12
Vaán ñeà 3
PHÖÔNG TRÌNH BAÄC HAI
I. KIEÁN THÖÙC CAÀN NHÔÙ
1. Phöông trình baäc hai:
a. Cho phöông trình : 2
ax bx c 0(a 0) (*)++= ≠
2
b4ac∆= −
∆ < 0 : (*) voâ nghieäm
∆ = 0 : (*) coù nghieäm keùp 12 b
xx 2a
==−
∆ > 0 : (*) Coù 2 nghieäm phaân bieät 1,2 bA
x2a
−±
=
b. Ñònh lyù Viete : Neáu phöông trình : 2
ax bx c 0(a 0)
+
+= ≠
coù 2 nghieäm 12
12
12
b
xx a
x,xthì: c
xx a
⎧+=−
⎪
⎪
⎨
⎪+=
⎪
⎩
2. Daáu cuûa tam thöùc baäc hai : 2
f(x) ax bx c(a 0)=++≠
a. Ñònh lyù thuaän:
∆ < 0 : f(x) luoân cuøng daáu vôùi a af(x) 0, x R⇔>∀∈
∆ = 0 : f(x) cuøng daáu vôùi a vôùi moïi b
x2a
≠− vaø b
f( ) 0
2a
−
=
∆ > 0 : f(x) coù 2 nghieäm phaân bieät : 12
xx<
Baûng xeùt daáu:
b. Ñònh lyù ñaûo veà daáu cuûa tam thöùc: Cho tam thöùc
f(x) = 2
ax bx c(a 0)++ ≠vaø moät soá thöïc α.
12
12
f(x)co ù 2 nghieämx x
af( ) 0 xx
<
⎧
α< ⇔
⎨<α<
⎩
13
[]
12
12
f(x)co ù 2 nghieäm x x
0
x,x
af( ) 0
≤
⎧
∆≥
⎧⎪
⇔
⎨⎨
α∉
α> ⎪
⎩⎩
3. Ñieàu kieän ñeå tam thöùc khoâng ñoåi daáu treân R
Cho 2
f(x) ax bx c (a 0)
=
++ ≠
a0
f(x) 0, x R 0
>
⎧
>∀∈⇔
⎨
∆
<
⎩
a0
f(x) 0, x R 0
>
⎧
≥∀∈⇔
⎨
∆
≤
⎩
a0
f(x) 0, x R 0
<
⎧
<∀∈⇔
⎨
∆
<
⎩
a0
f(x) 0, x R 0
<
⎧
≤∀∈⇔
⎨
∆
≤
⎩
Neáu chöa coù a ≠ 0 thì ta phaûi xeùt tröôøng hôïp a = 0.
4. So saùnh nghieäm cuûa phöông trình baäc hai vôùi hai soá
cho tröôùc.
Cho phöông trình : 2
f(x) ax bx c 0(a 0)
=
++= ≠ vaø hai soá , ( )
α<
12
af( ) 0
xx
af( ) 0
α
<
⎧
<α<β< ⇔⎨
β
<
⎩
12 af( ) 0
xx af( ) 0
α
<
⎧
<α< <β⇔⎨
β
>
⎩
12
af( ) 0
xx
af( ) 0
α
<
⎧
α< <β< ⇔⎨
β
>
⎩
12 12
xx xx
<
α< <β∨α< <β< ⇔ phöông trình coù 2 nghieäm phaân
bieät vaø chæ coù moät nghieäm thuoäc f( ).f( ) 0
(;) a0
αβ
<
⎧
αβ ⇔⎨≠
⎩
14
Phöông trình coù 2 nghieäm 12
x,x vaø 12
0
af( ) 0
xx af()0
s0
2
s0
2
⎧
⎪
⎪∆>
⎪
α
>
⎪
⎪
α< < <β⇔ β >
⎨
⎪
⎪
−
α>
⎪
⎪
−
β<
⎪
⎩
II. Caùc ví duï:
Ví duï 1:
Ñònh m ñeå phöông trình : 2
x2(m3)xm130+−+−=
coù 2 nghieäm.
12
x,x vaø 22
12 1 2
xxxx−− ñaït giaù trò lôùn nhaát.
Giaûi
Ta coù: 22
'(m3) (m13)m 7m220∆= − − − = − + > m
∀
vì
49 88 0∆= − <
Ñònh lyù viete cho : 12
12
xx 2(m3)62m
xx m 13
+=− −=−
⎧
⎨=−
⎩
22 22
12 1 2 12 1 2
22
12 1 2
xx x x xx (x x )
3x x (x x ) 3(m 13) (6 2m)
⇒−−=−+
=−+=−−−
22
22 2
4m 27m 75 (4m 27m 75)
27 27 27
4m 4 75 4 75
88 8
=− + − =− − +
⎛ ⎞ ⎛⎞ ⎛⎞
=− − + − ≤ −
⎜ ⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
⎝ ⎠ ⎝⎠ ⎝⎠
Vaäy
2
22
12 1 2 27
max(x x x x ) 4 75
8
⎛⎞
−− = −
⎜⎟
⎝⎠ khi 27
m8
=
15
Ví duï 2:
Ñònh m ñeå phöông trình : 2
x2mx2m0
−
+− = coù 2 nghieäm 12
x,x vaø
22
12
xx
+
ñaït giaù trò nhoû nhaát.
Giaûi
Phöông trình coù 2 nghieäm
22
'm (2m)m m20 m 2m1
⇔
∆= − − = + − ≥ ⇔ ≤− ∨ ≥
Ñònh lyù viete: 12
12
xx2m
xx 2 m
+=
⎧
⎨
=
−
⎩
22 2 2 2
12 12 12
x x (x x ) 2x x 4m 2(2 m) 4m 2m 4⇒+= + − = − −= + −
Xeùt haøm soá 2
f(x) 4m 2m 4
=
+−
vôùi m 2 m 1.
≤
−∨ ≥
Ta coù : 1
f'(m) 8m 2 , f'(m) 0 m 4
=+ =⇔=−
F(-2) = 8 , f(1) = 2
BBT
Vaäy Min 22
12
(x x ) 2+= khi m = 1
Ví duï 3:
Cho haøm soá f(x) = 2x + m + log2 ( 2
mx 2(m 2)x 2m 1)
−
−+−
(m laø tham soá).
Tìm taát caû caùc giaù trò cuûa m ñeå f(x) xaùc ñònh vôùi moïi x
(ÑAÏI HOÏC CAÀN THÔ – Khoái D naêm 2000)
Giaûi
f(x) xaùc ñònh 2
xmx2(m2)x2m10 x∀⇔ − − + −> ∀ (1)
. m = 0 : (1) 1
4x 1 0 x 4
⇔−>⇔>
khoâng thoaû vôùi x
∀
16
. 2
m0
m0:(1) '(m2) m(2m1)0
>
⎧
⎪
≠⇔
⎨∆= − − − <
⎪
⎩
2
m0 m0 m1
m4m1
m3m40
>
⎧>
⎧
⎪
⇔⇔⇔>
⎨⎨
<− ∨ >
+−>
⎪⎩
⎩
Ví duï 4:
Tìm a ñeå hai phöông trình :
2
ax x 1 0++= vaø 2
xax10++=
Coù nghieäm chung.
(ÑAÏI HOÏC THAÙI NGUYEÂN – Khoái D naêm 2000)
Giaûi
Goïi x0 laø nghieäm chung cuûa 2 phöông trình cho, ta coù:
2
00
2
00
ax x 1 0 (1)
xax10 (2)
++=
++=
(1) – (2) : 2
00
(a 1)x (1 a)x 0−+− =
2
00
(a 1)x (a 1)x 0⇔− −− = 2
00
(a 1)(x x ) 0 (*)⇔− − =
. Neáu a10 a1−= ⇔ = thì caû hai phöông trình ñaõ cho ñeàu voâ nghieäm.
. Neáu 00 0 0
a1:(*) x(x 1)0 x 0x 1≠⇔ −=⇔=∨=
+ Vôùi 0
x0:= caû 2 phöông trình ñaõ cho ñeàu voâ nghieäm.
+ Vôùi 0
x1:= laø nghieäm chung cuûa hai phöông trình ñaõ cho, thì ta coù:
a110 a 2++= ⇔ =−
Vaäy a = - 2 thì hai phöông trình ñaõ cho coù nghieäm chung x = 1.
Ví duï 5:
Ñònh m ñeå phöông trình : 2
x2mx5m40−+−= coù ñuùng moät nghieäm
thuoäc
[
]
0,1 .
Giaûi
Ta xeùt caùc tröôøng hôïp sau:
Phöông trình cho coù nghieäm x = 1
Theá vaøo phöông trình cho: 3m – 3 = 0 m1⇔=
.
Theá m = 1 vaøo phöông trình cho: 2
x2x10x1−+=⇔= (keùp)
⇒ m = 1 nhaän.
* Phöông trình cho coù nghieäm x = 0 : Theá vaøo phöông trình cho:
17
5m – 4 = 0 4
m5
⇔=
Theá 4
m5
= vaøo phöông trình cho: 288
xx0x 0
55
⎛⎞
−
=⇔ − =
⎜⎟
⎝⎠
[] []
84
x 0 0,1 x 0,1 m
55
⇔
=∈ ∨= ∉ ⇒ = nhaän.
* Phöông trình cho coù ñuùng moät nghieäm (0,1)
∈
:
12
12
12
x0x1 (1)
0x 1x (2)
0xx1 (3)
<< <
⎡
⎢
⇔<<<
⎢
⎢<=<
⎣
(1) vaø (2) 4
f(0).f(1) 0 (5m 4)(3m 3) 0 m 1
5
⇔<⇔−−<⇔<<
2
'm 5m40 m1m4
(3) m
s0m1
0m1
2
⎧∆= − + = =∨ =
⎧
⎪
⇔
⇔⇔∈∅
⎨⎨
<<
<=< ⎩
⎪
⎩
Toùm laïi: 4m1
5≤≤
Ví duï 6 :
Goïi x1, x2 laø caùc nghieäm cuûa phöông trình :
22
2
12
12x 6mx m 4 0
m
−
+−+ =
Vôùi giaù trò naøo cuûa m thì 33
12
xx
+
a) Ñaït giaù trò lôùn nhaát ?
b) Ñaït giaù trò nhoû nhaát ?
Giaûi
Ñieàu kieän ñeå phöông trình cho coù nghieäm
222
12
'9m 12m 4 0
m
⎛⎞
⇔
∆= − − + ≥
⎜⎟
⎝⎠
22
2
48
m16 04m122m23
m
⇔− + − ≥ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤
Vôùi ñieàu kieän ñoù, x1 vaø x2 laø 2 nghieäm cuûa phöông trình, ta coù :
18
12
33 3
12 12 1212 2
12 2
m
xx 2
xx(xx)3xx(xx) 112
xx m 4
12 m
⎛⎞
+=
⎜⎟
⎜⎟
+= + − + ⎛⎞
⎜⎟
=−+
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
322
mm1 12m3
3.m4 f(m)
2212 22m
m
⎛⎞ ⎛⎞ ⎛ ⎞
=− −+=−=
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜ ⎟
⎝⎠ ⎝⎠ ⎝ ⎠
2
13
f'(m) 0, m 0,
22m
=+ >∀≠ vaäy haøm soá luoân taêng trong hai ñoaïn
23,2
⎡⎤
−−
⎣⎦
vaø 2,2 3
⎡⎤
⎣⎦
.
Ta coù :
1
f( 2 3) f( 2) 4f( 2 3) f(2 3)
1
f(2) f(2 3)
4
⎫
−<−=−
⎪
⎪⇒− <
⎬
⎪
=< ⎪
⎭
Vaäy 33
12
xx+ ñaït giaù trò nhoû nhaát öùng vôùi m23=− vaø ñaït giaù trò lôùn
nhaát öùng vôùi m23=.
Ví duï 7 :
Ñònh m ñeå phöông trình sau coù nghieäm thuoäc 3
,
22
π
⎛⎞
π
⎜⎟
⎝⎠
cos2x (2m 1)cosx m 1 0−+ ++=
Giaûi
Ñaët t = cosx, vì
[
)
3
x, t1,0
22
π
⎛⎞
∈π⇒∈−
⎜⎟
⎝⎠
22
cos2x 2cos x 1 2t 1=−=−
Phöông trình cho 2
2t 1 (2m 1)t m 1 0⇔−− +++=
2
2t (2m 1)t m 0⇔− ++=
22
(2m 1) 8m (2m 1) 0∆= + − = − ≥
[
)
2m 1 2m 1
tm
4
2m 1 2m 1 1
t1,0
42
++ −
⎡==
⎢
⇔⎢+− −
⎢==∉−
⎢
⎣
Vaäy ñeå nghieäm
[
)
t1,0 1m0∈− ⇔− ≤ <
19
Ví duï 8 :
Ñònh m ñeå phöông trình:
2
(m 5)x 2mx m 4 0 (*)−−+−=
Coù moät nghieäm nhoû hôn 1 vaø moät nghieäm lôùn hôn 2.
Giaûi
Ñaët 2
f(x) (m 5)x 2mx m 4=− − +−
Goïi x1 , x2 laø 2 nghieäm cuûa (*), ta coù :
x1 < 1 < 2 < x2
af(1) 0 (m 5)( 9) 0 m 5 5m24
af(2) 0 (m 5)(m 24) 0 5 m 24
<−−< >
⎧⎧ ⎧
⇔
⇔⇔⇔<<
⎨⎨ ⎨
<−−<<<
⎩⎩ ⎩
Ví duï 9 :
Ñònh m ñeå phöông trình coù nghieäm :
22
11
x(13m)x3m0
x
x
⎛⎞
+
+− + + =
⎜⎟
⎝⎠ .
Giaûi
Ñaët 22 2 2
22
111
tx t x 2 x t 2
xxx
=
+⇒ = + +⇒ + =−
Ñieàu kieän t2≥
Phöông trình cho 2
t2(13m)t3m0
⇔
−+ − + =
2
t (13m)t3m20 (abc0)
⇔
+− + −= ++=
t 1 khoâng thoaû t 2
t3m2
⎡
=
≥
⇔⎢=−
⎢
⎣
Ñeå phöông trình coù nghieäm :
3m 2 2
3m 2 2 3m 2 2
−
≥
⎡
⇔−≥⇔
⎢
−
≤−
⎣
4
m3
m0
⎡≥
⎢
⇔⎢
≤
⎢
⎣
20
III. BAØI TAÄP ÑEÀ NGHÒ
3.1. Cho hai phöông trình : 2
xxm0 (1)−+ =
2
x3xm0 (2)−+=
Vôùi nhöõng giaù trò naøo cuûa m, thì phöông trình (2) coù moät nghieäm khaùc
0, gaáp 2 laàn moät nghieäm cuûa phöông trình (1).
3.2. Cho hai phöông trình : 2
x3x2s0++=
2
x6x5s0++=
Tìm taát caû caùc giaù trò cuûa s ñeå moãi phöông trình ñeàu coù 2 nghieäm phaân
bieät, vaø giöõa 2 nghieäm cuûa phöông trình naøy coù ñuùng moät nghieäm cuûa
phöông trình kia.
3.3. Chöùng minh raèng neáu 12 1 2
aa 2(b b )≥+thì ít nhaát moät trong hai
phöông trình
211
222
xaxb0
xaxb0
++=
++=
coù nghieäm.
3.4. Ñònh m ñeå phöông trình : 232
xhxxhx10 (1)++++=
Coù khoâng ít hôn hai nghieäm aâm khaùc nhau.
3.5. Ñònh m ñeå phöông trình 22
24 2
4x 2ax 1a 0
12x x 1x
++−=
++ + coù
nghieäm.
3.6. Ñònh m ñeå phöông trình coù nghieäm:
22 2 2
(x 2x 2) 2(3 m)(x 2x 2) m 6m 0−+ + − −++ − =
3.7. Chöùng minh phöông trình sau coù nghieäm:
22
ab
c, m n,a,b,c 0 (1)
xm xn
+=≠ ≠
−−
21
HÖÔÙNG DAÃN VAØ ÑAÙP SOÁ
3.1. Ñieàu kieän ñoàng thôøi coù nghieäm cuûa 2 phöông trình cho laø :
1
2
14m 0 1
m
94m0 4
∆=− ≥
⎧
⇔
≤
⎨∆= − ≥
⎩
Goïi 0
x0≠ laø 1 nghieäm cuûa phöông trình (1), nghieäm phöông trình (2):
0
x2x=
22
0
00 0 0
22
00 00
5
x
xxm0 3x5x0 3
10
4x 6x m 0 m x x m9
⎧=
⎧⎧
⎪
−+= − =
⎪⎪⎪
⇔⇔⇔
⎨⎨⎨
−+= =−+
⎪⎪⎪
⎩⎩
=
−
⎪
⎩
3.2. Ñaët 2
f(x) x 3x 2s,=++ 2
g(x) x 6x 5s
=
++
Moãi phöông trình ñeàu coù 2 nghieäm phaân bieät vaø giöõa 2 nghieäm cuûa
phöông trình naøy coù ñuùng moät nghieäm cuûa phöông trình kia, ta phaûi coù
1
12
0
g(x ).g(x ) 0
∆>
⎧
⎨<
⎩ vôùi x1, x2 laø nghieäm cuûa phöông trình f(x) = 0
8
s0s1
9
9s(s 1) 0
⎧<
⎪
⇔
⇔<<
⎨
⎪−<
⎩
3.3. 22
11 12 2 2
a4b, a4b∆= − ∆= −
22
1212 12
aa4(bb)0⇒∆ +∆ = + − + ≥
(vì 22
12 12
aa2aa+≥ 12 1 2
aa 2(b b )≥+)
⇒ít nhaát 1 trong 2 phöông trình ñaõ cho phaûi coù nghieäm.
3.4. Nhaän xeùt x = 0 khoâng phaûi laø nghieäm cuûa (1)
Ñaët 2
1
tx h(x)x tx10 (2)
x
=+ ⇔ = − +=
Ñieàu kieän t2 t2t 2≥⇔≥∨≤−
(2) neáu coù nghieäm thì caùc nghieäm cuøng daáu.
t = - 2 thì (2) coù 1 nghieäm aâm.
(2) coù 2 nghieäm aâm t2
⇔
<−