Ặ Ấ Ề A. Đ T V N Đ
ọ ề 1. Lý do ch n đ tài.
ấ ề ố ọ ọ Trong c u trúc đ thi THPT Qu c gia hay các kì thi ch n h c sinh gi
ọ ề ọ ộ ươ ặ ẳ luôn có bài toán hình h c v ph
ố ọ ề ậ ạ ặ ỏ i ầ ng pháp t a đ trong m t ph ng. Đó là ph n ậ bài t p khó, có tính phân lo i, vì v y đa s h c sinh g p nhi u khó khăn trong
ả ế ệ vi c gi
i quy t các bài toán này. ươ ọ ộ ẳ ặ ươ ọ
ọ ầ Ph ế ng pháp t a đ trong m t ph ng là ch ẳ ố ớ ướ ở
ả ph n ti p n i v i hình h c ph ng ư ậ ư THCS nh ng nhìn d ẳ ể i quan đi m đ i s ề ọ ọ ả ỗ ộ
ả ọ
ng trình hình h c 10, là ạ ố ấ i tích. Nh v y m i bài toán hình h c t a đ ph ng đ u mang b n ch t ộ i các bài toán hình ụ ườ ượ ẳ ộ ọ ậ ng khó v n d ng đ
và gi ẳ ủ c a m t bài toán hình h c ph ng nào đó. Tuy nhiên khi gi ặ ọ ọ h c t a đ trong m t ph ng, h c sinh th ẳ c các tính ấ ấ ủ ườ ẳ ọ ọ ch t c a hình h c ph ng vì hình h c ph ng th
ườ ệ ề ươ ạ ọ th ng khó phát hi n trong các bài toán v ph
ả ế ứ ế ọ ng khó và các tính ch t đó ộ ng pháp t a đ . Bên c nh đó ậ ạ ọ ự ế
ươ ả ậ ọ ị ng pháp suy lu n đ gi yêu ể ả i
phép bi n hình là m ng ki n th c khó, h c sinh ng i h c. Vì v y, th c t ộ ệ ố ầ c u ph i trang b cho h c sinh m t h th ng các ph ẳ ả ơ ệ ọ các bài toán hình h c ph ng hi u qu h n.
ư ữ ớ ệ ế V i nh ng lý do đó, tôi đ a ra sáng ki n kinh nghi m “
ọ ộ ặ ộ ố ề ươ ụ ng pháp t a đ trong m t ph ng tr c trong m t s bài toán v ph
ể ả ọ ị ướ ố ơ giúp h c sinh có đ nh h ng t t h n đ gi
ạ ế ả ả ẳ ằ ấ ượ ố ứ Phép đ i x ng ẳ ” nh mằ ặ ộ ề ọ i các bài toán v t a đ trong m t ọ ạ ng gi ng d y, giúp h c sinh đ t k t qu cao
ph ng và nh m nâng cao ch t l ơ h n trong các kì thi.
ứ ụ 2. M c đích nghiên c u.
ạ ươ ớ ọ ườ ọ ợ
Tìm ra ph ể ọ ậ ụ ượ ớ ng pháp d y h c phù h p v i h c sinh tr ấ ủ ễ cho h c sinh hi u, d nh và v n d ng đ
ề ọ ộ ượ ế ả ẳ ọ i quy t các bài toán v t a đ trong m t ph ng. H c sinh tìm đ vào gi
ố ứ ệ ữ ấ ủ ụ ấ ớ ng THPT. Làm ẳ ọ c các tính ch t c a hình h c ph ng ố ặ c m i ọ liên h gi a các tính ch t c a phép đ i x ng tr c v i các tính ch t hình h c
ọ ộ ọ ủ ớ ả ấ ẳ ặ ẳ ph ng, v i b n ch t hình h c c a bài toán t a đ trong m t ph ng.
ạ ứ
3. Ph m vi nghiên c u. ậ ố ứ ấ ủ ộ ố ụ ứ ụ
ươ ề ặ ẳ ọ ộ ọ ả Nghiên c u và v n d ng m t s tính ch t c a phép đ i x ng tr c vào ố ng pháp t a đ trong m t ph ng cho h c sinh kh i i các bài toán v ph gi
1
ạ ọ ố ọ 10, kh i 11 và h c sinh ôn thi đ i h c.
Ộ B. N I DUNG
ơ ở ậ 1. C s lý lu n
ố ứ ấ ủ ộ ố ộ ố ụ 1.1. M t s tính ch t c a m t s phép đ i x ng tr c.
(cid:0) ố ứ ể ượ ọ ố ứ ụ Phép đ i x ng tr c: Đi m M và M’ (M
ườ ẳ ế ườ M’) đ ự ủ ớ c g i là đ i x ng v i ạ nhau qua đ
ố ứ ứ ụ ng th ng d n u d là đ ờ ng trung tr c c a đo n MM’. ả ả ữ Phép đ i x ng tr c là phép d i hình, t c là nó b o toàn kho ng cách gi a
ể ấ hai đi m b t kì.
ả ệ ế ế ể ể ẳ ẳ
ứ ự ủ ế ẳ ổ ộ ộ và không làm thay đ i th t
ộ ườ ộ ườ ế ế ằ ẳ ẳ ẳ ộ th ng b ng nó; bi n m t đ ng th ng thành m t đ
ế ằ ộ ộ ộ ộ H qu : Phép bi n hình bi n 3 đi m th ng hàng thành ba đi m th ng hàng ạ ạ c a chúng; bi n m t đo n th ng thành m t đo n ng th ng; bi n m t tia ằ ế thành m t tia; bi n m t góc thành m t góc b ng nó; bi n m t tam giác b ng
ộ ườ ế ằ ộ ộ ườ ằ m t tam giác b ng nó; bi n m t đ ằ ng tròn b ng m t đ ng tròn b ng nó.
ộ ố ấ ề ề ươ ọ ộ ặ ẳ 1.2. M t s v n đ v ph ng pháp t a đ trong m t ph ng.
uuur AB
x
y
y
(
;
)
x B
A
B
A
Cho A(xA; yA), B(xB; yB). = - - Khi đó:
+
+
x
y
y
A
B
A
B
;
2
2
x � � �
� � �
ur n =
ộ ượ ủ ể ạ ọ Trung đi m M c a đo n AB có t a đ đ ị c xác đ nh M
(A; B)
ườ ẳ ơ ế Cho đ ng th ng ∆ có véct pháp tuy n , đi qua M(xo;yo) có
o) + B(y – yo) = 0 hay Ax + By + C = 0 (A2 + B2 (cid:0)
ươ ph ng trình A(x – x 0)
=
ơ ươ ơ ườ ỉ ch ph ng thì có vect ế pháp tuy n
ur u
a b ( ; )
=
a
b ( ;
)
- . ẳ Đ ng th ng ∆ có vect ur n
+
+
c
ax 0
0
d M (
;
D = )
ườ ể Cho đ ẳ ng th ng ∆: ax+ by + c = 0 và đi m M(x ừ M ả 0; y0). Kho ng cách t
2
2
by +
b
a
ượ ở ế đ n ∆ đ ị c xác đ nh b i:
2 + (y – b)2 = R2.
ườ ươ Đ ng tròn tâm I(a; b) có bán kính R có ph ng trình: (x – a)
2
ứ ự ề ạ ủ ấ 2. Th c tr ng c a v n đ nghiên c u.
ỗ ề ậ ấ ọ
ề ọ ộ ứ ế ế ố sinh nào cũng ti p thu t
ề ẳ ẳ ạ ả ọ ọ M i chúng ta đ u nh n th y Toán h c là môn h c khó, không ph i h c ặ ọ t ki n th c toán h c. Các bài toán v t a đ trong m t ọ ạ ọ i càng làm cho h c sinh lúng túng vì ph ng trong các đ thi đ i h c, cao đ ng l
ế ị ướ ườ ừ ề ọ ố đâu. Nhi u h c sinh th ng t
ng có thói quen không t ế ư t đ nh h ư ự ử ệ ế ề không bi ọ đ c đ ch a kĩ đã làm ngay, có khi s th nghi m đó cũng đ a đ n k t qu
ướ ấ ệ ư ể ấ ớ ọ ị ng t
ạ ộ ườ ả ặ ẳ t là ả ố t i giáo viên i toán hình h c to đ trong m t ph ng, ng
ướ ề ọ ộ nh ng hi u su t không cao. V i tình hình y đ giúp h c sinh đ nh h ọ ơ h n trong quá trình gi ầ ạ c n t o cho h c sinh thói quen xem xét bài toán d i nhi u góc đ , khai thác
ế ố ặ ư ể ờ ả các y u t i gi
ọ ủ đ c tr ng hình h c c a bài toán đ tìm l ư ọ ươ ả ả duy theo các ph ng pháp gi
ả ẽ ọ thành cho h c sinh kh năng t ả ệ ế ệ i. Trong đó vi c hình ề ầ ộ i là m t đi u c n ỹ ệ i toán s giúp h c sinh hoàn thi n k thi
ệ t. Vi c tr i nghi m qua quá trình gi ả ướ ị năng đ nh h
ng và gi ạ ấ i toán. ộ ầ ề ằ ượ ố ọ
ờ C n nh n m nh m t đi u r ng, đa s các h c sinh sau khi tìm đ ả ạ ộ ườ ặ ẳ ọ l i gi
i cho bài toán hình h c to đ trong m t ph ng th ấ ườ ế ả ẳ ọ ọ đào sâu thêm. H c sinh th
ạ ộ ư ề ặ ấ ẫ ọ ộ c m t ng không suy nghĩ, ủ ng không chú ý đ n b n ch t hình h c ph ng c a bài toán nên m c dù làm r t nhi u bài toán hình h c to đ nh ng v n không
ạ ượ ạ ấ ủ ơ ả ậ phân lo i đ
ộ ư ả c d ng toán c b n cũng nh b n ch t c a bài toán. Th m chí ươ ự ệ ề ề ấ ẫ ọ m t bài toán t nhau xu t hi n trong nhi u đ thi mà h c sinh v n làm
ư ầ ả ậ ở ế ượ ạ ng t ầ ệ t mài nh l n đ u tiên gi i nó, b i không nh n bi c d ng toán này đó t đ
ỉ ọ ờ ạ ự ườ mi ừ t ng làm. ớ i gi ẽ ễ ng h c sinh s d dàng cho l V i th c tr ng đã ch ra, thông th
ơ ả ấ ư
ỏ ọ ấ ườ ế ị ấ
ờ ơ ả chút c u trúc c b n h c sinh th ả ướ ra r t lúng túng và không bi ả ả ng t ệ ủ ọ ị ạ ừ i bài toán. T đó, hi u qu gi i toán c a h c sinh b h n ch
i gi ướ ủ ọ ấ ầ ự ế ạ ả c th c tr ng đó c a h c sinh, tôi th y c n thi
ả i ộ ố ớ đ i v i các bài toán có c u trúc đ n gi n. Còn khi đ a ra bài toán khác m t t đ nh ế t ph i hình thành ẳ ng tìm l h ề ấ r t nhi u. Tr ọ ạ ộ ặ ọ
ấ ẳ ậ ả ọ ớ ờ i cho bài toán
cho h c sinh thói quen xem xét bài toán hình h c to đ trong m t ph ng theo ả b n ch t hình h c ph ng. Và vì v y song song v i các l ẳ i gi ỉ ạ ộ ặ ả ấ ầ ọ ọ
ươ ừ ẳ hình h c to đ trong m t ph ng, tôi luôn yêu c u h c sinh ch ra b n ch t và ừ i cho bài toán v a bài toán hình ph ng t đó phân tích ng ứ ng ng, t ượ ạ c l
gi i.ả
ế ộ ố ộ ư ệ ậ
ụ ể ọ ủ ả ấ ọ ấ phép đ i x ng tr c đ tìm ra b n ch t, tính ch t hình h c c a bài toán t a đ
3
ể ị ướ ẳ ả ờ ọ ụ Trong sáng ki n kinh nghi m này, tôi đ a ra m t s n i dung v n d ng ộ ố ứ i cho các bài toán đó. Qua đó giúp h c sinh ph ng, đ đ nh h ng, tìm l i gi
ỗ ậ ứ ượ ằ ạ ộ ặ ẳ ọ nh n th c đ
ộ ự ứ ươ ứ ẳ ậ ả
ệ ả ọ ch a đ ng m t bài toán hình ph ng t ể ổ ợ ẳ ọ ủ c a bài toán hình h c ph ng đ b tr cho vi c gi i bài toán hình h c to đ
ủ ộ ủ ặ ẳ ộ ọ
ươ ệ ế ả ạ ờ ộ ố c r ng: “M i bài toán hình h c to đ trong m t ph ng luôn ấ ng ng”. Vì v y phân tích b n ch t ạ ộ ơ trong m t ph ng là m t suy nghĩ có ch đích, giúp h c sinh ch đ ng h n ư ng đ i các bài i gi
trong vi c tìm ki m l ọ i cũng nh phân lo i m t cách t ặ ẳ ạ ộ toán hình h c to đ trong m t ph ng.
ự ế ấ ượ ọ ậ ủ ọ Trên th c t ả , tôi đã kh o sát ch t l
ươ ọ ộ ặ ượ ẳ ng pháp t a đ trong m t ph ng) và đã thu đ ề ấ ng h c t p c a h c sinh (v v n ế c k t ề ả đ gi
i các bài toán ph ư qua nh sau:
L pớ Sĩ số iỏ Gi Khá Kém Y uế
10A1 11B2 43 40 18 17 13 10 5 7 0 0 Trung bình SL % SL % SL % SL % SL % 7 0 6 0 16.3 15 41.9 42,5 30.2 25 11.6 17,5
ư ậ ố ượ ọ ắ ạ ắ ề ng h c sinh n m b t d ng toán này không nhi u
ạ ị ướ ượ ả ng đ c cách gi i rõ ràng.
Nh v y rõ ràng s l ậ ớ v i lý do không nh n d ng, không đ nh h ự ệ ệ 3. Các bi n pháp th c hi n
ầ 3.1. Các yêu c u chung
ọ ự ủ ọ ể ề Đi u tra h c l c c a h c sinh qua các bài ki m tra.
ờ ượ ứ ậ ạ ằ ổ ổ T ch c ôn t p vào các bu i ngo i khoá nh m tăng th i l ệ ậ ng luy n t p
ả gi i toán.
ự ệ ậ ầ ọ ọ
ầ ủ ộ Khi ra bài t p cho h c sinh, giáo viên yêu c u h c sinh th c hi n đ y đ m t ố ộ s n i dung sau:
ọ ỹ ộ
+) Đ c k n i dung bài toán. ộ ậ ạ ự ệ ạ +) Nh n d ng bài toán thu c d ng toán nào, th c hi n phép "quy l ạ ề v
quen".
ị ầ
+) Xác đ nh rõ yêu c u bài toán. ế ế ả ể ế ậ ả thi t, k t lu n (có th vi t gi thi ế ướ ạ i d ng t d
ị +) Xác đ nh đúng gi ượ khác đ
c không?) ự ế ả
+) T mình ti n hành gi ậ i bài toán. ế ụ ể ả ế ư +) Ki m tra xem đã v n d ng h t gi thi ử ụ t ch a, trong bài s d ng
ế ữ ứ
4
nh ng ki n th c nào? ớ ố ế ả ủ ạ ủ ầ +) Đ i chi u v i cách gi i c a b n, c a th y.
ờ ả ế +) Tìm thêm các l
i khác cho bài toán (n u có). i gi ệ ả +) Rút ra kinh nghi m cho b n thân.
ạ
ư ề ậ ụ 3.2. Th c ự hành qua các d ng toán ầ
ọ ộ ả ặ ẳ ố ộ ố ạ Trong ph n này, tôi đ a ra m t s d ng toán v v n d ng phép đ i ụ ứ x ng tr c vào gi
i các bài toán t a đ trong m t ph ng. ệ ủ ố ứ ấ ụ Các bài toán mang d u hi u c a phép đ i x ng tr c.
ủ ườ ề ể ằ ẳ ng th ng d. Tìm
ấ Bài toán g c:ố Cho hai đi m A, B n m v cùng phía c a đ ắ M trên d sao cho AM + BM ng n nh t.
Cách gi i: ả
(cid:0) ố ứ ể ọ ớ ớ ọ G i A’ là đi m đ i x ng v i A qua d. Khi đó v i m i M d, ta có: MA =
A
B
M
d
A'
MA’
ậ ạ ấ ỏ ị
ể ẳ MA + MB = MA’ + MB ≥ A’B. V y MA + MB đ t giá tr nh nh t khi A’, ủ ườ ẳ ớ ng th ng A’B v i d.
(cid:0) M, B th ng hàng hay M là giao đi m c a đ ụ ừ ả ọ ộ ặ ể T đó, ta có th áp d ng cách gi ẳ i trên vào các bài toán t a đ trong m t ph ng
ư nh sau:
ớ ệ ọ ặ ẳ ộ ườ ẳ Bài 1. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho đ ng th ng d có ph ươ ng
ể trình: 2x – y + 5 = 0 và hai đi m A(2; 1), B(1; 2).
ọ ộ ể ạ ấ ộ ỏ ị Tìm t a đ đi m M thu c d sao cho chu vi ∆MAB đ t giá tr nh nh t.
ướ Giáo viên h
ẫ ng d n: ọ ầ ạ ả ế ủ ị Yêu c u h c sinh xác đ nh d ng toán, phân tích gi thi t c a bài toán.
ể ớ Ki m tra xem A và B có cùng phía v i d hay không?
5
ể ậ ụ ợ ở ừ ổ T đó có th v n d ng bài toán t ng h p trên.
ế ả Ti n hành gi i toán:
ằ ớ Vì (2.2 + 1 + 5)(2.1 – 2 + 5) > 0 nên A và B n m cùng phía so v i d.
ố ứ ủ ể ể ọ ớ G i A’ là đi m đ i x ng v i A qua d, H là giao đi m c a AA’ và d.
ươ AA’ có ph
5 0
x +
=
2 x
y
2
0
(cid:0) ng trình: 1(x – 2) + 2(y + 1) = 0 hay x + 2y = 0 - + = y (cid:0) (cid:0) ọ ộ ủ ủ ệ ươ ệ T a đ c a H là nghi m c a h ph ng trình: (cid:0) H(2; 1) (cid:0)
ể ủ Vì H là trung đi m c a AA’ nên A’(6; 3)
ớ ọ ộ V i m i M thu c d, ta có MA = MA’
(cid:0) ượ ị Chu vi ∆MAB đ c xác đ nh: MA + MB + AB ≥ A’B + AB
(cid:0) ạ ẳ ỏ ị ấ Chu vi ∆MAB đ t giá tr nh nh t khi A’, M, B th ng hàng hay M là
ể ủ giao đi m c a A’B và d.
+
ườ ẳ ươ Đ ng th ng A’B có ph ng trình: x + 7y – 15 = 0.
x
= 15 0
x
y 7 - + = y
2
5 0
- (cid:0) (cid:0) ộ ủ ủ ệ ệ ọ ươ T a đ c a M là nghi m c a h ph ng trình: (cid:0) M (cid:0)
4 7 ; 3 3
� � �
� . � �
-
Bài 2.
ớ ệ ọ ườ ẳ ặ ẳ ộ
Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho đ ộ ụ ể ạ ộ đi m M(2; 3). Tìm A thu c d, B thu c tr c Oy sao cho chu vi ∆MAB đ t giá tr ng th ng d: x – 2y = 0 và ị
ấ ỏ nh nh t.
ị ướ Đ nh h ng:
ả ế ủ ủ ẽ ị thi ố ớ ậ t c a bài toán: V hình, nh n xét v trí c a M đ i v i
Phân tích gi ườ ẳ hai đ
ụ ượ ư ế ụ ng th ng đã cho. ố ứ Phép đ i x ng tr c đ c áp d ng nh th nào?
6
ổ T ng quát bài toán.
d1
H
M
N
d2
K
A
P
B
ả ử ữ ể ằ ườ ẳ s M là đi m n m trong góc gi a hai đ
Gi ọ ng th ng d1, d2. ớ ố ứ ể ố ứ ể ớ G i N là đi m đ i x ng v i M qua d1, P là đi m đ i x ng v i M qua d2.
(cid:0) (cid:0) ớ ọ ớ ọ V i m i A d1, v i m i B d2, ta có MA = NA, MB = PB
ượ ở Khi đó chu vi ∆MAB đ ị c xác đ nh b i:
C = MA + AB + MB = NA + AB + BP ≥ NP
ả ấ ẳ ỉ ể D u “=” x y ra khi và ch khi N, A, B, P th ng hàng hay A là giao đi m
ủ ể ớ ớ ủ c a NP v i d1, B là giao đi m c a NP v i d2.
ư ừ ệ ế ổ ả i bài toán trong
T vi c đ a ra bài toán t ng quát đó, ta đi đ n cách gi ẳ ọ ộ ư ặ
m t ph ng t a đ nh sau: ố ứ ể ọ ớ G i N là đi m đ i x ng v i M(2; 3) qua d: x – 2y = 0
ươ MN có ph ng trình: 2(x – 2) + y – 3 = 0 hay 2x + y – 7 = 0
x
x
= y 0 2 + - = y
2
7 0
14 7 � � ; � � 5 5 � �
;
18 � � � N 5 �
1 �- � 5 �
- (cid:0) (cid:0) ộ ủ ủ ệ ệ ọ ươ (cid:0) T a đ c a H là nghi m c a h ph ng trình: hay H (cid:0)
(cid:0) ố ứ ụ ể ọ ớ G i P là đi m đ i x ng v i M qua tr c Oy P( 2; 3)
ươ ng trình: 4x + 7y – 13 = 0
+
Khi đó NP có ph ủ ộ ọ ủ ệ ệ ươ T a đ c a A là nghi m c a h ph ng trình:
x
= 13 0
A
y 7 = y
4 x
2
0
26 13 ; 15 15
� � �
� � �
+
- (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0)
y
7
= 13 0
B
0;
x =
4 x
0
13 � � � � 7 � �
7
- (cid:0) (cid:0) (cid:0) ọ ộ ủ ủ ệ ươ ệ T a đ c a B là nghi m c a h ph ng trình: (cid:0)
Bài 3.
ớ ệ ọ ộ ẳ ặ Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho ∆ABC có A(1; 6), B(3; 2), C(4;
1).
ầ ượ ọ ộ ạ ộ ể Tìm t a đ các đi m M, N, P l n l t thu c các c nh BC, CA, AB sao
ấ ỏ ị
ướ ị ạ cho chu vi ∆MNP đ t giá tr nh nh t. Đ nh h ng:
ư ể ạ
Bài toán này có d ng chung nh hai bài toán trên. Đi m khác là ∆MNP ỉ ư ượ ị c xác đ nh. có ba đ nh ch a đ
ế ử ụ ư ả ử ượ ộ ỏ c M thu c BC th a mãn
Có th s d ng bài 2 nh sau: Gi ố ị ầ ờ s tìm đ ộ ộ yêu c u bài toán (M c đ nh). Bây gi tìm N thu c AC, P thu c AB sao cho chu
ạ ấ ỏ
E
B
K
P
M
H
C
A
N
F
vi ∆MNP đ t nh nh t. Sau đó tính chu vi đó theo AM. ấ ủ ắ ị Tìm v trí c a M trên BC sao cho AM n n nh t.
Cách gi
i:ả ả ử ượ ộ ầ ỏ
Gi ọ s tìm đ ể c M thu c BC th a mãn yêu c u bài toán. ố ứ ớ ố ứ ể ớ G i E là đi m đ i x ng v i M qua AB, F là đi m đ i x ng v i M qua
AC
ớ ọ ộ ọ
ộ V i m i P thu c AB, m i N thu c AC, ta có: MP = EP, MN = NF ủ ạ ấ ớ ỏ Khi đó chu vi tam giác MNP đ t nh nh t khi N là giao đi m c a EF v i
ủ ể ằ ớ AC, P là giao đi m c a EF v i AB và b ng C = EF = 2AM.sin ể ﾷBAC
ắ ế ủ ấ
Mà AM ng n nh t khi M là hình chi u c a A lên BC ườ ầ ượ ượ ừ ẻ ừ ứ T đó ta ch ng minh đ c N, P l n l t là chân đ ng cao k t B và C
8
ủ c a tam giác ABC.
ừ ệ ử ụ ố ứ ể ả ụ ế ổ T vi c s d ng phép đ i x ng tr c đ gi
ế ả ủ ụ ườ ủ ợ i quy t bài toán t ng h p, ng cao c a tam
tìm ra k t qu c a bài toán. Khi đó áp d ng vào tìm chân đ ọ ộ ẳ ặ giác ABC trong m t ph ng t a đ Oxy.
Bài 4.
ớ ệ ụ ọ ộ ặ ẳ ườ ẳ Trong m t ph ng v i h tr c t a đ Oxy, cho đ ng th ng d: 3x – y – 2
ộ ể ể ọ ườ ẳ = 0 và hai đi m A(3; 1), B(1; 2). Tìm t a đ đi m M trên đ ng th ng d sao
- ị ớ ạ ấ cho MA MB đ t giá tr l n nh t.
ị ướ Đ nh h ng:
- ể MA MB ừ ầ ị ớ ạ ấ ọ T yêu c u bài toán: Tìm M đ đ t giá tr l n nh t, h c sinh
ưở ơ ả ế ẽ s liên t ng đ n bài toán c b n nào?
ị ươ ố ủ ố ớ Xét v trí t
B
A'
d
H
M
A
ư ế ừ ể ng đ i c a A, B đ i v i d? ụ ố ứ ụ T đó có th áp d ng phép đ i x ng tr c nh th nào?
Cách gi
ử ề ặ ẳ ờ ườ iả ễ ấ ằ D th y A(3; 1), B(1; 2) n m v hai n a m t ph ng b là đ ẳ ng th ng
d: 3x – y – 2 = 0.
ố ứ ể ọ ớ ớ G i A’ là đi m đ i x ng v i A qua d (A’ và B cùng phía v i d).
ọ ớ V i m i M thu c d, ta có MA = MA’.
MA MB MA MB
'
A B '
ộ = - - (cid:0) Khi đó
ả ấ ẳ ỉ ể D u “=” x y ra khi và ch khi M, A’, B th ng hàng hay M là giao đi m
ủ c a d và A’B.
+
- =
ườ ẳ ươ Đ ng th ng A’A có ph ng trình: x +3y – 6 = 0.
x
3
6 0
x
y - = y
3
2 0
6 8 � � ; � � 5 5 � �
9
(cid:0) (cid:0) ủ ệ ươ ọ ộ ệ T a đ H là nghi m c a h ph ng trình: (cid:0) H - (cid:0)
3 11 ; 5 5
� � �
� � �
- (cid:0) ọ ộ A’ có t a đ A’
ườ ẳ ươ Đ ng th ng A’B có ph ng trình: x – 2y + 5 = 0
x
2
5 0
M
x
+ = y - = y
3
2 0
- (cid:0) (cid:0) (cid:0) ọ ộ ủ ủ ệ ươ ệ T a đ c a M là nghi m c a h ph ng trình: - (cid:0)
9 17 � � ; � � 5 5 � � ủ ﾷxOy , thì hai tia Ox
ề ỗ ế ế ườ M i chúng ta đ u bi t, n u d là đ ng phân giác c a
ớ ụ ế
ố ứ ề ườ ư ậ ộ
ỗ i. Nh v y m i bài toán v đ ụ ể ử ố ứ ố ứ ượ ạ c l ể ử ụ và Oy đ i x ng v i nhau qua d hay phép đ i x ng tr c d bi n tia Ox thành Oy ủ ặ ho c ng ng phân giác c a m t góc, ta ề đ u có th s d ng phép đ i x ng tr c đ x lí.
Bài 5.
ặ ẳ ớ ệ ọ ộ ươ Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho tam giác ABC có ph
ườ ẻ ừ ườ B có ph đ
ng phân giác trong góc A là x + y + 2 = 0, đ ể ng cao k t ệ ườ ẳ ng trình ươ ng trình: 2x – y + 1 = 0. Đ ng th ng AB đi qua đi m M(1; 1), di n tích tam giác
ọ ộ ủ ỉ ABC là . Tìm t a đ các đ nh c a tam giác ABC.
27 2 ướ ng:
A
H
N
I
M
C
B
D
ị Đ nh h
ế ủ ng phân giác trong góc A thi t c a bài toán, có AD là đ
ố ứ ớ
ớ AC đi qua N đ i x ng v i M qua AD
ượ ượ ị ườ ừ ả T gi (cid:0) AB và AC đ i x ng v i nhau qua AD Mà AB đi qua M (cid:0) ố ứ ị Xác đ nh đ ồ c A, r i B.
c N, ta xác đ nh đ ệ ế ể Ở ử ụ ả ượ thi c 2
ể t di n tích tam giác đ tìm C. ề ể ằ ỏ đây, ta tìm đ ủ S d ng gi ỉ ư đi m C, nh ng ch có 1 đi m th a mãn, vì B, C n m v hai phía c a AD.
Bài gi
10
ẻ ườ ẳ ớ ạ ạ iả Qua M, k đ ng th ng vuông góc v i AD t ắ i I, c t AC t i N.
(cid:0) (cid:0) ạ ố ứ ủ ể ∆AMN cân t i A ớ I là trung đi m c a MN.( M và N đ i x ng v i
nhau qua AD)
ườ ẳ ươ Đ ng th ng MN có ph
x
0
(cid:0) ng trình: x – 1 – y + 1 = 0 hay x – y = 0. - = y - (cid:0)
( -� I
) 1; 1
+ + =
y
x
2 0
ọ ộ ủ ủ ệ ươ ệ T a đ c a I là nghi m c a h ph ng trình: (cid:0) N(3; (cid:0)
3)
+
+ =
ạ ươ C nh AC có ph ng trình: x + 3 + 2(y + 3) = 0 hay x + 2y + 9 = 0
x
9 0
(cid:0) -
(
)
�
A
5; 7
y + + =
2 y
x
2 0
(cid:0) ọ ộ ủ ủ ệ ươ ệ T a đ c a A là nghi m c a h ph ng trình: (cid:0)
ạ ươ C nh AB có ph ng trình: 2x + y – 3 = 0
2
3 0
B
x x
+ - = y - + = y
2
1 0
1 2
� � ; 2 � � � �
=
=
(cid:0) (cid:0) (cid:0) ọ ộ ủ ủ ệ ươ ệ T a đ c a B là nghi m c a h ph ng (cid:0)
(
)
�
�
AB
d C AB ;
9 5 2
6 5
=
(cid:0) ươ Mà AC có ph ng trình: x + 2y + 9 = 0 C(2c – 9 ; c)
c
c
c
9
2(2
9)
3
=
�
c 3
= 21 6
� (cid:0)
=
c
5
6 5
5
- - - (cid:0) - (cid:0) (cid:0)
(cid:0) ớ ạ ớ V i c = 9 C(9; 9) (lo i vì B và C cùng phía v i AD)
(cid:0) ớ ỏ V i c = 5 C(1; 5) (th a mãn)
ộ ố ậ ươ ự Sau đây là m t s bài t p t :
ng t ộ ặ ớ ệ ọ ẳ
1. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho tam giác ABC có A(1; 3), đ ẻ ừ ươ ế ng trình: x + 2y – 2 = 0, trung tuy n k t phân giác trong góc B có ph ườ ng C có
ươ ọ ộ ỉ ph ng trình: 2x – 4y – 1 = 0. Tìm t a đ đ nh B và C.
4 3
� � ; 2 � � � �
ớ ệ ọ ộ ẳ ặ 2. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho tam giác ABC có A(4; 6), C
2 8 � � ; � � 3 3 � �
- ườ ộ ế và tâm đ ng tròn n i ti p là K ọ ộ ỉ . Tìm t a đ đ nh B.
ớ ệ ọ ẳ ặ ộ ườ 3. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho tam giác ABC có đ ng cao AH:
ườ ế 2x – y – 3 = 0, trung tuy n BM: x – 2y + 1 = 0 và đ ng phân giác trong góc C
ươ ủ ỉ có ph ọ ộ ng trình: x + y – 2 = 0. Tìm t a đ các đ nh c a tam giác ABC.
ớ ệ ọ ặ ẳ ộ ườ 4. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho tam giác ABC có đ ng phân giác
11
ườ ẻ ừ ầ ượ ươ trong góc A, đ ng cao k t B l n l t có ph ng trình: 12x + 4y – 5 = 0, x –
5 � �- 1; � � 2 � �
ủ ạ ể ế ươ y – 2 = 0, M là trung đi m c a c nh BC. Vi t ph ạ ng trình các c nh
;
ủ c a tam giác ABC. ẳ ớ ệ ọ ặ ạ ộ 5 Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho tam giác ABC vuông t i C có
7 � � 2 �
7 �- ọ thu c BC. G i E, F là các � 2 � ườ
ườ ớ ộ đ ng phân giác trong góc A là AD, v i D
;
ẳ ắ ạ ầ ượ ể ộ i K. đi m l n l t thu c AB, AC sao cho AE = AF. Đ ng th ng EF c t BC t
5 �- , F có hoành đ nh h n 3, AK có ph � 2 �
ỏ ơ ộ ươ Bi t Eế ng trình: x – 2y – 3 = 0.
3 � � 5 � ươ
ế ủ ạ Vi t ph
ng trình các c nh c a tam giác ABC. ớ ệ ọ ộ ặ ẳ 6. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho hình thoi ABCD có A(2; 0), đ
ể ộ ỉ ườ ẳ chéo BD đi qua đi m M( 1; 1), đ nh C thu c đ ườ ng ng th ng d: x + y + 4 = 0.
ộ ươ ủ ằ ỉ ộ ế t chu vi c a hình thoi b ng 20, đ nh B có tung đ d ọ ng. Tìm t a đ các
ạ ủ Bi ỉ đ nh còn l
i c a hình thoi. ặ ớ ệ ọ ẳ ươ
ộ 7. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho hình thoi ABCD có ph ườ ầ ượ ỉ ườ ng chéo AC: x + 7y – 31 = 0, hai đ nh B, D l n l ộ t thu c các đ đ
ọ ộ ủ ỉ ế ng trình ẳ ng th ng ệ t di n d1: x + y – 8 = 0, d2: x – 2y + 3 = 0. Tìm t a đ các đ nh c a hình thoi, bi
ỉ ằ ộ
ẳ tích hình thoi b ng 75(đvdt) và đ nh A có hoành đ âm. ớ ệ ọ ộ ườ ng
ầ ượ ạ ộ ể BC). Các đi m M, N l n l
ế t D(2; 0), M(4; 2), N(0; 6). Hãy vi t thu c các c nh AB, ế t
ặ 8. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho tam giác ABC có AD là đ phân giác trong góc A, (D (cid:0) AC sao cho BM = BD, CN = CD. Bi ạ ươ ủ ng trình các c nh c a tam giác ABC. ph
ớ ệ ọ ươ ặ ẳ ộ
9. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho tam giác ABC có ph ườ ươ ườ ng phân giác trong góc A: x + y – 2 = 0, ph ng trình ế ng trung tuy n ng trình đ đ
3 2
� � ;0 � � � �
ườ ẳ ế ẻ ừ k t A là 4x + 5y – 9 = 0, đ ng th ng AC đi qua M . Bi t bán kính
R = , đi m C có hoành đ d
5 2
ườ ạ ế ộ ươ ể đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC là ng. Tìm
ủ ỉ ọ ộ t a đ các đ nh c a tam giác.
ặ ớ ệ ọ ẳ ộ
12
ủ ườ ể ể ạ 10. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho tam giác ABC có B(4; 3), M là ﾷMAC và trung đi m c nh BC, D là giao đi m c a đ ng phân giác trong góc
ế ươ ệ ạ c nh BC. Bi t CB = 3CD, AD có ph ng trình: 3x – 2y – 5 = 0, di n tích tam
39 4
ộ ươ giác ABC b ng ằ , C có hoành đ d ọ ộ ng. Tìm t a đ A và C.
Bài 6.
ẳ ặ ớ ệ ụ ọ ộ ườ Trong m t ph ng v i h tr c t a đ Oxy, cho đ ng tròn (C) có ph
ườ ẳ ươ ng ng th ng(d): x + y – 1 = 0,(∆): 3x + y –
ọ ộ ể ườ ể ộ ộ trình: x2 + y2 – 2x – 4y – 3 = 0, và hai đ 1 = 0. Tìm t a đ đi m M thu c (C), đi m N thu c ∆ sao cho d là đ ng trung
ự ủ ẳ ạ tr c c a đo n th ng MN.
ị ướ Đ nh h ng:
ừ ủ ầ ườ T yêu c u c a bài toán: Tìm M, N sao cho d là đ ự ủ ng trung tr c c a
ấ ượ ụ ườ ẳ MN, ta th y đ ố ứ c phép đ i x ng tr c đ ế ng th ng d bi n M thành N
d,
(cid:0) ộ ố ứ ộ ả ủ ụ Mà M thu c (C) N thu c nh c a (C) qua phép đ i x ng tr c Đ
d
J
I
H
N
M
(cid:0) ủ ườ ả ể N là giao đi m c a ∆ và đ ng tròn nh.
Bài gi
ườ iả Đ ng tròn (C) có tâm I(1; 2), bán kính R =
2 2 . ươ
ố ứ ể ọ ớ G i J là đi m đ i x ng v i I qua d, IJ có ph
x
1 0
x
1 0
(cid:0) (cid:0) ọ ộ ủ ủ ể ệ ủ ệ T a đ c a trung đi m H c a IJ là nghi m c a h (cid:0) H(0; 1) (cid:0) ng trình: x – y + 1 = 0. + - = y - + = y
(cid:0)
2 + y2 = 8.
d có ph
13
J( 1; 0) ườ ủ ươ ả Đ ng tròn (C’) là nh c a (C) qua Đ ng trình: (x + 1)
2
2
ọ ộ ủ ệ ệ ươ T a đ N là nghi m c a h ph ng trình:
=
+
+
y
x
8
(
N
-� N
(1; 2)
3 14 ; 5 5
x
1) + - = y
3
1 0
� � �
� � �
(cid:0) - (cid:0) (cid:0)
ố ứ ượ ả ế Ta tìm M đ i x ng vói N qua d, bài toán đ c gi i quy t.
Bài 7.
ẳ ặ ẳ ườ Trong m t ph ng v i h to đ Oxy cho đ
ườ
và hai đ ỉ ng tròn (C1) : x ộ ườ ộ ườ ỉ có đ nh A thu c đ ỉ ng tròn (C1), đ nh B thu c đ
ế ằ ế ườ ẳ ể
ạ ộ ng th ng d. Tìm to đ các đi m A, B, C bi ế ế ủ ườ ớ ệ ạ ộ ng th ng Δ : x − y + 2 = 0 2 + y2 = 1, (C2) : (x + 4)2 + (y – 3)2 = 4. Tam giác ABC ằ ng tròn (C2) và đ nh C n m ế t r ng CA là ti p tuy n ẳ ườ ng th ng Δ ng tròn (C2) và đ trên đ ủ ườ c a đ ng tròn (C1), CB là ti p tuy n c a đ
ủ là phân giác c a góc ﾷACB .
ị ướ Đ nh h ng:
ừ ả ế ườ T gi thi t: ∆ là đ ng phân giác c a ủ ﾷACB , ta th y AC và BC đ i ố ấ
ớ ứ x ng v i nhau qua ∆.
(cid:0) ế ủ ế ế ủ ườ ế Mà AC là ti p tuy n c a (C1) BC là ti p tuy n c a đ ng tròn (C’1)
ớ ố ứ đ i x ng v i (C1) qua ∆
I
O'
O
B
A'
A
C
ủ ế ế ậ V y BC là ti p tuy n chung c a (C’1) và (C2).
ở ề ế ươ ủ ế ườ t ph ế ng trình ti p tuy n chung c a hai đ ng tròn.
14
Bài toán tr v : Vi ế ủ ể B là ti p đi m c a BC và (C2).
ế ủ ố ứ ủ ể ọ G i A’ là hình chi u c a O’ lên BC, A là đi m đ i x ng c a A’ qua ∆.
ớ ệ ọ ặ ẳ ọ
ườ ủ ể Bài 8. ự ộ Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy, cho tam giác ABC nh n có tr c ạ ế ng tròn ngo i ti p là I(1; 0), trung đi m M c a BC tâm H(2; 1), có tâm đ
ộ ườ ườ ẳ thu c đ ng th ng d: x – 2y – 1 = 0. Đ ng tròn ngo i ti p tam giác HBC đi
A
I
H
C
B
M
J
E
ọ ộ ủ ỉ qua E(6; 1). Tìm t a đ các đ nh c a tam giác ABC, bi t x ạ ế ế B < xC.
ị Đ nh h ng:
ướ ằ ố ứ ườ ượ ứ ụ B ng phép đ i x ng tr c, ta ch ng minh đ c đ
ạ ế ố ứ ườ ớ ạ ế ng tròn ngo i ti p ng tròn ngo i ti p tam giác HBC đ i x ng v i nhau qua tam giác ABC và đ
BC.
ậ ậ ớ ườ ủ ể ọ ạ ế Th t v y, g i H’ là giao đi m c a AH v i đ ng tròn ngo i ti p tam
15
giác ABC.
A
I
H
K
B
C
H'
ﾷ
=
H BC H AC H B C '
'
ﾷ Ta có: ﾷ =
ﾷ 'H BH . Mà BC (cid:0)
(cid:0) ườ BC là đ ng phân giác góc HH’
(cid:0) ố ứ ố ứ ụ ớ ế H và H’ đ i x ng v i nhau qua BC hay phép đ i x ng tr c BC bi n
tam giác HBC thành tam giác H’BC.
(cid:0) ườ ườ ạ ế ố ạ ế ng tròn ngo i ti p ∆HBC đ i
ứ x ng v i nhau qua BC. Cách gi
ườ ứ ườ ạ ế ạ ế ng tròn ngo i ti p ∆ABC và đ ng tròn ngo i ti p ∆HBC
ư ớ Đ ng tròn ngo i ti p ∆ABC và đ ớ i.ả Ch ng minh đ ố ứ đ i x ng v i nhau qua BC. (nh trên)
(cid:0) ọ ườ ể G i J là tâm đ ạ ế ng tròn ngo i ti p ∆HBC. M là trung đi m IJ
ộ Vì M thu c d: x – 2y – 1 = 0 nên M(2m + 1; m)
(cid:0) J(4m + 1; 2m)
(cid:0) ả ế t: JH = JE (4m – 1)2 + (2m – 1)2 = (4m – 5)2 + (2m + 1)2 thi
m = 1
(cid:0) Theo gi (cid:0) M(3; 1), J(5; 2)
(cid:0)
(cid:0) ươ ng trình: 2(x – 3) + y – 1 = 0 hay 2x + y – 7 = 0. (b – 1)2 + (7 – 2b)2 = 10 (cid:0) ặ b = 2 ho c b = 4.
(cid:0)
Bán kính R = JH = 10 ạ C nh BC có ph B(b; 7 – 2b) (cid:0) B(2; 3), C(4; 1) ẳ ườ ươ Đ ng th ng AH có ph ng trình: x – 2 – 2(y – 1) = 0 hay x 2y = 0.
16
(cid:0) ườ ẳ ươ Đ ng th ng AC có ph ng trình: y + 1 = 0 A(2; 1)
Ậ Ế C. K T LU N
ứ ế ả 1. K t qu nghiên c u:
ươ ử ụ ữ ộ ươ Ph ề ng pháp s d ng trong đ tài là m t trong nh ng ph
ả ẽ ệ ộ ệ ử ụ ề ư ể ươ ng pháp mang ầ ng pháp này m t cách hi u qu s góp ph n nhi u u đi m, vi c s d ng ph
ấ ượ ạ ọ ọ nâng cao ch t l ng d y và h c môn hình h c 10.
ữ ệ ớ ả ế ợ ề ệ ạ ớ V i nh ng bi n pháp và gi i pháp đã đ ra, k t h p v i vi c so n giáo án
ạ ở ả ớ ể ả ả ả và gi ng d y
ệ ả ạ ệ ạ ả ọ ạ nghi m có đem l ự 2 l p 11B2, 10A1. Đ đ m b o tính kh thi và xem th c ạ i hi u qu d y h c hay không. Sau khi gi ng d y tôi đã so n
ộ ố ể ể ể ế ậ ấ ấ ọ
ỗ ớ ể ế ệ ấ ấ ẫ ả ự ra m t s bài t p ki m tra h c sinh đ thu bài, ch m đi m và l y k t qu th c ả ượ c nghi m. Sau khi ki m tra ch m l y ng u nhiên m i l p 35 bài. K t qu đ
10
§iÓm Líp 11B2 (§C)
3 1
4 2
5 7
6 7
7 8
8 9
9 1
17
ư ợ ụ ể ổ t ng h p và c th hóa nh sau:
TØ lÖ %(§C)
2,9% 5,7% 20% 20% 22,8% 25,7% 2,9
1
5
10
9
6
Líp 10A1 (TN) TØ lÖ % (TN)
2,9% 14,3
% 3 17,1% 25,7% 28,5% 8,6
1 2,9
%
%
%
(§C: ®èi chøng, TN: thùc nghiÖm) ươ
ả ủ ệ ể ệ ạ ọ Tính hi u qu c a ph ọ ng pháp này trong d y h c hình h c 10 th hi n nh ư
sau:
ả ổ ế ợ ượ ứ ề ệ ứ ộ ế Qua k t qu t ng h p tôi tính đ ậ c m c đ trung bình ki n th c v vi c v n
ươ ử ụ ọ ọ ố ụ d ng ph
+
+
+
+
=
=
6, 4
X
1.3 2.4 7.5 7.6 8.7 9.8 1.9 35
DC
+
+
+
+
+
+
=
=
7,0
X
1.4 5.5 6.6 9.7 10.8 3.9 1.10 35
TN
ị
ủ ớ
ứ
ố
ủ ớ
ự
ị
ng pháp s d ng th ng kê vào d y h c Hình h c 10 THPT: + ạ +
ả ủ ố ữ ế ự ứ ệ ệ ậ
Trong đó: X DC là giá tr trung bình c a l p đ i ch ng ệ X TN là giá tr trung bình c a l p th c nghi m. ụ ấ Gi a k t qu c a đ i ch ng và th c nghi m ta th y rõ ràng vi c v n d ng ạ i
ố ệ ử ụ ươ ạ ọ ọ ố ng pháp s d ng s li u th ng kê vào d y h c môn hình h c 10 mang l ph
ệ ả ầ ổ ươ ấ ạ ọ hi u qu cao. Nó góp ph n b sung cho ph ọ ng pháp d y h c, l y h c sinh
ệ làm trung tâm hi n nay.
ế ậ ề ươ ề ấ ng pháp đ xu t.
2. K t lu n v ph ề ượ ệ ể ạ ọ Đ tài đã đ
ườ ệ ồ ưỡ ọ ỏ tr ặ ng, đ c bi t là trong quá trình b i d
ng h c sinh gi ầ ữ ế ả ả ượ c ki m nghi m trong quá trình d y h c toán trong nhà ố i, ôn thi THPT qu c ư ớ ướ ng t
c k t qu kh quan trong nh ng năm g n đây. V i h ể ọ ộ ữ ư ề ấ ặ ẳ gia và đã thu đ ề duy v bài toán t a đ trong m t ph ng mà tôi đ xu t có nh ng u đi m sau.
ướ ậ ạ ả ả ị Có đ nh h ng nh n d ng bài toán tìm cách gi i và quy trình gi i rõ
ràng.
ả ộ ự ợ ớ ư ọ i m t cách t
Các bài toán gi ả ượ ớ ộ nhiên, phù h p v i t ơ ụ duy toán h c. ộ ố ớ Gi i đ c l p bài toán r ng h n, ngoài ra áp d ng cho m t s l p bài toán
m i.ớ
ọ ậ ứ ọ ọ ự ạ ơ Gây h ng thú h c t p cho h c sinh, h c sinh t ặ tin h n khi g p các d ng toán
18
này.
ộ ố ụ ơ ủ ể ả ạ Tuy nhiên trong m t s ví d đ n gi n c a d ng toán này có th dùng
ươ ọ ộ ể ả ộ ắ ọ ơ ph
ng pháp t a đ đ gi ế ụ ị ự ễ i m t cách ng n g n h n. ạ ả 3. Ki n ngh áp d ng vào th c ti n gi ng d y.
ể ọ ả ề ọ ặ ẳ ớ Đ giúp h c sinh gi ộ i các l p bài toán v t a đ trong m t ph ng, trong
ạ ườ ạ ầ ộ quá trình d y ng i d y c n chú ý làm rõ các n i dung sau:
ạ ề ố ứ ụ ế
Khi d y v các phép bi n hình nói chung, phép đ i x ng tr c nói riêng, ọ ụ ề ệ ầ ậ ậ ộ ượ ạ c l i.
ngoài vi c áp d ng m t chi u ta c n cho h c sinh t p suy lu n ng ỏ ố ớ ọ ữ ệ ừ các d li u bài toán này đ Đ i v i h c sinh khá gi ế i, khuy n khích t ể
ư ế ạ ứ ọ ậ ớ ọ ặ đ t ra các bài toán m i, nh th t o h ng thú h c t p trong h c sinh.
ủ ề ứ ụ ả 4. Kh năng ng d ng c a đ tài.
ề ỉ ừ ề ướ ể ở ộ ạ ở ệ i
ng đ m r ng, không ch d ng l ể
ậ ụ ố ứ ấ ủ ụ
ướ ứ ự ể ệ hình nói chung. Chúng ta cũng có th xây d ng và hoàn thi n theo h
ở ứ ộ ấ ủ ế ả ọ ộ vi c khai thác m t Đ tài có nhi u h ộ ệ ố ự ố ạ s d ng bài toán đã có trong sách giáo khoa; mà còn có th xây d ng m t h th ng ế ư các bài toán v n d ng các tính ch t c a phép đ i x ng tr c, cũng nh phép bi n ụ ng ng d ng m c đ cao i tích
tính ch t c a phép bi n hình trong các bài toán hình h c, gi h n.ơ
ộ ề ề ợ ố ượ ọ
Ủ ƯỞ
Ủ
Ậ
XÁC NH N C A TH TR
NG Đ N V
Ơ Ị Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2016 Ế
N i dung đ tài phù h p cho nhi u đ i t ễ ể ả ạ ng h c sinh, giúp quy “khó ặ ẳ ề ọ ộ thành quen” đ gi i các bài toán v t a đ trong m t ph ng. thành d ”, “l
CAM K T KHÔNG COPY. Tác giả
Lê Vinh Quang
Ụ Ụ M C L C
TT Trang
ộ Ặ Ề N i dung Ấ A. Đ T V N Đ
19
1 Lý do chon đ tàiề 01
ụ ạ 2 3 ứ M c đích nghiên c u ứ Ph m vi nghiên c u 01 01
Ộ B. N I DUNG
ậ
ơ ở ự ứ
ạ ệ 1 2 3 C s lý lu n ề ủ ấ Th c tr ng c a v n đ nghiên c u ệ ự Các bi n pháp th c hi n 02 02 04
Ậ
Ế C. K T LU N ấ ng pháp đ xu t
ạ ả ị
ế ế ả ủ ề ứ ụ 1 2 3 15 16 16
20
ề ề ươ ậ K t lu n v ph ự ễ ụ Ki n ngh áp d ng vào th c ti n gi ng d y Kh năng ng d ng c a đ tài Ệ Ả D. TÀI LI U THAM KH O
