Së gd®t qu¶ng b×nh
TR¦êNG THPT Sè 1 Bè TR¹CH
------
S¸NG KIÕN KINH NGHIÖM
§Ò TµI
øng dông tÝch ph©n
®Ó gi¶i c¸c bµi to¸n tæ hîp
Gi¸o viªn thùc hiÖn:
NguyÔn H÷u QuyÕt
Tæ:
To¸n
N¨m häc:
2012-2013
Bố Trạch, tháng 4 năm 2013
Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com
Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết
1
MỤC LỤC
Trang
PHẦN MỞ ĐẦU ................................................................................................2
1. Lí do chọn đề tài ...............................................................................................2
2. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu............................................. ….2
3. Phương pháp nghiên cứu.................................................................................. 2
NỘI DUNG..........................................................................................................3
1. Nhị thức Newton...............................................................................................3
2. Các dấu hiệu nhận biết sử dụng phương pháp tích phân................................. ..3
3. Các dạng toán tổ hợp ứng dụng tích phân ........................................................ 4
3.1. Tính tích phân dựa vào hàm đa thức cơ bản ...................................................4
3.2. Giải các bài toán tổ hợp dựa vào tích phân cho trước.................................... 9
3.3. Tính tích phân dựa vào hàm đa thức cơ bản sau khi đã nhân thêm hàm số vắng
........................................................................................................................... 12
4. Bài tập đề nghị............................................................................................... 14
THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM .......................................................................... 16
1. Kết quả từ thực tiễn........................................................................................ 16
2. Kết quả thực nghiệm...................................................................................... 16
KẾT LUẬN ...................................................................................................... 19
TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................. 20
Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com
Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết
2
PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Trong những năm gần đây, các bài toán của Đại số tổ hợp thường xuất hiện
trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng khá nhiều. Trong nội dung này
có một số bài toán ứng dụng tích phân để giải quyết. Tuy nhiên, tích phân được học
ở trong chương trình lớp 12, còn tổ hợp được học ở trong chương trình lớp 11. Hệ
thống các bài tập ở sách giáo khoa và sách bài tập về ứng dụng tích phân để giải các
bài toán tổ hợp thì không được trình bày, học sinh không được rèn luyện kỹ năng
này trên lớp. Do đó, khi gặp bài toán này ở các đề thi Đại học và Cao đẳng, học sinh
phần lớn không làm được.
Nhằm giúp học sinh vận dụng được tích phân để giải các bài toán tổ hợp,
chuẩn bị tốt cho các kỳ thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng sắp tới, tôi chọn đề
tài “Ứng dụng tích phân để giải các bài toán tổ hợp” làm sáng kiến kinh nghiệm
của mình.
2. Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu
- Học sinh lớp 12A1, 12A2, 12A3 trường THPT số 1 Bố Trạch, Quảng Bình.
- Các bài toán của Đại số tổ hợp có sử dụng tích phân để giải quyết.
3. Phương pháp nghiên cứu
Trong quá trình nghiên cứu, sáng kiến kinh nghiệm sử dụng những phương
pháp sau: nghiên cứu lý luận, điều tra quan sát thực tiễn, thực nghiệm sư phạm.
Trên cơ sở phân tích kỹ nội dung chương trình của Bộ giáo dục và Đào tạo, cấu
trúc đề thi tuyển vào Đại học và Cao đẳng của mỗi năm, phân tích kỹ đối tượng học
sinh mà mình đang giảng dạy (đặc thù, trình độ tiếp thu, khả năng tự đọc, tự tìm
kiếm tài liệu học tập,…). Từ đó lựa chọn các bài tập cụ thể giúp học sinh vận dụng
hoạt động năng lực tư duy và kỹ năng vận dụng kiến thức của mình để đưa ra lời giải
đúng cho bài toán.
Do khuôn khổ của sáng kiến, ở mỗi phần tôi xin không nhắc lại các kiến thức
cơ bản về đại số tổ hợp và tích phân vì những kiến thức này được trình bày chi tiết
trong sách giáo khoa trung học phổ thông, mà chỉ nhắc lại công thức khai triển nhị
thức Newtơn và đi chú trọng các bài tập tổ hợp có sử dụng tích phân để giải quyết.
Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com
Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết
3
NỘI DUNG
1. Nhị thức Newton
Cho n là số nguyên dương, a và b là hai số thực.
n
n
0 n 1 n 1 2 n 2 2 n n k n k k
n n n n n
k 0
a b C a C a b C a b ... C b C a b
Nhận xét:
- Trong khai triển
n
a b
có n + 1 số hạng.
- Tổng các số mũ trong mỗi số hạng của khai triển
a b
bằng n.
- Các hệ số của các số hạng có tính chất đối xứng: k n k
n n
C C k , k n
n
n n n 1 n 1 2 n 2 2 0 n
n n n n
a b C a C a b C a b ... C b
- Nếu sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của a thì số hạng tổng quát thứ k + 1 trong
khai triển
n
a b
là
k n k k
n
C a b
Chú ý:
1)
n
0 n 1 n 1 2 n 2 2 3 n 3 3 n n n
n n n n n
a b C a C a b C a b C a b ... ( 1) C b
2)
n 0 1 2 3 n
nnnn n
2 C C C C ... C
3)
0 1 2 3 n n
n n n n n
0 C C C C ... ( 1) C
2. Các dấu hiệu nhận biết sử dụng phương pháp tích phân
Nếu trong tổng dãy tổ hợp, các số hạng chứa các phân số
1 1 1 1
1; ; ; ;...; ;...
2 3 4 n
và
mẫu số được xếp theo thứ tự tăng hoặc giảm đều theo một quy luật nào đó, ta nghĩ
ngay đến việc sử dụng tích phân. Khi đó, ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Tìm hàm để tính tích phân với các cận thích hợp.
Bước 2: Tính tích phân trong cả hai vế: vế chưa khai triển nhị thức Newton và vế đã
khai triển.
Bước 3: Cho hai kết quả bằng nhau và kết luận.
Chú ý: Khi mỗi hệ số trong tổ hợp có dạng
k k
b a
, ta chọn cận từ a đến b, tức là
b
a
f x dx
Sáng kiến kinh nghiệm 2012-2013 www.VNMATH.com
Giáo viên: Nguyễn Hữu Quyết
4
Trước khi đi vào các bài toán cụ thể, ta cần nhớ các đẳng thức tích phân sau:
b b
n0 1 2 2 n n
n n n n
a a
b
b
n 1 2 3 n 1
0 1 2 n
n n n n
a
a
1) 1 x dx C C x C x ... C x dx
1 x x x x
C x C C ... C
n 1 2 3 n 1
b b
n n
0 1 2 2 n n
n n n n
a a
b
b
n 1 2 3 n 1
n
0 1 2 n
n n n n
a
a
2) 1 x dx C C x C x ... 1 C x dx
1 x x x x
C x C C ... 1 C
n 1 2 3 n 1
b b
n0 n 1 n 1 2 n 2 n
n n n n
a a
b
b
n 1 n 1 n n 1
0 1 2 n
n n n n
a
a
3) x 1 dx C x C x C x ... C dx
x 1 x x x
C C C ... C
n 1 n 1 n n 1
b b
n n
0 n 1 n 1 2 n 2 n
n n n n
a a
4) x 1 dx C x C x C x ... 1 C dx
b
b
n 1 n 1 n n 1 n
0 1 2 n
n n n n
a
a
x 1 x x x
C C C ... 1 C
n 1 n 1 n n 1
Ta sẽ gọi hàm số
n
y x 1
và
n
y x 1
là các hàm đa thức cơ bản.
3. Các dạng toán tổ hợp ứng dụng tích phân
3.1. Tính tích phân dựa vào hàm đa thức cơ bản
Bài 1. Cho
*
n
. Tính tổng:
2 3 n 1
0 1 2 n
n n n n
2 1 2 1 2 1
S C C C ... C
2 3 n 1
(ĐH Khối B-2003)
Phân tích: Vế trái có chứa các phân số, mẫu số được xếp theo thứ tự tăng đều một
đơn vị, ta nghĩ ngay đến việc sử dụng tích phân. Bây giờ, ta suy nghĩ hàm lấy tích