Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn
Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình
( )
(
)
( ) ( )
2
1
4 1 6 2 1 7 1
x x y y x y y
x y x y y
+ − + = +
+ + = + − + +
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình
( )
( )
3 2
3 2 2
1 2 2 1 9 33 29
4 4 4 4 1 2
x x y x y y y y
x x y x y
+ + + − + − = − +
+ + + = + +
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm cạnh BC,
3 1
2 2
−
N là
đ
i
ể
m trên c
ạ
nh AC sao cho
1
4
=
AN AC
. Xác
đị
nh t
ọ
a
độ
các
đỉ
nh c
ủ
a hình vuông ABCD
bi
ế
t r
ằ
ng
đườ
ng th
ẳ
ng DM có ph
ươ
ng trình
1 0.
− =
x
Ví dụ 4:
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
to
ạ
độ
Oxy cho tam giác ABC vuông t
ạ
i A có M là
đ
i
ể
m thu
ộ
c c
ạ
nh AC
sao cho
2
AM AB
=
,
đườ
ng tròn tâm
(
)
0;3
I
đườ
ng kính CM c
ắ
t
đườ
ng th
ẳ
ng BM t
ạ
i D (D khác M), bi
ế
t
đườ
ng th
ẳ
ng CD:
3 13 0
x y
+ − =
và đường thẳng BC đi qua điểm
(
)
7;14
K
. Tìm toạ độ các đỉnh A,B,C và
điểm C có hoành độ dương.
Ví dụ 5. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình
2 2 2 2
2
2
2 2 2 3
+ − + = + −
+ + = −
x x xy y xy xy y
x y x x y
Lời giải:
Đ
K:
2 2
0; 0; 0; 0
x xy xy y x y
− ≥ − ≥ ≥ ≥
T
ừ
ph
ươ
ng trình (1) ta có
2 2 2 2
2
x x xy y xy xy y
+ − + = + −
( ) ( )
2 2
2 2
0
1
1 0 0
x y x y x y
x xy xy y
>
⇔ − + =
⇒
− =
⇒
=
− + −

Thay
x y
=
vào ph
ươ
ng trình (2) ta có
2
2 2 2 3
x y x x y
+ + = −
( ) ( )
2
2
2 2 2 3 3 2 0
⇔ + + = − ⇔ + − + + =
x x x x x x x x x
2 2
1 5
1 5 1 5
122 2
21; 2 4 4
− ±
− + − +
+ = =
= =
⇔⇒ ⇒ ⇒
+ =
= − = = =
x x xx y
x x x x x y
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là
( )
( )
2 2
1 5 1 5
; ; , 4;4
2 2
− + − +
=
x y
Ví dụ 6. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình
2
2
2 2 4 2
2
16 4
− + + − + = +
− + = +
x y y x y y
x y y x y
Lời giải:
Từ phương trình (1) ta có
2
2 2 4 2
x y y x y y
− + + − + = +
RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY (phần 1)
Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn
Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
( )
2
0
1 1
2 0 2
2 4 2
2
>
⇔ − + = ⇔ =
− + +
− + +

x y x y
x y
x y y y
Thay
2
x y
=
vào phương trình (2) ta có
2
2
4 2x x x
y
+ = +
2
4
4 2x x x
x
⇔ + = +
4 4
2 8 0
x x
x x
⇔ + − + − =
Đặt
4
( 0)
t x t
x
= + >
2
2
2 0
0 ( )
=
⇒− = ⇔ =
t
t t
t loai
Với
2
4
2 2 4 4 0 2 1
t x x x x y
x
=⇒+ = ⇔ − + = ⇔ = ⇒=
Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
( ; ) (2;1)
x y
=
Ví dụ 7. [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD, trên tia đối của tia BA
và trên cạnh BC lần lượt lấy các điểm E và F sao cho
BE BF
=
, gọi
12 29
;
5 5
N
là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a 2
đườ
ng th
ẳ
ng CE và AF, bi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng
: 5 0
EF y
− =
và
(
)
3;4
B
. Tìm t
ọ
a
độ
các
đỉ
nh
c
ủ
a hình vuông ABCD.
Lời giải:
D
ễ
th
ấ
y
/ /
EF BD
(vì cùng t
ạ
o v
ớ
i AB góc
0
45
).
Khi
đ
ó: EF AC
AF CE
CB AB
⊥
⇒
⊥
⊥
( do F là tr
ự
c tâm )
Ph
ươ
ng trình
: 4 0
BD y
− =
, g
ọ
i
(
)
;4
I t
ta có:
IB IN
=
.
Khi
đ
ó:
( ) ( )
2 2
2
12 29
3 4 0 0;4
5 5
t t t I
− = − + − ⇔ = ⇒
T
ừ
đ
ó suy ra
(
)
3;4
D
−
khi
đ
ó ph
ươ
ng trình AC là :
0
x
=
G
ọ
i
(
)
0;
A u
ta có:
( )
(
)
( )
2
1 0;1
. 0 9 4 0
7 0;7
u A
AB AD u u A
=⇒
= ⇔ − + − = ⇔ =⇒
Vì A và B cùng phía v
ớ
i EF nên ta lo
ạ
i
(
)
0;7
A
Khi
đ
ó:
(
)
(
)
0;1 ; 0;7
A C
. V
ậ
y
(
)
(
)
(
)
(
)
0;1 ; 3;4 ; 0;7 ; 3;4
A B C D
−
là các
đ
i
ể
m c
ầ
n tìm.
Ví dụ 8. [Tham khảo]:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
( )
( )
2
2 2 2
2
3 2 1
2 1
4 4 2 4 6 4 1
−
+ + + = +
− −
+ + − = + +
y
x y y x y y y
xy x y x x
Lời giải
Đ
K :
1
1; ; 2 1 0
4
y x y y
≥ ≥ − − − ≠
Xét ph
ươ
ng trình (1) ta có
( )
2
2 2 2
2
3 2 1
2 1
y
x y y x y
y y
−
+ + + = +
− −
( )
2 2 2
2 2 2
2
0
2 2 1 2 1 0
2
2 0 2 0 2
1 1
x y y y x y
x y y x y y x
x y
>
⇔ + − + + − − =
⇔ + − + = ⇒+ − = ⇔ = +
+ + −

Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn
Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
Thay
2
2
y x
⇔ = +
vào phương trình 2 ta có
( )
4 4 2 4 6 4 1
xy x y x x
+ + − = + +
(
)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 2
3 2
3 2
4 6 6 4 6 4 1
1 1 5 1 4 1 4 1 5 4 1
x x x x x
x x x x x x
⇔ + + + = + +
⇔ + + + + + = + + + + +
Xét hàm số
(
)
3 2
5
f t t t t
= + +
với
0
t
>
Ta có
2
3 2 5 0
t t
+ + >
với
0
t
∀ >
Suy ra hàm số đồng biến
(
)
f t
với
0
t
∀ >
Mà
( )
( )
2
2 6
1 4 1 1 4 1 2 0
0 2
x y
f x f x x x x x x y
=⇒=
+ = + ⇒+ = + ⇒− = ⇔
=⇒=
Đối chiếu điều kiện ban đầu thấy thỏa mãn, vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là
(2;6)
và
(0;2)
Ví dụ 9. [Tham khảo]: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm
của AB, N thuộc BD sao cho BN = 3ND, đường thẳng MC có phương trình
3 13 0
+ − =
x y và
(2;2)
N. Xác
định toạ độ đỉnh C của hình vuông ABCD, biết điểm C có hoành độ lớn hơn 3.
Lời giải:
Gọi I là tâm của hình vuông và
G BI CM
= ∩
suy ra G là trọng tâm tam
giác ABC. Đặt
2
AB a
=
ta có:
2 2 5
3 3
a
CG CM= = ;
2 2
BD a
=
.
Khi
đ
ó 2 2
2 2 5 2 10
; ;
3 2 6 2
a a a a
GI IN GN CN CI IN= = ⇒= = + =
Do vâ
ỵ
2 2 2
0
1
cos 45
2 . 2
GC CN GN
GCN MCN
GC CN
+ −
= = ⇒=
Ta có
( )
5
.sin ; 5
10
NC GCN d N CM NC= = ⇒=
G
ọ
i
(
)
(
)
;13 3 3
C t t t
− >
ta có
2
5
NC
=
( ) ( )
(
)
( )
2 2
4 4;1
2 11 3 5 3
t C
t t t loai
=⇒
⇔ − + − = ⇔ =
.
V
ậ
y
(
)
4;1
C
là
đ
i
ể
m c
ầ
n tìm.
Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn
Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình
( ) ( )
2
2 1 2 3 4 1
2 6 3 2
− + + − + + = −
+ − + + = + +
y x y x y x y y
x y x x y x .
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình
( )
2 2
1 2 2 2 1 3 1 3 2 2
3 3 2 4 3
+ = + + − + + − + +
+ + = + +
x y x y x y x x y
x x x y .
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác trong
và trung tuyến qua đỉnh B là
1 2
: 2 0; : 4 5 9 0
d x y d x y
+ − = + − =
. Điểm
1
2;
2
M
thu
ộ
c c
ạ
nh AB và bán
kính
đườ
ng tròn ngo
ạ
i ti
ế
p tam giác ABC là
15
.
6
R= Tìm t
ọ
a
độ
các
đỉ
nh A, B, C.
Ví dụ 4:
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng v
ớ
i h
ệ
to
ạ
độ
Oxy cho hình thoi ABCD có ph
ươ
ng trình
đườ
ng chéo
: 2 4 0
BD x y
+ − =
, gọi I là điểm thuộc đường chéo BD, đường tròn
(
)
C
tâm I đi qua A và C cắt các
đường thẳng AB và AD lần lượt tại
(
)
3; 3
E
−
và
23 9
;
5 5
F
.Tìm toạ độ các đỉnh của hình thoi và viết
phương trình đường tròn
(
)
C
biết C có tung độ dương.
Ví dụ 5. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình
24
3 1 1 3
431
− + = + −
−
− = + −
x y x y x
y
y x
x x
Lời giải:
ĐK:
1 4; 0
y x
− ≤ ≤ >
Từ phương trình (1) ta có
24
3 1 1 3
x y x y x
− + = + −
( )
2
4
0
3
1 0 1 0 1
1
x y x x y y x
x y
>
⇔ − + + = ⇒− + = ⇒= −
+ +

Thay
2
1
y x
= −
vào phương trình (2) ta có: 4
3
1
y
y x
x x
−
− = + −
2
5 3
1 1
x
x x
x x
−
⇔ − − = + −
( )
2
2
0
2
2 2 0 2 3
1 5
x
x x x x y
x
>
+
⇔ − + + + = ⇒=⇒=
+ −

Vậy nghiệm của hệ phương trình là
(
)
; (2;3)
=x y
Ví dụ 6. [Tham khảo]: Giải hệ phương trình
3 2 2 2
2
2 4 2 4 2 2
2
9 3 1
2
+ − + + = + +
−
+ = +
x x y xy y x y
x
x y
Lời giải:
ĐK:
2 4 0; 2
x y x
− + ≥ ≥
Từ phương trình (1) ta có
3 2 2 2
2 4 2 4 2 2
x x y xy y x y
+ − + + = + +
( )
2 2
0
1
2 2 0 2
2 4 2
x y x y x y
x y
>
⇔ − + + = ⇒=
− + +

RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY (phần 2)
Thầy Đặng Việt Hùng
Khóa học RÈN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PT và HÌNH PHẲNG OXY www.Moon.vn
Tham gia các khóa Luyện thi môn Toán tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2015
Thay
2
x y
=
vào phương trình (2) ta có
2
2
9 3 1
2
x
x y
−
+ = +
(
)
( )
2 2
2
2
4 3 1 9 1 0 4 12 8 9 1 1 0
1 2
3 2 0
2 4
9
3 2 4 0 9
1 1
4 0, (3)
1 1
⇔ − − + − = ⇔ − + + − + − =
=⇒=
− + = ⇔
=⇒=
⇔ − + + = ⇔
− − −
+ =
− − −
y y y y y y y
y x
y y y x
y y y y
y y
Xét phương trình (3) ta có
9
4 0
1 1y y
+ =
− − −
Đặt
2
2
9
1 4 0 4 4 9 0
t y t t
t t
= − ⇒+ = ⇔ − + =
− do
0
∆ <
nên ph
ươ
ng trình (3) vô nghi
ệ
m
V
ậ
y ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có 2 nghi
ệ
m là
(
)
{
}
; (2;1);(4;2)
=x y
Ví dụ 7. [Tham khảo]:
Trong m
ặ
t ph
ẳ
ng to
ạ
độ
Oxy
cho tam giác
ABC
cân t
ạ
i
A
n
ộ
i ti
ế
p
đườ
ng tròn
( ) ( )
22
: 1 25
C x y
− + =
tâm I, trung tuy
ế
n AE và
đườ
ng cao CD c
ắ
t
đườ
ng tròn (C) l
ầ
n l
ượ
t t
ạ
i
đ
i
ể
m th
ứ
2 là
(
)
2; 4
M
− −
và
(
)
4; 4
N
−
. Tìm to
ạ
độ
các
đỉ
nh c
ủ
a tam giác ABC và vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng tròn
(
)
C
bi
ế
t B có tung
độ
âm.
Lời giải:
Do tam giác ABC cân nên tâm I c
ủ
a
đườ
ng tròn
(
)
C
thu
ộ
c trung
tuy
ế
n AE. Do I là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a AM nên
(
)
4;4
A
Ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ
ng AM:
4 3 4 0
x y
− − =
.
G
ọ
i
H AM CD
= ∩
là tr
ự
c tâm tam giác
ABC
.
Ta có :
BAE BCD
=
( cùng ph
ụ
v
ớ
i góc
ABC
) do
đ
ó
BN BM
=
Khi
đ
ó :
BN BM
=
, l
ạ
i có
IN IM
=
nên
IB
là trung tr
ự
c c
ủ
a
MN
Ph
ươ
ng trình
IB
là:
(
)
(
)
2
1 1; 25 1; 5
x B t t B
=⇒ ⇒ =⇒−
.
Đ
i
ể
m
C
đố
i x
ứ
ng v
ớ
i
B
qua
AM
nên
19 7
;
5 5
C
− −
Đáp số:
( ) ( )
19 7
4;4 ; 1; 5 ; ;
5 5
A B C
− − −
là các
đ
i
ể
m c
ầ
n tìm.
Ví dụ 8. [Tham khảo]:
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
2
4
2 5 4 2 2 3
3 6 5 2 1 2 2 2 2 1 0
+ + = + + +
− − − − + − − − =
x x y y x
y x x x x
Lời giải
Đ
K:
2 3 0; 2
y x x
+ + ≥ ≥
Xét ph
ươ
ng trình (1) ta có
2
2 5 4 2 2 3
x x y y x
+ + = + + +
( )
( ) ( )
2
2 2
0
2 1 2 2 3 0
1
1 2 0 1
2 2 3
x y x y x
x y y x
x y x
>
⇔ + − + + − + + =
⇔ + − + =
⇒
= +
+ + + +

Thay
( )
2
1
y x
= +
vào ph
ươ
ng trình (2) ta có
4
3 6 5 2 1 2 2 2 2 1 0
y x x x x
− − − − + − − − =
( )
( ) ( )
( )
24
2
2
1 3 6 5 2 1 2 2 2 2 1 0
2 5 2 2 2 2 1 5 2 1 2 1
x x x x x
x x x x x x
⇔ + − − − + + − − − =
⇔ − + − + − = − + − + −