intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp 2025 - Chuyên đề 1: Tính đơn điệu của hàm số

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:147

Thêm vào BST
Báo xấu
4
lượt xem 1
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

"Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp 2025 môn Toán - Chuyên đề 1: Tính đơn điệu của hàm số" là tài liệu dành cho học sinh lớp 12 ôn tập kiến thức giải tích. Tài liệu cung cấp hệ thống lý thuyết ngắn gọn, bài tập trắc nghiệm từ cơ bản đến nâng cao, có đáp án và hướng dẫn rõ ràng. Nội dung tập trung vào dấu đạo hàm, bảng biến thiên và ứng dụng xét chiều biến thiên của hàm số. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu chuyên đề này để nắm vững tính đơn điệu và giải nhanh các dạng bài thi.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp 2025 - Chuyên đề 1: Tính đơn điệu của hàm số

  1. CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ • Fanpage: Nguyễn Bảo Vương - https://www.nbv.edu.vn/ PHẦN A. LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ SÁCH GIÁO KHOA a) Khái niệm tính đơn điệu của hàm số Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và y  f ( x) là hàm số xác định trên K . - Hàm số y  f ( x) được gọi là đồng biến trên K nếu x1 , x2  K , x1  x2  f  x1   f  x2  . - Hàm số y  f ( x) được gọi là nghịch biến trên K nếu x1 , x2  K , x1  x2  f  x1   f  x2  . Chú ý - Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị của hàm số đị lên từ trái sang phải (H.a). - Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải (H.b). - Hàm số đồng biến hay nghịch biến trên K còn được gọi chung là đơn điệu trên K . Việc tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số còn được gọi là tìm các khoảng đơn điệu (hay xét tính đơn điệu) của hàm số. - Khi xét tính đơn điệu của hàm số mà không chỉ rõ tập K thì ta hiểu là xét trên tập xác định của hàm số đó. Ví dụ 1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y  f ( x) có đồ thị cho ở Hình. Giải Hàm số đồng biến trên các khoảng (2;1) và (5;8) , nghịch biến trên khoảng (1;5) . ĐỊNH LÍ Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm trên khoảng K . a) Nếu f  ( x)  0 với mọi x  K thì hàm số f ( x) đồng biến trên khoảng K . b) Nếu f  ( x)  0 với mọi x  K thì hàm số f ( x) nghịch biến trên khoảng K . Chú ý - Định lí trên vẫn đúng trong trường hợp f  ( x) bằng 0 tại một số hữu hạn điểm trong khoảng K . - Người ta chứng minh được rằng, nếu f  ( x)  0 với mọi x  K thì hàm số f ( x) không đổi trên khoảng K. Ví dụ 2. Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số y  x2  4 x  2 . Giải Tập xác định của hàm số là  . Ta có: y  2 x  4; y  0 với x  (2; ); y  0 với x  (; 2) . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
  2. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng (2; ) , nghịch biến trên khoảng (; 2) . b) Sử dụng bảng biến thiên xét tính đơn đlệu của hàm số Các bước để xét tính đơn điệu của hàm số y  f ( x) : 1. Tìm tập xác định của hàm số. 2. Tính đạo hàm f  ( x) . Tìm các điểm xi (i  1, 2,) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại. 3. Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên của hàm số. 4. Nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. x2  2x  5 Ví dụ 3. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y  . x 1 Giải Tập xác định của hàm số là  \{1} .  Ta có: y   (2 x  2)( x  1)  x 2  2 x  5 x 2  2x  3  ; y  0  x  1 hoặc x  3 . 2 ( x  1) ( x  1) 2 Lập bảng biến thiên của hàm số: Từ bảng biến thiên, ta có: Hàm số đồng biến trên các khoảng (; 1) và (3; ) . Hàm số nghịch biến trên các khoảng (1;1) và (1;3) . x2 Ví dụ 4. Xét chiều biến thiên của hàm số y  . x 1 Giải Tập xác định của hàm số là  \{1} . ( x  1)  ( x  2) 3 Ta có: y  2   0 , với mọi x  1 . ( x  1) ( x  1)2 Lập bảng biến thiên của hàm số: Từ bảng biến thiên, ta có: Hàm số đồng biến trên các khoảng (; 1) và (1; ) . 1 Ví dụ 5. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y   x3  x 2  x  5 . 3 Giải - Hàm số đã cho có tập xác định là  . - Ta có: y    x 2  2 x  1  ( x  1)2 ; y  0, x   và y  0  x  1. Bảng biến thiên của hàm số như sau: Vậy hàm số nghịch biến trên  . Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  3. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN Dạng 1. Xét tính đơn điệu của hàm số cho trước Từ kết quả trên, để xét tính đơn điệu của hàm số y  f ( x) , ta thực hiện các bước sau: Bước 1. Tìm tập xác định D của hàm số. Bước 2. Tính đạo hàm f  ( x) của hàm số. Tìm các điểm x1 ; x2 ;; xn thuộc D mà tại đó đạo hàm f  ( x ) bằng 0 hoặc không tồn tại. Bước 3. Sắp xếp các điểm x1 ; x2 ;; xn theo thứ tự tăng dần, xét dấu f  ( x) và lập bảng biến thiên. Bước 4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Câu 1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y  f ( x) có đồ thị cho ở Hình. Câu 2. Xét dấu y rồi tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số y  2 x 2  4 x  3 x Câu 3. Chứng minh rằng hàm số g ( x)  nghịch biến trên khoảng (1; ) . x 1 Câu 4. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y  x3  3x 2  9 x  1. 1 Câu 5. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y   x3  x 2  x  5 . 3 x2  4 Câu 6. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y  . x Câu 7. Xác định các khoảng đồng biến, nghịch biến và lập bảng biến thiên của hàm số: a) y  f ( x)  x3  3x 2  1 ; 1 b) y  f ( x)  x  . x Câu 8. Lập bảng biến thiên và xác định các khoảng đơn điệu của hàm số: y  f ( x)  2 x3  6 x 2  6 x  9 Câu 9. Xét tính đơn điệu của các hàm số sau: a) f ( x)   x3  3x 2 1 b) g ( x)  x  x 3 c) h( x)  x . Dạng 2. Tìm m để hàm số đơn điệu trên các khoảng xác định của nó Xét hàm số bậc ba y  f ( x)  ax3  bx 2  cx  d . – Đáp ánước 1. Tập xác định: D  . – Đáp ánước 2. Tính đạo hàm y  f ( x)  3ax 2  2bx  c. a f ( x )  3a  0  + Để f ( x) đồng biến trên   y  f ( x)  0, x     2 m ?  f ( x )  4b  12ac  0  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
  4. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ a f ( x )  3a  0  + Đề f ( x) nghịch biến trên   y  f ( x)  0, x     2 m ?  f ( x )  4b  12ac  0  Lưu ý: Dấu của tam thức bậc hai f ( x)  ax 2  bx  c. a  0  Để f ( x)  0, x        0 a  0  f ( x)  0, x        0 ax  b Xét hàm số nhất biến y  f ( x)   cx  d  d – Đáp ánước 1. Tập xác định: D   \     c a.d  b.c – Đáp ánước 2. Tính đạo hàm y  f ( x)   (cx  d ) 2 + Để f ( x) đồng biến trên D  y  f ( x)  0, x  D  a.d  b.c  0  m ? + Để f ( x) nghịch biến trên D  y  f ( x)  0, x  D  a.d  b.c  0  m ?  Lưu ý: Đối với hàm phân thức thì không có dấu "  " xảy ra tại vị trí y. Câu 10. (Đề Tham Khảo Lần 2 2020) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số 1 f ( x)  x 3  mx 2  4 x  3 đồng biến trên  . 3 Câu 11. (Mã 123 - 2017) Cho hàm số y   x 3  mx 2   4 m  9  x  5 , với m là tham số. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng   ;   1 Câu 12. Tìm giá trị của m để hàm số y  x3 – 2mx 2   m  3 x – 5  m đồng biến trên  3 Câu 13. (Đề Tham Khảo - 2017) Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y   m 2  1 x 3   m  1 x 2  x  4 nghịch biến trên khoảng  ;   . Câu 14. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số hàm số 1 y   m2  m  x3  2mx 2  3x  2 đồng biến trên khoảng  ;    ? 3 mx  2m  3 Câu 15. (Mã 105 - 2017) Cho hàm số y  với m là tham số. Gọi S là tập hợp tất cả các xm giá trị nguyên của m để hàm số đồng biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của S . x2m Câu 16. (THPT Hà Huy Tập - 2018) Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để hàm số y  nghịch x 1 biến trên các khoảng mà nó xác định? Dạng 3. Tìm m để hàm số nhất biến đơn điệu trên khoảng cho trước mx  4 Câu 17. (Đề Tham Khảo Lần 1 2020) Cho hàm số f  x   ( m là tham số thực). Có bao nhiêu xm giá trị nguyên của m để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  0;  ? Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  5. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 x 1 Câu 18. (Mã 103-2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y  nghịch biến x  3m trên khoảng  6;   ? x6 Câu 19. (Mã 102 - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y  nghịch x  5m biến trên khoảng 10;   ? mx  9 Câu 20. (Sở Hà Tĩnh - 2020) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y  nghịch 4x  m biến trên khoảng  0; 4 ? Dạng 4. Tìm m để hàm số bậc 3 đơn điệu trên khoảng cho trước Câu 21. (Mã 101 – 2020 -Lần 2) Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y  x 3  3 x 2   4  m  x đồng biến trên khoảng  2;   Câu 22. (Mã 102 – 2020 – Lần 2) Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y  x3  3x2   5  m  x đồng biến trên khoảng  2;   mx3 Câu 23. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y  f ( x)   7mx 2  14 x  m  2 3 giảm trên nửa khoảng [1; ) ? Câu 24. Tìm tất cả các giá thực của tham số m sao cho hàm số y  2 x3  3x 2  6mx  m nghịch biến trên khoảng  1;1 . Câu 25. (THPT Chuyên Hạ Long - 2018) Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của m để hàm số y  x 3  3  2 m  1 x 2  12m  5  x  2 đồng biến trên khoảng  2;    . Tìm số phần tử của S Dạng 5. Tìm m để hàm số (lượng giác, chứa căn, chứa dấu giá trị tuyệt đối…) đơn điệu trên khoảng cho trước tan x  2 Câu 26. (Đề Minh Họa 2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y  tan x  m   đồng biến trên khoảng  0;  .  4 Câu 27. (Đề Tham Khảo 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số 1 y  x 3  mx  5 đồng biến trên khoảng  0;  5x Câu 28. (THPT Bạch Đằng Quảng Ninh 2019) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để 1 1 hàm số f  x   m 2 x 5  mx 3  10 x 2   m 2  m  20  x đồng biến trên  . Tính tổng giá trị của tất cả các 5 3 phần tử thuộc S Câu 29. (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Tìm tập hợp các giá trị thực của tham số m để hàm số m y  x 1 đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó? x2 Câu 30. (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để hàm số cos x  3   y nghịch biến trên khoảng  ;   cos x  m 2  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
  6. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ (4  m) 6  x  3 Câu 31. (Hoàng Hoa Thám 2019) Cho hàm số y  . Có bao nhiêu giá trị nguyên của 6 x m m trong khoảng  10;10  sao cho hàm số đồng biến trên  8;5  ? ln x  4 Câu 32. (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho hàm số y  với m là tham số. Gọi S là tập hợp các ln x  2m giá trị nguyên dương của m để hàm số đồng biến trên khoảng 1; e  . Tìm số phần tử của S . Câu 33. (Chuyên Ngữ - Hà Nội - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của m để hàm số 1 m y  x5 đồng biến trên 5;    ? x2 Câu 34. (Chuyên Thái Bình - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m   2018; 2018 để hàm số y  x 2  1  mx  1 đồng biến trên  ;    . 3 2 Câu 35. (Chuyên Thái Bình - Lần 3 - 2020) Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số y  2 x  x  mx 1 đồng biến trên 1; 2  . Câu 36. Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y  mx 3  mx 2  16 x  32 nghịch biến trên khoảng (1; 2) . Câu 37. (Chuyên Lê Khiết – Quảng Ngãi 2023) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a  [ 10;10] để hàm số y  3 x 4  4( a  2) x 3  12ax 2  30a nghịch biến trên khoảng ( ; 2) ? Câu 38. (Cụm trường Ninh Thuận - Ninh Thuận 2023) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số 3 2 m  ( 2022; 2023) đề hàm số y  2 x  (m  3) x  16  m đồng biến trên khoảng (0; 2) ? Dạng 6. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số g(x)=f[u(x)] khi biết đồ thị hàm số f’(x) Cách 1: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số g  x  , g   x   u   x  . f   u  x   .   Bước 2: Sử dụng đồ thị của f   x  , lập bảng xét dấu của g   x  . Bước 3: Dựa vào bảng dấu kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Cách 2: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số g  x  , g   x   u   x  . f   u  x   .   Bước 2: Hàm số g  x  đồng biến  g   x   0 ; (Hàm số g  x  nghịch biến  g   x   0 ) (*) Bước 3: Giải bất phương trình * (dựa vào đồ thị hàm số y  f   x  ) từ đó kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Câu 39. (Mã đề 104 - 2019) Cho hàm số f  x  , bảng xét dấu của f   x như sau: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y  f  5  2 x  Câu 40. (THPT Việt Đức Hà Nội 2019) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  và đồ thị hàm số y  f '  x  như hình bên. Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  7. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 Xác định tính đơn điệu của hàm số g  x   f  3  2 x  Câu 41. (Sở Ninh Bình) Cho hàm số bậc bốn y  f  x  có đạo hàm trên  . Đồ thị hàm số y  f '  x  như hình vẽ. Xác định tính đơn điệu của hàm số y  f x 2  2   Câu 42. (Sở Vĩnh Phúc 2022) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x  liên tục trên  và có bảng xét dấu như hình sau. Xác định tính đơn điệu của hàm số g  x   f  x 2  3x  1 Dạng 7. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số g(x)=f[u(x)]+v(x) khi biết đồ thị, bảng biến thiên của hàm số f’(x) Cách 1: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số g  x  , g   x   u   x  . f  u  x    v  x  .   Bước 2: Sử dụng đồ thị của f   x  , lập bảng xét dấu của g   x  . Bước 3: Dựa vào bảng dấu kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Cách 2: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số g  x  , g   x   u   x  . f  u  x    v  x  .   Bước 2: Hàm số g  x  đồng biến  g   x   0 ; (Hàm số g  x  nghịch biến  g   x   0 ) (*) Bước 3: Giải bất phương trình * (dựa vào đồ thị hàm số y  f   x  ) từ đó kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Cách 3: (Trắc nghiệm) Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số g  x  , g   x   u   x  . f  u  x    v  x  .   Bước 3: Hàm số g  x  đồng biến trên K  g   x   0, x  K ; (Hàm số g  x  nghịch biến trên K  g   x   0, x  K ) (*) Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7
  8. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Bước 3: Lần lượt chọn thay giá trị từ các phương án vào g   x  để loại các phương án sai. Câu 43. (Đề Tham Khảo 2020 – Lần 1) Cho hàm số f  x  . Hàm số y  f '  x  có đồ thị như hình bên. Hàm số g  x   f 1  2 x   x 2  x nghịch biến trên khoảng nào? y 1 4 –2 O x –2 Câu 44. (Chuyên Lào Cai - 2020) Cho hàm số f   x  có đồ thị như hình bên. Hàm số 9 2 g  x   f  3 x  1  9 x3  x đồng biến trên khoảng nào? 2 Câu 45. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị nằm trên trục hoành và có đạo hàm trên , bảng xét dấu của biểu thức f   x  như bảng dưới đây. f  x2  2 x  Hàm số y  g  x   nghịch biến trên khoảng nào? f  x2  2x   1 Câu 46. (THPT Nguyễn Viết Xuân - 2020) Cho hàm số f  x  . Hàm số y  f   x  có đồ thị như hình vẽ. y 3 -4 x O 3 -4 9 Xác định tính đơn điệu của hàm số g ( x)  f  3x 2  1  x 4  3x 2 2 Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  9. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 Câu 47. (Chuyên Thái Bình - Lần 3 - 2020) Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên  có đồ thị hàm số y  f ( x) cho như hình vẽ. Hàm số g ( x)  2 f  x  1   x 2  2 x  2020 đồng biến trên khoảng nào? Câu 48. (THPT Anh Sơn - Nghệ An - 2020) Cho hàm số y  f  x  có bảng xét dấu của đạo hàm như sau. Hàm số y  2 f  x   2019 nghịch biến trên khoảng nào? Câu 49. (THPT Anh Sơn - Nghệ An - 2020) Cho hàm số f  x  xác định và liên tục trên  và có đạo hàm f   x  thỏa mãn f   x   1  x  x  2 g  x   2019 với g  x   0 , x   . Hàm số y  f 1  x   2019 x  2020 nghịch biến trên khoảng nào? Câu 50. (Liên trường huyện Quảng Xương - Thanh Hóa - 2021) Cho các hàm số y  f  x  ; y  g  x  liên tục trên  và có đồ thị các đạo hàm f   x  ; g   x  (đồ thị hàm số y  g   x  là đường đậm hơn) như hình vẽ. Hàm số h  x   f  x 1  g  x  1 nghịch biến trên khoảng nào? Dạng 8. Bài toán hàm ẩn, hàm hợp liên quan đến tham số và một số bài toán khác Câu 51. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  . Biết hàm số y  f   x  có đồ thị như hình vẽ. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên m  5;5 để hàm số g  x   f  x  m nghịch biến trên khoảng 1;2 . Hỏi S có bao nhiêu phần tử? Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9
  10. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Câu 52. (Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm - Quảng Nam - 2020) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên  và bảnng xét dấu đạo hàm như hình vẽ sau: Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y  f  x 3  4 x  m  nghịch biến trên khoảng  1;1 ? Câu 53. (Chuyên Quang Trung - 2020) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  và có đồ 1 2 thị y  f   x  như hình vẽ. Đặt g  x   f  x  m    x  m  1  2019 , với m là tham số thực. Gọi S 2 là tập hợp các giá trị nguyên dương của m để hàm số y  g  x  đồng biến trên khoảng  5;6  . Tính tổng tất cả các phần tử trong S ? Câu 54. Cho hàm số y  f ( x ) có đồ thị f ( x ) như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên 1 m   2020; 2020  để hàm số g  x   f  2 x  3  ln 1  x 2   2mx đồng biến trên  ; 2  ?   2  Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  11. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025  Câu 55. Cho hàm số f  x  liên tục trên  và có đạo hàm f   x   x 2  x  2  x 2  6 x  m với mọi x   . Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn  2020; 2020 để hàm số g  x  f 1 x nghịch biến trên khoảng  ; 1 ? Câu 56. (THPT Yên Phong 1 - Bắc Ninh - 2022) Cho hàm số f  x    x 4   4  m 2  x  2020 và g  x    x3  5x 2  2020 x  2021 . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để h  x   g  f  x   đồng biến trên  2;   ?   2 Câu 57. (Chuyên Bắc Ninh 2022) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f '  x   x  x  1 x 2  mx  9  với mọi x   . Có bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số g  x   f  3  x  đồng biến trên khoảng  3;   ? Câu 58. (Chuyên Bắc Ninh 2022) Cho hàm số y  f  x  nghịch biến trên  . Tìm tổng tất cả các giá m  trị nguyên của m để hàm số y  f  x3   m  4  x 2  9 x  2021 nghịch biến trên  . 3  Câu 59. (Cụm trường Bắc Ninh 2022) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên  và có bảng biến thiên dưới đây Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của số thực m sao cho hàm số 2020 2  x x 2 g  x   f  x  1  ln   3 x  4 ln  2  x  nghịch biến trên khoảng  1;1 . Tìm m 2 x 2 Tổng tất cả các phần tử thuộc S ? Câu 60. Cho hàm số f ( x ) có f ΄( x)  x3  ax 2  bx  3, x  R . Biết hàm số g ( x)  f ( x)  3( x  1)2 1 đồng biến trên khoảng (0; ) và hàm số h( x)  f ( x)  x 4  2 x nghịch biến trên khoảng (0; ) . Tính 2 giá trị của f ΄(3) Câu 61. (Liên trường Nghệ An -Quỳnh Lưu - Hoàng Mai - Thái Hòa 2023) Cho hàm số y  f ( x ) có bảng biến thiên như sau: Biết rằng f (0)  1; f (2)  2 . Hỏi có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn  10;10 để hàm số (m  1) f ( x)  20 y nghịch biến trên khoảng (0; 2) ? f ( x)  m Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11
  12. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Câu 62. (Sở Phú Thọ 2023) Cho hàm số bậc ba y  f ( x ) . Biết hàm số y  f ΄(5  2 x ) có đồ thị là một Parabol ( P ) như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y  f  2 x 2  2 x  m  nghịch biến trên khoảng (0;1) . Câu 63. (Sở Hải Phòng 2023) Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm trên  và f (1)  2 . Hàm số y  f ΄( x ) có đồ thị là đường cong như hình dưới đây. Có bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số y | 4 f (sin x )  cos 2 x  m | nghịch biến trên    0;  ?  2 Câu 64. (Chuyên Quang Trung – Bình Phước 2023) Cho hàm số y  f ( x) liên tục và có đạo hàm trên , f (0)  3 và đồ thị hàm số y  f ΄( x) như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên m để hàm số g ( x)  2 f ( x)  x 2  2mx  2m đồng biến trên (0;1) ? Câu 65. (Sở Vũng Tàu 2023) Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm   f ΄( x)  x( x  1) 2 x 2  mx  9 với mọi x  , m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số g ( x)  f (3  x ) đồng biến trên khoảng (3; ) ? PHẦN C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  13. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 NHÓM CÂU HỎI CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH Câu 1. (Mã 101 – 2020 Lần 1) Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên như sau: Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A.  ; 1 . B.  0;1 . C.  1;1 . D.  1; 0  Câu 2. (Mã 103 - 2019) Cho hàm số f  x  có bảng biến thiên như sau: Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào sau đây? A.  ; 1 . B.  0;1 . C.  1;0  . D.  1;   . Câu 3. (Mã 104 - 2017) Cho hàm số y  f  x  có bảng xét dấu đạo hàm như sau Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng  ; 2  B. Hàm số đồng biến trên khoảng  2; 0  C. Hàm số đồng biến trên khoảng  ; 0  D. Hàm số nghịch biến trên khoảng  0; 2  Câu 4. (Kim Liên - Hà Nội - 2019) Cho hàm số y  f  x  có bảng xét dấu của đạo hàm như hình vẽ. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. 1;    . B.   ;1 . C.  1;    . D.   ;  1 . Câu 5. (Mã 101 - 2018) Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A.  1;0  B.  ;0  C. 1;   D.  0;1 Câu 6. (Mã 102 - 2018) Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13
  14. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A.  1;   . B. 1;   . C.  1;1 . D.  ;1 . Câu 7. Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như hình dưới đây. Mệnh đề nào sau đây là đúng?  1  A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng   ;   .  2  B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng   ; 3  . C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng  3;   .  1 D. Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng  ;   và  3;   .  2 Câu 8. Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như sau: Hàm số nghịch biến trong khoảng nào? A.  1;1 . B.  0;1 . C.  4;   . D.  ; 2  . Câu 9. (Đề Tham Khảo 2019) Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A.    1 B.  1;1 C.  1;0  D.  0;1 Câu 10. (Mã 102 – 2020 – Lần 2) Cho hàm số y  f  x  có đồ thị là đường cong trong hình bên. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  15. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 A.  1;0  . B.  ; 1 . C.  0;1 . D.  0;    . Câu 11. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  0; 2  . B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  1;   . C. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng  1; 2  . D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng  ;1 . Câu 12. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào? y 4 2 O 1 2 3 x A.   ;0  . B. 1;3 . C.  0; 2  . D.  0;    . Câu 13. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào? A.  2;0  . B.   ;0  . C.  2;2  . D.  0; 2  . Câu 14. Cho hàm số y  f  x  có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào? Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15
  16. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ y 3 1 2 1 1 O 2 x 1 A.  1;1 . B.  2;  1 . C.  1; 2  . D. 1;   . Câu 15. (Mã 101-2023) Cho hàm số y  f  x có bảng xét dấu đạo hàm như sau: Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A.  ;0 . B.  2; . C.  0; . D.  1;2 . Câu 16. (Mã 104-2023) Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên như sau? x2 A. y  2 x 2  1 . B. y  . C. y  x 4  3x 2 . D. y   x3  3x  1 . x Câu 17. (Mã 110 - 2017) Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng  ;  ? x 1 x 1 A. y  B. y  x3  x C. y   x3  3x D. y  x2 x3 x2 Câu 18. (Đề Tham Khảo - 2017) Cho hàm số y  . Mệnh đề nào dưới đây đúng? x 1 A. Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;   B. Hàm số nghịch biến trên khoảng  1;   C. Hàm số nghịch biến trên khoảng  ; 1 D. Hàm số đồng biến trên khoảng  ; 1 Câu 19. (Đề Tham Khảo - 2017) Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng  ;   ? x2 A. y  x4  3x2 . B. y  . C. y  3x3  3x  2 . D. y  2 x3  5x  1. x 1 Câu 20. (Mã 110 - 2017) Cho hàm số y  x3  3x2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng  0;2 B. Hàm số nghịch biến trên khoảng  0;2 C. Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;0 D. Hàm số nghịch biến trên khoảng  2; Câu 21. (Dề Minh Họa - 2017) Hỏi hàm số y  2 x 4  1 đồng biến trên khoảng nào?  1  1  A.  ;0  . B.  ;   . C.  0;   . D.   ;   .  2  2  Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  17. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 4 2 Câu 22. (Mã 105 - 2017) Cho hàm số y  x  2x . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;  2  B. Hàm số đồng biến trên khoảng  1; 1 C. Hàm số nghịch biến trên khoảng  1; 1 D. Hàm số đồng biến trên khoảng   ;  2  2 Câu 23. (Mã 123 - 2017) Hàm số y  2 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? x 1 A. ( ; ) B. (0; ) C. ( ; 0) D. ( 1;1) Câu 24. (Mã 123 - 2017) Cho hàm số y  x3  3x  2 . Mệnh đề nào dưới đây là đúng? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng  ; 0  và đồng biến trên khoảng  0;   B. Hàm số đồng biến trên khoảng  ; 0  và đồng biến trên khoảng  0;   C. Hàm số đồng biến trên khoảng   ;   D. Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;   Câu 25. (Mã 104 - 2017) Cho hàm số y  2 x 2  1 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số đồng biến trên khoảng  0;    B. Hàm số đồng biến trên khoảng   ; 0  C. Hàm số nghịch biến trên khoảng  0;    D. Hàm số nghịch biến trên khoảng   1;1 Câu 26. (THPT Ngô Quyền - Hải Phòng - 2019) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  và có đạo 2 3 hàm f   x   1  x   x  1  3  x  . Hàm số y  f  x  đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A.  ;1 . B.  ;  1 . C. 1;3 . D.  3;    . 1 Câu 27. (HSG 12 - TP Nam Định - 2019) Hàm số y  x3  x 2  3x  2019 nghịch biến trên 3 A.  1;3 . B.   ;  1 . C.   ;  1 và  3;   . D.  3;    . Câu 28. (Chuyên Ngoại Ngữ - Hà Nội - 2019) Hàm số y  2018 x  x 2 nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây? A. 1010; 2018  . B.  2018;   . C.  0;1009  . D. 1; 2018  . Câu 29. (Chuyên Lê Quý Đôn - Quảng Trị - 2019) Hàm số y   x 3  3x 2  4 đồng biến trên tập hợp nào trong các tập hợp được cho dưới đây? A.  2;    . B.  0; 2  . C.   ; 0    2;    . D.   ;0  . Câu 30. (Mã 103 - 2022) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x   x  1 với mọi x   . Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A.  1;   . B. 1;   . C.   ; 1 . D.   ;1 . 2 Câu 31. (Đề Minh Họa 2023) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f   x    x  2  1  x  với mọi x   . Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. 1; 2  . B. 1;   . C.  2;   . D.  ;1 . NHÓM CÂU HỎI CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – GIỎI 1 Câu 32. Cho hàm số y   x 3  mx 2   3m  2  x  1 . Tìm tất cả giá trị của m để hàm số nghịch biến 3 trên  .  m  1  m  1 A.  . B. 2  m  1 . C. 2  m  1 . D.  .  m  2  m  2 Câu 33. Tìm điều kiện của tham số thực m để hàm số y  x3  3x2  3  m  1 x  2 đồng biến trên  . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17
  18. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ A. m  2 . B. m  2 . C. m  0 . D. m  0 . mx  4m Câu 34. (Mã 104 - 2017) Cho hàm số y  với m là tham số. Gọi S là tập hợp tất cả các giá xm trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của S . A. 4 B. Vô số C. 3 D. 5 Câu 35. (THPT Hoa Lư A - 2018) Có tất cả bao nhiêu số nguyên m để hàm số y   m  1 x  2 xm đồng biến trên từng khoảng xác định của nó? A. 1. B. 0. C. 2. D. 3. Câu 36. (SGD&ĐT Bắc Giang - 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số x  m2 y đồng biến trên từng khoảng xác định của nó? x4 A. 5 . B. 3 . C. 1 . D. 2 . x4 Câu 37. (Mã 101 – 2020 – Lần 1) Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y  xm đồng biến trên khoảng   ;  7  là A.  4; 7  . B.  4;7 . C.  4;7  . D.  4;   . x2 Câu 38. (Mã 104-2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y  đồng biến x  3m trên khoảng  ; 6  . A. 2 B. 6 C. Vô số D. 1 x2 Câu 39. (Mã 101- 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y  đồng biến x  5m trên khoảng  ; 10  ? A. 2 B. Vô số C. 1 D. 3 Câu 40. (Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2020) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số 3x  18 m   2020; 2020  sao cho hàm số y  nghịch biến trên khoảng  ; 3 ? xm A. 2020 . B. 2026 . C. 2018 . D. 2023 . Câu 41. (Lương Thế Vinh - Hà Nội - 2020) Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số x4 y nghịch biến trên khoảng  3;4  . 2x  m A. Vô số. B. 1 . C. 3 . D. 2 . Câu 42. (Mã 104 – 2020 – Lần 2) Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y  x 3  3 x 2  1  m  x đồng biến trên khoảng  2;   là A.  ; 2  . B.  ;1 . C.  ; 2 . D.  ;1 . Câu 43. (Đề Tham Khảo 2019) Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y   x 3  6 x 2   4 m  9  x  4 nghịch biến trên khoảng  ; 1 là  3  3  A.  ;   B.  0;   C.  ; 0  D.   ;    4  4  Câu 44. Cho hàm số y  x 3  3x 2  mx  4 . Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên khoảng  ;0  là A.  1;5 . B.  ;  3 . C.  ;  4 . D.  1;    . Câu 45. Xác định các giá trị của tham số m để hàm số y  x 3  3mx 2  m nghịch biến trên khoảng  0;1 ? Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  19. Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 1 1 A. m  0 . B. m  . C. m  0 . D. m  . 2 2 Câu 46. (Chuyên ĐH Vinh - Nghệ An -2020) Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số 1 2 f  x   x3  mx 2   m  6  x  đồng biến trên khoảng  0;   ? 3 3 A. 9. B. 10. C. 6. D. 5. Câu 47. (Chuyên Sơn La - 2020) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y   x3  6 x 2   4m  9  x  4 nghịch biến trên khoảng  ; 1 là  3  3  A.  ;   . B.   ;   . C.  0;   . D.  ;0 .  4  4  x3 Câu 48. (Sở Bắc Ninh - 2020) Cho hàm số y    m  1 x 2  3  m  1 x  1 . Số các giá trị nguyên của 3 m để hàm số đồng biến trên 1;   là A. 7. B. 4. C. 5. D. 6. Câu 49. (Tiên Lãng - Hải Phòng - 2020) Với mọi giá trị m  a b ,  a , b   thì hàm số y  2 x  mx  2 x  5 đồng biến trên khoảng  2;0 . Khi đó a  b bằng 3 2 A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 5 . Câu 50. (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để 1 3 hàm số y  x 4  mx  đồng biến trên khoảng  0;    . 4 2x A. 2 . B. 1. C. 3 . D. 0 . cos x  2   Câu 51. (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Tìm m để hàm số y  đồng biến trên khoảng  0;  cos x  m  2 m  2 m  0 A.  B. m  2 C.  D. 1  m  1  m  2 1  m  2 Câu 52. (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số 3 9 y  x 4  x 2   2m  15 x  3m  1 đồng biến trên khoảng  0;   ? 4 2 A. 2. B. 3. C. 5. D. 4. m 2  3m Câu 53. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y  3 x  đồng biến trên x 1 từng khoảng xác định của nó? A. 4 . B. 2 . C. 1 . D. 3 . Câu 54. (Toán Học Tuổi Trẻ Số 5 2018) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số   y  8cot x   m  3  .2cot x  3m  2 (1) đồng biến trên  ;   . 4  A. 9  m  3 . B. m  3 . C. m  9 . D. m  9 . ln x  4 Câu 55. (Toán Học Tuổi Trẻ Số 6 2018)Cho hàm số y  với m là tham số. Gọi S là tập ln x  2m hợp các giá trị nguyên dương của m để hàm số đồng biến trên khoảng 1; e  . Tìm số phần tử của S . A. 2 . B. 4 . C. 3 . D. 1 . mx 1 xm Câu 56. (Lê Quý Đôn - Quảng Trị- 2018) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y  2 nghịch 1  biến trên  ;   . 2  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19
  20. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 1  1   1  A. m   1;1 . B. m   ;1 . C. m   ;1 . D. m    ;1 . 2  2   2  Câu 57. (Chuyên Hưng Yên - 2020) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số x2  2x  m y nghịch biến trên khoảng (1;3) và đồng biến trên khoảng (4;6) . x 1 A. 6 . B. 7 . C. 5 . D. 4 . Câu 58. (Yên Lạc 2 - Vĩnh Phúc - 2020) Cho hàm số y  f  x có đạo hàm 2 f   x   3x  6 x  4, x  . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên thuộc  2020; 2020  của tham số m để hàm số g  x   f  x    2m  4 x  5 nghịch biến trên  0;2  ? A. 2008 . B. 2007 . C. 2018 . D. 2019 . x 1 Câu 59. (Sở Lào Cai 2023) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thoả mãn hàm số y  xa nghịch biến trên khoảng (2; )? A. 1. B. 3. C. 2. D. 0. Câu 60. (THPT Đông Hà – Quảng Trị 2023) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc đoạn [20; 20] để hàm số y  2 x3  3(2m  3) x 2  6m( m  3) x đồng biến trên khoảng (0; 2) ? A. 39. B. 40. C. 37. D. 38. Câu 61. (Sở Cần Thơ 2023) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a  ( ; 2023) sao cho hàm số y  x 3  ( a  2) x  9  a 2 nghịch biến trên khoảng (0;1) ? A. 2019. B. 2022. C. 2023. D. 2020. Câu 62. (Sở KonTum 2023) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số 1 2 y  x3  2 x 2  (m  2) x  4m  dồng biến trên khoảng (1;3) ? 3 3 A. 5. B. 9. C. 6. D. 7. Câu 63. (Mã 103 - 2019) Cho hàm số f ( x) , bảng xét dấu của f ( x ) như sau: Hàm số y  f  3  2 x  đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A.  0;2  . B.  2;3 . C.   ;  3 . D.  3;4  . Câu 64. (Đề Thi Công Bằng KHTN 2019) Cho hàm số f ( x) có bảng xét dấu như sau: Hàm số y  f  x 2  2 x  nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A.  2;1 . B.  4; 3 . C.  0;1 . D.  2; 1 . Câu 65. (Chuyên Thái Nguyên -2019) Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f '  x  trên  . Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số y  f '  x  . Hàm số g  x   f  x  x 2  nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây? Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright ©2025 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2