SỬ DỤNG TAM THỨC BẬC HAI ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Chia sẻ: Cấn Duy Cát | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Thêm vào BST

Báo xấu

594
lượt xem 88
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'sử dụng tam thức bậc hai để chứng minh bất đẳng thức', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: SỬ DỤNG TAM THỨC BẬC HAI ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

SỬ DỤNG TAM THỨC BẬC HAI ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Giáo viên: Thân Văn Dự Bất đẳng thức là một vấn đề khá cổ điển của toán học sơ cấp đang ngày càng phát triển . Đây cũng là một trong những phần toán sơ cấp đẹp và thú vị nhất. Điểm ấn tượng của bất đẳng thức trong toán sơ cấp đó là có rất nhiều bài toán khó, thậm chí là rất khó luôn có thể giải được bẳng những kiến thức cơ sở và việc hoàn thành được những chứng minh như vậy là một niềm vui thực sự. Trong bài viết nay giới thiệu với các ban một phương pháp để chứng minh bất đ ẳng thức khá hiệu quả đó là dùng tam thức bậc hai. A. Kiên thức cơ bản 1. Định nghĩa tam thức bậc hai Tam thức bấc hai đối với x là biểu thức có dạng f ( x) ax2 bx c , trong đó a, b, c là những hằng số và a 0 2. Định lý dâu của tam thức bậc hai Cho f ( x ) ax 2 bx c ( a 0 ),  b2 4ac Nếu  < 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a với x R b Nếu  = 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a với x R \ 2a Nếu  > 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a khi x x1 hoặc x x2 , trái dấu với hệ số a khi (x) x1 x x2 trong đó x1 , x2 ( x1 x2 ) là hai nghiệm của f . 3. Định lý đảo định lý dấu của tam thức bậc hai. Cho f ( x ) ax 2 bx c ( a 0 ) Nếu tồn tại sao cho af ( ) 0 thì phương trình f ( x ) 0 có hai nghiệm x1 , x2 sao cho x1 x2 Hệ quả Nếu tồn tại , 0 thì phương trình f ( x ) 0 có nghiệm trong R sao cho f ( ) . f ( ) khoảng ; B. Sử dụng tam thức bậc hai để chứng mi nh bất đẳng thức 1. Sử dụng định lý thuận của tam tức bậc hai để chứng minh bất đẳng thức 1.1 Bài toán 1 Cho bất đẳng thức f ( x ) 0 (1) Trong đó f ( x ) là tam thức bậc hai đối với x. Hãy chứng minh bất đẳng thức (1) đúng với mọi x Phương pháp giải:
Theo đinh lý thuận về dấu của tam thức bậc hai do f ( x ) là tam thức bậc hai ta chỉ a f ( x) 0 cần chứng minh (*)  f ( x) 0 Chú ý: Nếu trong bất đẳng thức (1) chỉ có bất đẳng thức ( không có dấu đẳng thức ) thì trong điều kiện (*) đối với  f cũng chỉ có bất đẳng thức ( không có dấu “=” ). ( x) Ví dụ Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác thì bất đẳng thức sau đúng với mọi x. b 2 x 2 (b 2 c 2 a 2 ) x c 2 0 (1) Giải: Đặt VT (1) f ( x ) Ta thấy f x là một tam thức bậc hai đối với x có hệ số a là b 2 > 0 do đó để chứng minh bài toán ta chỉ cần chứng minh  0, x . Thật vậy  (b2 c 2 a 2 )2 4.b 2 .c 2 2 4.b 2 .c 2 2.b.c.cosA 4.b2 .c 2 .Sin2 A 0, x Vậy b2 x 2 (b2 c 2 a 2 ) x c 2 0, x 1.2 Bài toán 2 Cho bất đẳng thức f ( x , y ) 0 (2) Trong đó f ( x , y ) là tam thức bậc hai đố i với một trong hai biến số x và y. Chứng minh (2) đúng với mọi x và mọi y. Phương pháp giải: Ta giả sử hàm f ( x , y ) là tam thức bậc hai đối với x gọi tam thức bậc hai đó là P ( x ) Ta cần chứng minh P( x ) 0 với mọi x và mọi y. Để chứng minh P( x ) 0 với mọi x theo aP( x ) 0 bài toán 1 ta cần chứng minh (*) P ( x ) 0 Suy ra để chứng minh P ( x ) 0 x, y ta cần chứng minh hệ (*) đúng với mọi y. Ví dụ Cho b > c > d. Hãy chứng minh bất đẳng thức: ( a + b + c )2 > 8( ac + bd ) (1) đúng với mọi a Giải: 2 (1) ( a b c) 8(ac bd ) 0 a 2 2(b d 3c)a (b c d )2 8bd 0 Đặt VT(2) = f ( a ) f ( a ) là một tam thức bậc hai ẩn a có hệ số a f ( x ) =1. Do vậy để chứng minh (1) ta chỉ cẩn chứng minh , f (a) 0 . Thật vậy
 , f ( a ) (b d 3c)2 (b c d )2 8bd 8c(b c d ) 8bd 8(b c)(c d ) , f (a) 0 Dob d c b c 0, c d 0 Suy ra đpcm. 2. Dùng định lý đảo của định lý dấu của tam thức bậc hai để chứng minh bất đẳng thức 1.1 Bài toán 1 Chứng minh rằng B2 – 4AC 0 ( hoặc B2 – AC 0 ) Phương pháp giải: Để chứng minh B2 – 4AC 0 ta đi chứng minh PT Ax2 + Bx + c =0 ( hoặc PT Ax2 – Bx +C = 0 ) có nghiệm ( Chứng minh B2 – AC 0 ta chứng minh PT Ax2 + 2Bx + c =0 hoặc PT Ax2 - 2Bx + c =0 có nghiệm ). Ví dụ Cho a, b thỏa mãn điều kiện a2 + b2 1 Hãy chứng minh rằng: ( ac + bd – 1 )2 ( a2 + b2 – 1 )( c2 + d2 – 1 ) (*) Giải: Khi a2 + b2 = 1 (*) hiển nhiên đúng Khi a2 + b2 < 1 a2 + b2 – 1 < 0 Đặt ac + bd – 1 = B a2 + b2 – 1 = A < 0 c2 + d2 – 1 = C B2 (*) AC 0 Ta lập tam thức bậc hai: f ( x) Ax 2 2 Bx C Để chứng minh B 2 AC 0 ta chỉ cần chứng minh f ( x ) có nghiệm Thật vậy f ( x) (a 2 b2 1) x 2 2(ac bd 1) x (c 2 d 2 1) (ax - c)2 (bx d )2 ( x 1)2 Theo định lý đảo của định lý về 1 ta có f ( ) f (1) (a c)2 (b d ) 2 A. f (1) 0 0 dấu của tam thức bậc hai x0 : f đpcm. ( x0 ) ,  0 0 f (a) 1.2 Bài toán 2 Chứng minh rằng B2 – 4AC 0 ( hoặc B2 – AC 0) Phương pháp giải:
Để chứng minh rằng B2 – 4AC 0 ( hoặc B2 – AC 0 ) ta chứng minh A. f ( x ) 0 x trong đó f ( x ) Ax 2 2 Bx C ( hoặc f ( x ) Ax 2 2 Bx C hoặc f ( x ) Ax 2 Bx C hoặc f ( x ) Ax 2 Bx C ) Ví dụ Cho a1 , a2 ,..., an ; b1 , b2 ,..., bn là hai bộ n số thực. Chứng minh bất đẳng thức (a1b1 a2b2 ... anbn ) 2 (a12 a2 ... an )(b12 b22 ... bn ) và dấu đẳng thức xảy ra khi 2 2 2 bn b1 b2 ... a1 a2 an ( Bất đẳng thức Bunhiacôpki ) Giải: Đặt n n n ta cần chứng minh B2 ai2 bi2 B2 AC ai bi B, A, C AC 0 i1 i1 i1 Ta coi B2 – AC là biệt thức  , của tam thức bâc hai f ( x ) Để chứng minh A.x 2 2 Bx c B 2 AC ta cần chứng minh f ( x ) 0 x . Ta có n n n ( x) 2 2 bi2 f ( a )x ( ai bi ) x i i1 i1 i1 n (ai2 x 2 2a i bi x + bi2 ) i1 n (ai x bi ) 2 0 i1 n n n , 0 ai bi ) 2 ai2 ) 2 .( bi2 ) ( ( i1 i1 i1 bn b1 b2 Dấu đẳng thức xẩy ra khi ai x bi 0 i 1, n ... a1 a2 an