Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình
Phương trình-Hệ phương trình-Bất phương trình dành cho lớp 10
Tác giả: Nguyễn Văn Quốc Tuấn - Lớp B – K112 - Đại Học Y Hà Nội
Các bài toán trong tài liệu là do Tuấn tổng hợp ở 1 số diễn đàn, 1 số tài liệu,. . . về phần
lời giải thì đa số là do Tuấn giải lại nhưng 1 số câu là do nhác quá :3 nên chép i nguyên
lời giải của nó. Vì thế nên tài liệu có gì sai sót mong các bạn ghóp ý để chỉnh sửa lại.
Tài liệu này Tuấn viết tặng 1 bạn ( Đừng hỏi là ai nhé :v ). Bên cạnh đó hi vọng các bạn
có 1 tài liệu để có thể tham khảo thêm. Chúc các bạn học tốt.
Bài 1. Giải phương trình sau:
√x+ 3 + √3x+ 1 = 2√x+√2x+ 2
Lời giải:
Điều kiện: x≥0
Ta có: √3x+ 1 −√2x+ 2 = 2√x−√x+ 3
⇐⇒ 3x+ 1 + 2x+ 2 −2√6x2+ 8x+ 2 = 4x+x+ 3 −4√x2+ 3x
⇐⇒ √6x2+ 8x+ 2 = 2√x2+ 3x
⇐⇒ 6x2+ 8x+ 2 = 4 (x2+ 3x)
⇐⇒ 2x2−4x+ 2 = 0 ⇐⇒ x= 1
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x= 1
Bài 2. Giải phương trình sau:
x3
√35 −x3x+3
√35 −x3= 30
Lời giải:
Đặt 3
√35 −x3=y⇐⇒ x3+y3= 35
Kết hợp với phương trình ban đầu ta có hệ:
(x3+y3= 35
xy (x+y) = 30 ⇐⇒ ((x+y)3−3xy (x+y) = 35
xy (x+y) = 30
⇐⇒ ((x+y)3= 125
xy (x+y) = 30 ⇐⇒ (x+y= 5
xy = 6 ⇐⇒ "x= 3
x= 2
1 Nguyễn Văn Quốc Tuấn
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
www.DeThiThuDaiHoc.com
Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình
Vậy nghiệm của phương trình là: "x= 3
x= 2
Bài 3. Giải phương trình sau:
16x4+ 5 = 6 3
√4x3+x
Lời giải:
Ta có V T > 0nên điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm là V P > 0⇐⇒ x > 0
Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 3 số dương ta có:
63
√4x3+x= 2.3.3
p(4x3+x).1.1≤24x3+x+ 1 + 1
Mặt khác ta có:
16x4+ 5 ≥24x3+x+ 1 + 1⇐⇒ 16x4−8x3−2x+ 1 ≥0⇐⇒ (2x−1)24x2+ 2x+ 1≥0
Do đó: V T ≥V P khi đó
16x4+ 5 = 6 3
√4x3+x⇐⇒ (4x3+x= 1
2x−1 = 0 ⇐⇒ x=1
2
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x=1
2
Bài 4. Giải phương trình sau:
3x2−1+ 4x= 4x√4x−3
Lời giải:
Điều kiện: x≥3
4
Ta có:
3x2−1+ 4x= 4x√4x−3⇐⇒ 3x2+ 4x−3 = 4x√4x−3
⇐⇒ 3x2−4x√4x−3 + 4x−3 = 0 ⇐⇒ x−√4x−33x−√4x−3= 0
⇐⇒ "x=√4x−3
3x=√4x−3⇐⇒ "x2= 4x−3
9x2= 4x−3⇐⇒ "x= 3
x= 1
2 Nguyễn Văn Quốc Tuấn
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
www.DeThiThuDaiHoc.com
Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: "x= 3
x= 1
Bài 5. Giải hệ phương trình sau:
(√x+ 1 + 3y.x + (3y2+ 1) √x+ 1 −51y−27 = 7y3+ 36y2
x2+y2+ 3x+ 5y+ 10 = 0
Lời giải:
Điều kiện: x≥ −1
Đặt: √x+ 1 = a(a≥0)
Thay a2−1 = xvào phương trình thứ nhất ta được
(a+ 3y) (a2−1) + (3y2+ 1) a−51y−27 = 7y3+ 36y2
⇐⇒ a3+ 3a2y+ 3ay2= 7y3+ 36y2+ 54y+ 27
⇐⇒ a3+ 3a2y+ 3ay2+y3= 8y3+ 36y2+ 54y+ 27
⇐⇒ (a+y)3= (2y+ 3)3⇐⇒ a=y+ 3 ⇐⇒ y=a−3⇒y=√x+ 1 −3
Thế xuống phương trình thứ 2ta được: x2+ 4x+ 5 = √x+ 1
Đặt √x+ 1 = y+ 2 (y≥ −2)
Khi đó ta có hệ phương trình:
(x2+ 4x+ 3 = y
y2+ 4y+ 3 = x⇐⇒ (x2−y2+ 5 (x−y) = 0
x2+ 4x+ 3 = y
⇐⇒ ((x−y) (x+y+ 5) = 0
x2+ 4x+ 3 = y⇐⇒ (x=y
x2+ 3x+ 3 = 0 (V N)
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài 6. Giải phương trình sau:
2x−1 + √3x−2 = √8x2−2x−2
Lời giải:
Điều kiện: x≥2
3
3 Nguyễn Văn Quốc Tuấn
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
www.DeThiThuDaiHoc.com
Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình
Biến đổi phương trình đầu trở thành:
2x−1 + √3x−2 = q2(2x−1)2+ 2 (3x−2)
Đặt:
2x−1 = aa≥1
3
√3x−2 = b(b≥0)
Khi đó phương trình đã cho trở thành:
a+b=√2a2+ 2b2⇐⇒ a2+ 2ab +b2= 2a2+ 2b2⇐⇒ (a−b)2= 0 ⇐⇒ a=b
Từ đó ta có:
2x−1 = √3x−2⇐⇒ 4x2−4x+ 1 = 3x−2⇐⇒ 4x2−7x+ 3 = 0 ⇐⇒
x= 1
x=3
4
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:
x= 1
x=3
4
Bài 7. Giải hệ phương trình sau:
6x
y−2 = √3x−y+ 3y(1)
2p3x+√3x−y= 6x+ 3y−4 (2)
Lời giải:
Điều kiện: (3x≥y6= 0
3x+√3x−y≥0
Ta có:
(1) ⇐⇒ 2 (3x−y) = y√3x−y+ 3y2⇐⇒ 2 (3x−y)−y√3x−y−3y2= 0
⇐⇒ 2√3x−y−3y√3x−y+y= 0 ⇐⇒ "2√3x−y= 3y
√3x−y=−y
Trường hợp 1: 2√3x−y= 3ythì
2√3x−y= 3y
2r3x+3y
2= 6x+ 3y−4⇐⇒
2√3x−y= 3y
6x+ 3y≥0
p2 (6x+ 3y) = 6x+ 3y−4⇐⇒ (2√3x−y= 3y
6x+ 3y= 8
Trường hợp 2: √3x−y=−ythì
(√3x−y=−y
2p3x+√3x−y= 6x+ 3y−4⇐⇒ (√3x−y=−y
2√3x−y= 6x+ 3y−4
4 Nguyễn Văn Quốc Tuấn
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
www.DeThiThuDaiHoc.com
Tài liệu phương trình-hệ phương trình-bất phương trình
⇐⇒ (√3x−y=−y
−2y= 6x+ 3y−4⇐⇒ (√3x−y=−y
6x+ 5y= 4
Từ đây các bạn tự tìm ra nghiệm.
Bài 8. Giải phương trình sau:
√2x2+x+ 9 + √2x2−x+ 1 = x+ 4
Lời giải:
Xét x=−4không phải là nghiệm của phương trình khi đó ta biến đổi phương trình như sau:
√2x2+x+ 9 + √2x2−x+ 1 = x+ 4
⇐⇒ 2x+ 8
√2x2+x+ 9 −√2x2−x+ 1 =x+ 4
⇐⇒ √2x2+x+ 9 −√2x2−x+ 1 = 2
Kết hợp với phương trình ban đầu ta có hệ:
(√2x2+x+ 9 −√2x2−x+ 1 = 2
√2x2+x+ 9 + √2x2−x+ 1 = x+ 4
⇒2√2x2+x+ 9 = x+ 6
⇐⇒ 4 (2x2+x+ 9) = x2+ 12x+ 36
⇐⇒ 7x2−8x= 0 ⇐⇒ "x= 0
x=8
7
Thử lại ta thấy thỏa mãn.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là
x= 0
x=8
7
Bài 9. Giải phương trình sau:
x+q5 + √x−1 = 6
Lời giải:
Điều kiện: x≥1
5 Nguyễn Văn Quốc Tuấn
www.MATHVN.com - Toán học Việt Nam
www.DeThiThuDaiHoc.com