Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Khai thác cách xác định chiều cao trong các bài toán tính thể tích khối đa diện

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:64

Thêm vào BST

Báo xấu

1
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu sáng kiến "Khai thác cách xác định chiều cao trong các bài toán tính thể tích khối đa diện" nhằm nghiên cứu các tính chất hình học không gian tổng hợp để giải quyết các bài toán xác định chiều cao và tính thể tích khối đa diện; Tạo ra hệ thống bài tập theo chủ đề nhằm rèn luyện năng lực cho người học đáp ứng với chương trình dạy, học hiện hành.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Khai thác cách xác định chiều cao trong các bài toán tính thể tích khối đa diện

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Tên đề tài: KHAI THÁC CÁCH XÁC ĐỊNH CHIỀU CAO TRONG CÁC BÀI TOÁN TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN LĨNH VỰC: TOÁN HỌC Đồng tác giả: Lê Hải Nam - Số đt 0978069522 - Tổ toán tin Nguyễn Trung Chính - Số đt 0915237036 - Tổ toán tin Hồ Thị Thúy - Số đt 0389376260 - Tổ toán tin Trường THPT Diễn Châu 4 ĐỀ CƯƠNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Nghệ An, tháng 4 năm 2024 Tác giả: Lê Hải Nam – Trường THPT Diễn Châu 4. 0
Mục lục PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ ........................................................................................... 1 1.1. Lí do chọn đề tài ............................................................................................. 1 1.2. Mục đích nghiên cứu ...................................................................................... 1 1.3. Nhiệm vụ nghiên cứu ..................................................................................... 2 1.4. Tính mới và sáng tạo của đề tài ..................................................................... 2 1.5. Đối tượng nghiên cứu..................................................................................... 2 1.6. Giới hạn của đề tài ......................................................................................... 2 Đề tài tập trung và nghiên cứu các tính chất hình học từ đó hình thành phương pháp giải toán xác định chiều cao và tính thể tích khối đa diện, kèm theo một số ứng dụng tương ứng. ............................................................................................. 2 1.7. Phương pháp nghiên cứu................................................................................ 2 1.8. Bố cục của đề tài SKKN ................................................................................ 2 PHẦN II. NỘI DUNG ĐỀ TÀI................................................................................. 3 Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN...................................................... 3 1.1. Sơ lược vấn đề nghiên cứu ............................................................................. 3 1.2. Cơ sở lý luận .................................................................................................. 3 1.3. Cơ sở thực tiễn ............................................................................................... 4 1.4. Hình thành giả thiết khoa học và đề xuất giải pháp ....................................... 6 Chương 2. KHAI THÁC CÁCH XÁC ĐỊNH CHIỀU CAO TRONG CÁC BÀI TOÁN TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN.............................................................. 9 2.1. Một số kiến thức cơ bản ................................................................................. 9 2.2. Phân tích các bài toán tính thể tích trong chương trình hiện hành .............. 10 2.3. Một số biện pháp khai thác cách xác định chiều cao trong các bài toán tính thể tích khối đa diện. ........................................................................................... 14 2.3.1. Biện pháp 1: Khai thác cách xác định chiều cao đối với khối chóp, khối lăng trụ có một mặt chứa đỉnh và vuông góc với đáy ......................................... 14 2.3.2. Biện pháp 2: Khai thác cách xác định chiều cao đối với khối chóp đều .. 19 2.3.3. Biện pháp 3: Khai thác cách xác định chiều cao đối với khối chóp và khối lăng trụ có một số yếu tố đặc biệt ....................................................................... 24 2.3.4. Biện pháp 4: Xác định chiều cao của vật thể để tính thể tích từ các bài toán có nội dung thực tế ...................................................................................... 40 Chương 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM ................................................................ 45 1
3.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm ................................................................... 45 3.2. Đối tượng thực nghiệm ................................................................................ 45 3.3. Tiến hành thực nghiệm................................................................................. 45 3.4. Kết quả thực nghiệm .................................................................................... 50 3.5. Đánh giá kết quả........................................................................................... 52 3.5.1. Về mặt định tính ........................................................................................ 52 3.5.2. Về mặt định lượng..................................................................................... 53 3.5. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm ........................................................... 53 PHẦN III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ........................................................... 53 1. Quá trình nghiên cứu ....................................................................................... 53 2. Ý nghĩa của đề tài ............................................................................................ 54 3. Kiến nghị ......................................................................................................... 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................... 55 DANH MỤC VIẾT TẮT TT Chữ viết tắt Chữ đầy đủ 1 THPT Trung học phổ thông 2 GDPT Giáo dục phổ thông 3 SGK, Sgk Sách giáo khoa 4 GV Giáo viên 5 HS Học sinh 6 HSG, Hsg Học sinh giỏi 7 ĐC Đối chứng 8 TN Thực nghiệm 9 SKKN Sáng kiến kinh nghiệm 10 KNTT Kết nối tri thức 11 SL Số lượng 12 TL Tỷ lệ 2
PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1. Lí do chọn đề tài Đối với chương trình phổ thông, hình học là một trong ba nội dung chính mà Bộ giáo dục hướng đến để xây dựng chương trình mới, trong đó hình học không gian với chủ đề thể tích khối đa diện là chủ đề mang nhiều ý nghĩa thiết thực. Chủ đề này theo chương trình GDPT 2006 được trình bày ở SGK hình học lớp 12, sau khi học sinh được học khái niệm về khối đa diện; còn theo chương trình GDPT 2018 được trình bày ở SGK lớp 11 kết hợp trong chương quan hệ vuông góc với mục tiêu tinh gọn và đơn giản hóa so với chương trình cũ. Qua chủ đề này, học sinh vận dụng được các công thức để tính thể tích các khối đa diện, ứng dụng để tính khoảng cách, tỉ số đoạn thẳng… và liên hệ để giải quyết một số bài toán trong thực tiễn. Trong quá trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi, chúng tôi thấy rằng, để tính được thể tích khối đa diện bất kỳ thông thường quy về tính thể tích của hai khối là khối chóp và khối lăng trụ, trong đó công thức liên quan đến tính diện tích đáy và chiều cao là hai yếu tố chính. Việc tính diện tích đáy thì dựa vào tính diện tích của tam giác, tứ giác hoặc đa giác đặc biệt, nhưng đối với chiều cao thì thường thực hiện qua hai bước là xác định được chân đường vuông góc hạ từ đỉnh đến mặt đáy và tính độ dài tương ứng. Đề tài này hướng đến việc tính thể tích của khối đa diện khi chưa xác định được chiều cao từ giả thiết của bài toán bằng cách đi thiết lập chiều cao, xác định chân đường vuông góc dựa trên tính chất đặc biệt của giả thiết, tính độ dài tương ứng hoặc xác định khoảng cách từ điểm một mặt phẳng, sử dụng tính chất bắc cầu thông qua một khối đa diện khác đã xác định được chiều cao. Với chương trình GDPT 2018, những thay đổi phương pháp dạy và học, thay đổi hình thức kiểm tra đánh giá học sinh, đặc biệt hình thức thi tốt nhiệp từ năm 2025 đặt ra những thách thức mới đòi hỏi sự thay đổi từ giáo viên và học sinh để nâng cao chất lượng dạy và học. Đề tài giúp học sinh phát triển năng lực giải quyết vấn đề, tư duy và lập luận logic, từ đó hướng đến giải quyết được các bài toán liên quan đến các kì thi như học sinh giỏi cấp tỉnh, thi tốt nghiệp hay thi đánh giá năng lực của một số trường đại học. Với những lí do trên chúng tôi chọn đề tài SKKN: “Khai thác cách xác định chiều cao trong các bài toán tính thể tích khối đa diện”. 1.2. Mục đích nghiên cứu +) Nghiên cứu cơ sở lý luận về tư duy sáng tạo. +) Nghiên cứu các tính chất hình học không gian tổng hợp để giải quyết các bài toán xác định chiều cao và tính thể tích khối đa diện. +) Tạo ra hệ thống bài tập theo chủ đề nhằm rèn luyện năng lực cho người học đáp ứng với chương trình dạy, học hiện hành. 1
1.3. Nhiệm vụ nghiên cứu +) Xây dựng và sáng tạo các phương pháp tính thể tích khối đa diện đơn giản, hiệu quả hơn. +) Giảm bớt mức độ trừu tượng của lớp bài toán để rèn luyện tư duy cho học sinh. +) Hình thành các bài toán tương tự, các bài toán mới, đưa vào bài toán thực tế. 1.4. Tính mới và sáng tạo của đề tài +) Xây dựng các mạch bài toán theo hướng xác định chiều cao để tính thể tích khối đa diện, từ bài toán đã biết đến các bài toán có nội dung đang ẩn chiều cao hoặc ẩn đi yếu tố có quan hệ vuông góc nhưng đã cho một số tính chất đặc biệt có thể khai thác được. +) Ứng dụng bài toán xác định chiều cao trong chứng minh một số đẳng thức về độ dài, tìm cực trị của một biểu thức có liên quan đến thể tích, diện tích, vận dụng vào giải quyết một số bài toán thực tế. +) Hướng đến việc làm rõ chủ đề thể tích khối đa diện theo hướng xây dựng cách tính thể tích theo mạch kiến tạo kiến thức từ đó xây dựng các năng lực tư duy và lập luận, giải quyết vấn đề bằng các kết luận, nhận xét và chú ý sau kết quả thu được của mỗi bài toán. 1.5. Đối tượng nghiên cứu Chương trình Hình Học 12 (GDPT 2006) và chương trình môn Toán lớp 11 (GDPT 2018) – chủ đề thể tích khối đa diện. 1.6. Giới hạn của đề tài Đề tài tập trung và nghiên cứu các tính chất hình học từ đó hình thành phương pháp giải toán xác định chiều cao và tính thể tích khối đa diện, kèm theo một số ứng dụng tương ứng. 1.7. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lí luận, điều tra quan sát, thực nghiệm sư phạm. 1.8. Bố cục của đề tài SKKN Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và tài liệu tham khảo, đề tài được trình bày trong 3 chương. Chương 1. Cở sở lí luận và thực tiễn. Chương 2. Khai thác cách xác định chiều cao trong các bài toán tính thể tích khối đa diện. Chương 3. Thực nghiệm sư phạm. 2
PHẦN II. NỘI DUNG ĐỀ TÀI Chương 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1. Sơ lược vấn đề nghiên cứu Hình học không gian được bắt đầu từ chương trình lớp 11 và kết thúc ở lớp 12 với các phần hình học không gian tổng hợp và hình học không gian tọa độ. Với phần hình học không gian tổng hợp, chương trình đã có sự thay đổi nhất định, chẳng hạn chuyển nội dung thể tích các khối đa diện từ lớp 12 xuống lớp 11, với mức độ của yêu cầu cần đạt nhẹ nhàng hơn so với chương trình cũ. Tuy nhiên dù cho có thay đổi như thế nào thì công thức và phương thức sử dụng kiến thức để giải các bài toán cũng không thay đổi, tức là bản chất các bài toán không thay đổi, sự thay đổi ở đây chính là thay đổi cách tiếp cận vấn đề mới cho học sinh mà ở đó qua quá trình hoạt động của mình, học sinh lĩnh hội kiến thức một cách chủ động dưới sự tổ chức và dẫn dắt của giáo viên. Việc tính thể tích của khối chóp hay khối lăng trụ đều phải xác định được hai yếu tố là diện tích đáy và chiều cao và yếu tố nào cũng quan trọng để quyết định nên sự thành công cho quá trình giải toán. Đề tài hướng đến việc xác định chiều cao của khối chóp, khối lăng trụ, khối chóp cụt đều gọi chung là khối đa diện qua việc khai thác các tính chất được sử dụng trong giả thiết của bài toán. Như thế có thể hiểu rằng trong giả thiết bài toán không cho sẵn yếu tố chiều cao hay quan hệ vuông góc một cách rõ ràng mà cần phải thực hiện một số bước, một số kĩ thuật nhỏ để tìm ra chiều cao của khối đa diện đó. Việc xây dựng được các biện pháp khai thác chiều cao trong các bài toán giúp học sinh có cơ hội phát triển năng lực giải quyết các bài toán có một số yếu tố đặc biệt. Cụ thể hơn là đề tài quy về một số loại giả thiết đặc biệt, chẳng hạn như với giả thiết A của bài toán thì hướng để khai thác ra chiều cao là B. Với định hướng đó, đề tài còn phát triển, sáng tạo một số bài toán tương tự và nâng cao, phù hợp cho giáo viên và học sinh trong quá trình học tập và bồi dưỡng học sinh giỏi, đáp ứng được với sự thay đổi hình thức đánh giá theo chương trình mới. Ngoài ra đề tài cũng đề cập đến việc khai thác chiều cao của các khối trong mô hình bài toán thực tế, giúp học sinh có cơ hội phát triển năng lực mô hình hóa toán học, phát triển tính ứng dụng thực tiễn của đề tài. 1.2. Cơ sở lý luận Chương trình phổ thông mới yêu cầu về mặt kiến thức và kĩ năng cho chủ đề thể tích với nội dung “Nhận biết công thức tính thể tích của khối chóp, khối lăng trụ, khối hộp, khối chóp cụt đều; Tính thể tích của khối chóp, khối lăng trụ, khối hộp, khối chóp cụt đều trong một số tình huống đơn giản; Vận dụng kiến thức, kĩ năng về thể tích vào một số bài toán thực tế”. Qua đó chúng ta thấy được một sự thay đổi về mặt kiến thức kĩ năng với chủ đề thể tích, từ việc yêu cầu học sinh phải nắm được, phải ghi nhớ được thì chương trình mới yêu cầu học sinh nhận biết được, tính được, vận dụng được và để làm được điều này đòi hỏi học sinh cần thực 3
hiện các hoạt động trong quá trình học tập để rút ra được kiến thức, kĩ năng cho mình đồng thời phát triển các năng lực giải quyết vấn đề, mô hình hóa toán học… Qua việc nghiên cứu cả chương trình cũ và chương trình mới, chúng tôi nhận thấy khi dạy cho học sinh đều phải rèn luyện cho các em tư duy phát hiện và giải quyết vấn đề, đó là các vấn đề được sử dụng trong giả thiết của bài toán mà muốn làm được điều đó cần phải khai thác triệt để các tính chất đưa ra. Với bài toán tính thể tích, cả chương trình cũ và mới đều đề cập đến một số bài toán có tính chất hướng đến sự khai thác các yếu tố của giả thiết để xác định chiều cao, chẳng hạn sách giáo khoa Hình học 12 đề cập đến các bài toán như tính thể tích khối tứ diện đều, khối bát diện đều (Bài tập 1, 2 trang 25, bài tập 6, 9 trang 26), sử dụng đường tròn nội tiếp, bàng tiếp (Bài tập 7 trang 26) , sách giáo khoa Toán 11 KNTT đề cập đến các bài toán tính thể tích như thể tích khối chóp đều (Luyện tập 1 trang 62, Bài tập 7.28, 7.30 trang 63), tính thể tích khối lăng trụ sử dụng tính chất của chóp đều (Bài tập 7.31 trang 63), sử dụng tính chất hai mặt phẳng vuông góc tính thể tích lăng trụ (Ví dụ 2 trang 62), tính thể tích khối chóp cụt đều (Luyện tập 2 trang 63), sử dụng điểm có yếu tố đặc biệt để tính thể tích khối hộp (Ví dụ 3 trang 63), các bài toán thực tế sử dụng mô hình chóp đều và chóp cụt đều (Bài vận dụng và 7.32 trang 63). Như vậy qua so sánh nội dung các bài tập ở hai sách giáo khoa sử dụng cho hai chương trình có thể thấy rằng việc khai thác cách xác định chiều cao trong bài toán tính thể tích là rất quan trọng, cho dù chương trình cũ hay chương trình mới. Với chương trình cũ, các bài toán sử dụng trong quá trình học tập mang tính hàn lầm và trừu tượng cao, đòi hỏi học sinh phải vận dụng được những kiến thức tổng hợp mới giải quyết được. Với chương trình mới, các bài toán đưa ra thiết thực, kiến thức nhẹ nhàng hơn nhưng hướng đích vẫn là kết quả học sinh phát triển được các năng lực để giải quyết vấn đề. Trên đây là những cơ sở lí luận đề thấy được tính đúng đắn và thiết thực mà đề tài đưa ra để nghiên cứu. 1.3. Cơ sở thực tiễn Để xác định cơ sở thực tiễn của đề tài, chúng tôi tiến hành khảo sát đối với học sinh và giáo viên trực tiếp giảng dạy chủ đề thể tích khối đa diện. Để xác định thực trạng học của học sinh về chủ đề thể tích khối đa diện với nội dung khai thác các xác định chiều cao từ giả thiết, chúng tôi tiến hành khảo sát 50 học sinh mà mình không trực tiếp giảng dạy, kết quả thu được như sau: Bảng 1: Kết quả thăm dò học sinh khi học chủ đề thể tích khối đa diện với nội dung khai thác cách xác định chiều cao từ giả thiết TT Nội dung Không Thường xuyên thường xuyên SL TL SL TL 1 Thầy cô có thường xuyên nêu định hướng 31 62% 19 38% về xác định chiều cao trước khi tính thể tích không? 4
2 Thầy cô có đưa ra cách thức hay phương pháp cho học sinh để xác định chiều cao 29 58% 21 42% các khối không? 3 Thầy cô có chia bài toán tính tính thể tích thành các dạng toán có yếu tố rõ ràng và 40 80% 10 20% chưa rõ ràng về chiều cao các khối không? 4 Thầy cô có bổ sung hay gợi ý thêm các tính chất giúp cho quá trình xác định 35 70% 15 30% chiều cao các khối đơn giản hơn không? Phân tích: Kết quả hàng 1 cho chúng ta thấy học sinh vẫn nhận được ít sự hướng dẫn, gợi ý, dẫn dắt của giáo viên trước khi tiến hành giải một bài toán. Đôi khi giáo viên mặc định rằng với giả thiết như thế, học sinh cứ áp dụng công thức mà giải quyết vấn đề của bài toán là được mà quên mất rằng đối với học sinh, khi vấn đề chưa rõ ràng thì đồng nghĩa với nhiệm vụ các em thực hiện để đáp ứng yêu cầu đưa ra cũng chưa thể tốt được. Không phải học sinh nào cũng biết được rằng muốn tính được thể tích khối chóp cần phải xác định được chiều cao và diện tích đáy, với giả thiết như thế thì xác đinh chiều cao như thế nào, diện tích đáy xác định như thế nào. Kết quả hàng 2 chỉ ra rằng cũng có rất nhiều thầy cô đã đưa ra cách thức tính chiều cao cho các bài toán như với hình chóp đều thì chiều cao được tính thông qua cạnh đáy và cạnh bên như thế nào, tính theo yếu tố góc thì như thế nào, tuy nhiên tỷ lệ này vẫn đang còn thấp. Kết quả hàng 3 thấy được rằng đa số học sinh vẫn chưa thể nắm được cụ thể có những loại hình nào để xác định và tính thể tích như hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy, hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy, hình chóp đều… Cuối cùng đó là phần lớn học sinh còn chưa biết cách khai thác vào các tính chất của bài toán để xác định chiều cao như khi cho hình chóp có ba cạnh chung đỉnh bằng nhau thì chân đường cao nằm ở đâu, khi cho hình chóp có mặt bên vuông góc với mặt đáy thì chân đường cao dự đoán sẽ nằm ở đâu, điều này có ý nghĩa rất lớn cho việc giải được các bài toán đồng thời phát triển năng lực nhận biết và phán đoán tình huống cho các em. Bên cạnh việc xác định thực trạng trên đối tượng học sinh, chúng tôi tiến hành xác định thực trạng trên đối tượng là giáo viên, những người trực tiếp giảng dạy cho các em chủ đề thể tích khối đa diện thông qua việc kiểm chứng mức độ thường xuyên của việc dạy bằng cách tạo bảng câu hỏi khảo sát đối với 20 giáo viên. Nội dung hướng đến vấn đề giáo viên có thường xuyên sử dụng các biện pháp khai thác cách xác định chiều cao để giúp cho học sinh mạch lạc trong phương hướng giải toán hay không, kết quả thu được như sau: Bảng 2: Thực trạng của giáo viên khi dạy chủ đề thể tích khối đa diện TT Nội dung Không thường Thường xuyên xuyên 1 Thầy cô có thường xuyên nêu định 13 65% 7 35% 5
hướng về xác định chiều cao các khối khi tính thể tích cho học sinh không? 2 Thầy cô có thường xuyên sử chia các dạng mô hình để xác định chiều cao 11 55% 9 45% cho học sinh không? 3 Thầy cô có thường xuyên sử áp dụng 6 30% 14 70% các cách xác định chiều cao với bài toán tính thể tích thực tế không? 4 Thầy cô có sử dụng các phương pháp dạy học tích cực để kích thích khả năng 5 25% 15 75% vận dụng tính chất vào bài toán xác định chiều cao khi tính thể tích khối đa diện không? Phân tích: Ở kết quả hàng 1 có thể thấy rằng đa số giáo viên vẫn chưa chú trọng vào một trong các yếu tố cốt lõi của bài toán là nêu ra định hướng giúp cho học sinh thấy được việc xác định chiều cao của một bài toán cho học sinh là một cách tự nhiên và thường xuyên. Có lẽ vì thời gian không cho phép, đặc biệt là với chương trình mới mà việc chia dạng các loại mô hình để học sinh dễ tiếp cận vấn đề hơn cho học sinh của một số thầy cô đang còn khá thấp, điều đó được thể hiện qua kết quả hàng thứ 2 của bảng khảo sát. Ở hàng thứ 3 chúng ta thấy rằng muốn giải quyết bài toán thực tế, cần phải dựa trên các mô hình toán học được thiết lập, các mô hình này cũng dựa trên các tính chất hình học và phần lớn giáo viên trước khi giao nhiệm vụ cho học sinh hoạt động nhóm hay cá nhân, làm việc tại lớp hay về nhà đều hướng dẫn kĩ những nội dung này để giúp các em có quá trình tính toán tốt hơn. Cuối cùng với chương trình mới, phần lớn thầy cô đã có sự thay đổi phương pháp một cách rõ ràng hơn, các em được trải nghiệm các phương pháp dạy học tích cực nhiều hơn, được thể hiện qua kết quả ở hàng 4. Tóm lại, sau quá trình điều tra, khảo sát thực trạng, chúng tôi rút ra rằng với học sinh và giáo viên, muốn làm tốt quá trình dạy và học cần phải hiểu sâu sắc vấn đề mình đang thực hiện. Để giúp cho các em hình thành và nâng cao năng lực giải bài toán thể tích thì rèn luyện cho các em những kĩ năng gì để khai thác được các giải thiết từ bài toán là một điều hết sức quan trọng và đề tài nghiên cứu việc khai thác các tính chất để xác định chiều cao cũng nằm trong xu hướng đó. Đó cũng là nhiệm vụ chính mà đề tài cần thực hiện và hoàn thiện trong phần tiếp theo. 1.4. Hình thành giả thiết khoa học và đề xuất giải pháp Trên cơ sở lí luận và cơ sở thực tiễn, thực trạng của dạy và học chủ đề thể tích như đã nêu, để làm sáng tỏ vấn đề khai thác cách xác định chiều cao trong tính thể tích khối đa diện, chúng tôi đề xuất xây dựng các biện pháp sau: - Biện pháp 1: Khai thác cách xác định chiều cao đối với khối chóp, khối lăng trụ có một mặt chứa đỉnh và vuông góc với đáy 6
Đặc điểm của bài toán này là giả thiết có quan hệ vuông góc giữa hai mặt phẳng trong đó có một mặt đáy của khối đa diện và một mặt chứa một đỉnh nào đó không nằm trên mặt đáy của khối đa diện đó. Thông thường chúng ta hay gặp nhiều ở bài toán có nội dung là khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy. Phương pháp xác định chiều cao cho các loại khối này là kẻ đường vuông góc từ đỉnh liên quan đến giao tuyến của hai mặt vuông góc, bởi vì tính chất đặc biệt trong quan hệ vuông góc đó là: “ hai mặt phẳng vuông góc nhau nếu có một đường thẳng nằm trong mặt này vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia”. - Biện pháp 2: Khai thác cách xác định chiều cao đối với khối chóp đều Đối với khối chóp đều, một đặc điểm quan trọng là hình chiếu của đỉnh lên mặt đáy trùng với tâm của đáy (tâm ở đây hiểu là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và đáy là một đa giác đều), như vậy đường cao hoàn toàn xác định khi biết được nó là hình chóp đều. Thông thường các bài toán thường cho các yếu tố lên quan như cạnh đáy-cạnh bên, cạnh đáy-góc giữa cạnh bên và mặt đáy, cạnh đáy-góc giữa mặt bên với mặt đáy, cạnh bên-góc giữa cạnh bên mặt đáy… cho dù với giả thiết nào thì vẫn là đi đến bài toán xác định và tính chiều cao của hình chóp đều. Ngoài ra một số bài toán còn sử dụng yếu tố của hình chóp đều để lồng trong nội dung các bài toán về hình lăng trụ, hình hộp, hình chóp cụt đều. - Biện pháp 3: Khai thác cách xác định chiều cao đối với khối chóp và khối lăng trụ có một số yếu tố đặc biệt Để nói về yếu tố đặc biệt cho một bài toán thì có rất nhiều, vấn đề ở đây là phải tìm ra một số hướng chung hoặc tính chất chung nào đó mà khi học sinh phát hiện ra những tính chất đó có thể quy từ các bài toán lạ lẫm thành quen thuộc. Nói như thế không có nghĩa là đánh đồng tất cả mọi bài toán đều có thể tìm đến cái chung được mà chúng ta chỉ cần thực hiện được một phần nào đó trong các bài toán đã là rất tốt cho quá trình dạy học rồi. Qua quá trình nghiên cứu chúng tôi thấy một số giả thiết có thể quy chuẩn những điểm đặc biệt của nó, chẳng hạn như khi hình chóp có hai cạnh chung đỉnh bằng nhau thì đỉnh của hình chóp nằm trên mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm trên đáy tương ứng, khi có ba cạnh xuất phát từ một đỉnh bằng nhau thì đỉnh của hình chóp nằm trên trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy…Những tính chất đặc biệt sẽ trình bày cụ thể trong phần nội dung chính của giải pháp. - Biện pháp 4: Xác định chiều cao của vật thể để tính thể tích từ các bài toán có nội dung thực tế Bài toán thực tế là một phần không thể thiếu trong các yêu cầu cần đạt cho một chủ đề, sau khi học sinh đã nắm vững các kiến thức và kĩ năng cốt lõi thì cần vận dụng được vào giải quyết các bài toán thực tế. Với bài toán thực tế tính thể tích, việc xác định chiều cao là hoàn toàn khả thi khi đã mô hình hóa được cho bài toán, chuyển từ bài toán thực tế sang các bài toán trên mô hình toán học. Biện pháp này giúp người học và người dạy có cái nhìn sâu sắc hơn khi khai thác chiều cao trong các bài toán thực tế. 7
Để kiểm chứng tính khoa học và tính đúng đắn đối với vấn đề được nghiên cứu, chúng tôi tiến hành điều tra tính cấp thiết và tính khả thi của các biện pháp đưa ra. Tính cấp thiết của các biện pháp Để xác định tính cấp thiết của đề tài, chúng tôi tiến hành làm phiếu khảo sát đối với 40 giáo viên môn toán bằng phần mềm Google Form qua link https://forms.gle/kRL1V8arZcTPxasN6 và xử lí các số liệu bằng bảng tính Excel, chúng tôi thu được kết quả như sau: Phiếu khảo sát tính cấp thiết của các biện pháp đưa ra (M1: Không cấp thiết, M2: Ít cấp thiết, M3: Cấp thiết, M4: Rất cấp thiết) TT Các biện pháp Thang đánh giá các giải Các thông số pháp M1 M2 M3 M4 X Mức Biện pháp 1: Khai thác 1 cách xác định chiều cao 0 0 9 31 3.775 4 đối với khối chóp, khối lăng trụ có một mặt chứa đỉnh và vuông góc với đáy Biện pháp 2: Khai thác 2 cách xác định chiều cao 0 0 12 28 3.7 4 đối với khối chóp đều Biện pháp 3: Khai thác cách xác định chiều cao 0 2 11 27 3.625 4 3 đối với khối chóp và khối lăng trụ có một số yếu tố đặc biệt Biện pháp 4: Xác định 4 chiều cao của vật thể để 0 2 8 30 3.7 4 tính thể tích từ các bài toán có nội dung thực tế Trung bình 3.7 4 Tính khả thi của biện pháp Cũng bằng khảo sát với 40 giáo viên trên, chúng tôi thu được kết quả tính khả thi: Phiếu khảo sát tính khả thi của các biện pháp đưa ra (M1: Không khả thi, M2: Ít khả thi, M3: Khả thi, M4: Rất khả thi) TT Các biện pháp Thang đánh giá các giải Các thông số pháp M1 M2 M3 M4 X Mức Biện pháp 1: Khai thác cách xác định chiều 0 0 9 31 3.775 4 8
1 cao đối với khối chóp, khối lăng trụ có một mặt chứa đỉnh và vuông góc với đáy Biện pháp 2: Khai thác 2 cách xác định chiều 0 0 11 29 3.725 4 cao đối với khối chóp đều Biện pháp 3: Khai thác cách xác định chiều 0 2 11 27 3.625 4 3 cao đối với khối chóp và khối lăng trụ có một số yếu tố đặc biệt Biện pháp 4: Xác định chiều cao của vật thể 4 để tính thể tích từ các 0 2 9 29 3.675 4 bài toán có nội dung thực tế Trung bình 3.7 4 Thông qua việc khảo sát tính cấp thiết và tính khả thi đã thu được, chúng tôi nhận thấy phần lớn giáo viên đều đồng ý với các biện pháp đưa ra là hoàn toàn cấp thiết và khả thi, từ đây chúng tôi tiến hành xây dựng nội dung đề tài theo các biện pháp đã đưa ra. Kết luận chương 1: Trong chương 1, đề tài đã sơ lược vấn đề nghiên cứu, nêu ra được cơ sở lí luận và thực trạng của vấn đề cần nghiên cứu, từ đó định hướng ra các biện pháp để khắc phục những hạn chế đưa ra. Với việc dựa trên các số liệu điều tra, khảo sát đề tài đã đem đến một cách nhìn bao quát vấn đề cần giải quyết, những thiếu sót về phương pháp và cách thức tổ chức dạy học của đa số giáo viên, khó khăn của học sinh trong quá trình học chủ đề thể tích và từ đó làm sáng tỏ tính cấp thiết và tính khả thi của các giải pháp nêu ra. Chương 2. KHAI THÁC CÁCH XÁC ĐỊNH CHIỀU CAO TRONG CÁC BÀI TOÁN TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 2.1. Một số kiến thức cơ bản a) Khái niệm các khối và công thức tính thể tích tương ứng Phần không gian được giới hạn bởi hình chóp, hình chóp cụt đều, hình lăng trụ, hình hộp tương ứng được gọi là khối chóp, khối chóp cụt đều, khối lăng trụ, khối hộp. Đỉnh, mặt, cạnh, đường cao của các khối hình đó lần lượt là đỉnh, mặt, cạnh, đường cao của các khối hình đó lần lượt là đỉnh, mặt, cạnh, đường cao của hình chóp, hình chóp đều, hình lăng trụ, hình hộp tương ứng. 9
1 - Thể tích của khối chóp có diện tích đáy S và chiều cao h là V  .h.S . 3 - Thể tích của khối chóp cụt đều có diện tích đáy lớn S , diện tích đáy bé S  và 1  chiều cao h là V  .h. S  S   S .S  . 3  - Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy S và chiều cao h là V  h.S . S D' C' A' C' E A' H' B' A D B' C H D H A A B B C C H B b) Tỉ số thể tích S Cho hình chóp S . ABC . Trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A, B, C  khác với S , B' C' A' VS . ABC  SA SB SC  ta có  . . . A VS . ABC SA SB SC C B M c) Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách từ một điểm M đến một mặt phẳng  P  , kí hiệu d  M ,  P   , là khoảng cách giữa M và hình chiếu H P K H của M trên  P  . 2.2. Phân tích các bài toán tính thể tích trong chương trình hiện hành Để làm rõ nội dung của bài toán tính thể tích trong chương trình trình hiện hành và đặc biệt là việc khai thác cách xác định chiều cao, đề tài xin trình bày một số bài toán cụ thể như sau: Bài toán 1: (Bài tập SGK hình học 12 cơ bản-trang 26) Cho hình chóp S . ABC có AB  5a, BC  6a, CA  7 a . Các mặt bên  SAB  ,  SBC  ,  SCA  cùng tạo với đáy một góc 600 . Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng  ABC  thuộc miền trong tam giác ABC . Tính thể tích khối chóp S . ABC . S Lời giải Gọi H là hình chiếu vuông góc hạ từ S xuống mặt phẳng  ABC  . A P Từ H kẻ HM vuông góc với AB , M  AB . 600 H C M B N 10
HM  AB  Ta có   AB   SHM   AB  SM . SH  AB   Suy ra góc giữa mặt phẳng  SAB  và  ABC  bằng góc SMH  600 . Gọi N , I lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên cạnh BC , CA .   Chứng minh tương tự SNH  SIH  600 .    Ta có SNH  SIH  SNH  600  HN  HI  HM  H là tâm đường tròn nội tiếp ABC . Diện tích ABC : SABC  p  p  5a  p  6a  p  7a   6 6a 2 (Với p là nửa chu vi ABC ) Mặt khác SABC  pr (Với r là bán kính đường tròn nội tiếp ABC ). S ABC 6 6a 2 2 6a Từ đó suy ra HM  r    . p 9a 3 2 6a Trong tam giác vuông SHM , ta có SH  HM .tan 600  . 3  2 2a . 3 1 1 Vậy thể tích khối chóp S . ABC là VS . ABC  SH .S ABC  6 6a 2 2 2a  8 3a 3 . 3 3 Nhận xét: Trong bài toán gốc ở SGK không chỉ rõ hình chiếu H của điểm S lên mặt phẳng tọa độ là điểm nằm trong hay nằm ngoài tam giác ABC , điều này dẫn đến phải xảy ra hai trường hợp : - Nếu hình chiếu H nằm trong tam giác ABC thì H là tâm của đường tròn nội tiếp. - Nếu hình chiếu H nằm ngoài tam giác ABC thì H là tâm của đường tròn bàng tiếp tam giác ABC . Trong bài toán trên tác giả muốn tinh giản nên chỉ xét trường hợp đầu. Đây là bài toán xác định chân đường vuông góc bằng cách gọi ra điểm H và sử dụng tính chất các mặt bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau để chỉ ra điều đặc biệt của điểm H chính là tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy. Bài toán 2: (Bài tập 7.37-Bài 27 Thể tích-SBT Toán 11 KNTT tập 2) Cho tứ diện OABC có OA  OB  OC  a và   900 ; BOC  600 ; COA  1200 . Tính theo a AOB   thể tích khối tứ diện OABC . Lời giải 11
Dễ thấy OAB vuông cân tại O  AB  a 2 ; O OBC đều  BC  a ; OAC có AC 2  OA2  OC 2  2.OA.OC .cos1200  3a 2 . A  AC  AB  BC ; Do đó tam giác ABC vuông tại B . 2 2 2 B Gọi H là trung điểm AC , ta có HA  HB  HC , kết hợp H với OA  OB  OC suy ra OH   ABC  nên OH là đường cao của tứ diện. C 3a 2 a 1 1 2 2 OH  OA2  AH 2  a 2   ; S ABC  BA.BC  a.a 2  a . 4 2 2 2 2 1 1 a 2 2 2 3 Vậy VOABC  OH .SABC  . . a  a . 3 3 2 2 12 Nhận xét: Có hai điều giả thiết đặc biệt, giả thiết đầu tiên là ba cạnh xuất phát từ đỉnh O bằng nhau, điều đặc biệt thứ 2 là các góc chung đỉnh O ở ba mặt bên có số đo cụ thể, từ đó giúp tạo được mối liên hệ giữa các cạnh của tam giác ABC và chung quy lại là xác định được trục đường tròn OH của đa giác đáy, đó cũng chính là đường cao của tứ diện. Bài toán 3. (Đề HSG tỉnh Nghệ An năm học 2022-2023) Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh BC  a , tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng a (SCD) bẳng và đường thẳng SC tạo với mặt phẳng  ABCD  một góc  , với 2 1 tan   . Tính thể tích khối chóp S . ABCD theo a . 2 Lời giải Gọi H , M lần lượt là trung điểm của AB, CD . Do S tam giác SAB cân tại S nên ta có SH  AB  ABCD    SAB  K  Ta có  ABCD    SAB   AB  SH   ABCD  .  SH  AB D  A H M Trong tam giác SHM kẻ HK  SM  HK   SCD  . B C Vì AB //CD  d  A,  SCD    d  H ,  SCD    HK . Tam giác SHM vuông tại H 1 1 1 1 1 1 1  2  2  2  2  2  2  2  SH  a HK HM SH SH HK BC a 12
 Hình chiếu vuông góc của SC lên  ABCD  là HC   SC ,  ABCD    SCH   SH SH a Tam giác SHC vuông tại H nên ta có tan    HC   a 2. HC tan  tan  Tam giác BHC vuông tại B nên ta có: HB  HC 2  BC 2  a  AB  2a  S ABCD  2a 2 . 1 1 2a 3 Vậy thể tích khối chóp là V  SH .S ABCD  a.a.2a  . 3 3 3 Nhận xét: Với bài toán trên, chúng ta thấy được quan hệ vuông góc giữa mặt bên  SAB  và mặt đáy  ABCD  , hai mặt này có giao tuyến là đường AB , sử dụng tính chất SAB là tam giác cân có SH  AB , khi đó khai thác được tính chất của hai mặt phẳng vuông góc, lúc này đường cao nhận được là SH . Bài toán 4. (Đề Tham khảo Bộ Giáo dục và đào tạo năm 2024) Cho hình lăng trụ ABC. ABC  có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , A ' A  A ' B  A ' C  a Biết góc giữa  BCC B  và  ABC  bằng 30 , thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng 3a 3 3a 3 3a3 a3 A. . B. . C. . D. . 24 8 8 8 Lời giải Do ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh A' C' I A' A  A' B  A'C  a B' D' Gọi O là trung điểm BC  O là tâm của đường tròn a a ngoại tiếp tam giác ABC . a Khi đó hình chiếu vuông góc của A ' lên mặt đáy là A C điểm O O B D Gọi D sao cho ABCD là hình vuông và I là trung điểm của B ' C ' .  BCC B   ABC  BC ; OD   ABC  và OD  BC ; OI   BCC B  và IO  BC  IOD  300 . Do   900    900  300  600  A ' OD A ' OI OI / / A ' A      600 (so le trong) AA ' O A ' OI AO a 3 3 1 Ta có AA ' O vuông tại O : sin 600   AO  ; A 'O  a2  a2  a A' A 2 4 2 a 6 Ta có ABC : vuông cân tại A : AB  AO 2  2 2 1 1 a 6 1 3 3 Vậy VABC . A ' B ' C   S ABC . A ' O  AB. AC . A ' O  .   . a a . 2 2  2  2 8 13
Nhận xét : Bài toán 4 chúng ta tiếp tục thấy được tính chất đặc biệt A ' A  A ' B  A ' C  a , từ đó định hướng đường cao của lăng trụ chính là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Kết luận mục 2.2: Trong mục này chúng ta thấy được các bài toán đều có đặc điểm chung là chưa xác định được ngay chiều cao của các khối và muốn xác định được cần sử dụng các tính chất đặc biệt từ giả thiết của bài toán. Vấn đề đặt ra là có những loại hình nào và giả thiết thường gặp nào để chúng ta có thể hình thành các phương pháp chuyên biệt cho các lớp bài toán, đồng thời giúp cho học sinh hình thành phản xạ khi gặp những bài toán tương tự như vậy. 2.3. Một số biện pháp khai thác cách xác định chiều cao trong các bài toán tính thể tích khối đa diện. 2.3.1. Biện pháp 1: Khai thác cách xác định chiều cao đối với khối chóp, khối lăng trụ có một mặt chứa đỉnh và vuông góc với đáy Đặc điểm của bài toán này là chiều cao của khối chóp, khối lăng trụ được xác định dựa trên điều kiện của hai mặt phẳng vuông góc. Chúng ta có một định lí quen thuộc làm cơ sở cho phương pháp: “Với hai mặt phẳng vuông góc nhau, bất kì đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này mà vuông góc với giao tuyến cũng vuông góc với mặt phẳng kia”. Với định lí này, sách giáo khoa sử dụng bài toán như sau: Bài toán 1: (Ví dụ 2- Bài 27- Thể tích-SGK Toán 11 KNTT-NXBGDVN 2023) Cho khối lăng trụ ABC. ABC  có đáy là tam giác đều cạnh a , mặt bên  ACC A  vuông góc với hai mặt đáy, tam giác AAC cân tại A và AA  b,  a  2b  . Tính thể tích của khối lăng trụ. Lời giải Gọi H là trung điểm cạnh AC . Tam giác AAC cân A' C' tại A ' nên A ' H  AC . Theo giả thiết  ACC A   ABC  nên suy ra B' AH   ABC  . Do đó AH là đường cao của lăng trụ ABC. ABC  và A H C a2 AH  AA  AH 2  b 2  . 4 B a2 3 Tam giác ABC đều cạnh a nên có SABC  . 4 a 2 a 3  4b  a  2 2 2 a2 3 Vậy thể tích khối lăng trụ là V  SABC . AH  . b  2  . 4 4 8 14
Nhận xét: Đặc điểm của bài toán này là tam giác AAC cân tại A nên hình chiếu của A ' lên cạnh AC chính là trung điểm của AC . Qua đó dễ dàng tính được độ dài đường cao A ' H . Tuy nhiên nếu phát triển bài toán này chúng ta có thể khai thác theo nhiều hướng như: - Cho tam giác A ' AC là tam giác đều, lúc này H vẫn là trung điểm của AC . - Cho tam giác A ' AC vuông tại A ' , lúc này H là chân đường cao của tam giác vuông ứng với cạnh huyền. - Cho tam giác A ' AC là ta giác thường, lúc này H là một điểm nào đó trên cạnh AC , khi đó chúng ta cần bổ sung thêm các giả thiết về góc, khoảng cách, … Như vậy với một bài toán lí tưởng ban đầu, bằng cách xác định vị trí điểm H để xác định chiều cao của khối chóp, khối lăng trụ, chúng ta có thể phát triển được nhiều hướng mới cho một bài toán. Bài toán 2: Cho hình chóp tam giác S . ABC có đáy là ABC vuông cân tại C và BC  2 a . Biết mặt phẳng  SAC  nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy và khoảng 3 cách giữa 2 đường thẳng AC và SB bằng 2a . Tính thể tích khối chóp S . ABC . 7 a3 3 2a 3 3 3a 3 2 a3 3 A. . B. . C. . D. . 3 3 2 6 Lời giải Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên AC S  SH  AC  SH   ABC  (vì SAC nằm trong mp K vuông góc với đáy). Trong mp  ABC  , dựng hình chữ nhật HCBD . D Ta có: AC //BD, BD   SBD   AC //  SBD  . B A Mà SB   SBD   d  AC , SB   d  AC ,  SBD   . Ta có BD  HD , BD  SH nên suy ra BD   SHD  . H Trong mp  SHD  từ H kẻ HK  SD,  K  SD  . C  HK   SBD  3  d  AC ,  SBD    d  H ,  SBD    HK  2 a. 7 Ta có HCBD là hình chữ nhật nên HD  BC  2a 1 1 1 SHD vuông tại H có 2  2  HK HS HD 2 1 1 1 7 1  2  2  2  2  2  SH  a 3 . HS HK HD 12a 4a 1 1 1 2 3a 3 Vậy VS . ABC  SH .S ABC  .a 3. .  2a   2 . 3 3 2 3 Nhận xét: Bài toán 2 chúng tôi đưa ra với mục đích làm rõ được sự không đặc biệt của vị trí điểm H từ giả thiết ban đầu của bài toán là tam giác SAC là một tam 15
giác thường, khi đó chúng ta vẫn kẻ đường SH vuông góc với giao tuyến AC tại H . Trên cơ sở khoảng cách giữa AC và SB , đi xây dựng khoảng cách để tính chiều cao SH . Bài toán 3: Hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  3, BC  4 và SC  5 . Tam giác SAC nhọn và nằm trong mặt phẳng vuông góc với ( ABCD) . 3 41 Các mặt ( SAB) và ( SAC ) tạo với nhau một góc  sao cho cos  . Tính thể 41 tích khối chóp S . ABCD . 20 3 20 A. 20 2 . B. 20 . C. . D. . 3 3 Lời giải Ta có VS . ABCD  2VS . BAC  2.VB .SAC . S Do mặt phẳng  BAC    SAC  . Từ B kẻ BH  AC  BH   SAC  . I 12 Ta dễ dàng tính được BH  . 5 B C K Từ H kẻ HK  SA . H      ( SAC );(SAB)   BKH  cos BKH  3 A D 41  4 2  HK  9 2 ; AH  AB 2  BH 2  9 .  tan BKH  3 10 5 Gọi I là trung điểm SA . Vì SCA cân tại C  CI  SA . IC AC 5 2 5 Ta có AKH  AIC    IC   SI  SC 2  CI 2  . KH AH 2 2 1 1 5 2 25 1 12 25 Suy ra SSAC  CI . AS  . .5 2   VB.SAC  . .  10 . 2 2 2 2 3 5 2 Vậy VS . ABCD  20 . Nhận xét: Bài toán 3 thay đổi hình thức từ hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy sang hình thức bài toán có một mặt chứa đỉnh và vuông góc với đáy, đồng thời thay đổi giả thiết có yếu tố về khoảng cách sang giả thiết có yếu tố về góc. Bài toán 4: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình bình hành thoả mãn AB  3 , AC  4 , BC  5 . Biết tam giác SBC cân tại S , tam giác SCD vuông tại C và khoảng cách từ D đến mặt phẳng  SBC  bằng 2 . Tính thể tích V của khối chóp đã cho. 16
75 11 75 11 25 11 25 11 A. V  . B. V  . C. V  . D. V  . 22 11 22 11 Lời giải Ta có BC 2  AB 2  AC 2  ABC vuông tại A . S CD  SC  Do   CD   SAC  CD  AC    SAC    ABCD  . I Kẻ SH  AC , H  AC  SH   ABCD  . A D H Gọi K là trung điểm BC . Ta có BC  SK    BC   SHK   BC  HK . B K C BC  SH  Kẻ HI  SK ,  I  SK   HI   SBC   d  H ;  SBC    HI . Vì AD //  SBC   d  A;  SBC    d  D;  SBC   . HK CH CK 5 5 25 Ta thấy CKH  CAB (g.g)      HC  BC  , AB BC CA 8 8 8 5 15 d  A;  SBC   AC 32 25 HK  AB  . Lại có    HI  . 8 8 d  H ;  SBC   HC 25 16 2 2 1 1 1 1  16   8  704 75 11 Ta có 2  2  2  2        SH  . HI HK SH SH  25   25  5625 88 1 1 75 11 75 11 Thể tích cần tìm là V  SH .SABCD  .12  . 3 3 88 22 Nhận xét : Trong bài toán 4, chúng ta thấy chưa có quan hệ vuông góc giữa hai mặt như các bài toán phía trên, điều này buộc phải khai thác các tính chất của bài toán để tìm ra quan hệ vuông góc, từ đó xác định chiều cao. Điều chúng ta khai thác đầu tiên là mối quan hệ độ dài ba cạnh AB  3 , AC  4 , BC  5 thỏa mãn bộ số pitago, như vậy có quan hệ AB  AC , lại có thêm giả thiết tam giác SCD vuông tại C hay CD  SC , kết hợp với quan hệ song song giữa AB và CD , từ đó cho phép chúng ta kết luận được CD   SAC    SAC    ABCD  . Như vậy chúng ta tìm ra được quan hệ hai mặt phẳng vuông góc cho bài toán, từ đây việc xác định chiều cao là dễ dàng hơn để đi đến kết quả cho bài toán. Bài toán 5. Cho khối chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , tam giác SAB vuông cân tại S , biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SCD  bằng a . Thể tích khối chóp S . ABCD bằng 17