zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Sáng kiến kinh nghiệm

Sáng kiến kinh nghiệm: Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng

Chia sẻ: Hòa Phát | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:23

Báo xấu

51
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của sáng kiến kinh nghiệm này nhằm giúp học sinh thấy được vai trò bất đẳng thức Cauchy trong giải quyết bài toán. Yêu cầu đạt đến đối với học sinh là thấy rõ, hiểu và biết cách vận dụng bất đẳng thức Cauchy trong thực hành giải toán.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm: Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng

Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng MỤC LỤC Nội dung Trang Mở đầu 2 Chương 1: Cơ sở lý luận 3 1. Bất đẳng thức Cauchy 3 2 . Hệ quả bất đẳng thức Cauchy 3 Chương 2: Một số ứng dụng của bất đẳng thức Cauchy 4 I. Ứng dụng bất đẳng thức Cauchy vào chứng minh bất đẳng thức 4 II. Ứng dụng bất đẳng thức Cauchy vào giải phương trình, bất phương 8 trình III. Ứng dụng bất đẳng thức Cauchy vào tìm GTLN GTNN 13 1. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cauchy 13 2. Ứng dụng vào tìm GTLN GTNN 17 IV. Ứng dụng bất đẳng thức Cauchy vào chứng minh tính chất nghiệm 20 Kết luận 21 Tài liệu tham khảo 22 MỞ ĐẦU 1 Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh
Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng 1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI : Bất đẳng thức là một trong những mảng kiến thức khó nhất của toán học phổ thông mà học sinh cần phải nắm được, bởi ứng dụng của bất đẳng thức xuyên suốt chương trình toán học THPT. Đặc biệt phải kể đến mảng ứng dụng , bởi lí do đó nên tôi chọn đề tài : “ Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng ’’. Đề tài cũng giúp tôi hiểu sâu hơn về phương pháp dậy bài tập bất đẳng thức cho học sinh. 2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU : Để cho học sinh thấy được vai trò bất đẳng thức Cauchy trong giải quyết bài toán. Yêu cầu đạt đến đối với học sinh là thấy rõ, hiểu và biết cách vận dụng bất đẳng thức Cauchy trong thực hành giải toán. 3 ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU : Đối tượng nghiên cứu của đề tài là vận dụng bất đẳng thức Cauchy vào giải quyết một số bài toán liên quan trong các đề thi HSG và tuyển sinh ĐH. 4 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU : Đưa ra những cơ sở lí luận về bất đẳng thức Cauchy . Từ đó mô tả phân tích để tìm ra biện pháp dậy cho học sinh cách vận dụng vào giải toán. 5 CÁC PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU CHÍNH : Với nền tảng cơ sở lí luận về phương pháp dạy toán học , thì đòi hỏi phương pháp phân tích sản phẩm , tổng kết kinh nghiệm để út ra được lí thuyết cho chính bản thân người dạy. 6 KẾT CẤU CỦA ĐỀ TÀI : Đề tài gồm 2 chương : Chương 1 : Cơ sở lí luận . Chương 2 : Một số ứng dụng của bất đẳng thức Cauchy. 2 Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh
Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng Chương 1 : Cơ sở lí luận 1.BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY n n Cho ai �ﾡ + , i = 1, n .Ta có : ai n ai , n ﾡ \ { 0,1} (1) i =1 i =1 Dấu '' = '' xảy ra � a1 = a2 = ... = an . CM Với n = 2 ta có : a1 + a2 2 a1a2 ( luôn đúng). k �1 k � k Giả sử (1) đúng với n = k , tức là : � ak � ai .Ta chứng minh (1) k � i =1 � i=1 cũng đúng với n = k + 1 . Thật vậy , giả sử 1 k a1 �� a2 ... ak ak +1 ak +1 ai k i=1 1 k Đặt x = ai , ak +1 = x + y,( y 0) . k i =1 1 k +1 k 1 k a k x+ y � 1 � Vì � k + 1 i =1 ai = . �ai + k +1 = k + 1 k i =1 k +1 k +1 x+ = �x + k +1 � k +1 � y� k +1 k +1 � 1 k +1 � � 1 � k +1 k Do đó : � ai � = �x + y� x k +1 + x y �k + 1 i=1 � � k + 1 � k +1 k +1 x ( x + y) k ai (đúng). i =1 Dấu '' = '' xảy ra � a1 = a2 = ... = an . Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học bất đẳng thức (1) đúng ∀n ﾡ \ { 0,1} . Với n = 1 thì hiển nhiên bất đẳng thức (1) đúng. 2. HỆ QUẢ BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY + Hệ quả 1: 3 Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh
Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng ( ) n Nếu ai = S( const ) thì Max n �S� n ai = � �xảy ra i =1 i =1 �n � � a1 = a2 = ... = an . + Hệ quả 2: ai = P ( const ) thì Min ( a) =n n n Nếu i n P xảy ra � a1 = a2 = ... = an . i =1 i =1 Chương 2 : Một số ứng dụng của bất đẳng thức Cauchy. I.ỨNG DỤNG BĐT CAUCHY VÀO CHỨNG MINH BĐT Bài toán 1 (BĐT Bernoulli) Cho α γ ﾡ + , x −1, khi đó : α 1 , ta có: ( 1 + x ) 1 + α x (2). Dấu '' = '' xảy ra � α = 1 hoặc α x = 0. 0 α < 1 , ta có : ( 1 + x ) α 1 + α x (3). Dấu '' = '' xảy ra � α = 0 hoặc x =1. CM α 1 . Trước hết ta chứng minh α ﾡ + + Với α = 1thì bđt (2) hiển nhiên đúng . n + Với α > 1 , đặt α = , ( n, m ) = 1, n > m. Khi đó ta có : m ( ) ( ) n m ( 1 + α x ) + 114+2 �m 1 + α x + n − m � 31 n ( 1 + α x ) ۳ � m + ... 4 n (1+ α x) m � n −m � n � n � ( x + 1) �( 1 + α x ) � ( 1 + x ) m �( 1 + α x ) � ( 1 + x ) �( 1 + α x. ) n m α Dấu '' = '' xảy ra � x = 0. + Với α I + , giả sử α là số vô tỷ tùy ý . Khi đó vì ﾡ là tập trù mật trong ﾡ nên tồn tại dãy số hữu tỷ ( α n ) n =1 ,α n > 1 mà lim α x n = α . Với mọi n , ta có : ( 1 + x ) αn 1 + α n x. chuyển qua giới hạn ta có : ( 1+ x) ( 1 + α n x ) hay ( 1 + x ) αn α lim x lim x 1 + α x. Như vậy BĐT (2) được chứng minh trọn vẹn. 0 α < 1, α ﾡ + + Với α = 0 , thì bđt (3) hiển nhiên đúng. 4 Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh
Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng m + Với 0 < α < 1 , đặt α = , ( n, m ) = 1, m < n, ( m, n ﾡ *+ ) . n n � mx + n � Ta có : m ( 1 + x ) + ( n − m ) n n (1+ x) ۳ � ( ) m + m � 1 x � n � m � ( 1 + α x ) n �( 1 + x ) m � ( 1 + x ) n �( 1 + α x ) � ( 1 + x ) α �1 + α x Dấu '' = '' xảy ra � x = 0. Giả sử α là số vô tỷ tùy ý , vì ﾡ trù mật trong ﾡ nên ∃ ( α n ) n=1 hữu tỷ , 0 < α n < 1 mà lim x α n = α . ﾡ *+ ta có : ( 1 + x ) αn ∀n 1 + α n x . Chuyển qua giới hạn , thì được : ( 1+ x) + α n x ) hay ( 1 + x ) αn α lim x lim(1 x 1 + α x. Như vậy bđt (3) được chứng minh hoàn toàn. Bài toán 2 : Cho ai γ=ﾡ � , ai 0, i 1, k , ( n, k ﾡ * + ) . Ta có : n 1 k n �1 k � �ai �� ai � (4) . Dấu '' = '' xảy ra � a1 = a2 = ... = ak . k i =1 �k i =1 � CM 1 k Đặt S = ai k i =1 k = 1 , thì BĐT (4) hiển nhiên đúng. k > 1 , áp dụng BĐT cauchy cho 1 số ai và ( n − 1) số S n ta được : n ai + ( n − 1) S nS n −1 .ai , ∀i n n k k k Do đó : �ai + k ( n − 1) S nS n−1 �ai = knS n ۳ ain kS n . n n i =1 i =1 i =1 n 1 k �1 � k ۳ � ain S n = � �ai �. Dấu '' = '' xảy ra � a1 = a2 = ... = ak . ( đpcm) . k i =1 �k i =1 � Chú ý : + Ta có thể chứng minh BĐT (4) nhờ BĐT Bernoulli như sau : n 1 k �ka i � k Đặt S = ai . Khi đó : (4) k � �. k i =1 i =1 �S � n n � kai � � kai − S � kai − S ∀i , ta có : � �= � 1+ � 1 + n �S � � S � S 5 Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh
Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng n n �ka � k �ks − ks � k �ka i � Do đó : �� i ��k+ ۳n � � �� k . i =1 �s � � s � i =1 �s � kai − S Dấu “ = ” xảy ra � = 0,(i = 1, k ) � a1 = a2 = ... = a k . S + Nếu thay điều kiện n ﾡ *+ bằng điều kiện n 1, n ﾡ thì cách chứng minh thứ 2 hợp lí hơn. + Các BĐT (2), (3) , (4) đều có thể chứng minh bằng đạo hàm. Bài toán 3: Cho x, y , z > 0 và m, n ﾡ * . Chứng minh rằng: xm ym zm n + n + n xm−n + ym−n + zm−n . Dấu “ = ” xảy ra � x = y = z. y z x CM Áp dụng BĐT CauChy cho ( m + mn + n ) số , ta có : 2 2 3 2 2 2 x ym 2 z 2 ( m + mn+ n ) x y z m m m m n mn m n + mn n + n n ( m + mn + n ) 2 2 2 2 2 3 y z x y z x nm nm n ( m + mn+n ) ( m2 + mn + n2 ) xm −n = ( m2 + mn + n2 ) xm−n 2 2 3 3 2 y zm 2 x m m Tương tự ta có : m n + mn n + n n ( m + mn + n ) y 2 2 m− n z x y 2 z x 2 y m m m và m n + mn n + n n ( m + mn + n ) z 2 2 m− n x y z Cộng vế với vế 3 bất đẳng thức trên và rút gọn ta được điều phải chứng minh. MỘT SỐ BÀI TOÁN TƯƠNG TỰ: k 1. Cho ai �ﾡ , ai > 0, i = 1, k , m n; k 2; m, n, k ﾡ * . Đặt S = ain . i =1 Chứng minh rằng : m −n k aim k k aim 1 k m −n k �1 n � �i =1 S − a � � a �� ai � . − − − i i n k 1 i =1 S k 1 i =1 k 1 �k i =1 � 2. Cho ai �ﾡ , ai > 0, i = 1, n, ∀k , l �ﾡ . Chứng minh rằng : �n ai � �n ai � n ai k l k +l n �� , trong đó S = ail . �i =1 n � �i =1 n � i =1 n i =1 3. Cho ai �ﾡ , i = 1, n, n �ﾡ *+ . Chứng minh rằng : 6 Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh
Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng m 1 n l � 1 n �� ai � �ai , ( m, l j ﾡ ) , trong đó l j = α (chẵn). m m � j l j=1 j * j =1 � n i =1 � n i=1 j =1 4. Cho xi �ﾡ , xi > 0, i = 1, k , k �2 . k , m, n �ﾡ * . Chứng minh rằng : k xin k � m �xi , trong đó xk +1 x1 . n −m i =1 x i =1 i +1 Chú ý : Với việc sử dụng hằng đẳng thức sau : m − n = ( m − n ) ( m + m n + ... + mn + n ) .Ta sẽ có một lời giải k k k −1 k−2 k −2 k −1 bằng BĐT Cauchy thật đẹp cho bài 4 . 5. Cho x, y , z > 0. Chứng minh rằng nếu k , m, n ﾡ *+ thỏa mãn điều kiện xm yn ym zn zm xn k 2 m.n , thì ta có : k + k + k x m + n −k + y m + n − k + z m + n −k . z x y II. ỨNG DỤNG BĐT CAUCHY VÀO GIẢI PT , BPT ,HPT, HBPT. 1. ỨNG DỤNG BĐT CAUCHY VÀO GIẢI PT, BPT. Ví dụ 1. Giải pt sau : x 3 − 3 x 2 − 8 x + 40 = 8 4 4 x + 4 . Lời giải Điều kiện 4x + 4 �۳0− x 1. Ta có : CS x 3 − 3 x 2 − 8 x + 40 = 8 4 4 x + 4 = 4 4 ( x + 1) 4.4.4 x +1+ 4 + 4 + 4 � ( x + 3) ( x − 3) �0 � x = 3. 2 Vậy x = 3 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho. Ví d ụ 2 . Giải phương trình sau : 5 27 x10 − 5 x 6 + 5 864 = 0 lời giải Do x = 0 không là nghiệm của pt , nên chia cả 2 vế cho 5 27x 6 ta được : 5 864 1 2 5 x4 − + 5 . = 0 � x 4 + = 5 27 27 x 6 x 6 5 27 3 2 5 x4 1 �x ��1 � 5 4 � 5 = 3. + 2. 6 �5 � �� 6 �= 5 5 27 3 x �3 ��x � 27 x 4 1 Dấu “ = ’’ xảy ra � = 6 � x10 = 3 � x = �10 3. 3 x Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 10 3. 7 Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh
Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng Ví dụ 3 . Tìm nghiệm x, y của bất phương trình sau : 2002 x+ 1 y 2002 x 1 y e 2003 2003 > e + e ( 1 ) 2003 2003 Lời giải 2002 1 Đặt a = , = b � a + b = 1 � b = 1 − a. Khi đó phương trình( 1) trở 2003 2003 thành : e ax + ( 1− a ) y > ae x + be y = ae x + ( 1 − a ) e y � e a( x − y ) > ae x − y + 1 − a ( 2 ) Giả sử ( x0 , y0 ) là nghiệm của BPT (2) , điều này cũng có nghĩa là nghiệm của BPT (1) Tức là : e a( x − y ) > ae x − y + 1 − a ( * ) 0 0 0 0 Mặt khác theo BĐT Bernoulli , ta lại có : ( ) ( � 1 + a e a ( x − y ) − 1 = ( 1 − a ) + ae x − y mâu thuẫn với ( *). ) a ea( x − y ) = � 0 0 �1 + e a( x − y ) − 1 � 0 0 0 0 0 0 Vậy BPT đã cho vô nghiệm. Ví dụ 4 . Chứng minh rằng các BPT sau không có nghiệm nguyên dương: a) x y + y x 1 ( 1 ) b) ( x + y ) + ( y + z ) + ( x + z ) z x y 2 ( 2 ) Lời giải a) Từ ( 1 ) suy ra 0 < x, y < 1 . Giả sử ( x0 , y0 ) là một nghiệm của BPT (1) , tức là : x0 + y0 1 (*) y x 0 0 Theo BĐT Bernoulli , ta có : x0 x0 x0 x0 x0 y0 = = = � 1 + ( 1 − y0 ) ( x0 − 1) x0 + y0 − x0 y0 1 + ( x0 − 1) � 1− y x01− y � � 0 0 x y0 Và y0 0 . x0 + y0 − x0 y0 x0 y0 x0 + y 0 Do đó : x0 + y0 + > 1 y x 0 0 x0 + y0 − x0 y0 x0 + y0 − x0 y0 x0 + y0 − x0 y0 Mâu thuẫn (*) suy ra điều giả sử là sai. Vậy BPT (1) vô nghiệm. b) làm tương tự ý a . 2.ỨNG DỤNG BĐT CAUCHY VÀO GIẢI HPT, HBPT Ví dụ 1. Giải hệ phương trình sau : 8 Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh
Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng 1 1 1 + + = 3 3 (1) x y z x + y + z = 1 (2) 7 xy + yz + zx = + 2 xyz (3) 27 Lời giải Điều kiện x, y, z > 0 1 1 1 1 1 Từ (1) � 3 3 = + + �3 3 ۳ xyz 3 3 xyz ۳ xyz (4) x y z xyz 27 1 Từ (2) � 1 = x + y + z �3 3 xyz xyz (5) 27 1 1 1 = = Dấu “ = ’’ ở (4) và (5) xảy ra đồng thời � x y z � x = y = z . x= y=z 1 Thay vào (1) � x = y = z = thoả mãn (3) . 3 1 Vậy HPT đã cho có nghiệm duy nhất là x = y = z = . 3 Nhận xét : Thay vì lý luận dấu “ = ’’ ở (4) và (5) xảy ra đồng thời , ta có thể làm như sau : 1 9 1 Từ (4) và (5) � xyz = (6) thế vào (3) ta được : xy + yz + zx = = (7) 27 27 3 Từ (2), (6),(7) và theo định lí Viét thì x, y,z là 3 nghiệm của phương trình sau : 3 1 1 � 1� 1 1 X − X + X − 3 2 = 0 � �X − �= 0 � X = � x = y = z = . 3 27 � 3� 3 3 Với cách làm ở trên thì phương trình (3) là không cần thiết . Ta cũng có thể trình bày lời giải bài toán trên theo cách sau : Vì vai trò x, y , z là như nhau. Không mất tính tổng quát ta giả sử 1 x y z 0. Ta có 3z �x � �y = z+ +1 0 3z 1 0 z . 3 9 Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh
Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng 7 ( 3) � = xy + yz + zx − 2 xyz = xy ( 1 − 2 z ) + z ( x + y ) � 27 ( x + y) ( 1− z) 2 2 ( 1 − 2z ) + z ( x + y ) = ( 1 − 2 z ) + z ( 1 − z ) 4 4 3 1 1 1� �z + z + 1 − 2 z � � 7 = ( −2 z + z + 1) = � 3 2 z. z ( 1 − 2 z ) + 1� � 4� � �+ 1�= . 4 4� �� 3 � � 27 x= y x= y 1 Dấu " = " xảy ra � � � � 1 Thế vào (2) ta được x = y = z = z = 1 − 2z z= 3 3 thoả 1 mãn phương trình (1). Vậy x = y = z = là nghiệm của hệ đã cho. 3 Bình luận : Với cách làm trên ta thấy phương trình (1) chỉ cần thay bằng giả thiết x, y, z > 0 là đủ. Ví dụ 2 . Tìm m để hệ sau có nghiệm dương : x + y + z =1 xy + yz + zx = 9m xyz = m Lời giải Giả sử hệ có nghiệm nguyên dương x0 > 0, y > 00 , z0 > 0 , tức là : x0 + y0 + z0 = 1 (1) x0 y0 + y0 z0 + z0 x0 = 9m (2) x0 y 0 z 0 = m (3) 1 Ta có : 1 = x0 + y0 + z0 3 3 x0 y0 z0 = 3 3 m m (4) 27 1 Mặt khác : 9m = x0 y0 + y0 z0 + z0 x0 3 3 ( x0 y0 z0 ) 2 = 3 3 m 2 ۳ m (5) 27 1 Từ (4) và (5) suy ra m = . 27 1 Với m = , thì ta có : 27 10 Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh
Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng x + y + z =1 1 xy + yz + zx = x, y, z là 3 nghiệm (phân biệt hoặc trùng nhau) của 3 1 xyz = 27 1 1 phương trình sau : X 3 − X 2 + X− =0 3 27 3 � 1� 1 1 � �X − �= 0 � X = � x = y = z = . � 3� 3 3 1 Vậy với m = , thì ycbt được thoả mãn. 27 * Ví dụ 3. Tìm a,b ﾡ + thoả mãn : a b + b a 12 (1) a a +b b 28 (2) Lời giải Từ (1) ta có : 12 �a+ � b < b= a 2 4 (ab)3 ab 6 3 6 6 3 8 12 Do a,b ﾡ * + ab 11 (3). ( ) ( a + b ) ( a + b) 2 Từ (2) ta có : 282 a a +b b 2 2 ( a + b) ( a + b) = ( a + b) 2 3 � a + b > 3 28 > 9 � a + b �10 (4) Giả sử a b , từ (3) suy ra ab �11 � a 2 11 a 3. Với 2 a 3 , thì từ (4) b< 7 = ab 2.7 14 11 (mâu thuẫn (3) ) Với a = 1 , từ (4) suy ra b 9 kết hợp với (3) ta được b = 9;10;11. 11 Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh
Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng Dễ dàng kiểm tra thấy chỉ có cặp (1 ; 9) là thoả mãn. Vậy nghiệm của hệ BPT đã cho là ( a, b ) = { ( 1;9 ) , ( 9;1) } . Ví dụ 4 . Tìm nghiệm dương của HBPT sau : a 2000 + b 2000 + c 2000 = 3 (1) a 2 + b2 + c2 3 (2) Lời giải Áp dụng BĐT cauchy ta có : a 2000 + 999.1 10001000 a 2000 .1 1000a 2 Tương tự , ta có : b 2000 + 999.1 1000b 2 và c 2000 + 999.1 1000c 2 Do đó : a 2000 + b 2000 + c + 3.999 1000( a + b + c ) 2000 2 2 2 � ( a 2 + b 2 + c 2 ) .1000 �3.( 1 + 999 ) = 3.1000 � a 2 + b 2 + c 2 �3 (3) . Từ (2) và (3) suy ra a + b + c = 3 . Dấu “ = “ xảy ra � a = b = c = 1 . 2 2 2 Vậy nghiệm của HBPT đã cho là : a = b = c = 1 W MỘT SỐ BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. � π� 2− n 1.Tìm x 0 � ; tho � ả mãn : sin x + cos x = 2 n , n ﾡ \ { 0,1} . n n � 2 � 2.Giải phương trình sau : 16 x − 1986 + 1 y − 2002 = 10 − ( x − 1986 + y − 2002 ) 3.Tìm GTLN của tham số a để BPT sau có ít nhất một nghiệm : a πx a 3 ( x − 1) + 2 4 a 3 sin . ( x − 1) 2 2 4.Giải các HPT , HBPT sau : x y x , y , x, t > 0 + = xy a) y x b) x + y + z + t = 12 x 2008 + y 2008 2005 = 8 ( xy ) 2 xy + yz + zx + xt + yt + zt = xyzt − 27 12 Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh
Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng x3 y = 9 6 x 2 x3 − 6 x + 5 = ( x3 + 4 ) ( x 2 + 2 x − 6 ) c) 3x + y = 6 d) 1 2 x+ 1+ 2 x x 4x+ y−1 + 3.42 y−1 2 ( x − 1) ( y − 2) 4 2 z3t 6 = 1024 e) x + 3y 2 − log4 3 f) 4x + z + 16y + t = 8x + 76 2 3 6 x 1; y 2; z 0; t 0 III. ỨNG DỤNG BĐT CAUCHY VÀO TÌM GTLN GTNN . 1.KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BĐT CAUCHY Giả sử ta cần chứng minh, BĐT sau : S ( a1 , a2 ,..., an ) C _ const (*) hoặc S ( a1 , a2 ,..., an ) C _ const 1.1. Trường hợp 1 : S ( a1 , a2 ,..., an ) là một biểu thức đối xứng của các ai , i = 1, n .Ta dự đoán dấu “ = ’’ trong BĐT (*) xảy khi a1 = a2 = ... = an . . Kiểm tra lại dự đoán nếu đúng thì kết hợp với điều kiện xảy ra dấu “ = ’’ trong BĐT cauchy , ta sẽ tìm được các hằng số trong các đánh giá giả định. T ừ đó đưa ra lời giải của bài toán . Ví dụ 1: 13 Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh
Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng a, b, c > 0 Cho 3 Chứng minh rằng : a+b+c 2 1 1 1 15 S = 2 ( a 2 + b2 + c 2 ) + + + . a b c 2 Lời giải 15 1 Dự đoán S = khi a = b = c = . Do đó ta cần chọn α sao cho : 2 2 2a 2 = 2b 2 = 2c 2 1 2 1 1 1 � = � α = 4. Từ đó ta có lời giải sau : = = 2 α α a αb αc � 2 1 1 1 1 1 1 � 1 �1 1 1 � S =� 2a + 2b 2 + 2c 2 + + + + + + �+ � + + � � 4 a 4b 4 c 4 a 4 b 4 c 2 � �a b c � 9 1 �3 1 � 9 3 1 + 3 + . 9 3 15 2 2 � abc � 2 2 a + b + c + .2 = . � � 2 2 2 3 1 Dấu “ = ” xảy ra khi a = b = c = (đpcm). 2 Ví dụ 2 : Cho a, b, c > 0 . Chứng minh rằng : a3 b3 c3 a+b+c 2 + + . a + ab + b 2 b 2 + bc + c 2 c 2 + ac + a 2 3 Trước tiên ta xét đánh giá giả định sau : a3 2 αa + βb a + ab + b 2 � ( 1− α ) a − β b �( α + β ) ab ( a + b ) 3 3 1− α 3 −β 3 � a + b �ab ( a + b ) (*) α +β α +β 14 Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh
Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng Mặt khác , ta lại có : a 3 + b3 = ( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 ) CS ( a + b ) ( 2ab − ab ) = ab ( a + b ) ∀a, b 0. Do đó (*) luôn đúng nếu ta chọn được α , β thoả mãn : 1−α 2 =1 α= α +β � � 3 � � . � −β = 1 �β = − 1 α +β 3 Khi này , ta có lời giải sau : a3 2 1 b3 2 1 Ta có : 2 a − b , 2 b − c a + ab + b 2 3 3 b + bc + c 2 3 3 c3 2 1 và 2 c − a. c + ac + a 2 3 3 Cộng vế với vế 3 BĐT trên ta được ĐPCM W Ví dụ 3 : Cho a, b, c �ﾡ * + t / m abc = 1 . Chứng minh rằng : 1 1 1 3 + + a3 ( b + c) b3 ( c + a) c3 ( a + b) 2 Trước tiên ta dự đoán dấu “ = ” xảy ra khi a = b = c = 1 . 1 1 2 b+c Khi đó = = = . Do đó : a3 ( b + c) 2 4 4bc 1 b+c 1 b+ c 1 1 1 1 �1 1� +− = � + 2 . a3 ( b + c) 4bc a3 ( b + c ) 4bc a a3 ( b + c ) a 4��b c� � 1 1 1 �1 1 � 1 1 1 �1 1 � Tương tự ta có : − �+ � và 3 − + � b3 ( c + a) b 4 �c a � c ( a + b) c 4�� b� a Cộng vế với vế 3 BĐT trên ta được: 1 1 1 1 �1 1 1 � 3 3 1 1 1 3 + 3 + 3 + + � . . = . a ( b + c ) b ( c + a) c ( a + b) 3 2��a b c � 2 a b c 2 15 Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh
Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng 1.2. Trường hợp 2 : Trong biểu thức S ( a1 , a2 ,..., an ) các ai , i = 1, n không có tính đối xứng . Khi này việc dự đoán dấu “ = ’’ trong BĐT (*) cho một lớp bài toán là rất khó. Kết quả của việc này chủ yếu dựa vào kinh nghiệm và trực quan toán học của mỗi người làm toán. a, b, c > 0 Ví dụ 1 : Cho Chứng minh rằng : a + 2b + 3c 20 3 9 4 S = a + b + c + + + 13. a 2b c Trước tiên , ta dự đoán S = 13 , khi a, b, c > 0 và thoả mãn a + 2b + 3c = 20 Biểu diễn S dưới dạng sau : � 3� � 9 � � 4� S =� α a + �+ �β b + �+ � γ c + �+ ( 1 − α ) a + ( 1 − β ) b + ( 1 − γ ) c � a� � 2b � � c � Như vậy ta cần chọn các số α , β , γ thoả mãn các điều kiện sau đây : 1−α 1− β 1− γ α = 1 − k (1) = = =k >0 1 2 3 β = 1 − 2k (2) 3 3 2 a= , b= ,c = γ = 1 − 3k (3) α 2β γ 3 6 6 a + 2b + 3c = 20 + + = 20 (4) α 2β γ Thế (1),(2),(3) vào (4) ta được : 3 6 6 + + = 20 (5) 1− k 2 − 4k 1 − 3k Ta cần chọn 0 < k < 1 sao cho thay vào (5) thì ta khai căn được ở các biểu thức 1 có chứa dấu căn. Dễ thấy k = đáp ứng được yêu cầu đó. Khi này ta có một 4 lời giải đẹp như sau : LG Ta có : 16 Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh
Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng 3 � 4 � 1 � 9 � 1 � 16 � 1 1 1 S = �a + �+ � b + �+ �c + �+ a + b + c 4� a � 2� b � 4� c � 4 2 6 CS 3 4 1 9 1 16 1 ۳ S 2. a. + 2. b. + 2. c. + ( a + 2b + 3c ) 4 a 2 b 4 c 4 20 3 + 3 + 2 + = 13 4 ۳ S 13. Dấu “ = “ xảy ra � a = 2, b = 3, c = 4 W Ví dụ 2 : Cho x, y > 0, x + y 1. Chứng minh rằng : 9 48 P = 51x + 23 y + + 68. x y Trước tiên ta dự đoán P = 68 , khi x, y > 0 và x + y = 1 . Ta biểu diễn P dưới dạng sau : � 9� � 48 � αx + P = � �+ �β y + � + ( 51 − α ) x + ( 23 − β ) y � x� � 7y � Như vậy , ta cần chọn α , β > 0 thoả mãn các điều kiện sau : 51 − α = 23 − β α = 28 + β (1) 3 3 3 3 x= , y=4 � x= , y=4 (2) α 7β 28 + β 7 β x + y =1 x + y =1 (3) 3 3 Thay (2) vào (3) ta được : +4 =1 (4) 28 + β 7β Dễ thấy β = 21 thoả mãn (4) , thay vào (1) ta được α = 49 . Khi này , ta có lời giải sau : � 9� � 48 � P = �49 x + �+ �21 y + + 2( x + y ) � x� � 7y � � 3 4 42 + 24 + 2 = 68. Dấu đẳng thức xảy ra khi x = , y = W CS 7 7 2. ỨNG DỤNG VÀO TÌM GTLN GTNN . Ví dụ 1 : Cho x, y, z > 0. Tìm GTNN của biểu thức sau : 17 Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh
Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng ( x + y + z) 6 S = xy 2 z 3 LG Do x, y, z không có mối quan hệ ràng buộc nào . Nên để tìm MinS ta có 2 cách sau . α ( x + y + z ) 6 Cách 1 . Sử dụng BĐT Cauchy ngược ta có : xy 2 z 3 1 �6 ( x + y + z ) � 6 1 Ta có : xy 2 z 3 = ( 6 x.3 y.3 y.2 z.2 z.2 z ) � � 423 423 � 6 � 1 ( x + y + z ) . Do đó : 6 xy 2 z 3 432 ( x + y + z) ( x + y + z) 6 6 S= = 432. xy 2 z 3 1 ( x + y + z) 6 432 1 1 Vậy MinS = 432 , khi x = y = z > 0 W 2 3 Cách 2 . Sử dụng BĐT Cauchy thuận ta có : ( x + y + Z ) 6 αxy 2 z 3 . 6 Ta có ( x + y + z ) = � 6 � 1 1 1 1 1 � x + y + y + z + z + z� � 2 2 3 3 3 � 6 CS � � xy z 2 3 66 �= 432xy z . Do đó, ta có kết quả như cách 1. 2 3 � � 108 � 0 x 3 Ví dụ 2 : Cho Tìm GTLN của : 0 y 4 S = ( 3 − x ) ( 4 − y ) ( 2 x + 3 y ) . LG Nhận xét : Rõ ràng với điều kiện đã cho thì 3 − x 0,4 − y 0. Mặt khác , ( a) n n theo hệ quả của BĐT cauchy thì i � ai = C _ const. Vậy ta cần i =1 min i =1 18 Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh
Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng chọn α , β sao cho : (3α − α x) + (4 β − β y ) + (2 x + 3 y ) = C _ const. Dễ dàng thấy α = 2, β = 3. Khi đó ta có lời giải sau : 1 S = ( 6 − 2 x ) ( 12 − 3 y ) ( 2 x + 3 y ) 6 3 CS 1�(6 − 2 x) + (12 − 3 y ) + (2 x + 3 y ) � � � 36. 6� 3 � Vậy MaxS=36 , khi x = 0, y = 2 W Ví dụ 3 : Cho a,b,c,d > 0. Trong tất cả các nghiệm dương ( x, y,z, t ) của phương trình : a b c d + + + = 1 . Hãy chỉ ra nghiệm với tổng : x y z t Sn = x + y + z + t nhỏ nhất với n ﾡ * . n n n n Lời giải Đặt A = n +1 a n + n +1 b n + n +1 c n + n +1 d n . a n+1 a Theo BĐT cauchy , ta có : xn + A + ... + A n +1 ( n + 1) n +1 a n An x 4 44 2 4 x4 43 1 n _ sô' b n +1 y + n n A ( n + 1) n+1 b n A n y c z n + n A n +1 ( n + 1) n +1 c n A n z d Và t n + n A n +1 ( n + 1) n +1 d n A n t n +1 �a b c d� Do đó : x + y + z + t + nA � + + + � n n n n �x y z t � ( n + 1) A n ( n +1 a n + n +1 b n + n +1 c n + n +1 d n ) ( n + 1) A n +1 . ( ) n +1 Vậy S = x + y + z + t n n n n A n +1 = n +1 a n +1 + n +1 b n +1 + n +1 c n +1 + n +1 d n +1 . 19 Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh
Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng a n +1 n b n +1 n c n +1 n d n +1 xn = A , y = A ,z = A , t = A x y z t Dấu “ = “ xảy ra a b c d + + + =1 x y z t x = n +1 aA , y = n +1 bA (*) z= n +1 cA , t = n +1 dA ( ) n +1 Vậy MinSn = n +1 a n + n +1 b n + n +1 c n + n +1 d n , đạt được khi có (*). MỘT SỐ BÀI TẬP TƯƠNG TỰ : x, y,z > 0 x 30 y30 z 30 1. Cho . Tìm GTLN của : P = 21 + 21 + 21 . x + y + z = 2004 y z x 2. Tìm giá tị nhỏ nhất của hàm số: y = 9x 2 1 + x4 + 13x2 1 − x4 , (x 1) x 2001 2002 . Tìm GTLN của y = x ( 2002 − x ) . 2001 3. Với 0 a 1 4. Cho b 2 Tìm GTLN của S = bc a − 1 + ca b − 2 + ab c − 3 . abc c 3 5. Tìm GTLN , GTNN của hàm số : y = x ( 1999 − x 2 + 1997 . ) IV.ỨNG DỤNG BĐT CAUCHY VÀO CM TÍNH CHẤT NGHIỆM 1 Ví dụ 1 : Chứng minh rằng nếu phương trình x 2 n +1 + − 4 = 0 (1) có nghiệm x dương x 0 , thì x 0 < n 2 ( n 2 ). Lời giải 20 Trần Công Văn – Trường THPT Tiến Thịnh

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.