SAÙNG KIEÁN KINH NGHIEÄM

Saùng kieán kinh nghieäm

SÖÛ DUÏNG PHÖÔNG PHAÙP VEÙCTÔ VAØ TOÏA ÑOÄ GIAÛI MOÄT SOÁ BAØI TOAÙN SÔ CAÁP THÖÔØNG GAËP

Giaùo Vieân: Ngoâ Minh Tuaán

BÌNH XUYEÂN, THAÙNG 11 NAÊM 2010.

A. ÑAËT VAÁN ÑEÀ:

Döïa vaøo phöông phaùp toaï ñoä do chính mình phaùt minh Descartes ñaõ saùng laäp ra moân hình hoïc giaûi tích .Qua ñoù cho pheùp chuùng ta nghieân cöùu hình hoïc baèng ngoân ngöõ ñaïi soá thay cho ngoân ngöõ hình hoïc.Vieäc naøy giuùp ta boû ñi thoùi quen tö duy cuï theå, tröïc quan, nhaèm ñaït tôùi ñænh cao cuûa söï khaùi quaùt hoaù vaø tröøu töôïng cuûa toaùn hoïc vaø nhieàu lónh vöïc khaùc. Trong daïy vaø hoïc toaùn vieäc löïa choïn coâng cuï phuø hôïp ñeå giaûi caùc baøi toaùn laø vieäc laøm raát caàn thieát, choïn ñöôïc coâng cuï thích hôïp taát nhieân lôøi giaûi seõ toát nhaát. Sau ñaây toâi xin trình baøy vieäc söû duïng“phöông phaùp vectô vaø toaï ñoä” ñeå giaûi moät soá baøi toaùn sô caáp ô’ phoå thoâng.

Trang 1

Saùng kieán kinh nghieäm

B. GIAÛI QUYEÁT VAÁN ÑEÀ

PHAÀN I: LYÙ THUYEÁT I. HEÄ TRUÏC TOAÏ ÑOÄ DESCARTES VUOÂNG GOÙC TRONG MAËT PHAÚNG.

1. Oy laàn löôït choïn caùc veùc tô ñôn vò Ñònh nghóa: Trong maët phaúng cho hai ñöôøng thaúng x’ox, y’oy vuoâng goùc vôùi nhau.Treân Ox, .Nhö vaäy ta coù moät heä truïc toaï ñoä Descartes vuoâng goùc

Oxy.

2. Toaï ñoä cuûa moät ñieåm vaø cuûa moät veùc tô: Cho ñieåm M trong mp Oxy. Haï MH vuoâng goùc

x’Ox vaø MK vuoâng goùc y’Oy. Theo qui taéc hình bình haønh, ta coù:

treân heä truïc. Khi ñoù toàn taïi duy nhaát moät ñieåm M sao cho . Goïi (x,y) laø toaï ñoä Cho

treân heä truïc Oxy vaø kyù hieäu laø = (x,y).

Boä hai (x, y) ñöôïc hoaøn toaøn xaùc ñònh bôûi ñieåm M vaø ñöôïc goïi laø toaï ñoä cuûa ñieåm M, kyù hieäu M(x, y). cuûa ñieåm M . Khi ñoù boä hai (x,y) goïi laø toaï ñoä cuûa veùc tô

3. Caùc pheùp tính veùc tô : Cho hai veùc tô vaø k laø moät soá thöïc.

Caùc pheùp tính veùc tô nhö pheùp coäng, pheùp tröø, pheùp nhaân moät soá vôùi moät veùctô, tích voâ höôùng hai

veùc tô ñöôïc xaùc ñònh nhö sau:

4. Caùc coâng thöùc veà löôïng : Cho hai veùc tô vaø goïi laø goùc taïo bôûi hai veùctô ñoù

khi vaø chæ khi vaø laø hai veùctô cuøng höôùng

Khoaûng caùch töø ñieåm M(x0, y0) ñeán ñöôøng thaúng (D):Ax +By +C = 0 laø :

Trang 2

Saùng kieán kinh nghieäm

5. Phöông trình cuûa ñöôøng thaúng, ñöôøng troøn .

laøm veùc tô

* Phöông trình cuûa ñöôøng thaúng (D) ñi qua ñieåm M(x0, y0) vaø nhaän veùctô phaùp tuyeán laø:

A(x – x0) + B(y – y0) = 0

* Phöông trình ñöôøng troøn taâm I (a, b) baùn kính R laø: (x – a)2 + (y – b)2 = R 2

II.HEÄ TRUÏC TOAÏ ÑOÄ DESCARTES VUOÂNG GOÙC TRONG KHOÂNG GIAN.

1. Ñònh nghóa :

Ox, Oy, Oz laàn löôït choïn caùc veùc tô ñôn vò Trong khoâng gian cho ba ñöôøng thaúng x’ox, y’oy, z’Oz vuoâng goùc vôùi nhau ñoâi moät. Treân . Nhö vaäy ta coù moät heä truïc toaï ñoä Descartes vuoâng

goùc Oxyz.

2. Toaï ñoä cuûa moät ñieåm vaø cuûa moät veùc tô.

Cho ñieåm M trong kh oâng gian Oxyz. Haï MH vuoâng goùc x’Ox, MK vuoâng goùc y’Oy vaø ML

vuoâng goùc z’Oz. Theo qui taéc hình hoäp, ta coù :

. Khi ñoù toàn taïi duy nhaát moät ñieåm M sao cho . Goïi (x, y. z) laø toaï ñoä cuûa Cho

treân heä truïc Oxyz vaø kyù hieäu laø = (x,y,z).

Boä ba (x,y,z) ñöôïc hoaøn toaøn xaùc ñònh bôûi ñieåm M vaø ñöôïc goïi laø toaï ñoä cuûa ñieåm M, kyù hieäu M(x,y,z). ñieåm M. Khi ñoù boä ba (x, y, z) goïi laø toaï ñoä cuûa veùc tô

3. Caùc pheùp tính veùc tô : Cho hai veùc tô vaø k laø moät soá thöïc.

Caùc pheùp tính vectô nhö pheùp coäng, pheùp tröø, pheùp nhaân moät soá vôùi moät vectô, tích voâ höôùng, tích coù höôùng hai vectô ñöôïc xaùc ñònh nhö sau:

4. Caùc coâng thöùc veà löôïng : Cho hai vectô vaø goïi laø goùc taïo bôûi hai vectô ñoù

khi vaø ch æ khi vaø laø hai vectô cuøng höôùng

Trang 3

Saùng kieán kinh nghieäm

Cho (D) laø ñöôøng thaúng ñi qua A vaø coù vectô chæ phöông vaø ñieåm M. Giaû söû ta

tính ñöôïc Khi ñoù khoaûng caùch töø ñieåm M ñeán ñöôøng thaúng (D) ñöôïc tính laø :

5. Phöông trình cuûa maët phaúng, ñöôøng thaúng vaø maët caàu.

a. Phöông trình cuûa maët phaúng (P) ñi qua ñieåm M(x0,y0,z0) vaø coù caëp vectô chæ phöông

laø :

b. Phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng (D) ñi qua ñieåm M(x0,y0,z0) v aø nhaän vectô laøm vectô chæ phöông laø:

(t laø tham soá)

c. Phöông trình maët caàu t aâm I (a, b,c) vaø coù baùn kính R laø :

(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R 2

PHAÀN II : CAÙC BAØI TOAÙN I. CAÙC BAØI TOAÙN GIAÛI BAÈNG PPTÑ TRONG MAËT PHAÚNG:

2 +y1

2 +y2

2)(x2

1. CAÙC BAØI TOAÙN ÑAÏI SOÁ: Baøi 1: Cho 4 soá thöïc x1, x2, x3, x4. 2) chöùng minh raèng (x1

(x1 x2+ y1 y2)2 Giaûi:

Treân maët phaúng toaï ñoä xeùt 2 vectô :

2)

Ta coù

2 +y1

2) (x2

2 +y2

vaäy (x1 (x1 x2+ y1 y2)2

Trang 4

Saùng kieán kinh nghieäm

ñaúng thöùc xaõy ra

Baøi 2: Chöùng minh raèng neáu x, y, z > 0 thì

Giaûi Baát ñaúng thöùc caàn chöùng minh töông ñöông vôùi:

Xeùt 3 ñieåm

(1) AB + AC > BC Ta coù vôùi 3 ñieåm A, B, C baát kyø ôû ñaây

Hai veùctô naøy khoâng theå ngöôïc höôùng (vì hoaønh ñoä cuøng aâm) do ñoù khoâng theå xaõy ra ñaúng thöùc AB + AC > BC.

Vaäy baát ñaúng thöùc (1) ñöôïc chöùng minh.

Baøi 3 Giaûi baát phöông trình:

Giaûi Ñieàu kieän Xeùt maët phaúng toaï ñoä Oxy caùc vectô:

Suy ra baát phöông trình (1) töông ñöông

Trang 5

Saùng kieán kinh nghieäm

Vaäy x=5 laø nghieäm duy nhaát. Baøi 4

Chöùng minh raèng:

Giaûi

Trong maët phaúng toaï ñoä Oxy, caùc vectô:

Khi ñoù, töø

Baøi 5 Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá:

Giaûi

Trong maët phaúng toaï ñoä xeùt caùc veùctô:

Khi ñoù :

Trang 6

Saùng kieán kinh nghieäm

töø

<=>

Daáu “=” xaûy ra (chaúng haïn) taïi

Vaäy miny=5 Baøi 6 : T ìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc

Gi aûi

Ta c où

Treân mp toaï ñoä laáy hai ñieåm A(p, q) : B(q,q). Baøi toaùn trôû thaønh: Tìm M(x,0) thuoäc Ox sao cho

(MA +MB) ñaït giaù trò nhoû nhaát. Xeùt hai tröôøng hôïp: - Neáu pq <0 thì A hoaëc B truøng O, hoaëc A,B naèm veà hai phía ñoái vôùi O .Khi ñoù (MA + MB) nhoû nhaát

M truøng O, töùc laø ñaït ñöôïc khi x = 0

- Neáu pq >0 thì A, B naèm cuøng phía ñoái vôùi O (ñoàng thôøi naèm cuøng phía ñoái vôùi Ox). Laáy A’ ñoái xöùng vôùi A qua Ox ta coù A’(p, -p), ñoàng thôøi : Ñaúng thöùc xaõy ra A’, M, B thaúng haøng

ñaït ñöôïc khi x = 2pq/(p+q)

Baøi 7 Giaûi phöông trình:

Giaûi Trong maët phaúng toaï ñoä Oxy xeùt caùc vectô:

Trang 7

Saùng kieán kinh nghieäm

Suy ra phöông trình (1) töông ñöông:

Vaäy phöông trình (1) coù nghieäm duy nhaát

Baøi 8:Tìm m ñeå phöông trình sau coù nghieäm

Giaûi

Ñaët

Phöông trình ñaõ cho trôû thaønh

- Phöông trình (1) bieåu thò 1 ñöôøng thaúng thay ñoåi song song vôùi ñöôøng phaân giaùc thöù hai, phöông

trình (2) bieåu dieãn 1 ñöôøng troøn coù taâm taïi goùc toaï ñoä vaø baùn kính = 3

Heä coù nghieäm khi vaø chæ khi ñöôøng thaúng (1) vaø ñöôøng troøn (2) coù ñieåm chung thoaû ñieàu kieän (3).

Trang 8

Saùng kieán kinh nghieäm

Vaäy Pt coù nghieäm khi

Baøi 9: Chöùng minh raèng:

(Höôùng daãn) Xeùt hai vectô

Baøi 10: Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá :

treân

(Höôùng daãn) Xeùt hai vectô

2. CAÙC BAØI TOAÙN HÌNH HOÏC :

Baøi 1: Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A, caùc caïnh goùc vuoâng laø bvaø c, M laø moät ñieåm treân caïnh BC

sao cho goùc BAM = . Chöùng minh raèng:

AM =

Giaûi

Choïn heä truïc toaï ñoä nhö hình veõ Khi ñoù A(0,0) , B(b,0), C(0,c) , M9x,y) Töø ñònh nghóa: x = AM cos , y = AM sin .

Neân M(AM cos Do M thuoäc BC , AM sin ) cuøng phöông v ôùi

Trang 9

Saùng kieán kinh nghieäm

Baøi 2: Cho tam giaùc ABC coù ñoä daøi caùc trung tuyeán va ñoä daøi baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp laàn löôït laø

Chöùng minh:

(Ñaïi hoïc y döôïc TPHCM naêm2000) Giaûi Goïi O laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giac ABC.Ta coù:

Do ñoù theo baát ñaúng thöùc Bunhiacopski:

Daáu”=” xaûy ra khi tam giaùc ABC ñeàu.

Trang 10

Saùng kieán kinh nghieäm

Baøi 3: (SGK HH 10)

Cho tam giaùc ABC caân taïi A. Goïi H laø trung ñieåm cuûa BC, D laø hình chieáu cuûa H treân AC , M laø trung ñieåm cuûa HD. Chöùng minh AM vuoâng goùc BD.

Giaûi

Choïn heä truïc toaï ñoä nhö hình veõ

Khi ñoù: H(0,0), A(0,a), B(-c,0), D(x,y)

Ta coù :

Vaäy , M laø trung ñieåm cuûa HD neân:

Vaäy BD Vuoâng goùc AM (ñpcm)

Trang 11

Saùng kieán kinh nghieäm

Baøi 4 (Ñeà thi HSG toaøn quoác – Naêm 1979) Ñieåm M naèm treân ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc ñeàu ABC. Chöùng minh giaù trò cuûa MA4 + MB4 + MC4 khoâng phuï thuoäc vaøo vò trí cuûa M.

Giaûi

Goïi I,R laø taâm vaø baùn kính cuûa ñöôøng troøn (c) ngoaïi tieáp tam giaùc ñeàu ABC. Döïng heä truïc

nhö hình veõ, ta coù

Ta coù

Vaäy giaù trò MA4 + MB4 + MC4 khoâng phuï thuoäc vaøo vò trí M B aøi 5 (Ñ eà thi v oâ ñ òch Anh - n aêm 1981) Cho tam giaùc ABC caân taïi A. D laø trung ñieåm caïnh AB, I laø taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc ABC, E laø troïng taâm cuûa tam giaùc ACD. Chöùng minh IE vuoâng goùc CD.

Gi aûi

Choïn heä truïc nhö hình veõ (O laø trung ñieåm cuûa BC) Khi ñoù : O(0,0); A(0,a); B(-c,0); C(c,0); D(-c/2, a/2); E(c/6,a/2),(a,c>0) Goïi I(x, y) Giaû thieát suy ra

V aäy

Trang 12

Saùng kieán kinh nghieäm

II. CAÙC BAØI TOAÙN GIAÛI BAÈNG PP TOAÏ ÑOÄ TRONG KHOÂNG GIAN .

1. CAÙC BAØI ÑAÏI SOÁ: Baøi 1:Giaûi heä phöông trình

Giaûi

Xeùt hai veùc tô trong ñoù

Laø nghieäm tuyø yù (neáu coù) cuûa heä ñaõ cho. Ta coù

Ngoaøi ra tính ñöôïc

Vaäy

Do ñoù

Daáu baèng xaõy ra

Töø ñoù suy ra

Thöû laïi ta ñöôïc heä ñaõ cho coù 3 nghieäm (1,0,0) ; (0,1,0) : (0,0 ,1) Baøi 2 : Giaûi baát phöông trình: Giaûi

Ñieàu kieän:

Trang 13

Saùng kieán kinh nghieäm

Trong maët phaúng Oxy xeùt caùc vectô:

Suy ra(1)

Ñaúng thöùc naøy luoân ñuùng

Vaäy nghieäm baát phöông trình ñaõ cho laø a2

Baøi 3

Giaûi heä:

Giaûi Xeùt trong Khoâng gian Oxyz caùc vectô:

(Thoaû (1) Vaäy: x=y=z=1 laø nghieäm duy nhaát cuûa heä (1). Baøi 4 : Cho a, b laø hai soá thöïc tuyø yù. Chöùng minh raèng

Trang 14

Saùng kieán kinh nghieäm

Giaûi

Trong khoâng gian vôùi heä truïc toaï ñoä Ñeà - caùc vuoâng goùc Oxyz, ñaët

ta coù

2 CAÙC BAØI TOAÙN HÌNH HOÏC KHOÂNG GIAN

Baøi 1 Cho tam dieän oxyz. A, B, C laàn löôït laø caùc ñieåm di ñoäng treân ox, oy, oz sao cho:

Giaûi

Chöùng minh raèng: (ABC)luoân luoân ñi qua moät ñieåm coá ñònh. Choïn heä truïc toaï ñoä vuoâng goùc oxyz (nhö hình veõ ) Sao cho: A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)(vôùi OA=a,OB=b,OC=c) Khi ñoù phöông trình maët phaúng (ABC) laø:

Trang 15

Saùng kieán kinh nghieäm

Hôn nöõa: (Do giaû thieát)

=>mp(ABC)luoân ñi qua ñieåm coá ñònh M(2005,2005,2005).

Baøi 2:Cho hình hoäp chöõ nhaät ABCD.A’B’C’D’ vôùi AB = a, BC = b, AA’ = c. a/ Tính dieän tích cuûa tam giaùc ACD’ theo a, b, c b/ Giaû söû M vaø N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB vaø BC. Haõy tính theå tích cuûa töù dieän D’DMN theo a, b, c.

Giaûi

a/ Ta laäp heä truïc toaï ñoä vuoâng goùc coù goác truøng vôùi ñænh A, caùc truïc coù phöông truøng vôùi

Khi ñoù : A(0,0,0) , C(a,b,0) , D’(0,b,c).

b/ Deã daøng tính ñöôïc

Baøi 3:Cho hai nöûa mp (P) vaø (Q) vuoâng goùc vôùi nhau theo giao tuyeán (d). Treân (d) laáy AB = a (a laø ñoä daøi cho tröôùc). Treân nöûa ñöôøng thaúng Ax vuoâng goùc vôùi (d) vaø ôû trong (Q) laáy ñieåm N

sao cho BN = .

a/ Tính khoaûng caùch töø A ñeán maët phaúng (BMN) theo a, b. b/ Tính MN theo a , b. Vôùi giaù trò naøo cuûa b thì MN coù ñoä daøi cöïc tieåu. Tính ñoä daøi cöïc tieåu

ñoù.

Giaûi

a/ Choïn heä truïc toaï ñoä Oxyz sao cho A truøng vôùi goác toaï ñoä (A(0,0,0)): B coù toaï ñoä (0,a,0);

N coù toaï ñoä ( ). Ta coù

Trang 16

Saùng kieán kinh nghieäm

Do ñoù mp(BMN) qua B(0,a,0) vaø coù VTPT laø

hay y – z - a = 0

Phöông trình cuûa maët phaúng naøy laø: (y – a).1 – (z – 0) = 0 Khoaûng caùch töø A(0,0,0,) ñeán maët phaúng ñoù laø :

b/ Ta coù

(baát ñaúng thöùc Coâsi)

MN coù ñoä daøi cöïc tieåu

Baøi 4: Cho moät goùc tam dieän ba maët vuoâng goùc Oxyz. Laáy laàn löôït treân Ox, Oy,Oz caùc ñieåm P, Q, R khaùc ñieåm O. Goïi A, B, C laàn löôït laø trung ñieåm cuûa PQ, QR, RP. Chöùng minh raèng neáu goùc nhò dieän caïnh OA cuûa töù` dieän OABC laø goùc nhò dieän vuoâng thì hai goùc B vaø C cuûa tam giaùc ABC thoaû heä thöùc tgB.tgC = 2.

Giaûi

Choïn heä truïc toaï ñoä Ñeà-Caùc vuoâng goùc Oxyz sao cho P(2a,0,0) ; Q(0,2b,0) ;R(0,0,2c). Khi

A(a,b,0) ; B(0,b,c) ; C(a,0,c) Phaùp veùc tô cuûa maët phaúng (OAB) vaø (OAC) laàn löôït laø: ñoù:

Goùc nhò dieän caïnh OA vuoâng khi vaø chæ khi:

Trong tam giaùc ABC ta coù:

Trang 17

Saùng kieán kinh nghieäm

Vaäy

Baøi 5: Cho tam giaùc vuoâng goc ôû A.tìm quyõ tích caùc ñieåm M trong khoâng gian thoaû maõn : Giaûi

Choïn heä truïc toaï ñoä Ñeà caùc Oxyz sao cho A truøng O, B(b,0,.0),C(0,c,0) ( Vôùi AB =b>0,AC=c>0) Khi ñoù M(x, y, z) thoaû :

Vaäy quyõ tích caàn tìm chæ coù moät ñieåm duy nhaát M(b,c,0)

Trang 18

Saùng kieán kinh nghieäm

C. KEÁT LUAÄN

Treân ñaây laø moät soá baøi toaùn ñaïi soá vaø hình hoïc trong maët phaúng cuõng nhö trong khoâng gian. Neáu kheùo leùo choïn heä truïc toaï ñoä phuø hôïp, vaän duïng phöông phaùp vectô vaø toaï ñoä thì coù theå chuyeån thaønh baøi toaùn ñaïi soá hoaëc giaûi tích vaø tìm ra lôøi giaûi ngaén goïn, phaàn naøo laøm saùng toû vaán ñeà maø toâi ñöa ra. Trong quaù trình vieát, do thôøi gian vaø kinh nghieäm giaûng daïy coù haïn neân chaéc khoâng traùnh khoûi nhieàu thieáu soùt, mong caùc thaày coâ goùp yù. Toâi xin chaân thaønh caûm ôn. Bình Xuyeân, thaùng 11 naêm 2010 Ngöôøi vieát Ngô Minh Tuấn.

Trang 19