PHẦN I – ĐẶT VẤN ĐỀ
Toán học có vị trí đặc biệt trong việc nâng cao và phát triển dân trí. Toán học không chỉ cung cấp cho học sinh (người học Toán) những kỹ năng tính toán cần thiết mà còn là điều kiện chủ yếu rèn luyện khả năng tư duy lôgic, một phương pháp luận khoa học.
Trong dạy học Toán thì việc tìm ra những phương pháp dạy học và giải bài tập Toán đòi hỏi người giáo viên phải chọn lọc, hệ thống bài tập, sử dụng đúng phương pháp dạy học để góp phần hình thành và phát triển tư duy của học sinh. Đồng thời qua việc học Toán học sinh cần được bồi dưỡng, rèn luyện về phẩm chất đạo đức, các thao tác tư duy để giải các bài tập Toán trong đó có các bài toán về bất đẳng thức cũng là một trong những bài toán hay giúp học sinh phát huy cao độ tính tư duy, trí tuệ cho học sinh.
Bài toán bất đẳng thức là bài toán khó vì phạm vi kiến thức rộng, đặc biệt là với học sinh THCS. Là giáo viên dạy ở THCS tôi thấy khi dạy toán bất đẳng thức đó là: Bất đẳng thức Côsi là một bất đẳng thức có ứng dụng rộng rãi trong việc chứng minh bài toàn bất đẳng thức và còn ứng dụng trong giải các dạng toán khác, tuy nhiên học sinh có hiểu biết về bất đẳng thức này cũng như những ứng dụng của nó rất hạn chế. Trong các kì thi học sinh giỏi học sinh thường mất điểm đối với các bài toán liên quan đến bất đẳng thức.
Vì vậy: Để giải góp phần quyết vấn đề này, mặt khác nâng cao năng lực giải toán và bồi dưỡng khả năng tư duy sáng tạo của học sinh, chúng tôi đã chọn đề tài:" Hƣớng dẫn học sinh khá, giỏi tìm hiểu về bất đẳng thức CÔSI" nhằm trang bị cho các em những kiến thức cơ bản về kỹ thuật sử dụng và các ứng dụng của bất đẳng thức C, đặc biệt là với các học sinh khá giỏi. Từ đó khi các em tiếp xúc với một bài toán, các em có thể chủ động được cách giải ,chủ động tư duy tìm hướng giải quyết cho bài toán, như vậy hiệu quả sẽ cao hơn.
Qua những bài toán về về bất đẳng thức mà học sinh đã giải được, tôi định hướng cho các em tư duy, tập trung nghiên cứu thêm về lời giải, về kết quả bài toán đó. Bằng các hình thức như:
- Kiểm tra cách làm. Xem xét lại các lập luận, xem lại kỹ năng áp dụng Bất đẳng thức Côsi trong bài đó.
- Nghiên cứu, tìm tòi, . . . với việc tập trung giải quyết các vấn đề như: Liệu các bài toán ở dạng khác có thể sử dụng Bất đẳng thức Côsi được hay không? Có thể khai thác giả thiết bài toán như thế nào cho phù hợp? Các dạng của Bất đẳng thức Côsi được sử dụng trong mỗi bài toán có mối liên hệ như thế nào với nhau? Mỗi bài toán đã giải được cũng như một kiến thức toán học sử dụng trong bài toán đó liệu có thể sử dụng để giải các bài toán khác hay không?
1
Trong đề tài này, chúng tôi xin minh hoạ một số kỹ năng sử dụng bất đẳng thức Cosi, thấy được các ứng dụng của bất đẳng thức Côsi trong việc giải các dạng toán khác. Nhằm giúp học sinh thấy được cái hay, cái đẹp, sự thú vị trong học toán nói chung và trong bất đẳng thức nói riêng. Từ đó, giúp học sinh tự tin, tích cực, sáng tạo hơn trong học toán; giúp học sinh thêm yêu thích, nâng cao chất lượng, kết quả học tập môn toán.
PHẦN II- NỘI DUNG
A. THỰC TRẠNG, MỤC ĐÍCH VÀ PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
1. Thực trạng của vấn đề.
- Khi giảng dạy trên lớp gặp một số bài tập về bất đẳng thức tôi thấy học sinh còn rất nhiều lúng túng trong việc làm bài tập, hay định hướng cách làm, đặc biệt là học sinh học ở mức độ trung bình.
- Giáo viên khi dạy về bất đẳng thức chỉ chữa bài tập là xong, ít khai thác, phân tích đề tài mở rộng bài toán mới dẫn đến khi học sinh gặp bài toán khác một chút là không giải được.
- Học sinh thường ngại học toán bất đẳng thức vì kiến thức không liền mạch, phương pháp giải hạn chế, các bài toán bất đẳng thức thường khó, phải áp dụng các kiến thức khó như: quy nạp toán học, phản chứng,... nên học sinh hay ngại và học sinh chưa vận dụng được toán bất đẳng thức vào để giải các bài toán khó như cực trị, hàm số,...
2. Mục đích nghiên cứu.
a. Đối với giáo viên:
- Nâng cao trình độ chuyên môn phục vụ cho quá trình giảng dạy.
- Làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nâng cao kiến thức.
b. Đối với học sinh:
- Giúp học sinh học tập môn toán nói chung và việc giải bài tập về chứng minh bất đẳng thức nói riêng. Trang bị cho học sinh một số kiến thức mới nhằm nâng cao năng lực học môn toán giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động, sáng tạo và làm công cụ giải quyết một số bài tập có liên quan đến bất đẳng thức.
- Bồi dươngc năng lực toán cho học sinh, khắc phục một phần hạn chế trong các kì thi học sinh khá giỏi.
- Giải đáp những thắc mắc, sửa chữa những sai lầm hay gặp khi giải toán bất đẳng thức trong quá trình dạy học.
- Giúp học sinh nắm vững một cách có hệ thống các kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Côsi và ứng dụng của bất đẳng thức trong giải các bài tập toán liên quan.
2
Thông qua việc giải các bài toán bất đẳng thức giúp học sinh thấy rõ mục đích của việc học toán và học tốt hơn toán bất đẳng thức.
3. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý thuyết thông qua SGK, tài liệu tham khảo của học sinh tại trường. Nghiên cứu qua mạng Internet.
- Nghiên cứu qua việc rút kinh nghiệm, học hỏi thầy cô giáo, đồng nghiệp.
- Sử dụng phương pháp phân tích tổng hợp.
4. Kết quả cần đạt.
- Trong đề tài này đưa ra một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức Côsi với trình độ nhận thức của học sinh THCS.
- Trang bị cho học sinh một số kỹ năng sử dụng bất đẳng thức Côsi trong chứng minh bất đẳng thức.
- Rút ra một số nhận xét và chú ý khi sử dụng các kỹ năng đó.
-Thấy được vai trò to lớn của bất đẳng thức Côsi trong giải các bài tập toán khác. Vận dụng giải toán bất đẳng thức Côsi vào giải toán cực trị, giải một số phương trình dạng dặc biệt.
B. GIỚI THIỆU VỀ BẤT ĐẲNG THỨC COSI
1. Giới thiệu bất đẳng thức Côsi (CAUCHY).
Nếu a1, a2, ….., an là các số thực không âm thì
Bất đẳng thức này có tên gọi chính xác là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân. Ở nhiều nước trên thế giới, người ta gọi bất đẳng thức này theo kiểu viết tắt là bất đẳng thức AM – GM (AM là viết tắt của arithmetic mean và GM là viết tắt của geometric mean)
Ở nước ta, bất đẳng thức này được gọi theo tên của nhà Toán học người Pháp Augustin – Louis Cauchy (1789 – 1857), tức là bất đẳng thức COSI(CAUCHY). Thật ra đây là một cách gọi tên không chính xác vì Cauchy không phải là nguời đề xuất ra bất đẳng thức này mà chỉ là người đưa ra một phép chứng minh đặc sắc cho nó. Tuy nhiên, để cho phù hợp với chương trình sách giáo khoa, trong tài liệu này chúng ta cũng sẽ gọi nó là Bất đẳng thức Côsi.
Đây là một bất đẳng thức cổ điển nổi tiếng và quen thuộc đối với phần lớn học sinh nước ta. Nó ứng dụng rất nhiều trong các bài Toán về bất đẳng thức và cực trị. Trong phạm vi chương trình Toán THCS, chúng ta quan tâm đến các trường hợp riêng của bất đẳng thức Côsi.
3
2. Các quy tắc cần nhớ khi sử dụng bất đẳng thức Côsi
Quy tắc song hành: Đa số các bất đẳng thức đều có tính đối xứng nên chúng ta có thể sử dụng nhiều bất đẳng thức trong chứng minh một bài toán để định hướng cách giải nhanh hơn.
Quy tắc dấu bằng: Dấu “=” trong bất đẳng thức có vai trò rất quan trọng. Nó giúp ta kiểm tra tính đúng đắn của chứng minh, định hướng cho ta cách giải. Chính vì vậy khi giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức hoặc các bài toán cực trị ta cần rèn luyện cho mình thói quen tìm điều kiện của dấu bằng mặc dù một số bài không yêu cầu trình bày phần này.
Quy tắc về tính đồng thời của dấu bằng: Chúng ta thường mắc sai lầm về tính xảy ra đồng thời của dấu “=” khi áp dụng liên tiếp hoặc song hành nhiều bất đẳng thức. Khi áp dụng liên tiếp hoặc song hành nhiều bất đẳng thức thì các dấu “=” phải cùng được thỏa mãn với cùng một điều kiện của biến.
Quy tắc biên: Đối với các bài toán bất đẳng thức có điều kiện ràng buộc thì dấu đẳng thức thường đạt được tại vị trí biên.
Quy tắc đối xứng: Các bất đẳng thức có tính đối xứng thì vai trò của các biến trong các bất đẳng thức là như nhau do đó dấu “=” thường xảy ra tại vị trí các biến đó bằng nhau. Nếu bài toán có điều kiện đối xứng thì chúng ta có thể chỉ ra dấu “=” xảy ra tại khi các biến đó bằng nhau và bằng một giá trụ cụ thể.
3. Một số dạng bất đẳng thức Côsi
a. Dạng cụ thể ( 2 số, 3 số )
x, y 0 khi đó x, y, z 0 khi đó
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
x = y x = y = z
4
b. Bất đẳng thức mở rộng cho n số không âm
Cho x1, x2, x3 ,...,xn không âm ta có:
Dạng 1:
Dạng 2:
Dạng 3:
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
C. Các kỹ thuật sử dụng của bất đẳng thức Côsi
1. Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân
Chúng ta biết rằng bất đẳng thức Côsi là bất đẳng thức liên hệ giữa trung bình cộng và trung bình nhân.Vì vậy trong chứng minh bất đẳng thức chúng ta thường sử dụng biến đổi từ tổng sang tích, việc biến đổi này chính là đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân. Dưới đây là một số ví dụ thể hiện sự đánh giá đó.
Ví Dụ 1.1: Cho các số thực a, b, c bất kì. Chứng minh rằng:
Phân tích : Trong bất đẳng thức trên thì vế trái là tích của các tổng các số không âm, ta sử dụng đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân cho mỗi tổng và nhân các kết quả theo vế với vế.
Lời giải
Sử dụng bất đẳng thức Côsi dạng x2 + y2 2 = 2|xy| ta có:
Nhân vế theo vế của ba bất đẳng thức trên ta được:
Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Chú ý: - Chỉ được nhân các vế của bất đẳng thức cùng chiều ( kết quả được bất đẳng thức cùng chiều) khi và chỉ khi các vế cùng không âm.
5
2 = 2|xy| vì x, y
- Để ý rằng ta dùng cách viết: x2 + y2 không biết âm hay dương.
- Nói chung ta ít gặp bài toán sử dụng ngay bất đẳng thức Côsi như bài toán nói trên mà phải qua một vài phép biến đổi đến tình huống thích hợp rồi mới sử dụng bất đẳng thức Côsi.
Ví dụ 2.1: Cho các số dương a, b thỏa mãn .
Chứng minh rằng: .
Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh nhìn đơn giản nhưng các biến có sự ràng buộc, nên trước khi chứng minh ta cần phân tích giả thiết để tìm ra sự ràng buộc đơn giản hơn giữa các biến và trong phép phân tích này ta vẫn sử dụng sự đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân.
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Côsi dạng x2 + y2 2 = 2xy cho giả thiết, ta có
Tới đây, sử dụng bất đẳng thức Côsi một lần nữa, ta được
Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b =1
Ví Dụ 3.1: Cho các số thực dương không âm a, b. Chứng minh rằng:
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Côsi dạng x2 + y2 2 = 2xy
Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Ta tiếp tục vận dụng đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân cho các ví dụ sau đây.
6
Ví dụ 4.1: Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng :
Lời giải
Biến đổi vế trái và áp dụng bất đẳng thức Côsi dạng cho ba số
không âm. Ta có:
Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra a = b= c
Ví dụ 5.1: Cho các số thực dương a , b ,c , d Chứng minh rằng
Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
Sử dụng liên tiếp bất đẳng thức Côsi dạng , ta có
Nhân ba bất đẳng thức trên lại theo vế,ta suy ra
, ta thu
Từ đó bằng cách đơn giản cả hai vế của (1) cho được ngay kết quả cần chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
7
Nhận xét: Có thể nói đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân là kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Côsi cơ bản, nhưng đòi hỏi mỗi học sinh khá, giỏi đều phải nắm được trong chứng minh bất đẳng thức. Tuy nhiên không phải bất đẳng thức nào cũng chứng minh được bằng cách đánh giá này. Vì vậy ta tiếp tục hướng dẫn học sinh tìm hiểu tiếp kỹ thuật tiếp theo.
2. Kỹ thuật đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng
Nếu như đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân là đánh giá từ tổng sang tích, hiểu nôm na là thay dấu a + b bằng dấu a.b thì ngược lại đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng là thay dấu a.b bằng dấu a + b. Và cũng cần phải chú ý làm sao khi biến tích thành tổng, thì tổng cũng phải triệt tiêu hết biến, chỉ còn lại hằng số. Dưới đây là một số ví dụ sử dụng kỹ thuật đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng.
Ví dụ 1.2: Cho a, b, c là các số thực dương.Chứng minh rằng:
Phân tích: - Nếu giữ nguyên vế trái thì khi biến tích thành tổng ta không thể triệt tiêu ẩn số nên ta có phép biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh, sau đó biến tích thành tổng ta sẽ được các phân thức có cùng mẫu số.
- Dấu “ ” gợi ý cho ta nếu sử dụng bất đẳng thức Côsi thì ta phải đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng.
Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
Áp dụng bất đẳng thức Côsi dạng ta có:
Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra a = b và c = d.
Ví dụ 2.2: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện
Chứng minh rằng:
8
Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh có hình thức khá giống với ví dụ 1.2. Vì vậy một cách tự nhiên ta có thể biến đổi tương đương bất đẳng thức đã cho và đánh giá theo chiều từ trung bình nhân sang trung bình cộng.
Lời giải
Ta có cần chứng minh tương đương với:
Áp dụng bất đẳng thức Côsi dạng cho các số dương ta được:
Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = 2c.
Ví dụ 3.2: Cho các số thực không âm a, b, c. Chứng minh rằng:
Lời giải
Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh như sau:
Theo bất đẳng thức Côsi ta có:
Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Ví dụ 4.2: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện
Chứng minh rằng:
9
Phân tích: Ta nhận thấy biểu thức có tính chất đối xứng do đó dấu đẳng thức
của bất đẳng thức xảy ra khi . Nhưng thực tế ta chỉ cần quan tâm
là sau khi sử dụng bất đẳng thức Côsi ta cần suy ra được điều kiện xảy ra dấu đẳng thức là a = b = c.
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Côsi dạng ta có:
Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
Nhận xét: Có thể nói hai kỹ thuật trên là hai kỹ thuật đánh giá ngược chiều nhau, tùy theo điều kiện bài toán mà ta chọn cách đánh giá phù hợp. Trong quá trình dạy học toán, giáo viên cần phải giới thiệu để học sinh nắm được hai kỹ thuật cơ bản này.
3. Kỹ thuật tách, ghép cặp nghịch đảo
Chúng ta biết rằng tích của hai số nghịch đảo nhau bằng 1. Từ điều này chúng ta dẫn học sinh đi tới ý tưởng áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương là nghịch đảo của nhau nhằm mục đích triệt tiêu các biến. Tuy nhiên trong quá trình vận dụng ta người giáo viên cần rèn luyện cho học sinh kỹ năng tách một hạng tử thành nhiều hạng tử sao cho có thể ghép được các cặp là nghịch đảo của nhau. Dưới dây là một số ví dụ sử dụng kỹ thuật tách và ghép cặp nghịch đảo.
Ví dụ 1.3: Cho các số thực dương a, b. Chứng minh rằng:
Phân tich: Bất đẳng thức cần chứng minh là một dạng của bất đẳng thức Côsi, cách chứng minh rất đơn giản khi sử dụng kỹ năng ghép nghịch đảo.
Lời giải
Áp dụng bất dẳng thức Côsi cho hai số ta có:
Bài toán được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
10
Ví dụ 2.3: Cho số thực a. Chứng minh rằng:
Phân tích: Ở bất đẳng thức cần chứng minh trên ta chưa thấy cặp nghịch đảo vì vậy ta cần biến đổi vế trái để tạo ra cặp nghịch đảo. Để ý rằng
Lời giải
Biến đổi vế trái và áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số ta có:
Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
Ví dụ 3.3: Cho các số thực dương a, b thỏa mãn điều kiện .
Chứng minh rằng:
Phân tích: Để chứng minh được bất đẳng thức trên ta cần ghép cặp nghịch đảo cho ba số dương, để ý rằng muốn triệt tiêu được hết biến ta cần ghép nghịch đảo
cho c số dương sau .
Lời giải
Ta có nhận xét : b + a – b = a không phụ thuộc vào biến b do đó hạng tử đầu a sẽ được phân tích như sau :
Bất đẳng thức được chứng minh.
Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = 2 và b = 1
Ví dụ 4.3: Cho các số thực dương a, b,c. Chứng minh rằng:
Phân tích: Để chứng minh bất đẳng thức trên, ta cần biến đổi tương đương để sử dụng kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo cho ba số dương.
Lời giải
11
Ta biến đổi tương đương bất đẳng thức như sau:
Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Tương tự như Ví dụ 4.3 ta tiếp tục áp dụng kỹ thuật ghép nghịch đảo cho ví dụ sau.
Ví dụ 5.3: Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:
Lời giải
Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh như sau:
Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Nhận xét: Có thể kỹ thuật ghép nghịch là kỹ thuật không có gì mới lạ nhưng nó lại đem đến một số hiệu quả nhất định trong chứng minh bất đẳng thức. Vi vậy học sinh cần phải nắm được kỹ thuật này như một kỹ năng cơ bản trong gải các bài tập cề bất đẳng thức.
4. Kỹ thuật chọn điểm rơi
Trong bất đẳng thức, kỷ thuật chọn điểm rơi là một kỹ thuật tối quan trọng. Ý tưởng chính của kỹ thuật này là việc xác định được dấu đẳng thức xảy ra khi nào để có thể sử dụng những đánh giá hợp lý.Trong quá trình chứng minh
12
các bất đẳng thức học sinh thường gặp sai lầm là áp dụng ngay bất đẳng thức Côsi mà quên mất dấu đẳng thức xảy ra tại đâu. Vì vậy khi hướng dẫn học sinh tìm tòi chứng minh các bài toán bất đẳng thức , người giáo viên cần chỉ cho học sinh thấy rằng trong bất kỳ đánh giá nào ( trong chuỗi đánh giá của mình ) không bảo toàn được dấu bằng thì bài toán chứng minh sẽ bị phủ nhận hoàn toàn. Hãy xét một số ví dụ dưới đây ta sẽ hiểu hơn vấn đề dang được đề cập
Ví dụ 1.4: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điền kiện .
Chứng minh rằng: .
Lời giải
Khi giải bài toán này học sinh thường gặp sai lầm như sau:
.
Cách chứng minh trên hoàn toàn sai.
a + b = b + c = c + a = 1 a + b + c
Nguyên nhân sai lầm: Dấu “ = ” xảy ra = 2. Điều này trái với giả thiết.
Phân tích: Do vai trò của a, b, c trong các biểu thức là như nhau do đó điểm rơi
của bất đẳng thức sẽ là từ đó ta có a + b = b + c = c + a = , như
vậy để sử dụng dược bất đẳng thức Côsi ta cần nhân them hằng số là . Vậy lời
giải đúng là : Áp dụng bất đẳng thức Côsi dạng cho hai số không
âm ta có:
13
Bất đẳng thức được chứng minh.
Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c =
. Chứng minh
Ví dụ 2.4: Cho các số thực dương thỏa mãn điều kiện rằng:
Phân tích: Do biểu thức vế trái có tính đối xứng với a, b nên ta dự đoán dấu
đẳng thức xảy ra tại . Từ dự đoán đó ta có thể áp dụng bất đẳng thức
Côsi để chứng minh bất đẳng thức trên như sau
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Côsi dạng cho hai số không âm ta có:
Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra
Ví dụ 3.4: Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện .
14
Chứng minh rằng : .
Lời giải
Từ hai lời giải trên với dự đoán dấu đẳng thức xảy ra tại ,
nên ta có thể tách và áp dụng bất đẳng thức Côsi dạng
cho hai số dương. Ta có:
tương tự ta có:
Bất đẳng thức được chứng minh.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
Ví Dụ 4.4. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện .
Chứng minh rằng:
Phân tích: Ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi .
Vì vậy khi áp dụng Cosi cho và thì
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức COSI dạng ta có:
15
Bất đẳng thức được chứng minh.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
Nhận xét: Việc chọn điểm rơi cho bài toán đã giải quyết một cách đúng đắn về mặt toán học. Nếu chúng áp dụng việc chọn điểm rơi kết hợp với các kỹ năng đánh giá khi sử dụng bất đăng thức Côsi hì có thể giải được nhiều bài toán nhanh gọn hơn, đẹp hơn.
5. Kỹ thuật ghép đối xứng
Trong nhiều bài toán mà biểu thức ở hai vế tương đối phức tạp, việc chứng minh trực tiếp trở nên khó khăn thì ta có thể sử dụng kỹ thuật “ Ghép đối xứng ” để bài toán trở nên đơn giản.
Ở các bài toán bất đẳng thức, thông thường chúng ta hay gặp phải hai dạng toán sau:
- Dạng 1:Chứng minh X + Y + Z A + B + C.
Ý tưởng: Nếu ta chứng minh được X + Y 2A. Sau đó, tương tự hóa để chỉ ra
Y + Z 2B và Z + X 2C (Nhờ tính chất đối xứng của bài toán)
Sau đó cộng ba bất đẳng thức trên lại theo vế rồi rút gọn cho 2, ta có ngay điều phải chứng minh.
- Dạng 2.Chứng minh XYZ ABC với X, Y, Z 0
Ý tưởng: Nếu ta chứng minh được XY YZ đẳng A2. Sau đó tương tự hóa để chỉ ra C2 (nhờ tính chất đối xứng của bài toán). Sau đó nhân ba bất có B2 và ZX thức căn bậc hai theo vế trên vế lấy rồi ta ,
.
Ví dụ 1.5: Chứng minh rằng với mọi a, b, c dương ta có:
Phân tích: Nếu thì bất đẳng thức hiển
nhiên đúng. Ta xét trường hợp .
ABC, vì vậy sử dụng kỹ
Để ý rằng bất đẳng thức này có dạng XYZ thuật ghép đối xứng, ta chỉ cần chứng minh:
Lời giải
Sử dụng bất đẳng thức Côsi dạng , suy ra
16
Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức trên ta được điều cần chứng minh.
Bài toán được giải quyết xong. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Ví dụ 2.5. Cho a, b, c là ba số thực dương. Chứng minh rằng:
Phân tích: Bài toán này có dạng X + Y + Z A + B + C với
. Để ý rằng hai biểu thức và
là đối xứng với b (tức vai trò của a và c như nhau). Do đó, sử dụng kỹ thuật ghép đối xứng, ta sẽ thử chứng minh
Lời giải
Bất đẳng thức này là hiển nhiên đúng vì theo bất đẳng thức Côsi
Tương tự ta có:
Cộng vế với vế của 3 bất đẳng thức trên ta được
.
Dấu đẳng thức xảy ra a = b = c. Từ đó, bài toán được giải quyết hoàn toàn.
Ví Dụ 3.5. Cho các số thực thỏa mãn điều kiện :
. Chứng minh rằng
Lời giải
17
Từ giả thiết suy ra:
Chứng minh tương tự ta có:
Nhân vế với vế của bốn bất đẳng thức trên ta được
Bất đẳng thức được chứng minh hoàn toàn. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ
khi a = b = c = d =
Với kỹ thuật ghép đối xứng, ta tiếp tục chứng minh các bất đẳng thức dưới đây, nhưng không bằng một cách trực tiếp mà phải thông qua một bổ đề trung gian. Để chứng minh được các bất đẳng thức như vậy đòi hỏi học sinh phải có sự sáng tạo và vận dụng linh hoạt các kiến thức cần thiết.
Ví dụ 4.5. Một tam giác có độ dài ba cạnh là a, b, c thỏa mãn
Chứng minh tam giác đó là tam giác đều.
Lời giải
Bổ đề: Với mọi x, y > 0, ta có
Chứng minh: Do nên bất đẳng thức tương
đương với:
18
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy hai số dạng , ta được
Bổ đề được chứng minh.
Để ý rằng a, b, c là tam giác thì hiển nhiên ta có:
a + b – c > 0, b + c – a > 0, c + a – b > 0
Áp dụng bổ đề, ta có:
Cộng ba bất đẳng thức trên lại vế theo vế và rút gọn cả hai vế của bất đẳng thức thu được cho 2, ta có:
Theo giả thiết thì dấu bằng xảy ra
Điều này chứng tỏ tam giác đã cho là tam giác đều.
Ví dụ 5.5. Cho x, y, z > 2 và Chứng minh rằng :
Lời giải
Đặt x = a + 2, y = b + 2, z = c + 2 với a > 0, b > 0, c > 0. Ta có:
Tương tự
Nhân ba bất đẳng thức trên lại vế theo vế, ta được
19
Bất đẳng thức được chứng minh hoàn toàn. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 x = y = z = 3
Nhận xét: Kỹ thuật ghép đối xứng có thể giúp ta chứng minh được rất nhiều bất đẳng thức đối xứng, nhưng với các bất đẳng thức không có tính đối xưng thì kỹ thuật nay gần như vô tác dụng. Vì vậy đòi hỏi học sinh cần phải chăm chỉ rèn luyện để có thêm các kinh nghiệm khi đánh giá một bất đẳng thức.
6. Kỹ thuật đổi biến số
Trong bất đẳng thức, có một quy luật chung, đó là “Trong một dạng cụ thể, thì những bất đẳng thức càng nhiều biến càng khó”. Điều này cũng đồng nghĩa với việc khẳng định “Bài toán sẽ trở nên đơn giản hơn nếu ta đưa được một bất đẳng thức nhiều biến về dạng ít biến hơn” Kỹ thuật đổi biến chính là một công cụ hữu ích để thực hiện ý tưởng này.
Ví dụ 1.6: Cho x, y là hai số thực khác 0. Chứng minh rằng:
Phân tích : Nhìn vào bất đẳng thức cần chứng minh ta thấy hai hạng tử sau ở vế trái có vẻ như tạo ra được nghịch đảo của hạng tử thứ nhất. Vì vậy ta thử phân tích tổng hai hạng tử đó để xem kết quả có như dự đoán hay không.
Với kết quả như vậy, giáo viên có thể định hướng học sinh sử dụng cách đặt ẩn phụ để đưa bất đẳng thức cần chứng minh về bất đẳng thức đơn giản hơn.
Lời giải
Để ý rằng bất đẳng thức cần chứng minh có thể viết lại thành
. Đặt
Ta được bài toán về dạng một biếu thức đơn giản là:
Theo bất đẳng thức Côsi, ta dễ thấy t 4. Suy ra t – 1 > 0, t – 4 0
20
Từ đó ta được , bài toán được giải quyết hoàn toàn.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Ví dụ 2.6: Cho x, y, z > 2 và Chứng minh rằng :
Lời giải
Đặt x = a + 2, y = b + 2, z = c + 2 với a > 0, b > 0, c > 0. Bài toán quy về chứng minh abc 1 với a, b, c > 0 thỏa mãn
Đến đây ta đặt tiếp
Ta có:
Tương tự:
Do đó bất đẳng thức trở thành
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có
Bài toán được giải quyết xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Ví dụ 3.6: Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn ab = cd = 1. Chứng minh rằng:
Lời giải
Đặt x = a + b, y = c + d, thì bất đẳng thức bốn biến cần chứng minh tương đương đã được quy về dạng hai biến đơn giản hơn là:
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy kết hợp với giả thiết ta có:
21
Suy ra x – 2 0 và y – 2 0. Từ đó ta có
Bài toán được chứng minh xong. Dấu bằng xảy ra
Ví dụ 4.6: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh
Phân tích: Từ giả thiết abc = 1 gợi cho học sinh đến cách đổi biến
với x, y, z > 0.
Lời giải
Đặt với x, y, z > 0. Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có
Tương tự :
Cộng ba bất đẳng thức này lại vế theo vế, ta được:
Chứng minh hoàn tất. Đẳng thức xảy ra
Ví dụ 5.6: Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng:
22
Phân tích: Bất đẳng thức này đã được chứng minh ở ví dụ 4.4, ở đây ta có thể sử dụng cách đổi biến để chứng minh lại bất đẳng thức này.
Lời giải
. Đặt :
Khi đó bất đẳng thức đã cho tương đương với bất đẳng thức sau:
Bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng, Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có :
VT
Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu “ = ” xảy ra x = y = z a = b = c
Ví dụ 6.6: Cho a, b, c là các cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
( b + c – a )( c + a – b )( a + b – c ) abc
Lời giải
Bất đẳng thức này đã được chứng minh ở ví dụ 4.3. Trong ví dụ này ta sử dụng kỹ thuật đổi biến để chứng minh.
Đặt
.
Khi đó ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức sau:
Áp dụng BĐT Côsi, ta có : (đpcm)
Nhận xét: Trong chứng minh bất đẳng thức cũng như các dạng toán khác, kỹ thuật đổi biến có vai trò quan trọng vì nó giúp bài toán trở nên đơn giản hơn về hình thức cũng như cách chứng minh, đôi khi việc đổi biến còn giúp ta tạo thêm giả thiết mới cho bài toán. Việc trang bị cho học sinh kỹ năng đổi biến là không thể thiếu trong dạy học về bất đẳng thức.
7. Kỹ thuật thêm bớt
Nếu ở các kỷ thuật trên ,học sinh được rèn luyện thói quen định hướng dựa vào bề ngoài của một bài toán .Thì từ đây ta bắt đầu gặp những lớp bất đẳng
23
thức phong phú hơn – những bất đẳng thức mà lời giải cho chúng luôn đòi hỏi một tầm nhìn bao quat cũng như sự đột phá ý tưởng .
Kỹ thuật thêm bớt là một minh chứng rõ ràng nhất cho lối tư duy sử dụng những “yếu tố ngoại cảnh” trong việc giải quyết vấn đề
Ngay từ đây chúng ta sẽ bắt đầu làm quen với kỹ thuật này với những ví dụ mà cách đánh giá nó tương đối đa dạng.
Ví dụ 1.7: Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức sau:
Phân tích: Trước hết ta nhận thấy nếu áp dụng ngay bất đẳng thức Cô si thì cũng không ra được kết quả, kĩ thuật ghép đối xứng cũng không giải quyết được.
Bây giờ ta đánh giá dấu bằng xảy ra khi nào? Dễ nhận thấy đó là khi a = b = c.
Suy ra , vì vậy ta thêm b vào phần tử đại diện để có chứng minh sau:
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho các số dương ta có:
Cộng vế theo vế của ba bất đẳng thức trên ta được
Bài toán được chứng minh xong. Dấu bằng xảy ra
Ví dụ 2.7: Chứng minh rằng với thì:
Phân tích: Ta cần thêm cho một số và dấu bằng của bất đẳng
thức Côsi xảy ra được, nghĩa là = m và a = b = c. Suy ra .
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho các số dương ta có:
24
Bài toán được chứng minh xong. Dấu bằng xảy ra
Ví dụ 3.7: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện .
Chứng minh rằng:
Phân tích: Ta sẽ thêm cho những hạng tử gì? chắc chắn là có
với α là một số dương nào đó. Vấn đề α bằng bao nhiêu, ta chỉ cần
chú ý là dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1; khi đó sẽ
cho ta α = 4. Vì vậy ta có chứng minh sau:
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
;
Cộng theo vế các bất đẳng thức ta được:
Bài toán được chứng minh xong. Dấu bằng xảy ra
Nhận xét: Từ những ví dụ trên ta đã thấy được sự hiệu quả của kỹ thuật thêm bớt trong chứng minh bất đẳng thức. Tuy nhiên không phải với bất đẳng thức nào cũng có thể làm được theo cách như trên, mà đôi khi ta cần phải thực hiện việc biến đổi tương bất đẳng thức trước rồi mới thực hiện thêm bớt. Dưới đây là một số ví dụ như vậy.
Ví dụ 4.7: Chứng minh rằng với mọi số thực dương tùy ý a, b, c ta luôn có
25
Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh có thể viết lại thành
Mong muốn triệt tiêu dấu trừ dẫn ta tới ý tưởng sau: Để ý rằng
Vậy sau khi thêm bớt như vậy, ta đã quy bài toán về chứng minh.
Mặt khác bất đẳng thức này hiển nhiên đúng vì
Phép chứng minh hoàn tất. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= b =c > 0
Ví dụ 5.7: Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a + b + c = 3 .Chứng minh bất đẳng thức sau :
Lời giải
Sử dụng kỹ thuật them bớt ta có bất đẳng thức tương đương với
Vậy ta cần chứng minh:
Hay là
Điều này hiển nhiên đúng vì theo bất đẳng thức COSI bộ ba số ta có
26
Bài toán được giải quyết. Bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b =c = 1
8.Kỹ thuật Côsi ngƣợc dấu.
Sử dụng ý tưởng tương tự như kỹ thuật thêm bới, thậm chí có phần khéo léo hơn , kỹ thuật Cosi ngược dấu đã chứng tỏ sự đột phá đơn giản nhưng đem lại hiệu quả bất ngờ đến ngạc nhiên khi giải quyết lớp bất đẳng thưc hoán vị chặt và khó.
Ví dụ 1.8: Cho 3 số thực dương a, b, c có tổng thỏa điều kiện : .
Chứng minh bất đẳng thức sau:
Phân tích:Ta không thể dùng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy với mẫu vì bất đẳng thức sau đó sẽ đổi chiều:
Đến đây chúng ta sẽ bị lúng túng trong cách giải.
Lời giải
Ở đây ta sẽ sử dụng lại bất đẳng thức Cauchy theo cách khác:
Tương tự ta có: ;
Cộng theo vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
Bài toán được giải quyết. Bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b =c = 1
Nhận xét: Kỹ thuật Cauchy ngược dấu có thể hiểu là ta lấy nghịch đảo hai vế của bất đẳng thức Cauchy sau đó nhân hai vế với -1. Khi đó dấu của bất đẳng thức ban đầu sẽ không đổi chiều. Dưới đây là một số ví dụ tương tự.
Ví dụ 2.8: Cho 3 số thực dương a, b, c có tổng thỏa điều kiện : .
Chứng minh bất đẳng thức sau:
Lời giải
Ta có:
27
Tương tự ta có: ;
Cộng theo vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
Bài toán được giải quyết. Bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b =c = 1
Ví dụ 3.8: Cho 3 số thực dương a, b, c có tổng thỏa điều kiện : .
Chứng minh bất đẳng thức sau:
Lời giải
Ta có:
Tương tự ta có: ;
Cộng theo vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
Mặt khác ta có:
Từ (1) và (2) ta có:
Bài toán được giải quyết. Bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b =c = 1
Ví dụ 4.8: Cho 3 số thực dương a, b, c . Chứng minh bất đẳng thức sau:
Lời giải
28
Ta có:
Tương tự ta có: ;
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được :
Bài toán được giải quyết. Bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b =c
9. Kỹ thuật đánh giá điểm biên.
Trong bất đẳng thức Côsi , nếu khai thác khéo léo điểm biên sẽ tạo nên hiệu quả nhất định. Thông thường việc sử dụng điểm biên sẽ giúp ta quy bài toán về việc chứng minh bất đẳng thức đồng bậc. Dưới đây là một số ví dụ mà chúng tôi đã hướng dẫn cho học sinh đánh giá điểm biên để chứng minh một số bài toán bất đẳng thức.
Ví dụ 1.9: Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Chứng minh rằng:
Lời giải
Ta sẽ quy bài toán về việc chứng minh bất đẳng thức cùng bậc là
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
Do đó ta chỉ cần chứng minh:
(Đúng)
Bài toán được chứng minh hoàn toàn. Đẳng thức xảy ra
29
Ví dụ 2.9: Cho các số x, y, z và x + y + z = 1. Chứng minh rằng
Lời giải
Do x + y + z = 1 nên bất đẳng thức cần chứng minh có thể viết lại thành:
.
Do vai trò của x và z trong bất đẳng thức trên là như nhau nên ta hoàn , ta toàn có thể giả sử . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng
. Sử dụng đánh giá này, dễ thấy chứng minh sẽ
có hoàn tất nếu ta chỉ ra được
hiển nhiên đúng theo giả sử
. Bài toán được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra
D. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI
Các em học sinh Trung học cơ sở đã được làm quen với Bất đẳng thức Côsi từ lớp 8, nhưng việc áp dụng Bất đẳng thức trên trong giải toán là chưa nhiều bởi các em rất ít được làm quen với dạng toán này. Bất đẳng thức Côsi thường được vận nhiều trong các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Dưới đây là một số ví dụ
1. Ứng dụng của bất đẳng thức Côsi trong tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số.
Ví dụ: Cho x > 0, y > 0 thoả mãn: . Tìm GTNN của A =
Lời giải:
Vì x > 0, y > 0 nên . Ta có:
x = y = 4
Vậy min A = 4 Nhận xét: Trong ví dụ trên ta đã sử dụng bất đẳng thức Côsi theo 2 chiều ngược nhau:
30
+ Dùng để dùng điều kiện tổng từ đó được
+ Dùng “làm giảm” tổng để dùng kết quả
+ Không phải lúc nào ta cũng có thể dùng trực tiếp bất đẳng thức Côsi đối với các số trong đề bài. Ta có một số biện pháp biến đổi một biểu thức để có thể vận dụng BĐT Côsi rồi tìm cực trị của nó:
- Cách 1: Để tìm cực trị của một biểu thức ta tìm cực trị của bình phƣơng biểu thức đó.
Ví dụ : Tìm GTNN của A =
Lời giải
Điều kiện:
Ta có: A2 = ( 3x – 5 ) + ( 7 – 3x ) + 2
A2 ( 3x – 5 + 7 – 3x ) + 2 = 4
Dấu “=” xảy ra 3x – 5 = 7 – 3x x = 2.Vậy max A = 2 x = 2
Như vậy ta thấy A được cho dưới dạng tổng của 2 căn thức. Hai biểu thức lấy căn có tổng không đổi (bằng 2). Vì vây, nếu bình phương A sẽ xuất hiện hạng tử là 2 lần tích của 2 căn thức. Đến đây có thể vận dụng BĐT Côsi
- Cách 2: Nhân và chia biểu thức với cùng một số khác 0
Ví dụ: Tìm GTLN của A =
Lời giải
Điều kiện: x 9. Ta có:
Dấu “=” xảy ra . Vậy max A =
31
Trong cách giải trên, x – 9 được biểu diễn thành khi vận dụng
BĐT Côsi tích này trở thành nửa tổng: có dạng kx có thể rút gọn
cho x ở mẫu. ( số 3 được tìm bằng cách lấy , số 9 có trong đề bài)
- Cách 3: Biến đổi biểu thức đã cho thành tổng của các biểu thức sao cho tích của chúng là một hằng số.
Ví dụ 1: Cho x > 0, tìm GTNN của A =
Lời giải
A = =
A 4.2 = 8 ( dấu “=” xảy ra )
Vậy Giá trị nhỏ nhất của A là 8 khi x = 2
Ví dụ 2: Cho 0 < x < 2, tìm giá trị nhỏ nhất của A =
Lời giải
Dấu “=” xảy ra . Vậy min A = 7
- Cách 4: Thêm một hạng tử vào biểu thức đã cho
Ví dụ: Cho x, y, z > 0 thoả mãn: x + y + z = 2.
Tìm giá trị nhỏ nhất của P =
Lời giải
Vì x, y, z > 0 ta có: Áp dụng BĐT Côsi đối với 2 số dương và ta
. được:
32
Tương tự ta có:
Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức trên ta được:
Dấu “=” xảy ra . Vậy min P = 1
Nhận xét: Ta đã thêm vào hạng tử thứ nhất có trong đề bài, để
khi vận dụng BĐT Côsi có thể khử được (y + z). Cũng như vậy đối với 2 hạng tử còn lại của đề bài. Dấu đẳng thức xảy ra đồng thời trong cả ba bất đăngt
thức .
Áp dụng các cách trên cùng với việc sử dụng bất đẳng thức Côsi ta có các ví dụ khác như sau:
Ví dụ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số với
Lời giải
Ta có
Dấu đẳng thức xảy ra
Vậy Giá trị nhỏ nhất của là 12 khi x = 2
Ví dụ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải
ĐK:
Ta có:
33
Dấu “=” xảy ra
Vậy Giá trị nhỏ nhất của A là 12 khi
Ví dụ 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
với và
Lời giải
Dấu đẳng thức xẩy ra xảy ra
Vậy Giá trị nhỏ nhất của M là khi
Chú ý: Tại sao lại biết tách thành tổng của và ? Câu trả lời là vì
ta có thể dự đoán được giá trị nhỏ nhất của M đạt được khi . Mà theo giả
thiết . Như vậy M đạt giá trị nhỏ nhất khi . Từ đây hình thành
cách tách xy hoặc sao cho khi dấu đẳng thức xảy ra thì .
Ví dụ 5. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn diều kiện . Tìm giá trị
nhỏ nhất của biểu thức:
Lời giải
Ta có:
Tương tự ,
34
Cộng vế với vế ba bất đẳng thức trên ta có:
Dấu đẳng thức xảy ra
Vậy Giá trị nhỏ nhất của A là khi
2. Ứng dụng của bất đẳng thức Côsi trong tìm giá tri lớn nhất, giá tri nhỏ nhất hình học.
Bất đẳng thức Côsi không chỉ thường được vận nhiều trong các bài toán chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.Mà còn được khai thác ứng dụng một mở rộng của bất đẳng thức trên trong giải bài tập hình học.
Ví dụ 1. Một tấm nhôm hình vuông có cạnh bằng 30 cm. Người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông bằng nhau rồi gấp tấm nhôm lại (theo đường nét đứt) để được một cái hộp không nắp. Tính cạnh các hình vuông bị cắt sao cho thể tích khối hộp là lớn nhất.
Lời giải
Gọi độ dài cạnh hình vuông bị cắt là x (cm) (0 < x < 15)
Thể tích khối hộp tạo thành là (cm3
)
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
Do đó (cm3
)
khi cạnh của hình
Dấu đẳng thức xảy ra Vậy thể tích khối hộp đạt giá trị lớn nhất bằng 2000 cm3 vuông bị cắt bằng 5 cm.
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC vuông tại A. Một điểm M bất kì nằm trong tam giác. Gọi H, I, K thứ tự là hình chiếu của M trên các cạnh BC, CA, AB. Tìm vị đạt giá trị nhỏ nhất. trí của M để
Lời giải
Kẻ đường cao AD của ABC. Hạ ME AD.
Dễ dàng chứng minh được rằng:
35
Vậy đạt giá trị nhỏ nhất là , khi M là trung điểm của
AD.
AC, Q BC, P
Ví dụ 3. Cho tam giác nhọn ABC. Trong tất cả các hình chữ nhật MNPQ nội tiếp tam giác ABC (M, N AB), hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.
Lời giải
Kẻ AH BC. Gọi giao điểm của AH với PQ là I.
Vì PQ // BC nên
Do đó
Vậy diện tích tứ giác MNPQ đạt giá trị lớn nhất là khi
. Hay P, Q thứ tự là trung điểm của AC và AB.
Ví dụ 4. Cho hình thang ABCD có diện tích bằng S. Biết AC là đường chéo lớn nhất của hình thang. Tìm giá trị nhỏ nhất của AC.
Lời giải
Kẻ AM CD, BN CD.
DN
BD. Khi đó CM Theo bài ra, AC (quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu)
Do đó 2CM CM + DN
= (CN + MN) + (DM + MN)
2CM MN + (CN + MN + DM) = MN + CD = AB + CD (1)
Theo định lí Pytago ta có (2)
Từ (1) và (2) suy ra
36
Bởi thế nên .Vậy giá trị nhỏ nhất của AC là đạt được khi
Ví dụ 5: Cho ABC, điểm M di động trên cạnh BC. Qua M kẻ các đường thẳng song song với AC và với AB, chúng cắt AB và AC theo thứ tự ở D và E. Xác định vị trí của điểm M sao cho hình bình hành ADME có diện tích lớn nhất.
Lời giải
lớn nhất SADME lớn nhất
Kẻ BK AC cắt MD ở H.
SADME = MD . HK; SABC = AC . BK
Đặt MB = x, MC = y,
MD//AC ta có: ;
Theo bất đẳng thức Cosi .
Vậy Giá trị lớn nhất của SADME là SABC. Khi đó M là trung điểm của BC.
Ví dụ 6: Tam giác ABC cần có thêm điều kiện gì để đạt giá trị
nhỏ nhất?
Lời giải
Kẻ phân giác AD của ABC.
Như vậy,
Gọi H là hình chiếu của B trên AD.
Ta có: (1)
Mặt khác, ta lại có: (2)
37
Kết hợp (1) và (2), suy ra
Lập thêm hai bất đẳng thức tương tự: ,
rồi nhân vế với vế ba bất đẳng thức trên, ta có
Vậy đạt giá trị nhỏ nhất là khi và chỉ khi tam giác ABC là
tam giác đều.
3. Ứng dụng của bất đẳng thức Côsi trong giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình.
Trong quá trình bồi dưỡng HSG các lớp 8, 9 học sinh đã được tìm hiểu các phương pháp giải bài toán giải phương trình và hệ phương trình. Trong các phương pháp đó, Sử dụng bất đẳng thức Côsi để giải phương trình và hệ phương trình cũng là một phương pháp có hiệu quả.
Ví dụ 1. Tìm các số thỏa mãn điều kiện
Lời giải
Theo bất đẳng thức AM-GM và hệ quả 4 của nó thì:
(do )
Từ đó, dễ dàng suy ra . Mà
Nên dấu đẳng thức ở các bất đẳng thức trên xảy ra.
Do đó và đây cũng là bộ số duy nhất thỏa mãn đề bài.
Ví dụ 2. Có hay không những số dương nhỏ hơn 1 và thỏa mãn đồng thời
các bất phương trình sau đây:
Lời giải
Nhân vế với vế ba bất phương trình trong hệ ta có:
(*)
38
Điều này là không thể xảy ra, thật vậy:
, trái với (*)
Vậy không tồn tại ba số dương nào thỏa mãn hệ bất phương trình.
Ví dụ 3. Giải phương trình:
Lời giải
, Ta có
Áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ta có:
dấu = xảy ra x =
phương trình có nghiệm duy nhất là x =
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình nghiệm dương.
Lời giải
Vế trái của phương trình (2) = 1 + x + y + z + (xy + yz + zx) + xyz
1 + 3 . Dấu bằng xảy ra khi x = y = z =1.
Thử lại thấy thoả mãn. Vậy hệ phương trình có nghiệm là: (1; 1; 1).
Ví dụ 5. Giải phương trình :
Lời giải
39
Ta có điều kiện:
Khi đó áp dụng bất đẳng thức Cosi dạng ta có:
Mặt khác:
Vậy
Vậy x = 1 là nghiệm của phương trình.
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình: (Với x, y, z > 0)
Lời giải
Từ (1) ta có:
Vì x, y, z > 0 ta áp dụng BĐT Côsi cho 2 số
(1) dấu “=” xảy ra khi
(2) dấu “=” xảy ra khi
(3) dấu “=” xảy ra khi
Từ (1), (2) và (3) ta có:
dấu “=” xảy ra khi TM
40
vậy nghiệm của hệ phương trình là: S =
4. Ứng dụng của bất đẳng thức Côsi trong giải các bài toán số học.
Với các bài toán số học, việc áp dụng bất đẳng thức Côsi để giải có vẻ xa lạ đối với học sinh. Nhưng trong các ví dụ dưới đây thì bất đẳng thức Côsi lại là công cụ rất hiệu quả để giải quyết bài toán.
Ví dụ 1. Cho
. So sánh S và
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cosi dạng ta có:
Cộng vế theo vê các bất đẳng thức trên ta được
Vì dấu đẳng thức không xẩy ra nên từ đó ta có:
41
Ví dụ 2 . Cho
Chứng minh rằng :
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cosi dạng cho hai số dương ta có:
Vận dung bất đẳng thức trên cho n = 1, 2, 3,…, 2012 ta được:
Bài toán được chứng minh.
Ví dụ 3. Cho phương trình: . Chứng minh rằng phương trình
không có nghiệm nguyên dương khi a = 1 hoặc a = 2, nhưng có vô số nghiệm khi a = 3.
Lời giải
Với x, y, z là các số nguyên dương nên theo bất đẳng thức Cosi ta có
Như vậy với a = 1, a = 2 thì phương trình không có nghiệm nguyên dương, với a = 3 thì phương trình có vô số nghiệm nguyên dương.
Chẳng hạn chọn x = y = z = b (b là số nguyên dương bất kì) làm nghiệm.
Ví dụ 4. Giải phương trình nghiệm nguyên:
Lời giải
Ta biến đổi tương đương phương trình như sau:
42
. Do đó trong ba số x, y, z hoặc cả ba số cùng dương, hoặc Từ đó ta có một số dương hai số âm. Chú ý rằng nếu đổi dấu hai trong ba số x, y, z thì phương trình ban đầu không đổi. Vì vậy ta có thể giả sử x, y, z đều dương.
Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có
Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức trên ta có
Suy ra . Do x, y, z là các số nguyên dương nên x = y = z = 1
Đổi dấu hai trong ba số x, y, z ta có them hai trường hợp nghiệm nữa.
Vậy các nghiệm (x; y; z) là (1; 1; 1), (-1;- 1; 1), (-1; 1; -1), (1; -1; -1).
Ví dụ 5. Chứng minh rằng với mọi ,ta có :
Lời giải
Với n=1 ,bất đẳng thức kép này hiển nhiên đúng ,sau đây ta sẽ xét trường hợp . Ttrước hết ta chứng minh bất đẳng thức ở vế phải, tức là
Để ý rằng theo bất đẳng thức Cosi hai số dạng , ta có
Hoàn toàn tương tự ta thiết lập được chuỗi bất đẳng thức
Nhân n – 1 bất đẳng thức được thiết lập ở trên lại theo vế , ta thu được
43
Suy ra
Do nên từ trên ta có hay
Bất đẳng thức ở vế hai đã được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi n = 1 hoặc n = 2
Tiếp theo ta sẽ chứng minh bất đẳng thức vế trái là
Sử dụng bất đẳng thức Cosi dạng ,ta có
Hoàn toàn tương tự ta cũng có
Nhân n – 1 bất đẳng thức được thiết lập ở trên lai theo vế và lấy căn bậc hai ,ta
thu được :
Từ đó nhân hai vế của (1) với n ,suy ra
Đây chính là điều phải chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi n = 1 hoặc n = 2 .
D. SÁNG TAO VỚI BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI
1. Một cách đổi biến mới lạ.
Bài toán: Cho a , b ,c , d là các số thực dương. Chứng minh rằng:
44
Lời giải
Cách 1: Sử dụng bất đẳng thức Côsi dạng , ta có:
Nhân cả hai vế của bất đẳng thức này cho , ta được
Hoàn toàn tương tự ta cũng có
Cộng theo vế 4 bất đẳng thức trên ,ta được:
Chú ý rằng dấu đẳng thức không xảy ra. Do đó bất đẳng thức được chứng minh.
Cách 2: Không mất tính tổng quát ta có thể chọn
Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số dương ta có
Hoàn toàn tương tự ta có:
45
Cộng vế theo vế bốn bất đẳng thức ta được:
Ở đây dấu đẳng thức không xẩy ra nên
Bất đẳng thức được chứng minh hoàn toàn.
và nếu chọn
Khi đưa lời giải 2 cho bài toán trên, chắc hẳn học sinh sẽ thắc mắc là tại sao lại có thể chọn được bất kì thì bài toán có giải được không? Và ngoài cách chọn điều kiện như trên có thể chọn theo cách khác (chẳng hạn như ) được không?
Câu trả lời là hoàn toàn được, thực chất việc chọn này bắt nguồn từ việc đổi biến. Sau đây là cách đổi biến dẫn đến kết quả .
Ta thực hiện biến đổi một hạng tử bên vế trái như sau:
Tới đây ta đổi biến như sau:
Thay vào biểu thức trên ta được: và
Áp dụng cho vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh ta được
Và
Như vậy sau phép đổi biến ta có một bất đẳng thức mới có hình thức hoàn toàn giống như bất đẳng thức cần chứng minh và được bổ sung thêm điều
46
kiện cho biến là kiện của biến là . Việc chứng minh bất đẳng thức mới với điều thực hiện như trên.
Dưới đây là một số ví dụ.
Ví dụ 1: Cho a, b , c là các số thực dương tùy ý Chứng minh rằng
Lời giải
Bất đẳng thức tương đương với
Chia cả hai vế cho ta được
Đặt
Thay vào bất đẳng thức trên ta được
Như vậy sau phép đổi biến ta có một bất đẳng thức mới có hình thức hoàn toàn giống như bất đẳng thức cần chứng minh và được bổ sung thêm điều kiện . Bây giờ ta chứng minh bất đẳng thức trên với điều kiện của cho biến là biến là .Thật vậy:
Dễ thấy rẳng theo bất đẳng thức Côsi thì bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng.
Vậy bất đẳng thức được chứng minh hoàn toàn.
47
Ví dụ 2: Cho . Chứng minh rằng:
Lời giải
Không mất tính tổng quát ta có thể chọn: a + b + c = 1
Theo bất đẳng thức Côsi ta có:
=
= VT 4
4
Ví dụ 3: Cho ba số thực dương a, b, c. CMR:
Lời giải
Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử a + b + c = 3
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
Cộng vế theo vế của ba bất đẳng thức trên ta được:
Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi số thực dương a,b,c ta luôn có
48
Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
Không mất tính tổng quát ta có thể chọn a +b + c = 3 và bất đẳng thức trên sẽ trở thành
Bất đẳng thức này tương đương với
Ta cần cứng minh bất đẳng thức sau:
Thật vậy theo bất đẳng thức Cosi ta có:
Như vậy bất đẳng thức được chứng minh hoàn tất.
2. Sáng tạo từ một bất đẳng thức quen thuộc
“Tìm được lời giải cho một bài toán là một phát minh” (Polya). Sẽ thông minh hơn nếu ta biết vận dụng nó để sáng tạo và tìm lời giải cho các bài toán mới. Trong phần này đề cập đến một bất đẳng thức quen thuộc, đơn giản và một số bài toán áp dụng bất đẳng thức này.
Bài toán: Với hai số dương x và y ta có:
(1)
Bất đẳng thức (1) có nhiều cách chứng minh, ở đây đưa ra cách chứng minh phổ biến nhất.
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ta có
49
Từ đó:
Và đẳng thức xảy ra khi x =y.
Cho các số dương a, b, c, áp dụng bất đẳng thức (1) ta có
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên, ta được:
Bài toán 1. Cho ba số dương a, b, c, ta có:
(2)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
Áp dụng Bất đẳng thức (2) cho 3 số ta được:
(3)
Kết hợp bất đẳng thức (2) và (3) ta có
Bài toán 2. Với a, b, c là các số dương:
(4)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
Bài toán 3. Chứng minh rằng với a, b, c dương:
(5)
Giải: Vận dụng bất đẳng thức (1) ta có:
50
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên và rút gọn ta có bất đẳng thức (5)
Đẳng thức xảy ra
Bài toán 4. Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0, x + 1>0, y + 1 > 0, z + 4 > 0. Hãy tìm giá trị lớn nhất của
Giải: Đặt a = x + 1 > 0, b = y + 1 > 0, c = z + 4 > 0. Ta có: a + b + c = 6 và
Theo bất đẳng thức (1) ta có:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Vậy: Giá trị lớn nhất của Q là . Đạt được khi
Bài toán 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Với x, y, z, t là các số dương.
Giải : Ta có:
51
Vậy MinA=0 khi x = y = z = t.
Trên đây là một số bài toán áp dụng bất đẳng thức (1) sau đây là một số bài tập tương tự:
Bài toán 6. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh các bất đẳng thức:
Bài toán 7. Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc = ab + bc + ca thì:
Bài toán 8. Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn x + y . Tìm giá trị nhỏ nhất của:
Bài toán 9. Cho tam giác ABC có chu vi a + b + c = k (không đổi), BC = a, CA = b, AB = c. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
PHẦN III - KẾT LUẬN
Như vậy từ ví dụ cụ thể và cách phân chia riêng học sinh có thấy được vai trò to lớn của bất đẳng thức Côsi trong giải một số dạng toán. Việc làm như thế ở người giáo viên được lặp đi, lặp lại và thường xuyên trong quá trình lên lớp sẽ dần dần hình thành cho học sinh có phương pháp, thói quen đào sâu suy nghĩ, khai thác các kiến thức toán ở nhiều góc độ khác nhau để từ đó tìm ra được nhiều cách áp dụng cho các trường hợp cụ thể. Thông qua đó học sinh được phát triển năng lực sáng tạo toán học, nhất là những học sinh khá giỏi. Qua mỗi giờ dạy người giáo viên cần giúp học sinh làm quen và sau đó tạo cơ hội cho học sinh luyện tập, thể hiện một cách thường xuyên thông qua hệ thống câu hỏi gợi mở, hệ thống bài tập từ dễ đến khó.
Trên đây là một vài ý tưởng của chúng tôi đã đưa ra trong quá trình lên
lớp trong giờ học.
Kết quả là:
- Giúp các em nắm được kiến thức cần thiết, vận dụng linh hoạt, mềm dẻo
vào tình huống cụ thể.
52
- Khi thực hiện bài giảng này trong giờ luyện tập, thấy các em hứng thú
tiếp thu và hứng thú học tập.
- Giúp cho học sinh khá giỏi không những hình thành kỹ năng giải toán mà còn giúp các em rèn luyện các thao tác tư duy: Phân tích, tổng hợp, khái quát hoá, tương tự hóa …
- Bước đầu hình thành ở các em cách học sáng tạo, tạo cho các em có thói quen sau khi giải quyết xong bài toán tự mình nghiên cứu, khai thác tìm cho mình các lời giải mới hoặc tự đặt cho mình những bài toán mới,…Qua đó giúp các em có phương pháp tự học, tự nghiên cứu.
- Thông qua tiết dạy, không có gì đáng để bàn thêm, học sinh chỉ cần hoàn thành yêu cầu của bài toán là xong. Như thế trong tiết luyện tập nếu trước đó giáo viên giao bài về nhà để học sinh làm, tiết sau chữa thì chỉ tìm thấy cái đúng, sai của học sinh, rèn kĩ năng trình bày cho học sinh. Còn đối với học sinh khá giỏi thì một tiết học đó không mang lại kết quả nhiều như mong muốn. Nếu giáo viên thực hiện khai thác, phát hiện vấn đề xung quanh bài toán thì tiết học đó sôi nổi, cuốn hút mọi đối tượng học sinh, phát huy hết khả năng sáng tạo của trò. Một tiết học như vậy sẽ để lại nhiều ấn tượng. Từ đó học sinh sẽ tự mình làm những việc mà trước đó người giáo viên phải làm hoặc thiết kế cho học sinh.
Trong quá trình giảng dạy ở hai lớp 9A, 9B va tham gia BGHSG cho trường, chúng tôi đã khảo sát trên hai nhóm học sinh bằng bài kiểm tra dưới hình thức cho 02 bài toán trong đó 01 bài trong SGK, 01 bài toán nâng cao lấy trong sách tài liệu tham khảo và có thay đổi một chút.
+ Nhóm thực nghiệm: 30 học sinh lớp 9A.
+ Nhóm đối chứng : 30 học sinh lớp 9B.
Các học sinh ở các nhóm được đánh số thứ tự từ 1 đến 30.
Kết quả thu được sau khi khảo sát như sau:
Nhóm thực nghiệm Nhóm đối chứng
Số học sinh
KT trƣớc tác động KT đầu năm KT sau tác động KT trƣớc tác động KT đầu năm KT sau tác động
1 8 8 9 7 7 8
2 7 7 8 6 7 8
3 8 8 9 6 6 7
4 8 8 9 7 8 8
53
5 8 8 9 3 5 7
6 8 8 9 5 4 5
7 8 8 10 7 7 6
8 7 7 8 7 8 6
9 8 8 9 6 7 7
10 8 8 9 6 5 6
11 6 7 8 4 5 6
12 8 8 9 8 8 8
13 7 8 9 5 6 6
14 7 7 8 6 6 5
15 7 8 9 5 6 6
16 8 8 9 7 6 7
17 8 8 9 5 7 6
18 7 9 10 5 5 6
19 8 8 10 6 6 6
20 7 8 9 7 6 6
21 8 8 9 4 5 4
22 8 8 9 5 6 6
23 8 8 9 7 6 7
24 7 8 9 7 8 6
25 8 9 10 4 5 6
26 8 8 9 3 5 6
27 8 8 9 3 4 5
28 8 8 9 8 7 7
29 7 7 8 4 5 6
30 7 8 9 6 6 5
54
Môt(mode) 6.0 5.0 7.0 7.0 6.0 6.0
5.5 5.5 7.0 6.0 6.0 6.0 Trung vị(median)
trung
5.43 5.53 7.00 5.63 6.10 6.23 trị Giá bình(average)
lệch
1.01 1.01 0.95 1.45 1.21 0.94 Độ chuẩn(stdev)
Giá trị p(ttest) 0.54 0.05 0.00
Mức độ ảnh hƣởng(SE) 0.82
Sau một thời gian kiên trì, nghiêm túc và nỗ lực thực hiện với sự giúp đỡ của đồng nghiệp, chúng tôi đã hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm với đề tài ". Tôi mong muốn được học hỏi, trao đổi thêm cùng tất cả đồng nghiệp và bạn đọc quan tâm vấn đề này. Đồng thời, chúng tôi cũng hi vọng đề tài này sẽ đóng góp một phần nhỏ trong việc bổ sung hiểu biết, góp phần làm tài liệu tham khảo cho công tác giảng dạy toán cũng như học toán, từ đó nâng cao được chất lượng dạy và học môn toán trong nhà trường. Bước đầu, đề tài đã thu được khá nhiều kết quả tích cực, đã tạo thói quen tốt cho nhiều HS tính kiên trì, độc lập suy nghĩ và có khả năng sáng tạo khi học toán, tự thấy được sự phong phú, thú vị của toán học. Các em đã ham thích hơn với môn toán. Mặc dù vậy, với khuôn khổ của đề tài này thì đây cũng chưa phải cho tất cả các đối tượng HS và đây cũng chỉ là ý kiến của riêng cá nhân chúng tôi là chính. Tuy đã cố gắng nhưng do kinh nghiệm cá nhân còn hạn chế nên nội dung của sáng kiến kinh nghiệm này chắc chắn không tránh khỏi nhiều khiếm khuyết. Tôi rất mong được sự trao đổi, chỉ bảo và đóng góp ý kiến bổ sung của các thầy giáo, cô giáo để đề tài được hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn !.
55
