1
ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong chương trình toán học THPT các bài toán liên quan đến dãy
số là một phần quan trọng của đại số và giải tích lớp 11 , Học sinh thường
phải đối mặt với nhiều dạng toán khó liên quan đến vấn đề này và gặp khó
khăn trong vấn đề xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số. Đặc
biệt ở một số lớp bài toán khi đã xác định được công thức tổng quát của
dãy số thì nội dung của bài toán gần như được giải quyết
Để đáp ứng được một phần đề tài “ Xác định công thức tổng quát
của dãy số “ và kết hợp với sự tiếp cận “ Lý thuyết phương trình sai
phân “ qua một số chuyên đề mà bản thân tác giả đã được học
Nội dung của đề tài nhằm cung cấp một số phương pháp cơ bản xác
định công thức tổng quát của dãy số và có sự phân loại ở một số lớp bài
toán . Đây cũng là đề tài và bài giảng mà tác giả đã dạy cho học sinh , đặc
biệt là học sinh khá giỏi và lớp chọn, là tài liệu học sinh và đồng nghiệm
tham khảo
Trong đề tài này tác giả đã sử dung một số kết quả có tính hệ thống
của ‘ Lý thuyết phương trình sai phân “ . Tuy nhiên những vấn đề áp
dụng kiến thức toán học hiện đại chỉ dừng lại ở một số trường hợp đặc biệt
và giới hạn trong trường số thực .
Giới hạn của đề tài chỉ dừng lại ở việc xác định công thức tổng quát
của một số dãy số , từ đó có áp dụng vào một số bài toán cụ thể . Qua đó,
người đọc có thể trang bị thêm cho mình phương pháp xác định công thức
tổng quát của dãy số. Đặc biệt các thầy cô có thể tự kiểm tra kết quả và xây
dựng cho mình một lớp các bài toán về dãy số được trình bày trong đề tài
2
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC
TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ VÀ XÂY DỰNG BÀI
TOÁN VỀ DÃY SỐ
A. PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP MỘT
Phương trình sai phân tuyến tính cấp một là phương trình sai phân
dạng
*
1 1
, . . ,
n n n
u a u b u f n N
trong đó a,b,
là các hằng số ,a # 0 và
n
f
là biểu thức của n cho trước
Dạng 1
Tìm
n
u
thoả mãn điều kiện
1 1
, . . 0
n n
u a u b u
(1.1)
trong đó
, ,
a b
cho trước
*
n N
Phương pháp giải
Giải phương trình đặc trưng
. 0
a b
để tìm
Khi đó
n
n
u q
(q
là hằng số ) , trong đó q được xác định khi biết 1
u
Bài toán 1: Xác định số hạng tổng quát của cấp số nhân, biết số hạng đầu
tiên bằng 1 và công bội bằng 2
Bài giải Ta có
1 1
2 , 1
n n
u u u
(1.2)
Phương trình đặc trưng có nghiệm
2
Vậy
.2
n
n
u c
. Từ 1
1
u
suy ra
1
2
c
Do đó
1
2
n
n
u
Dạng 2
Tìm
n
u
thoả mãn điều kiện
*
1 1
, ,
n n n
u au bu f n N
(2 .1)
3
trong đó
n
f
là đa thức theo n
Phương pháp giải
Giải phương trình đặc trưng
. 0
a b
ta tìm được
Ta có
0 *
n n n
u u u
Trong đó
0
n
u
là nghiệm của phương trình thuần nhất (1.1) và
*
n
u
là nghiệm riêng tuỳ ý của phương trình không thuần nhất (2.1) Vậy
0
.
n
n
u q
q là hằng số sẽ được xác định sau
Ta xác định
*
n
u
như sau :
1) Nếu
#1
thì
*
n
u
là đa thức cùng bậc với
n
f
2) Nếu
1
thì *
.
n n
u n g
với
n
g
là đa thức cùng bậc với
n
f
Thay
*
n
u
vào phương trình, đồng nhất các hệ số ta tính được các hệ số của
*
n
u
Bài toán 2: Tìm
n
u
thoả mãn điều kiện
*
1 1
2; 2 ,
n n
u u u n n N
(2.2)
Bài giải Phương trình đặc trưng
1 0
có nghiệm
1
Ta có
0 *
n n n
u u u
trong đó
0 *
.1 ,
n
n n
u c c u n an b
Thay
*
n
u
và phương trình
(2.2) ta được
1 1 2
n a n b n an b n
(2.3)
thay n=1và n=2 vào (2.3) ta được hệ phương trình sau
3 2 1
5 4 1
a b a
a b b
Do đó
1
n
u n n
Ta có
0 *
1
nnn
u u u c n n
Vì 1
2
u
nên
2 1 1 1 2
c c
Vậy
2
2 1 , 2
n n
u n n hay u n n
Dạng 3
Tìm
n
u
thoả mãn điều kiện
4
*
1 1
, . . ,
n n n
u a u bu v n N
(3.1)
trong đó
n
f
là đa thức theo n
Phương pháp giải
Giải phương trình đặc trưng
. 0
a b
ta tìm được
Ta có
0 *
n n n
u u u
Trong đó 0
.
n
n
u c
, c là hằng số chưa được xác định ,
*
n
u
được
xác định như sau :
1) Nếu
#
thì *
.
n
n
u A
2) Nếu
thì *
. .
n
n
u A n
Thay
*
n
u
vào phương trình (3.1) đồng nhất các hệ số ta tính được các hệ số
của
*
n
u
. Biết 1
,
u
từ hệ thức
0 *
nnn
u u u
, tính được c
Bài toán 3: Tìm
n
u
thoả mãn điều kiện
*
1 1
1; 3. 2 ,
n
n n
u u u n N
(3.2)
Bài giải Phương trình đặc trưng
3 0
có nghiệm
3
Ta có
0 *
n n n
u u u
trong đó 0 *
.3 , .2
n n
n n
u c u a
Thay *
.2
n
n
u a
vào phương trình (3.2) , ta thu được
1
.2 3 .2 2 2 3 1 1
n n n
a a a a a
Suy ra
2
n
n
u
Do đó
.3 2
n
n
u c n
vì 1
1
u
nên c=1 Vậy
3 2
n n
n
u
Dạng 4
Tìm
n
u
thoả mãn điều kiện
*
1 1 1 2
, . ,
n n n n
u a u bu f f n N
(4.1)
Trong đó
1
n
f
là đa thức theo n và 2
.
n
n
f v
Phương pháp giải
Ta có
0 * *
1 2
n n n n
u u u u
Trong đó
0
n
u
là nghiệm tổng quát của phương
trình thuần nhất 1
0
n n
au bu
,
*
n
u
là một nghiệm riêng của phương trình
5
không thuần nhất
1 1
. .
n n n
a u b u f
,
*
2
n
u
là nghiệm riêng bất kỳ của phương
trình không thuần nhất
1 2
. .
n n n
a u b u f
Bài toán 4: Tìm
n
u
thoả mãn điều kiện
2 *
1 1
1; 2 3.2 ,
n
n n
u u u n n N
(4.2)
Bài giải Phương trình đặc trưng
2 0
có nghiệm
2
Ta có
0 * *
1 2
n n n n
u u u u
trong đó 0 * 2 *
2
.2 , . . , .2
n n
n n n
u c u a n b n c u An
Thay
*
n
u
vào phương trình
2
12.
n n
u u n
, ta được
2
2 2
1 1 2 2 2
a n b n c an bn c n
Cho n=1 , n=2 ta thu được hệ phương trình
2 1 1
4 2
2 2 9 3
a c a
a b c b
a b c c
Vậy * 2
1
2 3
n
u n n
thay
*
2
n
u
vào phương trình 1
2. 3.2
n
n n
u u
Ta được
1
3
1 2 2 .2 3.2 2 1 2 3
2
n n n
A n An A n An A
Vậy
* 1
2
3
.2 3 .2
2
n n
n
u n n
Do đó
2 1
.2 2 3 3 .2
n n
n
u c n n n
. Ta có 1
1
u
nên
1 2 2 3 0
c c
Vậy 1 2
3 .2 2 3
n
n
u n n n
B. PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI
Phương trình sai phân tuyến tính cấp một là phương trình sai phân
dạng
*
1 2 1 1
, , . . ,
n n n n
u u a u bu c u f n N