Kinh nghiệm sử dụng tính chất hình học giải bài toán toạ độ

Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ Phan Tấn Phú

Mục lục

1 Mở đầu 3

1.1 Lý do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Mục đích của đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Phạm vi của đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Điểm mới của đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Một số kiến thức lý thyết 5

2.1 Các kiến thức về tam giác và đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.1 Định lý Thales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

. . . . . . 5 2.1.2 Trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp .

. . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1.3 Hệ thức lượng trong tam giác vuông .

. . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.1.4 Định lí cosin . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.1.5 Công thức độ dài đường trung tuyến .

. . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.1.6 Định lí sin . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . 8 2.1.7 Góc ở tâm, góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung .

. . . . . . . . . . . 9 2.2 Các kiến thức về phương pháp toạ độ trong mặt phẳng .

. . . . . . . . . . . . . . 9 2.2.1 Toạ độ của điểm và toạ độ và toạ độ vectơ .

. . . . . . . . . . . . . . 9 2.2.2 Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng .

. . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2.3 Phương trình đường thẳng . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2.4 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng .

. . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2.5 Góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2.6 Phương trình đường tròn . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . 12 2.2.7 Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn .

13 3 Các bài toán

3.1 Sử dụng định lý Thales và tính tỉ số đoạn thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.1.1 Tìm toạ độ điểm chia đoạn thẳng cho trước bởi một tỉ số cho trước . . 13

3.1.2 Tìm toạ độ một điểm thoả mãn đẳng thức vectơ cho trước . . . . . . 13

3.2 Sử dụng tính chất đường phân giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.3 Viết phương trình đường thẳng qua một điểm và tạo với một đường thẳng

góc cho sẵn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ Phan Tấn Phú

3.4 Các kĩ thuật sử dụng toạ độ các điểm cho sẵn . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.4.1 Sử dụng đường thẳng đi qua hai điểm cho sẵn . . . . . . . . . . . . . 19

3.4.2 Tìm một điểm cách hai điểm cho sẵn những khoảng cách đã biết . . . 20

3.5 Góc tạo bởi tiếp tuyến của đường tròn và dây cung . . . . . . . . . . . . . . 22

3.6 Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, diện tích tam giác vuông . . . 24

3.7 Sử dụng các điểm cùng thuộc một đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.8 Kĩ thuật tổng hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.9 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ Phan Tấn Phú

Chương 1

Mở đầu

1.1 Lý do chọn đề tài

Đề thi đại học các năm gần đây thường có bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng. Kì thi

quốc gia năm 2015 sắp đến cũng sẽ có bài toán này. Ở chương 3 hình học lớp 10, học sinh

đã được học phương pháp toạ độ trong mặt phẳng. Tuy nhiên, các bài toán mà học sinh gặp

ở lớp 10 chỉ dừng lại ở việc sử dụng toạ độ như toạ độ của điểm, vectơ, phương trình đường

thẳng, phương trình đường tròn, góc, khoảng cách. Bài toán trong đề thi thì khác hẳn, đó là

bài toán tổng hợp đòi hỏi phải huy động nhiều kiến thức hình học phẳng mà đa số nằm ở

cấp 2 (trung học cơ sở). Nhiều bài toán đòi hỏi phải vận dụng linh hoạt các tính chất hình

học để đi đến lời giải nhanh hơn, còn nếu chỉ sử dụng thuần tuý toạ độ thường được lời giải

sẽ dài dòng, có khi không thể giải được. Đây là một khó khăn thực sự của học sinh trong

việc ôn thi kì thi quốc gia năm 2015 sắp tới. Để giúp học sinh có tài liệu học tập, luyện tập

cho kiểu bài toán này, giáo viên có tài liệu tham khảo, chúng tôi viết chuyên đề “sử dụng

tính chất hình học trong bài toán toạ độ”.

1.2 Mục đích của đề tài

Chuyên đề này nhằm mục đích cung cấp tài liệu học tập, bài tập luyện tập cho học sinh, và

cũng là một tài liệu tham khảo cho giáo viên. Khi đọc tài liệu này, học sinh sẽ được nhắc lại

các kiến thức hình học phẳng ở cấp 2 về tam giác, đường tròn mà có thể các em đã quên, sử

dụng một cách hợp lí các tính chất đó để giải bài toán. Đây còn là một tài liệu tham khảo

cho giáo viên, cung cấp cho giáo viên một phương án tham khảo để hệ thống hoá, phân

chia các dạng bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng.

1.3 Phạm vi của đề tài

Mảng kiến thức liên quan trực tiếp của đề tài là chương 3 hình học lớp 10: phương pháp

toạ độ trong mặt phẳng. Tuy nhiên, đề tài liên quan đến các kiến thức hình học phẳng ở

cấp 2 như: tam giác, đường tròn, hình thang, hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình

vuông, định lý Thales, tiếp tuyến của đường tròn, góc nội tiếp,...

Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ Phan Tấn Phú

1.4 Điểm mới của đề tài

Chúng ta thường thấy bài toán toạ độ trong mặt phẳng trong các đề thi đại học các năm

trước, các để thi thử đại học của các trường. Tuy nhiên đó là các bài toán riêng lẻ trong một

đề thi tổng hợp. Tài liệu hệ thống hoá các dạng bài, các phương pháp giải rất hiếm. Điểm

mới của chuyên đề là cố gắng phân loại (chỉ tương đối) các bài toán. Một điểm mới nữa là

trước khi giải bài toán, chúng tôi phân tích các tính chất hình học để định hướng việc tìm

lời giải. Việc này theo chúng tôi nghĩ là cần thiết, việc phân tích này sẽ giúp cho học sinh

biết tại sao ta lại giải như vậy, cung cấp kinh nghiệm sử dụng từng loại giả thiết về tính chất

hình học khi giải bài toán khác.

Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ Phan Tấn Phú

Chương 2

Một số kiến thức lý thyết

Phần này nhắc lại cho học sinh một số kiến thức lí thuyết hình phẳng ở cấp 2 và kiến thức

phương pháp phương pháp toạ độ trong mặt phẳng hình học lớp 10.

2.1 Các kiến thức về tam giác và đường tròn

2.1.1 Định lý Thales

Định lý thuận. Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh

còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Cụ thể, cho tam giác ABC, một đường thẳng song song với BC, cắt hai cạnh AB, AC của

tam giác ABC lần lượt tại M và N. Khi đó ta có các tỉ số bằng nhau sau

= = AM AB AN AC MN BC

và các tỉ số tương ứng khác.

Định lý đảo. Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh

này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của

tam giác.

Cụ thể, cho tam giác ABC, một đường thẳng d cắt 2 cạnh AB, AC của tam giác ABC tại

= M, N. Nếu (hoặc tỉ số bằng nhau khác tương ứng) thì MN (cid:107) BC. AM AB AN AC

2.1.2 Trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp

1. Trọng tâm:

• Đường trung tuyến của tam giác là đường thẳng qua đỉnh và trung điểm của cạnh

Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ Phan Tấn Phú

• Giao điểm 3 đường trung tuyến gọi là trọng tâm tam giác.

• Cho tam giác ABC có trung tuyến AM và trọng tâm G thì

đối diện.

−→ AM −→ AG = 2 3

• Đường cao của tam giác là đường thẳng qua một đỉnh và vuông góc với cạnh đối

2. Trực tâm:

• Giao điểm 3 đường cao gọi là trực tâm của tam giác.

diện.

• Đường trung trực của đoạn thẳng AB là đường thẳng đi qua trung điểm M của

3. Tâm đường tròn ngoại tiếp:

• Gọi I là giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác ABC thì ta có IA = IB =

AB và vuông góc với AB. Mọi điểm I thuộc trung trực của AB đều có IA = IB.

IC, điểm I gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Đường tròn ngoại

tiếp tam giác là đường tròn đi qua 3 đỉnh của tam giác đó.

Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ Phan Tấn Phú

• Mọi điểm K thuộc đường phân của góc (cid:100)ABC cách đều BA và BC. Nghĩa là nếu gọi H1, H2 là hình chiếu vuông góc của K lên BA, BC thì ta có KH1 = KH2.

• Nếu gọi K là giao điểm 3 đường phân giác trong của tam giác ABC thì khoảng

4. Tâm đường tròn nội tiếp:

cách từ K đến 3 cạnh của tam giác bằng nhau. Khi đó K là tâm đường tròn nội

tiếp tam giác ABC. Đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với 3

cạnh của tam giác đó.

2.1.3 Hệ thức lượng trong tam giác vuông

• Định lí Pitago:

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.

• Nếu biết 2 cạnh góc vuông thì có thể tính được đường cao AH bởi công thức:

BC2 = AB2 + AC2

• Tích 2 cạnh góc vuông bằng tích cạnh huyền với đường cao tương ứng:

1 AH2 = 1 AB2 + 1 AC2

• Nếu biết 1 cạnh góc vuông và cạnh huyền thì có thể tính được hình chiếu của cạnh

AB.AC = BC.AH

góc vuông đó lên cạnh huyền nhờ công thức:

AB2 = BH.BC; AC2 = CH.BC

Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ Phan Tấn Phú

2.1.4 Định lí cosin

Cho tam giác ABC, ta có

BC2 = AB2 + AC2 − 2AB.AC. cos A

Hệ quả

cos A = AB2 + AC2 − BC2 2.AB.AC

Hoán vị 3 đỉnh A, B,C ta có công thức cho các góc còn lại.

2.1.5 Công thức độ dài đường trung tuyến

Cho tam giác ABC, trung tuyến AM, ta có:

AM2 = 2.AB2 + 2.AC2 − BC2 4

2.1.6 Định lí sin

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn bán kính R, ta có

= = = 2R a sin A b sin B c sinC

Trong đó a = BC, b = CA, c = AB. Tỉ số giữa cạnh và sin góc đối diện bằng 2 lần bán kính

đường tròn ngoại tiếp.

2.1.7 Góc ở tâm, góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung

Cho đường tròn tâm I và dây cung AB, C là một điểm trên đường tròn. Ax là tiếp tuyến của đường tròn tại A sao cho (cid:100)xAB là góc nhọn. Khi đó:

• Góc nội tiếp bằng nửa số đo góc ở tâm cùng chắn cung đó, nghĩa là (cid:100)ACB =

Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ Phan Tấn Phú

• Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp chắn cung đó, nghĩa là (cid:100)xAB =

(cid:100)AIB. 1 2

(cid:100)ACB

2.2 Các kiến thức về phương pháp toạ độ trong mặt phẳng

2.2.1 Toạ độ của điểm và toạ độ và toạ độ vectơ

1. Hai vectơ bằng nhau: Cho các vectơ −→a = (a1; a2) và −→ b = (b1; b2.

(cid:40)

−→a = −→ b ⇔ a1 = b1 a2 = b2

• Hai vectơ gọi là cùng phương khi giá của chúng là hai đường thẳng song song

2. Hai vectơ cùng phương, ba điểm thẳng hàng:

−→ b (cid:54)= −→ b (với −→ 0 ) cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số k sao cho

• Điều kiện cần và đủ để ba điểm A, B,C thẳng hàng là tồn tại số thực k sao cho

−→a = k hoặc trùng nhau. • Hai vectơ −→a và −→ b .

−→ AB = k −→ AC.

3. Trung điểm đoạn thẳng: Cho A(xA; yA) và B(xB; yB). Trung điểm của đoạn thẳng AB

là

(cid:19) M ; (cid:18)xA + xB 2 yA + yB 2

4. Trọng tâm tam giác: Cho tam giác ABC có A(xA; yA), B(xB; yB), C(xC; yC). Trung

tâm của tam giác ABC là

(cid:19) G ; (cid:18)xA + xB + xC 3 yA + yB + yC 3

−→ b

−→a

2.2.2 Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ Phan Tấn Phú

1. Góc giữa hai vectơ: Cho hai vectơ −→a và −→ b . Gọi O là điểm tuỳ ý, vẽ

−→ b −→ OB = −→ b kí hiệu là −→ OA = −→a và (cid:17) (cid:16)−→a ; . −→ b . Khi đó góc (cid:100)AOB gọi là góc giữa hai vectơ −→a và (cid:17) −→ b (cid:16)−→a ; Nhận xét 0◦ ≤ ≤ 180◦.

2. Định nghĩa tích vô hướng:

(cid:17) −→ b −→a . −→ b = (cid:16)−→a ; (cid:12) (cid:12) (cid:12). cos (cid:12) (cid:12) −→ (cid:12) (cid:12) b (cid:12). (cid:12) (cid:12) −→a (cid:12) (cid:12)

−→ b được tính bởi 3. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho các −→ b = (b1; b2). Tích vô hướng của −→a và vectơ −→a = (a1; a2),

−→a . −→ b = a1b1 + a2b2

4. Độ dài của vectơ −→a = (a1; a2) là

1 + a2 a2 2

(cid:113)

(cid:12) −→a (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) =

• Toạ độ vectơ

5. Cho hai điểm A(xA; yA) và B(xB; yB).

• Độ dài đoạn thẳng AB là

−→ AB = (xB − xA; yB − yA)

AB = (cid:12) −→ (cid:12) AB (cid:12) (cid:12) (cid:12) = (cid:112)(xB − xA)2 + (yB − yA)2 (cid:12)

2.2.3 Phương trình đường thẳng

1. Phương trình tham số của đường thẳng: Phương trình tham số của đường thẳng đi

−→ 0 là qua điểm M(x0; y0), có một vectơ chỉ phương −→u = (a; b) (cid:54)=

(cid:40)

x = x0 + at y = y0 + bt

2. Phương trình chính tắc của đường thẳng: Khi a và b đồng thời khác 0 thì đường

thẳng trên có phương trình chính tắc là

= x − x0 a y − y0 b

3. Phương trình tổng quát của đường thẳng: Phương trình tổng của đường thẳng đi

−→ 0 là qua điểm M(x0; y0), có một vectơ pháp tuyến −→n = (A; B) (cid:54)=

Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ Phan Tấn Phú

A(x − x0) + B(y − y0) = 0

Chú ý: Vectơ chỉ phương −→u và vectơ pháp tuyến −→n của cùng một đường thẳng vuông góc nhau, khi đó −→u .−→n = 0. Nếu đường thẳng có một vectơ chỉ phương là −→u = (a; b) thì nó có một vectơ pháp tuyến là −→n = (−b; a) hoặc −→n = (b; −a).

2.2.4 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Khoảng cách từ điểm M(x0; y0) đến đường thẳng ∆ : Ax + By +C = 0 là

√ d(M, ∆) = |Ax0 + By0 +C| A2 + B2

2.2.5 Góc

1. Góc giữa hai vectơ: Góc giữa hai vectơ −→u = (u1; u2) và −→v = (v1; v2) được tính bởi

công thức

1 + v2 v2 2

= cos(−→u , −→v ) = (cid:113) (cid:113) −→u .−→v −→v (cid:12) (cid:12).(cid:12) −→u (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) u1v1 + u2v2 1 + u2 u2 2.

Chú ý: 0◦ ≤ (−→u , −→v ) ≤ 180◦

2. Góc của tam giác: Góc A của tam giác ABC là góc giữa hai vectơ −→ AB và −→ AC.

(cid:17) −→ AC = cos A = cos (cid:16)−→ AB;

−→ −→ AB. AC (cid:12) (cid:12) (cid:12) −→ −→ (cid:12) (cid:12) (cid:12) AC AB (cid:12). (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)

• Góc giữa hai đường thẳng cắt nhau là góc nhỏ nhất trong 4 góc được tạo ra bởi

3. Góc giữa hai đường thẳng:

• Nếu hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau thì người ta quy ước góc tạo bởi

chúng.

• Gọi α là góc giữa hai đường thẳng a và b thì 0◦ ≤ α ≤ 90◦.

• Cho hai đường thẳng ∆1 : A1x + B1y +C1 = 0 và ∆2 : A2x + B2y +C2 = 0 có vectơ pháp tuyến lần lượt là −→n1 = (A1; B1), −→n2 = (A2; B2). Khi đó góc α tạo bởi ∆1 và ∆2 được tính bởi công thức

chúng bằng 0◦.

2 + B2 A2 2

= cos α = (cid:113) (cid:113) (cid:12) (cid:12) −→n1.−→n2 (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12).(cid:12) (cid:12) (cid:12) −→n2 −→n1 (cid:12) (cid:12) (cid:12) |A1A2 + B1B2| 1 + B2 A2 1.

Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ Phan Tấn Phú

• Phương trình đường tròn tâm I(a; b) bán kính R là

2.2.6 Phương trình đường tròn

• Phương trình đường tròn còn có dạng

x − a)2 + (y − b)2 = R2

x2 + y2 − 2ax − 2by + c = 0

√ trong đó a2 + b2 − c > 0. Đường tròn này có tâm I(a; b), bán kính R = a2 + b2 − c.

2.2.7 Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn

Cho đường tròn (C) có tâm I bán kính R và đường thẳng ∆. Gọi H là hình chiếu vuông góc

• Nếu IH > R thì đường tròn và đường thẳng không cắt nhau.

• Nếu IH = R thì đường tròn và đường thẳng cắt nhau tại một điểm. Khi đó người ta

của I lên ∆. Khi đó IH = d(I, ∆). Ta có:

nói đường thẳng tiếp xúc với đường tròn, ∆ gọi là tiếp tuyến của đường tròn tại H và

• Nếu IH < R thì đường tròn và đường thẳng cắt nhau tại 2 điểm A, B, H là trung điểm

H gọi là tiếp điểm.

AB và ta có định lí Pitago trong tam giác IHA như sau: R2 = IH2 + HA2.

Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ Phan Tấn Phú

Chương 3

Các bài toán

3.1 Sử dụng định lý Thales và tính tỉ số đoạn thẳng

Trước khi giải quyết bài toán cụ thể liên quan đến việc sử dụng định lý Thales ta tìm hiểu 2

kĩ thuật tìm toạ độ điểm sau đây.

3.1.1 Tìm toạ độ điểm chia đoạn thẳng cho trước bởi một tỉ số cho trước

−→ MA = k Cho trước 2 điểm A(xA; yA), B(xB; yB) phân biệt và số k (cid:54)= 1. Nếu M là điểm trên đường −→ MB thì ta có thể tìm được toạ độ điểm M. Thật vậy, giả sử M(xM; yM). thẳng AB thoả

(cid:40) xM =   −→ MA = k −→ MB ⇔ ⇔ xA − xM = k(xB − xM) yA − yM = k(yB − yM) yM =  xA − k.xB 1 − k yA − k.yB 1 − k

3.1.2 Tìm toạ độ một điểm thoả mãn đẳng thức vectơ cho trước

Tổng quát hoá kĩ thuật ở trên ta có kĩ thuật “tìm toạ độ một điểm thoả mãn đẳng thức vectơ

cho trước”. Nếu trong đẳng thức vectơ cho trước chỉ còn duy nhất một điểm M chưa biết

toạ độ (các điểm khác có mặt trong đẳng thức này đã biết toạ độ) thì ta có thể tìm được toạ

độ điểm M.

Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ vuông góc Oxy, cho hình bình hành ABCD có

M(3; −1) là trung điểm AB. Trọng tâm các tam giác ABC và ABD lần lượt là G(2; 1) và

M(3; −1)

H(4; 0)

G(2; 1)

H(4; 0). Tìm toạ độ các đỉnh của hình bình hành.

= Phân tích. Có toạ độ các điểm M, G, điểm C thuộc đường thẳng MG, đã biết tỉ số MG MC 1 3 nên tìm được toạ độ điểm C. Tương tự, có toạ độ các điểm M, H, điểm D thuộc đường thẳng

Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ Phan Tấn Phú

= −→ MB = MH, đã biết tỉ số nên tìm được toạ độ điểm D. Vì −→ HG nên tìm được toạ MH MD 1 3 3 2 độ điểm B. Vì M là trung điểm AB nên tìm được toạ độ điểm A.

−→ MC = 3 −−→ MG. Do đó Lời giải. Gọi C(xC; yC). Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên

(cid:40) (cid:40)

⇔ xC − 3 = 3(2 − 3) yC + 1 = 3(1 + 1) xC = 0 yC = 5

−−→ MD = 3 −−→ MH. Do đó Suy ra C(0; 5). Tương tự, gọi D(xD; yD). Vì H là trọng tâm tam giác ABD nên

(cid:40) (cid:40)

⇔ xD − 3 = 3(4 − 3) yD + 1 = 3(0 + 1) xD = 6 yD = 2

Suy ra D(6; 2).

= = Tam giác MCD có MH MD MG MC 2 3

−→ MB = = = −→ HG. Gọi . Suy ra nên DH DM HG MB nên HG (cid:107) CD. Do đó HG cũng song song với AB. 2 3 2 3 3 2 Xét tam giác MDB có HG (cid:107) MB và B(xB; yB) ta có (cid:40) (cid:40)

2(2 − 4) 2(1 − 0)

2).

⇔ xB − 3 = 3 yB + 1 = 3 xB = 0 yB = 1 2

2).

(cid:4) Suy ra B(0; 1 Vì M là trung điểm AB nên tìm được A(6; − 5

Bài 2. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình bình hành ABCD. Điểm M(−3; 0) là trung điểm cạnh AB, điểm H(0; −1) là hình chiếu vuông góc của B trên AD và điểm G( 4 3; 3) là trọng tâm của tam giác BCD. Tìm toạ độ các điểm B và D. (Đề thi đại học khối B năm

M(−3; 0)

G( 4

3 ; 3)

H(0; −1)

2014).

Phân tích. Ta sẽ sử dụng những đường thẳng đi qua 2 trong 3 điểm cho sẵn toạ độ là

M, H, G để tìm dần dần toạ độ những điểm khác. Gọi E là giao điểm của MH với BC thì

có thể chứng minh được M là trung điểm của EH. Từ đó tìm được toạ độ E. Gọi F là giao

điểm của GH và BC thì có thể tính được tỉ số . Từ đó có thể tìm được toạ độ của F. Ta FG FH

Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ Phan Tấn Phú

viết được phương trình đường thẳng BC đi qua 2 điểm đã tìm được toạ độ là E và F. Điểm

B là hình chiếu vuông góc của H lên BC nên tìm được toạ độ của B. Muốn tìm toạ độ D

phải tìm toạ độ của I là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành. Muốn tìm I thì cần

tìm A mà M là trung điểm của AB nên có thể tìm được A.

Lời giải. Gọi E là giao điểm của MH và BC. Xét (cid:52)MAH và (cid:52)MBE có: MA = MB; (cid:91)AMH = (cid:91)BME (đối đỉnh); (cid:91)MAH = (cid:91)MBE (so le trong). Suy ra (cid:52)MAH = (cid:52)MBE (góc - cạnh - góc). Suy ra MH = ME hay M là trung điểm HE. Từ đó ta có E(−6; 1).

Gọi F là giao điểm của GH và BC. Vì G là trọng tâm tam giác BCD nên GC = CI. Mà 2 3

CI = AC = . AC nên CG = AC. Suy ra GA = 2GC. 1 2 2 3 1 2 1 3

3; 4). Gọi F(xF ; yF ) ta

−→ HG = ( 4 −→ HG = 2 −→ FG. Ta có

3 = 2(xF − 4 3) 4 = 2(yF − 3)

(cid:52)AGH (cid:118) CGF nên GH = 2GF. Từ đó có: (cid:40) (cid:40) 4 ⇔ xF = 2 yF = 5

Suy ra F(2; 5).

Đường thẳng BC qua E(−6; 1) có vectơ chỉ phương −→ EF = (8; 4) nên có vectơ pháp tuyến

(1; −2). Phương trình của BC là BC : x − 2y + 8 = 0. Đường thẳng d qua H vuông góc với

BC có phương trình d : 2x + y + 1 = 0. B(x; y) là giao điểm của BC và d nên ta có hệ

(cid:40) (cid:40) x − 2y + 8 = 0 x = −2 ⇔ 2x + y + 1 = 0 y = 3

Suy ra B(−2; 3).

3 ; −6). Gọi I(xI; yI). Vì

−→ GI = −→ AG = (− 16 −→ GA nên: Vì M là trung điểm AB nên A(−4; −3). 1 4

(cid:40) (cid:40)

4.(− 16 3 ) 4.(−6)

⇔ xI − 4 3 = 1 yI − 3 = 1 xI = 0 yI = 3 2

2). Vì I là trung điểm BD nên tìm được D(2; 0). Vậy B(−2; 3) và D(2; 0).

(cid:4) Suy ra I(0; 3

3.2 Sử dụng tính chất đường phân giác

Cách sử dụng giả thiết đường phân giác thông thường là sử dụng 2 góc bằng nhau. Cách này

thường thu được những phương trình phức tạp, giải được nhiều nghiệm và phải tìm cách

loại nghiệm. Ta nên ưu tiên sử dụng tính chất đối xứng như sau:

Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ Phan Tấn Phú

Cho At là đường phân của góc (cid:100)xAy. Cho M là một điểm trên Ax, gọi N là điểm đối xứng với M qua At. Khi đó N thuộc tia Ay.

G(1; 1)

B(−4; 1)

d : x − y − 1 = 0

Bài 3. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B(−4; 1), trọng tâm G(1; 1) và đường thẳng chứa đường phân giác trong của góc (cid:100)BAC là d : x − y − 1 = 0. Tìm toạ độ đỉnh C.

−→ BG = 2 Phân tích. Gọi N là trung điểm AC. Vì −→ GN nên tìm được toạ độ điểm N. Gọi E là

điểm đối xứng với B qua d. Ta có E thuộc AC và tìm được toạ độ E. Ta lập được phương

trình đường thẳng AC là đường thẳng qua 2 điểm N, E. Vì A là giao điểm của d và AC nên

−→ AG = 2 tìm được toạ độ của A. Gọi M là trung điểm BC, từ −−→ GM tìm được M. Vì G là trọng

tâm tam giác ABC, áp dụng công thức toạ độ trọng tâm ta tìm được toạ độ điểm C.

Lời giải. −→ BG = 2 −→ GN nên −→ BG = (5; 0). Gọi N(xN; yN) là trung điểm AC. Vì

(cid:40) (cid:40)

⇔ xN = 7 2 yN = 1 5 = 2(xN − 1) 0 = 2(yN − 1)

Suy ra N( 7 2; 1). Gọi E là điểm đối xứng với B qua d. Ta có E thuộc AC. Gọi ∆ là đường thẳng qua B và vuông góc với d, ta có ∆ : x + y + 4 = 0. Gọi H(x; y) là giao điểm của ∆ với

d, ta có: (cid:40) (cid:40) x − y − 1 = 0 ⇔ x + y + 4 = 0 x = − 3 2 y = − 5 2

2; − 5

9 ; 30

Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ Phan Tấn Phú

9 − 4 + xC = 3 30 9 + 1 + yC = 3

Suy ra H(− 3 2). Vì H là trung điểm BE nên E(1; −6). Đường AC qua E(1; −6) nhận −→ 2; 7) làm vectơ chỉ phương, hay có một vectơ pháp tuyến là −→n = (14; −5). Từ EN = ( 5 đó phương trình AC là AC : 14x − 5y − 44 = 0. Vì A là giao điểm của d : x − y − 1 = 0 và AC : 14x − 5y − 44 = 0 nên tìm được A( 39 9 ). Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên C(xC; yC) thoả (cid:40) (cid:40) 39 ⇔ xC = 8 3 yC = − 4 3

3; − 4 3).

5 ; − 1

Vậy C( 8

M(0; 1)

D(5; 3)

H( 17

5 ; − 1 5 )

Bài 4. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có chân đường cao hạ từ đỉnh A là H( 17 5), chân đường phân giác trong của góc A là D(5; 3) và trung điểm của cạnh AB là M(0; 1). Tìm toạ độ đỉnh C. (Đề thi đại học khối B năm 2013, câu 7b).

Phân tích. Đường thẳng AH qua H và vuông góc với HD nên ta viết được phương trình

AH. Tam giác ABH vuông tại H có M là trung điểm cạnh huyền AB nên MA = MH. Kết

hợp A thuộc đường thẳng DH và MA = MH tìm được toạ độ điểm A. Ta viết được phương

trình đường phân giác AD. Gọi N là điểm đối xứng với M qua phân giác AD thì ta tìm được

toạ độ N. Ta viết được phương trình đường thẳng AC qua 2 điểm A và N. Đường thẳng BC

qua hai điểm D và H nên viết được phương trình BC. Vì C là giao điểm của hai đường thẳng

AC và BC nên tìm được toạ độ của C.

Lời giải. Dành cho độc giả.

3.3 Viết phương trình đường thẳng qua một điểm và tạo với một

đường thẳng góc cho sẵn

Bài 5. Cho đường thẳng d : 3x − 2y + 1 = 0 và điểm A(2; 4). Viết phương trình đường thẳng ∆ biết ∆ đi qua A và tạo với d một góc 45◦.

∆

45◦

Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ Phan Tấn Phú

Phân tích. Dựa vào hình vẽ ta có thể dự đoán có 2 đáp số đường thẳng ∆ cần tìm.

Lời giải. Gọi −→n = (a; b) là một vectơ pháp tuyến của ∆ (với a2 + b2 (cid:54)= 0). Phương trình đường thẳng ∆ đi qua A(2; 4) nhận −→n = (a; b) làm một vectơ pháp tuyến có dạng:

a(x − 2) + b(y − 4) = 0

⇔ax + by − 2a − 4b = 0 (1)

Vì góc giữa d và ∆ bằng 45◦ nên

√ cos 45◦ = a2 + b2 |3a − 2b| √ 13. √ (cid:113) ⇔ 2|3a − 2b| = 13(a2 + b2)

⇔2(9a2 − 12ab + 4b2) = 13(a2 + b2) ⇔5a2 − 24ab − 5b2 = 0 (2)

Nếu b = 0 thì a = 0 khi đó −→n = (0; 0) không thể là vectơ pháp tuyến. Do đó b (cid:54)= 0. Chia 2 vế của phương trình (2) cho b2 ta được

(cid:17) (cid:17)2 − 24 − 5 = 0 (cid:16)a b

• Trường hợp a

b = 5 hay a = 5b thay vào (1) ta được phương trình ∆ là

⇔ (cid:16)a 5 b (cid:34) a b = 5 a b = − 1 5

5bx + by − 10b − 4b = 0

• Trường hợp a

b = − 1

5 hay a = − 1

5b thay vào (1) ta được phương trình ∆ là

⇔5x + y − 14 = 0

− bx + by + b − 4b = 0 1 5 2 5

⇔ − x + 5y − 18 = 0

(cid:4) Vậy phương trình đường thẳng ∆ cần tìm là 5x + y − 14 = 0 hoặc −x + 5y − 18 = 0.

Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ Phan Tấn Phú

3.4 Các kĩ thuật sử dụng toạ độ các điểm cho sẵn

3.4.1 Sử dụng đường thẳng đi qua hai điểm cho sẵn

Bài 6. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD có điểm M là trung điểm

đoạn AB và N là điểm thuộc đoạn AC sao cho AN = 3NC. Viết phương trình đường thẳng

CD, biết rằng M(1; 2), N(2; −1). (Đề thi đại học khối A năm 2014).

Cách 1: Viết phương trình đường thẳng qua một điểm và tạo với một đường thẳng góc có

N(2; −1)

M(1; 2)

sẵn.

Phân tích. Có sẵn toạ độ 2 điểm M, N nên đường thẳng MN là cố định. Nếu gọi E là giao

điểm của hai đường thẳng MN và CD thì ta sẽ tính được tỉ số . Từ đó có thể tìm được ME MN toạ độ điểm E. Đề bài yêu cầu lập phương trình đường thẳng CD mà CD đi qua điểm E đã

biết. Dùng kiến thức hình học tổng hợp tính được cosin của góc giữa hai đường thẳng CD

và MN (tính cos α). Viết phương trình đường thẳng qua E tạo với MN một góc α đã có, đó là phương trình đường thẳng CD cần tìm.

= = . Suy ra ME = MN. Mà −−→ ME và −−→ MN cùng Lời giải. Vì EC (cid:107) AM nên NE NM 1 3 4 3

−−→ ME = hướng nên ta có NC NA −−→ MN. Gọi E(xE; yE) ta có: 4 3

(cid:40) (cid:40)

3(2 − 1) 3(−1 − 2)

⇔ xE = 7 3 yE = −2 xE − 1 = 4 yE − 2 = 4

3; −2).

Từ đó ta có E( 7

Ta tính góc giữa hai đường thẳng MN và CD. Gọi F là giao điểm của đường thẳng MN và

AM = = = đường thẳng BC. Đặt cạnh hình vuông ABCD là r. Ta có EC = . Từ EC MB FC FB 1 3 r 6

Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ Phan Tấn Phú

√ √ r BC = FC2 + EC2 = suy ra FC = . 1 2 10 6

= . r 1 3 2 Đặt α = (cid:91)FEC thì cos α = . Tam giác FCE vuông tại C nên EF = EC EF 1 √ 10

Gọi −→n = (a; b) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng CD (với a2 + b2 (cid:54)= 0). Vì CD qua E nên phương trình của CD có dạng

(cid:18) (cid:19) a x − + b(y + 2) = 0 7 3

⇔ax + by − a + 2b = 0 (1) 7 3

−−→ MN = (1; −3) nên một vectơ pháp tuyến của đường thẳng MN là −→ n(cid:48) = (3; 1). Vì hai đường

nên thẳng CD và MN tạo với nhau góc α có cos α = 1 √ 10

|3a + b| √ √ = 1 √ 10 a2 + b2 10. (cid:112) a2 + b2

⇔|3a + b| = ⇔9a2 + 6ab + b2 = a2 + b2 ⇔8a2 + 6ab = 0

(cid:34)

• Trường hợp a = 0 thì b (cid:54)= 0 thế vào (1) ta có phương trình của CD là

⇔ a = 0 a = − 3b 4

• Trường hợp a = − 3b

4 thì b (cid:54)= 0 thế vào (1) ta có phương trình của CD là

by + 2b = 0 ⇔ y + 2 = 0

− x + by + + 2b = 0 ⇔ −3x + 4y + 15 = 0 3b 4 7b 4

(cid:4) Vậy phương trình đường thẳng CD cần tìm là y + 2 = 0 hoặc −3x + 4y + 15 = 0.

3.4.2 Tìm một điểm cách hai điểm cho sẵn những khoảng cách đã biết

Cách 2. Khai thác toạ độ hai điểm cho sẵn để tìm thêm một điểm nào đó trên đường thẳng

CD.

N(2; −1)

M(1; 2)

Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ Phan Tấn Phú

Phân tích. Muốn viết phương trình đường thẳng CD thì bắt buộc phải tìm toạ độ một điểm

nào đó trên đường thẳng CD. Điểm đó có thể là C hoặc D, hoặc “khôn ngoan” hơn nữa là

trung điểm I của CD. Trong đáp án chính thức của Bộ Giáo dục thì người ta đi tìm toạ độ

điểm I. Ta sẽ tìm điểm I vì nếu tìm được I thì CD sẽ là đường thẳng qua I và vuông góc với

IM. Muốn tìm toạ độ điểm I ta đi cần biết khoảng cách từ I đến 2 điểm mà đề cho sẵn toạ độ

là M và N, nghĩa là tính IM và IM. Sau đó đặt ẩn cho toạ độ điểm I đi giải hệ phương trình.

Tuy nhiên, cần biết cạnh của hình vuông thì mới tính được IM và IN. Việc tính cạnh của

hình vuông buộc phải dùng đến độ dài cho sẵn MN. Ta sẽ đưa đoạn MN vào một tam giác

nào đó rồi áp dụng định lý cosin để tính cạnh hình vuông. Tam giác được chọn là (cid:52)IMN

(hoặc (cid:52)AMN đều được).

√ 10. Đặt cạnh hình vuông là r. Tam giác

r √ 2 BD = IMN có IM = r, IN = , (cid:100)MIN = 45◦. Áp dụng định lý cosin trong tam giác Lời giải. Gọi I là trung điểm CD. Ta có MN = 1 4 4 IMN ta có

MN2 = IM2 + IN2 − 2.IM.IN. cos 45◦

r √ 2 . − 2.r. ⇔10 = r2 + r2 8 4 √ 2 2

⇔10 = 5r2 8

⇔r = 4

Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ Phan Tấn Phú

√ Từ đó ta có IM = 4, IN = 2. Gọi I(x0; y0) ta có

(cid:40)

IM2 = 16 IN2 = 2

(cid:40)

⇔

(cid:40)

⇔

0 − 2x0 − 4y0 = 11 0 − 4x0 + 2y0 = −3 0 − 2x0 − 4y0 = 11

(cid:40)

⇔

0 − 2(7 + 3y0) − 4y0 = 11

(cid:40)

⇔ (x0 − 1)2 + (y0 − 2)2 = 16 (x0 − 2)2 + (y0 + 1)2 = 2 x2 0 + y2 0 + y2 x2 0 + y2 x2 2x0 − 6y0 = 14 (7 + 3y0)2 + y2 x0 = 7 + 3y0

0 + 32y0 + 24 = 0

(cid:40)

⇔

10y2 x0 = 7 − 3y0 (cid:40) 

⇔ (cid:40)     

x0 = 1 y0 = −2 x0 = 17 5 y0 = − 6 5

• Trường hợp x0 = 1; y0 = −2 ta có I(1; −2) và

−→ IM = (0; 4). Đường thẳng CD qua I

nhận −→ IM làm một vectơ pháp tuyến nên có phương trình y + 2 = 0.

• Trường hợp x0 = 17

5 ; y0 = − 6

5 ). Đường thẳng CD

5 ta có I( 17

5 ; − 6

5 ; 16

5) và −→ IM làm một vectơ pháp tuyến nên có phương trình 3x − 4y − 15 = 0.

−→ IM = (− 12

qua I nhận

(cid:4) Vậy phương trình đường thẳng CD cần tìm là y + 2 = 0 hoặc 3x − 4y − 15 = 0.

3.5 Góc tạo bởi tiếp tuyến của đường tròn và dây cung

Bài 7. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có chân đường phân giác

trong của góc A là điểm D(1; −1). Đường thẳng AB có phương trình 3x + 2y − 9 = 0, tiếp

tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình x + 2y − 7 = 0. Viết

phương trình đường thẳng BC. (Đề thi đại học khối D năm 2014).

∆

D(1; −1)

Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ Phan Tấn Phú

Phân tích. Đặt d : x + 2y − 7 = 0 là tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC. A là giao điểm của đường thẳng AB : 3x + 2y − 9 = 0 và d nên tìm được toạ độ điểm

A. Ta đã biết đường thẳng BC đi qua D(1; −1). Muốn viết phương trình đường thẳng BC thì

cần tìm thêm toạ độ một điểm nào đó (khác D) trên đường thẳng BC. Để sử dụng giả thiết

đề cho phương trình hai đường thẳng AB và d thì ta nên tìm điểm B hoặc giao điểm E của

d với BC; không nên tìm toạ độ điểm C vì không có thêm giả thiết gì liên quan đến C.

Còn giả thiết D(1; −1) là chân đường phân giác trong kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC chưa

được dùng. Khi sử dụng tính chất của góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung kết hợp với giả

thiết phân giác ta có thể chứng minh được tam giác ADE cân tại E. Suy ra E thuộc đường

trung trực ∆ của AD. Vì viết được phương trình của ∆ nên tìm được E chính là giao điểm

của d và ∆. Vậy BC là đường thẳng đi qua hai điểm D và E.

Lời giải. Đặt d : x + 2y − 7 = 0 là tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Vì A là giao điểm của đường thẳng AB : 3x + 2y − 9 = 0 và d nên A(x; y) thoả mãn:

(cid:40) (cid:40) x + 2y − 7 = 0 x = 1 ⇔ 3x + 2y − 9 = 0 y = 3

Suy ra A(1; 3).

Ta có (cid:100)EAB = (cid:100)ACB (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp chắn cung đó). Ta lại có (cid:100)BAD = (cid:100)CAD (AD là phân giác trong kẻ từ A của tam giác ABC). Suy ra

(cid:91)ADE = (cid:100)CAD + (cid:100)ACB (góc ngoài tam giác ACD)

= (cid:100)EAB + (cid:100)BAD = (cid:91)EAD

Suy ra tam giác ADE cân tại E. Suy ra E thuộc trung trực ∆ của AD. Gọi H là trung điểm

−→ AD = (0; 4) làm vectơ pháp tuyến nên có AD ta có H(1; 1). Đường thẳng ∆ qua H nhận

Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ Phan Tấn Phú

phương trình ∆ : y − 1 = 0. Vì E là giao điểm của d và ∆ nên E(x; y) thoả mãn:

(cid:40) (cid:40) x + 2y − 7 = 0 x = 5 ⇔ y − 1 = 0 y = 1

Suy ra E(5; 1). −→ DE = (4; 2). Đường thẳng BC qua D(1; −1), nhận −→n = (2; −4) làm vectơ

pháp tuyến nên có phương trình BC : x − 2y − 3 = 0.

(cid:4) Vậy BC : x − 2y − 3 = 0.

3.6 Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, diện tích tam

giác vuông

Bài 8. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y2 = 2x. Tam giác ABC vuông tại A có AC là tiếp tuyến của (C) trong đó A là tiếp điểm, chân đường cao

kẻ từ A là H(2; 0). Tìm toạ độ đỉnh B của tam giác ABC biết B có tung độ dương và diện

I(1; 0)

H(2; 0)

tích tam giác ABC bằng . (Đề thi thử lần 1 năm 2015 tạp chí Toán học và tuổi trẻ). 2 √ 3

Phân tích. Đường tròn (C) có tâm I(1; 0) và bán kính R = 1. Trước tiên ta chứng minh AB

là đường kính của (C). Để tìm toạ độ điểm B ta tính khoảng cách từ B đến 2 điểm cho sẵn

là I và H. Thứ nhất, IB = R = 1. Thứ hai, để tính BH phải sử dụng giả thiết diện tích tam

giác ABC và hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC với đường cao AH. Có diện tích tam giác ABC và có AB = 2R = 2 nên tính được AC. Dùng hệ thức lượng AB2 = BH.BC, trong đó BC có thể tính được nhờ định lý Pitago nên ta tính được BH. Đặt ẩn cho toạ độ điểm H

và dùng độ dài 2 đoạn thẳng IB, HB đã biết sẽ có hệ phương trình để giải tìm toạ độ điểm

Lời giải. Đường tròn (C) có tâm I(1; 0), bán kính R = 1. Tam giác ABC vuông tại A và

AC là tiếp tuyến vuông góc với bán kính AI nên 3 điểm A, I, B thẳng hàng (1). Nhận xét H ∈ (C). Vì H là chân đường cao kẻ từ A của tam giác ABC nên (cid:91)AHB = 90◦ (2). Từ (1)

Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ Phan Tấn Phú

và (2) suy ra AB là đường kính của (C). Ta có IB = 1 (3). AB = 2, diện tích tam giác ABC

bằng nên: 2 √ 3

AB.AC = ⇒ AC = 1 2 2 √ 3 2 √ 3

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác ABC, ta có:

(cid:112) BC = AB2 + AC2 = 4 √ 3

Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông

ta có √ AB2 = BH.BC ⇒ BH = = = 3 (4)

4 4√ 3 AB2 BC √ 3 nên ta có: Gọi H(x0; y0). Từ (3) và (4): IB = 1 và HB =

(cid:40)

IB2 = 1 HB2 = 3

(cid:40)

⇔

(cid:40)

0 = 1 0 = 3 0 − 2x0 = 0 0 − 4x0 = −1

⇔

(cid:40)

⇔



√ 3 2

⇔ (cid:40)      (x0 − 1)2 + y2 (x0 − 2)2 + y2 0 + y2 x2 0 + y2 x2 x0 = 1 2 0 = 3 y2 4 (cid:40) x0 = 1 2 √ 3 y0 = 2 x0 = 1 2 y0 = −

√ 3 2 ).

(cid:4) Vì B có tung độ dương nên B( 1 2;

Bài 9. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho đường thẳng ∆ : x − y = 0. Đường tròn √ √ (C) có bán kính R = 2. Tiếp tuyến của (C) 10 cắt ∆ tại hai điểm A, B sao cho AB = 4

tại A và B cắt nhau tại một điểm thuộc tia Oy. Viết phương trình đường tròn (C). (Đề thi

đại học khối A năm 2013, câu 7b).

∆ : x − y = 0

Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ Phan Tấn Phú

Phân tích. Gọi M là giao điểm của tiếp tuyến tại A và B của (C), gọi H là giao điểm

của AB và IM. Vì M thuộc Oy nên M(0;t). Đề cho AB nên tính được HA = . Theo đề AB 2 √ R = IA = 10. Ta sẽ tìm điểm M bằng cách tính khoảng cách từ điểm M đến ∆. Dùng hệ

thức lượng trong tam giác vuông MAI có thể tính được MH. Dùng khoảng cách từ M đến

∆ bằng MH vừa tính ta sẽ tìm được toạ độ của M. H là hình chiếu vuông góc của M lên ∆

nên ta tìm được toạ độ H. Vì tính được tỉ số nên tìm được toạ độ điểm I, từ đó ta viết HI MH được phương trình đường tròn (C).

Lời giải. Dành cho độc giả.

3.7 Sử dụng các điểm cùng thuộc một đường tròn

Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bẳng nửa cạnh huyền. Cách

phát biểu tương đương là: “Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm cạnh

huyền của tam giác đó”. Sử dụng những tính chất trên ta có thể chứng minh được các điểm

cùng thuộc một đường tròn.

Bài 10. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc

đường thẳng d : 2x + y + 5 = 0 và A(−4; 8). Gọi M là điểm đối xứng của B qua C, N là hình

chiếu vuông góc của B trên đường thẳng MD. Tìm toạ độ điểm B và C biết rằng N(5; 4).

A(−4; 8)

N(5; −4)

(Đề thi đại học khối A năm 2013, câu 7a).

Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ Phan Tấn Phú

Phân tích. Vì C thuộc d : 2x + y + 5 = 0 nên gọi C(t; −2t − 5). Gọi I giao điểm hai đường

chéo của hình chữ nhật ABCD. Vì I là trung điểm AC nên ta tính được toạ độ của I theo t.

Vì N thuộc đường tròn đường kính BD (cũng là đường tròn đường kính AC) nên IA = IN.

Giải phương trình IA = IN ta tìm được t, từ đó có được toạ độ của I và C. Dự đoán B là

điểm đối xứng với N qua đường thẳng AC. Khi chứng minh được dự đoán này thì ta tìm

được toạ độ điểm C.

Lời giải. Dành cho độc giả.

3.8 Kĩ thuật tổng hợp

Bài 11. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có hai đường chéo

vuông góc với nhau và AD = 3BC. Đường thẳng BD có phương trình x + 2y − 6 = 0 và tam

giác ABD có trực tâm là H(−3; 2). Tìm toạ độ các đỉnh C và D. (Đề thi đại học khối B năm

H(−3; 2)

2013, câu 7a).

Phân tích. Gọi I là giao điểm của AC và BD. Ta chứng minh được tam giác IBC và HBC

vuông cân nên suy ra được I là trung điểm HC. Do đó C là điểm đối dứng của I của I nên

= = thêm khoảng cách từ C đến một điểm đã biết nào đó, chẳng hạn tính ID. Vì BC AD IB IC tìm được toạ độ điểm C. Vì D thuộc đường thẳng BC nên để tìm toạ độ điểm C ta cần tính 1 3 và có IB nên tính được ID. Từ đó đặt ẩn giải phương trình ta tìm được toạ độ điểm D (2 đáp

số).

2; 3

Lời giải. Dành cho độc giả.

Bài 12. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm M(− 9 2) là trung điểm cạnh AB, điểm H(−2; 4) và điểm I(−1; 1) lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và tâm

đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tìm toạ độ điểm C. (Đề thi đại học khối D năm 2013,

câu 7a).

M(− 9

2 ; 3 2 )

I(−1; 1)

H(−2; 4)

Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ Phan Tấn Phú

Phân tích. Ta viết được phương trình đường thẳng AB đi qua M và vuông góc với IM.

−→ HA. Tham số hoá toạ độ điểm A theo t. Tính được toạ độ điểm B theo t. Từ −→ HB = 0 ta giải

phươngt trình tìm được 2 nghiệm t. Ta viết được phương trình đường thẳng AC qua A và

H. Tham số toạ toạ độ điểm C rồi dùng IC = IA tìm được toạ độ C (loại một kết quả của C

trùng A).

Lời giải. Dành cho độc giả.

3.9 Bài tập

Bài 13. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : (x − 1)2 + (y − 1)2 = 4 và đường thẳng ∆ : y − 3 = 0. Tam giác MNP có trực tâm trùng với tâm của (C), các đỉnh

N và P thuộc ∆, đỉnh M và trung điểm của cạnh MN thuộc (C). Tìm toạ độ điểm P. (Đề thi

đại học khối D năm 2013, câu 7b).

Bài 14. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại B có BC =

5; 8

BC, điểm H( 4

2BA. Điểm M(2; −2) là trung điểm cạnh AC. Gọi N là điểm trên cạnh BC sao cho BN = 1 5) là giao điểm của AN và BM. Xác định toạ độ các đỉnh của tam giác 4 ABC, biết điểm N nằm trên đường thẳng x + 2y − 6 = 0.

Bài 15. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C) có phương trình (x − 2)2 + (y − 3)2 = 26, điểm G(1; 8 3) là trọng tâm tam giác và M(7; 2) nằm trên đường thẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC, M khác A. Tìmt toạ độ

2; 5

các đỉnh của tam giác ABC biết tung độ điểm B lớn hơn tung độ điểm C.

Bài 16. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm B(1; 3) và diện tích bằng 30. Gọi E là điểm nằm trên cạnh BC sao cho EC = 2EB, điểm H( 5 2) là hình chiếu vuông góc của đỉnh B trên đường thẳng DE. Biết C có tung độ âm, tìm toạ đ6ọ

các đỉnh còn lại của hình chữ nhật ABCD.

Sử dụng tính chất hình học trong bài toán toạ độ Phan Tấn Phú

Bài 17. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình bình hành ABCD có đỉnh D(−7; 0). Một điểm P nằm trong hình bình hành sao cho (cid:100)PAB = (cid:100)PCB. Phương trình đường thẳng chứa PB và PC lần lượt là d1 : x + y − 2 = 0 và d2 : 2x − y − 1 = 0. Tìm toạ độ đỉnh A, biết rằng đỉnh A thuộc đường thẳng y = 3x và A có hoành độ nguyên.

Bài 18. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, có đỉnh A(−1; 4),

trực tâm H. Đường thẳng AH cắt cạnh BC tại M, đường thẳng CH cắt cạnh AB tại N. Tâm

đường tròn ngoại tiếp tam giác HMN là I(2; 0), đường thẳng BC đi qua điểm P(1; −2). Tìm

toạ độ các đỉnh B,C của tam giác ABC biết đỉnh B thuộc đường thẳng d : x + 2y − 2 = 0.

(Đề thi thử năm 2015 lần 2 của trường THPT Minh Châu, Hưng Yên).

, điểm H thoả mãn điều kiện 3; − 4

Bài 19. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có (cid:100)ACD = α với −→ −→ cos α = 1√ HC, K là giao điểm của hai đường thẳng HB = −2 5 AH và BD. Cho biết H( 1 3), K(1; 0) và điểm B có hoành độ dương. Tìm toạ độ các điểm A, B,C, D.