1. Phương Trình Mặt Phẳng

=(A;B;C)

Q = (A;B;C)

P

d = (A;B;C)

d =(A;B;C)

 P=u

P.

R  và n

 P  n

R

A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0  Ax + By + Cz + D = 0

R]

R]

 Q; n

 P = [ n

 = [ AB

 , AC

 và a

Để viết pt măt phẳng em có 2 cách cơ bản : <1>. Xác định 1 điểm và 1 VTPT <2>. Hoặc gọi ptmp dạng Ax+By+Cz+D=0 rồi dựa vào giả thiết tìm A,B,C,D. Vậy khi nào sử dụng cách 1 , khi nào sử dụng cách 2 thì em phân biệt các dạng đề bài sau:  Dạng 1: Viết PT mp đi qua A(x0; y0 ;z0) và có VTPT n Dạng 2:Viết pt mặt phẳng đi qua A(x0; y0 ;z0) và // mp (Q)  - Từ ptmp(Q)  VTPT n Q = (A;B;C)   - Vì (P) // (Q)  VTPT n P = n  - PT mp (P) đi qua A và có VTPT n Dạng 3: Viết pt mp đi qua A(x0; y0 ;z0) và vuông góc với đường thẳng d  - Từ (d)  VTCP u  - Vì (P) vuông góc với (d)  Chọn VTPT n   Viết ptmp (P) đi qua A và có vtpt n Dạng 4: Viết ptmp đi qua A và  (Q) ,  (R)   Q ; VTPT n - Từ pt mp (Q) và (R)  VTPT n   P  Qn - Vì (P)  (Q) và  (R)  VTPT n  P = [ n

 = [ AB

 , AC

 , vtpt n

 , n

 Q và tính [ AB

 , n

 P=[ AB

Q]

]

  Q; n  Chọn n  - Vậy pt mp (P) đi qua A và có VTPT n Dạng 5: Viết Pt mp (P) đi qua 3 điểm A,B,C không thẳng hàng   - Tính AB , AC ]   - PT mp (P) đi qua A và có VTPT n P= a Dạng 6: Viết ptmp (P) đi qua A,B và  (Q)  - Tính AB Q]  - Vì A, B (P) ; (Q)  (P) nên chọn n - Viết ptmp (P) Dạng 7: Viết ptmp (P) đi qua A ;  (Q) và // với dt (d)

1

d của đường thẳng (d).

 Q của mp (Q); VTCP u

 d, n

Q]

 d, n

 P = [u

làm VTPT.

d của đường thẳng (d) và tìm điểm M(d)  và [ u

 d, AM

]

 P =[u

 d, AM

 ].

 ]  = [ u

 d, u

d và điểm M (d)  Q và tính [ u Q]  =[ u

 d, n

Q].

P = (A,B,C) với đk là A2 + B2 + C2 >0

d và điểm M (d)  d. n P=0 (1)

].

 - Tính VTPT n  - Tính [u Q]  - Vì (P)  (Q) và // (d) nên VTPT n - Từ đó viết được PT mp (p) Dạng 8: Viết ptmp (P) là trung trực của AB.  - Tình trung điểm I của ABvà AB  - Mp (P) đi qua I và nhận AB Dạng 9: Viết pt mp(P) chứa (d) và đi qua A  - Tính VTCP u  - Tính AM  - Ptmp (P) đi qua A và có VTPT n Dạng 10: Viết pt mp (P) chứa (d) và // (  )  d và điểm M (d) - Từ (d)  VTCP u    - Từ (  )  VTCP u d, u và tính [ u  - PT mp (P) đi qua M và có VTPT n Dạng 11: Viết Pt mp(P) chứa (d) và  (Q)  - Từ (d)  VTCP u   d, n - Từ (Q)  VTPT n  - PT mp (P) đi qua M và có VTPT n Dạng 12:Viết PT mp (P) // với (Q) và d(A;(P))=h - Vì (P) // (Q) nên pt mp (P) có dạng Ax + By +Cz + D=0 ( theo pt của mp (Q) , trong đó D  DQ) - Vì d(A,(P))= h nên thay vào ta tìm được D - Thay A,B,C,D ta có PT mp (P) cần tìm. Dạng 13: Viết PT mp(P) chứa (d) và d(A,(P))=h  - Gọi VTPT của mp (P) là n  - Từ (d)  VTCP u  - Vì (d) nằm trong (P)  u - PT mp (p) đi qua M: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0 - d(A,(P)) = h (2) - Giải (1);(2) ta tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết được PT mp(P). Dạng 14:Viết Pt mp(P) chứa (d) và hợp với mp (Q) một góc  900

2

P = (A,B,C) với đk là A2 + B2 + C2 >0

 - Gọi VTPT của mp (P) là n  - Từ (d)  VTCP u d và điểm M  (d)   - Vì d  (P)  u d. n P=0 (1) - Tính cos ((P),(Q)) (2) - Từ (1) và (2) ta tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết được PT mp(P). Dạng 15:Viết Pt mp (P) chứa (d) và hợp với đt(  )một góc  900  P = (A;B;C) với đk là A2 + B2 + C2 >0 - Gọi VTPT của mp (P) là n  - Từ (d)  VTCP u d và điểm M  (d)   - Vì d  (P)  u d. n P=0 (1) - Tính sin ((P),(  )) (2) - Hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta viết được PT mp(P). Dạng 16: Cho A và (d) , viết PT mp (P) chứa (d) sao cho d(A,(P)) là lớn nhất - Gọi H là hình chiếu  của A lên (d) - Ta có : d(A,(P)) = AK  AH (tính chất đường vuông góc và đường xiên) Do đó d(A(P)) max  AK = AH  K  H - Viết PT mp (P) đi qua H và nhận AH làm VTPT Dạng 17: Viết Pt mp (P) // với (Q) và tiếp xúc với mặt cầu (S) - Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S) - Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D'=0 (theo pt của mp (Q) , trong đó D'  DQ). - Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(I,(P))= R  tìm được D' - Từ đó ta có Pt (P) cần tìm Dạng 18: Viết PT mp(P) // (Q) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn(C) có bán kính r ( hoặc diện tích, chu vi cho trước). - Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)

2r tính r.

2

2

- Adct : Chu vi đường tròn C = 2 r và diện tích S =

R

r

(1)

3

- d(I,(P)) = - Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D'=0 (theo pt của mp (Q) , trong đó D'  DQ) - Suy ra d (I,(P)) (2)  Giải hệ (1), (2) tìm được D'  viết được pt (P). Dạng 19: Viết PT mp(P) chứa (d) và tiếp xúc với mặt cầu (S)

P = (A;B;C) với đk là A2 + B2 + C2 >0

d và điểm M (d)

 d. n

2r tính r.

 d. n

P = (A,B,C) với đk là A2 + B2 + C2 >0,

- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)  - Gọi VTPT của mp (P) là n  - Từ (d)  VTCP u  - d  (P)  u P=0 (1) - Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(A,(P))= R (2) - Giải hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C  PT mp(P). Dạng 20: Viết Pt mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có bán kính r ( hoặc diện tích , chu vi cho trước) - Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)

2

2( ,( d I p

- Adct : Chu vi đường tròn C = 2 r và diện tích S =  - Vì d  (P)  u P=0 (1)  - Gọi VTPT của mp (P) là n chọn M trên đường thẳng d. =>PT mp (P) đi qua M: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0 - Vì (P) cắt (S) theo đường tròn bán kính r nên d(I,(P)= r (2) - Giải hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C  PT mp(P). Dạng 21: Viết PT mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có bán kính nhỏ nhất .(áp dụng trường hợp d cắt (S) tại 2 điểm). - Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)

R

))

để r min  d(I,(P)) max

2. ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng

- Bán kính r = - Gọi H là hình chiếu  của I lên (d) ; K là hình chiếu  của I lên (P) - Ta có: d(I,(P))= IK  Ih ( tính chất đường vuông góc và đường xiên) - Do đó: d(I,(P)) max  AK = AH  K  H  - PT mp(P) đi qua H và nhận IH làm VTPT

at

=(a,b,c)

bt

x 0 y 0

ct

y

y

z

z

 x 0

0

0

(d): với t R

 b

 c

* Chú ý : Nếu cả a, b, c  0 thì (d) có PT chính tắc Có 2 loại phương trình đường thẳng : PT ThamSố và PT ChínhTắc.  Dạng 1: Viết ptđt (d) qua M(x0; y0 ;z0) và có VTCP u PP: phương trình tham số của đường thẳng d là: x    y    z z  0  x a

4

* Chú ý: Đây là bài toán cơ bản. Về nguyên tắc muốn viết PT dt(d) thì cần phải biết 2 yếu tố đó là tọa độ một điểm thuộc d và toạ độ VTCP của d. Dạng 2: Viết pt dt(d) đi qua 2 điểm A,B  - Tính AB

 làm VTCP

P

 d = n

P

làm VTCP

,

VTCPd d l 2

 , 2u

1

].

 - Viết PT đường thăng đi qua A, và nhận AB Dạng 3: Viết PT dt (d) đi qua A và //với đường thẳng (  )  - Từ pt(  )  VTCP u  - Viết Pt dt(d) đi qua A và nhận u Dạng 4: Viết PT dt(d) đi qua A và  (P)  - Tìm VTPT của mp(P) là n  - Pt dt(d) đi qua A và Có VTCP u Dạng 5: Viết Pt dt(d) đi qua A và vuông góc với cả 2 dt (d1),(d2)    => tính [ 1u v à u à u - Từ (d1),(d2) 2 1    , 2u d= [ 1u - Vì (d)  (d1),(d2) nên có VTCP u ]   , 2u d= [ 1u ]

 P , n

Q]

'

'

'

'

0

A

- Xét hệ .

 - Pt dt(d) đi qua A và có VTCP u Dạng 6: Viết PT của dt (d) là giao tuyến của 2 mp (P):Ax + By + Cz + D = 0 (Q):A'x + B'y + C'z + D' = 0  - Từ (P) và (Q)  n Q   P , n - Tính [ n Ax + By + Cz +D =0   

Q].

 d =[ n

P (

d

)

d  ( 2

( chỉ áp dụng với giả thiết d cắt (P) )

 x B y C z D Chọn một nghiệm (x0; y0 ;z0) từ đó  Md   - Pt dt(d) đi qua M và có VTCP u P , n Dạng 7: Viết PT hình chiếu của d lên mp(P) Cách 1: - Viết ptmp(Q) chứa d và vuông góc với mp(P) - Hình chiếu cần tìm d' = (P)  (Q) Cách 2: + Tìm A = + Lấy M d và xác định hình chiếu H của M lên (P) + Viết phương trình d' đi qua M, H Dạng 8: Viết pt đường thẳng d đi qua điểm A và cắt 2 đường thẳng d1, d2: Cách 1 : * Viết pt mặt phẳng () đi qua điểm A và chứa đường thẳng d1 ) * Tìm B = * Đường thẳng cần tìm đi qua A, B Cách 2 : - Viết pt mặt phẳng () đi qua điểm A và chứa đường thẳng d1 - Viết pt mặt phẳng () đi qua điểm B và chứa đường thẳng d2

5

)

)

P

Q (

)

) , cắt đường thẳng d'

)

P

)

)

)

P

)

)P (

)P (

)P (

- Đường thẳng cần tìm d =   Dạng 9: Viết pt đường thẳng d song song d1 và cắt cả d2 , d3 - Viết phương trình mp (P) song song d1 và chứa d2 - Viết phương trình mp (Q) song song d1 và chứa d3 - Đường thẳng cần tìm d = ( Dạng 10 : Viết ptđt d đi qua A và vuông góc đường thẳng d1 và cắt d2 ) qua A và vuông góc d1 Cách 1 : - Viết pt mp ( d  ( - Tìm giao điểm B = 2 - Đường thẳng cần tìm đi qua A, B ) qua A và vuông góc d1 Cách 2 : * Viết pt mp ( * Viết pt mp ( ) qua A và chứa d1 * Đường thẳng cần tìm d =   Dạng 11 : Viết ptđt d đi qua A, song song mp ( Cách 1 : - Viết ptmp(P) đi qua A và song song với ( - Viết ptmp(Q) đi qua A và chứa d' Q - Đường thẳng cần tìm d = ( ( Cách 2 : * Viết ptmp(P) đi qua A và song song với ( d * Tìm B = ( ' * Đường thẳng cần tìm đi qua 2 điểm A,B Dạng 12 : Viết ptđt d nằm trong mp(P) và cắt 2 đường thẳng d1, d2 cho trước. và B=d2 - Tìm giao điểm A=d1 - Đường thẳng d đi qua 2 điểm A, B Dạng 13 : Viết ptđt d nằm trong mp(P) và vuông góc với đường thẳng d' tại giao điểm I của (P) và d'. * Tìm giao điểm I' = d'

của (P) và tính

  [u,n]

 v 

bt z ,

ct

)

0 b t z ', '

c t '

')

  của d' và VTPT n * Tìm VTCP u  * Viết ptđt d qua I và có VTCP v Dạng 14 : Viết ptđt vuông góc chung d của 2 dường thẳng chéo nhau d1, d2 :  - Gọi ' 0

 , d 1  d 2

M x ( 0 '  N x ( 0

at y , 0 ' a t y ', ' và 0 là các chân đường vuông góc chung của d1, d2

6

0

t t , '

MN d 1 MN d

  MN u . 1   MN u .

0

2

2

  

   

R (

Q

)

)

) qua A và vuông góc d1 d  ( 1

- Ta có hệ .

0

- Thay t, t' tìm M, N. Viết ptđt đi qua M,N. ( Với cách 2 em tính thêm được khoảng cách MN, cũng chính là độ dài đường vuông góc) Dạng 15 : Viết pt đường thẳng d vuông góc với mp(P) và cắt 2 đường thẳng d1,d2 . * Viết ptmp(Q) chứa d1 và vuông góc với mp(P) * Viết ptmp(R) chứa d2 và vuông góc với mp(P) ) * Đường thẳng d = ( Dạng 16 : Viết ptđt d đi qua điểm A , cắt và vuông góc với đường thẳng d1 . - Viết pt mp ( - Tìm giao điểm B = - Đường thẳng cần tìm đi qua A, B



0 (0 ;90 )

2

2

2

(= 300, 450, 600)

a b c dk a ( ; ; ),

b

c

:

0

* Gọi VTCP của d là Dạng 17 : Viết ptđt d đi qua A ,vuông góc với d1,tạo với d2 góc  u

d

  

0

d 1

2

* Vì =>phương trình (1)

cos



2

  . u u 1   u u .   => phương trình (2) u u .

Vì

0

Thế (1) vào (2) => a,b,c => ptđt d.



0 (0 ;90 )

sin



P

  . u u P   u u .

0

( chú ý : nếu thay giả thiết là d tạo với mp(P) góc thì có )



0 (0 ;90 )

2

2

2

. Dạng 18 : Viết ptđt d di qua A , song song với mp(P) , tạo với d1 góc

a b c dk a ( ; ; ),

:

b

c

0

 u

- Gọi VTCP của d là

0

- Vì d//(P) nên => phương trình (1).

)

cos

cos d d ( , 1

  . pu n    . u u 1   u u . 1

- Vì nên có phương trình (2).

a b c ( ; ; )

 u

0

- Giải hệ phương trình (1), (2) tìm a,b theo c=> chọn a,b,c. =>viết ptđt d đi qua A, có vtcp



0 (0 ;90 )

2

2

2

. Dạng 19 : Viết ptđt d di qua A , nằm trong mp(P) , tạo với d1 góc

a b c dk a ( ; ; ),

:

b

c

0

 u

- Gọi VTCP của d là

0

=> phương trình (1). - Vì d(P) nên

)

cos

cos d d ( , 1

  pu n  .   . u u 1   u u . 1

a b c ( ; ; )

 u

- Vì nên có phương trình (2).

7

- Giải hệ phương trình (1), (2) tìm a,b theo c=> chọn a,b,c. =>viết ptđt d đi qua A, có vtcp

2

2

a b c dk a ( ; ; ),

 u

b

0

c

:

Dạng 20: Viết ptđt d di qua A , vuông góc d1 và khoảng cách từ M đến d bằng h. 2 * Gọi VTCP của d là

  . u n 

1d nên

1

]

* Vì d => phương trình (1).

d M d

(

,

)

  h

h

0   u AM [ ,  u

a b c ( ; ; )

 u

* Vì => phương trình (2).

8

*Giải hệ phương trình (1), (2) tìm a,b theo c=> chọn a,b,c. =>viết ptđt d đi qua A, có vtcp