TOÁN 10-KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG Điện thoại: 0946798489
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
PHẦN 1. LÝ THUYẾT – VÍ DỤ
CHƯƠNG VIII. ĐẠI SỐ TỔ HỢP
BÀI 23. QUY TẮC ĐẾM
A - Kiến thức cần nhớ
Có hai quy tắc đếm quan trọng nhất, đó là quy tắc cộng và quy tắc nhân.
Quy tắc cộng. Giả sử có một công việc có thể được thực hiện theo một trong
k
phương án khác nhau:
- Phương án 1 có
1
n
cách thực hiện;
- Phương án 2 có
2
n
cách thực hiện;
….
- Phương án
k
có
k
n
cách thực hiện.
Khi đó số cách thực hiện công việc là
1 2
k
n n n
cách.
Quy tắc nhân. Giả sử có một công việc nào đó phải hoàn thành qua
k
công đoạn liên tiếp nhau:
- Công đoạn 1 có
1
m
cách thực hiện;
- Công đoạn 2 có
2
m
cách thực hiện;
….
- Công đoạn
k
có
k
m
cách thực hiện.
Khi đó số cách thực hiện công việc là
1 2
k
m m m
cách.
B - Ví dụ
Ví dụ 1. Một lớp học có 16 bạn nam và 14 bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách bầu ra bạn lớp trưởng ?
Giải
Có hai phương án để bầu ra bạn lớp trưởng:
- Phương án 1: bầu 1 trong số 16 bạn nam làm lớp trưởng;
- Phương án 2: bầu 1 trong số 14 bạn nữ làm lớp trưởng.
Với phương án 1 , ta có 16 cách bầu và với phương án 2 , ta có 14 cách. Như vậy, theo quy tắc
cộng, có tất cả
16 14 30
cách bầu ra một bạn làm lớp trưởng.
Ví dụ 2. Một câu lạc bộ cầu lông có 10 tay vợt nam và 8 tay vợt nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập một
đôi nam nữ để tham gia một giải đấu đôi nam nữ?
Giải
Để lập một đôi nam nữ, câu lạc bộ có thể thực hiện hai công đoạn:
- Công đoạn 1: chọn 1 trong số 10 tay vợt nam;
- Công đoạn 2: chọn 1 trong số 8 tay vợt nữ.
Với công đoạn 1 , câu lạc bộ có 10 cách chọn tay vợt nam và với công đoạn 2 , có 8 cách chọn cây
vợt nữ. Vì thế, theo quy tắc nhân, số các cách lập ra một đôi nam nữ tham gia giải đấu là
10 8 80
(cách).
BÀl 24. HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP VÀ TỔ HỢP
A - Kiến thức cần nhớ
Trong các bài toán đếm, các khái niệm cơ bản nhất là hoán vị, tổ hợp và chỉnh hợp.
Hoán vị. Một hoán vị của một tập hợp
n
phần tử là một cách sắp xếp có thứ tự
n
phần tử đó
( , 1) n n
. Số các hoán vị của
n
, kí hiệu là
n
P
, được tính bằng công thức:
! ( 1) ( 2) 2 1.
n
P n n n n
ÔN TẬP CHƯƠNG 8.
ĐẠI SỐ TỔ HỢP
•TOÁN 10
•|FanPage: Nguyễn Bảo Vương
Blog: Nguyễn Bảo Vương:
https://www.nbv.edu.vn/
Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Ta quy ước
0! 1
.
Chỉnh hợp. Một chỉnh hợp chập
k
của
n
là một cách sắp xếp có thứ tự
k
phần tử từ một tập hợp
n
phần tử, với
, ,1
k n k n
. Số các chỉnh hợp chập
k
của
n
, kí hiệu là
k
n
A
được tính bằng công
thức:
( 1) ( 2) ( 1),
k
n
A n n n n k
hay
k
n
n
A
Tổ hợp. Một tổ hợp chập
k
của
n
là một cách chọn
k
phần tử từ một tập hợp
n
phần tử, với
, ,0
k n k n
. Số các tổ hợp chập
k
của
n
, kí hiệu là
k
n
C
, được tính bằng công thức:
!
.
( )! !
k
n
n
C
n k k
Để tránh nhầm lẫn các khái niệm tổ hợp và chỉnh hợp, cần lưu ý rằng chỉnh hợp liên quan đến việc
chọn có xếp thứ tự còn tổ hợp là chọn không xếp thứ tự.
B - Ví dụ
Ví dụ 1. Có bao nhiêu số có 5 chữ số, các chữ số là đôi một khác nhau, được tạo thành từ các chữ số
1,2,3,4,5
?
Giải
Mỗi số như vậy tương ứng với một cách sắp xếp có thứ tự các chữ số
1,2,3
, 4,5. Như vậy, số các số
có 5 chữ số thoả mãn yêu cầu của bài toán bằng số các hoán vị của 5 , nghĩa là có
5
5 4 3 2 1 120.
P
(số)
Ví dụ 2. Cửa hàng kem có các vị va ni, sô cô la, dâu, trà xanh, cà phê, chuối, sầu riêng. Lan muốn
mua một cốc kem có hai vị khác nhau. Hỏi Lan có bao nhiêu cách chọn?
Giải
Có 7 loại kem khác nhau. Lan muốn chọn 2 loại từ 7 loại kem đó. Do đó, số cách chọn là
2
7
7 6
21
2
C
(cách)
BÀI 25. NHỊ THỨC NEWTON
A - Kiến thức cần nhớ
Các công thức khai triển nhị thức Newton cho
4
( )
a b
và
5
( )
a b
:
4 0 4 1 3 2 2 2 3 3 4 4
4 4 4 4 4
4 3 2 2 3 4
5 0 5 1 4 2 3 2 3 2 3 4 4 5 5
5 5 5 5 5 5
5 4 3 2 2 3 4 5
( )
4 6 4
( )
5 10 10 5
a b C a C a b C a b C ab C b
a a b a b ab b
a b C a C a b C a b C a b C ab C b
a a b a b a b ab b
B - Ví dụ
Ví dụ 1. Khai triển
4
( 3)
x.
Giải
Áp dụng công thức khai triển của
4
( )
a b
với
, 3
a x b
, ta có
4 4 3 2 2 3 4
4 3 2
( 3) 4 3 6 3 4 3 3
12 54 108 81
x x x x x
x x x x
Ví dụ 2. Hãy sử dụng ba hạng tử đầu tiên trong khai triển của
5
(3 0,02)
để tính giá trị gần đúng của
5
2,98
. Xác định sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng nhận được.
Giải
Ta có
5 5
2,98 (3 0,02) .
Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
Sử dụng công thức khai triển
5
( )
a b
, áp dụng cho
3, 0,02
a b
, ta thu được:
5 5 5 4 3 2
2,98 (3 0,02) 3 5 3 ( 0,02) 10 3 ( 0,02)
243 405 0,02 270 0,0004
243 8,1 0,108
235,008.
Bằng máy tính, ta kiểm tra được rằng giá trị đúng là 235,0072823968. Như vậy, sai số tuyệt đối của
giá trị gần đúng nhận được trên đây là
| 235,0072823968 235,008 | 0,0007176032.
PHẦN 2. BÀI TẬP TỰ LUẬN
CÂU HỎI TỰ LUẬN
Câu 1. Với các chữ số
0,1,2,3,4
có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên khác nhau, mỗi số có các chữ số
không trùng nhau?
Câu 2. Với các chữ số
0,1, 2 ,3, 4,5 ,6
có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có
4
chữ số khác nhau
trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số
5
.
Câu 3. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 3 chữ số đôi một khác nhau?
Câu 4. Từ các chữ số lẻ có thể viết được tất cả bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau?
Câu 5. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau
sao cho một trong 3 chữ số đầu tiên phải bằng 7?
Câu 6. Tìm số hạng đứng giữa của khai triển
10
3
5
1
x
x
.
Câu 7. Cô dâu và chú rể mời 4 người bạn đứng thành một hàng để chụp ảnh cùng với mình. Có bao nhiêu
cách xếp hàng nếu cô dâu đứng ở phía bên trái chú rể?
Câu 8. Có bao nhiêu số tự nhiên không lớn hơn 100 chia hết cho 4 hoặc cho 6?
Câu 9. Có bao nhiêu cách xếp các chữ
, , ,a b c d
thành một dãy sao cho chữ
b
không đi liền sau chữ
a
?
Câu 10. Có bao nhiêu số nguyên dương khác nhau có 7 chữ số sao cho tổng các chữ số của nó là số chẵn?
Câu 11. Từ các chữ số
1,2,3,4,5
. Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau nằm trong khoảng
300;500
?
Câu 12. Từ các chữ số 1, 3, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có các chữ số khác nhau và lớn
hơn 6000?
Câu 13. Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số mà 3 chữ số sau đều nhỏ hơn 6, còn 2 chữ số đầu không nhỏ hơn 6
trong đó các chữ số đều khác nhau?
Câu 14. Cho
, ,P x y z
là điểm trong không gian ba chiều với các thành phần tọa độ là các số nguyên có
1
chữ số. Hỏi có bao nhiêu điểm như vậy?
Câu 15. Trong một ván cờ vua gồm nam và nữ vận động viên, mỗi vận động viên phải chơi hai ván với
từng vận động viên còn lại. Cho biết có hai vận động viên nữ và số ván vận động viên nam chơi
với nhau hơn số ván họ chơi với vận động viên nữ là
66
. Hỏi có bao nhiêu vận động viên tham dự
giải và số ván tất cả các vận động viên đã chơi là bao nhiêu?
Câu 16. Một tổ có 10 nam và 5 nữ. Cần lập một ban đại diện gồm 4 người. Có bao nhiêu cách lập để có
nhiều nhất là 2 nữ?
Câu 17. Có 3 loại cây và 4 hố trồng cây. Hỏi có mấy cách trồng cây nếu mỗi hố trồng một cây và mỗi loại
cây phải có ít nhất một cây được trồng?
Câu 18. Trong một ngăn buồng trên xe lửa có hai dãy ghế đối mặt nhau, mỗi dãy có 5 chỗ ngồi có đánh số.
Trong số 10 hành khách vào ngăn đó có 4 người muốn quay mặt về hướng tàu đi, 3 người muốn
quay về hướng ngược lại. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi sao cho các yếu tố đó được
thỏa mãn?
Câu 19. Cho biết hệ số của số hạng thứ 3 trong khai triển nhị thức
3
2
n
x
x x
x
bằng 36. Hãy tìm số
hạng thứ 7.
Blog: Nguyễn Bảo Vương:
https://www.nbv.edu.vn/
Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Câu 20. Tìm hệ số của
31
x trong khai triển
40
2
1
f x x x
.
Câu 21. Tìm số nguyên dương
x
sao cho số hạng thứ 5 của khai triển
6
1
4
42 2
4
x
x
bằng 240.
Câu 22. Tìm số nguyên dương
x
cho biết trong khai triển
3
3
1
2
3
x
tỉ số của hạng tử thứ
7
kể từ hạng
tử đầu và hạng tử thứ
7
kể từ hạng tử cuối bằng
1
6
.
Câu 23. Từ một tập thể 14 người gồm 6 nam và 8 nữ. Người ta muốn chọn một tổ công tác gồm
6
người.
Tìm số cách chọn nếu trong tổ phải có cả nam lẫn nữ.
Câu 24. Tính tổng
0 1 2
1
1 1 ...
2 3 1
n
n
n n n n
S C C C C
n
Câu 25. Trên mặt phẳng cho 10 điểm, trong đó có 4 điểm thẳng hàng, ngoài ra không có bất cứ ba điểm
nào thẳng hàng. Có bao nhiêu tam giác có ba đỉnh tại các điểm đã cho?
Câu 26. Từ một nhóm có 10 nam và 5 nữ trong đó có cậu
A
và cô
B
, người ta chọn ra một ban đại diện
gồm 5 người trong đó có ít nhất hai nam và 2 nữ. Có bao nhiêu cách chọn nếu cậu
A
và cô
B
từ
chối tham gia?
Câu 27. Bảng chữ cái có 26 kí tự trong đó có 5 nguyên âm. Có bao nhiêu chuỗi gồm 6 kí tự trong đó có 3
phụ âm và 3 nguyên âm khác nhau sao cho trong các chữ đó chứa
q
và
v
?
Câu 28. Có 90 phiếu được đánh số từ 1 đến 90. Tính số cách rút ra 5 phiếu cùng một lúc sao cho có ít nhất
2 phiếu có số thứ tự là hai số liên tiếp.
Câu 29. Có bao nhiêu cách chia 3 thầy giáo dạy toán vào 6 lớp 12, mỗi thầy dạy đúng 2 lớp?
Câu 30. Cho
, , P x y z
là điểm trong không gian ba chiều với các tọa độ là số tự nhiên chỉ có một chữ
số. Hỏi có thể lấy một hệ gồm nhiều nhất bao nhiêu điểm như vậy sao cho không có bất cứ hai
điểm nào cùng nằm trong một mặt phẳng vuông góc với trục
Ox
?
Câu 31. Cho hai đường thẳng
a
và
b
cắt nhau tại
M
. Trên
a
lấy 9 điểm phân biệt khác , trên lấy 10
điểm phân biệt khác
M
. Hỏi từ 20 điểm đã cho lập được bao nhiêu tam giác?
Câu 32. Ba bạn A, B, C cùng đến nhà D mượn sách. Bạn D có 9 quyển sách khác nhau, trong đó có 8
quyển sách học và một cuốn tiểu thuyết. Bạn B mượn 2 quyển, Cmuốn mượn 3 quyển. Bạn A
mượn hai quyển trong đó có một cuốn tiểu thuyết. Hỏi bạn D có bao nhiêu cách cho mượn?
Câu 33. Cho hai đường thẳng song song. Trên đường thẳng thứ nhất lấy 10 điểm. Trên đường thẳng thứ 2
lấy 20 điểm. Có bao nhiêu tam giác tạo bởi các điểm đã cho?
Câu 34. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đội một khác nhau trong
đó có hai chữ số 3 và 4 không đứng cạnh nhau?
Câu 35. Cho các số tự nhiên 0, 1, 2, 3, 4, 5. Có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau sao cho luôn có mặt
chữ số 4 và chữ số hàng nghìn là 5?
Câu 36. Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 6, 7. Lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số khác nhau và một
trong hai chữ số đầu tiên là 7?
Câu 37. Có bao nhiêu tham người gia vào cuộc đấu cờ theo thể thức vòng tròn một lượt, biết rằng cuộc
đấu có tất cả 84 ván và có hai người bỏ cuộc sau khi mỗi người đã đấu đúng ba ván?
Câu 38. Có 10 đường thẳng, trong đó có 4 đường thẳng song song với nhau và không có bất cứ 3 đường
thẳng nào đồng quy, hỏi chúng cắt nhau tại bao nhiêu điểm?
Câu 39. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 . Tính tổng tất cả các số có 5 chữ số khác nhau được tạo thành từ các
số trên.
Câu 40. Một lớp học có 51 học sinh gồm 29 học sinh nữ và 22 nam. Có bao nhiêu cách bầu một ban cán
sự gồm 5 người nếu cậu Huy và cô Thục phải làm việc chung mới chịu?
Câu 41. Một lớp học có 51 học sinh gồm 29 học sinh nữ và 22 nam. Có bao nhiêu cách bầu một ban cán
sự gồm 5 người nếu cậu Huy và cô Thục không thể làm chung với nhau?
Câu 42. Trong mặt phẳng cho 5 điểm. Giả sử trong các đường thẳng nối từng cặp điểm trong 5 điểm này
không có cặp đường thẳng song song, vuông góc hay trùng nhau. Qua mỗi điểm ta kẻ các đường
thẳng vuông góc với tất cả những đường thẳng có thể dựng được bằng cách nối từng cặp điểm
M
b
Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-KẾT NỐI TRI THỨC VỚI CUỘC SỐNG
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
trong 4 điểm còn lại. Tìm số giao điểm của các đường thẳng vuông góc đó, không kể 5 điểm đã
cho, nhiều nhất là bao nhiêu?
Câu 43. Trong khai triển nhị thức
28
315
n
x x x
. Hãy tìm số hạng không phụ thuộc
x
, biết rằng
1 2
79
n n n
n n n
C C C
.
Câu 44. Trong khai triển nhị thức
12
3
3
x
x
. Tìm hạng tử độc lập với
x
?
Câu 45. Tính
1
1 2 3 4
2 3 4 ... 1
n
n
n n n n n
A C C C C C
.
Câu 46. Cho khai triển nhị thức
10
2 10
0 1 2 10
1 2 ...
3 3
x a a x a x a x
. Tìm số hạng
k
a
lớn nhất.
Câu 47. Một đội văn nghệ có
10
người, trong đó có
6
nữ và
4
nam. Có bao nhiêu cách chọn ra
5
người
mà trong đó không có quá
1
nam.
Câu 48. Tính tổng
6 5 4 3 2
0 1 2 3 4 5 6
6 6 6 6 6 6 6
2 2 2 2 2 2 1
1 2 3 4 5 6 7
S C C C C C C C
.
Câu 49. Cho khai triển
1
1 1 1
0 1
3 3 3
2 2 2
2 2 2 2 2 ... 2
n n
n n
x x x
x x x
n
n n n
C C C
(
n
là số nguyên
dương). Biết rằng trong khai triển đó
3 1
5
n n
C C
và số hạng thứ tư bằng
20n
. Tìm
n
và
x
.
LỜI GIẢI THAM KHẢO
Câu 1. Với các chữ số
0,1, 2,3, 4
có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên khác nhau, mỗi số có các chữ số
không trùng nhau?
Lời giải
Số cách chọn số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau là: 4.4.3.2.1 = 96.
Số cách chọn số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau là: 4.4.3.2 = 96.
Số cách chọn số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau là: 4.4.3 = 48.
Số cách chọn số tự nhiên có 2 chữ số đôi một khác nhau là: 4.4 = 16.
Số cách chọn số tự nhiên có 1 chữ số là: 5.
Vậy có thể lập được 96 + 96 + 48 + 16 + 5 = 261 số tự nhiên thỏa mãn đề bài.
Câu 2. Với các chữ số
0,1, 2 ,3, 4,5 ,6
có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có
4
chữ số khác nhau trong
đó nhất thiết phải có mặt chữ số
5
.
Lời giải
Gọi số cần tìm là
1 2 3 4 1
0
a a a a a
.
- Chữ số
5
đứng đầu
1
5
a
:
1
a
có 1 cách chọn;
234
a a a
có
3
6
A
cách.
Suy ra trường hợp này có
3
6
1. 120
A
số.
- Chữ số
5
không đứng đầu
1
5
a
: có
3
vị trí để đặt chữ số
5
, khi đó: