Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình Trang 1
HỆ PHƯƠNG TRÌNH (Phần I)
1.
22
2 2 2
2
xy y x xy
xy

2.
22
ln 1 ln 1
12 20 0
x y x y
x xy y
3.
3 3 2
22
22
22
6 3 9 2 0
11
log log 2 0
45 2 4 3
x y y x y
xx
yy yy


4.
21
21
2 2 3 1
2 2 3 1
y
x
x x x
y y y
5.
22 2
2
32
1
1
3log 2 6 2log 2 1
yx x
ey
x y x y
6.
2816
yx
xy xy
x y x y
7.
3
22
15
4 4 12
x y x y
x xy y xy
8.
2 3 4 6
2
22
2 1 1
x y y x x
x y x
9.
10.
42
22
698
81
3 4 4 0
xy
x y xy x y

11.
3
3
2 3 1
23
xy
xy


12.
2 1 2 2 1
32
1 4 .5 1 2
4 1 ln 2 0
x y x y x y
y x y x
13.
7 2 5
22
x y x y
x y x y
14.
22
3 2 16
2 4 33
xy x y
x y x y
15.
22
22
2 5 4 6 2 0
1
23
2
x y x y x y
xy xy
16.
22
22
3 4 1
3 2 9 8 3
x y x y
x y x y
17.
8
5
x x x y y y
xy

18.
22
5
52
22
x xy y
yx
x y xy
19.
22
22
23
10
y x y x
x x y y


20.
65
62
9
x x y
x y x
x y xy

21.
33
42
55
1
x y y x
xy

22.
2
4
4
32 3
32 6 24
x x y
x x y
23.
22
2
1 1 3 4 1
1
x y x y x x
xy x x
24.
22
2 2 2
6
15
y xy x
x y x


Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình Trang 2
25.
2
22
5 4 4
5 4 16 8 16 0
y x x
y x xy x y
26.
2
2
14
12
x y x y y
x x y y
27.
33
22
2 9 2 3
3
x y x y xy
x xy y
28.
22
2
3
4 4 7
1
23
xy y x
xy
xxy

29.
5
2 3 4
42
5
32
42
yyx
xyx







30.
2
32
2
2
3
2
29
2
29
xy
x x y
xx
xy
y y x
yy


31.
3
3
34
2 6 2
y x x
x y y
32.
2
21
2
log 3log 2
xy
x y e e
xy
33.
32
32
12
12
x x x y
y y y x
34.
22
2
1 1 1
35 0
12
1
x x y y
y
y
x
35.
2
42
39
4 2 3 48 48 155 0
xy
y x y y x

36.
22
53
1
125 125 6 15 0
xy
yy

37.
32
32
2000 0
500 0
x xy y
y yx x
38.
2 2 2
23
20
2 4 3 0
x y x y
x x y
39.
22
1 1 2
12
1 2 1 2
2
1 2 1 2 9
xy
xy
x x y y


40.
3
3 2 2 2 1 0
2 2 2 1 1
x x y y
xy
41.
33
22
9
2 4 0
xy
x y x y

42.
33
22
82
3 3 1
x x y y
xy
43.
22
2
2 3 4 9
7 6 2 9
x y xy x y
y x x
44.
4 3 2 2
32
1
1
x x y x y
x y x xy
45.
4 2 2
22
4 6 9 0
2 22 0
x x y y
x y x y
46.
3 3 3
22
8 27 18
46
x y y
x y x y


47.
22
22
3
1 1 4
x y xy
xy
48.
21
1
x y x y
xy
e e x
e x y

Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình Trang 3
49.
12
2
1 4 .5 1 3
1
3 1 2
x y x y x y
x y y y
x
50.
2 6 2
2 3 2
x
y x y
y
x x y x y
51.
2
22
1
22
22
xx
y
y y x y
52.
22
22
12
12
y x y
x y x y

53.
2
53
x y x y y
xy

54.
22
22
14
2 7 2
x y xy y
y x y x y
55.
22
33
21
22
yx
x y y x

56.
2
2
2
2
x x y
y y x


57.
2
22
4 1 3 5 2 0
4 2 3 4 7
x x y y
x y x
58.
22
2
2 3 4 9
7 6 2 9
x y xy x y
y x x
59.
3 3 2
44
8 4 1
2 8 2 0
x y xy
x y x y
60.
22
3 3 3
6
1 19
y xy x
x y x

61.
3
2 2 1 2 1 2 3 2
4 2 2 4 6
x x y y
xy
62.
22
2
1
21
x y xy y
y
xy x
63.
4 3 3 2 2
22
99
7
x x y y y x x y x
x y x

64.
33
22
35
2 3 4 9
xy
x y x y

65.
22
12
2
1 1 3 3
yx
xy
x
y x x
66.
12
12
3
12
16
3
x
yx
y
yx







67.
22
22
33
30
xy
xxy
yx
yxy


68.
4 2 4
33
4 2 5
22
xy x
xy
xx
yx

69.
11 10 22 12
4 4 2
3
6 3 2 2 . 5 2 8
x xy y y
y x y x x x
70.
22
2
1
5
57
4 3 3 1
25
xy
x x y x

71.
2
4
4
2 2 6 2 2
2 2 6 2 2 8 2
x x y
x x y
72.
2 2 2
23
20
2 4 3 0
x y x y
x x y
Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình Trang 4
73.
44
3 3 2 2
240
2 3 4 4 8
xy
x y x y x y

74.
3 3 2
2
3 4 2
1 2 1
y y x x x
x y y
75.
32
32
2 2 1 1
4 1 ln 2 0
x x y x y
y x y x
76.
3 2 2
23
3
22
2 2 1 14 2
x y x y xy
x y y x
77.
22
1 1 1
1 1 2
x y y x
xy
78.
4 3 2 2
2
2 2 9
2 6 6
x x y x y x
x xy x
79.
22
22
7
2 1 2 1 2
7 6 14 0
xy
xy
x y xy x y
80.
2
cos cos
3 18 0
x y x y
x y y
81.
22
4 2 2 2 4 2 2 2
18
208
x y y xy x xy
x y y x y x x y
82.
1
21
xy y y
xy y y
83.
32
32
4 3 7
67
x xy y
y x y


84.
32
22
3 49
8 8 17
x xy
x xy y x y
85.
32
22
2 12 0
8 12
x xy y
yx

86.
32
2
3 6 0
3
y y x x y
x xy

87.
3 3 2
44
1
44
x y xy
x y x y
88.
3 3 3
22
27 125 9
45 75 6
x y y
x y x y


89.
44
3 2 2
2
22
xy
x x x y

90.
2
4 2 2 2
20
4 3 0
x xy x y
x x y x y
91.
2 2 2 2
23
2 5 3 4 5 3
x y x xy y xy
x xy x xy x
92.
22
2
21
xy
xyxy
x y x y
93.
2
5 3 2 4 3
15 4 0
xy y xy y
y xy
x



94.
2 3 2
42
5
4
5
12 4
x y x y xy xy
x y xy x
95.
2
31
89
y x y
x y x y
96.
2 2 3
2
22
5 4 3 2 0
2
x y xy y x y
xy x y x y
97.
92
4 2 4 2 41
x y x y
x x y y y
98.
2
2
22
4 3 1 3 2
x y x x y y y
x y x y
99.
22
2
2 1 3
1 2 3 0
x x y y y
x x y x y
100.
2 2 2
71
10 1
xy x y
x y y

Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình Trang 5
CÁC BÀI GIẢI
Bài 1. Ta có:
22
22
22
2
2 2 2
22
2
xy
xy
xy
y x xy
y x xy x y
xy




2 2 2 2
3 3 3 3
22
2 2 2 2
x y x y
x y x y
y x x y






Xét hàm số
3
2t
f t t
trên . Ta có:
2
' 2 .ln 2 3 0
t
f t t t
nên
ft
là hàm
đồng biến trên . Vậy
33
22
xy
x y x y
.
Lúc này, hệ trở thành:
22
1
1
2
xy xy
xy
xy


Vậy hệ có các nghiệm là
; 1;1 , 1; 1xy
Bài 2: Điều kiện
,1xy
. Ta có:
22
2 10 0
ln 1 ln 1
ln 1 ln 1
12 20 0
x y x y
x y x y
x y x y
x xy y


2 10
ln 1 ln 1
x y x y
x x y y
Dễ thấy rằng
,xy
cùng dấu. Xét hàm số
ln 1f t t t
trên
1;
.
Đạo hàm:
1
'1
11
t
ft tt

. Ta có:
' 0 0f t t
. Vậy hàm số đồng biến trên
1;0
và nghịch biến trên
0;
.
+) Nếu
,xy
cùng âm (tức là cùng thuộc
1;0
) thì theo tính chất của hàm số
ft
, ta có:
xy
. Thay vào hệ giải được nghiệm
0xy
(loại).
+) Nếu
,xy
cùng dương, tương tự ta cũng loại nốt.
+)
0xy
thoả mãn hệ.
Vậy nghiệm của hệ là
; 0;0xy
Bài 3: Nhận xét: Chắc chắn không thể sử dụng phép thế hay đánh giá. Nhận thấy phương trình
thứ nhất của hệ chứa các hàm riêng biệt với
,xy
(chứa
3,xx
và
32
,,y y y
mà không chứa
xy
)
nên ta có thể đưa phương trình thứ nhất về cùng một hàm số rồi sử dụng đạo hàm để giải.
Điều kiện
1;1 , 1;3xy
. Từ đó suy ra:
1 2;0x
và
3 2;0y
.
Khai thác phương trình thứ nhất của hệ:
22
3 3 2 3 3 2
6 3 9 2 0 3 2 6 9 2 1 3x y y x y x x y y y x x y y
22
1 3 1 3 3 3x x y y
.
Xét hàm số
2 3 2
33f t t t t t
trên
2;0
. Đạo hàm:
2
' 3 6 3 2f t t t t t
.
Ta có:
' 0 0 2f t t t
. Vậy trên đoạn
2;0
, hàm số
ft
đơn điệu.
Vậy, phương trình thứ nhất của hệ tương đương với
1 3 2x y y x
.