http://boxmath.vn
Rèn Luyện Giải HPT từ BoxMath
1Giải hệ phương trình:
x3y+y4= 9
x2y+y3+x+y= 6 + xy2
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****
Lời giải
Cách 1 Với x=−y, hệ vô nghiệm. Xét x6=−y.Ta có:
x3y+y4= 9
x2y+y3+x+y= 6 + xy2
⇔
y(x+y)(x2+y2−xy) = 9
y(x2+y2−xy) = 6 −x−y
⇔
y(x2+y2−xy) = 9
x+y(1)
y(x2+y2−xy) = 6 −x−y(2)
Thế (1) vào (2), ta có:
6−x−y=9
x+y⇒x+y= 3 ⇒x= 3 −y(3)
Thay (3) vào phương trình (1), ta có:
(3 −y)3y+y4= 9 ⇔3(y−1)3= 0 ⇔y= 1
Với y= 1, ta có x= 2. Vậy hệ có nghiệm là (2; 1)
Cách 2 Ta viết hệ lại dưới dạng:
y(x+y)(x2−xy +y2) = 9(1)
6−(x+y) = y(x2−xy +y2)(2)
Thay (2) vào (1) ta được:
(x+y−3)2= 0 ⇔x+y= 3(3)
Thay (3) vào pt thứ nhất của hệ ta được
(y−1)3= 0 ⇔y= 1 ⇒x= 2
Vậy phương trình đã cho có nghiệm (2,1)
Cách 3 Từ phương trình thứ 2 của hệ suy ra:
y3−xy2+ (1 + x2)y+x−6 = 0
Bây giờ đặt f(y) = y3−xy2+ (1 + x2)y+x−6
=⇒f′(y) = 3y2−2xy +x2+ 1 = 2y2+ (x−y)2+ 1 >0,∀x, y ∈R
Suy ra hàm f(y)là hàm đồng biến ngặt.
Xét trường hợp : y > x
2⇒f(y)> f x
2=3
8(x−2) (x2+ 2x+ 8)
nếu x > 2thì f(y)>0và hệ phương trình vô nghiệm
nếu x < 2⇒fx
2<0kết hợp với phương trình thứ nhất ta có: y < 1vô lý
Xét trường hợp: y < x
2cũng tương tự như trường hợp 1 và hệ vô nghiệm
Cho nên nếu hệ có nghiệm thì y=x
2⇒x= 2yKhi thay vào hệ thì đựơc: (x;y) = (2; 1)
Vậy hệ có nghiệm là (2; 1)
boxmath.vn 1
http://boxmath.vn
2Giải hệ phương trình:
4x2+ 2y2−8x−8y+ 6 = 0 (1)
8x2+ 3y2−8xy −4y+ 1 = 0 (2)
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****
Lời giải
Cách 1 Hệ tương đương
2(x−1)2+ (y−2)2= 3 (1)
2(2x−y)2+ (y−2)2= 3 (2)
Lấy (1) trừ (2), ta được:
(x−1)2−(2x−y)2= 0 ⇔(x−y+ 1)(3x−y−1) = 0 ⇔"y=x+ 1
y= 3x−1
+ Thế y=x+ 1 vào (1), ta được 2(x−1)2+ (x−1)2= 3 ⇔"x= 0 ⇒y= 1
x= 2 ⇒y= 3
+ Thế y= 3x−1vào (1), ta được 2(x−1)2+ (3x−3)2= 3 ⇔
x= 1 −q3
11 ⇒y= 2 −3q3
11
x= 1 + q3
11 ⇒y= 2 + 3q3
11
Vậy hệ có 4 nghiệm là (0; 1) ,(2; 3) ,1−q3
11 ; 2 −3q3
11 ,1 + q3
11 ; 2 + 3q3
11
Cách 2 Đặt x=a+ 1, y =b+ 2. Khi đó hệ đã cho trở thành
2a2+b2= 3 (1)
8a2+ 3b2= 8ab + 3 (2)
Thế (1) vào (2) thu được
(a−b)(3a−b) = 0 ⇐⇒ a=bhoặc 3a=b
+ Với a=bthay vào (1) suy ra a=b=±1;
+ Với b= 3athay vào (1) suy ra 3a=b=±3q3
11 .
Từ đó suy ra tập nghiệm của hệ ban đầu
S=n(2; 3),(0; 1),3q3
11 + 1; 3q3
11 + 2,−3q3
11 + 1; −3q3
11 + 2o
Cách 3 Ta có:
(2) −1
2(1) là 2(x−y+ 1)(3x−y−1) = 0
TH1: y=x+ 1 Thay vào phương trình (1):
4x2+ 2(x+ 1)2−8x−8(x+ 1) + 6 = 0 ⇔6x(x−2) = 0 ⇔x= 0; x= 2
TH2: y= 3x−1, thay vào (1):
4x2+ 2(3x−1)2−8x−8(3x−1) + 6 = 0 ⇔11x2−22x+ 8 = 0 ⇔x= 1 ±q3
11
Thay lại, thấy hệ có đúng 4 nghiệm.
Vậy các nghiệm của hệ là: (0; 1) ,(2; 3) ,1−q3
11 ; 2 −3q3
11 ,1 + q3
11 ; 2 + 3q3
11
3Giải hệ phương trình:
y4+ +3y2x2+ 2yx3+ 2x4= 2x(1 −y3)
x2+y2=x(1 −y)
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****
Lời giải
(1) ⇔(x2+y2)(2x2+ 2xy +y2) = 2x⇔x(1 −y) [2(x2+xy) + y2] = 2x
boxmath.vn 2
http://boxmath.vn
⇔x(1 −y) [2(x−y2) + y2] = 2x⇔"x= 0
(1 −y) [2x−y2] = 2
+) Với x= 0 thay vào (2) suy ra y= 0
+) Với (1 −y) [2x−y2] = 2
Nhận thấy y= 1 không thỏa mãn hệ phương trình nên ta có x=1
1−y+y2
2
Thay vào (2) ta được:
1
1−y+y2
22
+y2=1
1−y+y2
2(1 −y)⇔y6−y4−6y3+ 2y2+ 8y= 0
⇔y(y+ 1) (y4−y3−6y+ 8) = 0 ⇔
y= 0
y=−1
y4−y3−6y+ 8 = 0 (3)
Mặt khác từ (2) suy ra
x=x2+xy +y4>0⇒y≤1⇒y4−y3−6y+ 8 = (y3−6) (y−1) + 2 >0⇒(3) vô nghiệm
∗)Với y= 0 thay vào (2) ta đươc: x2−x= 0 ⇔"x= 0
x= 1
∗)Với y=−1thay vào (2) ta đươc: x2−2x+ 1 = 0 ⇔x= 1
Vậy hệ đã cho có nghiệm (0; 0) ; (1; 0) ; (1; −1)
4Giải hệ phương trình:
1
3x+2x
3y=x+√y
2x2+y(1)
2(2x+√y) = √2x+ 6 −y(2)
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****
Lời giải
ĐK: x≥ −3; y≥0
(1) ⇔2x2+y
3xy =x+√y
2x2+y⇔(2x2+y)2= 3xy x+√y⇔4x4+x2y−3xy√y+y2= 0
Nhận thấy y= 0 không thỏa mãn hệ nên ta có: 4x4
y2+x2
y−3x
√y+ 1 = 0
Đặt x
√y=t(t∈R)ta được:
4t4+t2−3t+ 1 = 0 ⇔(2t−1)2(t2+t+ 1) = 0 ⇒t=1
2⇒√y= 2x⇒x≥0
Thay √y= 2xvào (2) ta được:
4x2+ 8x=√2x+ 6 ⇔(4x2+ 8x)2= 2x+ 6 ⇔8x4+ 32x3+ 32x2−x−3 = 0
⇔(4x2+ 10x+ 3) (2x2+ 3x−1) = 0 ⇔x=−3 + √17
4(do x≥0)⇒y=13 −3√17
2
Vậy hệ đã cho có nghiệm −3 + √17
4;13 −3√17
2!
5Giải hệ phương trình:
x3y−y4= 7
x2y+ 2xy2+y3= 9
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****
Lời giải
boxmath.vn 3
http://boxmath.vn
HPT ⇔
y(x3−y3) = 7
y(x+y)2= 9 ⇒x > y > 0⇒x=3
√y−ythay vào phương trình đầu ta được:
y
34
√8
√y−y!3
−y3
= 7
Đặt t=√y > 0thì: t2"3
t−t23
−t6#= 7 ⇔t9−(3 −t3)3+ 7t= 0
Xét hàm số f(t) = t9−(3 −t3)3+ 7t= 0 Ta có: f′(t) = 9t8+ 9t2(3 −t3)2+ 7 >0; ∀t > 0
Vậy hàm số f(t)đồng biến trên khoảng (0; +∞)nên nghiệm của hệ phương trình là duy nhất.
Dễ thấy hệ có nghiệm (2; 1)
6Giải hệ phương trình:
x2y−4x+y= 0
xy2−2y= 2
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****
Lời giải
Hệ phương trình được viết lại dưới dạng:
y=4x
x2+ 1
xy2−2y= 2
Thay phương trình thứ nhất vào hai đưa đến phương trình
x4x
x2+ 12
−24x
x2+ 1= 2 ⇐⇒ 2x4−8x3+ 4x2+ 8x+ 2 = 0
x= 0 không là nghiệm của PT nên chia 2 vế cho x2
2x2−8x+ 4 + 8
x+2
x2⇐⇒ 2x2+1
x2+ 8 x+1
x+ 4 = 0
Đặt t=x+1
x⇐⇒ |t| ≥ 2và x2+1
x2=t2−2. PT trở thành:
2(t2−2) + 8t+ 4 = 0 ⇐⇒ t(t+ 4) = 0
Với t=−4⇐⇒ x+1
x=−4⇐⇒ (x+ 2)2= 3 ⇐⇒ x=−2±√3 =⇒y=−8±4√3
7∓4√3
Với t= 0 là chuyện không có
Vậy hệ đã cho có nghiệm −2 + √3; −8 + 4√3
7−4√3!, −2−√3; −8−4√3
7 + 4√3!
7Giải hệ phương trình:
n
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****
Lời giải
8Giải hệ phương trình:
n
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****
Lời giải
boxmath.vn 4
http://boxmath.vn
9Giải hệ phương trình:
n
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****
Lời giải
10 Giải hệ phương trình:
n
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****
Lời giải
1Giải hệ phương trình:
n
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****
Lời giải
2Giải hệ phương trình:
n
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****
Lời giải
3Giải hệ phương trình:
n
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****
Lời giải
4Giải hệ phương trình:
n
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****
Lời giải
5Giải hệ phương trình:
n
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****
Lời giải
6Giải hệ phương trình:
n
**** http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn - http://boxmath.vn ****
Lời giải
boxmath.vn 5