Sổ tay Toán học lớp 12

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:41

Thêm vào BST

Báo xấu

18
lượt xem 9
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Cuốn "Sổ tay Toán học 12" gồm 41 trang, tóm tắt các kiến thức và công thức trọng tâm trong chương trình môn Toán 12, giúp học sinh lớp 12 thuận tiện tra cứu trong quá trình giải các bài tập Giải tích 12 và Hình học 12. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sổ tay Toán học lớp 12

SỔ TAY TOÁN HỌC 12 Họ và tên: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lớp: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 | Trang Đường tròn lượng giác Công thức lượng giác Công thức cơ bản sin x cos x 1 sin2 x + cos2 x = 1 2 tan x = 3 cot x = cos x sin x 1 1 4 tan x. cot x = 1. 5 = 1 + tan2 x. 6 = 1 + cot2 x cos2 sin2 x Kỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam 1
2 | Trang Hai cung đối nhau: (− x) và x 1 cos(− x) = cos x 2 sin(− x) = − sin x 3 tan(− x) = − tan x 4 cot(− x) = − cot x Hai cung bù nhau: (π − x) và x 1 sin (π − x) = sin x 2 cos (π − x) = − cos x 3 tan (π − x) = − tan x 4 cot (π − x) = − cot x ³π ´ Hai cung phụ nhau: − x và x 2 ³π ´ ³π ´ 1 sin − x = cos x 2 cos − x = sin x 2 2 ³π ´ ³π ´ 3 tan − x = cot x 4 cot − x = tan x 2 2 Hai cung hơn, kém nhau π: (π + x) và x 1 sin (π + x) = − sin x 2 cos (π + x) = − cos x 3 tan (π + x) = tan x 4 cot (π + x) = cot x π ³π ´ Hai cung hơm, kém nhau : + x và x 2 2 ³π ´ ³π ´ 1 sin + x = cos x 2 cos + x = − sin x 2 2 ³π ´ ³π ´ 3 tan + x = − cot x 4 cot + x = − tan x 2 2 Công thức cộng 1 sin ( x ± y) = sin x. cos y ± cos x. sin y 2 cos ( x ± y) = cos x. cos y ∓ sin x. sin y tan x ± tan y 3 tan ( x ± y) = 1 ∓ tan x. tan y Kỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam 2
3 | Trang Công thức nhân đôi 1 cos 2 x = cos2 x − sin2 x = 2 cos2 −1 = 1 − 2 sin2 x 2 tan x 2 sin 2 x = sin x. cos x 3 tan 2 x = 1 − tan2 x Công thức hạ bậc 1 + cos 2 x 1 − cos 2 x 1 − cos 2 x 1 cos2 x = 2 sin2 x = 3 tan2 x = 2 2 1 + cos 2 x Công thức tổng thành tích x+ y x− y 1 sin x + sin y = 2 sin . cos 2 2 x+ y x− y 2 sin x − sin y = 2 cos . sin 2 2 x+ y x− y 3 cos x + cos y = 2 cos . cos 2 2 x+ y x− y 4 cos x − cos y = −2 sin . sin 2 2 sin ( x + y) sin ( x − y) 5 tan x + tan y = 6 tan x − tan y = cos x. cos y cos x. cos y Công thức tích thành tổng 1 1 cos x. cos y = [cos( x + y) + cos( x − y)] 2 1 2 sin x. sin y = − [cos( x + y) − cos( x − y)] 2 1 3 sin x. cos y = [sin( x + y) + sin( x − y)] 2 Cấp cố cộng 1 Dãy số ( u n ) được gọi là cấp số cộng u n+1 = u n + d , với n ∈ N∗ , d là hằng số ⋆ d = u n+1 − u n gọi là công sai. n n − u1 2 Số hạng tổng quát: u n = u 1 + ( n − 1) d , ( n ≥ 2)) hay d = . n−1 Kỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam 3
4 | Trang u k−1 + u k+1 3 Tính chất: u k+1 + u k−1 = 2 u k , ( k ≥ 2) hay u k = 2 n( u 1 + u n ) n [2 u 1 + ( n − 1) d ] 4 Tổng n số hạng đầu: S n = , (n ∈ N ) ; S n = 2 2 Cấp nhân 1 Dãy số ( u n ) được gọi là cấp số cộng u n+1 = u n .q , với n ∈ N∗ , q là hằng số u n+1 ⋆ q= gọi là công bội. un un 2 Số hạng tổng quát: u n = u 1 .q n−1 , ( n ≥ 2)), hay q n−1 = . u1 p 3 Tính chất: u2k + u k−1 .u k+1 hay | u k | = u k−1 .u k+1 , ( k ≥ 2). u 1 . ( q n − 1) 4 Tổng n số hạng đầu: S n = , ( q ̸= 0) q−1 Tổ hợp-xác suất Hoán vị Tập A gồm n phần tử ( n ≥ 1) 1 Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử. 2 Số các hoán vị của n phần tử là: P n = n! = 1.2 · n Chỉnh hợp Tập A gồm n phần tử ( n ≥ 1) 1 Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho Kỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam 4
5 | Trang n! 2 Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử: Akn = ( n − k)! Tổ hợp Tập A gồm n phần tử (n ≥ 1) 1 Mỗi tập hợp gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho. n! 2 Số các tổ hợp chập k của n phần tử: Ckn = , (0 ≤ k ≤ n) k!( n − k)! Xác suất 1 Giả sử A là biến cố liên quan đến phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. n( A ) 2 Xác suất của biến cố A là: P ( A ) = n(Ω) 3 Tính chất của xác suất ⋆ P (∅) = 0; P (Ω) = 1 ⋆ 0 ≤ P ( A ) ≤ 1, với mọi biến cố A . ⋆ P ( A ) = 1 − P ( A ), với mọi biến cố A . Bảng đạo hàm Nhóm đa thức 1 ( x n )′ = n.x n−1 2 ( u n )′ = n.u′ .u n−1 ¡p ¢′ 1 ¡p ¢′ u′ 3 x = p 4 u = p 2 x 2 u 1 1 1 µ ¶′ µ ¶′ u′ 5 =− 2 6 =− 2 x x u u Kỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam 5
6 | Trang Nhóm lượng giác 1 (sin x)′ = cos x 2 (sin u)′ = u′ . cos u 3 (cos x)′ = − sin x 4 (cos u)′ = − u′ . sin u 1 u′ 5 (tan x)′ = 6 (tan u)′ = cos2 x cos2 u 1 u′ 7 (cot x)′ = − 8 (cot u)′ = − sin2 x sin2 u Nhóm mũ 1 (a x )′ = a x ln a 2 (a u )′ = u′ .a u ln a 3 (e x )′ = e x 4 (eu )′ = u′ .eu Nhóm logarit ¢′ 1 ¢′ u′ loga x = ; ( x > 0) loga u = ; ( u > 0) ¡ ¡ 1 2 x ln a u ln a 1 u′ 3 (ln | x|)′ = 4 (ln | u|)′ = x u Quy tắc tính đạo hàm 1 ( u ± v)′ = u′ ± v′ 2 ( k.u)′ = k.u′ ³ u ´′ u′ .v − u.v′ 3 ( u.v)′ = u′ .v + u.v′ 4 = v v2 Tính đơn điệu hàm số Giả sử hàm số y = f ( x) có đạo hàm trên K • Nếu f ′ ( x) ≥ 0, ∀ x ∈ K và f ′ ( x) = 0 chỉ tại hữu hạn điểm x ∈ K thì hàm số y = f ( x) đồng biến trên K • Nếu f ′ ( x) ≤ 0, ∀ x ∈ K và f ′ ( x) = 0 chỉ tại hữu hạn điểm x ∈ K thì hàm số Kỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam 6
7 | Trang y = f ( x) nghịch biến trên K Các bước xét tính đơn điệu hàm số y = f ( x) x −∞ x1 +∞ Bước 1: Tìm tập xác định D y ′ − 0 + Bước 2: Tính đạo hàm f ′ ( x) và tìm +∞ +∞ nghiệm f ′ ( x) = 0, ( x1 .x2 ... ∈ D ) y Bước 3: Lập bảng biến thiên y( x1 ) Bước 4: Từ bảng biến thiên ta kết luận tính đơn điệu hàm số y = f ( x) Điều kiện đồng biến, nghịch biến hàm bậc 3 1 Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d , đồng biến trên R   a > 0 a > 0 ⇔ y′ ≥ 0, ∀ x ∈ R ⇔ ⇔ ∆ ′ ≤ 0  b2 − 3a.c ≤ 0 y 2 Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d , nghịch biến trên R   a < 0 a < 0 ⇔ y′ ≤ 0, ∀ x ∈ R ⇔ ⇔ ∆ ′ ≤ 0  b2 − 3a.c ≤ 0 y Điều kiện đồng biến, nghịch biến hàm nhất biến ax + b 1 Hàm số y = , đồng biến trên tâp xác định: ad − bc > 0 cx + d ax + b 2 Hàm số y = , nghịch biến trên tâp xác định: ad − bc < 0 cx + d ax + b 3 Hàm số y = , đồng biến trên khoảng (α; +∞) cx + d    y′ > 0  ad − bc > 0  ⇔ d ⇔ d  − ∉ (α; +∞)  − ≤ α  c c ax + b 4 Hàm số y = , nghịch biến trên khoảng (−∞; α) cx + d   y < 0 ad − bc < 0  ′  ⇔ d ⇔ d  − ∉ (−∞; α)  − ≥ α  c c Kỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam 7
8 | Trang Cực trị hàm số Hàm số y = f ( x) có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại x0 thì f ′ ( x0 ) = 0 Quy tắc 1 Bước 1: Tìm tập xác định. Tính x −∞ x1 +∞ đạo hàm f ′ ( x) y ′ − 0 + Bước 2: Tìm các điểm x i ( i = +∞ +∞ y 1; 2; ...) mà tại đó đạo hàm bằng yCT 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm. Bước 3: Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu f ′ ( x). Nếu f ′ ( x) đổi dấu khi đi qua x i thì hàm số đạt cực trị tại x i . Quy tắc 2 Bước 1: Tìm tập xác định. Tính f ′ ( x) Bước 2: Tìm nghiệm x i ( i = 1; 2; ...) của phương trình f ′ ( x) = 0 Bước 3: Tính f ′′ ( x) và tính f ′′ ( x i ) + Nếu f ′′ ( x i ) < 0 thì hàm số f ( x) đạt cực đại tại x i . + Nếu f ′′ ( x i ) > 0 thì hàm số f ( x) đạt cực tiểu tại x i . Đồ thị Điểm CĐ của đồ thị hàm số y GT CĐ của hàm số yCĐ Điểm CĐ của hàm số Điểm CT của hàm số xCT xCĐ O x yCT GT CT của hàm số Điểm CT của đồ thị hàm số Kỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam 8
9 | Trang Điều kiện cực trị hàm bậc 3 1 Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d có 2 cực trị: ∆ y′ > 0 ⇔ b2 − 3ac > 0 2 Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d không có cực trị: ∆ y′ ≤ 0 ⇔ b2 − 3ac ≤ 0   y′ ( x0 ) = 0 3 Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d , đạt cực đại tại x0 : ⇔  y′′ ( x ) < 0 0   y′ ( x0 ) = 0 4 Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d , đạt cực tiểu tại x0 : ⇔  y′′ ( x ) > 0 0 Điều kiện cực trị hàm trùng phương 1 Hàm số y = ax4 + bx2 + c có 3 cực trị ⇔ a.b < 0   a = 0 a ̸= 0 2 Hàm số y = ax4 + bx2 + c có 1 cực trị hoặc  b ̸= 0 a.b ≥ 0  a > 0 4 2 3 Hàm số y = ax + bx + c có 1 cực đại, 2 cực tiểu ⇔ b < 0  a < 0 4 Hàm số y = ax4 + bx2 + c có 2 cực đại, 1 cực tiểu ⇔ b > 0   a = 0 a < 0 5 Hàm số y = ax4 + bx2 + c có 1 cực đại hoặc b < 0 b ≤ 0   a = 0 a > 00 6 Hàm số y = ax4 + bx2 + c có 1 cực tiểu hoặc b > 0 b ≥ 0 Kỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam 9
10 | Trang Hình dáng đồ thị hàm bậc ba: y = ax3 + bx2 + cx + d y′ ; ∆ a>0 a 0 ′ x (có 2 nghiệm) O x y y y′ = 0, ∆ y′ = 0 x O (có nghiệm kép) O x y y y′ = 0; ∆ y′ < 0 O x (vô nghiệm) O x Hình dáng đồ thị hàm trùng phương y = ax4 + bx2 + c y′ ; a ; b a>0 a
11 | Trang ax + b Đồ thị hàm số nhất biến: y = cx + d ad − bc ad − bc y′ = >0 y′ = 0) k 1 a m .a n = a m+n 2 (a.b)n = a n .b n p 3 ak = a 2 am ³ a ´n a n p n k 4 n = a m− n 5 = n 6 ak = a n a b b Kỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam 11
12 | Trang 1 k qp 7 (a m )n = a m.n m n 8 a− n = 9 a k = a m.n an Lôrarit (0 < a, b, x ̸= 1) Tính chất 1 loga 1 = 0. 2 loga a = 1. 3 loga aα = α 1 4 logaα a = . 5 aloga b = b. α Tích-thương x µ ¶ 1 loga ( x.y) = loga x + loga y. 2 loga = loga x − loga y. y Đổi cơ số 1 1 log x a = . 2 loga x. log x a = 1 loga x 1 3 loga xα = α loga x. 4 logam x = loga x. m α logb x 5 logam xα = loga x. 6 loga x = . m logb a ln x 7 loga b. logb x = loga x. 8 loga x = . ln a Đặc biệt 1 loge a = ln a (lốc-nê-pe) 2 log10 a = log a (lốc thập phân) Hàm số lũy thừa y = xα , α ∈ R Kỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam 12
13 | Trang y α>1 α=1 Tập xác định: • D = R khi α nguyên dương 0
14 | Trang y y a>1 O 1 x O TCĐ: x = 0 1 x TCĐ: x = 0 01 0 loga b a > 0 ⇔ f ( x) < loga b f ( x) g ( x) f ( x) 2 cùng cơ số: a >a ⇔ f ( x) > g ( x) a > a g ( x) ⇔ f ( x ) < g ( x ) Kỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam 14
15 | Trang Sơ đồ a>1 f ( x) > g ( x) a f ( x) > a g ( x) f ( x) < g ( x) 0 0 loga f ( x) = b ⇔     f ( x) = a b loga f ( x) = loga g( x) ⇔ g( x) > 0    f ( x) = g ( x)  3 Đặt ẩn phụ: t = loga x. 4 Logarit hóa. Bất phương trình logarit 1 Cơ bản:    f ( x) > 0  f ( x) > 0 a>1 0 b −−−−−−→  f ( x) > a b  f ( x) < a b 2 Cùng cơ số:   g ( x) > 0 a>1 loga f ( x) > loga g( x) −−−−→  f ( x) > g ( x)   f ( x) > 0 0
16 | Trang Bảng nguyên hàm Nhóm đa thức Z Z 1 dx = x + C 2 kd x = kx + C x n+1 1 (ax + b)n+1 Z Z 3 xn dx = +C 4 (ax + b)n d x = +C n+1 a n+1 dx 1 dx 1 1 Z Z 5 2 =− +C 6 2 =− . +C x x (ax + b) a ax + b dx dx 1 Z Z 7 = ln | x| + C 8 = ln |ax + b| + C x ax + b a 1 1 ¯ x−a¯ 1 1 x Z Z 9 d x = ln ¯+C 10 d x = arctan + C ¯ ¯ x2 − a2 2a x2 + a2 ¯ x+a a a Nhóm mũ 1 ax+b Z Z 1 ex d x = ex + C 2 eax+b d x = e +C a ax 1 aα x+β Z Z 3 ax dx = +C 4 aα x+β d x = +C ln a α ln a Nhóm lượng giác 1 Z Z 1 cos xd x = sin x + C 2 cos(ax + b)d x = sin(ax + b) + C a 1 Z Z 3 sin xd x = − cos x + C 4 sin(ax+ b)d x = − cos(ax+ b)+C a dx dx 1 Z Z 5 = tan x + C 6 = tan(ax + b) + C cos2 x cos2 (ax + b) a dx dx 1 Z Z 7 = − cot x + C 8 =− cot(ax + b) + C sin2 x sin2 (ax + b) a Z 1 Z 9 tan xd x = − ln |cos x| + C 10 tan(ax + b)dx = − ln |cos(ax + b)|+ C a Z 1 Z 11 cot xd x = ln |sin x| + C 12 cot(ax + b)dx = ln |sin(ax + b)| + C a Kỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam 16
17 | Trang Tích phân Tích phân xác định Zb ¯b f ( x)d x = F ( x)¯ = F ( b) − F (a) ¯ a a Tính chất Za Zb Za 1 dx = 0 2 f ( x)d x = − f ( x)d x a a b Zb Zb Zb ¯b 3 k. f ( x)d x = k f ( x)d x 4 f ′ (x)dx = f (x)¯ = f (b) − f (a) ¯ a a a a Zb Zb Zb 5 [ f ( x) ± g( x)] d x = f ( x)d x ± g( x)d x a a a Zb Zc Zb 6 f ( x)d x = f ( x)d x + f ( x)d x, (a < c < b). a a c Phương pháp tích phân Phương pháp đổi biến số Z b Tích phân: I = f [ u( x)] .u′ ( x)d x. a đạo hàm ⋆ Đặt t = u( x) −−−−−−−−−−−−→ d t = u′ ( x)d x ⋆ Đổi cận: x = a ⇒ t = u(a); x = b ⇒ t = u( b). Z(b) u ⋆ I= f ( t)d t u ( a) Kỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam 17
18 | Trang Phương pháp từng phần Zb ¯b Zb Công thức: I = u( x).v ( x)d x = u( x).v( x)¯ − v( x).u′ ( x)d x ′ ¯ a a a Zb ¯b Zb Viết gọn: I = u.dv = u.v¯ − vd u. ¯ a a a Cách đặt: u và dv d u =−−đạo hàm    u = u ( x) −−−−−→ u′ ( x)d x Đặt: ⇒ dv = v′ ( x)d x nguyên hàm v =−−−−−−−−−→ v( x)  Diện tích hình phẳng Dạng 1 y y = f ( x) Zb   y = f ( x) (H ) (H ) : S= | f ( x)| d x O  y = 0; x = a; x = b a a b x Dạng 2 y y = f ( x) (H )  y = f ( x) Zb  y = g ( x)    (H ) : y = g( x) S = | f ( x) − g( x)| d x    x = a; x = b  a O a b x Dạng 3 y Zc Zb y = h( x) S= | h( x)| d x + | h( x)| d x a c c b Zc Zb O a x S= h( x)d x − h( x)d x a c Kỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam 18
19 | Trang Dạng 4 y y = f ( x) Zc Zd Zb S= f ( x)d x − f ( x)d x + f ( x)d x a c d c d O a b x Thể tích vật thể tròn xoay Dạng 1 Zb  (P ), (Q )⊥Ox V= S ( x)d x  x = a; x = b a Dạng 2 Zb   y = f ( x), Ox V = π. f 2 ( x)d x  x = a; x = b a Kỉ niệm 40 năm, ngày nhà giáo Việt Nam 19