Bài giảng Cơ học kết cấu: Chương 7 - PGS. TS. Cao Văn Vui

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:25

Thêm vào BST

Báo xấu

1
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Cơ học kết cấu" Chương 7: Phương pháp lực, giới thiệu một trong những phương pháp phân tích kết cấu siêu tĩnh bằng cách sử dụng ẩn lực siêu tĩnh làm ẩn số. Nội dung bao gồm các bước thiết lập phương trình tương thích biến dạng, tính toán hệ số ảnh hưởng, và giải hệ phương trình để xác định nội lực. Phương pháp lực đặc biệt hữu ích trong phân tích kết cấu có số lượng liên kết vượt quá yêu cầu cân bằng tĩnh học.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Cơ học kết cấu: Chương 7 - PGS. TS. Cao Văn Vui

CƠ HỌC KẾT CẤU Chương 7 PHƯƠNG PHÁP LỰC Giảng viên: PGS. TS. Cao Văn Vui 7.1. KHÁI NIỆM VỀ HỆ SIÊU TĨNH 1 Định nghĩa Hệ tĩnh định là hệ bất biến hình và đủ liên kế (n=0) Hệ siêu tĩnh là hệ bất biến hình và có liên kế thừa (n>0) ==> chỉ với các phương trình cân bằng tĩnh học sẽ không đủ để giải được tất cả các phản lực hay nội lực trong hệ. 1
7.1. KHÁI NIỆM VỀ HỆ SIÊU TĨNH 2 Tính chất  Chuyển vị, biến dạng, nội lực trong hệ siêu tĩnh nói chung nhỏ hơn trong hệ tĩnh đĩnh cùng kích thước và tải trọng.  Khi có tải trọng, nhiệt độ, chuyển vị gối tựa, chế tạo và lắp ráp không chính xác thì trong hệ siêu tĩnh có nội lực.  Nội lực trong hệ siêu tĩnh phụ thuộc vào kích thước của tiết diện trong cấu kiện. 7.1. KHÁI NIỆM VỀ HỆ SIÊU TĨNH 3 Bậc siêu tĩnh  là số liên kết tương đương loại 1 (liên kết thanh) ngoài số liên kết cần thiết để hệ bất biến hình.  là trị số n trong các công thức trong chương 2. VD: n = T+2K+C -3D 2
7.2. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP LỰC  Tính trên hệ cơ bản (=hệ siêu tĩnh – tất cả hoặc một số liên kết thừa).  Bổ sung vào hệ cơ bản các điều kiện để hệ cơ bản làm việc giống hệ siêu tĩnh. 7.2. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP LỰC Nếu loại tất cả các liên kết thừa ==> hệ tĩnh định. Nếu loại một số liên kết thừa ==> hệ siêu tĩnh bậc thấp hơn. ==> có nhiều hệ cơ bản. Quan trọng là hệ cơ bản phải bất biến hình và cho phép xác định được nội lực được dễ dàng. P P P P P 3
7.2. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP LỰC Xét hệ cơ bản đầu tiên: P  Thay các liên kết đã loại bỏ bằng các lực X1, X2, X3, … như hình vẽ. Những lực này (lực tập trung và mômen) là các ẩn nên được gọi là phương pháp lực.  Điều kiện để hệ cơ bản chịu tải trọng và các ẩn lực X2 X3 là: chuyển vị theo các ẩn X1 X4 X5 lực phải = 0. 7.2. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP LỰC Nếu hệ có n bậc siêu tĩnh (n ẩn), thì ta phải có n điều kiện:   X1 ( X1 , X 2 ,..., X n , P ,t ,Z )  0    X 2 ( X1 , X 2 ,..., X n , P ,t ,Z )  0   ...............................   X ( X , X ,..., X ,P ,t ,Z )  0  n 1 2 n Đây là phương trình cơ bản của phương pháp lực. Hệ phương trình này nghiệm đúng với tất cả các hệ (tuân theo hoặc không tuân theo nguyên lý cộng tác dụng). Khi tìm được X 1 , X 2 ,..., X n , ta xem chúng như là các ngoại lực. Từ đó ta tìm nội lực như hệ tĩnh định. 4
7.2. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP LỰC Phân tích phương trình cơ bản thứ k:  X 2 ( X1 , X 2 ,..., X n ,P ,t ,Z )   X k X1   X k X 2  ...   X k X k  ...   X k X n   X k P   X k t   X k Z  0        Xi P ,t , Z  X 2 ( X1 , X 2 ,..., X n ,P ,t ,Z )   k 1   k 2  ...   kk  ...   kn   kP   kt   kZ  0         Xi P ,t , Z Trong đó:  km là chuyển vị theo phương của lực Xk do Xm gây ra trên hệ cơ bản.  kP ,  kt ,  kZ lần lượt là các chuyển vị theo phương của lực Xk do tải trọng, nhiệt độ, chuyển vị gối tựa gây ra trên hệ cơ bản. 7.2. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP LỰC Nếu gọi  km là chuyển vị theo phương của lực Xk do riêng Xm=1 gây ra trên hệ cơ bản, ta có:  km   km X m Phương trình trên được viết lại:  k 1 X 1   k 2 X 2  ...   kk X k  ...   kn X n   kP   kt   kZ  0         Xi P ,t , Z 5
7.2. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP LỰC Và hệ phương trình cơ bản được viết lại thành:  11 X 1  12 X 2  ...  1n X n  1P  1t  1Z  0  X   X  ...   X        0  21 1 22 2 2n n 2P 2t 2Z   ...   n1 X 1   n 2 X 2  ...   nn X n   nP   nt   nZ  0  là phương trình chính tắc của pp lực. Các hệ số  kk là hệ số chính. Các hệ số  km (k≠m) là hệ số phụ.  kP ,  kt ,  kZ là các số hạng tự do. 7.3. CÁCH TÍNH CÁC HỆ SỐ CHÍNH/PHỤ CỦA PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC Ta có:  M   N   Q   km     M k m  ds     N k m  ds     Q k m  ds  EI   EA   GA  Nên:  km X m     M k Mm   Nm   Qm    ds     N k  ds     Q k  ds  EI   EA   GA  Chia 2 vế cho X m :  Mm   Nm   Qm   km     M k  ds     N k  ds     Q k  ds  EI   EA   GA  6
7.3. CÁCH TÍNH CÁC HỆ SỐ CHÍNH/PHỤ CỦA PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC Tương tự:   kk  1 EI   M   EA  N  N   GA Q Q  Mk 1 k k k k k Trong đó:  M  ,  N  , Q  là các biểu đồ nội lực do riêng lực không thứ k k k nguyên Xk=1 gây ra trong hệ cơ bản.  M  ,  N  , Q  là các biểu đồ nội lực do riêng lực không thứ m m m nguyên Xm=1 gây ra trong hệ cơ bản. Dễ dàng thấy:   kk luôn luôn dương.   km   mk và có giá trị bất kỳ. 7.3. CÁCH TÍNH CÁC HỆ SỐ CHÍNH/PHỤ CỦA PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC 1. Cách tính hệ số tự do do tải trọng  kP là chuyển vị theo phương Xk do riêng tải trọng gây ra trong hệ cơ bản.  M0   N0   Q0   kP     M k P  ds     N k P  ds     Q k P  ds  EI   EA   GA  Viết dưới dạng nhân biểu đồ:   kP  1 EI   M k MP   0 1 EA   N k  NP   0 GA   Q k  QP  0 Trong đó: 0 0 0 ( M P ),( N P ),(QP ) các biểu đồ nội lực do riêng tải trọng gây ra trong hệ cơ bản. Chữ P chỉ tải trọng, số 0 chỉ hệ cơ bản. Lưu ý: trong những cấu kiện chịu uốn, ta có thể bỏ qua ảnh hưởng của lực dọc và lực cắt khi xác định các hệ số và số hạng tự do của phương trình chính tắc. 7
7.3. CÁCH TÍNH CÁC HỆ SỐ CHÍNH/PHỤ CỦA PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC 2. Cách tính hệ số tự do do nhiệt độ  kt là chuyển vị theo phương của lực Xk do sự thay đổi nhiệt độ gây ra trong hệ cơ bản.       kt     M k  t2  t1   ds    N k tc ds  h  Nếu:  Nhiệt độ thay đổi như nhau theo chiều dài từng đoạn thanh.  Vật liệu trong từng đoạn thanh là như nhau (α=const).  Chiều cao h=const. Thì: M k ds  ( M k ) là diện tích biểu đồ mômen (có dấu dương nếu nằm về phía t2 ( t1m ) ) do riêng lực Xk=1 gây ra trong hệ cơ bản. m N k ds  ( N k ) là diện tích biểu đồ lực dọc (có dấu của biểu đồ) do riêng lực Xk=1 gây ra trong hệ cơ bản. Và khi đó:   km    t2  t1  ( M k )    tc ( N k ) h 7.3. CÁCH TÍNH CÁC HỆ SỐ CHÍNH/PHỤ CỦA PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC 3. Cách tính hệ số tự do do chuyển vị gối tựa  kZ là chuyển vị theo phương của lực Xk do chuyển vị cưỡng bức Z tại các liên kết tựa gây ra trong hệ cơ bản. Trong trường hợp hệ cơ bản là tĩnh định, ta có:  kZ    R k Z m j j j Trong đó: j Z m là chuyển vị cưỡng bức tại liên kết thức j của hệ siêu tĩnh. j R k là phản lực liên kết thứ j do lực Xk=1 gây ra trên hệ cơ bản tĩnh định. 8
7.4. CÁCH TÌM NỘI LỰC VÀ BIẾN DẠNG TRONG HỆ SIÊU TĨNH 1. Cách trực tiếp Đặt các lực X 1 , X 2 ,..., X n và hệ cơ bản (thường chọn tĩnh định) và giải bình thường như hệ tĩnh định chịu tải trong và các lực X 1 , X 2 ,..., X n . 2. Cách dùng nguyên lý cộng tác dụng biểu đồ nội lực sẽ là tổng của các biểu đồ nội lực:  S    S1  X 1   S2  X 2  ...   Sn  X n   S P    St0    SZ  0 0 Bài tập 1 Vẽ biểu đồ nội lực trong khung cho trên hình vẽ: a q EI=const a 9
Bài tập 1 Bước 1: xác định bậc siêu tĩnh: có 2 bậc siêu tĩnh Bước 2: chọn hệ cơ bản: có nhiều cách chọn, ta có thể chọn như hình vẽ. q a a q EI=const a a X1 X2 Bài tập 1 Bước 3: thiết lập phương trình chính tắc:  11 X 1  12 X 2  1P  0   21 X 1   22 X 2   2 P  0 Để tính các hệ số và số hạng tự do, bỏ qua ảnh hưởng của N, Q,     ta vẽ biểu đồ mômen đơn vị M 1 , M 2 , M P lần lượt do X 1  1, X 2  1 và tải trọng gây ra trên hệ cơ bản: a qa2 a 2 a M1 M2 qa2 M0 8 P X1=1 X1=1 X2=1 10
Bài tập 1 a qa2 a 2 a M1 M2 qa2 M0 8 P X1=1 X1=1 X2=1 1  a2 2  4 a3 11   M 1  M 1   a  a 2a   EI  2 3   3 EI 1  a2 2  1 a3  22   M 2  M 2   a  EI  2 3  3 EI   1  a2  1 a3 12   21   M 1  M 2    a   EI  2   2 EI Bài tập 1 a qa2 a 2 a M1 M2 qa2 M0 8 P X1=1 X1=1 X2=1    1 P  M 1 M P 0  1  1 qa 2   2   2 qa 2  a qa 2  5 qa 4  a  a    EI  2 2   3   3 8  2 a  a  2  8 EI    1  qa 2  a  1 qa 4 2P  M 2 MP   0  a    EI 2  2  4 EI Lưu ý: trước khi nhân biểu đồ, ta nên quan sát dấu của kết quả nhân. Nếu dấu sai thì kết quả sai. 11
Bài tập 1 Thay kết quả vào hệ phương trình:  4 a3 1 a3 5 qa 4  3 EI X1  X2  0  2 EI 8 EI  3 3 4   1 a X  1 a X  1 qa  0  2 EI 1 3 EI 2 4 EI  4 1 5  3 X 1  2 X 2  8 qa  0    1 X 1  1 X 2  1 qa  0 2  3 4 Bài tập 1 Thay kết quả vào hệ phương trình:  4 a3 1 a3 5 qa 4  3 EI X1  X2  0  2 EI 8 EI  3 3 4   1 a X  1 a X  1 qa  0  2 EI 1 3 EI 2 4 EI  4 1 5  3 X 1  2 X 2  8 qa  0    1 X  1 X  1 qa  0 2 1 3 2 4  Bước 4: giải hệ phương trình:  3  X 1   7 qa    X 2  3 qa   28 12
Bài tập 1 Bước 5: Vẽ biểu đồ mômen uốn: Có thể dùng nguyên lý cộng tác dụng:  M    M1  X1   M 2  X 2   M P  0 qa2 qa2 3qa2 2 14 7 3qa2 qa2 7 3qa2 28 28 M1X1 + M2X 2 + qa2 8 M0 P = qa2 8 M0 P X1=1 X1=1 X2=1 Bài tập 1 Bước 6: Vẽ biểu đồ lực cắt: ta vẽ theo biểu đồ mômen uốn. Trên thanh ngang: M bậc 1 ==> Q = const, độ lớn của Q bằng Np với độ dốc của biểu đồ mômen: qa2 1  1  14 PhQp qa 2    qa 2  28  14    3 qa a 28 Trên thanh ngang: M bậc 2 ==> Q bậc 1, độ lớn của Q ở hai đầu q tìm được bằng cách tách thanh và xét cân bằng: M / Tr 0 a 1 2 1 qa  Q ph a  qa 2  0 2 14 4 Q ph   qa 7 Tr M / Ph 0 Qt 1 2 1 qa  Qtr a  qa 2 0 2 14 3 Qtr  qa Nt 7 13
Bài tập 1 Bước 7: Biểu đồ lực dọc: có thể dùng cách tách nút: 3qa 28 N2 4qa 7 N1 4 Dễ dàng thấy rằng, lực dọc trong thanh ngang bằng N 2   qa , 7 3 lực dọc trong thanh đứng bằng N1   qa . 28 Bài tập 1 3qa 28 3qa + 28 - 4qa - 7 4qa 7 Q - N 3qa + 7 14
Bài 2 a) Vẽ M, N, Q. b) Tính chuyển vị ngang tại K. P P=qa K I 2I a a/2 a/2 Giải: Bước 1: xác định bậc siêu tĩnh: có 1 bậc siêu tĩnh Bước 2: chọn hệ cơ bản: có nhiều cách chọn, ta có thể chọn như hình vẽ. P P=qa K I X1 2I a a/2 a/2 15
Bước 3: thiết lập phương trình chính tắc: 11 X 1  1P  0 Để tính các hệ số và số hạng tự do, bỏ qua ảnh hưởng của N, Q,   ta vẽ biểu đồ mômen đơn vị M 1 ,  M P  lần lượt do X 1  1 và qa2 P tải trọng gây ra trên hệ cơ bản: 2 a P=qa P=qa a X 1=1 M0 a a P M1 a qa2 2 a/2 a/2 a/2 a/2 qa2 P a P=qa 2 P=qa a X 1=1 M0 a a P M1 a qa2 2 a/2 a/2 a/2 a/2 1  a2 2  5 a3    11  M 1 M 1   a  1 EI  2 3  2 EI  a.a.a   6 EI 1  1 qa 2 a   a   1 qa 2 a  a  5 qa 4   1P  M 1  M P    0     EI  2 2 2   2   2 2 2  2     48 EI 16
Lưu ý: trước khi nhân biểu đồ, ta nên quan sát dấu của kết quả nhân. Nếu dấu sai thì kết quả sai. Thay kết quả vào phương trình, giải được: 5 a3 5 qa 4 X1  0 6 EI 48 EI Bước 4: giải hệ phương trình: qa X1  8 Bước 5: Vẽ biểu đồ mômen uốn: Có thể dùng nguyên lý cộng tác dụng:  M    M1  X1   M P  0 3qa2 P 8 qa2 16 MP 5qa2 8 17
a P=qa qa2 P 2 P=qa a X 1=1 a M1 M0 a P a qa2 2 a/2 a/2 a/2 a/2 3qa2 P 8 qa2 16 MP 5qa2 8 Bước 6: Vẽ biểu đồ lực cắt: ta vẽ theo biểu đồ mômen uốn. Bước 7: Biểu đồ lực dọc: có thể dùng cách tách nút: 7qa 8 qa 8 qa 7qa qa Q 8 N 18
Tạo trạng thái “k” 3qa2 P 8 Pk=1 K I qa2 16 2I MP a 5qa2 a 8 a/2 a/2 7.5. CÁCH XÁC ĐỊNH CHUYỂN VỊ TRONG HỆ SIÊU TĨNH 1. Hệ siêu tĩnh chịu tải trọng   1P   M P  M k0 Trong đó: M P là biểu đồ mômen của hệ siêu tĩnh chịu tải trọng. M k0 là biểu đồ mômen của hệ cơ bản chịu lực Pk=1 (trạng thái k). 19
7.5. CÁCH XÁC ĐỊNH CHUYỂN VỊ TRONG HỆ SIÊU TĨNH 1. Hệ siêu tĩnh chịu tải trọng Ví dụ: Dưới tải trọng q, kết cấu có biểu đồ mômen như hình vẽ. Tính chuyển vị xoay ta nút của khung đang xét. a qa2 Mk=1 14 qa2 28 q EI=const qa2 M0 M0 a 8 P k Giải: Tạo trạng thái “k” như hình vẽ.     1P   M P  M k0  1 EI  1 qa 2 2   2 14 3  a.1  1 qa 2 1  2 28 3  a.1   qa 3 56 EI 7.5. CÁCH XÁC ĐỊNH CHUYỂN VỊ TRONG HỆ SIÊU TĨNH 2 Hệ siêu tĩnh chịu sự biến thiên của nhiệt độ, chuyển vị gối tựa Do sự biến thiên của nhiệt độ:    kt   M t  M k0   0 kt Do chuyển vị gối tựa:    kZ   M Z  M k0   kZ 0 20