VẤN ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG.
A/LÍ THUYẾT:
I/Phương trình của mặt phẳng:
1.Véctơ pháp tuyến của đường thẳng:
Véctơ
0
n
và có giá vuông góc với mặp phẳng (P) thì
n
được gọi
là véctơ pháp tuyến của (P).
2/Tích có hướng của 2 véctơ :
Trong không gian Oxyz Cho 2 véctơ không cùng phương
1 2 3 1 2 3
( ; ; ), ( ; ; )
a a a a b b b b
Tích có hướng của 2 véc tơ là một véctơ
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
, ( ; ; )
a b a b a b a b a b a b a b
.
3/Phương trình tổng quát của mặt phẳng :
Trong không gian Oxyz Mặt phẳng (P) đi qua điểm
0 0 0 0
( ; ; )
M x y z
và nhận véctơ
( ; ; )
n A B C
làm véctơ pháp tuyến có phương
trình tổng quát :
0 0 0
( ) ( ) ( ) 0
Ax 0
A x x B y y C z z
By Cz D
*Các trường hợp riêng:
Trong không gian (Oxyz) cho (
):
Ax + By + Cz + D = 0
a) Nếu D = 0 thì (
) đi qua gốc toạ độ O.
b) Nếu một trong ba hệ số A, B, C bằng 0, chẳng hạn A = 0 thì (
)
song song hoặc chứa Ox.
c, Nếu hai trong ba hệ số A, B, C bằng ), ví dụ A = B = 0 và C 0 thì
(
) song song hoặc trùng với (Oxy).
II. Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc:
1. Điều kiện để hai mặt phẳng song song:
Trong (Oxyz) cho2 mp (
1)và (
2) :
(
1): A1x + B1y+C1z+D1=0
(
2): A 2x+B 2y+C 2z+D 2=0
Khi đó (
1)và (
2) có 2 vtpt lần lượt là: n1 = (A1; B1; C1) n2= (A 2;
B2; C 2)
Nếu n1= k n2D1
kD 2thì (
1)song song (
2)
D1= kD 2 thì (
1) trùng (
2)
2. Điều kiện để hai mp vuông góc:
(1
)
(2
)
1
n
.
2
n
=0
A1A2+B1B2+C1C2=0
III/Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:
d(M 0,(
)) = 222
000
Ax
CBA
DCzBy
B/BÀI TẬP
Bài 1/ Viết ptmp (α )
a/ (α ) qua M (1 , - 2 , 4) và nhận
n
= (2,3, 5) làm vtcp.
b/ (α )qua A (0, -1, 2) và song song với giá của các véctơ
u
=
(3,2,1),
v
= (-3,0,1)
c/ Đi qua 2 điểm A(2 ;-1 ;3),B(3 ;1 ;2) và song song với giá của véc tơ
Bài 2/ (α ) qua 3 điểm A( -3, 0,0), B (0, -2, 0),C (0,0, -1)
Bài 3 a/ Lập ptmp oxy b/ Lập ptmp đi qua M (2,6,-3) và song song
mp oxy.
Bài 4: Cho tứ diện cố đỉnh là: A(5,1,3), B (1,6,2), C (5,0,4) , D (4,0,6)
a/ Viết ptmp (ACD), (BCD),(ABC)(ABC) b/ Viết ptmp (α ) đi qua AB và
song song CD.
c/Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
Bài 5: a/Viết ptmp trung trực đoạn AB với A(2,3,7) và B (4,1,3)
b/Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (ABC) với A(1;-2;0),
B(3;1;-1), C(2;3;1).
Bài 6 (CĐKT ĐNgoại ) :Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm
A(1 ;0 ;0),B(0 ;2 ;0), C(0 ;0;3).
1/Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
2/Gọi d là đườngt hẳng qua C và vuông góc với mặt phẳng (ABC)
.Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng Oxy.
Bài 7 (TN-2005) :Cho 3 điểm A(0 ;0 ;2),B(3 ;0 ;5),C(1 ;1 ;0) và mặt cầu
(S) :x2+y2+z2-4x+2y-2z-13=0
1/Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
2/Chứng minh mặt phẳng (ABC) cắt mặt cầu (S) .Tìm toạ độ hình
chiếu vuông góc của tâm mặt cầu (S) trên mặt phẳng .
Bài 8 (TN-2007) :Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với mặt
phẳng (P) :x+y-2z+3=0 và đi qua điểm M(-1 ;-1 ;0)
Bài 9 :Cho 4 điểm A(1 ;0 ;3),B(0 ;-2 ;-1),C(4 ;-1 ;-2),D(-1 ;-1 ;-3)
1/Chứng minh rằng 4 điểm trên không đồng phẳng .
2/Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặp phẳng (BCD).
Bài 10 :Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với (Q) :x-2y+2z-5=0
sao cho khoảng cách từ M(5 ;-2 ;1) đến mặt phẳng (P) bằng 4.
Bài 11 :Lập phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với 2 mặt phẳng
(Q) :x+y+z-2=0,(R):-2x+y-z=0
Và tiếp xúc với mặt cầu (S) :x2+y2+z2-2x+6y-4z-10=0
Bài 12 : Lập phương trình mặt phẳng (P)
a/Chứa trục ox và khoảng cách từ M(4 ;1 ;2) đến (P) bằng 2.
b/Chứa trục Oy và khoảng cách từ N(6 ;4 ;-5) đến (P) bằng 3.
c/Đi qua A(2 ;-1 ;4),B(3 ;2 ;-1) và vuông góc với (Q) :x+y+2z-3=0
Bài 13 :Lập phương trình mặt phẳng :
a/Đi qua điểm M(2 ;-1 ;2) song song với trục Oy và vuông góc với
mặt phẳng (P) :2x-y+3z-5=0.
b/Đi qua điểm N(1 ;3 ;-2) và cứa trục Ox ,(Oy,Oz).
c/Đi qua A(1 ;0 ;5) và song song với (Q) :2x-y+z-17=0
Bài 14 :Viết phương trình của mặt phẳng qua điểm M(5 ;3 ;4) và cắt 3 trục
toạ độ tại 3 điểm cách đều gốc toạ độ .
Bài 15 :Cho A(a ;0 ;0) ,B(0 ;b ;0) ,C(0 ;0 ;c) với a,b,c là 3 số dương thay đổi
luôn thoã mãn a2+b2+c2=3. Xác định a,b,c sao cho khoảng cách từ O đến mặt
phẳng (ABC) đạt Max.
Bài 16 : Cho 2 mặt phẳng (P) :2x-y+3z+1=0 ,(Q) :x+y-z+5=0 và điểm
M(1 ;0 ;5) .Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) .Viết phương trình