M T S BÀI TOÁN TH NG G PỘ Ố ƯỜ Ặ
VI T PH NG TRÌNH TI P TUY N C A Đ TH HÀM S Ế ƯƠ Ế Ế Ủ Ồ Ị Ố
A, PH N TH NH TẦ Ứ Ấ
I, ĐT V N ĐẶ Ấ Ề
1.Chúng ta bi t r ng: d y h c toán là d y cho ng i h c có năng l c trí tu , năngế ằ ạ ọ ạ ườ ọ ự ệ
l c này s giúp h h c t p và ti p thu các ki n th c v t nhiên và xã h i.Vì v y, d yự ẽ ọ ọ ậ ế ế ứ ề ự ộ ậ ạ
toán không ch đn thu n là d y cho h c sinh n m đc ki n th c, nh ng đnh lý toánỉ ơ ầ ạ ọ ắ ượ ế ứ ữ ị
h c.Đi u quan tr ng là d y cho h c sinh có năng l c, trí tu . Năng l c này s đc hìnhọ ề ọ ạ ọ ự ệ ự ẽ ượ
thành và phát tri n trong h c t p.Vì v y c n giúp h c sinh phát tri n năng l c trí tuể ọ ậ ậ ầ ọ ể ự ệ
chung, b i d ng th gi i quan duy v t bi n ch ng.ồ ưỡ ế ớ ậ ệ ứ
2.Trong xu th chung nh ng năm g n đây, viêc đi m i ph ng pháp d y h c làế ữ ầ ổ ớ ươ ạ ọ
v n đ c p bách, thi t th c nh t nh m đào t o nh ng con ng i có năng l c ho t đngấ ề ấ ế ự ấ ằ ạ ữ ườ ự ạ ộ
trí tu t t. Đi m i ph ng pháp d y h c không ch trong các bài gi ng lý thuy t, màệ ố ổ ớ ươ ạ ọ ỉ ả ế
ngay c trong các gi luy n t p. Luy n t p ngoài vi c rèn luy n k năng tính toán, kả ờ ệ ậ ệ ậ ệ ệ ỹ ỹ
năng suy lu n c n giúp h c sinh bi t t ng h p, khái quát các ki n th c đã h c, s p x pậ ầ ọ ế ổ ợ ế ứ ọ ắ ế
các ki n th c đã h c m t cách h th ng, giúp h c sinh v n d ng các ki n th c đã h cế ứ ọ ộ ệ ố ọ ậ ụ ế ứ ọ
vào gi i bài t p m t cách năng đng sáng t o.ả ậ ộ ộ ạ
Có th nói, bài toán vi t ph ng trình ti p tuy n c a hàm s là bài toán c b n vàể ế ươ ế ế ủ ố ơ ả
th ng g p trong các kì thi t t nghi p THPT và tuy n sinh ĐHCĐ trong nh ng năm g nườ ặ ố ệ ể ữ ầ
đây,th nh ng không ít h c sinh còn lúng túng không có cái nhìn th u đáo v bài toán này,ế ư ọ ấ ế
các em th ng không nh n d ng đc bài toán và ch a có ph ng pháp gi i toán choườ ậ ạ ượ ư ươ ả
t ng d ng toán cũng nh kh năng phân tích đ còn nhi u khó khăn.ừ ạ ư ả ề ề
S dĩ h c sinh ch a làm đc bài t p vi t ph ng trình ti p tuy n c a hàm s làở ọ ư ượ ậ ế ươ ế ế ủ ố
vì:
- Th nh t: Bài toán viêt ph ng trình ti p tuy n đc trình bày cu i ch ngứ ấ ươ ế ế ượ ở ố ươ
trình 11 nên nhi u h c sinh đã quên ph ng pháp cho t ng bài toán.ề ọ ươ ừ
- Th hai: Các em thi u nhi u bài t p đ rèn luyên kĩ năng phân tích và trình bày ứ ế ề ậ ể
bài toán.
- Th ba: h c sinh ch a có đc ph ng pháp khái quát các bài toán th ng g pứ ọ ư ượ ươ ườ ặ
về
vi t ph ng trình ti p tuy n c a hàm s ế ươ ế ế ủ ố
Chính vì v y, đã thôi thúc tôi tìm hi u và vi t đ tài ậ ể ế ề “M t s bài toán th ng g pộ ố ườ ặ
v vi t ph ng trình ti p tuy n c a đ th hàm s ề ế ươ ế ế ủ ồ ị ố ” nh m giúp các em h c sinh n mằ ọ ắ
ch c đc ki n th c v bài toán vi t ph ng trình ti p tuy n c a đ th hàm s , đ cácắ ượ ế ứ ề ế ươ ế ế ủ ồ ị ố ể
em có s chu n b t t cho các k thi t t nghi p THPT Qu c gia và ĐHCĐ.ự ẩ ị ố ỳ ố ệ ố
II.GI I QUY T V N ĐẢ Ế Ấ Ề
LÝ THUY TẾ:
1.Ti p tuy n c a đng cong ph ngế ế ủ ườ ẳ
Trong m t ph ng t a đ 0xy cho đng congặ ẳ ọ ộ ườ (C): y = f(x)
và M(x
0
; f (x
0
))
)(C
kí hi u Mệ’(x; f(x)) là đi m di chuy n trên ( C)ể ể
y
f(x) M,
M
f (x
0
) T
O x
0
x x
Đng th ng MMườ ẳ ’ là m t cát tuy n c a ( C).ộ ế ủ
Khi x
0
x
thì M’(x; f(x))
di chuy n trên ( C) t i M(xể ớ
0
; f (x
0
)) và ng c l i.ượ ạ
Gi s MMả ử ’ có vị trí gi i h n, kí hi u là MT thì MT đc g i là ớ ạ ệ ượ ọ ti p tuy nế ế c a ( C) t i ủ ạ
M. Đi m M đc g i là ể ượ ọ ti p đi mế ể
“Sau đây ta không xét tr ng h p ti p tuy n song song ho c trùng v i oy”ườ ợ ế ế ặ ớ
Đnh lý 1ị: Cho hàm s y = f(x) (C)ố
Ph ngươ trình ti p tuy n t i ế ế ạ t iạ M(x
0
;y
0
)
)(C
có d ng:ạ
y=f
,
(x
0
).( x-x
0
) + y
0
-V i:ớ f
,
(x
0
) là h s góc c a ti p tuy nệ ố ủ ế ế
và y
0
= f (x
0
)
Đnh lý 2: ịCho hàm s ố(C) và đng th ng (d) có ph ng trình:ườ ẳ ươ
y = f(x) ( C )
và y = kx + b ( d )
Đng th ng d ti p xúc v i (C) khi và ch khi h sau có nghi m:ườ ẳ ế ớ ỉ ệ ệ
)(
)(
,
xfk
bkxxf
Khi đó nghi m x c a h ph ng trình chính là hoành đ ti p đi mệ ủ ệ ươ ộ ế ể
B.BÀI TOÁN
Vi t ph ng trình ti p tuy n c a đ th hàm s : y =f(x) ( C )ế ươ ế ế ủ ồ ị ố
I. Vi t ph ng trình ti p tuy n c a đ th hàm s : y =f(x) ế ươ ế ế ủ ồ ị ố t iạ M(x
0
;y
0
)
thu c đ th hàm s ( C )ộ ồ ị ố
* Ph ng pháp:ươ
- Vi t ph ng trình ti p tuy n c a h/s: y =f(x) ế ươ ế ế ủ t iạ M(x
0
;y
0
) có d ng:ạ
y= f
,
(x
0
).( x-x
0
) + y
0
-V i:ớ f
,
(x
0
) là h s góc c a ti p tuy nệ ố ủ ế ế
-Tính: f
,
(x) =? f→
,
(x
0
) =?
-Kêt lu n:….ậ
Nh n xétậ:+bài toán ch có 1 ph ng trình ti p tuy nỉ ươ ế ế
Ví d 1`( Đ TNTHPT-2007 )ụ ề Cho hàm s (C): y = x+1 - ố
12
2
x
Hãy vi t ph ng trìnhế ươ
ti p tuy n v i đ th (C) t i A(0;3)ế ế ớ ồ ị ạ
Gi iả
Ta có: y’= 1+
2
)12(
4
x
nên y’(0) = 5
Ph ng trình ti p tuy n v i đ th (C) t i A(0;3) có d ng: ươ ế ế ớ ồ ị ạ ạ
y = 5(x-0) + 3 hay y = 5x + 3
Ví d 2: ( Đ TNTHPT-2006 )ụ ề
Cho hàm s (C): y = xố3-6x2+9x Hãy vi t ph ng trình ti p tuy n t i đi m u n đ th (C)ế ươ ế ế ạ ể ố ồ ị
Gi iả
Ta có: y’=3.x2-12x +9 ; y”=6x-12 ; y”=0
x=2
V i: x = 2 ớ
y = 2 và y’(2)= -3
Ph ng trình ti p tuy n v i đ th (C) t i đi m u n A(2;2) có d ng: ươ ế ế ớ ồ ị ạ ể ố ạ
y = -3(x-2) + 2 hay y = -3x + 8
II. Vi t ph ng trình ti p tuy n c a đ th hàm s : y =f(x) ế ươ ế ế ủ ồ ị ố t i đi m cóạ ể
hoành độ x=x
0
* Ph ng pháp:ươ
-V i:ớ x =x
0
→ y
0
=f(x
0
)=? ( v d ng trên)ề ạ
- Vi t ph ng trình ti p tuy n c a hàm s : y =f(x) t i đi m có hoành đ x = xế ươ ế ế ủ ố ạ ể ộ
0
có
d ng:ạ
y=f
,
(x
0
).( x-x
0
) + y
0
Nh n xétậ:+áp d ng t ng t v i ti p tuy nụ ươ ự ớ ế ế c a đ th hàm s t i đi m có tung đ: y=ủ ồ ị ố ạ ể ộ
y
0
y→
0
=f(x
0
) x→
0
=? ( bài toán v d ng ti p tuy n t i m t đi m )ề ạ ế ế ạ ộ ể
Ví d : ( Đ TNTHPT-2008 )ụ ề
Cho hàm s (C): y = xố4-2x2 Hãy vi t ph ng trình ti p tuy n c a đ th (C) t i đi m cóế ươ ế ế ủ ồ ị ạ ể
hoành đ x= -2ộ
Gi iả
Ta có: y’=4x3- 4x
V i: x = -2 ớ
y = 8 và y’(-2)= - 24
Ph ng trình ti p tuy n v i đ th (C) t i đi m A(-2;8) có d ng: ươ ế ế ớ ồ ị ạ ể ạ
y = -24( x + 2 ) + 8 hay y = -24x - 40
III.Vi t ph ng trình ti p tuy n c a đ th hàm s : y =f(x) ế ươ ế ế ủ ồ ị ố có h s gócệ ố
là k
*Ph ng pháp:ươ
-Tính: f
,
(x) =? f→
,
(x
0
) =? (ch a n x ứ ẩ
0
)
-H s góc c a ti p tuy n là:ệ ố ủ ế ế f
,
(x
0
) = k x→
0
=? → y
0
=f(x
0
)=?
- Vi t ph ng trình ti p tuy n c a hàm s :y =f(x) ế ươ ế ế ủ ố có h s góc làệ ố k có d ng:ạ
y=k.( x-x
0
) + y
0
Nh n xét:ậ
+S nghi mố ệ x
0
c a ph ng trìnhủ ươ : f
,
(x
0
) = k là s ph ng trình ti p tuy n có h số ươ ế ế ệ ố
góc k
+Ti p tuy n song song v i đng th ngế ế ớ ườ ẳ : y = kx +b f→
,
(x
0
) = k x→
0
=? → y
0
=f(x
0
)=?
+Ti p tuy n vuông góc v i đng th ngế ế ớ ườ ẳ : y= kx +b f→
,
(x
0
)= -
k
1
x→
0
=? y
0
=f(x
0
)=? Ph ng trình ti p tuy n : →ươ ế ế y=-
k
1
.(x- x
0
) + y
0
+Ti p tuy n t o v i chi u d ng c a tr c ox m t góc ế ế ạ ớ ề ươ ủ ụ ộ
thì:
??tan)( 000
' yxxf
.Ph ng trình ti p tuy n : ươ ế ế y=
tan
.(x- x
0
) + y
0
Ví dụ: ( Đ TNTHPT-2009 )ề
Cho hàm s (C): y = ố
2
12
x
x
Hãy vi t ph ng trình ti p tuy n c a đ th (C) ,bi t hế ươ ế ế ủ ồ ị ế ệ
s góc c a ti p tuy n b ng -5ố ủ ế ế ằ
Gi iả
Ta có: y’=
2
)2(
5
x
.Ta có h s góc c a ti p tuy n: ệ ố ủ ế ế
2
)2(
5
x
= -5
1)2( 2
x
x=1
ho c x=3ặ
-V i x=1ớ
y=-3 Ph ng trình ti p tuy n c a đ th (C) t i đi m A(1;-3) có d ng: ươ ế ế ủ ồ ị ạ ể ạ
y = -5( x -1 ) - 3 hay y = -5x + 2
-V i x=3ớ
y=7 Ph ng trình ti p tuy n c a đ th (C) t i đi m ươ ế ế ủ ồ ị ạ ể B( 3;7 ) có d ng: ạ
y = -5( x -3 ) +7 hay y = -5x + 22
IV. Vi t ph ng trình ti p tuy n c a đ th hàm s : y =f(x) ế ươ ế ế ủ ồ ị ố qua m tộ
đi mể A(x
1
;y
1
)
*Ph ng pháp:ươ
-Tính : f
,
(x) =?
-G i đng th ng qua ọ ườ ẳ A(x
1
;y
1
) có h s góc k ph ng trình có d ng:→ệ ố ươ ạ
y=k.(x- x
1
)+y
1
-Đ đng th ng là ti p tuy n c a đ th hàm s thì:ể ườ ẳ ế ế ủ ồ ị ố
)(
)()(
,
11
xfk
yxxkxf
có nghi mệ
-Thay (2) vào (1)ta có: f(x) = f
,
(x) (x- x
1
)+ y
1
(3) x = ? thay vào(2) k = ? → →
-K t lu n: ế ậ
+Nh n xétậ:-s nghi m x c a ph ng trình(3) là s ti p tuy n c a ố ệ ủ ươ ố ế ế ủ đ th hàm s ồ ị ố đi qua
A(x
1
;y
1
)
Ví dụ: ( Đ TNTHPT-2004 )ề
Cho hàm s (C): y = ố
3
1
x3-x2 Hãy vi t ph ng trình ti p tuy n c a đ th (C) đi quaế ươ ế ế ủ ồ ị
đi m A(3;0)ể
Gi iả