PHẦN I. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Hình học không gian là môn học đòi hỏi nhiều ở người học về tư duy. Là môn học làm cho nhiều học sinh cảm thấy chán nản bởi sự trừu tượng, khó hiểu của nó. Nhất là trong bối cảnh thi theo hình thức trắc nghiệm đòi hỏi học sinh phải tính toán nhanh và chính xác. Điều này càng làm cho các em thêm phần lo lắng.
Hiện nay, giáo dục phổ thông nước ta đã và đang chuyển từ chương trình giáo dục tiếp cận nội dung sang chương trình giáo dục tiếp cận năng lực người học. Phát triển năng lực người học được xem là cốt lõi trong các môn học nói chung và môn toán nói riêng. Để đáp ứng yêu cầu trên, đòi hỏi giáo viên phải có phương pháp phù hợp nhằm hình thành các năng lực chung và năng lực chuyên biệt cho học sinh.
Bản thân tôi cũng đã suy nghĩ, tìm tòi nhiều phương pháp giảng dạy mới để bài dạy của mình ngày một hoàn thiện hơn, gần gũi với học sinh hơn và mang lại hiệu quả cao. Và trong quá trình đó, tôi nhận thấy “Các bài toán về khoảng cách” là một vấn đề mà bản thân đang còn phải trăn trở bởi nó còn tồn tại nhiều hạn chế về phát triển năng lực người học và chưa kích thích được sự hứng thú cho học sinh.
Với những lí do như trên tác giả lựa chọn đề tài:
“Kĩ thuật di chuyển điểm trong bài toán khoảng cách”.
1.2. Mục đích và nhiệm vụ của đề tài
+) Nghiên cứu cơ sở lý luận về tư duy sáng tạo.
+) Tìm hiểu về kĩ thuật di chuyển điểm trong các bài toán khoảng cách.
+) Đưa ra một số phương pháp dạy học giúp học sinh biết cách vận dụng kĩ thuật di chuyển điểm trong các bài toán khoảng cách, góp phần nâng cao chất lượng dạy học chủ đề này ở trường phổ thông.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Quá trình dạy học chủ đề khoảng cách trong chương trình môn Toán 11
trường THPT.
1.4. Giới hạn của đề tài
Đề tài chỉ tập trung nghiên cứu các bài toán về khoảng cách và các phương pháp
vào dạy học Toán THPT.
1.5. Phương pháp nghiên cứu
+) Phương pháp nghiên cứu lí luận.
+) Phương pháp điều tra quan sát.
1
+) Phương pháp thực nghiệm sư phạm.
1.6. Bố cục của đề tài SKKN
Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và tài liệu tham khảo, đề tài được trình bày
trong 3 chương.
Chương 1. Cở sở lí luận và thực tiễn.
Chương 2. Vận dụng một số phương pháp dạy học giúp học sinh hình thành
kĩ thuật di chuyển điểm trong bài toán khoảng cách.
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm.
2
PHẦN II. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
Chương 1. Cở sở lí luận và thực tiễn.
1.1. Cơ sở lí luận
Căn cứ kế hoạch giảng dạy môn Toán tại trường THPT Nguyễn Đức Mậu
năm học 2020 – 2021.
Căn cứ vào thực tiễn dạy học chủ đề khoảng cách và mục tiêu cần đạt được:
- Kiến thức: Học sinh cần nắm được các bài toán tính khoảng cách trong không gian như khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
- Kĩ năng: Biết tính khoảng cách từ một điểm điểm đến một mặt phẳng,
khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
1.2. Cơ sở thực tiễn
1.2.1. Phương pháp điều tra nghiên cứu để xác định cơ sở thực tiễn của đề tài.
Để xác định cơ sở thực tiễn của đề tài, sau khi học sinh học xong phần lý thuyết về khoản g cách, bản thân tôi đã tiến hành khảo sát đối với việc nắm bài và kĩ năng giải toán của học sinh trong trường THPT mình giảng dạy. Kết quả thu được như sau:
- Số lượng học sinh được khảo sát: 122 em ( 3 lớp )
- Số học sinh đạt mức giỏi: 11 em, chiếm 9,02%
- Số học sinh đạt mức khá: 30 em, chiếm 24,59%
- Số học sinh đạt mức trung bình: 59 em, chiếm 48,36%
- Số học sinh đạt mức yếu: 22 em, chiếm 18,03%
Như vậy, tỉ lệ học sinh nắm vững kiến thức và có kĩ năng giải toán là chưa cao, chủ yếu là các em đang ở mức trung bình trở xuống.
1.2.2. Những khó khăn của giáo viên và học sinh trong quá trình dạy và học chủ để khoảng cách
Qua quá trình giảng dạy và trao đổi với nhiều giáo viên dạy toán ở các trường THPT, bản thân tôi nhận thấy những khó khăn trong dạy và học chủ đề khoảng cách như sau:
3
- Về phía giáo viên: Các bài toán tính khoảng cách giữa các đối tượng trong không gian là một vấn đề phức tạp.Vì vậy, một số giáo viên đang còn thấy lúng túng trong việc hướng dẫn học sinh giải quyết các bài toán. Đa số các giáo viên đang còn dạy theo cách: thầy đưa ra cách giải và trò áp dụng. Hơn nữa, thời lượng giảng dạy trên lớp lại có hạn cũng làm cho việc truyền tải kiến thức cho học sinh còn nhiều hạn chế.
- Về phía học sinh: Đa số học sinh đều học kém hình học không gian vì đây là môn học đòi hỏi cao ở người học. Khi gặp một bài toán tính khoảng cách, học sinh thường loay hoay, không biết giải như thế nào. Gặp bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng thì không biết xác định hình chiếu, gặp bài toán tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau thì chỉ biết xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung dẫn đến khó khăn trong giải toán,….Nhiều học sinh đã học thuộc phương pháp thầy cô đưa ra nhưng vẫn không giải được.
1.2.3. Mục tiêu của đề tài
Học sinh được trang bị đầy đủ kiến thức và kĩ năng, biết định hướng và giải quyết được các bài toán tính khoảng cách trong không gian bằng kĩ thuật di chuyển điểm. Khi đứng trước một bài toán khoảng cách, các em không còn thấy bỡ ngỡ, khó khăn mà phải biết tháo gỡ nút thắt, biết tìm cách giải quyết vấn đề, biết quy lạ về quen.
4
Chương 2. Vận dụng một số phương pháp dạy học giúp học sinh hình thành kĩ thuật di chuyển điểm trong bài toán khoảng cách.
2.1. Một số bài toán tính khoảng cách trong không gian.
Bài toán 1. Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
và mặt phẳng . Tính khoảng cách từ điểm đến mặt
Cho điểm . phẳng
Cách giải:
là hình chiếu của điểm lên
Với mặt phẳng .
Bài toán 2. Tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song.
Cho đường thẳng song song với mặt phẳng . Tính khoảng cách giữa
đường thẳng và mặt phẳng .
Cách giải:
Chọn điểm
và
. Khi đó khoảng cách giữa chính là khoảng cách từ điểm bất kì trên đường thẳng đến
và :
là hình chiếu của điểm
trong đó lên mặt phẳng .
(Trở lại bài toán 1)
Bài toán 3. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Cho hai đường thẳng chéo chau và . Tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng và .
5
Cách giải:
chứa đường thẳng
. Khi
Tìm mặt phẳng và song song với đường thẳng đó:
(Trở về bài toán 2)
Kết luận: Các bài toán trên đều dẫn đến bài toán tính khoảng cách từ một
điểm đến một mặt phẳng.
2.2. Vận dụng một số phương pháp dạy học giúp học sinh hình thành kĩ
thuật di chuyển điểm trong bài toán khoảng cách.
Các bài toán tính khoảng các trong không gian đều được quy về bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Nếu giáo viên chỉ đưa ra phương pháp giải và phân loại các bài toán cụ thể thì học sinh chỉ làm theo rập khuôn, không nắm rõ bản chất vấn đề và chưa sáng tạo trong các bài toán dẫn đến nhiều lúc còn mơ hồ, khó hiểu.
Chính vì vậy, bản thân tôi nhận thấy khi giải quyết một bài toán, một vấn đề…giáo viên nên định hướng cho học sinh tự tìm đường đi hơn là vẽ sẵn đường đi cho học sinh.
Trong mục này, tôi vận dụng một số phương pháp dạy học tích cực như: dạy học phân hóa, dạy học gợi mở - vấn đáp, dạy học khám phá… giúp cho học sinh hình thành kĩ thuật di chuyển điểm trong bài toán khoảng cách.
2.2.1. Kĩ thuật di chuyển điểm trên đường thẳng song song với mặt
phẳng.
2.2.1.1 Hình thành kĩ thuật
Phương pháp: dạy học phân hóa kết hợp dạy học gợi mở- vấn đáp giúp học
sinh hình thành kĩ thuật.
Bài toán hình thành kĩ thuật: Cho hình chóp đáy là hình
vuông tâm , cạnh . .
a) Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .
b) Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .
Hoạt động 1: Chia nhóm
Giáo viên chia lớp thành 4 nhóm và sắp xếp chỗ ngồi phù hợp để thuận tiện
cho việc thảo luận của học sinh.
6
Nhóm 1, 2: Học sinh có học lực mức trung bình khá trở xuống.
Nhóm 3, 4: Học sinh có mức học khá trở lên.
Hoạt động 2: Phân chia nhiệm vụ.
Giáo viên yêu cầu nhóm 1, 2 giải quyết câu a đồng thời đưa ra bài toán tổng
quát.
Giáo viên yêu cầu nhóm 3, 4 giải quyết câu b đồng thời đưa ra bài toán tổng
quát.
Hoạt động 3: Hình thành kĩ thuật.
Học sinh thực hiện nhiệm vụ dưới sự hướng dẫn của giáo viên thông qua
phương pháp gợi mở- vấn đáp và khám phá.
Hoạt động thành phần 3.1: Học sinh tiến hành thảo luận để giải quyết bài
toán.
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
Học sinh tiến hành thảo luận, khám phá cách giải quyết bài toán.
- Giáo viên quan sát các nhóm thảo luận, nắm bắt tình hình và hỗ trợ kịp thời thông qua các câu hỏi gợi mở- vấn đáp.
- Đặt câu hỏi cho nhóm 1,2:
- Vuông góc
là chân đường vuông góc kẻ thì mọi mặt sẽ như thế nào với mặt
+ Gọi từ đến mặt phẳng phẳng chứa phẳng ?
- Mặt phẳng + Hãy chọn một mặt phẳng chứa và vuông góc mặt phẳng ?
- Đặt câu hỏi cho nhóm 3,4:
và - Đường thẳng + Hãy tìm đường thẳng qua ? song song với mặt phẳng
Hoạt động thành phần 3.2: Học sinh báo cáo kết quả
Nhóm 1, 2: ( kết quả giáo viên mong muốn)
7
Do nên
Kẻ tại
Áp dụng
Từ việc giải quyết câu a, nhóm 1, 2 đưa ra bài toán tổng quát, giáo viên chỉnh sửa và rút ra kết luận.
trong trường hợp có mặt
Tính khoảng cách từ điểm phẳng chứa điểm đến mặt phẳng và vuông góc với mặt phẳng .
Bước 1: Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng :
Bước 2: Kẻ , cắt tại
Bước 3:
Nhóm 3,4: ( kết quả giáo viên mong muốn)
Do nên
Từ việc giải quyết bài câu b, các nhóm 3, 4 đưa ra bài toán tổng quát, giáo viên chỉnh sửa và rút ra kết luận.
đến mặt phẳng trong trường hợp có đường
Tính khoảng cách từ điểm chứa điểm thẳng và song song với mặt phẳng .
8
Bước 1: Xác định mặt phẳng vuông góc mặt phẳng .
Bước 2: Xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng là .
Bước 3: Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng .
Nhận xét: Thông qua việc chuyển giao nhiệm vụ, bằng cách học sinh tự giải quyết vấn đề và rút ra kết luận sẽ làm cho học sinh nhớ dạng toán một cách thấu đáo. Học sinh được tự mình khám phá tri thức, được ghi nhận sự đóng góp, tạo nên không khí lớp học sôi nổi hơn.
2.2.1.2 Một số ví dụ
Bài 1.Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông tại ,
. Hình chiếu vuông góc của lên , là trung điểm là trung điểm . Mặt phẳng của
tạo với một góc Tính khoảng cách từ đến .
Phân tích: - Để tính được khoảng cách này, đầu tiên giáo viên cần vấn đáp hướng dẫn cho các em cách giải quyết bài toán theo hướng sau:
+) Từ điểm có thể dựng được hình chiếu lên mặt phẳng không?
Gợi ý của giáo viên là: Để tìm được hình chiếu của lên mặt phẳng
cần phải dựng được một mặt phẳng qua và vuông góc với mặt phẳng , tuy
nhiên quan sát để làm được điều đó cần phải tìm ra được một đường thẳng vuông và giả thiết chưa cho phép vì mới có được một yếu tố góc với mặt phẳng
vuông góc duy nhất là .
, vậy có điểm nào khác
+) Nếu không dựng được đường vuông góc xuất phát từ có thể dựng được đường vuông góc với không, vì sao?
9
Câu trả lời mong muốn đó là: Có điểm , vì
kẻ từ đỉnh nên , vậy chỉ cần kẻ là chân đường vuông góc hay thì sẽ có ngay
và hai mặt này có đường giao tuyến là do đó chỉ cần kẻ thêm
thì suy ra .
+) Vậy hãy liên hệ khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng so với khoảng
cách từ điểm đến ? Vì sao lại được kết quả so sánh như vậy?
Câu trả lời mong muốn nhận được từ học sinh: Khoảng cách từ điểm
bằng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng vì đến . mặt phẳng
+) Vậy tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng cách nào?
Câu trả lời giáo viên chờ đợi: Bằng cách tính khoảng cách từ điểm đến
mặt phẳng và chính bằng .
- Giáo viên chốt vấn đề:
+) Như vậy thay vì tính khoảng cách trực tiếp từ điểm đến mặt phẳng ,
sang mặt phẳng
chúng ta đã chuyển khoảng cách này sang khoảng cách từ điểm . bằng một đường thẳng song song với là đường
+) Chú ý rằng điểm xuất phát của con đường di chuyển này là điểm và đích đến là một điểm mà chúng ta có thể dễ dàng dựng được chân đường vuông góc đến mặt (Giáo viên hỏi thêm học sinh tại sao phẳng , trong trường hợp này là điểm
). Thông thường chúng ta chọn nó là chân đường vuông góc từ đỉnh
lại là điểm đến mặt đáy của các hình chóp, hình lăng trụ.
Lời giải
10
Gọi là trung điểm của . Khi đó:
là đường trung bình của
Kẻ . Khi đó
Xét vuông tại có ;
Vậy .
Nhận xét:
+) Sau khi giải quyết xong bài toán giáo viên cần chốt lại vấn đề:
Cho đường thẳng song song với mặt phẳng và là hai điểm bất kì trên
đường thẳng , khi đó ta luôn có:
11
+) Giáo viên có thể khắc sâu kĩ thuật và nâng cao kiến thức của các em thông qua câu hỏi: Qua bài toán này chúng ta thấy có một sự gợi ý nhẹ từ giả thiết, đó là và từ là đường trung bình của tam giác nên phát hiện được quan hệ
và điểm
?
vuông tại , ,
lúc này giống như là sang điểm đó chuyển khoảng cách từ điểm điểm “cơ sở” để tính mọi loại khoảng cách, vậy nếu bài toán không có sự gợi ý như vậy thì làm thế nào để dựng được đường song song và tìm ra điểm Bài 2.Cho hình chóp Tam giác . . Khối cầu ngoại tiếp hình chóp . Tam giác lần lượt vuông tại và ,
có thể tích bằng . Tính khoảng cách từ tới mặt phẳng .
kẻ từ đỉnh
Phân tích: Dữ liệu từ đề bài chưa cho thấy chân đường vuông góc đến mặt phẳng như trong bài 1), hơn nữa cũng chưa thấy hướng dựng được
đường vuông góc từ đến hay hướng để chuyển khoảng cách từ đến một
để từ đó củng cố kĩ thuật di chuyển điểm
điểm khác theo quan hệ song song. Giáo viên cần tương tự hóa bài 1 và vấn đáp giúp học sinh tìm ra điểm theo đường thẳng song song với mặt .
Lời giải
lần lượt vuông tại nên mặt cầu ngoại tiếp
và Ta có tam giác là mặt cầu đường kính .
12
. Suy ra
Gọi là hình chiếu vuông góc của trên mặt phẳng hay .
. Ta có
.
có
Tương tự, ta có Tứ giác Có là hình chữ nhật. .
. Có
vuông tại nên .
. Tam giác Kẻ
. Có
. Vậy
Nhận xét: Qua bài toán này Giáo viên nên hình thành cho học sinh một thói quen tính khoảng cách theo hướng di chuyển điểm cần tính khoảng cách về điểm cơ sở là chân đường vuông góc kẻ từ đỉnh của hình chóp xuống mặt đáy.
Bài 3.Cho hình chóp có vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết góc
, . Gọi là điểm đối xứng của qua . Tính
và đến mặt phẳng . khoảng cách từ
Phân tích: Bài toán đã cho sẵn điểm cơ sở là điểm điểm về nhưng lại ẩn đi tính chất song song của và con đường để di chuyển để với mặt phẳng
học sinh tự tìm ra điểm mấu chốt này.
Lời giải
13
Vì là điểm đối xứng của qua và nên là hình thoi cạnh ,
và từ suy ra tam giác đều.
Do đó và
Từ kẻ tại , kẻ tại thì .
Trong đó , , nên .
Một số bài tập dành cho học sinh luyện tập kĩ thuật
và
Bài 1.(Trích đề thi thử TPHT Chuyên Quốc Học Huế – 2020) Cho lăng trụ . Hình chiếu . Tính khoảng là hình chữ nhật, trùng với giao điểm có đáy trên của và
vuông góc của cách từ điểm đến theo
A. . B. . C. . D. .
là hình chữ nhật với có đáy là
cân ở
Bài 2.(Trích đề thi thử trường THPT Lương Thế Vinh– Hà Nội – lần 1-2020) Cho hình chóp và nằm trong mặt phẳng vuông góc (tham khảo hình vẽ). Tam giác là trung với mặt phẳng đáy; góc giữa mặt phẳng và mặt đáy là . Gọi
điểm cạnh . Tính theo khoảng cách giữa hai đường thẳng và .
A. . B. . C. . D. .
14
Bài 3. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , .
, biết . Khoảng cách giữa hai đường
Gọi thẳng là trung điểm của cạnh bằng và
A. . B. . C. . D. .
Nhận xét chung mục 2.3.1: Mục này làm rõ hai vấn đề sau +) Vấn đề 1: Hiểu rõ bản chất của kĩ thuật di chuyển trên đường thẳng song song để tính khoảng cách là sử dụng tính chất “mọi điểm nằm trên đường thẳng song song với mặt đều có khoảng cách đến mặt đó là như nhau”, từ đó thay vì tính khoảng cách từ một điểm khó xác định khoảng cách đến mặt bằng cách chuyển khoảng cách đó về điểm dễ tính khoảng cách hơn (chẳng hạn điểm cơ sở) bằng con đường song song.
+) Vấn đề 2: Trong quá trình giảng dạy, biện pháp để giáo viên đưa ra để tính khoảng cách bằng kĩ thuật này giúp học sinh thấy được bài toán tính khoảng cách thật ra cũng rất đơn giản và dấu hiệu để nhận ra kĩ thuật là nối điểm cần tính khoảng cách đến điểm cơ sở và xem xét đường thẳng tạo thành có song song với mặt cần tính khoảng cách đến hay không.
2.2.2. Kĩ thuật di chuyển điểm trong bài toán có đường thẳng cắt mặt
phẳng.
Phương pháp: dạy học phân hóa kết hợp dạy học gợi mở- vấn đáp giúp học
sinh hình thành kĩ thuật.
2.2.2.1. Hình thành kĩ thuật
Bài toán hình thành kĩ thuật:
Cho hình chóp tứ giác đều có canh đáy bằng , . là trọng tâm
tam giác . Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng .
Hoạt động 1 : Chia nhóm
Giáo viên chia lớp thành 4 nhóm và sắp xếp chỗ ngồi phù hợp để thuận tiện
cho việc thảo luận của học sinh.
Nhóm 1, 2: Học sinh có học lực mức trung bình khá trở xuống.
Nhóm 3, 4: Học sinh có mức học khá trở lên.
Hoạt động 2: Phân chia nhiệm vụ.
15
Giáo viên yêu cầu học sinh nhóm 1, 2 giải quyết bài toán bằng cách sử dụng kĩ
thuật di chuyển điểm trên đường thẳng song song với mặt phẳng.
Giáo viên yêu cầu nhóm 3 giải quyết bài toán bằng hai cách.
Hoạt động 3: Hình thành kĩ thuật.
Học sinh thực hiện nhiệm vụ dưới sự hướng dẫn của giáo viên thông qua phương
pháp gợi mở - vấn đáp và khám phá.
Hoạt động thành phần 3.1: Học sinh tiến hành thảo luận để giải quyết vấn đề.
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
Học sinh tiến hành thảo luận, khám phá cách giải quyết bài toán.
- Giáo viên quan sát các nhóm thảo luận, nắm bắt tình hình và hỗ trợ kịp thời thông qua các câu hỏi gợi mở- vấn đáp.
- Đặt câu hỏi cho nhóm 1,2:
nằm trên đường thẳng nào . - + Điểm song song với mặt phẳng ?
- Di chuyển điểm đến điểm . đến điểm
+ Em sẽ di chuyển điểm nào để tính khoảng cách?
- Đặt câu hỏi cho nhóm 3,4: - Mặt phẳng
cắt
+ Hãy tìm đường thẳng qua ? mặt phẳng
- Đường thẳng
Hoạt động thành phần 3.2: Học sinh báo cáo kết quả
Nhóm 1, 2 ( kết quả giáo viên mong muốn)
Gọi lần lượt là trung điểm của
Do nên
và
Kẻ tại
16
Vậy
Nhóm 3,4 ( kết quả giáo viên mong muốn)
Trình bày thêm cách 2:
Kẻ tại thì :
Vậy
Sau khi nhóm 3,4 giải cách 2 và đưa ra bài toán tổng quát, giáo viên sửa chữa và rút ra kết luận.
đến mặt phẳng trong trường hợp có đường
Tính khoảng cách từ điểm chứa điểm thẳng và cắt mặt phẳng .
17
Bước 1: Tìm đường thẳng đi qua cắt mặt phẳng tại .
trên sao cho điểm nằm trên mặt phẳng vuông góc mặt
Bước 2: Tìm điểm phẳng .
Bước 3: Tính .
Bước 4: .
Nhận xét: Thông qua kĩ thuật di chuyển điểm trên đường thẳng cắt mặt phẳng, học sinh sẽ không còn cảm thấy khó khăn trong các bài toán khoảng cách. Bài toán khoảng cách được chuyển về bài toán tính tỉ số đoạn thẳng.
2.2.2.2 Một số ví dụ
, có đáy ,
đều cạnh . Tam là tam giác vuông tại và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng
Bài 1. Cho hình chóp giác cách từ đến .
Phân tích: Để rèn luyện kĩ năng phát hiện ra kĩ thuật di chuyển điểm trên đường thẳng cắt mặt phẳng, giáo viên có thể vấn đáp học sinh theo câu hỏi: “Hãy tìm mối đến mặt phẳng liên hệ về khoảng cách từ điểm và khoảng cách từ điểm
?” và câu trả lời mà giáo viên mong muốn nhận được là .
Đây chính là điểm mấu chốt để đưa ra hướng giải quyết cho bài toán.
Lời giải
18
Gọi là trung điểm , suy ra .
.
Ta có .
dựng .
Từ Nối , dựng vuông góc với giao tuyến tại . Khi đó vuông góc tại
Ta có:
Mà
Trong tam giác vuông ta có: .
Xét tam giác vuông , đường cao nên .
. Vậy
Nhận xét : +) Giáo viên tổng quát hóa cho tỉ số khoảng cách : Cho hai điểm không nằm trên mặt phẳng sao cho đường thẳng cắt mặt phẳng tại
điểm , khi đó ta luôn có :
19
+) Cụ thể trong bài toán này đường thẳng cách từ đối với mặt phẳng về là đường thẳng di chuyển khoảng cắt mặt phẳng và đường thẳng
tại điểm . Từ đó việc tìm ra tỉ số là yếu tố để liên kết được hai khoảng
cách nay và hình thành được kĩ thuật di chuyển điểm trên điểm trên đường thẳng rất qua trọng, tuy nhiên trong giả thiết do điểm cắt mặt. Ở đây vai trò của điểm đã cho sẵn nên nhiều học sinh lẫn giáo viên không làm rõ vai trò của sự tồn tại
điểm , bài toán tiếp theo cho thấy rõ điều này.
, cạnh bên có đáy
Bài 2.(Trích đề thi thử Sở GDĐT Ninh Bình – lần 2-2020) Cho hình chóp vuông góc với mặt . Khoảng cách giữa hai là tam giác đều cạnh . Gọi là trọng tâm tam giác
phẳng đáy, đường thẳng và bằng
A. . B. . C. . D. .
Phân tích: Trong bài toán này điểm đóng vai trò chính chính trong tỉ số khoảng cách.
Lời giải
Qua kẻ đường thẳng song song với cắt lần lượt tại
. Ta có:
(với là trung điểm của ) Do đó:
là giao điểm của với mặt phẳng nên
.
20
Kẻ , mà suy ra Suy ra .
.
Ta có: . Suy ra
Vậy
Nhận xét: Kết thúc bài toán này giáo viên lại có thể đặt thêm câu hỏi để tạo ra tình để tính khoảng cách đến mặt phẳng huống cho học sinh: Tại sao lại chọn điểm mà không phải là điểm nào khác? Nếu học sinh đã hiểu được kĩ thuật di
chuyển điểm trên đường thẳng song song với mặt thì sẽ giải thích được ngay việc chọn điểm hay điểm khác cũng như nhau nếu tính được tỉ số giữa hai đoạn thẳng . Để làm rõ hơn việc chọn điểm chia bởi mặt phẳng nối từ điểm đó đến
này đề tài tiếp tục với bài toán 3 sau. Bài 3. (Trích đề thi thử Chuyên ĐHSP Hà Nội-2020) Cho hình hộp đứng
có , , và . Khoảng cách giữa
hai đường thẳng chéo nhau và là
A. . B. . C. . D. .
Phân tích: Nhận thấy rằng hình chiếu vuông góc của điểm
là điểm nên sẽ hướng bài toán chuyển khoảng cách về điểm lên mặt phẳng . Vậy
và kĩ thuật di chuyển theo nên chọn điểm nào để di chuyển khoảng cách về đường thẳng cắt mặt phẳng được sử dụng như thế nào? Đó chính là những hướng mà giáo viên cần gợi cho học sinh rèn luyện kĩ thuật này.
Lời giải
21
Ta có : , do đó:
Gọi là tâm đáy , khi đó là giao điểm của và mặt phẳng .
.
là hình chiếu vuông góc của điểm lên và là hình chiếu vuông góc
Gọi của điểm lên .
Xét tam giác có , , nên:
với .
nên vuông cân tại .
(do vuông cân tại )
Vậy .
Nhận xét: Để tính khoảng cách giữa đường thẳng đến mặt phẳng ta đã
chọn điểm thẳng là điểm trung gian và sử dụng kĩ thuật di chuyển điểm trên đường và lập tỉ số khoảng cách theo tỉ số cắt với mặt phẳng tại điểm
. Tuy nhiên ngoài điểm
các đoạn điểm và , khi đó gọi là giao của chúng ta có thể chọn điểm khác như thì ta cũng nhận với mặt phẳng
22
được tỉ số khoảng cách tương tự . Sau đây là một số bài tập vận
dụng kĩ thuật di chuyển trên đường thẳng cắt mặt phẳng.
Một số bài tập vận dụng kĩ thuật di chuyển khoảng cách trên đường thẳng cắt mặt phẳng
có đáy ,
Bài 1.Cho hình chóp với mặt phẳng . Góc giữa đường thẳng là tam giác đều cạnh và mặt phẳng vuông góc . bằng
Gọi là trung điểm của cạnh . Khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng
A. B. C. D.
Bài 2. Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh , .
, biết . Khoảng cách giữa hai đường
Gọi thẳng là trung điểm của cạnh bằng và
A. . B. . C. . D. .
là hình thang vuông tại và
Bài 3. Cho hình chóp . Gọi có đáy là trung điểm của
cho . Biết hai mặt phẳng và , sao là điểm thuộc cạnh và cùng vuông góc với đáy và mặt
phẳng tạo với đáy một góc . Khoảng cách giữa hai đường thẳng và
bằng
A. B. C. D.
có đáy
Bài 4. Cho hình lăng trụ đứng , cạnh bên , M là trung điểm của là tam giác vuông . Khoảng cách giữa hai
đường thẳng và là:
. . . . A. B. C. D.
Bài 5.(Trích đề thi thử Sở GDĐT Hà Nội – lần 2-2020) Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật, , cạnh , , tạo với
. Gọi là điểm trên cạnh sao
mặt đáy một góc cho là trung điểm của . Khoảng cách giữa hai đường thẳng , và bằng:
A. . B. . C. . D. .
23
Bài 6.(Trích đề thi thử THPT Thanh Chương 1-lần 1 - 2020) Cho hình chóp và có đáy là tam giác vuông tại , , ,
. Khoảng cách từ đến mặt phẳng . Biết bằng
A. . B. . C. . D. .
Nhận xét chung: Trong mục này đề tài đã làm rõ một số vấn đề sau:
không nằm trên đường thẳng sao cho đường thẳng
+) Làm rõ kĩ thuật di chuyển khoảng cách trên đường thẳng cắt mặt bằng một số bài toán cụ thể và khái quát chung cho kĩ thuật này. Chung quy lại, kĩ thuật này xuất phát từ bài toán trong hình học phẳng: Trong mặt phẳng cho đường thẳng và hai điểm cắt lần lượt là hình chiếu vuông góc của các đường thẳng tại điểm . Gọi
điểm trên đường thẳng , khi đó ta có hay phát biểu dưới dạng
khác là tỉ số đường xiên bằng tỉ số đường vuông góc.
+) Qua hệ thống bài toán đề tài đã phân tích và hình thành các bước để đưa đến việc dùng kĩ thuật di chuyển điểm khoảng cách trên đường thẳng cắt mặt phẳng cho học sinh, từ đó giúp các em cảm nhận bài toán tính khoảng cách tốt hơn, rèn luyện được nhiều kĩ năng hơn.
2.2.3. Kĩ thuật di chuyển điểm trên đường gấp khúc.
2.2.3.1. Hình thành kĩ thuật
Phương pháp: dạy học phân hóa kết hợp dạy học gợi mở- vấn đáp và dạy
học khám phá giúp học sinh hình thành kĩ thuật.
Bài toán hình thành kĩ thuật: Cho hình chóp có đáy là tam giác
vuông tại , . Gọi là điểm trên đoạn sao cho .
Mặt bên hợp với đáy góc , mặt bên vuông góc với đáy. Tính
khoảng cách từ đến mặt phẳng .
Hoạt động 1 : Chia nhóm
Giáo viên chia lớp thành 4 nhóm có số lượng và chất lượng đồng đều và sắp
xếp chỗ ngồi phù hợp để thuận tiện cho việc thảo luận của học sinh.
Hoạt động 2: Chuyển giao nhiệm vụ.
Giáo viên yêu cầu các nhóm giải quyết bài toán bằng cách di chuyển điểm
theo nhiều cách khác nhau.
24
Hoạt động 3: Hình thành kĩ thuật.
Học sinh thực hiện nhiệm vụ dưới sự hướng dẫn của giáo viên thông qua
phương pháp gợi mở- vấn đáp và khám phá.
Hoạt động thành phần 3.1: Học sinh tiến hành thảo luận để giải quyết bài
toán.
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
Học sinh tiến hành thảo luận, khám phá cách giải quyết bài toán.
- Giáo viên quan sát các nhóm thảo luận, nắm bắt tình hình và hỗ trợ kịp thời thông qua các câu hỏi gợi mở- vấn đáp.
nằm trên đường thẳng + Điểm nào song song với mặt phẳng ? Nếu chưa có thì có tạo ra được không? - Qua
kẻ đường thẳng song song với .Di chuyển điểm đến điểm
hoặc điểm
cắt - Đường thẳng + Hãy tìm đường thẳng qua ? mặt phẳng
- Đường thẳng cắt
+ Hãy tìm đường thẳng qua ? mặt phẳng
Hoạt động thành phần 3.2: Học sinh báo cáo kết quả
C1:
25
C2:
C3:
Sau khi các nhóm trình bày, giáo viên đưa ra nhận xét.
Điểm
được di chuyển 2 lần để đến
có thể được di chuyển trên nhiều đường khác nhau để đến các vị trí điểm khác nhau. Ở cách thứ 3, điểm . Như vậy, nó được di chuyển trên một đường gấp khúc. Và ta thường chọn chân đường vuông góc là điểm cần đến.
Nhận xét: Việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng có thể được thực hiện bởi nhiều cách và có nhiều con đường để di chuyển. Hình thành các kĩ thuật tính khoảng cách là để học sinh tự chủ động trong việc giải quyết bài toán. Qua đó, bồi dưỡng thêm cho các em năng lực giải quyết vấn đề, năng lực tính toán, năng lực tư duy toán học và năng lực tự học toán.
2.2.3.2. Một số ví dụ
Bài 1. Cho hình chóp tứ giác có đáy là hình vuông cạnh a. Đường
thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi là trung điểm của . Tỷ số
khi khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng là:
A. B. 2 C. D. 1
Phân tích: Kĩ thuật di chuyển khoảng cách trên đường gấp khúc là gì? Để làm rõ câu hỏi này giáo viên có thể vấn đáp theo hướng sau để học sinh hình thành hướng giải và khái quát kĩ thuật.
là chân đường vuông góc kẻ từ đỉnh
xuống mặt đáy, đây chính là điểm cơ H1: sở để chúng ta tính được khoảng cách, hãy tìm con đường để di chuyển khoảng cách từ điểm đến điểm ?
Dự đoán hướng trả lời của học sinh: Nối với
khoảng cách từ điểm và từ điểm đến mặt phẳng và tìm cách liên hệ . (đối với học sinh
câu trả lời vẫn đang mang tính chung chung)
H2: Liên hệ hai khoảng cách đó bằng cách nào?
26
Ý đồ mong muốn học sinh sẽ suy nghĩ xem xét liệu có thể sử dụng được hai
kĩ thuật đã biết ở mục trước hay không.
phải chứng minh được Nếu sử dụng kĩ thuật di chuyển khoảng cách trên đường thẳng song song thì . Nếu sử dụng kĩ thuật di chuyển khoảng cách
trên đường thẳng cắt mặt thì phải tìm được giao điểm của đường thẳng phẳng với mặt . Tuy nhiên hai kĩ thuật này sẽ không phải là ý tưởng tốt để giải quyết
bài toán, vậy liệu có còn kĩ thuật nào khác nữa hay không!
Lời giải
Đường thẳng cắt tại nên
.
Đường thẳng nên .
. Do đó:
+) Kẻ
+)
27
Nhận xét:
+) Giáo viên có thể đặt câu hỏi cho học sinh khi di chuyển khoảng cách từ điểm chúng ta đã sử dụng những kĩ thuật nào? Và câu trả lời hiển nhiên học đến điểm đến sinh sẽ phát hiện ra ngay là cả hai kĩ thuật đã tìm hiểu, đầu tiên từ điểm điểm bằng kĩ thuật di chuyển khoảng cách theo đường thẳng cắt mặt và sau đó là kĩ thuật di chuyển khoảng cách theo đường thẳng song song với mặt. Như vậy kĩ thuật di chuyển khoảng cách theo đường gấp khác chẳng qua là di chuyển qua một số điểm trung gian theo đường gấp khúc.
+) Giáo viên có thể khái quát hóa từ trường hợp của bài toán trên (xét chỉ có một điểm trung gian):
- Di chuyển trên đường gấp khúc và đường song song:
,
- Di chuyển trên hai đường gấp khúc:
28
,
có đáy là hình vuông, là trung điểm của vuông góc với mặt . Tính khoảng cách giữa điểm Bài 2. Cho hình chóp phẳng đáy và
và mặt phẳng . Gọi .
sẽ được di chuyển đến vị trí điểm rồi tiếp tục di chuyển đến
Phân tích: Điểm vị trí điểm ( điểm cơ sở).
Lời giải
là giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng nên :
Gọi là tâm đáy , khi đó là giao điểm của đường với nên :
Do đó : .
Dựng .
. Ta có
Từ và , suy ra . Suy ra .
.
Vậy .
29
có đáy là hình chữ nhật
Bài 3. Cho hình chóp tại và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi
. Tỷ số khoảng cách đến mặt phẳng . Tam giác cân là điểm thỏa mãn và từ M đến mặt
phẳng là:
A. B. C. D. 2
Lời giải
+) Từ M thuộc đoạn thẳng SC và .
+)
có đáy là hình thang với ,
Một số bài tập vận dụng kĩ thuật di chuyển khoảng cách trên gấp khúc Bài 1 (Trích đề thi tuyển sinh đại học khối D năm 2007). Cho hình chóp . Cạnh bên . Chứng , là hình chiếu vuông góc của . Gọi trên
minh tam giác vuông và tính khoảng cách từ đến mặt phẳng .
30
có đáy
Bài 2. Cho hình lăng trụ . Biết là tam giác vuông tại đều có cạnh bằng là trung điểm của , tam giác
, và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy lăng trụ. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng . và
Kết luận chương 2: Trong chương 2 đề tài đã nêu bật được một số vấn đề
sau:
+) Hình thành được kĩ thuật di chuyển điểm qua phương pháp dạy học gợi mở vấn đáp, dạy học giải quyết vấn đề, dạy học phân hóa và dạy học khám phá. Từ đó giúp cho học sinh phát triển năng tư duy, sáng tạo, phát hiện và giải quyết vấn đề.
+) Nêu được một số bài toán vận dụng các kĩ thuật trên, trước và sau mỗi bài có phân tích định hướng cách giải, lối tư duy cho học sinh và sau khi giải xong kèm theo các nhận xét để khái quát hóa các vấn đề đưa ra.
+) Chung quy lại mỗi giáo viên khi dạy các kĩ thuật này cần cho học sinh nhận dạng được lúc nào cần sử dụng kĩ thuật gì, có thể tóm tắt vấn đề đó như sau:
Cần tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
dựng được hình chiếu của lên mà không trực tiếp , khi đó cần lựa chọn kĩ thuật di chuyển điểm
đến điểm cơ sở bằng cách nối với .
thì kĩ thuật lựa chọn là di chuyển khoảng cách theo đường
- Nếu thẳng song song với mặt phẳng.
sao cho cắt thì lựa chọn kĩ thuật di
- Nếu tại điểm chuyển khoảng cách theo đường thẳng cắt với mặt phẳng.
không thật sự thuận lợi thì
- Nếu điểm cắt chưa xác định hoặc việc tìm tỉ số lựa chọn kĩ thuật di chuyển khoảng cách trên đường gấp khúc.
31
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm.
3.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm
Thực nghiệm sư phạm được tiến hành nhằm mục đích kiểm tra tính khả thi
và hiệu quả của đề tài.
3.2. Đối tượng thực nghiệm.
Tại trường THPT Nguyễn Đức Mậu, huyện Quỳnh Lưu, Tỉnh Nghệ An tôi
chọn lớp 11A5 làm lớp thực nghiệm và lớp 11A12 làm lớp đối chứng.
3.3. Tiến hành thực nghiệm.
Tiết tự chọn 10: Khoảng cách
Chủ đề: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
I. Mục tiêu
1. Về kiến thức: Học sinh nắm được bài toán khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
2. Về kĩ năng: Học sinh biết tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
3. Về tư duy, thái độ: Học sinh có tư duy logic và có thái độ nghiêm túc trong học tập.
4. Năng lực hướng tới: Năng lực tự học, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực hợp tác, năng lực thuyết trình.
II. Chuẩn bị của thầy và trò
- Đồ dùng dạy học: SGK, thước kẻ, một số tranh, phấn màu….
III.Phương pháp dạy học
- Gợi mở vấn đáp, đan xen thuyết trình và hoạt động nhóm
IV.Tiến trình bài học:
1.Ổn định lớp: Vắng, chậm, kiểm tra sĩ số học sinh
2. Bài cũ:
Câu 1: Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc?
Câu 2: Hệ quả của định lý về điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc?
32
3. Bài mới:
Hoạt động 1: Tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng bằng phương pháp tìm hình chiếu.
Bài 1: Cho tứ diện có
. Tính khoảng cách từ điểm đôi một vuông góc với đến mặt phẳng .
Hoạt động của Giáo Viên Hoạt động của Học Sinh
H1: Nêu cách tính khoảng cách tính đến mặt phẳng khoảng cách từ điểm Đ1: Ta tìm hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng .
theo định nghĩa?
H2: Nêu cách tính ? Đ2:
Giáo viên yêu cầu học sinh trình bày lời giải Học sinh trình bày theo yêu cầu
Lời giải:
Kẻ , .
Ta có:
mà .
.
33
Nhận xét: Bài toán này được trình bày theo một cách khác so với sách giáo khoa. Đây là bài toán cơ bản nhằm giúp học sinh tìm hình chiếu của một điểm lên một mặt phẳng.
Hoạt động 2: Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng bằng kĩ thuật di chuyển điểm.
Bài 2. Cho hình chóp cạnh ,
. Góc tạo bởi có đáy và mặt phẳng là hình vuông tâm . bằng
a) Tính khoảng cách từ điểm đến .
b) Tính khoảng cách từ điểm đến .
c) Tính khoảng cách từ điểm đến
d) Tính khoảng cách từ điểm đến với là trung điểm .
e) Tính khoảng cách từ điểm đến
Giáo viên gợi mở-vấn đáp để học sinh giải quyết câu a) và b)
Hoạt động của Giáo Viên Hoạt động của Học Sinh
và Đ1: Mặt phẳng .
a) H1: Có mặt phẳng nào chứa vuông góc với không? Học sinh giải theo yêu cầu của giáo viên
vuông tại
Kẻ tại
b) Yêu cầu học sinh giải câu b
Đ2:
34
Giáo viên chia lớp thành 4 nhóm cho học sinh giải câu c) và d)
Nhóm 1, 2: Giải câu c)
Nhóm 3, 4: Giải câu d)
Hoạt động của Giáo Viên Hoạt động của Học Sinh
Học sinh giải
Yêu cầu học sinh giải và hỗ trợ khi cần thiết
Các nhóm trình bày, đánh giá Yêu cầu các nhóm trình bày và đánh giá lẫn nhau
c) , Giáo viên sửa chữa.
d)
Giáo viên cho hoạt động cá nhân để giải câu e
Hoạt động của Giáo Viên Hoạt động của Học Sinh
Học sinh giải
Yêu cầu học sinh giải và hỗ trợ khi cần thiết
35
Hs trình bày, đánh giá
Yêu cầu hs trình bày và đánh giá lẫn nhau e)
Giáo viên sửa chữa.
Hoạt động 3: Củng cố
Nhấn mạnh cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
BTVN: Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh
. Tính khoảng cách từ điểm , đến mặt phẳng
Tiết Tự chọn 11: Khoảng cách
Chủ đề: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
I. Mục tiêu
1. Về kiến thức: Học sinh nắm được bài toán khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
2. Về kĩ năng: Học sinh biết tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
3. Về tư duy, thái độ: Học sinh có tư duy logic và có thái độ nghiêm túc trong học tập.
4. Năng lực hướng tới: Năng lực tự học, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực hợp tác, năng lực thuyết trình.
II. Chuẩn bị của thầy và trò
- Đồ dùng dạy học: SGK, thước kẻ, một số tranh, phấn màu….
III.Phương pháp dạy học
- Gợi mở vấn đáp, đan xen thuyết trình và hoạt động nhóm
IV.Tiến trình bài học:
36
1.Ổn định lớp: Vắng, chậm, kiểm tra sỹ số học sinh
2. Bài cũ: Giáo viên gọi học sinh lên bảng trình bày lời giải phần bài tập về nhà đã giao ở tiết trước và tiến hành nhận xét, cho điểm.
là trọng tâm .
Gọi Ta có:
tứ diện đều, suy
là nên ra
tại suy ra . Kẻ
Ta tính được
đồng dạng nên
3. Bài mới:
Hoạt động 1: Các cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Giáo viên đặt ra câu hỏi: “ Có những cách nào để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau?”
Sau khi học sinh trả lời, giáo viên nhận xét và rút ra kết luận cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
Cách 1: Dựng đường vuông góc chung, dựa vào các giả thiết để tính độ dài đoạn vuông góc chung.
Cách 2: và là hai đường thẳng chéo nhau, là mặt phảng chứa và song
song với . Khi đó: , với .
37
Trong quá trình giải toán, việc sử dụng cách 1 đôi khi phức tạp nên ta thường dùng cách 2 để giải quyết. Với cách 2 này, ta sẽ chuyển bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng quen thuộc.
Hoạt động 2: Tính khoảng cách giữa hai đường thảng chéo nhau
Bài 1: Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh ,
. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng và .
Hoạt động của Học Sinh TL: Nên dùng cách 2.
Hoạt động của Giáo Viên H: Nghiên cứu và trả lời với bài toán này ta nên dùng cách nào?
TL: Chọn mặt phẳng chứa và H: Nên chọn mặt nào chứa đường nào và song song với đường còn lại? song song với . Yêu cầu học sinh giải. Học sinh giải.
nên song song
Do mặt phẳng song song .
( Lấy kết quả từ bài cũ)
có đáy là hình vuông cạnh .
lần lượt là trung điểm đều và .
Bài 2: Cho hình chóp nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi Tính: a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng và .
b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng và .
38
Hoạt động của Giáo Viên Hoạt động của Học Sinh
TL:
Hãy tìm cách tạo ra mặt phẳng chứa đường này và song song đường kia. Dựng hình bình hành thì
Học sinh giải: Yêu cầu học sinh giải
Gọi là trung điểm thì Giáo viên nhận xét, chữa bài
Gọi , dễ thấy
Kẻ tại . Suy ra
b) Gọi là trung điểm
39
Hoạt động 3: Củng cố
Nhấn mạnh cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
có . Tính
BTVN: Cho hình hộp chữ nhật khoảng cách từ và .
3.4. Xử lí kết quả thực nghiệm
Kiểm tra 15 phút
Đề 1( Trước khi dạy thực nghiệm)
là tam giác đều cạnh
Cho hình chóp có đáy giác cân và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, , mặt bên là tam . Tính khoảng cách từ
đến mặt phẳng .
Lời giải
Gọi là trung điểm cạnh , cân
Ta có:
và Kẻ .
Kẻ
Gọi là trung điểm của , khi đó .
là đường trung bình ,
40
. Vậy
, mặt bên
là tam giác đều đến
.
Đề 2 ( Sau khi dạy thực nghiệm) Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách từ mặt phẳng Lời giải
Gọi là trung điểm . Suy ra
Ta có
Gọi là trung điểm , suy ra (với là tâm của đáy hình vuông)
. Lại có Suy ra
. Ta có Vẽ
Suy ra
Kết quả kiểm tra ở lớp 11A5 và 11A12:
Lớp Đề Giỏi Khá TB Yếu Kém
Sĩ số SL % SL % SL % SL % SL %
20 22 55 9 22,5 1 8 1 2,5 0 0 11A5 40
30 25 62,5 3 7,5 2 12 0 0 0 0
11A12 40 12,5 20 50 14 35 1 5 1 2,5 0 0
15 22 55 11 27,5 2 6 1 2,5 0 0
41
Kết luận chương 3: Sau kết quả thực nghiệm tôi có những kết luận sau: - Sau khi được học xong hai tiết tự chọn, cả hai lớp đều có chất lượng kiểm tra tăng lên.Với lớp được học thực nghiệm mặc dù yêu cầu cao hơn nhưng chất lượng tăng lên rõ rệt , số lượng học sinh khá giỏi nhiều hơn, mức độ hiểu bài tốt hơn.Đặc biệt, tác giả đã trích chọn một câu trong đề thi THPT Quốc gia làm đề kiểm tra 15 phút. Việc trích câu trong đề thi làm bài kiểm tra giúp cho học sinh cảm thấy phấn khởi, tự tin hơn khi bản thân giải quyết được bài toán. - Nếu có thời gian và được thực hành một cách bài bản theo nội dung mà sáng kiến đưa ra có thể tạo cho các em một logic sáng tạo hiểu quả, gây hứng thú cho học sinh khi học về chủ đề khoảng cách. - Đối với giáo viên nếu tiếp cận được hệ thống kiến thức này có thể có thêm hướng dạy mới và phương pháp dạy hiệu quả hơn.
42
MỘT SỐ HÌNH ẢNH MINH HỌA
43
PHẦN III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1. Quá trình nghiên cứu
Đề tài này được nghiên cứu một cách nghiêm túc, cẩn thận. Trong quá trình
giảng dạy, dự giờ đồng nghiệp và tiếp cận với học sinh tôi đã có ý tưởng và tiến hành thực hiện đề tài. Bản thân tôi cũng đã cố gắng tìm tòi, tham khảo tài liệu từ sách vở, Internet, từ đồng nghiệp, từ các thầy cô giáo và thay đổi phương pháp giảng dạy.Qua thực nghiệm đã thu lại những kết quả tích cực, thể hiện sự phù hợp của đề tài đối với nhiều đối tượng học sinh khác nhau.
2. Ý nghĩa của đề tài
Qua thời gian nghiên cứu viết và vận dụng sáng kiến vào giảng dạy, tôi rút
ra một số kết luận mà đề tài đã đạt được như sau:
- Sử dụng các phương pháp dạy học tích cực giúp học sinh hình thành kĩ thuật di chuyển điểm nhằm giải quyết các bài toán tính khoảng cách một cách tối ưu. Học sinh được tìm hiểu, khám phá tri thức giúp các em hình thành các năng lực như năng lực thuyết trình, năng lực giải quyết vấn đè, năng lực tự học... Ngoài ra, phương pháp này cũng có thể áp dụng cho nhiều chủ đề tương tự khác.
- Tính hiệu quả của đề tài đã được kiểm chứng ở phần thực nghiệm sư phạm. Thực tế đề tài đã được chính tác giả áp dụng cho học sinh lớp11 và 12 trường THPT nơi mình công tác và đạt hiệu quả cao.
- Bản thân tác giả cũng nhờ nghiên cứu đề tài mà đã nâng cao được chuyên môn thay đổi được phương pháp giảng dạy, đem lại những tiết học nhẹ nhàng kiến thức cho học sinh, cảm thấy yêu nghề và đam mê khám phá. Tuy nhiên do thời gian có hạn nên có thể có những hạn chế nhất định, mong được sự đóng góp ý kiến từ đồng nghiệp, các thầy cô để đề tài được hoàn thiện hơn.
3. Kiến nghị
- Nhà trường nên yêu cầu giáo viên tích cực tìm hiểu và vận dụng các phương pháp dạy học tích cực nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy.
- Tổ bộ môn nên đưa chủ đề này vào thảo luận trong sinh hoạt chuyên môn.
Quỳnh Lưu, tháng 3 năm 2021
44
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. SGK hình học 11, Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên)-Nguyễn Mộng Hy (Chủ
biên)-Khu Quốc Anh-Nguyễn Hà Thanh-Phan Văn Viện, Nhà xuất bản giáo dục.
[2]. Bài tập hình học nâng cao 11, Văn Như Cương (Chủ biên)-Phạm Khắc Ban-
Tạ Mân, Nhà xuất bản giáo dục.
[3]. Bài giảng chuyên sâu toán THPT, Lê Hồng Đức-Nhóm cự môn, Nhà xuất
bản Hà Nội.
[4]. Tuyển chọn 400 bài tập hình học tự luận và trắc nghiệm 11, Nhà xuất bản
Đại học quốc gia Hà Nội.
[5]. Phương pháp giải toán trọng tâm, Phan Huy Khải, Nhà xuất bản đại học sư
phạm.
[6]. Đề thi đại học năm 2006,2007,2008, 2010. [7]. Đề thi THPT Quốc gia các năm 2017 đến nay. [8]. Tuyển tập các đề thi thử Thpt Quốc gia của các trường trên cả nước.
