zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Ôn thi ĐH-CĐ

Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp 2025 - Chuyên đề 9: Biểu thức tọa độ của các phép toán vecto

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:91

Báo xấu

1
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

"Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp 2025 môn Toán - Chuyên đề 9: Biểu thức tọa độ của các phép toán vecto" giúp học sinh luyện tập các phép cộng, trừ, tích vecto thông qua biểu thức tọa độ. Chuyên đề trình bày lý thuyết rõ ràng, ví dụ chi tiết, hệ thống bài tập tự luận, trắc nghiệm ba cấp độ, bài đúng sai và phần trả lời ngắn. Nội dung phù hợp để học sinh củng cố kiến thức hình học giải tích không gian. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu chuyên đề này để vận dụng thành thạo các phép toán vecto trong không gian tọa độ.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp 2025 - Chuyên đề 9: Biểu thức tọa độ của các phép toán vecto

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ 9. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ •Fanpage: Nguyễn Bảo Vương - https://www.nbv.edu.vn/ PHẦN A. LÝ THUYẾT I. TỌA ĐỘ CỦA MỘT ĐIỂM 1. Hệ trục toạ độ trong không gian Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc được gọi là hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz trong không gian, hay đơn giản gọi là hệ toạ độ Oxyz .    Chú ý: Ta gọi i , j , k lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz . Trong hệ toạ độ Oxyz (Hình), ta gọi: điểm O là gốc toạ độ; Ox là trục hoành, Oy là trục tung, Oz là trục cao; các mặt phẳng (Oxy ), (Oyz ), (Ozx) là các mặt phẳng toạ độ. Không gian với hệ toạ độ Oxyz còn được gọi là không gian Oxyz . Nhận xét: Các mặt phẳng toạ độ (Oxy), (Oyz ), (Ozx) đôi một vuông góc với nhau. Ví dụ 1: Một sân tennis với hệ toạ độ Oxyz được chọn như ở Hình. a) Hỏi mặt sân nằm trong mặt phẳng tọa độ nào? b) Trục Oz có vuông góc với mặt sân hay không? Giải a) Mặt sân nằm trong mặt phẳng toạ độ  Oxy  . b) Trục Oz vuông góc với mặt phẳng tọa độ (Oxy ) nên trục Oz vuông góc với mặt sân. 2. Toạ độ của một điểm Ta có định nghĩa sau (Hình): Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm M . - Xác định hình chiếu M 1 của điểm M trên mặt phẳng Oxy . Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , tìm hoành độ a , tung độ b của điểm M 1 . - Xác định hình chiếu P của điểm M trên trục cao Oz , điểm P ứng với số c trên trục Oz . Số c là cao độ của điểm M . Bộ số (a; b; c) là toạ độ của điểm M trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , kí hiệu là M (a; b; c ) . Chú ý - Toạ độ của một điểm M trong không gian với hệ toạ độ Oxyz luôn tồn tại và duy nhất. - Người ta còn có thể xác định tọa độ điểm M theo cách sau (Hình): + Xác định hình chiếu H của điểm M trên trục hoành Ox , điểm H ứng với số a trên trục Ox . Số a là hoành độ của điểm M . + Xác định hình chiếu K của điểm M trên trục tung Oy , điểm K ứng với số b trên trục Oy . Số b là tung độ của điểm M . + Xác định hình chiếu P của điểm M trên trục cao Oz , điểm P ứng với số c trên trục Oz . Số c là cao độ của điểm M . Khi đó, bộ số (a; b; c) là toạ độ của điểm M trong không gian với hệ toạ độ Oxyz . Ví dụ 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm A(4;5;3) . Gọi A1 , A2 , A3 lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các mặt phẳng toạ độ (Oxy ),(Oyz ) , (Ozx) (Hình). Tìm toạ độ của các điểm A1 , A2 , A3 . Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 Giải Gọi A1  x1 ; y1 ; z1  , A2  x2 ; y2 ; z2  , A3  x3 ; y3 ; z3  . Với A(4;5;3) , đặt xA  4, y A  5, z A  3 . Ta có:  x1  xA  4; y1  y A  5 và z1  0 (vì A1 nằm trên mặt phẳng (Oxy )) . Do đó A1 (4;5;0) .  y2  y A  5; z2  z A  3 và x2  0 (vì A2 nằm trên mặt phẳng (Oyz )) . Do đó A2 (0;5;3) .  x3  xA  4; z3  z A  3 và y3  0 (vì A3 nằm trên mặt phẳng (Ozx)) . Do đó A3 (4;0;3) . II. TỌA ĐỘ CỦA MỘT VECTƠ  Toạ độ của điểm M được gọi là toạ độ của vectơ OM .     Nếu OM có tọa độ (a; b; c) thì ta viết OM  (a; b; c) , trong đó a gọi là hoành độ của vectơ      OM , b gọi là tung độ của vectơ OM và c gọi là cao độ của vectơ OM (Hình). Chú ý: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , ta có:   - OM  (a; b; c)  M (a; b; c) ;   - Vectơ đơn vị i trên trục Ox có tọa độ là i  (1;0;0) ;   Vectơ đơn vị j trên trục Oy có tọa độ là j  (0;1;0) ;   Vectơ đơn vị k trên trục Oz có toạ độ là k  (0;0;1) (Hình). Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Ví dụ 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai điểm M (4;3; 1) và N (2; 1; 3) . Tìm tọa độ    của các vectơ OM , ON . Giải Ta có: M (4;3; 1) và N (2; 1; 3) .    Do đó, OM  (4;3; 1), ON  (2; 1; 3) .  Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , toạ độ của một vectơ u là toạ độ của điểm A , trong đó    A là điểm sao cho OA  u .   Nếu u có tọa độ (a; b; c) thì ta viết u  (a; b; c) , trong đó a gọi là hoành độ, b gọi là tung độ  và c gọi là cao độ của vectơ u .    Ví dụ 4: Tìm tọa độ của các vectơ A1 A, A2 A ở Hình. Giải       Trong Hình, ta có: A1 A  OL, A2 A  OH mà L(0;0;3) và H (4;0; 0) .    Do đó, A1 A  (0; 0;3) và A2 A  (4; 0; 0) . Ta có định lí sau:      Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , nếu u  (a; b; c) thì u  ai  bj  ck .      Ngược lại, nếu u  ai  bj  ck thì u  (a; b; c).  x1  x2      Chú ý: Với u   x1; y1 ; z1  và v   x2 ; y2 ; z2  , ta có: u  v   y1  y2 . z  z  1 2 Như vậy, mỗi vectơ hoàn toàn được xác định khi biết toạ độ của nó.  Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(1; 2 ; - 3) và vectơ u  (3; 4; 2) . Hãy biểu    diễn theo các vectơ i , j và k mỗi vectơ sau:  a) OA ;  b) u . Giải  a) Vì điểm A có toạ độ là (1; 2; 3) nên OA  (1; 2; 3). Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025         Do đó, OA  1i  2 j  (3)k  i  2 j  3k .         b) Vì u  (3; 4; 2) nên u  3i  (4) j  2k  3i  4 j  2k . Ta có định lí sau: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A  xA ; y A ; z A  và B  xB ; yB ; zB  . Khi đó,  ta có: AB   xB  x A ; yB  y A ; zB  z A  . Ví dụ 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hình bình hành có ba đỉnh A(1;1; 2), B(4;3;1) và C (1; 2; 2) .   a) Tìm toạ độ của vectơ AB . b) Tìm toạ độ của điểm D . Giải a) Ta có:   AB  (4  1;3  1;1  (2))  (3; 2;3). b) Gọi tọa độ của điểm D là  xD ; yD ; zD  , ta có:  DC   1  xD ; 2  yD ; 2  z D  . Tứ giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi 1  xD  3  xD  4      DC  AB  2  yD  2   yD  4 2  z  3  z  1.  D  D Vậy D(4; 4; 1) . III. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP CỘNG HAI VECTƠ, PHÉP TRỪ HAI VECTƠ, PHÉP NHÂN MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ   Nếu u   x1; y1; z1  và v   x2 ; y2 ; z2  thì   u  v   x1  x2 ; y1  y2 ; z1  z2  ;   u  v   x1  x2 ; y1  y2 ; z1  z2  ;  mu   mx1 ; my1 ; mz1  , m  .     Nhận xét: Hai vectơ u   x1; y1 ; z1  , v   x2 ; y2 ; z2  (v  0) cùng phương khi và chỉ khi có một  x1  mx2  số thực m sao cho  y1  my2 .  z  mz  1 2    Ví dụ 7: Cho a  (2;3; 2), b  (2;1; 1), c  (1; 2;3) . Tính tọa độ của mỗi vectơ sau:  a) 3a ;   b) 2a  b ;   3 c) a  2b  c . 2 Giải Ta có:   a) 3a  (3  (2);3  3;3  2) . Vậy 3a  (6;9;6) .     b) Ta có 2a  (4; 6; 4) và b  (2;1; 1) . Do đó, 2a  b  (4  2;6  1; 4  (1)) .   Vậy 2a  b  (6;5;5) .     3  3 9 c) Do a  (2;3; 2) và 2b  (4; 2; 2) nên a  2b  (2;5;0) . Ngoài ra, vì  c    ; 3;   2  2 2   3  1 9 nên a  2b  c   ; 2;   . 2 2 2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ IV. TOẠ ĐỘ TRUNG ĐIỂM ĐOẠN THẲNG. TOẠ ĐỘ TRỌNG TÂM TAM GIÁC - Cho hai điểm A  x A ; y A ; z A  và B  xB ; yB ; z B  . Nếu M  xM ; yM ; zM  là trung điểm đoạn thẳng AB thì x  xB y  yB z z xM  A ; yM  A ; zM  A B . 2 2 2 - Cho tam giác ABC có A  x A ; y A ; z A  , B  xB ; yB ; z B  , C  xC ; yC ; zC  . Nếu G  xG ; yG ; zG  là trọng tâm tam giác ABC thì x  xB  xC y  yB  yC z z z xG  A ; yG  A ; zG  A B C . 3 3 3 Ví dụ 8: Cho tam giác ABC có A(2;1;0), B(0; 2;5), C (5;0; 2) . Tìm toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB và trọng tâm G của tam giác ABC . Giải Do M  xM ; yM ; zM  là trung điểm đoạn thẳng AB nên 2  0 1 2 3 05 5 xM   1; yM   ; zM   . 2 2 2 2 2  3 5 Vậy M  1; ;  .  2 2 Do G  xG ; yG ; zG  là trọng tâm tam giác ABC nên 2  0  5 xG   1; 3 1 2  0 yG   1; 3 05 2 7 zG   . 3 3  7 Vậy G 1;1;  .  3 V. BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG     Nếu u   x1; y1; z1  và v   x2 ; y2 ; z2  thì u  v  x1 x2  y1 y2  z1 z2 . Nhận xét     a) Nếu a  ( x; y; z ) thì | a | a  a  x 2  y 2  z 2 .   2 2 2 b) Nếu A  x1 ; y1 ; z1  và B  x2 ; y2 ; z2  thì AB | AB |  x2  x1    y2  y1    z2  z1  .    c) Với hai vectơ u   x1; y1; z1  và v   x2 ; y2 ; z2  khác vectơ 0 , ta có:   - u và v vuông góc vối nhau khi và chỉ khi x1 x2  y1 y2  z1 z2  0 .     u v x1 x2  y1 y2  z1 z2  cos(u , v )     . | u || v | x1  y12  z12  x2  y2  z2 2 2 2 2 Ví dụ 9: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho A(1;0;0), B(0; 0;1) và C (2;1;1) . a) Chứng minh rằng A, B, C không thẳng hàng. b) Tính chu vi của tam giác ABC . c) Tính cos  .ABC Giải         a) Ta có: BA  (1;0; 1), BC  (2;1;0) . Suy ra BA  (1;0; 1)  k BC  (2k ; k ;0) với mọi k   . Vậy ba điểm A, B, C không thẳng hàng. b) Ta thấy: Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 2 2 2 BA  1  0  (1)  2, BC  22  12  02  5, AC  12  12  12  3. Vậy chu vi của tam giác ABC bằng 2  3  5 . c) Ta có:         BA  BC 1 2  0 1  (1)  0 2 10 cos   cos( BA, BC )     ABC     . | BA |  | BC | 2 5 10 5 VI. CÁCH TÌM TOẠ ĐỘ CỦA MỘT VECTƠ VUÔNG GÓC VỚI HAI VECTƠ CHO TRƯỚC Ta có định lí sau:   Cho hai vectơ u   x1 ; y1 ; z1  và v   x2 ; y2 ; z2  không cùng phương.    Khi đó, vectơ w   y1 z2  y2 z1; z1 x2  z2 x1 ; x1 y2  x2 y1  vuông góc với cả hai vectơ u và v . Nhận xét    - Vectơ w trong định lí trên còn được gọi là tích có hướng của hai vectơ u và v , kí hiệu là    w  [u , v ] . a b - Để thuận tiện trong cách viết, ta quy ước:  ad  bc , với a, b, c, d là các số thực. c d   Khi đó, với hai vectơ u   x1; y1; z1  và v   x2 ; y2 ; z2  , ta có:   y z1 z1 x1 x1 y1  [u , v ]   1 ; ;    y1 z2  y2 z1 ; z1 x2  z2 x1 ; x1 y2  x2 y1  .  y2 z2 z2 x2 x2 y2        - Hai vectơ u , v không cùng phương khi và chỉ khi vectơ w  [u , v ]  0 .   Ví dụ 10: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai vectơ u  (1; 2;3) và v  (2;0; 3) . Hãy chỉ ra     toạ độ của một vectơ w khác 0 vuông góc với cả hai vectơ u và v . Giải Ta có:    2 3 3 1 1 2  [u , v ]   ; ;   (6;9; 4).  0 3 3 2 2 0      Chọn w  (6;9; 4) . Theo định lí trên, vectơ w vuông góc với cả hai vectơ u và v . PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN NHẮC LẠI LÝ THUYẾT 1.Hệ trục tọa độ Oxyz: Hệ trục gồm ba trục Ox, Oy , Oz đôi một vuông góc nhau.  Trục Ox : trục hoành, có vectơ đơn vị i  (1; 0; 0) .  Trục Oy : trục tung, có vectơ đơn vị j  (0;1; 0) .  Trục Oz : trục cao, có vectơ đơn vị k  (0;0;1). Điểm O (0; 0; 0) là gốc tọa độ.      2.Tọa độ vectơ: Vectơ u  xi  y j  zk  u  ( x; y; z ) .   Cho a  (a1; a2 ; a3 ), b  (b1; b2 ; b3 ) . Ta có:    a  b  (a1  b1; a2  b2 ; a3  b3 ) a cùng phương     ka  (ka1; ka2 ; ka3 ) b  a  kb (k  R ) Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ a1  b1 a1  kb1     a a a a  b  a2  b2  a2  kb2  1  2  3 , (b1 , b2 , b3  0). a  b a  kb b1 b2 b3  3 3  3 3    2 a.b  a1.b1  a2 .b2  a3.b3 a  a12  a2  a2 2 2 a 2  a  a12  a2  a3 2 2       a.b a1b1  a2b2  a3b3 a  b  a.b  0  a1b1  a2b2  a3b3  0 cos( a , b )     a .b a1  a2  a3 . b12  b22  b32 2 2 2   3.Tọa độ điểm: M ( x; y; z )  OM  ( x; y; z ) . Cho A( xA ; yA ; z A ) , B( xB ; yB ; zB ) , C ( xC ; yC ; zC ) , ta có:   AB  ( xB  xA ; yB  yA ; zB  zA ) AB  ( xB  x A ) 2  ( yB  y A ) 2  ( z B  z A )2 Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:  x  x y  yB z A  z B   x  x  x y  yB  yC z A  zB  zC  M A B; A ; . G A B C ; A ; .  2 2 2   3 3 3  QUY TẮC CHIẾU ĐẶC BIỆT Chiếu điểm trên trục tọa độ Chiếu điểm trên mặt phẳng tọa độ Điểm M ( xM ; yM ; zM ) Giöõ nguyeân x M1 ( xM ;0;0) (    Chieáu vaøo Ox ) Điểm M ( xM ; yM ; zM ) Giöõ nguyeânOxyy M1 ( xM ; yM ;0) (   x Chieáu vaøo , ) Điểm M ( xM ; yM ; zM ) Chieánguyeân y M 2 (0; yM ;0)  u vaø ( Giöõ  o Oy) Điểm M ( xM ; yM ; zM ) Giöõ nguyeânOyzz M 2 (0; yM ; zM ) (   y Chieáu vaøo , ) Điểm M ( xM ; yM ; zM ) Chieánguyeân z M 3 (0;0; zM )  u vaø ( Giöõ  o Oz) Điểm M ( xM ; yM ; zM ) Giöõ nguyeânOxzz M 3 ( xM ;0; zM ) (   x Chieáu vaøo , ) Đối xứng điểm qua trục tọa độ Đối xứng điểm qua mặt phẳng tọa độ M ( x M ; yM ; zM ) Giöõ nguyeânnxg; ñoåi u y ,  M 1 ( x M ; yM ; zM )  Ñoái   daá z  xöù qua Ox ) ( M ( xM ; yM ; zM ) Giöõ Ñoái xöùn x ñoåi daáu  M 1 ( xM ; yM ; zM ) ( nguyeâ ng, qua Oxy z   y;   ) M ( xM ; yM ; zM ) Giöõ Ñoái xöùnnx ñoåOxz u  M 2 ( xM ; yM ; zM ) nguyeâ g, qua i daá y   z;   ) M ( xM ; yM ; zM ) Giöõ nguyeânnyg; ñoå u x ,  M 2 ( x M ; yM ; zM ) (  Ñoái   i daá z  xöù qua Oy ) ( M ( xM ; yM ; zM ) Giöõ Ñoái xöùnny ñoåi daáu  M 3 ( xM ; yM ; zM ) ( nguyeâ g, qua Oyz x   z;   ) M ( xM ; yM ; zM ) Giöõ nguyeânnzg ñoåi u x ,  M 3 ( xM ; yM ; zM ) (  Ñoái   daá  y  xöù ; qua Oz ) 4.Tích có hướng của hai vectơ: KIẾN THỨC BỔ SUNG      Định nghĩa: Cho a  (a1, a2 , a3 ) , b  (b1, b2 , b3 ) , tích có hướng của a và b là:   a a a a1 a1 a2  a, b    2 3 ; 3   ;    a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3 ; a1b2  a2b1  .  b2 b3 b3 b1 b1 b2               Tính chất: [ a , b]  a [ a , b]  b [ a, b]  a . b .sin  a , b       Điều kiện cùng phương của hai vectơ a & b là Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ a, b và c là         a, b   0 với 0  (0;0;0). [a, b].c  0.      Diện tích tam giác ABC: Diện tích hình bình hành ABCD: S ABCD   AB, AD  .   1    S ABC   AB, AC  .   2      1     Thể tích khối hộp: VABCD. A ' B 'C ' D '  [ AB, AD]. AA ' . Thể tích tứ diện: VABCD   AB, AC  . AD . 6  Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 DẠNG 1. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Câu 1. Cho hình lập phương ABCD  A BC  D có độ dài mỗi cạnh bằng 1. Có thể lập một hệ toạ độ        Oxyz có gốc O trùng với đỉnh B và các vectơ i , j , k lần lượt là các vectơ B A , BC  , B B không? Giải thích vì sao. Câu 2. Cho hình hộp chữ nhật OABC  O  A BC  . Hệ toạ độ Oxyz được chọn sao cho các tia Ox, Oy , Oz lần lượt chứa các điểm A, C , O  (Hình). a) Mặt bên OCC O  nằm trong mặt phẳng toạ độ nào? b) Ox có vuông góc với mặt bên OCC O  không? c) Mặt bên OAAO  có vuông góc với mặt phẳng toạ độ  Oxy  không? Câu 3. Cho hình hộp chữ nhật OABC  O A BC  có cạnh OA  4, OC  6, OO  3 . Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc tọa độ O ; các điểm A, C, O lần lượt nằm trên các tia Ox, Oy, Oz . Xác định tọa độ các điểm A, B, B . Câu 4. Trong không gian Oxyz , cho hình hộp chữ nhật ABCD  A BC  D có đỉnh A trùng với gốc O ,        các vectơ AB, AD, AA theo thứ tự cùng hướng với i , j , k và có AB  8, AD  6 , AA  4 .        Tìm toạ độ các vectơ AB, AC , AC  và AM với M là trung điểm của cạnh C  D . Câu 5. Hình minh hoạ một hệ toạ độ Oxyz trong không gian cùng với các hình vuông có cạnh bằng 1 đơn vị. Tìm toạ độ của điểm M . Câu 6. Trong không gian Oxyz , cho hình hộp chữ nhật OBCD.O  B C  D có B (2; 0; 0), D (0;1; 0) , O  (0;0;1) . Tìm toạ độ các đỉnh còn lại. Câu 7. Trong không gian Oxyz , cho hình lăng trụ tam giác ABC. A BC  có A(1;0; 2), B(3; 2;5), C (7; 3;9) và A (5;0;1) . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/  a) Tìm toạ độ của AA . b) Tìm toạ độ của các điểm B , C  . Câu 8. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm không thẳng hàng A(2; 1; 4), B (3;5; 1), C ( 1;1; 2) .   a) Tìm toạ độ của AB . b) Tìm toạ độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A 1;0;3 , B  2;3;  4  , C  3;1; 2  . Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho 2 điểm B 1; 2; 3 , C  7; 4; 2  . Tìm điểm E thỏa     nãm đẳng thức CE  2EB Câu 11. Trong không gian Oxyz , cho hình hộp ABCD. ABC D có A 1;0;1 , B  2;1; 2  , D 1;  1;1 , C   4;5;  5 . Tính tọa độ đỉnh A của hình hộp. DẠNG 2. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTO    3   5  Câu 12. Trong không gian Oxyz , cho vectơ u  2i  3 j  k và vectơ v   3;  ;2  . 4  4   a) Tìm toạ độ của u .     b) Biểu diễn v theo các vectơ đơn vị i , j , k .   1 c) Tìm toạ độ của a  2u  v . 3      1  Câu 13. Cho a  (2; 1;5), b  (0;3; 3), c  (1; 4; 2) . Tìm toạ độ của vectơ d  2a  b  3c . 5   Câu 14. Trong không gian Oxyz , cho a  (2;1; 2) và b  (2;3; 2) .   a) Tìm a  b .   b) Tìm (a , b ) .   Câu 15. Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ a  (1;4; 2) và b  (4;1; 0) .     a) Tính a  b và cho biết hai vectơ a và b có vuông góc với nhau hay không.  b) Tính độ dài của vectơ a .   Câu 16. Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ a  (2;1;5) và b  (2; 2;1) . Tìm toạ độ của mỗi vectơ sau:   a) a  b ;   b) 3a  2b .    Câu 17. Trong không gian Oxyz , cho ba vectơ p  (3; 2;1), q  (6; 4; 2), r  (2;1; 3) .     a) Tìm toạ độ của vectơ c  2 p  3q  r . b) Tìm hai vectơ cùng phương trong các vectơ đã cho.    Câu 18. Cho ba vectơ a  (3;0;1), b  (1; 1; 2), c  (2;1; 1) .     a) Tính a  b , b  c .     b) Tính | a |,| b |, cos(a , b ) .    c) Cho d  (1;7; 3) . Chứng minh d  a . Câu 19. Cho ba điểm A(2;0; 2), B(1;2;3), C (2;1; 2) . Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025       a) Tìm tọa độ của các vectơ AB, BC , CA . b) Tính các độ dài AB, BC , CA . Câu 20. Cho tam giác ABC có A(1; 1;1), B(0;1;2), C (1;0;1) . Tìm tọa độ: a) Trung điểm M của AB ; b) Trọng tâm G của tam giác ABC . Câu 21. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A(1; 2;3), B(3; 2;1) và C (2; 1;5) . Tìm toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB và toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC . Câu 22. Trong không gian Oxyz , cho tam giác MNP có M (3; 7; 2), N (5;1; 1) và P (4; 4; 2) . Tìm toạ độ: a) Trung điểm I của đoạn thẳng MN ; b) Trọng tâm G của tam giác MNP . Câu 23. Cho tam giác ABC có A(7;3;3), B(1; 2; 4), C (2;3;5) . a) Tìm tọa độ điểm H là chân đường cao kẻ từ A của tam giác ABC . b) Tìm độ dài cạnh AB và AC . c) Tính góc A . Câu 24. Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm A(0;1; 2), B (2; 1;3), C (1;3; 2), D (5; 1;8) . a) Ba điểm A, B, C có thẳng hàng không? b) Chứng minh rằng hai đường thẳng AB và CD song song với nhau. Câu 25. Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD với A(1;3; 2), B (3; 2; 4), C (2;1; 0) , D (3;5; 1) . a) Chứng minh rằng AB  CD . b) Chứng minh rằng BCD là tam giác đều. c) Tính số đo của  với M là trung điểm của BC (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). AMD Câu 26. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhât và SA vuông góc với mặt phẳng ( ABCD) . Giả sử SA  2, AB  3 , AD  4 . Xét hệ toạ độ Oxyz với O trùng A và các tia Ox, Oy, Oz lần lượt trùng với các tia AB, AD, AS . a) Xác định toạ độ của các điểm S , A, B, C , D . b) Tính BD và SC .     c) Tính ( BD, SC ) . Câu 27. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hình hộp ABCD. ABC D có A  0; 0; 0  , B  3; 0; 0  , D  0; 3; 0  , D   0; 3;  3  . Tìm toạ độ trọng tâm tam giác ABC Câu 28. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A 1;2;  1 , B  2;  1;3 , C  4;7;5  . Tìm tọa độ chân đường phân giác trong góc B của tam giác ABC Câu 29. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm A  2;3;1 , B  2;1;0  , C  3;  1;1 . Tìm tất cả các điểm D sao cho ABCD là hình thang có đáy AD và S ABCD  3SABC   Câu 30. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho véc tơ u  1;1; 2  , v  1;0; m  . Tìm tất cả giá trị   của m để góc giữa u , v bằng 45 .   Câu 31. Trong không gian Oxyz , cho các vec tơ a   5;3; 2  và b   m; 1; m  3 . Có bao nhiêu giá   trị nguyên dương của m để góc giữa hai vec tơ a và b là góc tù? Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/     Câu 32. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai vectơ m   4;3;1 , n   0; 0;1 . Gọi p là vectơ       cùng hướng với  m, n  (tích có hướng của hai vectơ m và n ). Biết p  15 , tìm tọa độ vectơ    p.    Câu 33. Trong không gian Oxyz , cho hai véc tơ m   4 ; 3 ;1 và n   0 ; 0 ; 1 . Gọi p là véc tơ cùng      hướng với  m , n  và p  15 . Tìm tọa độ của véc tơ p    8 4 8 Câu 34. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm M (2;2;1) , N  ; ;  . Tìm tọa độ tâm đường tròn     3 3 3  nội tiếp tam giác OMN . Câu 35. Cho 3 điểm A(1; 0; 0), B (0; 0;1), C (2;1;1) . a) Chứng minh: A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác b) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC c) Tính độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ A . d) Tính các góc của tam giác ABC . Câu 36. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A(1; 0; 0) , B (0;1; 0), C (0; 0;1), D ( 2;1; 1) 1) Chứng minh rằng A, B , C , D là 4 đỉnh của một khối tứ diện. 2) Tính thể tích của khối tứ diện 3) Tính độ đài đường cao hạ từ A của khối tứ diện ABCD DẠNG 3. ỨNG DỤNG THỰC TẾ Câu 37. Hình a mô tả một sân cầu lông với kích thước theo tiêu chuẩn quốc tế. Ta chọn hệ trục Oxyz cho sân đó như ở Hình b (đơn vị trên mỗi trục là mét). Giả sủ̉ AB là một trụ cầu lông để căng   lưới. Hãy xác định tọa độ của vectơ AB . Câu 38. Một chiếc máy quay phim ở đài truyền hình được đặt trên một giá đỡ ba chân với điểm đặt P(0;0;4) và các điểm tiếp xúc vối mặt đất của ba chân lần lượt là Q1 (0; 1;0) ,  3 1   3 1   2 ; 2 ;0  , Q3   2 ; 2 ;0  (Hình). Biết rằng trọng lượng của máy quay là 360 N . Q2               Làm thế nào để tìm đuợc toa độ của các lực F1 , F2 , F3 tác dụng lên giá đỡ? Câu 39. Một chậu cây được đặt trên một giá đỡ có bốn chân với điểm đặt S (0;0; 20) và các điểm chạm mặt đất của bốn chân lần lượt là A(20;0;0), B(0;20;0) , C (20;0;0), D(0; 20;0) (đơn vị cm). Cho biết trọng lực tác dụng lên chậu cây có độ lớn 40 N và được phân bố thành bốn lực         F1 , F2 , F3 , F4 có độ lớn bằng nhau như Hình. Tìm tọa độ của các lực nói trên (mỗi centimét biểu diễn 1 N ). Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025  Câu 40. Trong Vật lí, ta biết rằng nếu lực F tác động vào một vật và làm vật dịch chuyển  theo đoạn    thẳng từ M đến N , thì công A sinh bởi lực F được tính bằng công thức A  F  MN .  Trong không gian Oxyz , một người tác động một lực không đổi F  (2;3; 1) vào một vật đang ở gốc toạ độ O và làm cho vật dịch chuyển thẳng từ O đến điểm M (1; 2;1) . Biết lực tính bằng newton (N) và đơn vị trên mỗi trục toạ độ là mét, làm thế nào để tính công A (đơn vị: J)  sinh ra bởi lực F trong tình huống này? Câu 41. Trong không gian với một hệ trục toạ độ cho trước (đơn vị đo lấy theo kilômét), ra đa phát hiện một chiếc máy bay di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm A(800;500;7) đến điểm B(940;550;8) trong 10 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì toạ độ của máy bay sau 5 phút tiếp theo là gì? Câu 42. Những căn nhà gỗ trong Hình a được phác thảo dưới dạng một hình lăng trụ đứng tam giác OAB.O A B như trong Hình b. Với hệ trục toạ độ Oxyz thể hiện như Hình b (đơn vị đo lấy theo centimét), hai điểm A và B  có toạ độ lần lượt là (240; 450;0) và (120; 450;300) . Từ những thông tin trên, có thể tính được kích thước mỗi chiều của những căn nhà gỗ hay không? Câu 43. Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm cách điểm xuất phát 2 km về phía nam và 1km về phía đông, đồng thời cách mặt đất 0,5 km . Chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát 1km về phía bắc và 1,5 km về phía tây, đồng thời cách mặt đất 0,8 km . Chọn hệ trục toạ độ Oxyz với gốc O đặt tại điểm xuất phát của hai khinh khí cầu, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất với trục Ox hướng về phía nam, trục Oy hướng về phía đông và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo kilômét. a) Tìm toạ độ của mỗi chiếc khinh khí cầu đối với hệ toạ độ đã chọn. b) Xác định khoảng cách giữa hai khinh khí cầu (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai). Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Câu 44. Trong không gian, xét hệ toạ độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí của một giàn khoan trên biển, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt biển (được coi là phẳng) với trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời. Đơn vị đo trong không gian Oxyz lấy theo kilômét. Một chiếc ra đa đặt tại giàn khoan có phạm vi theo dõi là 30 km . Hỏi ra đa có thể phát hiện được một chiếc tàu thám hiểm có toạ độ là (25;15; 10) đối với hệ toạ độ nói trên hay không? Hãy giải thích vì sao. Câu 45. Một máy bay đang cất cánh từ phi trường. Với hệ toạ độ Oxyz được thiết lập như Hình, cho   biết M là vị trí của máy bay, OM  14, NOB  32 , MOC  65 . Tìm được tọa độ điểm M . Câu 46. Ở một sân bay, ví trí của máy bay được xác định bởi điểm M trong không gian Oxyz như Hình. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M xuống mặt phẳng (Oxy) .      Cho biết OM  50, (i , OH )  64 , (OH , OM )  48 . Tìm tọa độ của điểm M . Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 Câu 47. Trên phần mềm mô phỏng việc điều khiển drone giao hàng trong không gian Oxyz , một đội gồm ba drone giao hàng A, B, C đang có toạ độ là A(1;1;1) , B(5;7;9), C (9;11; 4) . Tính: a) Các khoảng cách giữa mỗi cặp drone giao hàng.  b) Góc BAC . PHẦN C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH Câu 1. (Mã 101-2022) Trong không gian Oxyz , cho điểm A 1; 2;  3  . Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng  Oxy  có tọa độ là A.  0; 2;  3  . B. 1; 0;  3 . C. 1; 2;0  . D. 1;0;0  . Câu 2. (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm M  2;1; 1 trên mặt phẳng  Ozx  có tọa độ là A.  0;1; 0  . B.  2;1;0  . C.  0;1; 1 . D.  2; 0; 1 . Câu 3. (Đề Tham Khảo 2018) Trong không gian Oxyz , cho điểm A 3; 1;1 . Hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng  Oyz  là điểm A. M  3;0;0 B. N  0; 1;1 C. P 0; 1;0 D. Q  0;0;1 Câu 4. (Mã 102 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm A 1; 2;5  trên trục Ox có tọa độ là A.  0; 2;0  . B.  0;0;5  . C. 1;0;0  . D.  0; 2;5  . Câu 5. (Mã 104 - 2019) Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm M  3;1;  1 trên trục Oy có tọa độ là A.  3; 0; 1 . B.  0;1; 0  . C.  3; 0; 0  . D.  0; 0; 1 . Câu 6. (Mã 102 - 2019) Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm M  3; 1;1 trên trục Oz có tọa độ là A.  3; 1;0  . B.  0;0;1 . C.  0; 1;0  . D.  3;0;0  . Câu 7. (Đề Minh Họa 2023) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 1;2;3 . Điểm đối xứng với A qua mặt phẳng  Oxz  có tọa độ là A. 1;  2;3 . B. 1;2; 3 . C.  1;  2;  3 . D.  1;2;3 . Câu 8. (Chuyên Hạ Long 2018) Trong không gian Oxyz , cho điểm A  2; 3;5  . Tìm tọa độ A là điểm đối xứng với A qua trục Oy . A. A  2;3;5  . B. A  2; 3; 5  . C. A  2; 3;5  . D. A  2; 3; 5  .   Câu 9. (Mã 102 2018) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1;1;  2  và B  2; 2;1 . Vectơ AB có tọa độ là A.  1;  1;  3  B.  3;1;1 C. 1;1;3 D.  3;3;  1 Câu 10. (Đề Tham Khảo 2019) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A 1;1;  1 và B  2; 3; 2  . Vectơ   AB Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ có tọa độ là A. 1; 2; 3  B.  1;  2; 3  C.  3; 5;1 D.  3; 4;1   Câu 11. (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Trong không gian Oxyz cho a   2;3; 2  và b  1;1;  1 .   Vectơ a  b có tọa độ là A.  3; 4;1 . B.  1;  2;3  . C.  3;5;1 . D. 1;2;3 . Câu 12. (THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho        a   2; 3; 3  , b   0; 2; 1 , c   3; 1; 5  . Tìm tọa độ của vectơ u  2a  3b  2c . A. 10; 2;13  . B.  2; 2; 7  . C.  2; 2; 7  . D.   2; 2; 7  . Câu 13. (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho      a  i  2 j  3k . Tọa độ của vectơ a là A.  1; 2; 3  . B.  2;  3;  1 . C.  2;  1; 3  . D.  3; 2;  1 . Câu 14. (THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz giả sử      u  2i  3 j  k , khi đó tọa độ véc tơ u là A.  2; 3;1 . B.  2;3; 1 . C.  2; 3; 1 . D.  2; 3;1 . Câu 15. (Sở Thanh Hóa 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 1; 3;1 , B  3; 0; 2  . Tính độ dài AB . A. 26. B. 22. C. 26 . D. 22.   Câu 16. (Đề minh họa 2022) Trong không gian Oxyz , cho hai vectơ u  1;3;  2 và v   2;1;  1 .   Tọa độ của vectơ u  v là A.  3;4;  3 . B.  1;2;  3 . C.  1;2; 1 . D. 1;  2;1 .   Câu 17. (Mã 101-2023) Trong không gian Oxyz cho hai vectơ u  1; 2;  2 và v   2;  2; 3 . Tọa độ   của vectơ u  v là A.  1; 4;  5  . B. 1;  4; 5  . C.  3; 0; 1 . D.  3; 0;  1 . Câu 18. (Mã 101 2018) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A  2; 4;3 và B  2; 2; 7  . Trung điểm của đoạn thẳng AB có tọa độ là A.  4; 2;10  B. 1; 3; 2  C.  2; 6; 4  D.  2; 1;5  Câu 19. (THPT Cẩm Giàng 2 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A  3; 2;3  và B  1; 2;5  . Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là : A. I  2; 2;1 . B. I 1;0; 4  . C. I  2; 0;8  . D. I  2; 2; 1 . Câu 20. Trong không gian cho hệ trục toạ độ Oxyz , cho ba điểm A 1; 2;3  , B  1; 2;5  , C  0; 0;1 . Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC . A. G  0; 0; 3  . B. G  0; 0; 9  . C. G  1; 0;3  . D. G  0; 0;1 . Câu 21. (THPT Cù Huy Cận 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với A 1;3; 4  , B  2; 1; 0  , C  3;1; 2  . Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là  2  A. G  2;1; 2  . B. G  6;3; 6  . C. G  3; ;3  . D. G  2; 1; 2  .  3  Câu 22. (THPT Nghĩa Hưng NĐ- 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A  1; 5;3  và M  2;1;  2  . Tọa độ điểm B biết M là trung điểm của AB là 1 1 A. B  ;3;  . B. B  4;9;8  . 2 2 Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 C. B  5;3; 7  . D. B  5; 3; 7  .  Câu 23. (Mã 105 2017) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai vectơ a   2;1; 0  và    b   1; 0; 2  . Tính cos  a , b  .   2   2   2   2   A. cos a , b     B. cos a, b   C. cos a, b    D. cos a, b    25 5 25 5 Câu 24. (THPT Lê Văn Thịnh Bắc Ninh 2019) Trên mặt phẳng toạ độ Oxy , cho tam giác ABC biết A 1; 3  , B  2; 2  , C  3;1 . Tính cosin góc A của tam giác. 2 1 2 1 A. cos A  B. cos A  C. cos A   D. cos A   17 17 17 17  Câu 25. (THPT Quỳnh Lưu 3 Nghệ An 2019) Trong không gian Oxyz , góc giữa hai vectơ i và   u   3; 0;1 là  A. 120 . B. 60 . C. 150 . D. 30 .   Câu 26. (Chuyên Đại Học Vinh 2019) Trong không gian Oxyz , cho a   3; 4;0  , b   5;0;12 .   Côsin của góc giữa a và b bằng 3 5 5 3 A. . B. . C.  . D.  . 13 6 6 13 Câu 27. (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vectơ    u   3;0;1 và v   2;1;0 . Tính tích vô hướng u.v .     A. u.v  8 . B. u.v  6 . C. u.v  0 . D. u.v  6 . Câu 28. (THPT Ngô Sĩ Liên Bắc Giang 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có A 1; 0;0  , B  0; 0;1 , C  2;1;1 . Diện tích của tam giác ABC bằng: 11 7 6 5 A. B. C. D. 2 2 2 2     Câu 29. (Thpt Vĩnh Lộc - Thanh Hóa 2019) Trong hệ tọa độ Oxy , cho u  i  3 j và v   2; 1 . Tính  u.v .     A. u.v  1 . B. u.v  1 . C. u.v   2; 3 . D. u.v  5 2 .   Câu 30. (THPT Ngô Quyền - Ba Vì - Hải Phòng 2019) Cho hai véc tơ a  1; 2;3 , b   2;1; 2 . Khi      đó, tích vô hướng a  b .b bằng A. 12 . B. 2 . C. 11 . D. 10 . Câu 31. (Chuyên Lê Hồng Phong - 2018) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tứ diện ABCD với A  0; 0; 3  , B  0; 0;  1 , C 1; 0;  1 , D  0; 1;  1 . Mệnh đề nào dưới đây sai? A. AB  BD . B. AB  BC . C. AB  AC . D. AB  CD . Câu 32. (THPT Thanh Miện I - Hải Dương - 2018) Trong không gian Oxyz cho 2 véc tơ       a  (2;1; 1) ; b  (1; 3; m) . Tìm m để a; b  90 . A. m  5 . B. m  5 . C. m  1 . D. m  2  Câu 33. (SGD Đồng Tháp - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho u   2; 1;1 và   v   0; 3; m  . Tìm số thực m sao cho tích vô hướng u.v  1 . A. m  4 . B. m  2 . C. m  3 . D. m  2 . Câu 34. (KTNL GV Bắc Giang 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai vectơ      a   2;1; 2  và vectơ b  1;0;2  . Tìm tọa độ vectơ c là tích có hướng của a và b . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/     A. c   2;6; 1 . B. c   4;6; 1 . C. c   4; 6; 1 . D. c   2; 6; 1 .  Câu 35. (Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk 2019) Trong không gian Oxyz , tọa độ một vectơ n vuông góc   với cả hai vectơ a  1;1; 2  , b  1;0;3 là A.  2;3; 1 . B.  3;5; 2  . C.  2; 3; 1 . D.  3; 5; 1 . Câu 36. (Toán Học Và Tuổi Trẻ - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho      OA  2i  2 j  2k , B  2; 2;0  và C  4;1;  1 . Trên mặt phẳng  Oxz  , điểm nào dưới đây cách đều ba điểm A , B , C . 3 1  3 1  3 1   3 1 A. M  ; 0;  . B. N  ; 0; . C. P  ; 0; . D. Q  ; 0;  . 4 2  4 2 4 2   4 2 Câu 37. Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho O  0; 0;0  , A  0;1; 2  , B 1; 2;1 , C  4;3; m  . Tất cả giá trị của m để 4 điểm O, A, B, C đồng phẳng? A. m  14 . B. m  14 . C. m  7 . D. m  7 . Câu 38. (Việt Đức Hà Nội 2019) Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A(1;  2;0) , B(2;0;3) , C (2;1;3) và D(0;1;1) . Thể tích khối tứ diện ABCD bằng: A. 6 . B. 8 . C. 12 . D. 4 . Câu 39. (Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1; 0; 1 , B 1; 1; 2  . Diện tích tam giác OAB bằng 6 11 A. 11. . B. C. . D. 6. 2 2 Câu 40. (Yên Phong 1 - 2018) Trong không gian Oxyz , cho 4 điểm A  2; 0; 2  , B 1; 1; 2  , C  1;1; 0  , D  2;1; 2  . Thể tích của khối tứ diện ABCD bằng 42 14 21 7 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Câu 41. (SGD và ĐT Đà Nẵng 2019) Trong không gian Oxyz , tính diện tích S của tam giác ABC , biết A 2;0;0 , B  0;3;0 và C  0;0;4 . 61 61 A. S  . B. S  . C. S  2 61 . D. S  61 . 3 2 Câu 42. Trong không gian Oxyz , cho hình chóp A.BCD có A  0;1; 1 , B 1;1; 2  , C 1; 1;0  và D  0; 0;1 . Tính độ dài đường cao của hình chóp A.BCD . 3 2 2 A. 2 2 . B. . C. 3 2 . D. . 2 2 Câu 43. (Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ, cho hình bình hành ABCD . Biết A  2;1;  3 , B  0;  2;5  và C 1;1;3  . Diện tích hình bình hành ABCD là 349 A. 2 87 . . B. C. 349 . D. 87 . 2 Câu 44. (SGD - Bình Dương - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A  0;1;1 , B  1; 0; 2  , C  1;1; 0  và điểm D  2;1; 2  . Khi đó thể tích tứ diện ABCD là 5 5 6 3 A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 6 3 5 2 Câu 45. (THPT Mộ Đức - Quảng Ngãi - 2018) Trong không gian Oxyz , cho A 1; 2; 1 , B  0; 2;3 . Tính diện tích tam giác OAB . Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ ÔN THI TỐT NGHIỆP 2025 29 29 78 7 A. . B.. C. . D. . 6 2 2 2 DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ GIỎI  Câu 46. Tính công sinh bởi lực F  (20;30; 10) (đơn vị: N) tạo bởi một drone giao hàng (Hình) khi  thực hiện một độ dịch chuyển d  (150; 200;100) (đơn vị: m ). A. 3200J . B. 8000J . C. 10000J . D. 5800J . Câu 47. (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Trong không gian với hệ trục Oxyz cho ba điểm A1; 2; 3 , B 1;0; 2 , C  x; y; 2 thẳng hàng. Khi đó x  y bằng 11 11 A. x  y  1 . B. x  y  17 . C. x  y   . D. x  y  . 5 5 Câu 48. (HSG Tỉnh Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các vectơ     a   2; m  1;3 , b  1;3; 2n  . Tìm m, n để các vectơ a, b cùng hướng. 3 4 A. m  7; n   . B. m  4; n  3 . C. m  1; n  0 . D. m  7; n   . 4 3 Câu 49. (THPT Nguyễn Khuyến -2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A  2; 1; 5  , B  5;  5; 7  , M  x; y ;1 . Với giá trị nào của x, y thì A, B, M thẳng hàng. A. x  4; y  7 B. x  4; y  7 C. x  4; y  7 D. x  4; y  7 Câu 50. (THPT Quỳnh Lưu 3 Nghệ An -2019) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A  2;  2;1 , B  0;1;2  . Tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng  Oxy  sao cho ba điểm A , B , M thẳng hàng là A. M  4;  5;0  . B. M  2;  3;0 . C. M  0;0;1 . D. M  4;5;0  . Câu 51. (Chuyen ĐHSP Hà Nội -2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình hộp ABCD. ABCD có A  0; 0; 0  , B  a;0; 0  ; D  0; 2a;0  , A  0; 0; 2a  với a  0 . Độ dài đoạn thẳng AC là 3 A. a . B. 2 a . C. 3 a . D. a. 2 Câu 52. (Chuyên Lê Quý Dôn - Dà Nẵng - 2018) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho        a   2;3;1 , b   1;5; 2  , c   4;  1;3  và x   3; 22;5  . Đẳng thức nào đúng trong các đẳngthức    sau?          A. x  2 a  3 b  c . B. x  2 a  3 b  c .                C. x  2 a  3 b  c . D. x  2 a  3 b  c . Câu 53. (Hồng Quang - Hải Dương - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các vectơ     a   2;m  1;3  , b  1;3; 2n  . Tìm m , n để các vectơ a , b cùng hướng. 3 4 A. m  7 ; n   . B. m  7 ; n   . C. m  4 ; n  3 . D. m  1 ; n  0 . 4 3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Câu 54. (THPT Chu Văn An -Thái Nguyên - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình vuông ABCD, B  3; 0;8  , D  5; 4; 0  . Biết đỉnh A thuộc mặt phẳng  Oxy  và có tọa độ là     những số nguyên, khi đó CA  CB bằng: A. 10 5 . B. 6 10 . C. 10 6 . D. 5 10 . Câu 55. (THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1; 2; 1), B (2; 1;3) và C ( 3;5;1) . Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. A. D ( 2;8; 3) B. D ( 4;8; 5) C. D ( 2; 2;5) D. D ( 4;8; 3) Câu 56. (KTNL Gia Bình 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với A 1; 2; 3 , B  2;5;7  , C  3;1; 4  . Điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành là  8 8 A. D  6;6;0  B. D  0; ;  C. D  0;8;8  D. D  4; 2; 6   3 3 Câu 57. (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho tam giác ABC có A 1; 2; 0  , B  2;1; 2  , C  0;3; 4  . Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành. A. 1; 0; 6  . B. 1;6;2  . C.  1;0;6  . D. 1;6; 2  . Câu 58. (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm     A  0;1; 2  và B  3; 1;1 . Tìm tọa độ điểm M sao cho AM  3 AB . A. M  9; 5;7  . B. M  9;5;7  . C. M  9;5; 7  . D. M  9; 5; 5 . Câu 59. (Chuyên Phan Bội Châu 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm   A 1; 2; 1 , AB  1;3;1 thì tọa độ của điểm B là: A. B  2;5;0  . B. B  0; 1; 2  . C. B  0;1; 2  . D. B  2; 5;0  Câu 60. (Đề Thi Công Bằng Khtn 2019) Trong không gian Oxyz , cho hình bình hành ABCD . Biết A  1; 0;1 , B   2;1; 2  và D  1;  1;1 . Tọa độ điểm C là A.  2; 0; 2  . B.  2; 2; 2  . C.  2;  2; 2  . D.  0;  2; 0  . Câu 61. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A  2;3;1 và B  5; 6; 2 . Đường thẳng AB cắt mặt phẳng  Oxz tại điểm M . Tính tỉ số A M . BM AM 1 AM AM 1 AM A.  B. 2 C.  D. 3 BM 2 BM BM 3 BM Câu 62. (Bình Giang-Hải Dương 2019) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm A  2;3;1 , B  2;1;0  , C  3;  1;1 . Tìm tất cả các điểm D sao cho ABCD là hình thang có đáy AD và diện tích tứ giác ABCD bằng 3 lần diện tích tam giác ABC .  D  8;  7;1  D  8; 7; 1 A. D  12;  1;3 . B.  . C. D  8;7;  1 . D.  .  D 12;1;  3   D  12;  1;3  Câu 63. (Chuyên Lê Quý Dôn - Dà Nẵng - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình hộp ABCD. AB C D  . Biết A  2; 4; 0  , B  4; 0; 0  , C  1; 4;  7  và D  6;8;10  . Tọa độ điểm B là A. B  8; 4;10  . B. B  6;12; 0  . C. B 10;8; 6  . D. B 13; 0;17  . Câu 64. (SGD Thanh Hóa - 2018) Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm là A 1; 3;  1 , B  3; 1; 5  .   Tìm tọa độ của điểm M thỏa mãn hệ thức MA  3MB . Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright ©2025 TaiLieu.VN. All rights reserved.