Ọ Ề

I. LÍ DO CH N Đ  TÀI

ề ấ ẳ ệ ặ

ứ ề ọ ể ườ ằ ấ ỉ ộ ấ ng THPT trong t nh, ọ t là h c sinh  có th  nói r ng bài toán b t

ộ ể c quan tâm đ n nhi u các k  thi h c sinh gi i, tuy n sinh Đ i

ế ệ ơ ữ ề ở ớ ượ ặ ọ ề ướ ộ B t đ ng th c là m t v n đ  khó trong toán h c, đ c bi ố ớ THPT. Đ i v i nhi u tr ứ ằ đ ng th c nói chung và bài toán tìm GTNN, GTLN nói riêng là m t trong nh÷ng  bài toán đ ọ h c,…và đ c bi ỏ ỳ ạ ủ ng ra đ  chung c a B  GD – ĐT. t h n n a là v i xu h

ỉ ể ọ

ố ớ ườ ứ ợ ọ ươ ậ

ẳ ọ ớ

ượ

ọ ỏ ứ t chuyên đ  "

ữ ấ

Ấ ấ ẳ ấ

ụ

ư ở ữ ầ          Riêng đ i v i tr ng THPT DTNT T nh đ  h c sinh không s  h c ph n  ộ ấ ấ ề ố ớ ng pháp  b t  đ ng th c đã là m t v n đ  đ i v i giáo viên .Vì v y tìm ra ph ứ ơ ề ấ ẳ ữ ứ giúp h c sinh không nh ng có h ng thú v i các bài toán v  b t đ ng th c đ n  ỳ ạ ể ả ấ ẳ  k  thi tuy n sinh Đ i  gi n mà còn   làm đ c các bài b t đ ng th c trong các ề B T Đ NG TH C AG­MG  ỳ ọ ế i, tôi vi h c, các k  thi h c sinh gi Ứ Ẳ ứ ổ ể ộ t trong nh ng b t đ ng th c c  đi n nh t ,  ' m  Ụ Ậ VÀ CÁC BÀI T P ÁP D NG' ễ ứ ỉ ở ữ  bài toán  ề d  ch ng minh nh ng cũng có nhi u áp d ng nh t không ch    nh ng ả ơ  nh ng bài toán khó . đ n gi n  mà còn

ớ ạ ự ứ ướ ầ ằ ộ c th c tr ng trên, v i tinh th n yêu thích b  môn, nh m giúp

ứ

ơ ậ ứ ạ ọ

ở ạ ́ ́ ọ ̉ ̣ ự ọ ự  h c, t

́ ́ ̀ ỉ ̉ ̣ ̣ ̉

ế ề ̣ ̣ Đ ng tr ề ạ các em h ng thú h n, t o cho các em ni m đam mê, yêu thích môn toán, m  ra  ế ạ ậ ụ ộ m t cách nhìn nh n, v n d ng, linh ho t, sáng t o các ki n th c đã h c, t o  ̃ ượ ự ơ ứ ề  nghiên c u. Đ c s  đông viên, giup đ   n n  tang cho cac h c sinh t ̀ ươ cua Ban Giam hiêu, đông nghiêp trong tô Toan tr ng THPT DTNT T nh . Tôi  đã  manh dan vi t chuyên đ  này.

ƯỚ

Ự

Ệ

Ả

Ề

Ạ

Ự

C KHI TH C HI N CÁC GI

Ủ I PHÁP C A Đ  TÀI

II.TH C TR NG TR              1. Thu n l

ậ ợ i ứ ế ượ ọ ậ ượ ­   Ki n th c đã đ c h c, các bài t p đã đ ệ ậ c luy n t p .

ọ ế ọ ượ ạ ả ứ ­  H c sinh h ng thú trong ti t h c, phát huy đ c kh  năng sáng t o, t ự

́ ̣ ọ h c và yêu thich môn hoc.

ệ ừ ế ả ọ ậ ủ ọ ự ệ ự ­  Có s  khích l k t qu  h c t p c a h c sinh khi th c hi n chuyên t

đ . ề

ượ ự ộ ậ ượ ộ ủ

­ Đ c s  đ ng viên c a BGH, nh n đ

ế   c đ ng viên và đóng góp ý ki n

ả ồ ệ cu  đ ng nghi p.

2. Khó khăn

1

́ ́ ấ ằ ứ ọ ợ ọ ở ̣ ­  Đa sô hoc sinh h c yêu ph n ầ b t đ ng th c. Có t ầ   ư ư ng s  h c ph n t

này.

ể ạ ấ ờ ­ Gi áo viên m t nhiêu th i gian đ  so n bài

ố ệ ố 3. S  li u th ng kê

ướ ấ ằ ặ Trong các năm tr c, khi g p bài toán liên quan đ n ế b t đ ng th c, ứ s  l ố ượ   ng

ế ậ ụ ượ ể ệ ả ọ h c sinh bi t v n d ng đ c th  hi n qua b ng sau:

ế t, t và

bi tế ậ Nh n bi ư nh ng không  ậ ụ ế t  v n d ng bi c

Không  nh nậ   đ cượ ế ậ Nh n bi t và  ế ậ ụ   t v n d ng bi ả ượ , gi i đ bài hoàn ch nhỉ

ế ậ Nh n bi ế ậ t v n  bi ư ụ d ng ,ch a  ả ượ c  i đ gi hoàn ch nhỉ

4 9,9 1 1.1 ố ượ S  l ỉ ệ T  l ng  ( %) 44 66,7 8 22,2

Ộ        III.  N I DUNG

ậ ố ươ ng a, b. Ta có:   . ấ ả ỉ ơ ở       1.C  s  lý lu n 1. Cho hai s  d                             D u “ = “ x y ra khi và ch  khi  a = b.

ố ươ 2. Cho ba s  d ng a, b, c . Ta có :   .

ớ ng a, b. Ta có :

ấ ỉ ố ươ 3. V i hai s  d                                                                                                        . ả                              D u  “ = “ x y ra khi và ch  khi  a = b.

ổ

4. T ng quát: Cho  và . Khi đó :  v i .ớ

2

̣ 2 . Nôi dung

ọ ố ự ứ ằ ớ

BÀI T P 1Ậ :   Ch ng minh r ng v i m i s  th c không âm a, b, c. Ta có:                                       .

iả :

ụ ứ ấ ẳ ố

ấ ả ỉ Gi        Ap d ng b t đ ng th c AM – GM  cho ba s  a, b, c . Ta có:                                                    .                                                          D u “ =” x y ra khi và ch  khi a=b=c.

ổ

ả ỉ T ng quát:     ; .                              ấ                      D u  “ = “ x y ra khi và ch  khi .

ọ ố ự ứ ằ ớ

BÀI T P 2Ậ :    Ch ng minh r ng v i m i s  th c không âm a, b, c. Ta có:                                 .

ả ấ ỉ i:ả Gi    Ta có:                                                                  .                                   .                                     D u “ =” x y ra khi và ch  khi a=b=c.

ọ ố ự ứ ằ ớ

BÀI T P 3Ậ :   Ch ng minh r ng v i m i s  th c không âm a, b, c , d . Ta có:                                .

i:ả

Gi ặ             Đ t: S = .

3

ấ ẳ ứ ụ

M=.                                        N= .           Ta có :               M+N=4.    Áp d ng b t đ ng th c AM­GM thì:                               M+S= .

ấ ả ỉ N+S=  .                               M+N+2S8 S2.                                     D u “ =” x y ra khi và ch  khi a=b=c = d.

Cho   (1)

BÀI T P 4:Ậ Gi

iả

ố ươ ứ ỏ ng th a mãn xyz=1, ch ng minh:

BÀI T P 5Ậ  :    Cho x, y, z là các s  d

.

i:ả

ấ ẳ ử ụ ố Gi ứ            S  d ng b t đ ng th c AM – GM cho ba s . Ta có:

.

ươ ự T ng t , ta có:

.

ấ ả ỉ D u “ =” x y ra khi và ch  khi x=y=z.

ứ ọ ớ ằ BÀI T P 6Ậ :    Ch ng minh r ng : V i m i a, b, c >0, ta có:

4

i:ả

ự ế ấ ẳ ứ ụ ế Gi             Áp d ng tr c ti p b t đ ng th c AM – GM cho v  trái:

. ặ M t khác:                             .

=.

ả ấ ỉ = .        D u “ =” x y ra khi và ch  khi a=b=c .

ầ ượ ủ ố ớ ạ t là s  đo 3 c nh c a tam

BÀI T P 7Ậ :  Cho tam giác ABC v i a,b,c l n l giác.CMR   a)  .     b)

iả

ấ ẳ ứ ta có:

ấ ẳ ứ ta có: Gi a) Áp d ngụ  b t đ ng th c AM – GM     b) Áp d ng ụ b t đ ng th c AM – GM

(cid:222)

ấ ề ả ả ỉ

ủ ữ D u “ = ” x y ra cho c   a) và b) khi và ch  khi  đ u : a = b = c ( p là n a chu vi c a  ABC: )

ấ ủ ỏ ị ố  BÀI T P 8Ậ  : Cho . Tìm giá tr  nh  nh t c a hàm s :

;          x>0 Phân tích:                    .

5

.

i:ả

Gi          Ta có:                     .

ế ộ  là hàm m t bi n và .

ấ ủ ậ ỏ ố ị V y giá tr  nh  nh t c a hàm s  là: .

ứ ằ ớ ọ

BÀI T P 9Ậ : Ch ng minh r ng : V i m i x, y, z >0, ta có:

.

i:ả

Gi             Ta có: .

ấ ỉ ả                        D u “ =” x y ra khi và ch  khi x=y=z.

ứ ằ ọ ớ : Ch ng minh r ng : V i m i a, b, c, d >0, ta có:

BÀI T P 10Ậ                                                .

i:ả

Gi                Ta có: VT =

.

.

ấ ỉ ả                              D u “ =” x y ra khi và ch  khi a=b=c =d.

6

ố ươ ứ ề ệ ỏ ng a, b, c th a mãn đi u ki n: a+b+c=3. Ch ng : Cho ba s  d

BÀI T P 11Ậ minh:                               .

ự ế ấ ẳ ử ụ ứ Phân tích: ế            N u ta s  d ng tr c ti p b t đ ng th c AM – GM thì:

ể ?                               Nên không th  dùng cách này.

i:ả

Gi          Ta có:

ấ ả ỉ Vì : .                D u “ =” x y ra khi và ch  khi a=b=c =1.

ứ ằ

BÀI T P 12Ậ

:  Ch ng minh r ng  :

iả

ư ế ổ Gi Ta bi n đ i BĐT nh  sau:

(cid:219)

(cid:219)

(cid:219)

(cid:219)

(cid:219)

ố ươ ỏ

BÀI T P 13Ậ

ng th a mãn: a+b+c+d=4. : Cho a, b, c, d là các s  d

ứ ằ Ch ng minh r ng :

i:ả

Gi        Ta có:       .

ươ ự T ng t : VT.

7

ả ấ ỉ D u “ =” x y ra khi và ch  khi a=b=c =d=1.

ố ố ươ ỏ :      Cho a, b, c, d là b n s  d ng th a mãn : a+b+c+d=4.

ằ

BÀI T P 14Ậ ứ Ch ng minh r ng :                .

iả :

Gi             Ta có:                                  VT

:        Cho     Tìm GTNN c a ủ

BÀI T P 15Ậ Gi

iả

ậ

ặ ấ ả M t khác . V y  D u “=” x y ra .

Ụ

VI. B ÀI T  P ÁP D  NG  Ậ

ứ ằ

ứ ằ Bài1: .  Ch ng minh r ng  :    Bài 2: Ch ng minh r ng  :

ỏ ng th a mãn .

ứ ằ ằ :  ứ Bài 3: . Ch ng minh r ng ố ươ Bài 4:  Cho  là các s  d Ch ng minh r ng:

ớ ầ ượ ạ ố ủ t là s  đo 3 c nh c a tam giác.CMR

Bài 5: Cho tam giác ABC v i a,b,c l n l

ớ ầ ượ ủ ố ạ t là s  đo 3 c nh c a tam

Bài 6 . : Cho tam giác ABC v i a,b,c l n l giác.CMR

Bài 7.   Cho:

Ủ

Ế      V. K T Q A

8

ượ ự ệ ạ ạ ả ̀ Chuyên đê này đã đ c th c hi n gi ng d y khi tôi tham gia d y 10NC và

̀ ̀ ọ ̣ ̣ ̣ Luyên thi Đai hoc trong hai năm gân đây. Trong quá trình h c chuyên đê này,

ự ự ấ ự ế ậ ụ ặ ọ h c sinh th c s  th y t tin, bi ạ   t v n d ng  khi g p các bài toán liên quan, t o

ề ọ ở ọ cho h c sinh ni m đam mê, yêu thích môn toán, m  ra cho h c sinh cách nhìn

ứ ụ ế ề ạ ậ ậ ạ ọ ạ ̉ nh n, v n d ng, linh ho t, sáng t o các ki n th c đã h c, t o n n   tang cho

ứ ọ h c sinh t ự ọ ự  h c, t nghiên c u.

ệ ế ả ề ự K t qu  sau khi th c hi n chuyên đ :

ế t, t và t và

bi tế ậ Nh n bi ư nh ng không  ậ ụ ế t  v n d ng bi c bài

Không  nh nậ   đ cượ ậ ế Nh n bi ế ậ ụ bi t v n d ng ,  ả ượ i đ gi hoàn ch nhỉ

ế ậ Nh n bi ế ậ t v n  bi ư ụ d ng ,ch a  ả ượ gi i đ c hoàn ch nhỉ

ố ượ S  l ỉ ệ T  l ng  ( %) 4 7.1 10 17,5 22 38,6 21 36,8

Ả

Ớ I PHÁP M I

VI. GI

ấ ̣ Dang toán ấ ẳ trong b t đ ng th c ỗ   ứ  nói chung r t đa d ng và phong phú. M i ạ

ạ ấ ả ọ ử ụ ệ ự bài toán l ề i có r t nhi u cách gi ạ   i khác nhau, vi c l a ch n s  d ng linh ho t

ọ ẽ ể ư ứ ế ọ các ki n th c đã h c s  làm cho h c sinh phát tri n t ạ  duy sáng t o. Chuyên đ ề

ấ ợ ớ ọ ở ỉ ấ này ch  mang tính ch t g i m  cung c p cho h c sinh cách nhìn m i, phát huy

̀ ́ ạ ầ ọ ̉ ̣ ̉ ̣ ̣ ề   ự s  sáng t o. Đê đat kêt qua cao  h c sinh c n  luyên tâp nhiêu, có thêm nhi u

ể ư ầ ệ ả ờ th i gian đ  s u t m các tài li u tham kh o liên quan.

Ự

Ả

Ạ

Ễ

VII. TH C TI N GI NG D Y

1. Quá trình áp d ngụ

9

ể ằ ộ ố ế ộ ố ệ ả ạ B ng m t chút v n hi u bi t và kinh nghi m gi ng d y m t s  năm, tôi

ượ ộ ố ế ư ầ ứ ượ ệ ố đã h  th ng đ c m t s  ki n th c liên quan, s u t m và tích lũy đ c m t s ộ ố

ứ ộ ừ ễ ế ả ự ả ể ậ ợ ọ bài t p phù h p theo m c đ  t d  đ n khó đ  cho h c sinh tham kh o t gi i.

ử ụ ệ ả 2. Hi u qu  sau khi s  d ng

ấ ự ề ọ ọ ọ ơ Sau khi h c sinh h c xong chuyên đ  này h c sinh th y t ứ    tin h n, h ng

ề ạ ơ ở ộ ̣ thú h n, t o cho hoc sinh ni m đam mê, yêu thích môn toán, m  ra m t cách

ứ ụ ế ề ậ ậ ạ ạ ọ ̉ ạ nhìn nh n, v n d ng, linh ho t, sáng t o các ki n th c đã h c, t o n n tang

ự ọ ự ứ ọ cho h c sinh t ̀  h c  va t nghiên c u.

ọ ệ 3. Bài h c kinh nghi m

ừ ự ế ả ề ệ

́ ượ ậ ụ ế

ướ ạ ạ ả ắ ừ ề ở ộ

ắ ớ ạ ́ ớ ố ượ ế ằ ọ ng h c sinh nh m b i d

ế ọ ộ T  th c t c rút ra là  gi ng d y chuyên đ  này, m t kinh nghi m đ   ứ ơ ả ế ọ tr   c h t h c sinh ph i n m ch c các ki n th c c  b n, biêt v n d ng linh ứ ắ   ế  đó m i d y các chuyên đ  m  r ng, nâng cao, kh c ho t các ki n th c này, t ồ ưỡ   ợ ộ ứ ng sâu ki n th c m t cách h p ly v i các đ i t ỹ năng khi u, rèn k  năng cho h c sinh.

ậ ừ ơ ừ ả

ủ ế Chuyên đ  này ch  y u đ a ra các bài t p t ươ ế  đ n gi n đ n nâng cao t ạ ề ỹ ả ả

ư ng pháp gi ể đó   ấ   i. Do đó khi gi ng d y ph i cung c p ể ư ề ạ ậ hình thành k  năng, ph nhi u d ng bài t p khác nhau đ  phát tri n t ả ̉ ọ  duy  cua h c sinh.

Ậ

ổ

ư ượ ấ ẳ ả ph  thông  ả ề c nó không ph i là đi u đ n gi n. Có nh ng bài ta ph i

ứ ấ ơ ọ ượ ệ ố ư ữ ả ạ ả c h  s  nh ng có nh ng bài l ả i ph i

c.ượ

ấ ẳ ộ ố ụ ứ

ế ạ

ư ượ ổ ạ ế ệ ấ ầ ấ ệ ư ầ i. Tuy nhiên, do th i gian có h n nên vi c s u t m, t ng  c th y giáo và các b n

ả ơ

Ế        VII. K T LU N    ộ ở ứ ấ ẳ            B t đ ng th c AM – GM là b t đ ng th c r t quen thu c  ữ ể ử ụ nh ng đ  s  d ng đ dùng AM – GM xuôi và ph i ch n đ dùng ng          Trên đây là m t s  bài toán áp d ng b t đ ng th c AM – GM mà tôi th y  ạ ờ ắ hay và đã s p x p l ượ ắ ợ c hoàn thi n. R t mong đ h p và s p x p ch a đ ệ ồ đ ng nghi p ghóp ý.                        Tôi xin chân thành c m  n!

Ả

Ệ

IX. TÀI LI U THAM KH O:

10

ị ứ ụ ễ ả ấ ả   ậ : Nguy n Văn M u. Nhà xu t b n

̣

̀ ̣ ̉ ̉ ̣

ạ ố ớ ́ ứ ủ ụ ầ ấ ẳ 1. B t đ ng th c, đ nh lý và áp d ng. Tác gi Giaó D c.ụ ̀ 2. Bai tâp đ i s  l p 10. ́ 3. Cac dang Toan LT ĐH cua Phan Huy Khai­ NXB Ha Nôi năm 2002 ạ ấ ẳ 4. B t đ ng th c c a Tr n Văn H o­NXB Giáo D c năm 2009

Thanh Hóa, ngày 09 tháng 05 năm 2015

ự ệ ườ Ng i th c hi n

T Thạ

Thị

úy Chinh

Ụ Ụ M C L C

ụ ụ M c L c

S  TTố 1 Trang 1

11

Ề Ọ I. LÍ DO CH N Đ  TÀI

Ự Ệ Ự C KHI TH C HI N CÁC 2 1

Ả II. TH C TR NG TR Ề GI Ạ ƯỚ Ủ I PHÁP C A Đ  TÀI

3 2

Ộ III. N I DUNG

4 10

Ụ Ậ IV. B ÀI T  P ÁP D  NG

5 11

Ủ Ế V. K T Q A

6 11 Ả VI. GI Ớ I PHÁP M I

7 12

Ự Ả Ạ Ễ VII. TH C TI N GI NG D Y

8 13

Ế VIII. K T LU N Ậ

9 13

Ả Ệ IV. TÀI LI U THAM KH O:

12

13