ĐT V N Đ Ặ Ấ Ề
Trong ch ng trình toán h c THPT các bài toán liên quan đn dãy ươ ọ ế
s là m t ph n quan tr ng c a đi s và gi i tích l p 11 , H c sinh ố ộ ầ ọ ủ ạ ố ả ớ ọ
th ng ph i đi m t v i nhi u d ng toán khó liên quan đn v n đ này ườ ả ố ặ ớ ề ạ ế ấ ề
và g p khó khăn trong v n đ xác đnh công th c s h ng t ng quát c a ặ ấ ề ị ứ ố ạ ổ ủ
dãy s . Đc bi t m t s l p bài toán khi đã xác đnh đc công th c ố ặ ệ ở ộ ố ớ ị ượ ứ
t ng quát c a dãy s thì n i dung c a bài toán g n nh đc gi i quy tổ ủ ố ộ ủ ầ ư ượ ả ế
Đ đáp ng đc m t ph n đ tài “ ể ứ ượ ộ ầ ề Xác đnh công th c t ng ị ứ ổ
quát c a dãy s “ ủ ố và k t h p v i s ti p c n “ ế ợ ớ ự ế ậ Lý thuy t ph ng ế ươ
trình sai phân “ qua m t s chuyên đ mà b n thân tác gi đã đc h c ộ ố ề ả ả ượ ọ
N i dung c a đ tài nh m cung c p m t s ph ng pháp c b n ộ ủ ề ằ ấ ộ ố ươ ơ ả
xác đnh công th c t ng quát c a dãy s và có s phân lo i m t s l p ị ứ ổ ủ ố ự ạ ở ộ ố ớ
bài toán . Đây cũng là đ tài và bài gi ng mà tác gi đã d y cho h c sinh ,ề ả ả ạ ọ
đc bi t là h c sinh khá gi i và l p ch n, là tài li u h c sinh và đng ặ ệ ọ ỏ ớ ọ ệ ọ ồ
nghi m tham kh oệ ả
Trong đ tài này tác gi đã s dung m t s k t qu có tính h ề ả ử ộ ố ế ả ệ
th ng c a ‘ố ủ Lý thuy t ph ng trình sai phân “ ế ươ . Tuy nhiên nh ng v n ữ ấ
đ áp d ng ki n th c toán h c hi n đi ch d ng l i m t s tr ng ề ụ ế ứ ọ ệ ạ ỉ ừ ạ ở ộ ố ườ
h p đc bi t và gi i h n trong tr ng s th c .ợ ặ ệ ớ ạ ườ ố ự
Gi i h n c a đ tài ch d ng l i vi c xác đnh công th c t ng ớ ạ ủ ề ỉ ừ ạ ở ệ ị ứ ổ
quát c a m t s dãy s , t đó có áp d ng vào m t s bài toán c th . ủ ộ ố ố ừ ụ ộ ố ụ ể
Qua đó, ng i đc có th trang b thêm cho mình ph ng pháp xác đnh ườ ọ ể ị ươ ị
công th c t ng quát c a dãy s . Đc bi t các th y cô có th t ki m tra ứ ổ ủ ố ặ ệ ầ ể ự ể
k t qu và xây d ng cho mình m t l p các bài toán v dãy s đc trình ế ả ự ộ ớ ề ố ượ
bày trong đ tàiề
1
M T S PH NG PHÁP XÁC ĐNH CÔNG TH CỘ Ố ƯƠ Ị Ứ
T NG QUÁT C A DÃY S VÀ XÂY D NG BÀIỔ Ủ Ố Ự
TOÁN V DÃY SỀ Ố
A. PH NG TRÌNH SAI PHÂN TUY N TÍNH C P M TƯƠ Ế Ấ Ộ
Ph ng trình sai phân tuy n tính c p m t là ph ng trình sai phân ươ ế ấ ộ ươ
d ng ạ
*
1 1
, . . ,
n n n
u a u b u f n N
α
+
= + =
trong đó a,b,
α
là các h ng s ,a # 0 và ằ ố
n
f
là bi u th c c a n cho tr cể ứ ủ ướ
D ng 1ạ
Tìm
n
u
tho mãn đi u ki n ả ề ệ
1 1
, . . 0
n n
u a u b u
α
+
= + =
(1.1)
trong đó
, ,a b
α
cho tr c ướ
*
n N
Ph ng pháp gi i ươ ả
Gi i ph ng trình đc tr ng ả ươ ặ ư
. 0a b
λ
+ =
đ tìm ể
Khi đó
n
n
u q
λ
=
(q là h ng s ) , trong đó q đc xác đnh khi bi t ằ ố ượ ị ế
1
u
α
=
Bài toán 1: Xác đnh s h ng t ng quát c a c p s nhân, bi t s h ng ị ố ạ ổ ủ ấ ố ế ố ạ
đu tiên b ng 1 và công b i b ng 2ầ ằ ộ ằ
Bài gi iả Ta có
1 1
2 , 1
n n
u u u
+
= =
(1.2)
2
Ph ng trình đc tr ng có nghi m ươ ặ ư ệ
2
λ
=
V y ậ
.2n
n
u c=
. T ừ
11u=
suy ra
1
2
c=
Do đó
1
2n
n
u−
=
D ng 2ạ
Tìm
n
u
tho mãn đi u ki n ả ề ệ
*
1 1
, ,
n n n
u au bu f n N
α
+
= + =
(2 .1)
trong đó
n
f
là đa th c theo nứ
Ph ng pháp gi i ươ ả
Gi i ph ng trình đc tr ng ả ươ ặ ư
. 0a b
λ
+ =
ta tìm đc ượ
Ta có
0 *
n n n
u u u= +
Trong đó
0
n
u
là nghi m c a ph ng trình thu n nh t (1.1) vàệ ủ ươ ầ ấ
*
n
u
là nghi m riêng tu ý c a ph ng trình không thu n nh t (2.1) V yệ ỳ ủ ươ ầ ấ ậ
0.n
n
u q
λ
=
q là h ng s s đc xác đnh sau ằ ố ẽ ượ ị
Ta xác đnh ị
*
n
u
nh sau : ư
1) N u ế
#1
λ
thì
*
n
u
là đa th c cùng b c v i ứ ậ ớ
n
f
2) N u ế
1
λ
=
thì
*.
n n
u n g=
v i ớ
n
g
là đa th c cùng b c v i ứ ậ ớ
n
f
Thay
*
n
u
vào ph ng trình, đng nh t các h s ta tính đc các h s ươ ồ ấ ệ ố ượ ệ ố
c a ủ
*
n
u
Bài toán 2: Tìm
n
u
tho mãn đi u ki n ả ề ệ
*
1 1
2; 2 ,
n n
u u u n n N
+
= = +
(2.2)
Bài gi i ảPh ng trình đc tr ng ươ ặ ư
1 0
λ
− =
có nghi m ệ
1
λ
=
Ta có
0 *
n n n
u u u= +
trong đó
( )
0 *
.1 ,
n
n n
u c c u n an b= = = +
Thay
*
n
u
và ph ng trình ươ
(2.2) ta đc ượ
( ) ( ) ( )
1 1 2n a n b n an b n+ + + = + +
� �
� �
(2.3)
thay n=1và n=2 vào (2.3) ta đc h ph ng trình sau ượ ệ ươ
3
3 2 1
5 4 1
a b a
a b b
+ = =
� �
� �
+ = = −
� �
Do đó
( )
1
n
u n n= −
Ta có
( )
0 * 1
n n n
u u u c n n= + = + −
Vì
12u=
nên
( )
2 1 1 1 2c c= + − =�
V y ậ
( )
2
2 1 , 2
n n
u n n hay u n n= + − = − +
D ng 3ạ
Tìm
n
u
tho mãn đi u ki n ả ề ệ
*
1 1
, . . ,
n n n
u a u bu v n N
α µ
+
= + =
(3.1)
trong đó
n
f
là đa th c theo nứ
Ph ng pháp gi i ươ ả
Gi i ph ng trình đc tr ng ả ươ ặ ư
. 0a b
λ
+ =
ta tìm đc ượ
Ta có
0 *
n n n
u u u= +
Trong đó
0.n
n
u c
λ
=
, c là h ng s ch a đc xác đnh , ằ ố ư ượ ị
*
n
u
đc xác đnh nh sau :ượ ị ư
1) N u ế
#
λ µ
thì
*.n
n
u A
µ
=
2) N u ế
λ µ
=
thì
*. . n
n
u A n
µ
=
Thay
*
n
u
vào ph ng trình (3.1) đng nh t các h s ta tính đc các h ươ ồ ấ ệ ố ượ ệ
s c a ố ủ
*
n
u
. Bi t ế
1,u
t h th c ừ ệ ứ
0 *
n n n
u u u= +
, tính đc cượ
Bài toán 3: Tìm
n
u
tho mãn đi u ki n ả ề ệ
*
1 1
1; 3. 2 ,
n
n n
u u u n N
+
= = +
(3.2)
Bài gi i Pảh ng trình đc tr ng ươ ặ ư
3 0
λ
− =
có nghi m ệ
3
λ
=
Ta có
0 *
n n n
u u u= +
trong đó
0 *
.3 , .2
n n
n n
u c u a= =
Thay
*.2n
n
u a=
vào ph ng trình (3.2) , ta thu đc ươ ượ
1
.2 3 .2 2 2 3 1 1
n n n
a a a a a
+= + = + = −� �
Suy ra
2n
n
u= −
Do đó
.3 2
n
n
u c n= −
vì
11u=
nên c=1 V y ậ
3 2
n n
n
u= −
4
D ng 4ạ
Tìm
n
u
tho mãn đi u ki n ả ề ệ
*
1 1 1 2
, . ,
n n n n
u a u bu f f n N
α
+
= + = +
(4.1)
Trong đó
1n
f
là đa th c theo n và ứ
2.n
n
f v
µ
=
Ph ng pháp gi i ươ ả
Ta có
0 * *
1 2n n n n
u u u u= + +
Trong đó
0
n
u
là nghi m t ng quát c a ệ ổ ủ
ph ng trình thu n nh t ươ ầ ấ
10
n n
au bu
++ =
,
*
n
u
là m t nghi m riêng c a ộ ệ ủ
ph ng trình không thu n nh t ươ ầ ấ
1 1
. .
n n n
a u b u f
++ =
,
*
2n
u
là nghi m riêng b t ệ ấ
k c a ph ng trình không thu n nh t ỳ ủ ươ ầ ấ
1 2
. .
n n n
a u b u f
++ =
Bài toán 4: Tìm
n
u
tho mãn đi u ki n ả ề ệ
2 *
1 1
1; 2 3.2 ,
n
n n
u u u n n N
+
= = + +
(4.2)
Bài gi i ảPh ng trình đc tr ng ươ ặ ư
2 0
λ
− =
có nghi m ệ
2
λ
=
Ta có
0 * *
1 2n n n n
u u u u= + +
trong đó
0 * 2 *
2
.2 , . . , .2
n n
n n n
u c u a n b n c u An= = + + =
Thay
*
n
u
vào ph ng trình ươ
2
12.
n n
u u n
+= +
, ta đc ượ
( ) ( )
22 2
1 1 2 2 2a n b n c an bn c n+ + + + = + + +
Cho n=1 , n=2 ta thu đc h ph ng trình ượ ệ ươ
2 1 1
4 2
2 2 9 3
a c a
a b c b
a b c c
− = = −
� �
� �
− − = = −�
� �
� �
+ + = − = −
� �
V y ậ
* 2
12 3
n
u n n= − − −
thay
*
2n
u
vào ph ng trình ươ
12. 3.2n
n n
u u
+= +
Ta
đc ượ
( ) ( )
13
1 2 2 .2 3.2 2 1 2 3 2
n n n
A n An A n An A
+
+ = + + = + =� �
V yậ
5