trình mặt phẳng ( P)  (Q) : ax  by  cz  d  0 và ( P) cách mặt phẳng (Q ) một khoảng k cho trước. Phương pháp:  Vì ( P)  (Q) : ax  by  cz  d  0  ( P) : ax  by  cz  d   0.  Chọn một điểm M ( x ; y ; z )  (Q) và sử dụng công thức: ax  by  cz  d  d(Q );( P )  d M ,( P )   k  d . a 2  b2  c 2 Viết phương trình mặt phẳng ( P) vuông góc với hai mặt phẳng ( ), (  ), đồng thời ( P) cách điểm M ( x ; y ; z ) một khoảng bằng k cho trước. Phương pháp:       Tìm n( ) , n(  ) . Từ đó suy ra n( P )   n( ) , n(  )   (a; b; c).    Khi đó phương trình ( P) có dạng ( P) : ax  by  cz  d  0, (cần tìm d ). ax  by  cz  d  Ta có: d M ;( P )  k   k  d. a 2  b2  c2 Câu 26. (THPT Ba Đình 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  có phương trình: 3x  4 y  2 z  4  0 và điểm A 1; 2;3 . Tính khoảng cách d từ A đến  P  . Câu 27. (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : 2 x  2 y  z  4  0 . Tính khoảng cách d từ điểm M 1;2;1 đến mặt phẳng  P  . Câu 28. (SGD Cần Thơ 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm M  1; 2  3 và mặt phẳng  P  : 2 x  2 y  z  5  0 . Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng  P  Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  11. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 Câu 29. (Cần Thơ - 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  2 y  2 z  5  0 và điểm A  1;3; 2  . Tính khoảng cách từ A đến mặt  P  Câu 30. (Sở Kon Tum - 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  P  : 2 x  y  2 z  4  0 . Tính khoảng cách từ điểm M  3;1;  2  đến mặt phẳng  P  NỘI DUNG TIẾP THEO ĐÃ BỊ CẮT Dạng 3. Góc của 2 mặt phẳng 1. Góc giữa hai véctơ     Cho hai véctơ a  (a1 ; a2 ; a3 ) và b  (b1 ; b2 ; b3 ). Khi đó góc giữa hai véctơ a và b là góc nhợn hoặc tù.    a.b a1b1  a2b2  a3b3 cos(a; b )     với 0    180. a.b a12  a2  a3 . b12  b2  b32 2 2 2 2. Góc giữa hai mặt phẳng Cho hai mặt phẳng ( P) : A1 x  B1 y  C1 z  D1  0 và (Q) : A2 x  B2 y  C2 z  D2  0.   nP .nQ A1 A2  B1B2  C1C2 cos  ( P),(Q)   cos      với 0    90. nP . nQ A12  B12  C12 . A2  B2  C2 2 2 2 Câu 37. Trong không gian Oxyz , tính góc giữa hai mặt phẳng ( P) : x  y  z  3  0 và (Q) : 2 x  y  2 z  3  0 . Câu 38. Trong không gian Oxyz , tính góc giữa hai mặt phẳng ( P) : 2 x  y  2 z  1  0 và (Q) : x  y  z  0 . Câu 39. Tính góc giữa hai mặt phẳng  P  và  P2  , biết  P  và  P2  có hai vectơ pháp tuyến lần lượt 1 1   là n1  ( 3; 0; 1), n2  (1; 0;  3) . NỘI DUNG TIẾP THEO ĐÃ BỊ CẮT Dạng 4. Vị trí tương đối hai mặt Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) Cho hai mặt phẳng ( P) : A1 x  B1 y  C1 z  D1  0 và (Q) : A2 x  B2 y  C2 z  D2  0. A B C D  ( P) cắt (Q)  1  1  1  1  A2 B2 C2 D2 A B C D  ( P)  (Q)  1  1  1  1  A2 B2 C2 D2 A B C D  ( P)  (Q)  1  1  1  1  A2 B2 C2 D2  ( P)  (Q)  A1 A2  B1 B2  C1C2  0. Câu 43. (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A 1; 0;0  , B  0; b;0  , C  0;0; c  trong đó b.c  0 và mặt phẳng  P  : y  z  1  0 . Tìm mối liên hệ giữa b, c để mặt phẳng ( ABC ) vuông góc với mặt phẳng ( P ) Câu 44. Cho hai mặt phẳng ( P) : x  2 y  z  3  0 và (Q) : x  4 y  (m  1) z  1  0 với m là tham số. Tìm giá trị của tham số m để mặt phẳng ( P) vuông góc với mặt phẳng (Q) . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11
  12. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Câu 45. Cho hai mặt phẳng ( ) : x  y  nz  3  0 và (  ) : 2 x  my  2 z  6  0 . Với giá trị nào của m, n thì ( ) song song với ( ) ? Câu 46. (SGD Bến Tre 2019) Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng   : x  2 y  z  1  0 và    : 2 x  4 y  mz  2  0. Tìm m để hai mặt phẳng   và    song song với nhau. Câu 47. Tìm các cặp mặt phẳng song song hoặc vuông góc trong các mặt phẳng sau: ( P) : 2 x  3 y  2 z  7  0 , (Q) : 3x  2 y  11  0 , ( R) : 4 x  6 y  4 z  9  0 , (T ) : 7 x  y  z  1  0 . NỘI DUNG TIẾP THEO ĐÃ BỊ CẮT Dạng 5. Ứng dụng   Câu 52. Cho biết hai vectơ a  (2;1;1), b  (1; 2;0) có giá lần lượt song song với ngón trỏ và ngón giữa  của bàn tay trong Hình. Tìm vectơ n có giá song song với ngón cái. (Xem như ba ngón tay nói trên tạo thành ba đường thẳng đôi một vuông góc.) Câu 53. Một công trường xây dựng nhà cao tầng đã thiết lập hệ toạ độ Oxyz . Hãy kiểm tra tính song song hoặc vuông góc giữa các mặt kính ( P),(Q), ( R) (Hình) của một toà nhà, biết: ( P) : 3 x  y  z  2  0 ; (Q) : 6 x  2 y  2 z  11  0 ; ( R) : x  3 y  1  0 . NỘI DUNG TIẾP THEO ĐÃ BỊ CẮT Câu 63. Trên một cánh đồng điện mặt trời, người ta đã thiết lập sẵn một hệ tọa độ Oxyz . Hai tấm pin năng lượng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng ( P) : 2 x  2 z  1  0 và  P   : x  z  7  0 . Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  13. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 a) Tính góc giữa ( P) và  P  . b) Tính góc hợp bởi ( P) và  P   với mặt đất (Q) có phương trình z  0 . PHẦN C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM DÀNH CHO HỌC SINH TRUNG BÌNH Câu 1. (Đề minh họa 2022) Trong không gian Oxyz , mặt phẳng  P  : 2 x  3 y  4 z  1  0 có một vectơ pháp tuyến là:        A. n4   1; 2;  3  . B. n3   3; 4;  1 . C. n2   2;  3; 4  . D. n1   2;3; 4  . Câu 2. (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng   : 3x  2 y  4 z  1  0 . Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của   ?        A. n2   3;2;4  . B. n3   2;  4;1 . C. n1   3;  4;1 . D. n4   3;2;  4  . Câu 3. (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  P  : 2 x  3 y  z  2  0 . Véctơ nào dưới đây là một véctơ pháp tuyến của  P  ?     A. n3  2;3; 2  . B. n1  2;3;0  . C. n2  2;3;1 . D. n4  2; 0;3 . Câu 4. (Mã 123 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , vectơ nào dưới đây là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng  Oxy  ?     A. i   1; 0; 0  B. m   1;1;1 C. j   0;1; 0  D. k   0; 0; 1 Câu 5. (THPT Nghĩa Hưng NĐ- 2019) Trong không gian Oxyz , một vectơ pháp tuyến của mặt x y z phẳng    1 là 2 1 3     A. n  (3;6; 2) B. n  (2; 1;3) C. n  (3; 6; 2) D. n  (2; 1;3) Câu 6. (Đề Minh Họa 2023) Trong không gian Oxyz , mặt phẳng  P  : x  y  z  1  0 có một vectơ pháp tuyến là        A. n1   1;1;1 . B. n4  1;1; 1 . C. n3  1;1;1 . D. n2  1; 1;1 . Câu 7. (Mã 101-2022) Trong không gian Oxyz , phương trình của mặt phẳng (Oyz ) là: A. z  0 . B. x  0 . C. x  y  z  0 . D. y  0 . Câu 8. (Mã 103 - 2022) Trong không gian Oxyz , phương trình của mặt phẳng  Oxy  là: A. z  0 . B. x  0 . C. y  0 . D. x  y  0 . Câu 9. (Đề Tham Khảo 2019) Trong không gian Oxyz , mặt phẳng  Oxz  có phương trình là: A. x  0 B. z  0 C. x  y  z  0 D. y  0 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13
  14. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Câu 10. (THPT Thuận Thành 3 - Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương  trình mặt phẳng đi qua điểm A 1; 2;  3 có véc tơ pháp tuyến n   2;  1;3 là A. 2 x  y  3z  9  0 . B. 2 x  y  3z  4  0 . C. x  2 y  4  0 . D. 2 x  y  3z  4  0 . Câu 11. (SGD Điện Biên - 2019) Trong không gian Oxyz phương trình mặt phẳng đi qua điểm  A (1;  2;3) và vuông góc với giá của véctơ v  (1; 2;3) là A. x  2 y  3z  4  0. B. x  2 y  3z  4  0. C. x  2 y  3z  4  0. D.  x  2 y  3z  4  0. Câu 12. (SGD Cần Thơ 2019) Trong không gian Oxyz , phương trình của mặt phẳng đi qua điểm  A  3; 0; 1 và có véctơ pháp tuyến n   4; 2; 3 là A. 4 x  2 y  3 z  9  0 . B. 4 x  2 y  3z  15  0 . C. 3 x  z  15  0 . D. 4 x  2 y  3z  15  0 . Câu 13. (Mã 104 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương  trình mặt phẳng đi qua điểm M 1; 2; 3 và có một vectơ pháp tuyến n  1; 2;3 . A. x  2 y  3z  12  0 B. x  2 y  3z  6  0 C. x  2 y  3z  12  0 D. x  2 y  3 z  6  0 Câu 14. (Mã 101-2022) Trong không gian Oxyz , cho điểm A  0; 3; 2  và mặt phẳng  P  : 2 x  y  3z  5  0 . Mặt phẳng đi qua A và song song với  P  có phương trình là A. 2 x  y  3 x  9  0 . B. 2 x  y  3 x  3  0 . C. 2 x  y  3 x  3  0 . D. 2 x  y  3 x  9  0 . Câu 15. (Đề Minh Họa 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A  0;1;1 ) và B 1; 2;3 . Viết phương trình của mặt phẳng  P  đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB . A. x  y  2 z  3  0 B. x  y  2 z  6  0 C. x  3 y  4 z  7  0 D. x  3 y  4 z  26  0 Câu 16. (Mã 104 2018) Trong không gian Oxyz, Cho hai điểm A  5; 4; 2  và B 1; 2; 4  . Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB có phương trình là A. 2 x  3 y  z  20  0 B. 3 x  y  3 z  25  0 C. 2 x  3 y  z  8  0 D. 3x  y  3z  13  0 Câu 17. (Đề Tham Khảo 2018) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A  1;2;1 và B  2;1;0  . Mặt phẳng qua A và vuông góc với AB có phương trình là A. x  3 y  z  5  0 B. x  3 y  z  6  0 C. 3x  y  z  6  0 D. 3x  y  z  6  0 Câu 18. (Mã 103 2018) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A  1;1;1 , B  2;1;0  C 1; 1; 2  . Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC có phương trình là A. 3x  2 z  1  0 B. x  2 y  2 z  1  0 C. x  2 y  2 z  1  0 D. 3x  2 z  1  0 Câu 19. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Trong không gian Oxyz , cho 2 điểm A(5; 4; 2) và B(1; 2; 4) . Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB là? A. 3 x  y  3 z  25  0 B. 2 x  3 y  z  8  0 C. 3x  y  3z  13  0 D. 2 x  3 y  z  20  0 Câu 20. (Chuyên Đại học Vinh 2019) Trong không gian Oxyz , mặt phẳng  P  đi qua điểm  M  3; 1; 4  đồng thời vuông góc với giá của vectơ a  1; 1; 2  có phương trình là A. 3x  y  4 z  12  0 . B. 3 x  y  4 z  12  0 . C. x  y  2 z  12  0 . D. x  y  2 z  12  0 . NỘI DUNG TIẾP THEO ĐÃ BỊ CẮT Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  15. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI Câu 56. (Mã 104 - 2019) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A  4;0;1 và B  2; 2;3 . Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là A. 3x  y  z  0. B. 3x  y  z  6  0. C. x  y  2 z  6  0. D. 6 x  2 y  2 z  1  0. Câu 57. (Mã 102 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A  1; 2; 0  và B  3; 0; 2  . Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là A. x  y  z  3  0 . B. 2 x  y  z  2  0 . C. 2 x  y  z  4  0 . D. 2 x  y  z  2  0 . Câu 58. (Mã 103 - 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(2;1; 2) và B (6;5; 4) . Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là A. 2 x  2 y  3 z  17  0 . B. 4 x  3 y  z  26  0 . C. 2 x  2 y  3 z  17  0 . D. 2 x  2 y  3z  11  0 . Câu 59. (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , cho A 1;2; 1 ; B  1;0;1 và mặt phẳng  P  :x  2 y  z  1  0 . Viết phương trình mặt phẳng  Q  qua A, B và vuông góc với  P  A.  Q  :2 x  y  3  0 B.  Q  :x  z  0 C.  Q  : x  y  z  0 D.  Q  :3 x  y  z  0 Câu 60. (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A  2; 4;1 ,B  1;1;3  và mặt phẳng  P  : x  3 y  2 z  5  0 . Lập phương trình mặt phẳng  Q  đi qua hai điểm A , B và vuông góc với mặt phẳng  P  . A. 2 y  3z  11  0 . B. 2 x  3 y  11  0 . C. x  3 y  2 z  5  0 . D. 3 y  2 z  11  0 . Câu 61. (KTNL GV Lý Thái Tổ 2019) Cho hai mặt phẳng   : 3x  2 y  2 z  7  0,    : 5 x  4 y  3z  1  0 . Phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O đồng thời vuông góc với cả   và    là: A. 2 x  y  2 z  0. B. 2 x  y  2 z  0. C. 2 x  y  2 z  0. D. 2 x  y  2 z  1  0. Câu 62. (Chuyên Đại Học Vinh 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng  P  : x  3 y  2 z  1  0,  Q  : x  z  2  0 . Mặt phẳng   vuông góc với cả  P  và  Q  đồng thời cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 3. Phương trình của mp   là A. x  y  z  3  0 B. x  y  z  3  0 C. 2 x  z  6  0 D. 2 x  z  6  0 Câu 63. (THPT Lương Thế Vinh - HN - 2018) Trong không gian Oxyz , phương trình của mặt phẳng  P  đi qua điểm B  2;1;  3  , đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng  Q  : x  y  3 z  0 ,  R : 2x  y  z  0 là A. 4 x  5 y  3z  22  0 . B. 4 x  5 y  3 z  12  0 . C. 2 x  y  3z  14  0 . D. 4 x  5 y  3z  22  0 . Câu 64. (Chuyên ĐHSPHN - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A  0;1; 2  , B  2;  2; 0  , C  2; 0;1 . Mặt phẳng  P  đi qua A , trực tâm H của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng  ABC  có phương trình là A. 4 x  2 y  z  4  0 . B. 4 x  2 y  z  4  0 . C. 4 x  2 y  z  4  0 . D. 4 x  2 y  z  4  0 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15
  16. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Câu 65. (Thpt Vĩnh Lộc - Thanh Hóa 2019) Trong không gian Oxyz cho điểm M 1; 2;3 . Viết phương trình mặt phẳng  P  đi qua điểm M và cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại A , B , C sao cho M là trọng tâm của tam giác ABC . A.  P  : 6 x  3 y  2 z  18  0 . B.  P  : 6 x  3 y  2 z  6  0 . C.  P  : 6 x  3 y  2 z  18  0 . D.  P  : 6 x  3 y  2 z  6  0 . Câu 66. (Chuyên Thái Bình - 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm M 1; 2;3 . Gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên các trục Ox, Oy, Oz . Viết phương trình mặt phẳng  ABC  . x y z x y z x y z x y z A.    1 . B.    1 . C.    0 . D.     1 . 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 Câu 67. (Chu Văn An - Hà Nội - 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm G 1; 4;3  . Mặt phẳng nào sau đây cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho G là trọng tâm tứ diện OABC ? x y z A.    1. B. 12 x  3 y  4 z  48  0 . 3 12 9 x y z C.    0 . D. 12 x  3 y  4 z  0 . 4 16 12 Câu 68. (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng  P  đi qua A 1;1;1 và B  0; 2; 2  đồng thời cắt các tia Ox , Oy lần lượt tại hai điểm M , N ( không trùng với gốc tọa độ O ) sao cho OM  2ON A.  P  : 3x  y  2 z  6  0 B.  P  : 2 x  3 y  z  4  0 C.  P  : 2 x  y  z  4  0 D.  P  : x  2 y  z  2  0 Câu 69. (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian Oxyz , nếu ba điểm A, B, C lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm M 1; 2;3 lên các trục tọa độ thì phương trình mặt phẳng  ABC  là 1 2 3 x y z 1 2 3 x y z A.    1. B.    1. C.    0. D.    0. x y z 1 2 3 x y z 1 2 3 Câu 70. (Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm M (8; 2; 4) . Gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu của M trên các trục Ox, Oy, Oz . Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B và C là A. x  4 y  2 z  8  0 B. x  4 y  2 z  18  0 C. x  4 y  2 z  8  0 D. x  4 y  2 z  8  0 Câu 71. (Chuyên Hạ Long 2019) Viết phương trình mặt phẳng   đi qua M  2;1; 3 , biết   cắt trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho tam giác ABC nhận M làm trực tâm A. 2 x  5 y  z  6  0. B. 2 x  y  6 z  23  0. C. 2 x  y  3z  14  0. D. 3x  4 y  3z  1  0. Câu 72. Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng  P  : x  4 y  2 z  6  0 ,  Q  : x  2 y  4 z  6  0 . Mặt phẳng   chứa giao tuyến của  P  ,  Q  và cắt các trục tọa độ tại các điểm A, B, C sao cho hình chóp O. ABC là hình chóp đều. Phương trình mặt phẳng   là A. x  y  z  6  0 . B. x  y  z  6  0 . C. x  y  z  3  0 . D. x  y  z  6  0 . Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  17. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 Câu 73. (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Trong không gian Oxyz cho các điểm A(2;0;0), B(0; 4;0), C (0;0;6), D(2; 4;6) . Gọi ( P) là mặt phẳng song song với mặt phẳng ( ABC ) , ( P) cách đều D và mặt phẳng ( ABC ) . Phương trình của mặt phẳng ( P) là A. 6 x  3 y  2 z  24  0 . B. 6 x  3 y  2 z  12  0 . C. 6 x  3 y  2 z  0 . D. 6 x  3 y  2 z  36  0 . Câu 74. Trong không gian Oxyz , cho điểm M 1;1; 2 . Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng  P  đi qua M và cắt các trục x'Ox, y'Oy,z'Oz lần lượt tại các điểm A,B,C sao cho OA  OB  OC  0 ? A. 3 B. 1 C. 4 D. 8 NỘI DUNG TIẾP THEO ĐÃ BỊ CẮT Câu 102. (Toán Học Tuổi Trẻ 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , biết mặt phẳng  P : ax  by  cz  d  0 với c  0 đi qua hai điểm A 0;1;0 , B1;0;0 và tạo với mặt phẳng  yOz  một góc 60 . Khi đó giá trị a  b  c thuộc khoảng nào dưới đây? A.  0;3 . B.  3;5 . C.  5;8 . D.  8;11 . PHẦN D. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI Câu 1. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng  P  : 2 x  3y  z  2024  0 . Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau: Mệnh đề Đúng Sai  a) Mặt phẳng  P  có một vectơ pháp tuyến là n   2; 3; 1 .  b) Mặt phẳng (Oxz) có vectơ pháp tuyến là n   6; 9; 3 .  c) Mặt phẳng (Oyz) có vectơ pháp tuyến là n   4; 6; 2  . d) Điểm M  0; 0; 2024  không thuộc mặt phẳng  P  . Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(1; 3;0), B(5;1; 2) . Gọi ( P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB . Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau Mệnh đề Đúng Sai  a) AB(6; 4; 2)  b) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( P) là n (12; 8; 4) . c) Phương trình mặt phẳng ( P) là: 3x  2 y  z  3  0 . d) Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua C (1; 3;9) và song song với ( P) thì mặt phẳng (Q) đi qua gốc toạ độ. Câu 3. Trong không gian Oxyz , cho điểm A(1;2;3) và B(3; 4;7) . Gọi ( P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB . Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau Mệnh đề Đúng Sai a) Độ dài đoạn thẳng AB bằng 2 6 . b) Hình chiếu vuông góc của B trên mặt phẳng (Oyz ) là B (3; 0;7) . c) Trung điểm của đoạn thẳng AB là M (2;3;5) . d) Phương trình mặt phẳng ( P) là:  x  y  2 z  15  0 . Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(0;3;1), B(1;0; 1), C (2;1;1) .Gọi ( P) là mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C . Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau: Mệnh đề Đúng Sai a)  1 4 1 Toạ độ trọng tâm tam giác ABC là G   ; ;  .  3 3 3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17
  18. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ b) Phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với BC là (Q) : 3x  y  2 z  5  0 .  c) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( P) là n( P )  (1; 2; 2) . d) Mặt phẳng ( P) đi qua điểm M (2;5;3) . Câu 5. Trong không gian Oxyz , gọi ( P) là mặt phẳng đi qua hai điểm A(1; 2;0), B(2;3;1) và song song với trục Oz . Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau: Mệnh đề Đúng Sai    a) AB vuông góc với vectơ a (2; 7; 5) . b) Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là (Q) : 2 x  2 y  2 z  9  0 .  c) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( P) là n( P )  ( 1;1; 0) . d) Mặt phẳng ( P) đi qua điểm K (5;6;7) . Câu 6. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1; 0; 0  ; B  4;1; 2  . Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau: Mệnh đề Đúng Sai   a) AB   3;1; 2  b) Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với AB có phương trình là 3x  y  2 z  3  0 . c) 5 1  Nếu I là trung điểm đoạn thẳng AB thì I  ; ; 1 . 2 2  d) Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB có phương trình là 3x  y  2z  12  0 . Câu 7. Trong không gian Oxyz , gọi là mặt phẳng đi qua hai điểm A(1;3; 4), B(2; 1;5) và vuông góc với mặt phẳng (Q) : 2 x  3 y  z  1  0 . Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau: Mệnh đề Đúng Sai  a) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là n  (4;6; 2) . b) 3 9 Trung điểm của đoạn thẳng AB là I  ;1;  . 2 2 c) Mặt phẳng qua A và song song với (Q) có phương trình là 2 x  3 y  z  3  0 . d) Phương trình mặt phẳng ( P) là  x  y  5 z  22  0 . Câu 8. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm A(1;2;3) và hai mặt phẳng ( P) : x  2  0 và (Q) : y  z  1  0 . Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau: Mệnh đề Đúng Sai  a) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( P) là n( P ) (1; 2; 0) . b) Hai mặt phẳng ( P) và (Q) vuông góc với nhau. c) Phương trình mặt phẳng qua A và song song với (Q) là y  z  1  0 . d) Phương trình mặt phẳng đi qua điểm A và vuông góc với cả hai mặt phẳng ( P) và (Q) là: y  z  5  0 . NỘI DUNG TIẾP THEO ĐÃ BỊ CẮT Câu 36. Cho hai mặt phẳng  P  : 2 x  y  2z  5  0 ;  Q  : 4 x  2 y  4 z  1  m  0 và điểm M  2; 1; 5  . Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau: Mệnh đề Đúng Sai a) 8 Khoảng cách từ M đến mặt phẳng  P  bằng . 3 Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  19. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 b) 9 Với m  0 thì khoảng cách M đến mặt phẳng  Q  bằng . 2 c) Với m  3 thì khoảng cách giữa mặt phẳng  P  và mặt phẳng  Q  bằng 3 . d) Có hai giá trị của m để khoảng cách từ M đến mặt phẳng  Q  bằng 1 . Khi đó tổng tất cả giá trị của m bằng 5 . PHẦN E. TRẢ LỜI NGẮN Câu 1. Trên bản thiết kế đồ hoạ 3D của một cánh đồng điện mặt trời trong không gian Oxyz , một tấm pin nằm trên mặt phẳng ( P) : 6 x  5 y  z  2  0 ; một tấm pin khác nằm trên mặt phẳng (Q) đi qua điểm M (1;1;1) và song song với ( P) . Phương trình mặt phẳng (Q) có dạng ax  by  cz  12  0 . Tính abc Trả lời: …………. Câu 2. Hai học sinh đang chuyền bóng. Bạn nữ ném bóng cho bạn nam. Quả bóng bay trên không, lệch sang phải và rơi xuống tại vị trí cách bạn nam 3 m , cách bạn nữ 5 m (Hình). Cho biết quỹ đạo của quả bóng nằm trong mặt phẳng ( P) vuông góc với mặt đất. Phương trình của ( P) trong không gian Oxyz được mô tả như trong hình vẽ có dạng ax  3 y  0 . Tìm a Trả lời: …………. Câu 3. Để làm thí nghiệm về chuyển động trong mặt phẳng nghiêng, người làm thí nghiệm đã thiết lập sẵn một hệ toạ độ Oxyz . Tính góc giữa mặt phẳng nghiêng ( P) : 4 x  11z  5  0 và mặt sàn (Q) : z  1  0 (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ). Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19
  20. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Trả lời: …………. Câu 4. (Đề Tham Khảo 2019) Trong không gian Oxyz , tính hoảng cách giữa hai mặt phẳng  P  : x  2 y  2 z  10  0 và  Q  : x  2 y  2 z  3  0 (làm tròn kết quả đến hàng phần mười) Trả lời: …………. Câu 5. Trong không gian Oxyz , tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng  P  : 6 x  3 y  2 z  1  0 và 1 1 Q  : x  y  z  8  0 2 3 Trả lời: …………. Câu 6. (Chuyên Bắc Giang 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song   : x  2 y  2z  4  0 và    :  x  2 y  2z  7  0 . Trả lời: …………. Câu 7. (Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng  P  : x – 2y  2z – 3  0 và  Q  : mx  y – 2z  1  0 . Với giá trị nào của m thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau? Trả lời: …………. Câu 8. (THPT Yên Khánh - Ninh Bình - 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng  P  : x  2 y  z  3  0 ;  Q  : 2 x  y  z  1  0 . Mặt phẳng  R  đi qua điểm M 1;1;1 chứa giao tuyến của  P  và  Q  ; phương trình của  R  : m  x  2 y  z  3    2 x  y  z  1  0 . Khi đó giá trị của m là Trả lời: …………. ̆ Câu 9. Trong không gian Oxyz , cho hai măt phẳng ( P ) : 3 x  y  4 z  2024  0 và (Q ) : x  3 y  4 z  2025  0 . Góc giữa hai mặt phẳng ( P ), (Q ) bằng bao nhiêu độ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)? Trả lời: …………. Câu 10. Trong không gian O xyz , cho tứ diện ABCD có A (5; 3; 6), B (1;1; 4), C (2;1; 2) và D (0; 0; 4) . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( BCD ) bằng bao nhiêu? Trả lời: …………. NỘI DUNG TIẾP THEO ĐÃ BỊ CẮT Câu 54. Góc quan sát ngang của một camera là 115 . Trong không gian Oxyz, camera được đặt tại điểm C (1; 2; 4) và chiếu thẳng về phía mặt phẳng ( P ) : x  2 y  2 z  3  0 . Hỏi vùng quan sát được trên mặt phẳng ( P ) của camera là hình tròn có bán kính bằng bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất.) Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.06: Bộ 240 Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2023
240 tài liệu
1121 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright ©2025 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
21=>0