B t đng th c Cauchy và m t s ng d ngấ ẳ ứ ộ ố ứ ụ
M C L CỤ Ụ
N i dungộTrang
M đuở ầ 2
Ch ng 1: C s lý lu nươ ơ ở ậ 3
1. B t đng th c Cauchyấ ẳ ứ 3
2 . H qu ệ ả b t đng th c Cauchyấ ẳ ứ 3
Ch ng 2: M t s ng d ng c a b t đng th c Cauchy ươ ộ ố ứ ụ ủ ấ ẳ ứ 4
I. ng d ng b t đng th c Cauchy vào ch ng minh b t đng th cỨ ụ ấ ẳ ứ ứ ấ ẳ ứ 4
II. ng d ng b t đng th c Cauchy vào gi i ph ng trình, b t ph ngỨ ụ ấ ẳ ứ ả ươ ấ ươ
trình
8
III. ng d ng b t đng th c Cauchy vào tìm GTLN- GTNNỨ ụ ấ ẳ ứ 13
1. K thu t ch n đi m r i trong b t đng th c Cauchyỹ ậ ọ ể ơ ấ ẳ ứ 13
2. ng d ng vào tìm GTLN- GTNNỨ ụ 17
IV. ng d ng b t đng th c Cauchy vào ch ng minh tính ch t nghi mỨ ụ ấ ẳ ứ ứ ấ ệ 20
K t lu nế ậ 21
Tài li u tham kh oệ ả 22
M ĐUỞ Ầ
Tr n Công Văn – Tr ng THPT Ti n Th nhầ ườ ế ị 1
B t đng th c Cauchy và m t s ng d ngấ ẳ ứ ộ ố ứ ụ
1- LÍ DO CH N Đ TÀI : Ọ Ề
B t đng th c là m t trong nh ng m ng ki n th c khó nh t c a toán h cấ ẳ ứ ộ ữ ả ế ứ ấ ủ ọ
ph thông mà h c sinh c n ph i n m đc, b i ng d ng c a b t đng th cổ ọ ầ ả ắ ượ ở ứ ụ ủ ấ ẳ ứ
xuyên su t ch ng trình toán h c THPT. Đc bi t ph i k đn m ng ng d ng ,ố ươ ọ ặ ệ ả ể ế ả ứ ụ
b i lí do đó nên tôi ch n đ tài : “ B t đng th c Cauchy và m t s ng d ng ’’.ở ọ ề ấ ẳ ứ ộ ố ứ ụ
Đ tài cũng giúp tôi hi u sâu h n v ph ng pháp d y bài t p b t đng th c choề ể ơ ề ươ ậ ậ ấ ẳ ứ
h c sinh.ọ
2- M C ĐÍCH NGHIÊN C U :Ụ Ứ
Đ cho h c sinh th y đc vai trò b t đng th c Cauchy trong gi i quy t bàiể ọ ấ ượ ấ ẳ ứ ả ế
toán. Yêu c u đt đn đi v i h c sinh là th y rõ, hi u và bi t cách v n d ngầ ạ ế ố ớ ọ ấ ể ế ậ ụ
b t đng th c Cauchy trong th c hành gi i toán.ấ ẳ ứ ự ả
3- ĐI T NG, PH M VI NGHIÊN C UỐ ƯỢ Ạ Ứ :
Đi t ng nghiên c u c a đ tài là v n d ng b t đng th c Cauchy vào gi iố ượ ứ ủ ề ậ ụ ấ ẳ ứ ả
quy t m t s bài toán liên quan trong các đ thi HSG và tuy n sinh ĐH.ế ộ ố ề ể
4- NHI M V NGHIÊN C U : Ệ Ụ Ứ
Đa ra nh ng c s lí lu n v b t đng th c Cauchy . T đó mô t phân tíchư ữ ơ ở ậ ề ấ ẳ ứ ừ ả
đ tìm ra bi n pháp d y cho h c sinh cách v n d ng vào gi i toán.ể ệ ậ ọ ậ ụ ả
5- CÁC PH NG PHÁP NGHIÊN C U CHÍNH : ƯƠ Ứ
V i n n t ng c s lí lu n v ph ng pháp d y toán h c , thì đòi h i ph ngớ ề ả ơ ở ậ ề ươ ạ ọ ỏ ươ
pháp phân tích s n ph m , t ng k t kinh nghi m đ út ra đc lí thuy t choả ẩ ổ ế ệ ể ượ ế
chính b n thân ng i d y.ả ườ ạ
6- K T C U C A Đ TÀI : Ế Ấ Ủ Ề
Đ tài g m 2 ch ng :ề ồ ươ
Ch ng 1 :ươ C s lí lu n .ơ ở ậ
Ch ng 2 :ươ M t s ng d ng c a b t đng th c Cauchy.ộ ố ứ ụ ủ ấ ẳ ứ
Tr n Công Văn – Tr ng THPT Ti n Th nhầ ườ ế ị 2
B t đng th c Cauchy và m t s ng d ngấ ẳ ứ ộ ố ứ ụ
Ch ng 1 : C s lí lu n ươ ơ ở ậ
1.B T ĐNG TH C CAUCHYẤ Ẳ Ứ
Cho
, 1,
+
=�ﾡ
i
a i n
.Ta có :
11
==
n
n
i i
ii
a n a
,
{ }
\ 0,1ﾡn
(1)
D u ấ
'' ''=
x y ra ả
1 2
... .= = =�
n
a a a
CM
V i ớ
2=n
ta có :
1 2 1 2
2+ a a a a
( luôn đúng).
Gi s (1) đúng v i ả ử ớ
=n k
, t c là :ứ
11
1
==
� �
� �
� �
kk
k
k i
ii
a a
k
.Ta ch ng minh (1)ứ
cũng đúng v i ớ
. Th t v y , gi sậ ậ ả ử
1 2 1 1
1
1
...
+ + =
����
k
k k k i
i
a a a a a a
k
Đt ặ
1
1
=
=
k
i
i
x a
k
,
1
,( 0)
+
= +
k
a x y y
.
Vì
1
1
1 1
1 1
.
1 1 1 1 1
k k
k
i i
i i
k a k x y
a a x
k k k k k k
++
= =
+
= + = +
+ + + + +
� �
1
1
� �
= +
� �
+
� �
x y
k
Do đó :
11
1
1
1
1 1 1
1 1 1
++
++
=
+
� � � �
= + +
� �
� �
+ + +
� �
� �
kk
k
k k
i
i
k
a x y x x y
k k k
( )
+
k
x x y
1
1
+
=
k
i
i
a
(đúng).
D u ấ
'' ''=
x y ra ả
1 2
... .= = =�
n
a a a
V y theo nguyên lý quy n p toán h c b t đng th c (1) đúng ậ ạ ọ ấ ẳ ứ
{ }
\ 0,1∀ ﾡn
.
V i ớ
1=n
thì hi n nhiên b t đng th c (1) đúng.ể ấ ẳ ứ
2. H QU B T ĐNG TH C CAUCHYỆ Ả Ấ Ẳ Ứ
+ H qu 1:ệ ả
Tr n Công Văn – Tr ng THPT Ti n Th nhầ ườ ế ị 3
B t đng th c Cauchy và m t s ng d ngấ ẳ ứ ộ ố ứ ụ
N u ế
( )
1
ons
n
i
i
a S c t
==
thì
( )
1
ax
n
n
i
i
S
M a n
=
� �
=� �
� �
x y raả
1 2
... .= = =�
n
a a a
+ H qu 2: ệ ả
N u ế
( )
1
ons
n
i
i
a P c t
==
thì
( )
1
n
n
i
i
Min a n P
==
x y ra ả
1 2
... .= = =�
n
a a a
Ch ng 2 :ươ M t s ng d ng c a b t đng th c Cauchy.ộ ố ứ ụ ủ ấ ẳ ứ
I. NG D NG BĐT CAUCHY VÀO CH NG MINH BĐTỨ Ụ Ứ
Bài toán 1 (BĐT Bernoulli)
Cho
, 1,
α
+
−γ ﾡ x
khi đó :
1
α
, ta có:
( )
1 1
α
α
+ +x x
(2). D u ấ
'' ''=
x y ra ả
1
α
=�
ho cặ
0=x
.
0 1
α
<
, ta có :
( )
1 1
α
α
+ +x x
(3). D u ấ
'' ''=
x y ra ả
0
α
=�
ho cặ
1=x
.
CM
1
α
. Tr c h t ta ch ng minh ướ ế ứ
α
+
ﾡ
+ V i ớ
1=
α
thì bđt (2) hi n nhiên đúng .ể
+ V i ớ
1
α
>
, đt ặ
( )
, , 1, .
α
= = >
nn m n m
m
Khi đó ta có :
( ) ( )
1 1 ... 1 1
α α
−
+ + + + +
142 43
m
n
n m
m x n x
( ) ( ) ( )
11
αα
+ + −
� � +۳� �
� �
n
m
m x n m x
n
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1
α α
+ + + +� � � �
n
n m m
x x x x
( ) ( )
1 1 .
α
α
+ +� �x x
D u ấ
'' ''
=
x y ra ả
+ V i ớ
α
+
I
, gi s ả ử
α
là s vô t tùy ý . Khi đó vì ố ỷ
ﾡ
là t p trù m t trongậ ậ
ﾡ
nên t n t i dãy s h u t ồ ạ ố ữ ỷ
( )
1
, 1
α α
=
>
n n
n
mà
lim
α α
=
n
x
.
V i m i n , ta có : ớ ọ
( )
1 1 .
αα
+ +
n
n
x x
chuy n qua gi i h n ta có : ể ớ ạ
( ) ( )
lim 1 lim 1
αα
+ +
n
n
x x
x x
hay
( )
1 1 .
αα
+ +x x
Nh v y BĐT (2) ư ậ
đc ch ng minh tr n v n.ượ ứ ọ ẹ
0 1,
α α
+
< ﾡ
+ V i ớ
0=
α
, thì bđt (3) hi n nhiên đúng.ể
Tr n Công Văn – Tr ng THPT Ti n Th nhầ ườ ế ị 4
B t đng th c Cauchy và m t s ng d ngấ ẳ ứ ộ ố ứ ụ
+ V i ớ
0 1
α
< <
, đt ặ
( )
( )
*
, , 1, , , .
α
+
= = < ﾡ
mn m m n m n
n
Ta có :
( ) ( ) ( )
1 1+ + − + m
n
m x n m n x
( )
1
+
� � +۳� �
� �
n
m
mx n x
n
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1 1
α
α α α
+ + + + + +� � � � � �
m
n m n
x x x x x x
D u ấ
'' ''=
x y ra ả
Gi s ả ử
α
là s vô t tùy ý , vì ố ỷ
ﾡ
trù m t trong ậ
ﾡ
nên
( )
1
α
=
∃
nn
h u t ,ữ ỷ
0 1
α
< <
n
mà
lim
α α
=
n
x
.
*
+
∀ ﾡn
ta có :
( )
1 1
αα
+ +
n
n
x x
. Chuy n qua gi i h n , thì đc : ể ớ ạ ượ
( )
lim 1 lim(1 )
αα
+ +
n
n
x x
x x
hay
( )
1 1 .
αα
+ +x x
Nh v y bđt (3) đc ch ng minh hoàn toàn.ư ậ ượ ứ
Bài toán 2 : Cho
( )
*
, 0, 1, , , .
+
=γ�ﾡ ﾡ
i i
a a i k n k
Ta có :
1 1
1 1
= =
� �
� �
� �
� � n
k k
n
i i
i i
a a
k k
(4) . D u ấ
'' ''=
x y ra ả
1 2 ... .= = =�k
a a a
CM
Đt ặ
1
1
=
=k
i
i
S a
k
1=k
, thì BĐT (4) hi n nhiên đúng.ể
1>k
, áp d ng BĐT cauchy cho 1 s ụ ố
n
i
a
và
( )
1−n
s ố
n
S
ta đc :ượ
( )
1
1 . ,
−
+ − ∀
n n n
i i
a n S nS a i
Do đó :
( )
1
1 1
1−
= =
+ − =
� �
k k
n n n n
i i
i i
a k n S nS a knS
1=
۳kn n
i
i
a kS
.
1 1
1 1
= =
� �
=۳� �
� �
� � n
k k
n n
i i
i i
a S a
k k
. D uấ
'' ''=
x y ra ả
1 2 ... .= = =�k
a a a
( đpcm) .
Chú ý : + Ta có th ch ng minh BĐT (4) nh BĐT Bernoulli nh sau :ể ứ ờ ư
Đt ặ
1
1
=
=k
i
i
S a
k
. Khi đó : (4)
i
1
ka
=
� �
� �
� �
n
k
i
kS
.
i∀
, ta có :
1 1
− −
� � � �
= + +
� � � �
� � � �
n n
i i i
ka ka S ka S
n
S S S
Tr n Công Văn – Tr ng THPT Ti n Th nhầ ườ ế ị 5