1
PHẦN I – ĐẶT VẤN ĐỀ
Toán học có vị trí đặc biệt trong việc nâng cao và phát triển dân trí. Toán
học không chỉ cung cấp cho học sinh (người học Toán) những kỹ năng tính toán
cần thiết mà còn là điều kiện chủ yếu rèn luyện khả năng tư duy lôgic, một
phương pháp luận khoa học.
Trong dạy học Toán thì việc tìm ra những phương pháp dạy học và giải
bài tập Toán đòi hỏi người giáo viên phải chọn lọc, hệ thống bài tập, sử dụng
đúng phương pháp dạy học để góp phần hình thành và phát triển tư duy của học
sinh. Đồng thời qua việc học Toán học sinh cần được bồi dưỡng, rèn luyện về
phẩm chất đạo đức, các thao tác tư duy để giải các bài tập Toán trong đó có các
bài toán về bất đẳng thức cũng là một trong những bài toán hay giúp học sinh
phát huy cao độ tính tư duy, trí tuệ cho học sinh.
Bài toán bất đẳng thức là bài toán khó vì phạm vi kiến thức rộng, đặc
biệt là với học sinh THCS. Là giáo viên dạy ở THCS tôi thấy khi dạy toán bất
đẳng thức đó là: Bất đẳng thức Côsi là một bất đẳng thức có ứng dụng rộng rãi
trong việc chứng minh bài toàn bất đẳng thức và còn ứng dụng trong giải các
dạng toán khác, tuy nhiên học sinh có hiểu biết về bất đẳng thức này cũng như
những ứng dụng của nó rất hạn chế. Trong các kì thi học sinh giỏi học sinh
thường mất điểm đối với các bài toán liên quan đến bất đẳng thức.
Vì vậy: Để giải góp phần quyết vấn đề này, mặt khác nâng cao năng lực
giải toán và bồi dưỡng khả năng tư duy sáng tạo của học sinh, chúng tôi đã chọn
đề tài:" Hƣớng dẫn học sinh khá, giỏi tìm hiểu về bất đẳng thức CÔSI"
nhằm trang bị cho các em những kiến thức cơ bản về kỹ thuật sử dụng và các
ứng dụng của bất đẳng thức C, đặc biệt là với các học sinh khá giỏi. Từ đó khi
các em tiếp xúc với một bài toán, các em có thể chủ động được cách giải ,chủ
động tư duy tìm hướng giải quyết cho bài toán, như vậy hiệu quả sẽ cao hơn.
Qua những bài toán về về bất đẳng thức mà học sinh đã giải được, tôi
định hướng cho các em tư duy, tập trung nghiên cứu thêm về lời giải, về kết quả
bài toán đó. Bằng các hình thức như:
- Kiểm tra cách làm. Xem xét lại các lập luận, xem lại kỹ năng áp dụng Bất
đẳng thức Côsi trong bài đó.
- Nghiên cứu, tìm tòi, . . . với việc tập trung giải quyết các vấn đề như:
Liệu các bài toán ở dạng khác có thể sử dụng Bất đẳng thức Côsi được hay
không? Có thể khai thác giả thiết bài toán như thế nào cho phù hợp? Các dạng
của Bất đẳng thức Côsi được sử dụng trong mỗi bài toán có mối liên hệ như thế
nào với nhau? Mỗi bài toán đã giải được cũng như một kiến thức toán học sử
dụng trong bài toán đó liệu có thể sử dụng để giải các bài toán khác hay không?
2
Trong đề tài này, chúng tôi xin minh hoạ một số kỹ năng sử dụng bất đẳng
thức Cosi, thấy được các ứng dụng của bất đẳng thức Côsi trong việc giải các
dạng toán khác. Nhằm giúp học sinh thấy được cái hay, cái đẹp, sự thú vị trong
học toán nói chung và trong bất đẳng thức nói riêng. Từ đó, giúp học sinh tự tin,
tích cực, sáng tạo hơn trong học toán; giúp học sinh thêm yêu thích, nâng cao
chất lượng, kết quả học tập môn toán.
PHẦN II- NỘI DUNG
A. THỰC TRẠNG, MỤC ĐÍCH VÀ PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
1. Thực trạng của vấn đề.
- Khi giảng dạy trên lớp gặp một số bài tập về bất đẳng thức tôi thấy học
sinh còn rất nhiều lúng túng trong việc làm bài tập, hay định hướng cách làm,
đặc biệt là học sinh học ở mức độ trung bình.
- Giáo viên khi dạy về bất đẳng thức chỉ chữa bài tập là xong, ít khai thác,
phân tích đề tài mở rộng bài toán mới dẫn đến khi học sinh gặp bài toán khác
một chút là không giải được.
- Học sinh thường ngại học toán bất đẳng thức vì kiến thức không liền
mạch, phương pháp giải hạn chế, các bài toán bất đẳng thức thường khó, phải áp
dụng các kiến thức khó như: quy nạp toán học, phản chứng,... nên học sinh hay
ngại và học sinh chưa vận dụng được toán bất đẳng thức vào để giải các bài toán
khó như cực trị, hàm số,...
2. Mục đích nghiên cứu.
a. Đối với giáo viên:
- Nâng cao trình độ chuyên môn phục vụ cho quá trình giảng dạy.
- Làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nâng cao kiến thức.
b. Đối với học sinh:
- Giúp học sinh học tập môn toán nói chung và việc giải bài tập về chứng minh
bất đẳng thức nói riêng. Trang bị cho học sinh một số kiến thức mới nhằm nâng
cao năng lực học môn toán giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động, sáng tạo
và làm công cụ giải quyết một số bài tập có liên quan đến bất đẳng thức.
- Bồi dươngc năng lực toán cho học sinh, khắc phục một phần hạn chế trong các
kì thi học sinh khá giỏi.
- Giải đáp những thắc mắc, sửa chữa những sai lầm hay gặp khi giải toán bất
đẳng thức trong quá trình dạy học.
- Giúp học sinh nắm vững một cách có hệ thống các kỹ thuật sử dụng bất đẳng
thức Côsi và ứng dụng của bất đẳng thức trong giải các bài tập toán liên quan.
3
Thông qua việc giải các bài toán bất đẳng thức giúp học sinh thấy rõ mục
đích của việc học toán và học tốt hơn toán bất đẳng thức.
3. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý thuyết thông qua SGK, tài liệu tham khảo của học sinh tại
trường. Nghiên cứu qua mạng Internet.
- Nghiên cứu qua việc rút kinh nghiệm, học hỏi thầy cô giáo, đồng nghiệp.
- Sử dụng phương pháp phân tích tổng hợp.
4. Kết quả cần đạt.
- Trong đề tài này đưa ra một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức Côsi với
trình độ nhận thức của học sinh THCS.
- Trang bị cho học sinh một số kỹ năng sử dụng bất đẳng thức Côsi trong chứng
minh bất đẳng thức.
- Rút ra một số nhận xét và chú ý khi sử dụng các kỹ năng đó.
-Thấy được vai trò to lớn của bất đẳng thức Côsi trong giải các bài tập toán
khác. Vận dụng giải toán bất đẳng thức Côsi vào giải toán cực trị, giải một số
phương trình dạng dặc biệt.
B. GIỚI THIỆU VỀ BẤT ĐẲNG THỨC COSI
1. Giới thiệu bất đẳng thức Côsi (CAUCHY).
Nếu a1, a2, ….., an là các số thực không âm thì
1 2 n n
1 2 n
a a ... a a a ...a
n
Bất đẳng thức này có tên gọi chính xác là bất đẳng thức giữa trung bình
cộng và trung bình nhân. Ở nhiều nước trên thế giới, người ta gọi bất đẳng thức
này theo kiểu viết tắt là bất đẳng thức AM – GM (AM là viết tắt của arithmetic
mean và GM là viết tắt của geometric mean)
Ở nước ta, bất đẳng thức này được gọi theo tên của nhà Toán học người
Pháp Augustin – Louis Cauchy (1789 – 1857), tức là bất đẳng thức
COSI(CAUCHY). Thật ra đây là một cách gọi tên không chính xác vì Cauchy
không phải là nguời đề xuất ra bất đẳng thức này mà chỉ là người đưa ra một
phép chứng minh đặc sắc cho nó. Tuy nhiên, để cho phù hợp với chương trình
sách giáo khoa, trong tài liệu này chúng ta cũng sẽ gọi nó là Bất đẳng thức Côsi.
Đây là một bất đẳng thức cổ điển nổi tiếng và quen thuộc đối với phần
lớn học sinh nước ta. Nó ứng dụng rất nhiều trong các bài Toán về bất đẳng thức
và cực trị. Trong phạm vi chương trình Toán THCS, chúng ta quan tâm đến các
trường hợp riêng của bất đẳng thức Côsi.
4
2. Các quy tắc cần nhớ khi sử dụng bất đẳng thức Côsi
Quy tắc song hành: Đa số các bất đẳng thức đều có tính đối xứng nên chúng ta
có thể sử dụng nhiều bất đẳng thức trong chứng minh một bài toán để định
hướng cách giải nhanh hơn.
Quy tắc dấu bằng: Dấu “=” trong bất đẳng thức có vai trò rất quan trọng. Nó
giúp ta kiểm tra tính đúng đắn của chứng minh, định hướng cho ta cách giải.
Chính vì vậy khi giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức hoặc các bài toán
cực trị ta cần rèn luyện cho mình thói quen tìm điều kiện của dấu bằng mặc dù
một số bài không yêu cầu trình bày phần này.
Quy tắc về tính đồng thời của dấu bằng: Chúng ta thường mắc sai lầm về
tính xảy ra đồng thời của dấu “=” khi áp dụng liên tiếp hoặc song hành nhiều bất
đẳng thức. Khi áp dụng liên tiếp hoặc song hành nhiều bất đẳng thức thì các dấu
“=” phải cùng được thỏa mãn với cùng một điều kiện của biến.
Quy tắc biên: Đối với các bài toán bất đẳng thức có điều kiện ràng buộc thì dấu
đẳng thức thường đạt được tại vị trí biên.
Quy tắc đối xứng: Các bất đẳng thức có tính đối xứng thì vai trò của các biến
trong các bất đẳng thức là như nhau do đó dấu “=” thường xảy ra tại vị trí các
biến đó bằng nhau. Nếu bài toán có điều kiện đối xứng thì chúng ta có thể chỉ ra
dấu “=” xảy ra tại khi các biến đó bằng nhau và bằng một giá trụ cụ thể.
3. Một số dạng bất đẳng thức Côsi
a. Dạng cụ thể ( 2 số, 3 số )
x, y 0 khi đó
x, y, z 0 khi đó
xy xy
2
3
x y z x y z
3
x y 2 x y
3
x y z 3 x y z
3
x y z x y z
3
2
x y 4 x y
3
x y z 2 7 x y z
1 1 4
x y x y
x y 0
x y z 0
1 1 1 9
x y z x y z
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
x = y
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
x = y = z
5
b. Bất đẳng thức mở rộng cho n số không âm
Cho x1, x2, x3 ,...,xn không âm ta có:
Dạng 1:
n
12 n n
12
x x ... x x x ...x
n
Dạng 2:
n
12 n n
12
...
x x ... x n x x x
Dạng 3:
n
n
12
n
12 x x ...x
x x ... x
n
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
n
12
...
x x x
C. Các kỹ thuật sử dụng của bất đẳng thức Côsi
1. Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân
Chúng ta biết rằng bất đẳng thức Côsi là bất đẳng thức liên hệ giữa trung
bình cộng và trung bình nhân.Vì vậy trong chứng minh bất đẳng thức chúng ta
thường sử dụng biến đổi từ tổng sang tích, việc biến đổi này chính là đánh giá từ
trung bình cộng sang trung bình nhân. Dưới đây là một số ví dụ thể hiện sự đánh
giá đó.
Ví Dụ 1.1: Cho các số thực a, b, c bất kì. Chứng minh rằng:
2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b b c c a 8 a b c
Phân tích : Trong bất đẳng thức trên thì vế trái là tích của các tổng các số không
âm, ta sử dụng đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân cho mỗi tổng
và nhân các kết quả theo vế với vế.
Lời giải
Sử dụng bất đẳng thức Côsi dạng x2 + y2 2
22
xy
= 2|xy| ta có:
22
22
22
0
0
0
a b 2 a b
b c 2 b c
c a 2 c a
Nhân vế theo vế của ba bất đẳng thức trên ta được:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
| a b b c c a 8 | a b c 8 a b c
Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Chú ý: - Chỉ được nhân các vế của bất đẳng thức cùng chiều ( kết quả được bất
đẳng thức cùng chiều) khi và chỉ khi các vế cùng không âm.