Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Kỹ thuật sử dụng máy tính cầm tay giải bài toán đại số

MỤC LỤC

I. Tên cơ sở đƣợc yêu cầu công nhận sáng kiến ............................................................................ 1

II. Tác giả sáng kiến: ....................................................................................................................... 1

III. Tên sáng kiến, lĩnh vực áp dụng: ............................................................................................. 1

IV. Nội dung sáng kiến .................................................................................................................... 1

1. Giải pháp cũ thường làm ........................................................................................................... 1 2. Giải pháp mới cải tiến ............................................................................................................... 6 2.1. Cơ sở lý luận: ...................................................................................................................... 6 2.2. Nội dung và biện pháp giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình đại số, phương trình lượng giác, mũ, chứng minh bất đẳng thức và bài toán liên quan mới. ............... 8 V. Hiệu quả kinh tế và xã hội dự kiến đạt đƣợc ......................................................................... 21

1. Hiệu quả kinh tế: ..................................................................................................................... 21 2. Hiệu quả xã hội: ....................................................................................................................... 21 VI. Điều kiện và khả năng áp dụng .............................................................................................. 23

1. Khả năng áp dụng sáng kiến trong thực tiễn: ......................................................................... 23 2. Điều kiện áp dụng sáng kiến: .................................................................................................. 23

PHỤ LỤC 01: ………………………………………………………………………………….…24

PHỤ LỤC 02: ………………………………………………………………………………….…25

PHỤ LỤC 03: ………………………………………………………………………………….…27

PHỤ LỤC 04: ………………………………………………………………………………….…29

PHỤ LỤC 05: ………………………………………………………………………………….…30

PHỤ LỤC 06: ………………………………………………………………………………….…31

PHỤ LỤC 07: ………………………………………………………………………………….…33

PHỤ LỤC 08: ………………………………………………………………………………….…34

PHỤ LỤC 09: ………………………………………………………………………………….…37

PHỤ LỤC 10: ………………………………………………………………………………….…39

PHỤ LỤC 11: ………………………………………………………………………………….…40

PHỤ LỤC 12: ………………………………………………………………………………….…42

PHỤ LỤC 13: ………………………………………………………………………………….…49

PHỤ LỤC 14: ………………………………………………………………………………….…64

PHỤ LỤC 15: ………………………………………………………………………………….…76

PHỤ LỤC 16: ………………………………………………………………………………….…82

PHỤ LỤC 17: ………………………………………………………………………………….…84

PHỤ LỤC 18: ………………………………………………………………………………….…85

PHỤ LỤC 19: ………………………………………………………………………………….…87

2

SÁNG KIẾN NĂM HỌC 2014 - 2015

I. Tên cơ sở đƣợc yêu cầu công nhận sáng kiến Trƣờng THPT KIM SƠN A – Sở GD&ĐT NINH BÌNH

II. Tác giả sáng kiến:

- Họ tên: HOÀNG VĂN TƢỞNG

- Chức vụ: Giáo viên

- Đ/c: Thị trấn Phát Diệm – Kim Sơn – Ninh Bình

- Email: ltd.phatdiem@gmail.com ĐT: 0913042044

- Đơn vị công tác: THPT Kim Sơn A – Ninh Bình

III. Tên sáng kiến, lĩnh vực áp dụng:

- Tên sáng kiến: KỸ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY GIẢI BÀI TOÁN

ĐẠI SỐ

- Lĩnh vực áp dụng: Giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình đại số,

phương trình lượng giác, mũ, chứng minh bất đẳng thức và các phép toán liên quan.

IV. Nội dung sáng kiến

1. Giải pháp cũ thƣờng làm

Trong thực tế việc truyền thụ tới các học sinh phương pháp giải phương trình, hệ

phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức, …, là một công việc rất khó khăn đối với

tất cả giáo viên bộ môn toán. Có quá nhiều dạng, liên quan đến nhiều phép biến đổi tuy

căn bản nhưng mất thời gian. không những thế mỗi bài còn có những cách biến đổi khác

nhau đó là chưa kể đến khi giảng dạy, chính giáo viên cũng không nhớ cách biến đổi mà

có nhớ thì học sinh sẽ tiếp thu một cách thụ động.

Ví dụ 1. Khai triển đa thức:

Ví dụ 2. Khai triển đa thức:

Ví dụ 3. Thực hiện phép chia “Phép chia hết”

Thực hiện:

1

Ví dụ 4. Thực hiện phép chia: “Phép chia còn phần dư”

Ví dụ 5. Thực hiện phép chia:

Cả 5 ví dụ trên áp dụng phương pháp cũ đều dễ nhưng rất mất thời gian vì: ví dụ

1 và ví dụ 2 là hai biểu thức khá dài khi rút gọn dễ dẫn đến nhầm lẫn, 3 ví dụ còn lại thì

không dùng được lược đồ Hoocler.

Ví dụ 6. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: “Một biến”

Phương pháp cũ nhóm nhân tử như lớp 8 ta được:

Ví dụ 7. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: “Hai biến”

“Trong hệ phương trình: (Trích đề thi KA 2011)”

“Trích lời giải của Bộ giáo dục”.

Từ phương trình (2) ta có: hoặc

TH1: từ (1) suy ra:

Suy ra: (x;y) = (1;1) hoặc (x;y) = (-1;-1)

TH2: từ (1) suy ra:

(đã xét) hoặc

Với , từ suy ra:

hoặc

Vậy hệ có nghiệm:

Sau khi đọc lời giải học sinh trung bình cũng có thể hiểu được ngay, nhưng vấn

đề là tại sao lại biết phương trình (2) và trong TH2 có thể tách ra được như thế ?.

Ví dụ 8. Bất phương trình, phương trình bậc 4 có nghiệm vô tỷ.

Ví dụ: Giải bất phương trình: (Trích đề thi minh

họa – kỳ thi THPT Quốc Gia năm 2015 – của BGDĐT).

“Trích lời giải của Bộ giáo dục”. ĐK:

Bất phương trình:

2

Một bài tách thật tuyệt vời nhưng sẽ có nhiều học sinh hỏi “sao thầy, cô tách

được như thế” câu trả lời của giáo viên sẽ là gì ?. Bất phương trình so với phương trình

khó hơn nhiều, trong phần giải pháp mới ta sẽ đưa cách giải bất phương trình về cách

giải phương trình tương ứng.

Ví dụ 9. Giải hệ phương trình:

Giải pháp cũ: Nhân hai vế phương trình (1) với 2, hai vế phương trình (2) với 3 cộng lại ta

được:

Ví dụ 10. Giải hệ phương trình:

Giải pháp cũ: Nhân hai vế phương trình (1) với 2 rồi trừ vế theo vế với phương trình (1) ta

có:

Hai ví dụ 9 và 10 trên làm theo giải pháp mới cũng làm thế nhưng người làm bài

chủ động biết được là phải nhân hai vế phương trình (1) với 2 rồi trừ cho nhau, không

như giải pháp cũ người dạy học không giải thích được tại sao phải nhân với 2 sao

không nhân với số khác, tại sao không nhân với phương trình (2) mà phải là phương

trình (1), tại sao không cộng vào nhau mà phải trừ?...

Ví dụ 11: Giải hệ: (Trích đề thi KA-2012)

Giải pháp cũ: Pt(1): (*)

(viết lại sao cho như dạng )

3

Đồng nhất hệ số với ta được:

Phương trình (1):

Xét hàm số: …

Ví dụ trên cho thấy dù học sinh đã biết cách làm và biết phải khai thác phương

trình (1) nhưng vẫn mất thời gian trong bước đồng nhất thức, trong khi phương pháp

mới dùng máy thì ta biết chắc chắn phải khai thác phương trình (1) và tốc độ đạt được

phương trình hàm trên được tính bằng giây, ngoài ra đối với học sinh lớp 10 thì chưa

được học đạo hàm thì sẽ không giải bằng phương pháp này được.

Ví dụ 12. (Trích đề thi KA-2010)

“Trích lời giải của Bộ giáo dục:” Điều kiện:

Phương trình thứ nhất tương đương: (1)

Nhận xét: (1) có dạng , với …

Cách cũ thường làm trên có hai vấn đề làm học sinh gặp khó khăn trong tìm lời

giải. Thứ nhất tại sao biết phương trình thứ nhất tách được như vậy, thứ hai đối với

học sinh trung bình trở xuống không hiểu và khó vận dụng phương trình hàm.

Ví dụ 13. Giải phương trình:

Phương trình:

Đây là dạng bài nhân liên hợp xuất hiện rất nhiều trong các đề thi đại học. Tại

sao phương trình lại được tách tinh tế đến như vậy để nhân liên hợp ?.

Khi nhân liên hợp nhất định phải tìm hết các nghiệm, nếu mới chỉ tìm được một

nghiệm mà nhân liên hợp ngay thì nhất định bài toán sẽ phải làm lại từ đầu, vấn đề này

khi làm bằng phương pháp cũ để tìm ra hết các nghiệm nhất là nghiệm bội thì cực khó

khăn!.

4

Ví dụ 14. Tách phân số: trong tích phân .

Ta có:

Đồng nhất hai vế ta được:

Ví dụ này khá đơn giản nhưng đối với học sinh trung bình trở xuống thì không,

đối với học sinh khá giỏi thì rất mất thời gian.

Ví dụ 15. Giải phương trình: (Trích đề thi KA-2014)

“Trích lời giải của Bộ giáo dục”

Phương trình:

Ví dụ 16. Giải phương trình: (Trích đề thi KD-2006)

“Trích lời giải của Bộ giáo dục”

Phương trình đã cho tương đương với:



Vậy phương trình có hai nghiệm:

Ví dụ 17. Cho và . CMR:

Ví dụ 18. Cho . Chứng minh

Phương pháp cũ phải biết áp dụng thật khéo các bất đẳng thức như cosi, bunhia,

Swash,…

Tôi xin giới thiệu một cách và chỉ cần một vài thao tác rất cơ bản là ta có ngay

kết quả cho những câu trả lời cho những câu hỏi trên.

1.1. Nhược điểm:

5

- Khi giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức, …, theo

phương pháp cũ học sinh bị thụ động bởi cách giải, ví dụ như lấy phương trình (1) nhân

với 3 cộng hoặc trừ đi phương trình (2), hoặc bài này phải phân tích, nhóm, đổi biến thế

này thế kia,…

- Đối với phần nhóm tách đa thức, nhân chia đa thức, phân tích phân số thành tổng

các phân số phương pháp cũ là tính toán thông thường bằng tay gây mất thời gian, trong

khi dùng máy tính cầm tay thì rất nhanh và chính xác.

1.2. Khó khăn:

- Thời lượng học phương trình, hệ phương trình, bất phương trình trong trường

THPT rất ít, nhưng trong đề thi ĐHCĐ, thi học sinh giỏi luôn có bài tập dạng này và là

một câu phân hoá học sinh quan trọng.

- Tỉ lệ học sinh hiểu bài không nhiều. Khả năng vận dụng kém. Vì vậy tâm lí học

sinh khi đi thi ĐHCĐ học sinh thường chủ động bỏ nội dung này dù đề bài có dễ hay khó.

- Tài liệu cho nội dung phương trình, hệ phương trình, bất phương trình nhiều

nhưng không cô đọng, khó hiểu với đa số học sinh. Nội dung đề thi ở mức vận dụng, sáng

tạo nhưng nội dung bài tập trong SGK thường là nhận biết và thông hiểu.

- Tài liệu giảng dạy phương trình, hệ phương trình, bất phương trình vẫn mang tính

chất hàn lâm. Khó vận dụng rộng rãi. Vì vậy, giáo viên thường chỉ quan tâm đến bồi

dưỡng cho một nhóm học sinh, không bồi dưỡng cho các em còn lại.

2. Giải pháp mới cải tiến

2.1. Cơ sở lý luận:

Để giải quyết bài toán phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng

thức, …, học sinh phải hiểu và vận dụng rất nhiều phương pháp, rất nhiều dạng. Vừa là nội

dung khó, bài tập đa dạng, do đó giáo viên tìm tòi, bổ sung các cách mới là điều cần thiết.

Ngoài các cách thường dùng trong sách giáo khoa, các sách tham khảo, tôi đã tham

khảo trên các diễn đàn toán học và đã tiếp thu được một vài thao tác máy tính cầm tay

quan trọng sau đây và đã phát triển, sáng tạo thành hệ thống, một bộ qui tắc bấm máy hoàn

hảo ứng dụng để giải toán.

Các qui tắc này dựa trên một cơ sở tính toán rất đơn giản. Máy vi tính cũng như trên

máy tính cầm tay khi tính toán một phép toán bất kỳ ta cũng phải nhập giá trị đầu vào là

một giá trị cụ thể trong khi các phép toán như khai triển đa thức, tách nhân tử chung,…

phép toán thu được chứa biến do đó ta phải dùng một giá trị cụ thể, theo toán học và kinh

nghiệm thì ta nên gán 100 hoặc 1000 để khi trả lại cho biến đó sẽ dễ dàng hơn.

6

2.1.1. Khai triển đa thức một biến.

Phương pháp:

b1 – Đưa máy về chế độ thường

b2 – Nhập biểu thức cần khai triển vào máy.

b3 – Nhấn phím máy hiện X? (tương tự với các biến khác)

b4 – Nhập X = 1000 rồi dùng phương pháp tách số ta sẽ được các hệ số:

Xem thêm phần PHỤ LỤC 2 – Trang 25

b5 – Điền các hệ số vào ta được kết quả.

2.1.2. Chia đa thức cho đa thức một biến (phép chia không còn phần dư)

Phương pháp:

b1 – Đưa máy về chế độ thường

b2 – Nhập phép chia vào máy.

b3 – Nhấn phím máy hiện X? (tương tự với các biến khác)

b4 – Cho X = 100 hoặc 1000.

2.1.3. Tách nhân tử chung (hai biến hữu tỷ với hệ số nguyên)

Phương pháp: Ta nên chọn biến có số mũ thấp hơn là ẩn biến còn lại cho bằng

1000, dùng lệnh , hoặc

VD. Tách thành nhân tử của

1. Vào giải phương trình bậc 2

2. Nhập các hệ số Cho các nghiệm

3. Ta có

4. Trả lại: thay và vào.

5. Kq:

2.1.4. Phương pháp giải phương trình bậc 4 đầy đủ nghiệm vô tỷ.

2.1.5. Hệ phương trình hai biến bậc hai hữu tỷ với hệ số nguyên.

2.1.6. Hệ phương trình hai biến bậc cao hữu tỷ với hệ số nguyên

7

2.2. Nội dung và biện pháp giải phƣơng trình, hệ phƣơng trình, bất phƣơng trình đại

số, phƣơng trình lƣợng giác, mũ, chứng minh bất đẳng thức và bài toán liên quan

mới.

Xuất phát từ yêu cầu giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình có dạng:

Phương trình một biến:

1. Hệ phương trình:

2. Bất phương trình:

Thực chất là đi tìm các biến x, y để cho thỏa mãn các bài toán trên.

Để đạt được mục đích trên ta phải sử dụng rất nhiều đến biến đổi toán học như:

- Khai triển đa thức.

- Chia đa thức cho đa thức

- Nhóm nhân tử chung để đưa về tích các biểu thức…

Khi giải hệ phương trình, phương trình, bất phương trình một vấn đề cực quan trọng là ta

phải có hướng giải.

Tôi xin đưa ra phương pháp mới như sau:

Bước 1: Đặt điều kiện.

Bước 2: Nhập một trong hai phương trình nếu là hệ, phương trình, bất phương trình

cũng nhập tương tự vào máy (cụ thể như dưới đây)

Bước 3: Sử dụng một trong những cách cũ như (lũy thừa hai vế,đổi biến, nhân liên hợp,

phương trình hàm…)

Bước 4: Dùng máy để thử lại các nghiệm thỏa mãn điều kiện và kết luận

Trong bước 2, nếu phương trình hữu tỷ với hệ số nguyên và là phương trình bậc hai

hoặc bậc ba ta dùng lệnh , , còn lại thì dùng lệnh

cho phải căn cứ vào điều kiện đề bài, ta phân ra

làm 3 dạng sau:

8

Dạng 1. X và Y gán đƣợc bằng 1000, phƣơng trình cho nghiệm hữu tỷ với cả X và Y

Xét phương trình: “gán 1000”

Y=1000, X = Nhập vào máy:

là nhân tử chung. 1000 cho

Dạng 2. X hoặc Y không gán bằng 1000, phƣơng trình cho nghiệm vô tỷ với X hoặc Y

a, Xét phương trình: “gán -1000”

cho Y=-1000, X=1000 Nhập vào máy:

là nhân tử chung ta được:

b, Xét phương trình “coi x là y, coi y là x”

cho Y=1000, X=-1000 Nhập vào máy:

là ta được:

nhân tử chung

Dạng 3. X và Y không thể gán bằng 1000, -1000 vì 1000, -1000 không thuộc tập điều

kiện.

Xét phương trình: , Đk: “gán ”

Nhập vào máy: cho

được

Đặt phương trình:

Sau khi đã áp dụng các thao tác trên cho mỗi phương trình trong hệ mà phương trình nào

cho số nguyên để được bộ nhân tử chung thì ta tiến hành khai thác phương trình đó và áp

dụng một trong bốn thao tác căn bản như nhân liên hợp, lũy thừa, đổi biến hoặc dùng

phương trình hàm, cụ thể được trình bày trong mỗi mục tương ứng.

9

Các bƣớc áp dụng giải pháp mới và các ví dụ minh hoạ những bài toán, những

câu hỏi ở mục giải pháp cũ:

Ví dụ 1. Khai triển đa thức:

Nhập vào máy: nhấn cho x =

1000 được:

Do đó

Xem thêm phần PHỤ LỤC 3 – Trang 27

Ví dụ 2. Khai triển đa thức sau:

1. Chọn chế độ số phức

2. Nhập vào máy:

3. cho

4. cho

5. Viết hợp lại

6. cho 10 là hệ số tự do

7. Kq:

Xem thêm phần PHỤ LỤC 4 – Trang 29

Ví dụ 3. Thực hiện phép chia “Phép chia hết”

1. Chọn chế độ tính toán thường

2. Nhập vào máy nhấn cho x = 1000

Được:

3. Kq:

Xem thêm phần PHỤ LỤC 5 – Trang 30

Ví dụ 4. Thực hiện phép chia: “Phép chia còn phần dư”

1. Chọn chế độ tính toán thường

2. Nhập vào máy nhấn cho x = 1000 được:

là phần nguyên

10

3. Sửa lại nhấn cho x = 1000

được: là phần dư.

4. Kq:

Xem thêm phần PHỤ LỤC 16 – Trang 82

Ví dụ 5. Thực hiện phép chia:

1. Nhập vào máy:

2. Nhấn X=1000, m = i hiện

3. Nhấn X=i, m=1000 hiện

4. Viết lại: x + 2m2

5. Nhấn X=0, M=0 cho -1 hệ số tự do -1.

6. Thử lại, viết thêm . X, M = bất kỳ cho 0 là phép chia hết.

Kq:

Xem thêm phần PHỤ LỤC 6 – Trang 31

Ví dụ 6. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: “Một biến”

1. Nhập biểu thức trên vào màn hình, nhấn phím để lưu lại biểu thức dùng lần sau.

2. Nhấn cho x = 1 được nghiệm x=0.66666 nhấn

cho vậy có nhân tử , nhập thêm

Nhấn cho nghiệm -1/2 có

thêm nhân tử (2x+1), nhập thêm

. Vì đã được hai nhân tử rồi thì nhân tử còn

ta nhấn lại chỉ là bậc 2 do đó từ

. cho X=1000 ta được

3. Kq:

Xem thêm phần PHỤ LỤC 7 – Trang 33

11

Ví dụ 7. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: “Hai biến”

“Trong hệ phương trình: (Trích đề thi KA 2011)”

Nháp.

1. Vào giải phương trình bậc 3 (viết lại: )

2. Nhập các hệ số cho nghiệm

3. Kq:

Lời giải:

Từ phương trình (2) ta có:

TH1: với x = 0 hệ: vô nghiệm

Thay vào phương trình (1):

TH2:

thay vào phương trình (1):

“Nháp: Viết lại

Vào giải phương trình bậc 3

Nhập các hệ số cho hai

nghiệm ”

 Với x = y (đã xét).

12

 Với

Vậy hệ có 4 nghiệm:

Khi dùng KỸ THUẬT 6 chỉ mất khoảng 2 phút ta đã biết được phải khai thác

phương trình (2).

Xem thêm phần PHỤ LỤC 8 – Trang 34

Ví dụ 8. Ví dụ: Giải bất phương trình: (Trích đề thi

minh họa – kỳ thi THPT Quốc Gia năm 2015 – của BGDĐT).

TXD:

Xét hàm số liên tục trên D

Xét phương trình:

(loại), (loại), (thỏa mãn). , (loại)

1+

Bảng xét dấu:

x

-

+

-

+

0 f(x)

Hàm số f(x) liên tục và vô nghiệm trên các khoảng nên

các khoảng này hàm số không đổi dấu.

Mà ,

KL: Tập nghiệm của bất phương trình là

Lời giải trên có hai điểm mới:

- Thứ nhất ta dùng cách đưa bất phương về phương trình tương ứng cho dễ giải vì bất

phương trình học sinh rất hay nhầm dấu.

Xem thêm phần PHỤ LỤC 15 – trang 76

- Thứ hai trong phương pháp cũ đòi hỏi ta phải có kinh nghiệm tách nhân tử tốt để

tránh được phải giải phương trình bậc bốn có nghiệm vô tỷ, còn phương pháp mới ở

13

đây đã dùng cách tách nhân tử cho phương trình bậc bốn có nghiệm vô tỷ, nó còn

được ứng dụng hàng loạt các bài dạng như các phương trình:

1. (Trích KD-2006)

2.

3.

4. .

Những bài này giáo viên cần ít nhất 3 tiết mới dạy xong vì nó bao gồm một loạt các

kiến thức như đạt ẩn phụ không hoàn toàn, tính delta cho biến nào thì chính phương,

không chính phương thì phải đồng nhất thức ra sao,… trong khi dùng phương pháp

mới này chỉ cần một tiết là đủ vì tất cả các dạng bài trên chỉ là một dạng bài phương

trình bậc bốn hoặc cao hơn nữa cũng vẫn làm theo phương pháp tách này.

Xem thêm phần PHỤ LỤC 9 – Trang 37

Ví dụ 9. Giải hệ phương trình:

Nháp: thay vào (nhập vào máy với k là X)

Ta được

Dùng lệnh được k= .

Hƣớng dẫn:

Nhân hai vế phương trình (1) với 2, hai vế phương trình (2) với 3 cộng lại ta được:

Xem thêm phần PHỤ LỤC 11 – Trang 40

Ví dụ 10. Giải hệ phương trình:

Nháp: 1. Dùng máy tính đơn giản ta biết được hai nghiệm (1;2) và (2;1 )

2.Tìm mối liên hệ giữa x và y: y=3-x

3. Thế y=3-x vào từng phương trình: , và

4. Mối liên hệ giữa Pt(1) và Pt(2) là Pt(2)=2.Pt(1)

Hƣớng dẫn: Nhân hai vế phương trình (1) với 2 rồi trừ vế theo vế với phương trình (2) ta

có:

Hệ đầu viết lại: đến đây ta được hai hệ đã dễ giải …

Hai ví dụ trên đã giải quyết được vấn đề mà giải pháp cũ không giải thích được

cho học sinh thế tiếp thu bị động “tại sao lại làm như thế? con số 2 đó ở đâu mà ra?

Sao lại nhân với phương trình (1),… ”

Xem thêm phần PHỤ LỤC 12 – Trang 42

Ví dụ 11. Giải hệ: (Trích đề thi KA-2012)

(hoặc vào để

Cách 1. Nháp: Nhập vào máy: giải phương trình bậc 3) ta được

Do đó: Phương trình (1) được viết lại ngay:

Lời giải: Phương trình (1):

Mặt khác phương trình (2):

Có

Do đó xét hàm số:

Cho

-

-1

3 +

Bảng biến thiên:

+

-

0 -

0 +

thay vào (2):

KL: Phương trình có hai nghiệm:

15

Cách 2: Viết lại: pt(1)=

Nháp: Nhập vào máy với y=1000. Ta được x=1002

hay x = y+2

Thực hiện phép chia:

Lời giải:

TH1: thay vào (2):

TH2:

Lấy : (vì x=0 không là nghiệm) thay vào (3)

(Vô nghiệm).

KL: Phương trình có hai nghiệm:

Ví dụ 12. (Trích đề thi KA-2010)

Nháp: Xét phương trình “coi x là y, coi y là x”

Nhập vào máy:

cho ta được:

là nhân tử chung. Do đó ta sẽ khai thác phương trình (1).

Ta có hai cách giải cho bài này đều dựa vào nhân tử chung :

Điều kiện:

16

Cách 1: “sử dụng phương trình hàm”

Do ta có nhân tử nên từ phương trình

(1):

từ đây ta xét phương trình hàm.

Cách 2: “đổi biến”

Đặt . Phương trình (1) được viết lại:

”từ đây

” ta cũng có thể làm theo cách phương trình hàm

…

Cách 2 trong cả hai ví dụ 11 và 12 trên hoàn toàn không dùng đến đạo hàm mà

lớp 10 chưa học. Giờ đây dạng bài này cho dù là bài của các anh chị khối 12 các em lớp 10 vẫn làm tốt.

Xem thêm phần PHỤ LỤC 13 – Trang 49 và PHỤ LỤC 14 – Trang 64

Ví dụ 13. Giải phương trình:

với Nháp: Nhập vào máy:

ta chỉ được một nghiệm nhập thêm vào:

với máy hiện

Can’t Solve. Ta nhấn hai giá trị ngay trước và sau nghiệm nếu được

hai giá trị trái dấu chứng tỏ có nghiệm bội là .

Trước tiên ta tách sao cho có nghiệm bội

với ta được

phải có nghiệm kép tức là

Phương trình:

17

Tách . Xét (*) cho ta được: (1)

Bình phương (*) rồi cho ta được: (2) từ đó

Phương trình: đến đây ta mới nhân

liên hợp.

Xem thêm phần PHỤ LỤC 13 – Trang 49

Ví dụ 14. Tách phân số: trong tích phân .

Ta có:

Tìm A: Nhập vào máy nhấn cho

Tìm B: Nhấn Nhập vào máy nhấn cho

Tìm C: Nhập vào máy nhấn cho

Tính A và C không cần dùng máy cũng được và ta có kết quả cực nhanh chỉ

khoảng vài giây.

KQ: .

Xem thêm phần PHỤ LỤC 17 – Trang 84

Ví dụ 15. Giải phương trình: (Trích đề thi KA-2014)

Nháp: “Dùng máy tính ta nhẩm được nghiệm x=60o nhân tử chung (2cosx-1)”

Phương trình:

Đề thi đại học nhiều năm gần đây, phương trình lượng giác phần lớn là dùng

phương pháp nhóm nhân tử chung, đây là giải pháp khá hay cho học sinh, nhanh

chóng tìm ra bộ nhân tử để hướng tới lời giải.

Xem thêm phần PHỤ LỤC 18 – Trang 85

Ví dụ 16. Giải phương trình: (Trích đề thi KD-2006)

Phương trình:

Đặt

18

Phương trình:

“dùng KỸ THUẬT 6 nhóm nhân tử”

Vậy phương trình có hai nghiệm: .

và

. CMR:

Ví dụ 17. Cho

Nháp: Ta tìm a, b trong biểu thức:

Tìm a: Nhấn nhập nhấn ta được .

Tìm b: Nhấn Nhập cho được

Lời giải:

Xét:

“Tới bƣớc này dùng KỸ THUẬT 5 – PHỤ LỤC 7- TRANG 33:

Nhập: vào máy ta đƣợc ngay:

(Lời giải trong bài thi không cần trình bày bƣớc biến đổi đơn giản này)”

Tương tự: Và

Từ đó:

Đạt được khi: .

19

Ví dụ 18. Cho . Chứng minh

Nháp: Dấu bằng xảy ra khi .

Ta cần tìm sao cho:

Tìm : Nhấn nhập nhấn ta được .

Tìm : Nhấn Nhập , (với ) nhấn cho

được do đó

Hướng giải: Xét:

Tương tự ta được:

Cộng lại ta được điều phải chứng minh.

Hai ví dụ 17 và 18 trên có thể nói là sử dụng máy tính cầm tay mà 1 học

sinh trung bình yếu cũng có thể làm câu này trong khi câu này chỉ dành cho học sinh

giỏi. Không những thế phương pháp Tiếp tuyến phải dùng đến đạo hàm.

Xem thêm phần PHỤ LỤC 19 – Trang 87

2.3 Ưu điểm của giải pháp cải tiến:

Trong thời lượng phân phối của bộ môn không có đủ thời gian để giáo viên trang bị

cho học sinh tất cả các cách giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình. Nhưng

giờ đây có thể bỏ hết những phương pháp đó thay vào đó là thực dạy theo chuyên đề này

chắc chắn là đủ và thừa thời gian.

a. Đối với học sinh: Tiết kiệm thời gian học tập. Tỉ lệ học sinh hiểu bài nhiều. Phân

hoá học sinh rất tốt: học sinh khá - giỏi có thể đạt điểm tối đa, học sinh trung bình – yếu

đạt 0,5 điểm. Điểm mới, điểm cải tiến của phương pháp là dựa vào điểm mạnh của máy

tính mà học sinh THPT nào cũng có, thao tác đơn giản. Học sinh chủ động hướng tới lời

giải. Đặc biệt hơn là áp dụng cho tất các câu khó thứ 2-3 (điểm thứ 8-9) của các đề thi đại

học những năm gần đây.

20

b. Đối với giáo viên: Nội dung phương pháp mới là một chuyên đề, một tài liệu

giảng dạy giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình phù hợp với nhiều đối

tượng học sinh. Ngoài ra cấu trúc đề thi toán theo hình thức trắc nghiệm của trường Đại

học Quốc gia Hà Nội thì đây là tài liệu quan trọng mà mỗi giáo viên cần có.

V. Hiệu quả kinh tế và xã hội dự kiến đạt đƣợc

1. Hiệu quả kinh tế:

Các nội dung viết trong sáng kiến này là một tài liệu tham khảo cho giáo viên và

học sinh. Học sinh có thể dùng tài liệu này thay thế cho sách tham khảo. Vừa nêu rõ ý

nghĩa ưu nhược điểm của các phương pháp, vừa giới thiệu chi tiết nội dung và phương

pháp giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình gần gũi với các học sinh lớp 12.

Để cho học sinh hiểu và làm được những bài toán phương trình, hệ phương trình,

bất phương trình, chứng minh bất đẳng thức,... Đã quá nhiều tác giả tốn kém quá nhiều

giấy mực để viết ra không biết bao sách, trong mỗi sách có quá nhiều phương pháp, quá

nhiều cách biến đổi cho mỗi bài. Giờ đây chỉ với một đề tài này nếu in thành sách thì

những phương pháp cũ trong những sách đó là không cần thiết.

Tài liệu gồm 60 trang, giá photo 60 x 300 VN đồng = 18.000đ.

Trong khi phải bỏ ra khoản phí mua sách tham khảo khá lớn như một cuốn sách “Những

điều cần biết LTĐH Kỹ thuật giải nhanh Hệ phương trình” Giá bìa 149.000.000 không

chắc gì đã làm theo được.

Khi áp dụng trên toàn tỉnh với số luợng 27 trường THPT sẽ tiết kiệm được số tiền

lớn hơn rất nhiều.

2. Hiệu quả xã hội:

2.1. Đối với học sinh, phụ huynh và xã hội:

Tạo được tâm lí tự tin cho phụ huynh và học sinh trước mỗi kì thi quan trọng. Học

sinh có thể giải được các bài tập khó của đề thi, đỗ đạt cao vào các trường đại học hàng

đầu hay đạt giải cao trong kì thi học sinh giỏi tỉnh hoặc quốc gia. Góp phần đưa nhà trường

là địa chỉ giáo dục tin cậy nhất của địa phương.

2.2. Đối với nhà trường THPT Kim Sơn A:

Sau khi áp dụng sáng kiến này tại trường đã thu được kết quả tốt, tạo được sự tin

tưởng chuyên môn của nhóm toán nhà trường. Đóng góp vào nâng cao chất lượng giảng

dạy của nhà trường. Năm học 2014 -2015 trường THPT Kim Sơn A là đơn vị dẫn đầu khối

THPT tỉnh Ninh Bình.

21

2.3. Đối với việc giảng dạy: 2.3.1. Nâng cao khả năng tự học, tự bồi dưỡng:

Sáng kiến này có thể áp dụng cho tất cả các trường THPT trong toàn tỉnh (27 trường

THPT). Đặc biệt là cho các đối tượng học sinh ôn thi THPT Quốc gia. Là một chuyên đề

giảng dạy hiệu quả cho giáo viên. Tháng 08/2014 được sự tạo điều kiện của Ban giám hiệu

nhà trường, tôi đã tổ chức 01 chuyên đề chuyên môn giới thiệu chuyên đề này với sự tham

gia của các giáo viên trường THPT Kim Sơn A và được đánh giá rất cao.

2.3.2. Chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi:

Đặc biệt em Nguyễn Cao Ngọc Vũ đạt giải nhất quốc gia giải toán trên máy tính cầm

tay. Năm học 2014 - 2015 đội tuyển học sinh thi giải toán qua mạng Internet của chúng tôi

đã đạt kết quả: Vòng thi cấp tỉnh 8 giải nhất, Vòng thi cấp Quốc gia 7 giải nhất, 1 giải nhì.

Trước khi áp dụng SKKN

Sau khi áp dụng SKKN

Năm học

2011 - 2012

2012 – 2013

2013 - 2014

2014 – 2015

HSG

1nhì, 1ba, 1kk

2 nhì, 1 kk

1 nhất, 2 nhì

2 nhì, 1 kk

môn toán 12

HSG

1nhì, 2ba.

1nhì, 1ba, 1kk

2 nhì, 1KK.

1 nhất, 1 nhì, 1 ba, 1

Casio toán

1nhất quốc gia

1 ba quốc gia

1nhất quốc gia

nhất quốc gia

HSG

8HCV,2HCB

8HCV - quốc

7 HCV, 1HCB quốc

giải toán qua

quốc gia, 15 giải

gia, 4 nhất, 5 nhì

gia,

mạng internet

tỉnh.

giải tỉnh.

18 giải tỉnh.

2.3.3. Chất lượng bồi dưỡng thi Đại học cao đẳng :

Trước khi áp dụng SKKN

Sau khi áp dụng SKKN

Năm học

2010 - 2011

2011 – 2012

2012 – 2013

2013 – 2014

Xếp loại nhà

Toàn quốc 164

Toàn quốc 145

Toàn quốc 65

Toàn quốc 84

trường

TỉnhNB 04

TỉnhNB 02

Điểm TB môn

4.46

5.03

6.12

6.54 toán

Số luợng học

sinh đạt trên 9

02

07

16

18 điểm toán

Với kết quả đó, tôi đã đóng góp tích cực vào thành tích chung về thi đại học cao

đẳng của nhà trường THPT Kim Sơn A:

22

VI. Điều kiện và khả năng áp dụng

1. Khả năng áp dụng sáng kiến trong thực tiễn:

Hiện nay, tại hầu hết các trường THPT đều coi trọng vấn đề dạy ôn thi THPT Quốc

gia cho học sinh, mà môn Toán là môn thi nằm trong nhiều khối thi của học sinh. Vì vậy

vấn đề dạy ôn thi THPT Quốc gia môn Toán càng được các nhà trường quan tâm nhiều

hơn nữa. Mà nội dung chuyên đề phương pháp dạy học phương trình, hệ phương trình,

bất phương trình là một chuyên đề „khó‟ có trong cấu trúc đề thi THPT Quốc gia ở tất cả

các khối thi, đây cũng là nội dung mà học sinh gặp nhiều khó khăn. Do đó, việc áp dụng

sáng kiến này vào trong thực tiễn giảng dạy là hết sức khả quan.

2. Điều kiện áp dụng sáng kiến:

Để áp dụng sáng kiến này sao cho đạt được hiệu quả tốt nhất chúng ta cần:

+ Đưa ra thảo luận, trao đổi, thống nhất ý kiến với các thầy cô giáo trong tổ chuyên

môn về các vấn đề liên quan đến sáng kiến từ đó rút kinh nghiệm.

+ Tùy theo từng đối tượng học sinh ở từng lớp mà đưa ra các mức độ ví dụ trong

sáng kiến cho phù hợp. Đối với học sinh yếu kém ta không nên đi sâu mà chỉ mang

tính chất giới thiệu.

+ Kiểm tra sự tiếp thu của học sinh về nội dung sáng kiến qua việc làm và giải

quyết các bài tập về nhà.

+ Thường xuyên cập nhật đề thi THPT Quốc gia và thi thử các trường để bổ sung

vào sáng kiến góp phần làm phong phú hơn kho bài tập.

XÁC NHẬN CỦA CƠ QUAN, ĐƠN VỊ TÁC GIẢ SÁNG KIẾN

HOÀNG VĂN TƯỞNG

23

PHỤ LỤC 1. MỘT SỐ THAO TÁC CƠ BẢN KHI SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM

TAY TRONG GIẢI TOÁN.

1. Đưa máy tính về chế độ tính toán thường.

2. Nhập biến X (tương tự cho các biến khác)

VD: Nhập biểu thức: vào máy.

Nhấn Đưa máy tính về chế độ tính toán thường.

Quy trình nhập

3. Lưu biểu thức đã nhập: Nhấn phím bằng .

4. Để tính giá trị của biểu thức đã được nhập vào.

VD: Cho hàm số: . Tính

Nhập biểu thức sau vào máy: nhấn máy hiện X? cho

X=0 ta được 2 , nhấn tiếp cho X=2 ta được -2 ,

5. Giải phương trình bất kỳ với biến X? khởi tạo ban đầu bất kỳ nếu

tìm được nghiệm, nghiệm đó sẽ gần biến khởi tạo nhất.

VD: Giải phương trình:

Nhập biểu thức sau vào máy: (không cần bao gồm dấu “=”)

nhấn máy hiện Solve for X nhập số bất kỳ, ví dụ cho x=2

ta được nghiệm x=2.73205…, cho x=1 ta được nghiệm x=1, …

Đưa máy tính về chế độ số phức (dùng cho hai biến). 6.

Giải phương trình bậc 2. 7.

Giải phương trình bậc 3. 8.

Tính các giá trị của hàm số trên một đoạn. 9.

Gán giá trị cho biến A (tương tự cho các biến khác). 10.

24

PHỤ LỤC 2. PHƢƠNG PHÁP TÁCH SỐ

Số 10, 100, 1000, 10000, ...

Trên máy vi tính cũng như trên máy tính cầm tay khi tính toán một phép toán bất kỳ

ta cũng phải nhập giá trị đầu vào là một giá trị cụ thể trong khi các phép toán như khai

triển đa thức, tách nhân tử chung,… phép toán thu được chứa biến do đó ta phải dùng một

giá trị cụ thể, nhưng các con số khác tất nhiên là được vấn đề là khi đổi lại số thành biến

thì các con số này khó tính toán. Còn các con số 10, 100, 1000, 10000, ... dễ hơn nhiều và

chúng được hiểu như chữ số, một biến x, y, a, b, … nào đó.

Ta đã biết:

Cũng như vậy đa thức:

- Khi gán x = 10 thì đa thức P có giá trị:

- Khi gán x = 100 thì đa thức P có giá trị:

- Khi gán x = 1000 thì đa thức P có giá trị: , …

VD1: gán x=1000

VD2: gán x=1000

Ngược lại: “Mục đích là tìm các hệ số của đa thức”

- Khi tính giá trị của đa thức tại 1000 ta được: viết

tách thành các nhóm ba số một nhóm tính từ phải qua trái.

Đa thức đó là: “dãy số trên là các hệ số”

- Khi tính giá trị của đa thức tại 1000 ta được:

vì 1000 = x

Làm như vậy rất chậm, theo cách sau thì ta hiểu như phép trừ theo cột dọc ở lớp 3

Khi số bị trừ nhỏ hơn số trừ ta mượn 1, xong ta phải trả lại.

423 - 234 189

Ta có: hiển nhiên không thể là hệ số tự do

và của x, ta lấy nhớ 1 sang trái thành 996, tiếp đến

nhớ 1 sang trái thành 006. Đa thức đó là:

25

- Khi tính giá trị của đa thức tại 1000 ta được -2003005991 làm như trên với dấu trừ

cho cả biểu thức. Ta được đa thức:

- Khi các hệ số nhỏ số mũ lớn thì ta chỉ cần tính giá trị tại x = 100 ta được:

102041806 , phần nghìn thì tách thành 3, phần trăm tách thành 2,

cũng tính từ phải qua trái. Ta được: .

Chú ý:

- Ta chỉ xét đa thức với hệ số nguyên, hệ số hữu tỷ phải biến đổi về hệ số nguyên.

- Khi bị tràn màn hình thì dùng cách sau:

Ví dụ. Tính viết ra nháp

Để ý số:

do đó để cho nhanh ta trừ đi số hoặc (chuyển dấu “.” Sang

phải bao nhiêu số thì giảm n trong bấy nhiêu). Số gồm 14

chữ số và số cuối cùng (số 9 ngay trước ) thường là số không chính xác vì là

số được làm tròn.

Kq:

- Phương pháp tách số này quyết định nhanh chậm của việc tính toán.

26

PHỤ LỤC 3: KHAI TRIỂN ĐA THỨC MỘT BIẾN

 KỸ THUẬT 1.

1. Đưa máy về chế độ thường

2. Nhập biểu thức cần khai triển vào máy.

3. Nhấn phím máy hiện X? (tương tự với các biến khác)

4. Nhập X = 1000 rồi dùng phương pháp trên ta sẽ được các hệ số:

5. Điền các hệ số vào ta được kết quả.

 CÁC VÍ DỤ - KHAI TRIỂN CÁC BIỂU THỨC SAU:

VD1:

Thực hiện: Nhập nhấn cho x=1000 hiện -1007002988

Dấu “-” là dấu trừ cho cả biểu thức lấy nhớ 1 cho

002 thành 3 đảo dấu

VD2:

Thực hiện: Nhập nhấn cho x=1000 hiện

9.96011995.1011 .Ta được

Kq:

Nhận xét: Hệ số của các khai triển trên khá nhỏ, chỉ cần gán x=100 là đủ:

Trong ví dụ 3 khi cho x=100 ta được 96119500 viết lại

để ý ở đây là hàng trăm tách thành 2 số một, còn các bài trên là hàng nghìn tách thành

3 số hoặc vẫn gán 1000 rồi làm theo phương pháp trên như ví dụ sau:

VD3: Xét phương trình:

Khi bình phương hai vế phương trình ta được:

Bài này số mũ khá lớn và hệ số cũng lớn vượt quá số 100 lên không thể gán X=100

mà phải gán X=1000.

27

Nhập vào máy: nhấn cho x=1000 hiện

Viết ra nháp nhấn tiếp máy hiện:

Thử lại: viết thêm

nhấn cho x=

bất kỳ máy luôn hiện 0 kết quả đã chính xác.

Kq:

VD4: Xét hệ: (Trích đề thi thử ĐH-K12 lần 1 – THPT

Kim Sơn A)

ĐK: ? Bình phương hai vế pt (2) ta được:

Thay vào (1): “nhận thấy các hệ số nhỏ,

số mũ khá lớn ta gán x=100 là đủ”.

Phương trình: với chia hai vế cho y3.

VD5: Tính y cực trị của: tại và tại

(Trích KA-2002)

Thực hiện: Nhập: cho

M=1000 hiện tách thành

Vậy , Tương tự

VD6: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

……

…….

28

PHỤ LỤC 4: KHAI TRIỂN ĐA THỨC HAI BIẾN

 KỸ THUẬT 2

- Chọn chế độ số phức

- Coi một biến của đa thức là i và cho giá trị biến còn lại là 100, hoặc 1000.

- Tìm biểu thức của biến còn lại ở phần thực, phần ảo.

 CÁC VÍ DỤ

VD1: cho kết quả

- Chọn chế độ số phức

- Nhập cho

- Phần thực cho phần ảo cho

- Viết lại

) x = bất kỳ cho 0 là đúng. - Thử lại –(

- Chỉ áp dụng cho m mũ 1

VD2:

- Chọn chế độ số phức

- Nhập

cho -

- Viết hợp lại

- cho 10 là hệ số tự do

- Kq: =

- Chỉ áp dụng cho hai biến mũ cao nhất là 2.

29

PHỤ LỤC 5: CHIA ĐA THỨC CHO ĐA THỨC MỘT BIẾN

 KỸ THUẬT 3 (Phép chia không còn phần dƣ - phép chia hết)

1. Đưa máy về chế độ thường

2. Nhập phép chia vào máy.

3. Nhấn phím máy hiện X? (tương tự với các biến khác)

4. Cho X = 100 hoặc 1000.

 CÁC VÍ DỤ

VD1: Chia đa thức cho

Nhập vào máy cho X= 100 được

chia thành . Thử lại, viết thêm:

X = bất kỳ cho 0

là đúng.

Nếu nhập 1000 hiện máy bị tràn màn hình để khắc phục có

3 cách, cách 1, 2 là làm như ví dụ 3 mục KỸ THUẬT 1, cách 3 căn cứ vào đề bài

để biết hệ số lớn nhất của thương số, ví dụ trên, hệ số của là 1 rồi ta trừ đi tức

là viết thêm - vào X= 1000 hiện

số đầu gần -3 lại ghi thêm vào +3 cứ như vậy ta sẽ được kết quả.

VD2: Chia đa thức cho

Kq:

VD3: Chia đa thức cho

Nhập vào máy Làm tương tự ta được:

Nhận xét: Nếu mẫu số là đơn thức như ví dụ 1 và 2, thì nên dùng lược đồ Horner, chỉ

dùng cách này khi mẫu là đa thức như ví dụ 3.

30

PHỤ LỤC 6: CHIA ĐA THỨC CHO ĐA THỨC HAI BIẾN

 KỸ THUẬT 4

Phương pháp:

B1: Đưa máy về chế độ số phức

B2: Nhập phân số vào máy

B3: X=1000, Y=i suy ra các hệ số của x, xy, y

B4: X=i, Y=1000 suy ra các hệ số của x, xy, y

B5: Viết hợp lại các số hạng ở hai bước ba, bốn và bỏ hệ số tự do.

B6: Tìm hệ số tự do, cũng là bước thử lại.

Có hai dạng: + Nếu ở mẫu có hệ số tự do thì gán X=0, Y=0 suy ra

hệ số tự do.

+ Nếu mẫu không có hệ số tự do thì trừ thêm biểu thức vừa tìm

ở bước 5 rồi X, Y bất kỳ sẽ được hệ số tự do.

 CÁC VÍ DỤ.

VD1:

Nhập vào máy:

- Nhấn Y=1000, X=i hiện

- Nhấn Y=i, X=1000 hiện

- Viết lại

- Thử lại, viết thêm

- Nhấn X, Y = bất kỳ cho -1 là hệ số tự do.

31

Kq:

VD2:

Nhập vào máy:

- Nhấn X=1000, Y=i hiện

- Nhấn X=i, Y=1000 hiện

- Viết lại

- Nhấn X=0, Y=0 cho -2 hệ số tự do là -2.

- Thử lại, viết thêm X, Y

là giá trị bất kỳ cho 0 là đúng.

Kq:

VD3:

Nhập vào máy:

- Nhấn X=1000, m = i hiện

- Nhấn X=i, m=1000 hiện

- Viết lại: x + 2m2

- Nhấn X=0, M=0 cho -1 hệ số tự do -1.

- Thử lại, viết thêm . X, M = bất kỳ cho 0 là phép chia hết.

Kq:

Nhận xét: - Không bỏ bước thử lại, áp dụng số mũ không quá lớn.

- Nếu mẫu số là đơn thức thì nên dùng lược đồ Horner, chỉ dùng cách này cho

mẫu là đa thức.

32

PHỤ LỤC 7: TÁCH NHÂN TỬ CHUNG - ĐA THỨC MỘT BIẾN

 KỸ THUẬT 5

- Nếu là phương trình bậc 2 hoặc bậc 3 thì ta vào ,

- Từ bậc 4 trở lên hoặc phương trình vô tỷ…: Nhập biểu thức vào máy (không bao

gồm dấu =)

- Nhấn SHIFT SOLVE cho X = giá trị bất kỳ nghiệm nhân tử chung.

- Thường máy cho ra nghiệm gần giá trị “X? =” mà ta nhập vào.

- Ta thử các giá trị x cách xa nhau thường là 10, -10 và 0. Khi có nghiệm trùng thì dự

đoán số nghiệm là các số đã cho khác nhau (để chính xác hơn thì dùng lệnh

để ý các số cột bên phải chuyển dấu thì khoảng đó chứa nghiệm.

Thường cho start -10, end 10 ” có thể cho rộng hơn).

- Ngoài ra ta còn cách nữa là chia dần cho mỗi nhân tử khi ta nhẩm được các nghiệm

bằng lệnh , để máy không tìm lại nghiệm cũ.

VD: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a. Nhập biểu thức trên vào máy rồi nhấn phím để lưu lại biểu thức dùng lần sau.

b. Nhấn cho x = 1 được nghiệm x=0.66666 nhấn

cho vậy có nhân tử , nhập thêm

Nhấn cho nghiệm -1/2 có

thêm nhân tử (2x+1), nhập thêm

Nhấn phải đợi khá

mất thời gian máy hiện Can’t Solve, nên nhấn để bỏ qua, theo kinh nghiệm nếu

đợi khá lâu là do máy không thể tìm ra được nghiệm nào nữa và cứ thế máy cố tìm.

c. Vì đã được hai nhân tử rồi thì nhân tử còn lại chỉ là bậc 2 do đó từ

ta nhấn cho X=1000 ta được

d. Kq:

33

PHỤ LỤC 8: TÁCH NHÂN TỬ CHUNG - ĐA THỨC HAI BIẾN

 KỸ THUẬT 6

Phƣơng pháp:

- Ta nên chọn biến có số mũ thấp hơn là ẩn biến còn lại cho bằng 1000 (số 1000 ở

đây chỉ là con số “thế thân” có thể hiểu “1000 là chữ số”), xong ta sẽ trả lại cho

biến còn lại.

- Một trong hai biến có số mũ nhỏ hơn hoặc bằng 3 thì chọn chế độ giải phương trình

bậc 2, 3 của máy, lớn hơn hoặc không có dạng là đa thức như bậc 5, căn, log, mũ,…

thì dùng lệnh được nghiệm rồi tách nhân tử theo KỸ THUẬT trên.

 CÁC VÍ DỤ

VD1. Tách thành nhân tử của (Trích KA 2013)

1. Vào giải phương trình bậc 2

2. Nhập các hệ số Cho các nghiệm

3. Ta có

4. Trả lại: thay vào.

5. Kq:

VD2. Tách thành nhân tử của

1. Vào giải phương trình bậc 2

2. Nhập các hệ số Cho các nghiệm

3. Ta có

4. Thay và vào.

5. Kq:

Nhận xét: Khi tìm ra được thì không vội tìm cách thay y vào mà phải cho số

333 gần số 1000 nhất có thể như trên.

34

VD3. Tách thành nhân tử của

“Trong hệ phương trình: (Trích KA 2011)”

1. Vào giải phương trình bậc 3 (viết lại: )

cho nghiệm 2. Nhập các hệ số

3. Ta có nhân tử

4. Thực hiện phép chia đa thức cho đa thức ta được.

5. Kq:

VD4. Tách thành nhân tử của (Trích KD-2012 )

ta nên coi y là ẩn và giải phương trình bậc 2. Ta có:

Kq:

VD5. Tách thành nhân tử của (Trích KA-2010)

1. Vào giải phương trình bậc 3

2. Nhập các hệ số cho nghiệm nhân tử (x-1)

3. Thực hiện phép chia đa thức cho đa thức hai biến.

VD6. Giải hệ phương trình: (Trích KA-2008)

Ta có:

TH1:

35

TH2: cho nghiệm

TH3: thay vào (2)

Ta có Trường hợp này vô nghiệm.

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm: và

Chú ý:

1. Khi giải phương trình cho 1 nghiệm , các nghiệm còn lại lẻ hoặc nghiệm phức

ta không tách nhân tử được thì phải thực hiện phép chia đa thức cho đa thức.

2. Phương trình: khi thực hiện trong ta được

một nghiệm 999.001 không hiểu lý do gì máy cho dư ra 001, còn khi dùng lệnh

thì cho 999.

3. Ngoài ra phương trình là đúng nhưng phương trình vô

nghiệm thì máy tính vẫn cho ta nghiệm x=-1.

“ ?”

4. Tách nhân tử chung: . Viết lại

+ Vào giải phương trình bậc 2

+ Nhập các hệ số cho hai nghiệm

và với cho ta nhân tử chung nhưng với

thì (x+1) không là nhân tử vì điều kiện tồn tại phương trình bậc 2 trên là

nhưng ta đã nhập y=1000 đã mặc định là do đó máy cho ta nghiệm

là tất yếu.

+ Kq:

36

PHỤ LỤC 9: PHƢƠNG TRÌNH BẬC BỐN - BẬC CAO CÓ NGHIỆM

1. KỸ THUẬT 7

Phương pháp: Cũng như KỸ THUẬT 5 chỉ khác ở đây là ta xét phương trình có

nghiệm vô tỷ, còn nghiệm hữu tỷ thì giống hoàn toàn.

2. CÁC VÍ DỤ:

VD1: Giải phương trình:

Nháp: Nhập vào máy và nhấn để lưu lại (Không quên thao tác

này !)

cho x=10 được nghiệm 0.7320508…

Lưu nghiệm vào biến A, nhấn . Nhập thêm:

nhấn hai phím liên tiếp được nghiệm

Lưu nghiệm vào biến B, nhấn . Nhập thêm:

cho x= bất kỳ

Máy hiện Can’t Solve nghĩa là chỉ có hai nghiệm trên.

Nhấn phím xóa màn hình, nhấn để tính

tương tự .

vậy nghiệm của phương trình trên là nghiệm của phương Ta có

tức là là một nhân tử, (theo định lý đảo Viét). trình:

Thực hiện phép chia đa thức cho đa thức, ta được

Hƣớng giải:

Nhận xét: + Khi nhập thường hay quên nhấn để lưu lại

+ Nếu tìm ra được hai nghiệm mà tổng hoặc tích vô tỷ thì đi tìm nghiệm thứ 3,

vẫn vô tỷ thì không có cách giải.

37

VD2: Giải phương trình: : (Trích TN THPT QG–2015)

Nháp: Nhập vào máy tính được hai nghiệm và

một nghiệm vô tỷ ta xử lý nghiệm vô tỷ như sau:

dùng lệnh

Cách 1: Tìm thêm nghiệm “ngoại lai” của nó bằng cách bình phương hai vế phương trình: được nghiệm nào gán luôn vào biến xem cặp nào hữu tỷ. và thử

Cách 2: Đảo dấu trước căn dùng lệnh

được nghiệm nào thì lần lượt gán luôn vào biến và thử

xem cặp nào hữu tỷ.

Cách 3: Sau khi đã tìm được một nghiệm “vô tỷ” và đã gán vào biến A ta vào

nhìn vào cột bên phải, số nào nguyên hoặc số tuần hoàn

rồi nhập ta lấy số đó, cụ thể: ta được là nhân tử.

Lời giải: Đk: Phương trình:

TH1:

TH2:

TH3: , do pt vô nghiệm

KL: Phương trình có hai nghiệm:

VD3: Giải phương trình:

ĐK: . Phương trình (1):

Phương trình (*):

Phương trình (3): và (Loại không thỏa (2))

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất .

38

PHỤ LỤC 10: PHƢƠNG TRÌNH BẬC BỐN VÔ NGHIỆM

1. KỸ THUẬT 8

- Trong trường hợp bấm máy nhiều lần chỉ hiện Can’t Solve tức phương trình vô

nghiệm:

- Khi phương trình vô nghiệm thì ta phải chứng minh.

+ Không có điều kiện thường là tách thành các biểu thức luôn âm hoặc luôn

dương.

+ Có điều kiện thì thường dùng tới đạo hàm để khảo sát (lớp 12).

- Dạng:

- Ta biến đổi thành rồi dùng đồng nhất thức (để ý đến hệ

số của x4)

2. CÁC VÍ DỤ:

VD1: Chứng minh phương trình sau vô nghiệm:

Lời giải:

Giả sử:

Vế trái:

Đồng nhất thức ta được:

Tức là . KL: Pt: vô nghiệm.

VD2: Chứng minh phương trình sau vô nghiệm:

Biến đổi:

39

PHỤ LỤC 11: HỆ PHƢƠNG TRÌNH HAI BIẾN BẬC HAI ĐẦY ĐỦ HỮU TỶ VỚI HỆ SỐ NGUYÊN

 KỸ THUẬT 9

Hệ tổng quát: “ mũ cao nhất là 2”

Bước 1: Tìm

Bước 2: Tìm k từ phương trình

Cách nhớ “Bốn anh bón phân + em đi cấy” – (Trích cách nhớ của HS-lớp-11B3-

2014-KSA)

Bước 3: Lấy Pt(1) + k.Pt(2)=0

Bước 4: Dùng KỸ THUẬT 6 tách thành nhân tử chung.

Nhận xét:

1. Khi đọc sách tham khảo ta thấy trong lời giải thường lấy phương trình (1) hoặc

phương trình (2) nhân với một “số nào đó” rồi cộng hoặc trừ hai phương trình với

nhau. Cái “số nào đó” ở đây là số k cộng hay trừ là dấu của k.

2. Phương trình (1) hoặc (2) tại sao không dùng KỸ THUẬT 6 để tách thành nhân tử

chung, câu trả lời là thường không tách được vì nó còn thừa số (số dư), nhưng cũng

đừng vội áp dụng phương pháp này khi chưa thử một trong hai phương trình, dùng

KỸ THUẬT 6 xem có tách nhân tử được không, ví dụ như hai đề thi đại học trên.

3. Hệ tổng quát trên cũng là hệ đối xứng loại 1, loại 2, gần đối xứng và đẳng cấp bậc

2, nếu hệ số cho đặc biệt.

4. Trường hợp hệ vô nghiệm thì tính delta cho mỗi phương trình.

VD1: Giải hệ:

Nhận xét: Cả hai phương trình không thể tách nhân tử chung được.

40

Nháp: thay vào (nhập vào máy với k là X)

Ta được

Dùng lệnh được k= .

Hƣớng dẫn:

Nhân hai vế phương trình (1) với 2, hai vế phương trình (2) với 3 cộng lại ta được:

Hệ phương trình đầu tương đương với hai hệ

hoặc …… “đến đây đã quá dễ”

VD2: Giải hệ:

Đặt Ta được hệ …

VD3: Giải hệ: (Trích đề thử ĐH-Vĩnh Phúc)

Điều kiện : Từ (1) thay vào (2)

Ta được hệ mới:

41

PHỤ LỤC 12: HỆ PHƢƠNG TRÌNH HAI BIẾN BẬC CAO HỮU TỶ VỚI HỆ SỐ NGUYÊN

 KỸ THUẬT 10

1. Tìm hai nghiệm hữu tỷ của hệ, nếu là vô tỷ chỉ cần một nghiệm.

2. Lập phương trình đường thẳng đi qua 2 nghiệm hữu tỷ ở bước 1 mối quan hệ

giữa x và y, nếu nghiệm vô tỷ thì x và y chỉ có một mối quan hệ.

3. Thay y=ax+b hoặc x=ay+b vào từng phương trình.

4. Tìm mối liên hệ giữa các phương trình. (lấy Pt(2) chia cho Pt(1) hoặc phân tích

thành nhân tử)

5. Suy ra Pt(1) = f(x,y).Pt(2) rồi dùng KỸ THUẬT 6 tách nhân tử.

Nhận xét:

1. Ưu điểm là làm được hầu hết các hệ có hệ số nguyên (số mũ không quá cao).

2. Nhược điểm là phải tìm ra được hai nghiệm hữu tỷ hoặc một nghiệm vô tỷ.

3. Cách tìm nghiệm: Thông thường trong hệ hoặc x hoặc y trong phương trình (1)

hoặc phương trình (2) ta sẽ rút ra được một ẩn theo phương trình bậc nhất, bậc

hai thì dùng delta rồi thế vào phương trình còn lại. Dùng lệnh để

tìm nghiệm.

4. Trường hợp vô nghiệm máy báo “Can’t Solve” dù đã thử nhiều lần, ta dựa vào dữ

liệu đề bài để đánh giá hoặc dùng phương pháp hàm số (đạo hàm lớp 12).

5. Trường hợp chỉ tìm được 1 nghiệm hữu tỷ thì thay giá trị của x hoặc giá trị của y

vào mỗi phương trình rồi làm như trên, có thể dùng đến phương pháp hàm số.

 CÁC VÍ DỤ:

VD1: Giải hệ: (hệ có hai nghiệm nguyên trở lên)

Nháp: Từ (2) thay vào (1) và viết vào máy:

Ta được hai nghiệm A(2;3) và B(-2;3) phương trình đường thẳng đi qua hai nghiệm

y=3. Thay y=3 lần lượt vào hai phương trình ta có:

42

4.Pt(1)=x2.Pt(2)

Hƣớng dẫn:

Nếu x=0 hệ: hệ vô nghiệm.

Nếu Nhân hai vế phương trình (1) với 4, phương trình (2) với x2 rồi trừ cho

nhau ta được.

TH1: y=3 thay vào phương trình (2): ….

TH2: thay vào (2):

đặt …

VD2: Giải hệ: (hệ có một nghiệm vô tỷ trở lên)

Nháp: 1. Tìm nghiệm:

2. Tìm mối liên hệ giữa x và y

Nếu lấy bộ nghiệm (2;1) thì có quá nhiều a, b thỏa mãn y=ax+b

Nếu lấy bộ nghiệm thì chỉ có y=3-2x

3. Thế y=3-2x vào từng phương trình: , và

4. Mối liên hệ giữa Pt(1) và Pt(2) là: Pt(1)=2.Pt(2)

Hƣớng dẫn: Nhân hai vế phương trình (2) với 2 rồi trừ vế theo vế ta có:

VD3. Giải hệ:

43

Nháp: Từ (1) có thay vào (2), nhập vào máy:

X= 10 được x = 2.28077… gán vào A

X=-10 được x = 0.219223… gán vào B

chỉ cần lấy 1 nghiệm là đủ

Hƣớng giải:

Nhân hai vế phương trình (1) với (6x - 3) rồi trừ vế theo vế với phương trình (2) ta

được:

TH1:

TH2: từ (3) thay vào (4) ta được:

…

Nhận xét: Bước khó nhất của phương pháp này là tìm ra nghiệm, trong trường hợp

nghiệm vô tỷ như hai ví dụ trên cho ra hai nghiệm vô tỷ dạng: để ý nghiệm vô

tỷ do căn thức mà ra nên khi ta cộng hoặc trừ cho nhau ta được số hữu tỷ. Trường hợp

máy cho ra nghiệm vô tỷ dạng thì ta thử lũy thừa xem có hữu tỷ không.

44

VD4. Giải hệ:

Nháp: Từ (1): thay vào (2):

Nhập vào máy: X= 0

Được X = 0.480749…

Cho dù tìm được nghiệm nữa thì tổng của chúng cũng không là số hữu tỷ được vì:

Hƣớng giải:

Nhân hai vế phương trình (1) với 2 rồi trừ vế theo vế phương trình (2) ta được:

…

VD5. Giải hệ: (hệ có một nghiệm nguyên)

Nháp: Từ (2) ta có: với

Thay vào phương trình (1), dùng lệnh ta được nghiệm duy nhất:

thay vào mỗi phương trình, (nếu khi thay vào mà hai phương trình không chia

hết cho nhau thì thay giá trị của y).

Hƣớng giải:

45

Vì không là nghiệm của hệ, do đó nhân hai vế Pt(2) với rồi lấy Pt(1) trừ

đi vế theo vế ta được:

TH1: suy ra là nghiệm.

TH2: (*)

Từ Pt(2) có:

Từ Pt(*) có: , do đó trường hợp này vô nghiệm.

VD6. Giải hệ:

Nháp: Từ (1) thay thay vào (2) và ta chỉ được một nghiệm Thay

y=-1 vào mỗi phương trình:

có tất nhiên theo cách

này sẽ làm được nhưng dài, để ý từ phương trình (2) ta cô lập được y dùng phương

pháp hàm số.

Hƣớng giải: từ (1) ta có: . Từ (2) có:

Xét hàm số: trên

Có cho

0

Bảng biến thiên:

+

-

x f‟(x)

+

1 0 -4

f(x)

-11

-

Từ bảng biến thiên ta có: mặt khác lại có từ (1):

. Vậy hệ có nghiệm duy nhất: .

46

VD7. Giải hệ: (Trích KD-2009)

VD8. Giải hệ: (Trích KB-2009)

Nhận xét: Hai hệ trên cũng là hệ hữu tỷ với hệ số nguyên như các hệ trên và tất

nhiên cũng giải được theo phương pháp trên nhưng phức tạp. Cả hai đều

là hệ dễ nếu để ý một chút thì sẽ biến đổi được về hệ đơn giản.

Do đó ta không nên quá lợi dụng vào máy làm mất đi tính sáng tạo, chỉ

dùng phương pháp trên khi đường cùng không nghĩ ra !.

Hƣớng giải:

VD7. Đk:

Hệ: đặt ta được hệ: …

VD8. Giải hệ:

(Cách làm khá giống hệ trên, để ý rằng các hệ số ở vế trái cả hai phương trình đều khá

“đẹp” còn vế phải thì khá “xấu” nên ta tìm cách biến nó về hằng số).

Vì y=0 không là nghiệm của hệ do đó hệ được viết lại:

VD9. Giải hệ: (Trích KB-2008)

“Cũng như hai hệ trên đây là hệ dễ. Từ phương trình (2) rút xy ra thay vào (1) thì ta sẽ

được phương trình một biến”

Hƣớng giải:

47

Hệ được viết lại:

Thay (2) vào (1) ta có:

“Nhân hai vế với 4 để được hệ số nguyên và nhập vào máy cho nhanh”

TH1: x = 0 hệ vô nghiệm.

TH2:

KL: Hệ có nghiệm duy nhất:

48

PHỤ LỤC 13: ÁP DỤNG TRONG PHƢƠNG PHÁP (Nhân liên hợp – Lũy thừa - Biến đổi – Lượng giác hóa)

+ Những KỸ THUẬT trên chỉ áp dụng cho đa thức nhưng phần lớn những bài trong đề

thi đại học lại có căn (Hệ vô tỷ). Có thể nói nhân liên hợp là cách khử căn hay dùng

nhất, ngoài ra ta còn có cách đổi biến, lũy thừa hai vế (bình phương, lập phương,...),

lượng giác hóa,…để đưa về đa thức.

+ Khi giải hệ phương trình một vấn đề cực quan trọng là ta phải có hướng giải. Nếu

dạng đa thức thì dùng KỸ THUẬT 6, còn dạng căn thức ta dùng lệnh

cho phải căn cứ vào điều kiện đề bài, ta phân ra làm 3 dạng sau:

Dạng 1. X và Y gán đƣợc bằng là, phƣơng trình cho nghiệm hữu tỷ với cả X và Y

Xét phương trình: “gán 1000”

Y=1000, X = Nhập vào máy:

là nhân tử chung. 1000 cho

Dạng 2. X hoặc Y không gán là 1000, phƣơng trình cho nghiệm vô tỷ với X hoặc Y

a, Xét phương trình: “gán -1000”

cho Y=-1000, X=1000 Nhập vào máy:

là nhân tử chung ta được:

b, Xét phương trình “coi x là y, coi y là x”

cho Y=1000, X=-1000 Nhập vào máy:

là ta được:

nhân tử chung

Dạng 3. X và Y không gán bằng 1000, -1000 vì không thuộc tập điều kiện.

Xét phương trình: Đk: “gán ”

49

Nhập vào máy: cho

được

Đặt thì phương trình:

+ Khi giải quyết một trong hai phương trình của hệ mà ta đã thử bấm máy như trên mà

không cho kết quả là hữu tỷ thì:

- Đối với hệ hữu tỷ: xem “KỸ THUẬT 9 - KỸ THUẬT 10”.

- Đối với hệ vô tỷ: cộng hoặc trừ hai phương trình cho nhau.

1. PHƢƠNG PHÁP NHÂN LIÊN HỢP.

có lượng liên hợp là +

+ Khi nhân liên hợp nhất định phải tìm hết mọi nghiệm “xem lại KỸ THUẬT 5”.

+ Ta biết x = x0 là nghiệm của phương trình f( x)

Mà theo định lý Bơzu nếu x = a là nghiệm của đa thức P(x) thì P(x) = (x - a)P1(x). Từ

đó ta có nhận xét: Nếu x = x0 là một nghiệm của phương trình f(x) = 0 thì ta có

thể đưa phương trình f(x) = 0 về dạng (x - x0)f1(x) = 0 và khi đó việc giải phương

trình f(x) = 0 quy về giải phương trình f1(x) = 0.

a. Phƣơng trình: có một nghiệm

- Thay vào h(x) mà thì nhân liên hợp luôn.

VD: đk:

Nhẩm được một nghiệm mà , do đó ta nhân liên

hợp luôn cho vế trái.

Phương trình: …

50

- Thay vào h(x) mà thì thêm bớt 2 vế với a với

VD1: Đk:

Nhẩm được 1 nghiệm x=3, xét với x=3

Do đó Pt(1):

Xét: cho .

Phương trình viết thành:

Phương trình (*) vô nghiệm với .

VD2: Giải Phương trình: (Trích KB-2010)

Làm tương tự phương trình viết lại:

VD3: Giải Phương trình:

Làm tương tự phương trình viết lại:

b. Phƣơng trình: có hai nghiệm

Trừ 2 vế đi (ax+b) với , thay vào để tìm a, b

VD1: Giải Phương trình: (Trích KB-2013)

Nhập vào máy “Nhớ nhấn để lưu lại”

X=10 cho x=1, nhập tiếp

X=1 cho x=0 là nhân tử.

Xét: cho x=0 và x=1 vào ta được hệ:

Phương trình được viết lại:

51

VD2: Giải phương trình: “có nghiệm bội”

Nhập vào máy: với ta chỉ

được một nghiệm nhập thêm vào:

với máy hiện Can’t Solve. Ta nhấn hai giá trị

ngay trước và sau nghiệm nếu được hai giá trị trái dấu chứng tỏ có nghiệm

bội là

Trước tiên ta tách sao cho có nghiệm bội

với ta được

phải có nghiệm kép tức là

Phương trình:

Tách . Xét (*) cho ta được: (1)

Bình phương (*) rồi cho ta được: (2) từ đó

Phương trình: đến đây ta mới nhân

liên hợp.

c. Phƣơng trình:

Tách h(x) sao cho là tổng, hiệu của rồi nhóm nhân tử để đưa về dạng 1

d. Phƣơng trình:

- Là dạng liên hợp có hai biến. Dùng KỸ THUẬT 5 và 6.

- Lấy nếu thấy có thì xong, không

thì thử cộng trừ hai phương trình lại.

e. Dạng tổng quát:

52

2. PHƢƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN.

- Ta đặt các căn sao cho khi thay ngược lại không còn căn. (chú ý đặt điều kiện cho

biến mới)

- Thường bậc của ẩn x, y trong căn nhỏ hơn hoặc bằng bậc của x, y ngoài căn thì ta đổi

biến được.

VD1: Giải phương trình: Đk: (Trích KA-2009)

Đặt:

Ta được hệ:

KL: Phương trình có nghiệm duy nhất x=-2.

VD2: Giải phương trình: Đk:

(Trích KB-2011)

Đặt phương trình trở thành:

VD3: Đk:

Nhận xét: - Bình phương hai vế phương trình (1) ta được:

mà do đó khi

nhập phương trình (1) vào máy và cho Y=1000, X=1000 máy

sẽ báo Can’t Solve. Ta không vội bỏ qua để thử phương trình (2) “nhập

phương trình (2) vào máy sẽ không được gì”, mà thử cho Y=-1000.

cho Y=-1000, - Nhập vào máy:

X=1000 ta được: là

nhân tử.

- Ta sẽ khai thác phương trình (1), bình phương hai lần hai vế phương trình (1)

ta được phương trình hệ quả và dùng máy tách nhân tử chung.

53

hoặc đặt:

Tthay vào phương trình (1):

Lời giải: Đặt:

thay vào phương trình (1):

TH1: (vì )

thay vào phương trình (2): vô lý.

TH2:

thay vào phương trình (2):

“Bấm máy thấy vô nghiệm, hoặc bình phương hai

lần hai vế rồi dùng KỸ THUẬT 8 chứng minh phương trình vô nghiệm hoặc đặt như

sau”

Đặt: phương trình: …

KL: Phương trình vô nghiệm.

3. PHƢƠNG PHÁP LŨY THỪA.

Thường dùng khi phương trình đơn giản, nghĩa là khi ta lũy thừa hai vế để mất căn được

phương trình với số mũ không quá cao.

VD1: Giải hệ: Đk: (Trích KA-2006)

Hệ:

54

Đặt do nên

Thay vào ta được hệ:

KL: Hệ có nghiệm duy nhất: (x;y)=(3;3)

VD2: Giải hệ: Đk: (Trích KB-2002)

Mũ 6 hai vế Pt(1) ta được:

TH1: y=x thay vào phương trình (2):

TH2: y=x-1

thay vào phương trình (2):

Kết hợp với điều kiện hệ có hai nghiệm:

VD3: Giải phương trình: Đk:

(Trích KD-2005)

Phương trình:

KL: Phương trình có nghiệm duy nhất x=3

55

4. PHƢƠNG PHÁP LƢỢNG GIÁC HÓA.

- Dấu hiệu nhận biết là trong phương trình xuất hiện các biểu thức:

- Một số phương pháp lượng giác hóa thường gặp.

Bài toán chứa Lƣợng giác hóa bằng cách đặt

5. CÁC VÍ DỤ TỔNG HỢP.

VD1: Giải hệ:

Nhận xét: Khi sử dụng phương pháp nhân liên hợp nhất thiết phải biết nhân tử chung,

ở đây là hai biến thì nhân tử chung tìm cách nào, KỸ THUẬT 6 tỏ ra rất ưu thế.

Nháp: Nhập vào máy phương trình (1):

Y=1000, X = 1000 cho là

bộ nhân tử chung.

Lời giải: ĐK: .

Từ (1) ta có: “Nhất thiết phải tách như thế

để có ”

56

Do (*) thay vào (2) ta được:

Cách khác: đặt ta được rồi nhân liên hợp như trên.

“Dùng máy nhẩm chỉ được 1 nghiệm ta nghĩ đến phương pháp hàm số hoặc bình

phương 2 vế đưa về bậc 4 rồi dùng KỸ THUẬT 7”

Cách 1: Xét hàm số:

Ta có:

Suy ra hàm số luôn đồng biến nên là nghiệm duy nhất.

Cách 2: Bình phương hai vế phương trình ta được phương trình hệ quả

VD2: Giải hệ: ĐK:

Phương trình (1): thay vào (2) ta có:

Cách 1: Phương trình (*):

Nháp: dùng máy ta nhẩm được 2 nghiệm x=4 và x=9

Tìm a, b sao cho thay lần lượt x=4, x=9 vào ta được hệ:

57

do đó phương trình viết thành:

Tách : Tìm a, b sao cho thay lần lượt x=4, x=9 vào

Ta được hệ:

Lời giải: Phương trình:

Xét phương trình (*):

Do đó: Hệ có hai nghiệm (x;y)=(4;5), (9;10)

Cách 2: Phương trình (*):

Xét hai hàm số:

Và

58

Có

Do đó hàm f(x) luôn đồng biến trên mỗi khoảng

g(x) luôn nghịch biến trên mỗi khoảng

Mà trên mỗi khoảng ta có nghiệm x=4 và x=9

KL: Hệ có hai nghiệm (x;y)=(4;5), (9;10)

VD3: Giải hệ:

Nháp: Nhập vào máy: cho Y=1000,

X=1000 máy hiện là nhân tử.

chắc chắn là phải nhóm nhành:

Hƣớng dẫn: ĐK:

Xét phương trình (1):

Mà

Thay vào (2) ta được: … .

VD4: Giải hệ: Đk: .

Lấy (1)+(2):

59

Mà:

Thay vào (2):

Ta có:

VD5: Giải hệ:

Nhận xét: Nhập vào máy Cho

Y=1000, X=1000 được 1000 vậy (x – y) là nhân tử và ta quyết định khai thác phương

trình (1). Vấn đề là khử căn bằng cách nào?. Bình phương hai vế cho dân dã.

Hƣớng dẫn: Với bình phương hai vế phương trình (1) ta được:

, Đặt:

Phương trình:

(3)

Vì và nên (*)

không là nghiệm của hệ

Do đó (3)

60

Thay y=x vào phương trình (2):

(TM), (loại), (loại),

(loại). KL:

VD6: Giải hệ: (Trích KB-2014)

Cách 1: Khi dùng KỸ THUẬT 6 ta không thu được gì. Trong phương trình (1) bằng

cách đổi biến ta sẽ khử được căn rồi tính tiếp.

ĐK: , Đặt:

Phương trình (1):

TH1: y=1 thay vào (2) ,y=1

TH2: thay vào (2)

Vì do đó

Cách khác: Từ (được

phương trình hệ quả, phải thử lại các nghiệm có thỏa mãn không ?)

KL: Hệ có hai nghiệm: (x;y)=(3;1),

61

Cách 2: Nháp: Từ Pt(1): Khi áp dụng KỸ THUẬT 6 khi

ta gán y=1000 thì để ý đến điều kiện thì ta phải cho . Ta được một bộ

nhân tử .

Khi coi x là biến, y=1000 ta chỉ được bộ nhân tử trên và đã bỏ qua các bộ nhân tử

dạng , đổi lại coi x=1000, y là biến thì ta sẽ quét hết các bộ nhân tử:

ta được thêm nhân tử (y-1).

Phương trình được tách thành: .

VD7: Giải hệ: (Trích KA-2014)

Nhận xét: Cũng như VD6 ta khử căn trước. Điều kiện:

Trong phương trình (1) đặt:

Mặt khác: (do thay a, b vào (1))

Thay vào (*):

thay vào phương trình (2):

với “Dùng máy tính nhẩm được x=3”

KL: (x;y)=(3;3).

62

VD8: Giải hệ:

VD9: Giải hệ:

Nhận xét: Cả hai ví dụ trên khi thử nhập vào máy và dùng các phương pháp trên cho mỗi

phương trình ta đều không thu được gì cho riêng lẻ từng phương trình cho dù có đổi biến,

gán … Những dạng này thì ta nghĩ đến kết hợp hai phương trình với nhau tùy

vào mỗi hệ, nhưng thường chỉ là thế hoặc cộng đại số thông thường.

Lời giải:

VD8: Từ phương trình (2): thay vào phương trình (1) ta được:

“Nhập vào máy ta được nhân tử: . Ta chọn cách đổi biến”

Đặt:

Phương trình (3) trở thành: (vì

)

TH1: thay vào phương trình (2):

VD9: Hướng giải: Nhân liên hợp cho pt (1) rồi thế vào pt (2)

63

PHỤ LỤC 14: ÁP DỤNG TRONG PHƢƠNG PHÁP HÀM SỐ 1. PHƢƠNG PHÁP:

Phương trình dạng: xét phương trình hàm y=f(t) liên tục trên D=[ ]

Nếu hàm số luôn luôn đồng biến hoặc nghịch biến với mọi t D thì ta có .

a

t

b

y=

f(b)

f(a)

Nhìn vào bảng biến thiên (trường hợp nghịch biến tương tự)

2. CÁC VÍ DỤ.

VD1: Giải hệ:

Cách 1: Phương trình (1): (*)

Nháp: Viết lại: VP(*)=

Đồng nhất với vế phải VP(*):

Hoặc ta làm như sau: Nhập vào máy cho

Y=1000, X=1000 được 1999 dễ dàng ta được

mà không cần dùng đồng nhất thức.

Lời Giải: Phương trình (1):

Xét hàm số:

Có hàm số luôn luôn đồng biến trên R

Ta được: thay vào (2):

64

TH1:

TH2: (vô nghiệm).

KL: Phương trình có 2 nghiệm:

Cách 2: Phương trình (1):

Ta chứng minh phương trình: vô nghiệm.

Cách 1:

Cách 2:

Và được rồi làm như trên.

VD2: Giải hệ: Đk: (Trích KA-2003)

Lời giải sai: Xét hàm số:

Ta có: , hàm số luôn luôn đồng biến trên D.

Do đó x=y thay vào phương trình (2): …Lời giải này sai!. Giải thích ?.

Lời giải đúng:

Phương trình (1):

thay vào (2):

65

Dùng KỸ THUẬT 8 chứng minh được phương trình: vô nghiệm.

KL: Vậy nghiệm của hệ phương trình là:

VD3: Giải hệ: (Trích KA-2012)

Cách 1. Nháp: Pt(1): (*)

(viết lại sao cho như dạng )

Đồng nhất hệ số với ta được:

Phương trình (1):

tới đây ta tìm cách chứng minh Xét hàm số:

được âm hay dương ?. Để ý phương trình (2) xem x, y có điều kiện gì.

Lời giải: Phương trình (1):

Phương trình (2):

Có

Xét hàm số:

Cho

66

Bảng biến thiên:

-

-1

3 +

-

0 -

0 +

thay vào (2):

KL: Phương trình có hai nghiệm:

Cách 2: Viết lại: pt(1)=

Nháp: Nhập vào máy với y=1000. Ta được x=1002 hay x

= y+2

Thực hiện phép chia:

Làm theo cách phương trình đặc trưng thì ta được ngay

Lời giải:

TH1: thay vào (2):

TH2:

Lấy : (vì x=0 không là nghiệm) thay vào (3)

(Vô nghiệm).

KL: Phương trình có hai nghiệm:

67

VD4: Giải hệ: (Trích KA-2010)

Nháp: “Cũng tư duy như thế khi đặt căn bằng t thì sẽ khử được căn !”

Đặt .

Phương trình (1) được viết lại:

Đến đây dùng máy ta được: và làm theo phương trình

hàm, hoặc tách nhân tử chung.

Lời giải: ĐK: .

Đặt . Phương trình (1) được viết lại:

Cách1: Xét hàm số

Có

Thay vào phương trình (2): (*) với

x = 0 và không là nghiệm.

Xét hàm số: “dùng máy tính chỉ

được 1 nghiệm nhớ đến phương pháp hàm số”

68

Có

hàm số nghịch biến trên . Vậy hệ có nghiệm duy nhất

Cách 2: Nháp: từ nhập vào máy:

X = 1000 được

là nhân tử chung.

Lời giải: ĐK: .

Đặt . Phương trình (1) được viết lại:

, (4) vô nghiệm vì

Từ (3) có Thay vào phương trình (2):

Ta có: với suy ra

“Vì nhẩm được 1 nghiệm ”

Vì và

Vậy hệ có nghiệm duy nhất:

69

VD5: Giải hệ: (Trích KA-2013)

Nháp: Phương trình (2) không có nhân tử chung, nhìn vào phương trình (1) thì thấy x,

y chuyển được về 2 vế ta sẽ nghĩ đến phương trình đặc trưng, nhưng có vẻ hơi khó ?

Nhập vào máy: cho Y=100, X=100

máy hiện

Ta có: rồi đặt và kiểu gì cũng có f(a)=f(y).

Cách 1. Điều kiện: , từ (2) ta có: .

Đặt phương trình (1):

Xét hàm số: ta có:

Phương trình (3) tương đương với thay vào (2):

Ta được:

Giải phương trình (*) “dùng máy tính chỉ nhẩm được 1 nghiệm y=1”

Xét hàm số: có do đó phương

trình chỉ có nghiệm duy nhất y=1; KL: Hệ có hai nghiệm:

Cách 2. “Do ta có nhân tử chung là ”

Điều kiện: , từ (2) ta có “dùng ”.

Phương trình (1)

thay vào (2) Ta được:

70

Xét phương trình (*):

(vì )

Cách khác từ: (*)

Nếu , Nếu

là nghiệm duy nhất của PT(*) KL: Hệ có hai nghiệm:

VD6: Giải hệ:

Cách 1: “Thoạt nhìn khó có thể là phương trình đặc trưng, nhưng sau khi nhân lượng

liên hợp cho phương trình (1) thì…”

Nháp: Từ phương trình (1): nhập vào máy

cho Y=1000, X=1000 được X=-2000

(x+2y) là nhân tử chung. Dùng phương trình đặc trưng thì có f(x)=f(-2y)

Giải: Do .

Phương trình (1):

Xét hàm số: có

“Lại một lần nữa ta phải c/m f‟(t) âm hay dương mà nhìn vào hệ thì không thấy điều

kiện gì”

Mặt khác từ phương trình (2) ta có:

Hàm số đồng biến .

71

Cách 2: Từ phương trình (1): nhập vào máy

cho Y=1000, X=1000 được X=-2000 là nhân tử chung. Ta

khử căn thức bằng lượng giác hóa

Giải: Đặt

Thay vào (1):

(vì )

(4) vô nghiệm vì

(3)

Thay vào phương trình (2)

đến đây có khá nhiều cách giải như nhân liên hợp, đặt căn

bằng t, lập phương hai vế … ĐS: (x;y)=(0;0),

VD7: Giải hệ:

HD: Từ (1) ta được

Nhận xét: Nhìn chung phương trình có dạng phương trình hàm thì tách được nhân tử

chung, nhưng khi nhân tử chung “thứ 2” khó đánh giá thì ta lên dùng phương trình hàm.

72

VD8: Giải hệ: Đk:

Phương trình (1):

Phương trình với rất khó đánh giá và

không tách được nhân tử chung. Kết hợp với phương trình (2) thì phương trình (2) vô

tỷ hai biến và không khai thác được gì. Đối với dạng bài này ta dùng phương trình

hàm.

Hƣớng giải:

Phương trình (1):

Xét hàm số:

Có thay vào phương trình (2):

đặt …

VD9: Đk:

Nháp: Nhập vào máy cho

được

Lời giải: Đk: Đặt thì phương trình (1):

Xét hàm số:

Có: hàm số luôn đồng biến trên [0;1],

Do đó thay vào (2):

73

KL: Hệ có nghiệm .

VD10: Giải hệ:

“Bài này khi dùng máy thử cho mỗi phương trình ta không thu được gì cho dù có dùng

các cách. Ta sẽ tìm cách kết hợp hai phương trình lại. Để ý ”.

Lời giải: Đk:

Từ phương trình (2):

thay vào (1):

TH1: thay vào phương trình (2):

, được hai nghiệm:

TH2: và thay vào phương trình (2):

Giải hệ (*) xét hàm số: trên

Ta có: cho

Do đó: suy ra hệ (*) vô nghiệm

Vậy hệ có hai nghiệm: .

74

VD11: Giải hệ:

Nháp: Dùng máy tính cho phương trình (1) ta không thu được gì!

Nhập phương trình 2 vào máy, nhưng chỉ để ý một chút thì ta không nhập

mà nhập chỉ để giảm

số mũ nếu có thể. Cho được

hay

Hướng giải: Đk:

Xét phương trình (2) đặt

Phương trình:

Cách 1: Phương trình: “do ta đã biết ”

rồi xét phương trình hàm

Cách 2: Vào tách nhân tử chung

Cả hai cách đều được thay vào phương trình (1) ta được:

nhập vào máy thay x là y, y là x ta được:

…

75

PHỤ LỤC 15: ÁP DỤNG TRONG BẤT PHƢƠNG TRÌNH Các bài giải toán trên máy chỉ dùng để giải các phương trình, đối với bất phương trình

phức tạp hơn nhiều so với phương trình. Ta tìm cách đưa nó về phương trình. Thực

chất của bài toán bất phương trình là quy về việc xét dấu của biểu thức trên miền xác

định D của nó (để ý đến nghiệm bội). Do đó các bất phương trình sẽ được quy về việc

giải phương trình f(x) = 0 sau đó lập bảng xét dấu của f(x) từ đó suy ra tập nghiệm.

1. PHƢƠNG PHÁP

Phương pháp dựa vào tính chất: Giả sử hàm số f(x) liên tục trên D. Nếu phương trình

f(x) = 0 vô nghiệm trên D thì f(x) không đổi dấu trên mỗi khoảng của D.

1. Tìm TXD: ?

2. Chuyển hết sang một vế rồi xét hàm số vế đó.

3. Thay dấu bất đẳng thức là dấu bằng và giải phương trình đó.

4. Lập bảng xét dấu cho hàm số. (tính giá trị hàm số tại giá trị trên mỗi khoảng).

5. Dựa vào bảng xét dấu kết luận.

2. CÁC VÍ DỤ

VD1: TXD: D=R.

Xét hàm số liên tục trên R.

Xét phương trình

Bảng xét dấu f(x):

x

-

+

3 0

-

+

f(x)

Hàm số f(x) liên tục và phương trình f(x)=0 vô nghiệm trên các khoảng

nên các khoảng này hàm số không đổi dấu.

Mà f(0) = -6 < 0, f(4) = 2,58 > 0. KL: Tập nghiệm của bất phương trình là

VD2: . (Trích KD-2014)

TXĐ:

Xét hàm số liên tục trên

Xét phương trình

76

Vì nên:

-2

Bảng xét dấu f(x):

x

2 +

-

+

-

0 f(x)

KL: Tập nghiệm

VD3: TXD:

Xét hàm số liên tục trên

Xét phương trình bình phương hai vế phương trình

Thay vào phương trình (*) chỉ có hai nghiệm thỏa mãn là: ,

Bảng xét dấu f(x):

-1

x

-

+

0 -

0 +

f(x)

Hàm số f(x) liên tục và phương trình f(x)=0 vô nghiệm trên các khoảng

nên các khoảng này hàm số không đổi dấu.

Mà f(-0.9) > 0, f(1) < 0, f(2) > 0.

KL: Tập nghiệm của bất phương trình là

VD4: . TXD: (Trích KD-2002)

Xét hàm số liên tục trên

Xét phương trình

Bảng xét dấu f(x):

-

2

0 x

3 +

-

f(x)

0 +

-

+

77

Hàm số f(x) liên tục và phương trình f(x)=0 vô nghiệm trên các khoảng

nên các khoảng này hàm số không đổi dấu.

Mà f(-1) > 0, f(2,5) < 0, f(4) > 0. KL: Tập nghiệm

VD5: TXD: (Trích KA-2005)

liên tục trên Xét hàm số

Xét phương trình

(vì )

Bảng xét dấu f(x):

2 x

10 +

-

+

-

0 f(x)

Hàm số f(x) liên tục và phương trình f(x)=0 vô nghiệm trên các khoảng

nên các khoảng này hàm số không đổi dấu.

Mà f(3) > 0, f(12) < 0. KL: Tập nghiệm

VD6: TXD: (Trích KA-2004)

Xét hàm số liên tục trên

Xét phương trình

Bảng xét dấu f(x):

10 -

4 x

+

-

0 +

f(x)

Hàm số f(x) liên tục và phương trình f(x)=0 vô nghiệm trên các khoảng

nên các khoảng này hàm số không đổi dấu.

Mà f(4,1) < 0, f(5) > 0. KL: Tập nghiệm của bất phương trình là

78

VD7: TXD: (Trích KA – 2010)

Xét hàm số liên tục trên

Xét phương trình

Đặ

Bảng xét dấu f(x): (không cần cũng được)

+

0 x

-

0 -

f(x)

Hàm số f(x) liên tục và phương trình f(x)=0 vô nghiệm trên các khoảng

nên các khoảng này hàm số không đổi dấu.

Mà f(0,2) < 0, f(1) < 0. KL: Tập nghiệm của bất phương trình là

VD8: TXD:

Xét hàm số liên tục trên

Xét phương trình:

Đặt

Phương trình:

79

Bảng xét dấu:

x

-

0 +

-

0 +

f(x)

Hàm số f(x) liên tục và vô nghiệm trên các khoảng và nên các

khoảng này hàm số không đổi dấu.

Mà f(1) = -6 < 0, f(9) =180 > 0, f(25) =-8118 < 0,

KL: Tập nghiệm của bất phương trình là

VD9: (Đề thi minh họa – kỳ thi THPT Quốc Gia năm

2015 – của BGDĐT).

TXD:

Xét hàm số liên tục trên D

Xét phương trình:

(loại), (loại), (TM), (loại)

Bảng xét dấu:

1+

x

-

+

-

+

0 f(x)

Hàm số f(x) liên tục và vô nghiệm trên các khoảng nên

các khoảng này hàm số không đổi dấu.

Mà ,

KL: Tập nghiệm của bất phương trình là

VD10: (Đề thi thử THPT Quốc Gia chuyên Lê Quý Đôn-2015)

TXD:

Xét hàm số xác định và liên tục trên D

Xét phương trình

80

vì

Nên phương trình:

Đặt .

Phương trình:

Ta sẽ chứng minh phương trình (*) vô nghiệm:

TH1:

TH2:

Do đó:

Bảng xét dấu:

0 x

-

+

-

+

0 f(x)

KL: Tập nghiệm của bất phương trình là

81

PHỤ LỤC 16: PHÉP CHIA ĐA THỨC CHO ĐA THỨC CÕN PHẦN DƢ

 KỸ THUẬT 11

Ta đã biết dư D thì

VD1:

+ Nhập vào máy:

+ Nhấn gán hiện là phần nguyên.

+ Nhập lại:

+ Nhấn gán máy hiện -7

+ Thử lại:

+ Nhấn gán bất kỳ, cho 0 được kết quả chính xác.

Kết quả:

VD2:

+ Nhập vào máy:

+ Nhấn gán hiện

+ Nhập lại:

+ Nhấn gán máy hiện

+ Thử lại:

+ Nhấn gán bất kỳ, máy hiện 0 là đúng.

Kết quả:

Nhận xét: Ta không nhập phép chia dưới dạng mà nhập dạng như trên để

dễ sửa. Không bỏ qua bước thử lại.

82

VD3:

Nhận xét: Bài này mũ khá lớn, khi dùng KỸ THUẬT này có một lỗi nhỏ chưa giải thích

được nhưng có cách khắc phục thông qua bước thử lại.

+ Nhập vào máy:

gán hiện: là phần + Nhấn

nguyên.

+ Nhập lại:

+ Nhấn gán máy hiện

+ Thử lại:

+ Nhấn gán bất kỳ nhỏ hơn 640, máy hiện 5, ta trừ đi 5 nghĩa là:

Kq:

“Đây là một kết quả chính xác, nhưng trong bước thử lại không rõ nguyên nhân tại sao

khi thử với thì đúng còn thì sai, nghĩa là , ở bước

trên đúng ra máy phải cho thay vào đó máy lại cho ”

VD4: (Ta nhân tử số với mục đích để cho nó nguyên)

+ Nhập vào máy:

+ Nhấn gán hiện phần nguyên.

+ Nhập lại:

+ Nhấn gán máy hiện

Kq:

83

PHỤ LỤC 17: TÁCH PHÂN SỐ THÀNH TỔNG CÁC PHÂN SỐ

 KỸ THUẬT 12

1. Mẫu là tích các đơn thức

Để tính A ta nhân cả hai vế với mẫu của A rồi cho mẫu của A bằng 0 (tương tự cho B, C)

Ta được: ;

2. Mẫu chứa nghiệm bội

và Ta chỉ tính nhẩm được

Còn B thì dùng máy:

3. Mẫu chứa đa thức vô nghiệm

- Tìm A:

- Nhập vào máy: (thay x là y)

+ Tìm C trước thay C là X , ta nhấn

cho y = 0, B = 0, X bất kỳ ta được C = X = 3

+ Tìm B: Sửa lại C thay là 3, B thay là X nhấn

cho y = bất kỳ khác 0 và khác nghiệm của mẫu, X = bất kỳ ta

được B = X = -1

84

PHỤ LỤC 18: PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC

 KỸ THUẬT 13

Trong phương trình đại số hay phương trình vô tỷ, khi nhẩm được một nghiệm x=a

thì ta có thể tách, ghép, thêm, bớt để biến đổi về phương trình có nhân tử chung là (x-a).

Tuy nhiên khi biết một nghiệm của phương trình lượng giác thì có thể nhiều cách làm xuất

hiện các nhân tử chung khác nhau.

Chẳng hạn, ứng với nghiệm x=30o hay thì nhân tử chung có thể là

- Tùy theo đề bài hệ số là nguyên hay hệ số hữu tỷ mà ta chọn cho thích hợp, tất nhiên

có những bài tuy nhẩm được nghiệm “đẹp” ta khó có thể tách thành nhân tử chung cho dù

theo lý thuyết thì bài nào cũng tách được nhưng khi tách ra nó làm bài toán thêm phước

tạp hơn.

VD1: 1-sinx-cosx=0 Nhẩm được nghiệm là x=0 hoặc x=90o, ta có bộ nhân tử chung là (1-sinx) hoặc (1-cosx)

hoặc (sinx) hoặc (cosx). Ta chọn bộ nào mà khi tách ra nó cũng phước tạp hơn.

VD2: (1-sinx)- =0 rõ ràng đã xuất hiện nhân tử (1-sinx)

Nhưng làm theo cách này thì dài hơn.

“Thường khi gặp loại này ta giải theo cách của phương trình a.sinx+b.cosx+c=0 hoặc đại

số hóa”.

- Khi ta nhẩm được nghiệm x=60o tức x= thì ta có các bộ nhân tử chung (2cosx-1)

)…

hoặc (2sinx- Tương tự x=45o, x=135o,… các bạn tự suy ra bộ nhân tử chung ?.

- Cách nhẩm các nghiệm bằng máy tính bỏ túy các em dùng lệnh SOLVE. Nên cho

X=60 hoặc 30 hoặc 45 vì thường phương trình có nghiệm như thế để máy tính nhẩm cho

nhanh, (Phải để chế độ độ)

VD1: Giải phương trình: 9sinx + 6cosx -3sin2x + cos2x = 8.

Nhận xét: ta nhẩm được nghiệm là x=90o, các hệ số đều nguyên, ta có các bộ nhân

tử chung là (sinx-1) hoặc (cosx). Ở đây ta chọn (sinx-1).

Pt: (9sinx-9) + (6cosx-6sinx.cosx) + 2-2sin2x=0. đến đây đã quá dễ dàng!.

VD2: Giải phương trình:

Nhận xét : “Ta nhẩm được ngiệm x=45o vậy ta sẽ có nhân tử chung là (sinx-cosx)”

85

HD: Điều kiện: và tanx

ĐS:

VD3: (Trích đề KA-2012):

Nhận xét: “Ta nhẩm được nghiệm x=90o nhân tử chung là cosx hoặc (sinx-1) ta

nhìn được ngay là cos2x+1 và sin2x có cosx nên chọn cosx là nhân tử dễ quá cũng không

chấp kiếm bài khó hơn ít”.

VD4: Giải phương trình:

Phương trình được viết: Nhận xét: “Ta nhẩm được nghiệm x=45o nhân tử chung là (sinx-cosx)”

Nhìn lại ta thấy: số hạng thứ nhất và thứ 3 nếu nhóm vào nhau xuất hiện (sinx-cosx) còn

lại 1- = (sinx-cosx)2.

VD5: Giải phương trình:

Nhận xét: “Ta nhẩm được nghiệm x=60o nhân tử chung hoặc (2cosx-1).

Trong phương trình ta thấy xuất hiện vậy ta chọn là nhân tử”

Phương trình:

86

PHỤ LỤC 19: ÁP DỤNG TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƢƠNG PHÁP TIẾP TUYẾN.

 KỸ THUẬT 14

Cho . Tìm Min, Max của:

Cách làm: Tìm a, b sao cho: với mọi . Dấu bằng xảy ra khi

Tương tự ta chứng minh được:

Suy ra

+ Tìm a: Nhấn máy hiện trong nhập biểu thức ,

thì nhập nhấn giá trị của a.

+ Tìm b: nhập vào máy (a là giá trị vừa tìm được) cho nhấn

giá trị của b.

VD1: Cho và . CMR:

Nháp: Ta tìm a, b trong biểu thức:

Tìm a: Nhấn nhập nhấn ta được .

Tìm b: Nhấn Nhập cho được

Lời giải:

Xét:

. Tương tự: Và

Từ đó:

87

. Đạt được khi: .

Bài Tập trƣơng tự:

1. Cho và . CMR: .

2. Cho x>0, y>0 và . CMR:

VD2: Cho thỏa mãn .

CMR:

Lời giải: (Trước hết ta đưa mỗi phân số về một biến)

Ta có: (vì )

Mặt khác:

. Tương tự: và

với Ta phải chứng minh:

thỏa mãn .

Đặt: và

“nhập nhấn ta được , tìm b: nhập vào máy: cho

được ”

(vì ) Xét:

. Tương tự: và

Do đó:

Đạt được khi:

88

VD3. Cho thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của:

Lời giải:

“nhập nhấn ta được , tìm b: nhập vào máy: cho

được ”

Xét: (vì )

. Tương tự: và

Do đó: . Vậy đạt được khi .

VD4. Cho thỏa mãn . CMR:

Nháp: Do biểu thức điều kiện nên dạng bài này có sự khác biệt một chút.

Ta cần tìm sao cho:

Nhập nhấn ta được , tìm : nhập vào máy: cho

được

Lời giải: Xét:

) (vì

Suy ra: . Tương tự: và:

Do đó Đạt được khi .

89

VD5. Cho x, y > 0 thỏa mãn .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Từ giả thiết ta có:

“nhập nhấn ta được , tìm b: nhập vào máy: cho

được ”

Xét:

Tương tự: suy ra

Đặt . Xét hàm số:

Ta có:

-

+

-

6 4-

Vậy tại

VD6. Cho thỏa mãn . CMR:

BĐT

Nháp: Ta cần tìm sao cho:

Nhập nhấn ta được ,

tìm : nhập vào máy: cho được

Lời giải:

90

Xét:

Suy ra: . Tương tự: và

Do đó ta có:

dấu bằng xảy ra khi: Lại có:

VD7: Cho x, y, z là các số dương thoả mãn .

Chứng minh:

Lời giải: ta có:

“Tìm a: nhập vào máy nhấn ta được ,

Tìm b: nhập vào máy: cho được ”

Xét

(vì x,y,z>0 và nên )

Nên Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

Tương tự:

Do đó:

91

VD8: Cho ba số thực dương thoả mãn .

Chứng minh rằng: .

Hướng giải: Vì thoả mãn

Ta có:

Tương tự: và do đó bất đẳng thức cần chứng minh

tương đương: …

VD9. Cho thoả mãn .

Chứng minh rằng:

Lời giải:

Bất đẳng thức:

“Nháp: Ta cần tìm sao cho:

Nhập nhấn ta được ,

tìm : nhập vào máy: cho được ”

Xét: vì

Do đó

Tương tự: và

Nên