SỬ DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT
CỦA HÀM SỐ
I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT
Cho hàm số xác định trên D
+Nếu ( ) ,
: ( )
o o
f x M x D
x D f x M
thì max ( )
x D
f x M
+Nếu ( ) ,
: ( )
o o
f x m x D
x D f x m
thì min ( )
x D
II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Ta thường gặp hai dạng bài toán sau:
Bài toán 1. Cho hàm số y=f(x) liên tục trên khoảng (a;b) (a có thể là -∞, b có thể là
+∞). Hãy tìm ( ; )
max ( )
a b
f x
và ( ; )
min ( )
a b
f x
(nếu chúng tồn tại).
Cách giải. Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng (a;b) rồi dựa vào đó mà kết
luận. Nếu trên khoảng (a;b) có một cực trị duy nhất là cực đại (hoặc cực tiểu), thì giá trị
cực đại đó là giá trị lớn nhất(giá trị cực tiểu đó là giá trị nhỏ nhất) của hàm số đã cho trên
khoảng (a;b).
Bài toán 2. Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] và chỉ có một số hữu hạn
điểm tới hạn trên đoạn đó. Hãi tìm [ ; ]
max ( )
a b
f x
và [ ; ]
min ( )
a b
f x
.
Cách giải 1. Để giải bài toán này , ta có thể áp dụng cách giải của bài toán trên, tức
là lập bảng biến thiên của hàm số trên đoạn [a;b] rồi dựa vào đó mà kết luận.
Cách giải 2.Ta có quy tắc sau đây:
1) Tìm các điểm tới hạn x1, x2, …., xn của f(x) trên đoạn [a;b].
2) Tính f(a), f(x1), f(x2), …, f(xn), f(b).
3)
1 2
[ ; ]
max ( ) max , , ,...,
a b
f x f a f x f x f b
;
1 2
[ ; ]
min ( ) min , , ,...,
a b
f x f a f x f x f b
III. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1
Tìm GTLN, GTNN của hàm số : (Bài tập 3a trang 66 Sgk)
3 2
3 9 35
y x x x
trên đoạn [-4;4]
Bài làm
Ta có: , 2
3 6 9
y x x
, , 2
1
0 3 6 9 0
3
x
y x x x
Cả hai giá trị này đều thuộc đoạn [-4;4]
f(-4)=-41, f(-1)= 40, f(3)= 8, f(4)=15
Vậy [ 4;4]
max ( ) 40
f x
và [ 4;4]
min ( ) 41
f x
.
Bài 2
Tìm GTLN, GTNN của hàm số : (Bài tập 3d trang 66 Sgk)
sin 2
y x x
trên đoạn
;
2 2
Bài làm
Ta có: ,
2cos2 1
y x
,
2 2
16
0 2cos2 1 0 cos2 2
2 2
6
x k
y x x
x l
Trên đoạn
;
2 2
phương trình trên có nghiệm là 2x = ±
3
6
x
3 3
, , ,
2 2 2 2 6 2 6 6 2 6
f f f f
Vậy max y =
2
, min y =
2
Bài 3
. Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số (Bài tập 3b trang 66 Sgk)
2
3 2
y x x
trên đoạn [-10;10]
Bài làm
Ta có
2
2
3 2, 10;1 2;10
3 2, 1;2
x x x
yx x x
,
2 3, 10;1 2;10
2 3, 1;2
x x
yx x
Bảng biến thiên
x -10 1
3
2
2 10
,
y
- + 0 - +
y(x)
132
1
4
72
0 0
Nhìn vào bảng biến thiên suy ra miền giá trị của y là [0;132]
[ ; ]
max ( ) 132
a b f x , [ ; ]
min ( ) 0
a b f x
Bài 4
.
Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số
1 2cos 1 2sin
f x x x
Bài làm.
Ta có
2
6 4(cos sin ) 21 2(cos sin ) 2sin 2
f x x x x x x
Đặt t=sinx + cosx (
2
t) 2
t x
. Khi đó :
2 2
( ) 2( 2 2 1 2 3)
f x g t t t t
với
2
t. Ta có
2
2(2 4 2
t t
) với 1 3 1 3
2; ; 2
2 2
t
g(t) =
2
4 8
t
với
1 3 1 3
;
2 2
t
,
1 3 1 3
8( 1), 2; ; 2
2 2
( ) 1 3 1 3
8 , ;
2 2
t t
g t
t t
Bảng biến thiên:
t
2
1 3
2
0
1 3
2
2
,
g x
- + 0 - +
g(x)
4 2 3
Nhìn vào bảng biến thiên suy ra miền giá trị của g(t) là
2
4 2 3;4( 2 1)
Do f(x)≥0 nên
minf x = 4 2 3 = 3 1
;
2
max f x =4( 2 1)
Bài
5
.
Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình
2 2
2
12
12 6 4 0
x mx m
m
Tìm m sao cho
3 3
1 2
x x
a) Đạt GTNN
b) Đạt GTLN
Bài làm:
Để phương trình có nghiệm , 2
0 4 12 2 3; 2 2;2 3
m m
Theo định lí Vi- et thì 1 2
2
m
x x
, 2
1 2
2
1 12
. 4
12
x x m
m
Ta có
3 3 3
1 2 1 2 1 2 1 2
3
( ) 3 .
2 2
m
F x x x x x x x x
m
2
4( 2 1)
4 2 3
8
2
4( 2 1)
,
2
1 3
0, 0
2 2
F m
m
.
Bảng biến thiên :
m -∞
2 3
-2 0 2
2 3
+∞
,
F
+ +
F
1
4
Do đó F lớn nhất =
3 3
4
F nhỏ nhất =
3 3
4
Bài
6
.
Tìm GTLN và GTNN của hàm số :
6 6
4 4
1 sin cos
1 sin cos
x x
y
x x
Bài làm
Ta có :
2
2
3
2 sin 2
4
1
2 sin 2
2
x
y
x
Đặt
2
sin 2 , 0;1
X x X ta có
3
2
8 3 3 8
4
1
8 2 2 8
2
2
XX X
y F X X X
X
Suy ra
,2
8
0, 0;1
2 8
F X X
X
nên F(X) nghịch biến trên đoạn [0;1]. Do đó
GTLN của F(X) = F(0)=1, GTLN của F(X) = F(1)=
5
6
Bài 7
Cho phương trình : 2 2
2 2( 1) 4 3 0
x m x m m
Gọi x1, x2 là các nghiệm. Tìm GTLN của
1 2 1 2
2( )
A x x x x
Bài làm:
Để phương trình có nghiệm 2
0 6 5 0 5 1
m m m
Theo định lí Vi – et ta có
2
1 2 1 2
4 3
1 , .
2
m m
x x m x x
3 3
4
1
4
3 3
4
22 2
4 3 1 1
2 1 8 7 8 7
2 2 2
m m
A m m m m m
trên đoạn [-5;-1]
Do đó ,
4
A m
trên đoạn [-5;-1]. Bảng biến thiên
m -5 -4 -1
,
A
+ 0 -
A
9
2
4 0
Vậy GTLN của A bằng
9
2
Ta còn gặp bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm hai biến số
Bài 8
.
Cho 2 2
1
x y
. Tìm max, min của 2
2
2( )
2 2 1
xy y
Sxy x
Bài làm.
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2( ) 2( ) 2( )
2 2 1 2 2 ( ) 3 2
xy y xy y xy y
S
xy x xy x x y x xy y
Nếu y=0 thì S=0
Nếu y≠0 thì chia cả tử và mẫu của S cho
2
y
, ta có
22
2 1
2 1
3 2 1
3 2 1
x
yt
S
t t
x x
y y
với
x
t
y
Ta có
2
,
2 2
2 3 6 1
(3 2 1)
t t
St t
, ,1 2
3 6 3 6
0 ,
3 3
S t t
Mặt khác
2
2 1
lim 0
3 2 1
x
t
t t

Bảng biến thiên:
t -∞ t
1
t
2
+∞
,
S
- 0 + 0 -
S
0
2 6
2
2 6
2
0