zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Ôn thi Tốt nghiệp THPT

Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp 2025 - Chuyên đề 22: Một số bài toán khó oxyz

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:64

Báo xấu

2
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

"Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp 2025 môn Toán - Chuyên đề 22: Một số bài toán khó Oxyz" tổng hợp các bài toán nâng cao trong hình học không gian tọa độ. Tài liệu bao gồm phần lý thuyết mở rộng, ví dụ chọn lọc, bài tập tự luận nâng cao, trắc nghiệm vận dụng cao, bài tập đúng sai và câu hỏi trả lời ngắn. Đây là chuyên đề dành cho học sinh khá giỏi muốn chinh phục điểm cao. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu chuyên đề này để giải quyết hiệu quả các bài toán khó trong không gian Oxyz.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp 2025 - Chuyên đề 22: Một số bài toán khó oxyz

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ 22. MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÓ OXYZ • Fanpage: Nguyễn Bảo Vương - https://www.nbv.edu.vn/ Để đảm bảo quyền lợi cho giáo viên đã mua tài liệu, thì nội dung file pdf này bên mình sẽ cắt giảm đi số lượng câu hỏi so với file thực tế. BÀI TOÁN 1. BÀI TOÁN KẾT HỢP MẶT PHẲNG – ĐƯỜNG THẲNG – MẶT CẦU Câu 1. (Đề Tham Khảo 2018) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A1;2;1 , B  3; 1;1 và C  1; 1;1 . Gọi  S1  là mặt cầu có tâm A , bán kính bằng 2 ;  S2  và  S3  là hai mặt cầu có tâm lần lượt là B , C và bán kính đều bằng 1 . Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu  S1  ,  S2  ,  S3  . Trả lời: ……… 2 2 2 Câu 2. Trong không gian Oxyz, cho  S  :  x  3   y  2    z  5   36 , điểm M  7;1;3  . Gọi  là đường thẳng di động luôn đi qua M và tiếp xúc với mặt cầu  S  tại N . Tiếp điểm N di động trên đường tròn  T  có tâm J  a, b, c  . Gọi k  2a  5b  10c , thì giá trị của k là? Trả lời: ……… Câu 3. (Chuyên Đại Học Vinh 2019) Trong không gian Oxyz , cho các điểm M  2;1; 4  , N  5; 0; 0  , P 1; 3;1 . Gọi I  a; b; c  là tâm của mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng  Oyz  đồng thời đi qua các điểm M , N , P . Tìm c biết rằng a  b  c  5 Trả lời: ……… Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A  3;1;1 , B 1;  1; 5  và mặt phẳng  P  : 2 x  y  2 z  11  0. Mặt cầu  S  đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với  P  tại điểm C . Biết C luôn thuộc một đường tròn  T  cố định. Tính bán kính r của đường tròn  T  . Trả lời: ……… Câu 5. (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm  5 3 7 3   5 3 7 3  2 2 2 A  2 ; 2 ;3  , B  2 ; 2 ;3  và mặt cầu ( S ) : ( x  1)  ( y  2)  ( z  3)  6 .        Xét mặt phẳng ( P ) : ax  by  cz  d  0 ,  a , b, c, d   : d  5  là mặt phẳng thay đổi luôn đi qua hai điểm A, B . Gọi ( N ) là hình nón có đỉnh là tâm của mặt cầu ( S ) và đường tròn đáy là đường tròn giao tuyến của ( P ) và ( S ) . Tính giá trị của T  a  b  c  d khi thiết diện qua trục của hình nón ( N ) có diện tích lớn nhất. Trả lời: ……… Câu 6. Trong không gian Oxyz , xét số thực m   0;1 và hai mặt phẳng    : 2 x  y  2 z  10  0 và x y z  :    1 . Biết rằng, khi m thay đổi có hai mặt cầu cố định tiếp xúc đồng thời với m 1 m 1 cả hai mặt phẳng    ,    . Tổng bán kính của hai mặt cầu đó bằng? Trả lời: ……… Câu 7. Trong không gian Oxyz , mặt cầu  S  đi qua điểm A  2; 2;5  và tiếp xúc với ba mặt phẳng  P  : x  1,  Q  : y  1 và  R  : z  1 có bán kính bằng? Trả lời: ……… Câu 8. (Đề Tham Khảo 2018) Trong không gian Oxyz , cho điểm M 1;1; 2 . Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng  P  đi qua M và cắt các trục x'Ox, y'Oy, z'Oz lần lượt tại các điểm A,B,C sao cho OA  OB  OC  0 ? Trả lời: ……… Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Câu 9. (Cụm 5 Trường Chuyên - ĐBSH - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A  a; 0; 0  , B  0; b; 0  , C  0; 0; c  với a, b, c  0 . Biết rằng  ABC  đi qua điểm 1 2 3 2 2 2 72 M  ; ;  và tiếp xúc với mặt cầu  S  : x  1   y  2    z  3  . Tính 7 7 7 7 1 1 1   . a 2 b2 c 2 Trả lời: ……… Câu 10. (THPT Ngô Sĩ Liên Bắc Giang 2019) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , điểm M  a , b, c  thuộc mặt phẳng  P  : x  y  z  6  0 và cách đều các điểm A 1; 6; 0  , B  2; 2; 1 , C  5; 1;3  . Tích abc bằng? Trả lời: ……… NỘI DUNG TIẾP THEO ĐÃ BỊ CẮT Câu 31. (Sở Hà Nam 2024) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S  có phương 2 2 2 trình  x  1   y  1   z  1  3. Có bao nhiêu điểm M  a; b; c  (với a, b, c là các số nguyên) thuộc mặt phẳng  Oyz  sao cho tồn tại ít nhất hai tiếp tuyến của  S  đi qua M và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau? Trả lời: ……… PHƯƠNG PHÁP 1. Một số bất đẳng thức cơ bản Kết quả 1. Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn thì lớn hơn Kết quả 2. Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm nằm ngoài đường thẳng đến đường thẳng đó thì đường vuông góc là đường ngắn nhất. Như trong hình vẽ ta luôn có AM  AH Kết quả 3. Với ba điểm A, B, C bất kì ta luôn có bất đẳng thức AB  BC  AC . Tổng quát hơn ta có bất đẳng thức của đường gấp khúc: Với n điểm A1 , A2 ,.... An ta luôn có A1 A2  A2 A3  ...  An1 An  A1 An x y Kết quả 4. Với hai số không âm x, y ta luôn có  2 xy . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2 x y        Kết quả 5. Với hai véc tơ a, b ta luôn có a.b  a . b . Đẳng thức xảy ra khi a  kb, k   2. Một số bài toán thường gặp Bài toán 1. Cho điểm A cố định và điểm M di động trên hình  H  (  H  là đường thẳng, mặt phẳng). Tìm giá trị nhỏ nhất của AM Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 Lời giải: Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên hình  H  . Khi đó, trong tam giác AHM Vuông tại. M ta có AM  AH . Đẳng thức xảy ra khi M  H . Do đó AM nhỏ nhất khi M là hình chiếu của A lên  H  Bài toán 2. Cho điểm A và mặt cầu  S  có tâm I , bán kính R, M là điểm di động trên  S  . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của AM . Lời giải. Xét A nằm ngoài mặt cầu ( S ). Gọi M1 , M 2 lần lượt là giao điểm của đường thẳng AI với mặt cầu ( S )  AM 1  AM 2  và ( ) là mặt phẳng đi qua M và đường thẳng AI . Khi đó ( ) cắt ( S ) theo một đường tròn lớn (C ). Ta có M MM  90 , nên  2 và  là các 1  2 AMM AM M 1 góc tù, nên trong các tam giác AMM 1 và AMM 2 ta có AI  R  AM 1  AM  AM 2  AI  R Tương tự với A nằm trong mặt cầu ta có R  AI  AM  R  AI Vậy min AM | AI  R |, max AM  R  AI Bài toán 3. Cho măt phẳng (P) và hai điểm phân biệt A, B. Tìm điể M thuộc ( P) sao cho 1. MA  MB nhỏ nhất. 2. | MA  MB | lớn nhất. Lời giải. 1. Ta xét các trường hợp sau - TH 1: Nếu A và B nằm về hai phía so với ( P) . Khi đó AM  BM  AB Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của AB với ( P) . - TH 2: Nếu A và B nằm cùng một phía so với ( P) . Gọi A đối xứng với A qua ( P) . Khi đó AM  BM  A M  BM  A B Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của A B với ( P) . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 2. Ta xét các trường hợp sau - TH 1: Nếu A và B nằm cùng một phía so với ( P) . Khi đó | AM  BM | AB Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của AB với ( P) . - TH 2: Nếu A và B nằm khác phía so với ( P) . Gọi A ' đối xứng với A qua  P  , Khi đó | AM  BM | A M  BM  A B Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của A B với ( P) . Bài toán 4. Viết phương trinh măt phẳng ( P) di qua A và cách B một khoảng lớn nhất. Lời giải. Gọi H là hình chiếu của B lên mặt phẳng ( P), khi đó d( B,( P))  BH  BA Do đó  P  là mặt phẳng đi qua A vuông góc với AB Bài toán 5. Cho các số thực dương  ,  và ba điểm A, B, C . Viết phương trình măt phẳng ( P) đi qua C và T   d( A,( P))   d( B,( P)) nhỏ nhất. Lời giải. 1. Xét A, B nằm về cùng phía so với ( P) . - Nếu AB‖ ( P) thì P  (   )d( A,( P))  (   ) AC    - Nếu đường thẳng AB cắt ( P) tại I . Gọi D là điểm thỏa mãn IB  ID và E là trung điểm  BD. Khi đó IB P   d( A, ( P))     d( D, ( P))  2 d( E , ( P))  2(   ) EC ID Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 2. Xét A, B nằm về hai phía so với ( P) . Gọi I là giao điểm của AB và ( P ), B là điểm đối xứng với B qua I . Khi đó  P   d( A, ( P))   d B , ( P)  Đến đây ta chuyển về trường hợp trên. So sánh các kết quả ở trên ta chọn kết quả lớn nhất. Bài toán 6. Trong không gian cho n điểm A1 , A2 ,, An và diểm A. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và tổng khoảng cách từ các điểm Ai (i  1, n ) lớn nhất. Lời giải. - Xét n điểm A1 , A2 ,, An nằm cùng phía so với ( P). Gọi G là trọng tâm của n điểm đã cho. Khi đó n  d  A , ( P)   nd(G, ( P))  nGA i 1 i - Trong n điểm trên có m điểm nằm về một phía và k điểm nằm về phía khác (m  k  n ). Khi đó, gọi G1 là trọng tâm của m điểm, G2 là trọng tâm của k điểm G3 đối xứng với G1 qua A. Khi dó P  md  G3 , ( P )   kd  G2 , ( P )  Đến đây ta chuyển về bài toán trên. Bài toán 7.Viết phương trình mặt phẳng  P  đi qua đường thẳng  và cách A một khoảng lớn nhất Lời giải. Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của A lên mặt phẳng ( P) và đường thẳng . Khi đó d( A,( P))  AH  AK Do đó ( P) là mặt phẳng đi qua K và vuông góc vói AK . Bài toán 8. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A1 , A2 , , An . Xét véc tơ       w  1 MA1   2 M A2     n M An Trong đó 1 ; 2 ... n là các số thực cho trước thỏa mãn 1   2  ...   n  0 . Tìm điểm  M thuôc măt phẳng ( P) sao cho | w | có đô dài nhỏ nhất. Lời giải. Gọi G là điểm thỏa mãn     1GA1   2GA2     n GAn  0 (điểm G hoàn toàn xác định).    Ta có MAk  MG  GAk vói k  1; 2;; n, nên         w  1   2   n  MG  1GA1   2GA2     nGAn  1   2   n  MG Do đó   | w | 1   2     n  | MG |  Vi 1   2     n là hằng số khác không nên | w | có giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất, mà M  ( P) nên điểm M cần tìm là hình chiếu của G trên mặt phẳng (P) . Bài toán 9. Trong không gian Oxy z, cho các diểm A1 , A2 , , An . Xét biểu thức: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ T  1MA12   2 MA2     n MAn 2 2 Trong đó 1 ,  2 , ,  n là các số thực cho trước. Tìm điểm M thuộc măt phẳng (P) sao cho 1. T giá trị nhỏ nhất biết 1   2   n  0 . 2. T có giá trị lớn nhất biết 1   2   n  0 . Lời giải. Gọi G là điểm thỏa mãn     1GA1   2GA2     n GAn  0    Ta có MAk  MG  GAk với k  1; 2;; n, nên    2      MAk2  MG  GAk  MG 2  2 MG  GAk  GAk2 Do đó T  1   2     n  MG 2  1GA12   2 GA2     n GAn 2 2 Vì 1GA12   2GA2     nGAn không đổi nên 2 2 • với 1   2   n  0 thì T đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất. • với 1   2   n  0 thì T đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất. Mà M  ( P) nên MG nhỏ nhất khi điểm M là hình chiếu của G trên mặt phẳng ( P) . Bài toán 10. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d và mặt phẳng ( P) cắt nhau. Viết phương trình của mặt phẳng (Q) chứa d và tạo với mặt phẳng ( P) một góc nhỏ nhất. Lời giải. Gọi I là giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng ( P) và lấy điểm M  d , M  I . Gọi H , K lầ lượt là hình chiếu của M lên ( P) và giao tuyến  của ( P) và (Q) .  , do đó Đặt  là góc giữa ( P) và (Q), ta có   MKH HM HM tan    HK HI Do đó (Q) là mặt phẳng đi qua d và vuông góc với mặt phẳng (MHI ), nên (Q) đi qua M và    nhận  nP  ud   ud làm VTPT. Chú ý. Ta có thể giải bài toán trên bằng phương pháp đai số như sau:    - Goi n  (a; b; c ), a 2  b 2  c 2  0 là một VTPT của mặt phẳng (Q). Khi đó n  ud  0 từ đây ta rút được a theo b, c (hoặc b theo a, c hoặc c theo a, b ). - Gọi  là góc giữa ( P) và (Q), ta có Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025   n  nP cos      f (t ) | n |  nP b với t  , c  0. Khảo sát f (t ) ta tìm được max của f (t ) c Bài toán 11. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d và d  chéo nhau. Viết phương trinh mặt phẳng ( P) chứa d và tạo với d  một góc lớn nhất. Lời giải. Trên đường thẳng d , lấy điểm M và dựng đường thẳng  đi qua M song song với d  . Khi đó góc giữa  và ( P) chính là góc giữa d  và ( P) . Trên đường thẳng  , lấy điểm A . Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A lên ( P) và d ,  là góc giữa  và ( P) . HM KM Khi đó    và cos   AMH  AM AM Suy ra ( P) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với mặt phẳng ( AMK ). Do dó ( P) đi qua M      và nhận ud  ud   ud làm VTPT. Chú ý. Ta có thể giải bài toán trên bằng phương pháp đại số như sau:    - Goi n  (a; b; c), a 2  b 2  c 2  0 là một VTPT của măt phẳng ( P). Khi đó n  ud  0 từ đây ta rút được a theo b, c (hoặc b theo a, c hoặc c theo a, b ). - Gọi  là góc giữa ( P) và d  , ta có   n  ud  sin      f (t ) | n |  ud  b với t  , c  0. Khảo sát f (t ) ta tìm được max của f (t ) c BÀI TOÁN 2. CỰC TRỊ Câu 1. (THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho các điểm     A  1; 2;3 , B  6; 5;8 và OM  a.i  b.k trong đó a, b là cá số thực luôn thay đổi. Nếu   MA  2 MB đạt giác trị nhỏ nhất thì giá trị a  b bằng? Trả lời: ………. Câu 2. (Sở Hà Nội 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1; 2;1 ; B  2; 1;3 và điểm M  a; b;0  sao cho MA2  MB 2 nhỏ nhất. Giá trị của a  b là? Trả lời: ………. Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Câu 3. (THPT Nghĩa Hưng Nđ- 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với A  2;1;3  , B 1; 1; 2  , C  3; 6;1 . Điểm M  x; y; z  thuộc mặt phẳng  Oyz  sao cho MA2  MB 2  MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị biểu thức P  x  y  z . Trả lời: ………. Câu 4. (Lê Quý Đôn - Hải Phòng - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A  3; 2;1 , B  2;3; 6  . Điểm M  xM ; y M ; z M  thay đổi thuộc mặt phẳng  Oxy  . Tìm giá trị của biểu thức   T  xM  yM  zM khi MA  3MB nhỏ nhất. Trả lời: ………. Câu 5. (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S ) :( x  1)2  ( y  2) 2 ( z  1)2  9 và hai điểm A(4;3;1) , B(3;1;3) ; M là điểm thay đổi trên (S ) . Gọi m , n lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  2 MA2  MB 2 . Xác định (m  n) . Trả lời: ………. Câu 6. (Chuyên Vĩnh Phúc - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu  S  có phương trình là x 2  y 2  z 2  2 x  2 y  6 z  7  0 . Cho ba điểm A , M , B nằm trên mặt cầu  S  sao cho   90 . Diện tích tam giác AMB có giá trị lớn nhất bằng? AMB Trả lời: ………. Câu 7. (Phan Đình Phùng - Hà Tĩnh - 2018) Cho a, b, c, d , e, f là các số thực thỏa mãn 2 2 2  d  1   e  2    f  3  1   2 2 . Gọi giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2  a  3   b  2   c  9  2 2 2 F  a  d   b  e  c  f  lần lượt là M , m. Khi đó, M  m bằng? Trả lời: ………. Câu 8. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A(1;1;1) , B (2;3; 4) và C ( 2;5;1) . Điểm M (a; b; 0) thuộc mặt phẳng  Oxy  sao cho MA2  MB 2  MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tổng T  a 2  b 2 bằng? Trả lời: ………. Câu 9. (THPT Đoàn Thượng – Hải Dương 2019) Trong không gian Oxyz cho A 1; 1;2 , B  2;0;3 , C  0;1; 2 . Gọi M  a; b; c  là điểm thuộc mặt phẳng  Oxy  sao cho biểu thức         S  MA.MB  2MB.MC  3MC.MA đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó T  12a  12b  c có giá trị là Trả lời: ………. Câu 10. (THPT Ngô Quyền - Ba Vì - Hải Phòng 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , gọi điểm M  a; b; c  (với a, b, c là các phân số tối giản) thuộc mặt cầu  S  : x2  y2  z 2  2x  4 y  4 z  7  0 sao cho biểu thức T  2a  3b  6c đạt giá trị lớn nhất. Khi đó giá trị biểu thức P  2a  b  c bằng? Trả lời: ………. Câu 11. (THPT Ngô Quyền - Ba Vì - Hải Phòng 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, Cho điểm A  2t; 2t;0  , B  0;0; t  (với t  0 ). Điểm P di động thỏa mãn             a a OP. AP  OP.BP  AP.BP  3 . Biết rằng có giá trị t  với a, b nguyên dương và tối giản b b sao cho OP đạt giá trị lớn nhất bằng 3. Khi đó giá trị của Q  2a  b bằng? Trả lời: ………. Câu 12. (HSG Nam Định-2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm         A  4;1;5 , B  3;0;1 , C  1;2;0  và điểm M  a; b; c  thỏa mãn MA.MB  2MB.MC  5MC.MA lớn nhất. Tính P  a  2b  4c. Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 Trả lời: ………. Câu 13. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A  2; 2;4 , B  3;3; 1 và mặt cầu 2 2 2  S  :  x  1   y  3   z  3  3 . Xét điểm M thay đổi thuộc mặt cầu  S  , giá trị nhỏ nhất của 2MA2  3MB 2 bằng? Trả lời: ………. Câu 14. (Kim Liên - Hà Nội 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu 9  S  : x2  y 2  z 2  2 x  4 y  2 z   0 và hai điểm A  0; 2;0  , B  2; 6; 2  . Điểm M  a; b; c    2 thuộc  S  thỏa mãn MA.MB có giá trị nhỏ nhất. Tổng a  b  c bằng Trả lời: ………. Câu 15. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho các điểm A  0;  1;3 , B  2;  8;  4  , 2 2 2 C  2;  1;1 và mặt cầu  S  :  x  1   y  2    z  3  14 . Gọi M  xM ; yM ; zM  là điểm     trên  S  sao cho biểu thức 3MA  2 MB  MC đạt giá trị nhỏ nhất. Tính P  xM  yM . Trả lời: ………. Câu 16. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho 2 điểm A, B thay đổi trên mặt cầu x 2  y 2  ( z  1)2  25 thỏa mãn AB  6 . Giá trị lớn nhất của biểu thức OA2  OB2 là? Trả lời: ………. Câu 17. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 1; 4;5  , B  3; 4;0  , C  2; 1;0  . Gọi M  a ; b ; c  là điểm sao cho MA2  MB2  3MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tổng a  b  c có giá trị bằng Trả lời: ………. 2 2 2 Câu 18. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S ) : x  y  z  2x  4 y  4  0 và hai   điểm A(4; 2; 4), B (1; 4; 2) . MN là dây cung của mặt cầu thỏa mãn MN cùng hướng với  u  (0;1;1) và MN  4 2 . Tính giá trị lớn nhất của AM  BN . Trả lời: ………. Câu 19. (Cụm Trường Nghệ An - 2022) Trong không gian Oxyz , cho các điểm A  0;0;3 và B  2; 3; 5 . Gọi  P là mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến của hai mặt cầu 2 2 2 2 2 2  S1  :  x  1   y  1   z  3  25 và  S2  : x  y  z  2 x  2 y 14  0 . Gọi M , N là hai điểm thuộc  P sao cho MN  1 . Biết giá trị nhỏ nhất của AM  BN có dạng a b c ( a , b , c   và c là số nguyên tố). Tính a  b  c Trả lời: ………. Câu 20. (THPT Phù Cừ - Hưng Yên - 2022) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu (S ) tâm I (2; 1;3) bán kính R  4 và mặt cầu  S1  : x 2  y 2  z 2  4 x  6 z  2  0 . Biết mặt phẳng ( P ) là giao của hai mặt cầu (S ) và  S1  . Gọi M , N là hai điểm thay đổi thuộc mặt phẳng ( P ) sao cho MN  2 . Giá trị nhỏ nhất của AM  BN bằng a  b 2 , với a, b   và b A(0;5; 0), B (3; 2; 4) . Tính giá trị gần đúng của (làm tròn đến hàng phần trăm). a Trả lời: ………. Câu 21. (Sở Hà Tĩnh 2022) Trong không gian Oxyz , cho hai mặt cầu  S1  : x 2  ( y  1)2  ( z  2)2  16;  S2  : ( x  1)2  ( y  1)2  z 2  1 và điểm A  4 ; 7 ;  14  . Gọi   3 3 3 ( P ) là mặt phẳng tiếp xúc với cả hai mặt cầu  S1  ,  S2  và I là tâm của  S1  . Xét điểm M ( a; b; c ) di động trên ( P ) sao cho IM tiếp xúc với mặt cầu  S2  , khi AM ngắn nhất thì a  b  c bằng? Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Trả lời: ………. Câu 22. (Chuyên Nguyễn Trãi – Hải Dương – 2022) Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x 2  y 2  z 2  1 và hai điểm A(3; 0; 0); B (1;1; 0) . Gọi M là điểm thuộc mặt cầu (S ) . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA  3MB . Trả lời: ………. Câu 23. (THPT Đô Lương – Nghệ An – 2022) Trong không gian Oxyz cho đường tròn (C ) là giao tuyến của mặt phẳng tọa độ ( xOy ) với mặt cầu ( S ) : ( x  6)2  ( y  6)2  ( z  3)2  41 . Gọi d là đường thẳng đi qua các điểm A(0; 0;12), B (0; 4;8) . Với M , N là các điểm thay đổi thứ tự trên (C ) và d . Tính giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn MN (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) Trả lời: ………. Câu 24. (THPT Quảng Xương 1-Thanh Hóa 2022) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S ) có phương trình x 2  ( y  1)2  z 2  4 và điểm H (3; 0;3) . Gọi  là đường thẳng đi qua 4 3 điểm H và cắt mặt cầu theo dây cung BC  không đổi. Khi khoảng cách từ O đến  lớn 3 nhất thì  đi qua điểm N (20; m; n) . Tính m  n  ? Trả lời: ………. Câu 25. (Chuyên Lê Quý Đôn – Đà Nẵng 2022) Trong không gian Oxyz , cho hai mặt cầu  S1  : ( x  6)2  ( y  7)2  ( z  8)2  9 và  S2  : ( x  6)2  ( y  7)2  ( z  8)2  1 . Có bao nhiêu điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy ) , với tọa độ là số nguyên, mà từ M kẻ được đến  S1  ba tiếp tuyến MX , MY , MZ (với X , Y , Z là các tiếp điểm và đôi một khác nhau) sao cho mặt phẳng ( XYZ ) tiếp xúc với  S2  ? Trả lời: ………. A 1; 2;1 Câu 26. (THPT Hoàng Hoa Thám - Đà Nẵng 2022) Trong mặt phẳng Oxyz , cho các điểm , 2 2 B  2;0;1 C  3;  1; 2   S  có phương trình x   y  5    z  2   3 . Gọi 2 , và mặt cầu M  x; y; z   S  sao cho biểu thức 3MA2  MB 2  MC 2 đạt giá trị nhỏ là điểm trên mặt cầu nhất. Giá trị P  x  y  2 z là? Trả lời: ………. Câu 27. (Sở KonTum 2022) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A  3;1;  3 , B  0;  2;3 và mặt cầu 2 2  S  :  x  1  y 2   z  3  1. Xét điểm M thay đổi thuộc mặt cầu  S  , giá trị lớn nhất của MA2  2MB 2 bằng? Trả lời: ………. Câu 28. (Mã 105 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A  3; 2; 6  , B  0;1; 0  và 2 2 2 mặt cầu  S  :  x  1   y  2    z  3  25 . Mặt phẳng  P  : ax  by  cz  2  0 đi qua A, B và cắt  S  theo giao tuyến là đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tính T  a  b  c Trả lời: ………. Câu 29. (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Mặt phẳng  P  đi qua điểm M 1;1;1 cắt các tia Ox , Oy , Oz lần lượt tại A  a;0;0  , B  0; b; 0  , C  0;0;c  sao cho thể tích khối tứ diện OABC nhỏ nhất. Khi đó a  2b  3c bằng? Trả lời: ………. Câu 30. (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2019) Trong không gian Oxyz cho mặt cầu 2 2 2 (S ) :  x  1   y  2    z  3  27 . Gọi   là mặt phẳng đi qua 2 điểm A  0; 0; 4  , B  2; 0; 0  và cắt  S  theo giao tuyến là đường tròn  C  sao cho khối nón có đỉnh là tâm của  S  , là hình tròn  C  có thể tích lớn nhất. Biết mặt phẳng   có phương trình dạng ax  by  z  c  0 , khi đó a  b  c bằng? Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 Trả lời: ………. NỘI DUNG TIẾP THEO ĐÃ BỊ CẮT BÀI TOÁN 3. ỨNG DỤNG HÌNH HỌC OXYZ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 1. Gắn tọa độ đối với hình chóp 1.1. Hình chóp có cạnh bên (SA) vuông góc với mặt đáy: Đáy là tam giác đều Đáy là tam giác cân tại A Đáy là tam giác cân tại B Gọi O là trung điểm BC. Chọn hệ trục như hình vẽ, AB  a  1 . Tọa độ các điểm là: Gọi O là trung điểm BC. Chọn hệ Gọi O là trung điểm AC. Chọn hệ  3   1  trục như hình vẽ, a  1 . O(0;0;0), A 0; ;0  , B   ;0;0  , trục như hình vẽ, a  1 .  2   2 Tọa độ các điểm là:    Tọa độ các điểm: O  0;0;0 , O(0;0;0), A  0; OA;0  , B  OB;0;0  , 1   3  A  OA;0;0 , B  0, OB;0  ,   C  ;0;0  , S  0;  .  2 ; OH  C  OC ; 0; 0  , S  0; OA; OH  .  2    SA    SA    C  OC;0;0 , S  OA;0; OH  .    SA  Đáy là tam giác vuông tại B Đáy là tam giác vuông tại A Đáy là tam giác thường Dựng đường cao BO của Chọn hệ trục như hình vẽ, a  1 . Chọn hệ trục như hình vẽ, a  1 . ABC. Chọn hệ trục như hình vẽ, Tọa độ các điểm: B  O  0;0;0 , Tọa độ các điểm: A  O  0;0;0  , a  1. A  0; AB;0 , C  BC,0;0 , B  0; OB;0 , C  AC;0;0 , Tọa độ các điểm: O  0;0;0 ,   S  0;0; SA . A  OA;0;0 , B  0, OB;0  , S  0; AB;   . BH   SA    C  OC;0;0 , S  OA;0; OH  .    SA  Đáy là hình vuông, hình chữ nhật Đáy là hình thoi Đáy là hình thang vuông Chọn hệ trục như hình vẽ, a  1. Tọa độ O  0;0;0  , A OA;0;0 , Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Chọn hệ trục như hình vẽ, a  1. B  0; OB;0  , C  OC ;0;0  Chọn hệ trục như hình vẽ, a  1. Tọa độ A  O  0;0;0  , B  0; AB;0 , Tọa độ   D  0; OD;0  , S  OA;0; OH  .  A  O  0;0;0  , C  AD; AB;0 , D AD;0;0 , S  0;0; SA .   SA  B  0; AB;0  , C  AH ; AB;0  , D  AD;0;0  , S  0;0; SA . 1.2. Hình chóp có mặt bên (SAB) vuông góc với mặt đáy Đáy là tam giác, mặt bên là tam Đáy là tam giác cân tại C (hoặc Đáy là hình vuông-hình chữ nhật giác thường đều), mặt bên là tam giác cân tại S (hoặc đều) Dựng hệ trục như hình, chọn a = 1. Vẽ đường cao CO trong ABC . Ta có: A  O 0;0;0 , B AB;0;0 Chọn hệ trục như hình, a = 1. Gọi O là trung điểm BC, chọn hệ trục như hình, a = 1.   Ta có: C AB; AD;0 , D 0; AD;0 , S  AH;0;   AK O 0;0;0 , A 0;OA;0 , Ta có: O 0;0;0 , A 0;OA;0 ,  SH    B  0; OB;0 , C  OC;0;0 , S  0;0; SO B  0; OB;0 , C  OC;0;0 , S  0; OH ; OK     SH  1.3. Hình chóp đều Hình chóp tam giác đều Hình chóp tứ giác đều Gọi O là trung điểm một cạnh đáy. Dựng hệ trục như Chọn hệ trục như hình với a = 1. Tọa độ hình vẽ và a = 1. Tọa độ điểm:      AB 3   BC  AB 2   AB 2  O 0;0;0 , A  0; ;0 , B   ;0;0  , điểm: O 0;0;0 , A ;0;0, B  0; ;0  ,   2   2    2      2  OA   OB     AB 2  C ;0;0  ,  2      BC   OA  C ;0;0  ,  2       AB 2  D  0;  ;0   AB 3   2   S  0; ; OK  .  6  OB     SH    OH  S  0;0; SO . 2. Gắn tọa độ đối với hình lăng trụ 2.1. Lăng trụ đứng Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 Hình lập phương, hình hộp chữ nhật Lăng trụ đứng đáy là hình thoi Gọi O là tâm hình thoi đáy, ta dựng hệ trục như hình Dựng hệ trục như hình vẽ với a = 1. Tọa độ điểm: với A  O 0;0;0 , O 0;0;0 , A OA;0;0 , B 0; AB;0 , B  0; OB;0  , C  AD; AB;0  , C  OC;0;0  , D  AD;0;0  , D  0; OD;0  , A  OA;0; AA , A  0;0; AA  , B  0; OB; AA  , C   OC;0; CC   , D  0; OD; DD  B  0; AB; AA  , C   AD; AB; AA  , D  AD;0; AA  . Lăng trụ tam giác đều Lăng trụ đứng có đáy tam giác thường Vẽ đường cao CO Gọi O là trung điểm một trong tam giác ABC cạnh đáy, chọn hệ trục và chọn hệ trục như như hình vẽ với a = 1. Ta hình vẽ với a = 1. có: Tọa độ điểm là: O 0;0;0 , A OA;0;0 ,  AB  O 0;0;0 , A ;0;0 , B OB;0;0 ,  2  AB C  0; OC;0 ,   B  ;0;0 , C  0;OC;0 ,  2  A  OA;0; AA ,  AB  B  OB;0; BB , C 0;OC; CC . A  OA;0; AA , B  ;0; BB , C  0; OC;CC .  2  2.2. Lăng trụ nghiêng: Lăng trụ nghiêng có đáy là tam giác đều, hình chiếu Lăng trụ nghiêng có đáy là hình vuông hoặc hình của đỉnh trên mặt phẳng đối diện là trung điểm một chữ nhật, hình chiếu của một đỉnh là một điểm cạnh tam giác đáy thuộc cạnh đáy không chứa đỉnh đó Dựng hệ trục như hình vẽ, ta dễ dàng xác định được Dựng hệ trục như hình vẽ, ta dễ dàng xác định được các các điểm O, A, B, C, D, A. điểm O, A, B, C, A. Tìm tọa độ các điểm còn   qua hệ thức vectơ    thông lại  Tìm tọa độ các điểm còn lại thông qua hệ thức vectơ bằng nhau: AA  BB  CC  DD .     bằng nhau: AA  BB  CC . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Dạng 1. Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải quyết bài toán tìm GÓC Câu 1. (Mã 103 2018) Cho hình lập phương ABCD. ABC D có tâm O . Gọi I là tâm của hình vuông ABC D và điểm M thuộc đoạn OI sao cho MO  2MI (tham khảo hình vẽ). Khi đó sin của góc tạo bởi hai mặt phẳng  MC D  và  MAB  bằng (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) Trả lời: ………… Câu 2. (Mã 102 2018) Cho hình lập phương ABCD. ABC D  có tâm O. Gọi I là tâm của hình vuông 1 ABC D và M là điểm thuộc đoạn thẳng OI sao cho MO  MI (tham khảo hình vẽ). Khi đó cosin 2 của góc tạo bởi hai mặt phẳng ( MC D) và ( MAB ) bằng (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) Trả lời: ………… Câu 3. (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD , có AB  a , AD  a 2, góc giữa AC và mặt phẳng  ABCD  bằng 30 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên AB và K là hình chiếu vuông góc của A trên AD. Tính góc giữa hai mặt phẳng  AHK  và  ABBA . Trả lời: ………… Câu 4. (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SAB là tam giác đều và  SAB  vuông góc với  ABCD  . Tính cos  với  là góc tạp bởi  SAC  và  SCD  . (làm tròn kết quả đến hàng phần mười) Trả lời: ………… Câu 5. (Chuyên Sơn La 2019) Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 6 a , tâm O . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của hai cạnh SA và BC , biết MN  . Khi đó giá trị 2 sin của góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng  SBD  bằng (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) Trả lời: ………… Câu 6. (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng -2019) Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh a. Góc giữa hai mặt phẳng  A ' B ' CD  và  ACC ' A ' bằng Trả lời: ………… Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 Câu 7. (Sở Bắc Ninh -2019) Cho hình chóp O. ABC có ba cạnh OA , OB , OC đôi một vuông góc và     OA  OB  OC  a . Gọi M là trung điểm cạnh AB . Góc tạo bởi hai vectơ BC và OM bằng Trả lời: ………… Câu 8. (THPT Trần Phú - Đà Nẵng - 2018) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông có độ dài đường chéo bằng a 2 và SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD  . Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng  SBD  và  ABCD  . Nếu tan   2 thì góc giữa hai mặt phẳng  SAC  và  SBC  bằng Trả lời: ………… Câu 9. (THPT Nam Trực - Nam Định - 2018) Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có AB  a , SA  a 2 . Gọi G là trọng tâm tam giác SCD . Góc giữa đường thẳng BG với đường thẳng SA bằng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) Trả lời: ………… Câu 10. (Chuyên Hà Tĩnh - 2018) Cho hình lăng trụ ABC . AB C  có A. ABC là tứ diện đều cạnh a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AA và BB . Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng  ABC  và  CMN  . (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) Trả lời: ………… NỘI DUNG TIẾP THEO ĐÃ BỊ CẮT Dạng 2. Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải quyết bài toán tìm KHOẢNG CÁCH Câu 1. (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Cho hình hộp chữ nhật ABCD. ABC D có các kích thước AB  4, AD  3, AA  5 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC ' và B ' C bằng (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) Trả lời: ………… Câu 2. (Việt Đức Hà Nội 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình chóp S . ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết A  0; 0; 0  , D  2; 0; 0  , B  0; 4; 0  , S  0; 0; 4  . Gọi M là trung điểm của SB . Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng  CDM  . (làm tròn kết quả đến hàng phần mười) Trả lời: ………… Câu 3. (Cụm Liên Trường Hải Phòng 2019) Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a . Gọi I là trung điểm của AB , hình chiếu của S lên mặt phẳng  ABC  là trung điểm của CI , góc giữa SA và mặt đáy bằng 450 (hình vẽ bên). Gọi G là trọng tâm tam giác SBC . Khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CG bằng bao nhiêu khi a  1 (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) Trả lời: ………… Câu 4. (Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng 2018) Cho hình lập phương ABCD. AB C D  cạnh bằng a . Gọi K là trung điểm DD . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CK và AD khi a  3 Trả lời: ………… Câu 5. (THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên 2019) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a 3 , mặt bên SAB là tam giác cân với   1200 và nằm trong mặt phẳng vuông góc ASB với đáy. Gọi M là trung điểm của SC và N là trung điểm của MC . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM , BN khi a  1 (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Trả lời: ………… Câu 6. (Chuyên - Vĩnh Phúc - 2019) Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB  1cm , AC  3cm . Tam giác SAB , SAC lần lượt vuông tại B và C . Khối cầu ngoại tiếp 5 5 hình chóp S . ABC có thể tích bằng cm3 . Tính khoảng cách từ C tới  SAB  (làm tròn kết quả đến 6 hàng phần trăm) Trả lời: ………… Câu 7. (Chuyên Lam Sơn 2019) Một phần sân trường được định vị bởi các điểm A , B , C , D như hình vẽ. Bước đầu chúng được lấy “ thăng bằng” để có cùng độ cao, biết ABCD là hình thang vuông ở A và B với độ dài AB  25m , AD  15m , BC  18m . Do yêu cầu kĩ thuật, khi lát phẳng phần sân trường phải thoát nước về góc sân ở C nên người ta lấy độ cao ở các điểm B , C , D xuống thấp hơn so với độ cao ở A là 10cm , a cm , 6cm tương ứng. Giá trị của a bằng? Trả lời: ………… Câu 8. (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho tứ diện OABC , có OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA  5, OB  2, OC  4 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của OB và OC . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . Khoảng cách từ G đến mặt phẳng  AMN  là (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) Trả lời: ………… Câu 9. Cho hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác đều cạnh a , gọi M là trung điểm của AB , A ' CM cân tại A ' và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết thể tích khối lăng trụ bằng a3 3 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CC ' khi a  1 (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) 4 Trả lời: ………… NỘI DUNG TIẾP THEO ĐÃ BỊ CẮT Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 Dạng 3. Ứng dụng hình học giải tích OXYZ để giải quyết bài toán tìm THỂ TÍCH, BÁN KÍNH Câu 1. (Mã 102 2018) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  có tâm I  1; 2;1 và đi qua điểm A 1;0; 1 . Xét các điểm B , C , D thuộc  S  sao cho AB, AC , AD đôi một vuông góc với nhau. Thể tích của khối tứ diện ABCD có giá trị lớn nhất bằng (làm tròn kết quả đến hàng phần mười) Trả lời: ………… Câu 2. (Mã 104 2018) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  có tâm I  1;0; 2  và đi qua điểm A  0;1;1 . Xét các điểm B , C , D thuộc  S  sao cho AB , AC , AD đôi một vuông góc với nhau. Thể tích của khối tứ diện ABCD có giá trị lớn nhất bằng (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) Trả lời: ………… Câu 3. (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Trong không gian Oxyz , cho hình hộp chữ nhật ABCD. ABC D có A trùng với gốc tọa độ O , các đỉnh B(a;0;0) , D(0; a;0) , A(0;0; b) với a, b 0 và a  b  2 . Gọi M là trung điểm của cạnh CC . Thể tích của khối tứ diện BDAM có giá trị lớn nhất bằng (làm tròn kết quả đến hàng phần mười) Trả lời: ………… Câu 4. (THPT-Thang-Long-Ha-Noi- 2019) Cho hình lập phương ABCD. AB C D  cạnh a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC và AB . Mặt phẳng  MND '  chia khối lập phương thành hai khối đa diện, trong đó khối chứa điểm C gọi là  H  . Tính thể tích khối  H  khi a  1 (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) Trả lời: ………… Câu 5. (Chuyên Thăng Long - Đà Lạt - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD. ABC D có A trùng với gốc tọa độ O các đỉnh B  m;0;0  , D  0; m;0  , A  0;0; n  với m, n  0 và m  n  4. Gọi M là trung điểm của cạnh CC . Khi đó thể tích tứ diện BDAM đạt giá trị lớn nhất bằng (làm tròn kết quả đến hàng phần mười) Trả lời: ………… Câu 6. (Nho Quan A - Ninh Bình - 2019) Cho hình lập phương ABCD. AB C D  có độ dài cạnh bằng 1 . Gọi M , N , P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DD . Gọi thể tích khối tứ diện MNPQ là a phân số tối giản , với a, b  * . Tính a  b . b Trả lời: ………… Câu 7. Trong không gian Oxyz ,tập hợp tất cả các điểm thỏa mãn x  y  z  2 và x  2  y  z  2 là một khối đa diện có thể tích bằng (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) Trả lời: ………… NỘI DUNG TIẾP THEO ĐÃ BỊ CẮT Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17
CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ 22. MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÓ OXYZ • Fanpage: Nguyễn Bảo Vương - https://www.nbv.edu.vn/ Để đảm bảo quyền lợi cho giáo viên đã mua tài liệu, thì nội dung file pdf này bên mình sẽ cắt giảm đi số lượng câu hỏi so với file thực tế. BÀI TOÁN 1. BÀI TOÁN KẾT HỢP MẶT PHẲNG – ĐƯỜNG THẲNG – MẶT CẦU Câu 1. (Đề Tham Khảo 2018) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A1;2;1 , B  3; 1;1 và C  1; 1;1 . Gọi  S1  là mặt cầu có tâm A , bán kính bằng 2 ;  S2  và  S3  là hai mặt cầu có tâm lần lượt là B , C và bán kính đều bằng 1 . Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu  S1  ,  S2  ,  S3  . Lời giải Trả lời: 7 Gọi phương trình mặt phẳng  P tiếp xúc với cả ba mặt cầu đã cho có phương trình là: ax  by  cz  d  0 ( đk: a 2  b 2  c 2  0 ).  a  2b  c  d  2 2 2 2  d  A;  P    2  a b c    3a  b  c  d  Khi đó ta có hệ điều kiện sau:  d  B;  P    1   1 2 2 2   a b c d  C;  P    1   a  b  c  d  1  a 2  b2  c 2   a  2b  c  d  2 a 2  b 2  c 2     3a  b  c  d  a 2  b 2  c 2 .  2 2 2  a  b  c  d  a  b  c  3a  b  c  d  a  b  c  d Khi đó ta có: 3a  b  c  d  a  b  c  d   3a  b  c  d  a  b  c  d a  0  . a  b  c  d  0 với a0 thì ta có  2b  c  d  2 b  c 2 2  2b  c  d  2 b 2  c 2    c  d  0  c  d  0, b  0     4b  c  d  0  do đó  2b  c  d  2 b  c  d    c  d  4b, c  2 2b  c  d  0 có 3 mặt phẳng. Với abcd  0 thì ta có  4  3b  2 a 2  b 2  c 2   3b  4 a  b  3 a     2 2 2  2a  a 2  b 2  c 2   2a  a  b  c   c  11 a   3 do đó có 4 mặt phẳng thỏa mãn bài toán.Vậy có 7 mặt phẳng thỏa mãn bài toán. Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 2 2 2 Câu 2. Trong không gian Oxyz, cho  S  :  x  3   y  2    z  5   36 , điểm M  7;1;3  . Gọi  là đường thẳng di động luôn đi qua M và tiếp xúc với mặt cầu  S  tại N . Tiếp điểm N di động trên đường tròn  T  có tâm J  a, b, c  . Gọi k  2a  5b  10c , thì giá trị của k là? Lời giải Trả lời: 50 M N J I 2 2 2 Mặt cầu  S  :  x  3   y  2    z  5   36 có tâm I  3; 2;5  , bán kính R  6 . Có IM  25  16  4  3 5  6  R , nên M thuộc miền ngoài của mặt cầu  S  . Có MN tiếp xúc mặt cầu  S  tại N , nên MN  IN tại N . Gọi J là điểm chiếu của N lên MI . IN 2 36 12 5 Có IN 2  I J .IM . Suy ra IJ    (không đổi), I cố định. IM 3 5 5 Suy ra N thuộc  P  cố định và mặt cầu  S  , nên N thuộc đường tròn  C  tâm J .  x  3  8  IJ  12 5 1  4        4 Gọi N  x; y; z  , có IJ  IM  IM  IM   y  2   IM 5 3 5 5  5  2 z  5   5   6 23   N  5; ;  , k  2a  5b  10c  50 . Vậy k  50 .  5 5  Câu 3. (Chuyên Đại Học Vinh 2019) Trong không gian Oxyz , cho các điểm M  2;1; 4  , N  5; 0; 0  , P 1; 3;1 . Gọi I  a; b; c  là tâm của mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng  Oyz  đồng thời đi qua các điểm M , N , P . Tìm c biết rằng a  b  c  5 Lời giải Trả lời: 2 Phương trình mặt cầu  S  tâm I  a; b; c  là x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 Đk: a 2  b 2  c 2  d  0 Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 4a  2b  8c  d  21 10a  d  25   S  đi qua các điểm M , N , P và tiếp xúc với mặt phẳng  Oyz    2a  6b  2c  d  11 R  a  4a  2b  8c  10a  25  21 6a  2b  8c  4 6a  2b  8c  4 d  10a  25 d  10a  25 d  10a  25       2a  6b  2c  10a  25  11 8a  6b  2c  14 32a  24b  8c  56 a  b  c  d  a 2 2 2 2 b  c  d  0 2 2 b 2  c 2  d  0    6a  2b  8c  4 c  a  1  d  10a  25 d  10a  25      26a  26b  52 b  a  2 b 2  c 2  d  0 b 2  c 2  d  0   2 2    a  2    a  1  10a  25  0  2 a 2  16a  30  0 a  3 a  5  b  3  a  3 b  1    hay   a  5 c  2 c  4 d  5  d  25  Vì a  b  c  5 nên chọn c  2 . Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A   3;1;1 , B 1;  1; 5  và mặt phẳng  P  : 2 x  y  2 z  11  0. Mặt cầu  S  đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với  P  tại điểm C . Biết C luôn thuộc một đường tròn T  cố định. Tính bán kính r của đường tròn T  . Lời giải Trả lời: 4   Ta có AB   4;  2; 4  và mp  P  có vec tơ pháp tuyến n   2;  1; 2  . Do đó AB vuông góc với  P . Giả sử mặt cầu  S  có phương trình x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 . Mặt cầu  S  đi qua hai điểm A, B nên ta có  9  1  1  6 a  2b  2c  d  0 6 a  2b  2c  d  11   . 1  1  25  2 a  2b  10c  d  0  2 a  2b  10c  d  27 Suy ra 8 a  4 b  8 c  16  2 a  b  2 c  4. 2 a  b  2c  11 Mặt cầu  S  tiếp xúc với  P  nên ta có d  I ,  P     5. 3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright ©2025 TaiLieu.VN. All rights reserved.