Sức mạnh table trong giải toán phương trình, bất phương trình vô tỷ

SỨC MẠNH CỦA TABLE TRONG ĐỊNH HƯỚNG GIẢI TOÁN PTVT – ĐOÀN TRÍ DŨNG

SỨC MẠNH TABLE TRONG GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ Đoàn Trí Dũng – CASIO MAN

SỨC MẠNH CỦA TABLE TRONG ĐỊNH HƯỚNG GIẢI TOÁN PTVT – ĐOÀN TRÍ DŨNG

VÍ DỤ : Giả bất phương trình:

Điều kiện: .

Trước tiên v|o b|i to{n n|y ta nhận thấy cần phải đưa biểu thức mẫu số

sang vế bên phải của bất phương trình. Tuy nhiên khó khăn

chưa có cơ sở để khẳng định l| một biểu thức luôn nằm ở chỗ gi{ trị dương.

Quan s{t kỹ bất phương trình, ta nhận thấy biểu thức nếu

được nh}n với một lượng biểu thức liên hợp sẽ trở th|nh:

. Do đó ta ph}n tích bất phương

trình trên dưới dạng sau:

Trước tiên để có thể định hướng một c{ch ho|n chỉnh đường đi cho b|i to{n bất phương trình, ta ph}n tích phương trình bằng công cụ sử dụng m{y tính CASIO như sau: Sử dụng công cụ TABLE (Mode 7) trong máy tính CASIO: Xét

Với điều kiện , ta chọn các giá trị: .

 START =  END = 5.  STEP = 0,5.

Khi đó dựa vào bảng giá trị TABLE như hình bên ta kết luận như sau: 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0,5 100 71,72 50 33,96 22,82 15,82 12,19 11,17 12 13,92  Phương trình có một nghiệm duy

SỨC MẠNH CỦA TABLE TRONG ĐỊNH HƯỚNG GIẢI TOÁN PTVT – ĐOÀN TRÍ DŨNG

nhất nằm trong khoảng

do đó nếu chúng ta sử dụng công cụ SHIFT CALC với ta sẽ tìm được nghiệm của phương trình.

 Hàm số không đơn điệu nhưng hàm số có dấu hiệu trong

của tính đồng biến. 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 16,18 18,02 18,69 17,44 13,52 6,164 5,3725 21,843 44

ta thu được nghiệm .

Sử dụng công cụ SHIFT CALC trong máy tính để tìm nghiệm: SHIFT CALC với Thay nghiệm v|o căn thức ta được:

Do đó nh}n tử cần xác định là v| phương trình có một

. nghiệm duy nhất đó l|

Kết luận hướng đi của bài toán:  Do có nhân tử là nên ta có thể giải bài toán bằng

phương ph{p nh}n liên hợp.

 Do có nhân tử là nên ta có thể giải bài toán bằng

phương ph{p ph}n tích nh}n tử.

 Do có đ{nh gi{ nên ta có thể giải bài toán bằng

phương ph{p đ{nh gi{ h|m đại diện.

 Do có nghiệm vô tỷ nên nếu sử dụng phương ph{p

n}ng lũy thừa ta hoàn toàn có thể giải quyết được bài toán.

 Do trong hàm số có dấu hiệu của tính đồng biến nên nếu

ta có khả năng chứng minh được hàm chỉ ra được điều kiện số đơn điệu và hàm số cắt trục hoành tại điểm duy nhất.

Như vậy b|i to{n có 5 con đường đi tương ứng với 5 cách giải khác nhau. ☺Phân tích điều kiện chặt chẽ:

SỨC MẠNH CỦA TABLE TRONG ĐỊNH HƯỚNG GIẢI TOÁN PTVT – ĐOÀN TRÍ DŨNG

Vậy và .

☺Cách 1: Tư duy giải bài theo định hướng nhân liên hợp:

Ta có:

Vì do đó .

☺Cách 2: Tư duy giải bài theo định hướng phân tích nhân tử:

Ta có:

Vì do đó ta có:

SỨC MẠNH CỦA TABLE TRONG ĐỊNH HƯỚNG GIẢI TOÁN PTVT – ĐOÀN TRÍ DŨNG

☺Cách 3: Tư duy giải bài theo định hướng đánh giá hàm đại diện:

Ta có:

Vì cho nên .

Do đó xét h|m đặc trưng với .

Ta có: . Vậy l| h|m số liên tục

v| đồng biến trên nên khi đó ta có:

☺Cách 4: Tư duy giải bài theo định hướng nâng lũy thừa:

Ta có: và nên bình phương hai vế ta được:

Chú ý rằng phương trình có nh}n tử do đó bình phương hai

cho biểu

ta được kết quả .

vế ta được nh}n tử Thực hiện phép chia đa thức thức Do đó:

Vì nên do vậy:

☺Cách 5: Tư duy giải bài theo định hướng chứng minh hàm số đơn điệu:

Từ bất phương trình ta chuyển vế v| xét h|m số

sau: với .

Ta có: . Để chứng minh hay h|m số

đồng biến không phải l| một điều đơn giản.

Vì vậy để chắc chắn định hướng của b|i to{n ta sử dụng công cụ TABLE để

khảo s{t h|m :

SỨC MẠNH CỦA TABLE TRONG ĐỊNH HƯỚNG GIẢI TOÁN PTVT – ĐOÀN TRÍ DŨNG

X Xét với:

 START: 2 (Vì  END: 6.  STEP: 0,5. Dựa vào bảng giá trị, ta thấy:

 Hàm số là hàm số đơn

điệu tang trên

 khi 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 0,3257 4,9257 11,031 18,642 27,757 38,376 50,5 64,126 79,257 . Vậy ta sẽ tiến hành xét

Xét

. Vì nên do đó

Khi đó l| h|m đơn điệu tăng v| liên tục trên .

Do vậy . Vậy l| h|m đơn điệu tăng v| liên

tục trên . Mặt kh{c ta có cho nên bất phương trình

tương đương với:

Kết luận: Vậy tập nghiệm của bất phương trình l| .

Bình luận: Dù l| l|m theo phương {n n|o ta cũng có thể giải triệt để của bài toán, tuy nhiên ta nhận thấy điều kiện l| điều kiện vô cùng quan trọng, bởi nếu không có điều kiện trên, rất khó có thể xử lý triệt để được bài toán.

SỨC MẠNH CỦA TABLE TRONG ĐỊNH HƯỚNG GIẢI TOÁN PTVT – ĐOÀN TRÍ DŨNG

GIẢI BÀI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ ĐỀ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA 2015

Đề bài: Giải phương trình:

☺Phân tích: Đ}y l| một b|i to{n rất hay v| s}u sắc hội tụ rất nhiều c{c yếu tố như sau:

 B|i to{n có chứa một căn thức không qu{ lớn.  B|i to{n có chứa một ph}n thức, nếu như vội v|ng biến đổi tương đương bằng c{ch đưa mẫu số sang vế phải, học sinh sẽ rất dễ mắc sai lầm trong qu{ trình tính to{n bởi khi đó phương trình sẽ kh{ cồng kềnh.

Để có thể tiếp cận tốt b|i to{n trên, trước hết chúng ta cần định hướng b|i to{n với một công cụ quen thuộc đó l| sử dụng chức năng TABLE trong máy tính CASIO: Sử dụng công cụ TABLE (Mode 7) trong máy tính CASIO: Xét

Với điều kiện , ta chọn các giá trị: .

 START =  END = 5.  STEP = 0.5.

Dựa vào bảng giá trị trên TABLE ta nhận thấyn hững điều sau:  Phương trình có một nghiệm hữu tỷ .  Phương trình có một nghiệm nằm

trong .

 Phương trình có đúng hai nghiệm 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 2.727 1.707 1.5 1.671 2.08 2.371 1.964 0.899 0 0.34 0.2223 0.189 0.792 1.531 2.374 phân biệt.  Hàm số không đơn điệu.

 Đồ thị hàm số có một khoảng đồng biến là đồng thời trong

khoảng n|y phương trình có 2 nghiệm ph}n biệt v| đó l| hai nghiệm duy nhất của phương trình nên định hướng điều kiện của

SỨC MẠNH CỦA TABLE TRONG ĐỊNH HƯỚNG GIẢI TOÁN PTVT – ĐOÀN TRÍ DŨNG

b|i to{n cần chỉ ra không phải chỉ l| mà là .

ta được nghiệm . Nhẩm nghiệm: SHIFT CALC với Thay gi{ trị v|o căn thức ta được:

Định hướng giải bài:

Bƣớc 1: Chú ý với thì do đó ta sẽ nh}n liên hợp cho

nhóm biểu thức đồng thời ph}n tích nh}n tử cho nhóm biểu

thức để tạo ra nghiệm trước.

Bƣớc 2: Sau khi đã th{o gỡ nghiệm ta sẽ có một phương trình vô tỷ

mới v| tại phương trình n|y nghiệm cần chỉ ra l| . Để l|m xuất

hiện nghiệm ta cần chú ý tới đ{nh gi{: hay nhân

tử có thể tạo ra l| hoặc . Ta có các cách sau:

 Cách 1: Sử dụng nhân biểu thức liên hợp với nhân tử tìm được

chính là .

 Cách 2: Sử dụng phương ph{p ph}n tích th|nh nh}n tử với phương

pháp liên hợp ngược: .

 Cách 3: Sử dụng phương ph{p n}ng lũy thừa v| định lý Viet đảo

với nhân tử đã tạo có là .

 Cách 4: Sử dụng phương ph{p tạo ra h|m đặc trưng với đ{nh gi{

cho nên muốn dễ d|ng nhận ra h|m đặc trưng ta có

thể đặt ẩn phụ .

 Cách 5: Vì có hai nhân tử và nên ta có

thể phân tích nhân tử ngay từ bước đầu để tạo ra để biến đổi

phương trình ban đầu thành:

Bên cạnh những c{ch trên, độc giả có thể sử dụng những kỹ thuật đã học

SỨC MẠNH CỦA TABLE TRONG ĐỊNH HƯỚNG GIẢI TOÁN PTVT – ĐOÀN TRÍ DŨNG trong Phần I: Các kỹ thuật cơ bản, để tiếp tục phân tích và tìm tòi những lời giải hay v| đẹp. Mọi chi tiết đóng góp ý kiến và phản hồi xin vui lòng gửi về địa chỉ Email: dungdoan.math@gmail.com. ☺Cách 1: Sử dụng phƣơng pháp nhân liên hợp. Điều kiện:

Ta có:

Trƣờng hợp 1: (Thỏa mãn điều kiện).

Trƣờng hợp 2:

PHÂN TÍCH CASIO

Vì phương trình có chứa nhân tử hoặc do đó

chắc chắn biểu thức sẽ chia hết cho .

Bấm máy tính: và bấm CALC (Hay còn gọi là gán giá

) ta được kết quả là trị của Chú ý rằng và . do đó:

SỨC MẠNH CỦA TABLE TRONG ĐỊNH HƯỚNG GIẢI TOÁN PTVT – ĐOÀN TRÍ DŨNG

Vậy .

Ta có:

(*)

Ở tình huống n|y ta nhận thấy như sau:

Vì

PHÂN TÍCH CASIO

chỉ có nghiệm lẻ của phương trình Vì bất phương trình bậc 3, tuy nhiên trong chương trình Trung học phổ thông, ta không nên sử dụng phương ph{p Cardano để xử lý phương trình bậc ba này. Vậy làm thế n|o để hóa giải được bất phương trình trên? Chú ý rằng bất phương trình có nghiệm lẻ như sau:

. Do đó chúng ta có thể khẳng định chắc chắn tại đ}y ta sẽ có Chỉ cần điều kiện l| đủ ta có thể chứng minh được phương trình:

l| phương trình vô nghiệm.

Vậy l|m sao để chỉ ra được Ta sử dụng xét . Bấm CALC 2 ta được kết quả là 2.

có thể chỉ ra được nghiệm là 2.

. Như vậy phương trình Thật vậy, ta có: Do đó bằng c{ch đ{nh gi{ n|y ta đã có được điều kiện quan trọng cần tìm.

Ta có:

Do đó: .

SỨC MẠNH CỦA TABLE TRONG ĐỊNH HƯỚNG GIẢI TOÁN PTVT – ĐOÀN TRÍ DŨNG

Vì do đó ta có điều kiện cần tìm là .

Với điều kiện ta có .

Như vậy phương trình vô nghiệm.

Vậy (*) (Thỏa mãn điều kiện).

Kết luận: Vậy phương trình có hai nghiệm ph}n biệt .

Bình luận: Việc đ{nh gi{ điều kiện là vô cùng quan trọng bởi

nếu không đ{nh gi{ đúng thực chất của điều kiện thì việc giải bài toán sẽ trở nên vô cùng khó khăn. Đ}y chính l| điểm khó nhất trong bài toán này. Một số đ{nh gi{ điều kiện quan trọng học sinh cần ghi nhớ:



☺Cách 2: Sử dụng phƣơng phân tích nhân tử bằng liên hợp ngƣợc. Điều kiện: .

Ta có:

SỨC MẠNH CỦA TABLE TRONG ĐỊNH HƯỚNG GIẢI TOÁN PTVT – ĐOÀN TRÍ DŨNG

PHÂN TÍCH CASIO

Vì phương trình có chứa nhân tử hoặc do đó

chắc chắn biểu thức sẽ chia hết cho .

Bấm máy tính: và bấm CALC (Hay còn gọi là gán giá

) ta được kết quả là trị của Chú ý rằng và . do đó:

Vậy .

Mặt khác, xét liên hợp:

Do đó ta viết lại:

Ta có:

(*)

Đến đ}y để chứng minh vô nghiệm ta có thể

sử dụng hằng đẳng thức để ghép th|nh c{c bình phương:

Ta có:

SỨC MẠNH CỦA TABLE TRONG ĐỊNH HƯỚNG GIẢI TOÁN PTVT – ĐOÀN TRÍ DŨNG

Vì do đó

Như vậy phương trình vô nghiệm.

Vậy (*) (Thỏa mãn điều kiện)

Kết luận: Vậy phương trình có hai nghiệm ph}n biệt .

Bình luận: Cũng l| b|i to{n ph}n tích liên hợp nhưng trong b|i to{n n|y, chúng ta đề cập đến một cách chứng minh phương trình vô nghiệm theo một hướng khác là tạo hằng đẳng thức. Để tạo hằng đẳng thức ta chỉ cần , khi đó ta tạo thêm các tập trung quan sát biểu thức tích nào ta chọn là

biểu thức kh{c để nhóm thành .

Độc giả có thể sử dụng phương ph{p trên để đ{nh gi{ phương trình vô nghiệm trong Cách 1. Phần n|y, để dành cho bạn đọc tự chứng minh. ☺Cách 3: Phƣơng pháp nâng lũy thừa và định lý Viet đảo. Điều kiện: .

Ta có:

SỨC MẠNH CỦA TABLE TRONG ĐỊNH HƯỚNG GIẢI TOÁN PTVT – ĐOÀN TRÍ DŨNG

Trƣờng hợp 1: (Thỏa mãn điều kiện).

Trƣờng hợp 2:

(*)

Ta có:

Do đó: .

Vì . do đó ta có điều kiện cần tìm là

Bình phương 2 vế của (*) ta được:

PHÂN TÍCH CASIO

Vì phương trình có chứa nhân tử hoặc do đó

sẽ chia hết cho biểu chắc chắn biểu thức

thức .

Bấm máy tính: và bấm CALC (Hay

) ta được kết quả là .

còn gọi là gán giá trị của Chú ý rằng và do đó:

Vậy .

Ta có:

Với ta có: . Vậy .

SỨC MẠNH CỦA TABLE TRONG ĐỊNH HƯỚNG GIẢI TOÁN PTVT – ĐOÀN TRÍ DŨNG

Kết luận: Vậy phương trình có hai nghiệm ph}n biệt .

Bình luận: Đôi khi trong c{c b|i to{n phương trình vô tỷ, đặc biệt bài toán chứa duy nhất một căn thức, phương ph{p n}ng lũy thừa lại tỏ ra vô cùng hiệu quả. ☺Cách 4: Phƣơng pháp sử dụng hàm đặc trƣng. Điều kiện: .

Ta có:

Trƣờng hợp 1: (Thỏa mãn điều kiện).

Trƣờng hợp 2:

PHÂN TÍCH CASIO Trong phần trên ta đã đ{nh gi{ được khi thì:

Với việc đ{nh gi{ như trên, phương trình có

thể sẽ chứa một h|m đặc trưng. Để có thể nhận diện h|m đặc trưng đó ta

có thể đặt . Do bậc cao nhất l| 3 nên h|m đặc trưng sẽ có

dạng . Như vậy:

Do đó ta có đồng nhất hệ số như sau:

SỨC MẠNH CỦA TABLE TRONG ĐỊNH HƯỚNG GIẢI TOÁN PTVT – ĐOÀN TRÍ DŨNG

Thay

Vậy ta có:

Ta có:

Xét h|m đặc trưng với .

Ta có: .

Do đó l| h|m đồng biến v| liên tục với . Vậy:

Kết luận: Vậy phương trình có hai nghiệm ph}n biệt .

Bình luận: Kỹ năng sử dụng h|m đặc trưng l| vô cùng quan trọng. Nếu một biến thì h|m đặc trưng có dạng: có bậc cao nhất là

Thông thường một bài toán sẽ bao gồm 2 biến kh{c nhau, do đó ta tạo hàm ta cần thay đủ đặc trưng hai vế rồi đồng nhất hệ số, h|m đặc trưng bậc

giá trị kh{c nhau để tìm ra các hệ số .

Chú ý: thì biến có bậc 3 vì ta hiểu như sau:

Trên đ}y l| những lý thuyết vô cùng quan trọng để giúp các em học sinh nắm vững tư duy giải c{c b|i to{n h|m đặc trưng. Bạn đọc có thể vận dụng c{ch tư duy trên giải các bài toán sau:

Bài 1: Giải phương trình:

Bài 2: Giải bất phương trình:

SỨC MẠNH CỦA TABLE TRONG ĐỊNH HƯỚNG GIẢI TOÁN PTVT – ĐOÀN TRÍ DŨNG

Bài 3: Giải phương trình:

Bài 4: Giải phương trình:

Bài 5: Giải phương trình:

☺Cách 5: Phân tích nhân tử liên tục. . Điều kiện:

Ta có:

Vì do đó

Như vậy phương trình vô nghiệm.

SỨC MẠNH CỦA TABLE TRONG ĐỊNH HƯỚNG GIẢI TOÁN PTVT – ĐOÀN TRÍ DŨNG

Vậy (*) (Thỏa mãn điều kiện)

Kết luận: Vậy phương trình có hai nghiệm ph}n biệt .

Bình luận: Phân tích nhân tử chính là một phương ph{p vô cùng hữu hiệu khi sử dụng quy tắc liên hợp ngược để liên tục nhóm ra các nhân tử chung. Để làm tốt phương ph{p n|y học sinh cần nắm vững bản chất của nhân tử trong một phương trình.

CÁC ĐỊNH HƢỚNG KHI GIẢI BÀI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH – BẤT PHƢƠNG TRÌNH – HỆ PHƢƠNG TRÌNH Sau tất cả những kỹ năng đã học từ 13 chủ đề trước, chắc hẳn chúng ta đã tự đặt ra c}u hỏi rằng, sử dụng c{c phương ph{p đó trong những tình huống n|o? Đối với mỗi b|i to{n phương trình, bất phương trình v| hệ phương trình chúng ta cần bắt đầu từ đ}u? 1. Bài toán phƣơng trình – bất phƣơng trình. Đối với dạng b|i to{n phương trình, bất phương trình, đầu tiên trước khi l|m b|i, ta nên định hướng bằng c{ch sử dụng chức năng TABLE để khảo s{t kỹ đường đi của b|i to{n, đặt ra c{c c}u hỏi v| trả lời cụ thể như sau:  Nghiệm của phương trình, bất phương trình đó l| gì (đối với c{c nghiệm hữu tỷ)?

 Nghiệm của phương trình, bất phương trình đó nằm trong khoảng n|o (đối với c{c nghiệm hữu tỷ với ph}n số lớn hoặc c{c b|i to{n chứa nghiệm vô tỷ)? Đối với nghiệm vô tỷ, ta có thể dùng nghiệm xấp xỉ để chỉ ra chính x{c nghiệm đó hay không?

 Nghiệm của phương trình, bất phương trình đó l| nghiệm đơn hay nghiệm bội? Nếu l| nghiệm bội sẽ l| nghiệm bội 2, hay bội 3, bội 4, hay 2 nghiệm bội 2?  Coi phương trình, bất phương trình như một h|m số thì h|m số đó có đơn điệu hay không?  Mối quan hệ của c{c căn thức với c{c biểu thức chứa biến dạng đơn giản (bậc nhất, bậc hai,…) l| gì? Khi đã trả lời được c{c c}u hỏi đó, ta sẽ định hướng b|i to{n như sau:

SỨC MẠNH CỦA TABLE TRONG ĐỊNH HƯỚNG GIẢI TOÁN PTVT – ĐOÀN TRÍ DŨNG Định hướng 1: Nếu h|m số l| một h|m đơn điệu, ta sẽ sử dụng đ{nh gi{ tính đơn điệu của h|m số, chứng minh h|m số luôn đơn điệu trong tập x{c định từ đó chỉ ra phương trình có một nghiệm duy nhất. Định hướng 2: Đối với phương trình, bất phương trình chứa một nghiệm duy nhất v| sử dụng phương ph{p nh}n liên hợp, thông thường có hai c{ch tư duy như sau:

 Nếu nghiệm của phương trình, bất phương trình l| nghiệm vô tỷ, ta tính nghiệm xấp xỉ, sau đó thay v|o c{c căn thức v| tìm mối liên hệ gi{ của của căn thức v| biến ban đầu.

o Nếu nghiệm vô tỷ l| nghiệm đơn, ta tạo c{c biểu thức liên hợp bằng mối quan hệ giữa căn thức v| biến số đã tìm được. o Nếu nghiệm vô tỷ l| nghiệm kép, ta có thể sử dụng c{c phương ph{p đ{nh gi{ bất đẳng thức, tạo hằng đẳng thức.  Nếu nghiệm của phương trình, bất phương trình l| nghiệm hữu tỷ, ta cần kiểm tra điều kiện nghiệm bội:

o Nếu nghiệm l| nghiệm đơn, ta có thể sử dụng phương ph{p nh}n liên hợp thông thường: thay nghiệm v|o c{c căn thức v| nh}n liên hợp của c{c căn thức với gi{ trị tương ứng. o Nếu nghiệm l| nghiệm bội 2, ta có thể sử dụng phương ph{p nh}n liên hợp nghiệm bội kép, phương ph{p đ{nh gi{ bằng bất đẳng thức AM – GM, Cauchy Schwarz, đặt ẩn phụ hoặc tạo hằng đẳng thức. o Nếu nghiệm l| nghiệm bội 3, ta cần tạo c{c liên hợp của căn thức với biểu thức chứa biến dạng bậc 2. o Nếu nghiệm l| nghiệm bội 4, ta cần tạo liên hợp nghiệm bội 2 từ đó bình phương l| có nghiệm bội 4.

Định hướng 3: Nếu phương trình, bất phương trình có hai nghiệm ph}n biệt, ta cần đ{nh gi{ như sau:

SỨC MẠNH CỦA TABLE TRONG ĐỊNH HƯỚNG GIẢI TOÁN PTVT – ĐOÀN TRÍ DŨNG

o Nếu hai nghiệm tìm được l| hai nghiệm đơn, ta sử dụng phương ph{p nh}n liên hợp hai nghiệm hữu tỷ đơn. o Nếu hai nghiệm tìm được l| hai nghiệm kép, ta sử dụng phương ph{p nh}n liên hợp hai nghiệm hữu tỷ bội 2.

Đình hướng 4: Nếu b|i to{n có nhiều hơn 2 biến, thông thường b|i to{n đó có nh}n tử chung được tạo ra một c{ch đơn giản, ta ph}n tích nh}n tử v| đưa về dạng b|i to{n có từ 2 biến trở xuống. Định hướng 5: C{c định hướng kh{c:  Phương ph{p xét tổng hiệu: Khi phương trình có hai căn thức ở dạng cộng với nhau.

 Phương ph{p đ{nh gi{ h|m đặc trưng: Khi phương trình có thể xếp về hai vế có c{ch biểu diễn gần giống nhau. Nếu nghiệm của , muốn nhìn thấy phương trình thỏa mãn điều kiện

h|m đặc trưng nhanh hơn, ta đặt ẩn phụ .

 Phương ph{p n}ng lũy thừa v| sử dụng định lý Viet đảo: Khi phương trình có bậc cao nhất không qu{ lớn đồng thời đã biết trước nghiệm của phương trình (Để ta tiến h|nh chia đa thức sau khi n}ng lũy thừa).

 Phương ph{p đặt ẩn phụ đưa về phương trình cơ bản, phương ph{p đặt ẩn phụ v| ph}n tích nh}n tử, phương ph{p đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình l| những phương ph{p không thể bỏ qua, tuy nhiên trong cuốn s{ch n|y tôi không đề cập đến bởi đ}y l| phương ph{p cần phải được rèn luyện qua rất nhiều c{c b|i to{n mới có thể n}ng cao kỹ năng đặt ẩn phụ.

2. Bài toán hệ phƣơng trình. Trong c{c kỳ thi Đại học, Cao đẳng v| kỳ thi Trung học phổ thông quốc gia, các hệ phương trình thường nằm ở dạng chỉ ra được mối quan hệ giữa hai biến số từ một phương trình. Vì vậy ta có những định hướng sau: Định hướng 1: Nếu hai vế của một phương trình có c{ch biểu diễn giống nhau, ta sử dụng phương ph{p h|m đặc trưng. Để có thể dễ d|ng nhận ra để từ đó h|m đặc trưng, ta cần tìm được mối quan hệ có dạng

đặt ẩn phụ .

Định hướng 2: Nếu chỉ ra được mối quan hệ giữa hai biến số từ một

phương trình, ta cần quan t}m xem nếu thay gi{ trị theo (hoặc theo

SỨC MẠNH CỦA TABLE TRONG ĐỊNH HƯỚNG GIẢI TOÁN PTVT – ĐOÀN TRÍ DŨNG ) v|o c{c căn thức thì c{c căn thức n|o có yếu tố giống nhau? Từ đó ta sẽ

tạo ra c{c biểu thức liên hợp. Định hướng 3: Nếu chỉ ra được mối quan hệ giữa hai biến số từ một

phương trình m| biểu thức chứa căn không qu{ lớn ta có thể sử dụng phương ph{p n}ng lũy thừa. Đình hướng 4: Nếu trong một phương trình có hai biểu thức căn cộng với nhau, ta có thể sử dụng phương ph{p xét tổng hiệu. 3. Kết luận. Phương ph{p sử dụng m{y tính CASIO l| một phương ph{p tốt, có tính định hướng, x}y dựng đường đi cho c{c b|i to{n phương trình hệ phương trình. Tuy nhiên, để có thể ph{t huy hết tính năng của m{y tính CASIO, học sinh cần phải liên tục trau dồi, tính to{n v| rèn luyện.