Sức mạnh table trong giải toán phương trình, bất phương trình vô tỷ

Chia sẻ: Nguyễn Dương đình Hoàng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:21

Thêm vào BST

Báo xấu

119
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo "Sức mạnh table trong giải toán phương trình, bất phương trình vô tỷ" dành cho giáo viên, học sinh đang trong giai đoạn ôn thi kiến thức và bài tập toán giúp bạn củng cố và nâng cao kỹ năng giải nhanh các bài toán.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sức mạnh table trong giải toán phương trình, bất phương trình vô tỷ

SỨC MẠNH CỦA TABLE TRONG ĐỊNH HƯỚNG GIẢI TOÁN PTVT – ĐOÀN TRÍ DŨNG SỨC MẠNH TABLE TRONG GIẢI TOÁN PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ Đoàn Trí Dũng – CASIO MAN SỨC MẠNH CỦA TABLE TRONG ĐỊNH HƯỚNG GIẢI TOÁN PTVT – ĐOÀN TRÍ DŨNG VÍ DỤ : Giả bất phương trình: x  x  1 2   1 x  4 1  x  3 x  4  Điều kiện: x  4;   \3 .  Trước tiên v|o b|i to{n n|y ta nhận thấy cần phải đưa biểu thức mẫu số  x  3 x  4  sang vế bên phải của bất phương trình. Tuy nhiên khó khăn nằm ở chỗ gi{ trị x  3 chưa có cơ sở để khẳng định l| một biểu thức luôn dương.  Quan s{t kỹ bất phương trình, ta nhận thấy biểu thức  x  4  1 nếu được nh}n với một lượng biểu thức liên hợp sẽ trở th|nh:    x  4 1 x  4  1  x  4  1  x  3 . Do đó ta ph}n tích bất phương trình trên dưới dạng sau: x  x  1 2   1  x  4 1  x  3 x  4   x  x  1  x  4 1 2   x  4 1  x  4  1  x  4 1  x  3  x  3  2   x  x  1   2 1  x  x  1  x  4  1  x  4     x  4  1  x  4  Trước tiên để có thể định hướng một c{ch ho|n chỉnh đường đi cho b|i to{n bất phương trình, ta ph}n tích phương trình bằng công cụ sử dụng m{y tính CASIO như sau: Sử dụng công cụ TABLE (Mode 7) trong F X X máy tính CASIO: 4  100 Xét  3.5  71,72 2 F  X   X  X  1  X  4  1  X  4  3  50  2.5  33,96 Với điều kiện x  4 , ta chọn các giá trị: 2  22,82  START = 4 .  1.5  15,82  END = 5. 1  12,19  STEP = 0,5.  0.5  11,17 Khi đó dựa vào bảng giá trị TABLE như  12 0 hình bên ta kết luận như sau:  13,92 0,5  Phương trình có một nghiệm duy       SỨC MẠNH CỦA TABLE TRONG ĐỊNH HƯỚNG GIẢI TOÁN PTVT – ĐOÀN TRÍ DŨNG nhất nằm trong khoảng   3,5; 4  1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 do đó nếu chúng ta sử dụng công cụ SHIFT CALC với x  3,8 ta sẽ tìm được nghiệm của phương trình. Hàm số không đơn điệu nhưng trong  2;   hàm số có dấu hiệu của tính đồng biến.  16,18  18,02  18,69  17,44  13,52  6,164 5,3725 21,843 44 Sử dụng công cụ SHIFT CALC trong máy tính để tìm nghiệm: SHIFT CALC với x  3,8 ta thu được nghiệm x  3,791287847 . Thay nghiệm x  3,791287847 v|o căn thức ta được: x  4  2,791287847  x  1 . Do đó nh}n tử cần xác định là x  1  x  4 v| phương trình có một nghiệm duy nhất đó l| x  1  x  4  x  3  21 . 2 Kết luận hướng đi của bài toán:  Do có nhân tử là x  1  x  4 nên ta có thể giải bài toán bằng phương ph{p nh}n liên hợp.  Do có nhân tử là x  1  x  4 nên ta có thể giải bài toán bằng phương ph{p ph}n tích nh}n tử.  Do có đ{nh gi{ x  1  x  4 nên ta có thể giải bài toán bằng phương ph{p đ{nh gi{ h|m đại diện.  Do có nghiệm vô tỷ x   3  21 nên nếu sử dụng phương ph{p 2 n}ng lũy thừa ta hoàn toàn có thể giải quyết được bài toán. Do trong  2;   hàm số có dấu hiệu của tính đồng biến nên nếu chỉ ra được điều kiện x  2 ta có khả năng chứng minh được hàm số đơn điệu và hàm số cắt trục hoành tại điểm duy nhất. Như vậy b|i to{n có 5 con đường đi tương ứng với 5 cách giải khác nhau. ☺Phân tích điều kiện chặt chẽ:  x  3  x  3    3 2  2  x  x  1  x  4  1  x  4  x  2x   x  4  x  4  4     SỨC MẠNH CỦA TABLE TRONG ĐỊNH HƯỚNG GIẢI TOÁN PTVT – ĐOÀN TRÍ DŨNG  x  3   x2 2  x  2  x   x  4  x  4  4  0  Vậy x  2 và x3  2x2   x  4  x  4  4 . ☺Cách 1: Tư duy giải bài theo định hướng nhân liên hợp: Ta có: x3  2x2   x  4  x  4  4  x3  2x2   x  4  x  4  4  0    x 3  3x 2  3x   x  4  x  1  x  4  0    x x  3x  3   x  4  2  x  1   x  4   0 2 x 1 x  4 x 2  3x  3  x x 2  3x  3   x  4  0 x 1 x  4     x4  x 2  3x  3  x  0 x 1 x  4     Vì x  2  x   x 2  3x  3  0 3  21  x .  0 do đó  2 x 1 x  4 x  2  x4 ☺Cách 2: Tư duy giải bài theo định hướng phân tích nhân tử: Ta có: x3  2x2   x  4  x  4  4  x3  2x2   x  4  x  4  4  0    x 3  3x 2  3x   x  4  x  1  x  4  0       x  2x  1   x  4   x   x  4   x  1    x 2  3x  3 x   x  4  x  1  x  4  0 2   x   x  4  x  1  x  4   0 x  4  x  1  x  4  x   x  4   x  1  x  4   0 x  4  x  4  x x  4   0 2     x  1     x  1  x 1   x4 0 x4 2 2 Vì x  2  x2  4  x x  4  0 do đó ta có: x  2  x 2  3x  3  0 3  21    x .  2 x  1  x  4 x  2   SỨC MẠNH CỦA TABLE TRONG ĐỊNH HƯỚNG GIẢI TOÁN PTVT – ĐOÀN TRÍ DŨNG ☺Cách 3: Tư duy giải bài theo định hướng đánh giá hàm đại diện: Ta có: x  x  1  2     x  4  1  x  4   x  1  1  x  1  2   x 4 1 x4  2 Vì x  2 cho nên x  1  0, x  4  0 . Do đó xét h|m đặc trưng f  t    t  1 t 2 với t  0 . Ta có: f  t   t 3  t 2  f '  t   3t 2  2t  0t  0 . Vậy f  t  l| h|m số liên tục v| đồng biến trên  0;   nên f  x  1  f   x  4 khi đó ta có: x  2  x 2  3x  3  0 3  21    x .  2 x  1  x  4 x  2   ☺Cách 4: Tư duy giải bài theo định hướng nâng lũy thừa: Ta có: x3  2x2  4   x  4  x  4 và x  2 nên bình phương hai vế ta được: x 3  2x2  4    x  4 2 3  x6  4x5  4x4  9x3  4x2  48x  48  0 Chú ý rằng phương trình có nh}n tử x  1  x  4 do đó bình phương hai vế ta được nh}n tử x2  3x  3 . Thực hiện phép chia đa thức x6  4x5  4x4  9x3  4x2  48x  48 cho biểu thức x2  3x  3 ta được kết quả x4  x3  4x2  1 . Do đó: x6  4x5  4x4  9x3  4x2  48x  48  0     x 2  3x  3 x 4  x 3  4 x 2  1  0   Vì x  2 nên x4  x3  4x2  1  x2 x2  x  4  1  0 do vậy:  x 2  3x  3  0 3  21   3x  3 x 4  x 3  4 x 2  1  0   x . 2 x  2  ☺Cách 5: Tư duy giải bài theo định hướng chứng minh hàm số đơn điệu: x 2   Từ bất phương trình x3  2x2  4   x  4  x  4 ta chuyển vế v| xét h|m số sau: f  x   x3  2x2  4   x  4  x  4 với x  2;   . 3 x  4 . Để chứng minh f '  x   0 hay h|m số 2 f  x  đồng biến không phải l| một điều đơn giản. Ta có: f '  x   3x2  4 x  Vì vậy để chắc chắn định hướng của b|i to{n ta sử dụng công cụ TABLE để 3 khảo s{t h|m f '  x   3x2  4 x  x4: 2