Mục lục
1 ĐẠI CƯƠNG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 3
A Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
B Bài tập rèn luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Dạng 0.1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Dạng 0.2. Tìm thiết diện của hình (H)khi cắt bởi mặt phẳng (P)........ 9
Dạng 0.3. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng . . . . . . . . . . . . 14
Dạng 0.4. Tìm thiết diện của hình (H)khi cắt bởi mặt phẳng (P)......... 23
Dạng 0.5. Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng qui, chứng
minh một điểm thuộc một đường thẳng cố định. . . . . . . . . . . . . . 24
2 QUAN HỆ SONG SONG 51
1 HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG 51
A Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2 ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG . . . . . . . . . . . . . . . 52
A Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
B Bài tập rèn luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Dạng 2.1. Chứng minh đường thẳng song song với đường thẳng, đường thẳng
song song với mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Dạng 2.2. Thiết diện của hình chóp bị cắt bởi mặt phẳng (α)và song song với
một đường thẳng cho trước. Tính diện tích thiết diện . . . . . . . . . . 63
3 HAI MẶT PHẲNG THẲNG SONG SONG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
A Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
B Bài tập rèn luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4 KHỐI LĂNG TRỤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5 BÀI TẬP TỔNG HỢP CHƯƠNG II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3 QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN 125
1 ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG . . . . . . . . . . . . . . . 125
A Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
B Bài tập rèn luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
2 HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
A Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
B Bài tập rèn luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Dạng 2.1. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
3 GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
A Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
B Bài tập rèn luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
Dạng 3.1. Tính góc giữa hai đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4 GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
A Góc giữa hai đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
B Bài tập rèn luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
Dạng 4.1. Tính góc giữa hai đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
C Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
Dạng 4.2. Xác định và tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng . . . . . . . . 165
D Bài tập rèn luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
E Góc giữa hai mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
1
2MỤC LỤC
Dạng 4.3. Tính góc giữa hai mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
F Bài tập rèn luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
5 KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG . . . . . . . . . . . . . . 188
A Phương pháp giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
B Bài tập mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
Dạng 5.1. Tính khoảng cách nhờ tính chất của tứ diện vuông . . . . . . . . . . 206
6 HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
A Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
B Bài tập rèn luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
Dạng 6.1. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau . . . . . . . . . . 211
Dạng 6.2. Xác định đường vuông góc chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
Chương 1. ĐẠI CƯƠNG HÌNH HỌC KHÔNG
GIAN
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Mặt phẳng
Mặt phẳng, mặt bàn, mặt nước hồ yên lặng, mặt sàn nhà,... cho ta hình ảnh một phần
của mặt phẳng.
2. Điểm thuộc mặt phẳng
Cho điểm Avà mặt phẳng (α). Khi điểm Athuộc mặt phẳng (α), ta nói Anằm trên (α)
hay mặt phẳng (α)chứa A, hay mặt phẳng (α)đi qua điểm Avà kí hiệu A∈(α), được
biểu diễn ở hình 2.
Tính chất 1. Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.
Tính chất 2. Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.
Tính chất 3. Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt. thuộc một mặt phẳng thì
mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.
Tính chất 4. Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.
Tính chất 5. Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì có một điểm chung
thì chúng còn một điểm chung khác nữa.
3. Cách xác định một mặt phẳng
Có ba cách xác định một mặt phẳng:
•Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết mặt phẳng đi qua ba điểm không
thẳng hàng.
•Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết mặt phẳng đi qua một điểm và chứa
một đường thẳng không đi qua điểm đó.
•Mặt phẳng được hoàn toàn xác định khi biết mặt phẳng đi chứa hai đường thẳng
cắt nhau.
4. Hình chóp và tứ diện
•Trong mặt phẳng (α)cho đa giác lồi A1A2A3. . . An. Lấy một điểm Skhông
thuộcmặt phẳng (α)và lần lượt nối điểm Svới các đỉnh A1,A2,A3,. . .,Anta được
ntam giác SA1A2,SA2A3,. . .,SAnA1. Hình gồm đa giác A1A2A3. . . Anvà ntam
giác SA1A2,SA2A3,. . .,SAnA1được gọi là hình chóp, kí hiệu là S.A1A2A3. . . An.
•Sđược gọi là đỉnh của hình chóp, đa giác A1A2A3. . . An, các tam giác SA1A2,
SA2A3,. . .,SAnA1được gọi là các mặt bên của hình chóp, SA1,SA2,SA3,. . .,SAn
được gọi là các cạnh bên của hình chóp.
•Tên của hình chóp gọi theo tên của đa giác đáy. Hình chóp tam giác còn gọi là
hình tứ diện.
Hình tứ diện có bốn mặt là các tam giác đều gọi là tứ diện đều.
3
4CHƯƠNG 1. ĐẠI CƯƠNG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
S
AB
C
Hình chóp tam giác
(hình tứ diện)
S
A
D
B
C
Hình chóp tứ giác
S
A
D
B
C
Hình chóp tứ giác có
đáy là hình thang
S
A
D
B
C
Hình chóp tứ giác có
đáy là hình bình
hành
B. Bài tập rèn luyện
DẠNG 0.1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
Phương pháp giải: Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, ta đi tìm hai điểm chung
phân biệt thuộc cả hai mặt phẳng. Nối hai điểm chung đó được giao tuyến cần tìm.
Bài 1. Cho tứ giác ABCD sao cho các cạnh đối không song song với nhau. Lấy một
điểm Skhông thuộc mặt phẳng (ABCD). Xác định giao tuyến của
1. Mặt phẳng (SAC)và mặt phẳng (SBD).
2. Mặt phẳng (SAB)và mặt phẳng (SCD).
3. Mặt phẳng (SAD)và mặt phẳng (SBC).
Lời giải.
1. Gọi Hlà giao điểm của AC với BD.
5
Khi đó ®H∈AC
H∈BD ⇒H∈(SAC)∩
(SBD)(1).
Dễ thấy S∈(SAC)∩(SBD)(2).
Từ (1) và (2) suy ra SH là giao tuyến
của hai mặt phẳng (SBD)và (SAC).
2. Gọi Klà giao điểm của hai đường
thẳng CD và AB.
Khi đó ®K∈AB
K∈CD ⇒K∈
(SAB)∩(SCD)(3).
Dễ thấy S∈(SAB)∩(SCD)(4).
Từ (3) và (4) suy ra SK là giao tuyến
hai mặt phẳng (SAB)và (SCD).
3. Gọi Llà giao điểm của hai đường
thẳng AD và BC.
Khi đó ®L∈AD
K∈BC ⇒L∈
(SAD)∩(SBC)(5).
Dễ thấy S∈(SAD)∩(SBC)(6).
Từ (5) và (6) suy ra SL là giao tuyến
hai mặt phẳng (SAD)và (SBC).
S
A
DH
K
L
B
C
Bài 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi I,Jlần lượt là trung điểm các cạnh AD,BC.
1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC)và mặt phẳng (JAD).
2. Lấy điểm Mthuộc cạnh AB,Nthuộc cạnh AC sao cho M,Nkhông là trung điểm.
Tìm giao tuyến của mặt phẳng (IBC)và mặt phẳng (DMN).
Lời giải.
1. Do giả thiết I∈AD nên I∈(JAD).
Suy ra I∈(BCI)∩(ADJ)(1).
Tương tự, ta có J∈(BCI)∩(ADJ)(2).
Từ (1) và (2) suy ra IJ là giao tuyến của hai
mặt phẳng (BCI)và (ADJ).
2. Gọi Elà giao điểm của hai đường thẳng DM
và BI.
Khi đó ®E∈BI
E∈DM ⇒E∈(MND)∩
(IBC)(3).
Tương tự, gọi Flà giao điểm của DN và CI
suy ra F∈(BCI)∩(MND)(4).
Từ (3) và (4) suy ra EF là giao tuyến hai mặt
phẳng (BCI)và (MND).
B
J
M
A
C
E
D
N
I
F