SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÂM ĐỒNG
TRƯỜNG THPT GIA VIỄN
Gia Viễn, tháng 02 năm 2023
Chương V. ĐẠI SỐ TỔ HỢP
§1. Quy tắc cộng. Quy tắc nhân. Sơ đồ hình cây
I . L THUYT
Quy tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động thứ nhất
có m cách thực hiện, hành động thứ hai có n (các cách thực hiện của cả hai hành động là khác nhau
đôi một) thì công việc đó có
mn+
cách hoàn thành.
Quy tắc nhân: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu hành động thứ nhất
có
m
cách thực hiện và ứng với mỗi cách hành động thứ nhất có
n
cách thực hiện hành động thứ hai
thì công việc đó có
.mn
cách hoàn thành.
Sơ đồ hình cây: Ta có thể sử dụng sơ đồ hình cây để đếm số cách hoàn thành
một công việc khi công việc đó đòi hỏi những hành động liên tiếp.
II. CÂU HỎI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1. BÀI TẬP TỰ LUẬN.
Bài 1: Lớp 10A có 36 học sinh, lớp 10B có 40 học sinh. Có bao nhiêu cách cử một học sinh của lớp
10A hoặc của lớp 10B tham gia một công việc tình nguyện sắp diễn ra?
Bài 2: Mỗi ngày có 6 chuyến xe khách, 3 chuyến tàu hoả và 4 chuyến máy bay từ thành phố A đến
thành phố B. Mỗi ngày có bao nhiêu cách chọn chuyến đi chuyển từ thành phố A đến thành phố B
bằng một trong ba loại phương tiện trên?
Bài 3: Hà có 5 cuốn sách khoa học, 4 cuốn tiểu thuyết và 3 cuốn truyện tranh (các sách khác nhau
từng đôi một), Hà đồng ý cho Nam mượn một cuốn sách trong số đó để đọc, Nam có bao nhiêu cách
chọn một cuốn sách để mượn?
Bài 4: An có 3 chiếc áo và 4 chiếc quần thể thao. An muốn chọn một bộ quần áo trong số đó để mặc
chơi thể thao cuối tuần này.
a) Vẽ vào vở và hoàn thành sơ đồ hình cây để thể hiện tất cả các khả năng mà An có thể lựa chọn
một bộ quần áo.
b) An có bao nhiêu cách lựa chọn bộ quần áo? Hãy giải thích.
Bài 5: Để tổ chức một bữa tiệc, người ta chọn thực đơn gồm một món khai vị, một món chính và một
món tráng miệng. Nhà hàng đưa ra danh sách: khai vị có 2 loại súp và 3 loại salad; món chính có 4
loại thịt, 3 loại cá và 3 loại tôm; tráng miệng có 5 loại kem và 3 loại bánh. Hỏi có thể thiết kế bao
nhiêu thực đơn khác nhau?
Bài 6: Một đồng xu có hai mặt sấp và ngửa (kí hiệu S và N). Tung đồng xu ba lần liên tiếp và ghi lại
kết quả. Tìm số kết quá có thể xảy ra, theo hai cách sau đây:
a) Vẽ sơ đồ hình cây. b) Sử dụng quy tác nhân.
Bài 7: Các phân tử RNA (acid ribonucleic) là một thành phần của tế bào sinh vật, có chức năng truyền
đạt thông tin di truyền và những chức năng quan trọng khác. Mỗi phân tử RNA là một dãy các phân
tử nuclcotide thuộc một trong bốn loại là A (adenine), C (cytosine), G (guanine) và U (uracil), Hình
8 là hình ảnh mô phỏng một đoạn phân tử RNA.
Số lượng và sự sắp xếp khác nhau của các phân tử nucleotide
A, C, G hay U tạo nên các đoạn phân tử RNA khác nhau.
Có nhiều nhất bao nhiêu đoạn phân tử RNA khác nhau cùng có
3 phân tử nucleotide?
Bài 8: Từ năm chữ số 0, 1, 2, 3, 4, có thể lập được bao nhiêu
a) số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau?
b) số tự nhiên chấn có ba chữ số đôi một khác nhau?
2. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có m cách
thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất
thì công việc đó có
A. m + n cách thực hiện. B. m.n cách thực hiện. C. 2m cách thực hiện. D. 2n cách thực hiện.
Câu 2: Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có m cách thực hiện hành
động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có
A. m.n cách hoàn thành công việc B. m + n cách hoàn thành công việc
C. 2m cách hoàn thành công việc D. 2n cách hoàn thành công việc
Câu 3: Giả sử bạn muốn mua một áo sơ mi cỡ 39 hoặc 40. Áo cỡ 39 có 5 màu khác nhau, áo cỡ 40
có 4 màu khác nhau. Hỏi bạn có bao nhiêu sự lựa chọn ( về màu áo và cỡ áo )?
A. 9 B. 5 C. 4 D. 1
Câu 4: Có 4 cái quần, 5 cái áo, 3 cái cà vạt. Một người cần chọn 1 quần, 1 áo, 1 cà vạt, thì số cách
chọn khác nhau là:
A.72 B. 60 C. 12 D. 3
Câu 5: Từ Hà Nội vào Vinh mỗi ngày có 7 chuyến tàu hỏa và 2 chuyến máy bay. Bạn An muốn ngày
Chủ nhật này đi từ Hà Nội vào Vinh bằng tàu hỏa hoặc máy bay. Hỏi bạn An có bao nhiêu cách chọn
chuyến đi?
A.
2
. B.
7
. C.
9
. D.
14
.
Câu 6: Một quán phục vụ ăn sáng có bán phở và bún. Phở có 2 loại là phở bò và phở gà. Bún có 3
loại là bún bò, bún riêu và bún cá. Một khách hàng muốn chọn một món để ăn sáng. Cho biết khách
hàng đó có bao nhiêu cách lựa chọn một món ăn sáng.
A.
2
. B.
3
. C.
5
. D.
6
.
Câu 7: Một người muốn mua vé tàu ngồi đi từ Hà Nội vào Vinh. Có ba chuyến tàu là SE5, SE7,
SE35. Trên mỗi tàu có 2 loại vé ngồi khác nhau: ngồi cứng hoặc ngồi mềm. Hỏi có bao nhiêu loại vé
ngồi khác nhau để người đó lựa chọn?
A.
2
. B.
3
. C.
5
. D.
6
.
Câu 8: Một người vào cửa hàng ăn, người đó chọn thực đơn gồm
món ăn trong
5
món,
loại quả
tráng miệng trong
5
loại quả tráng miệng và một nước uống trong
3
loại nước uống. Có bao nhiêu
cách chọn thực đơn:
A.
25
. B.
75
. C.
100
. D.
15
.
Câu 9: Từ thành phố
A
đến thành phố B có 6 con đường, từ thành phố B đến thành phố C có 7 con
đường. Có bao nhiêu cách đi từ thành phố A đến thành phố C, biết phải đi qua thành phố B.
A. 42 B. 46 C. 48 D. 44
Câu 10: Có
10
cặp vợ chồng đi dự tiệc. Tổng số cách chọn một người đàn ông và một người phụ nữ
trong bữa tiệc phát biểu ý kiến sao cho hai người đó không là vợ chồng:
A.
100
. B.
91
. C.
10
. D.
90
.
§2, 3. Hoán vị. Chỉnh hợp. Tổ hợp
I . L THUYT
1. Hoán vị: Cho tập hợp
A
gồm
n
phần tử
*
( ).n
Mỗi kết quả của sự sắp xếp thư tự
n
phần tử
của tập hợp
A
được gọi là một hoán vị của
n
phần tử đó.
Số các hoán vị: Định lí: Kí hiệu
n
P
là số các hoán vị của
n
phần tử. Ta có:
( 1)...2 1.
n
P n n= −
Quy ước: Tích
1.2...n
được viết là
!n
(đọc là
n
giai thừa), tức là
! 1.2... .nn=
Như vậy
!
n
Pn=
2. Chỉnh hợp: Cho tập hợp
A
gồm
n
phần tử và một số nguyên
1kn
. Mỗi kết quả của việc lấy
k
phần tử từ
n
phần tử của tập hợp
A
và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh
hợp chập
k
của
n
phần tử đã cho.
Số các chỉnh hợp: Kí hiệu
k
n
A
là số các chỉnh hợp chập
k
của
n
phần tử
( )
1kn
. Ta có
( ) ( )
1 ... 1
k
n
A n n n k= − − +
Lưu ý:
( )
*n
nn
A P n=
3. Tổ hợp: Cho tập hợp
A
gồm
n
phần tử và một số nguyên
k
với
1kn
. Mỗi tập con gồm
k
phần tử được lấy ra từ
n
phần tử của
A
được gọi là một tổ hợp chập
k
của
n
phần tử đó.
Số các tổ hợp: Số chỉnh hợp chập
k
của
n
phần tử nhiều gấp
!k
lần số tổ hợp chập
k
của
n
phần
tử đó.
Công thức 1: Kí hiệu
k
n
C
là số tổ hợp chập
k
của
n
phần tử với
1kn
. Ta có:
!
k
kn
n
A
Ck
=
.
Quy ước:
0! 1=
;
01
n
C=
.
Công thức 2: Với những quy ước trên, ta có công thức sau:
( )
!
!!
k
n
n
Ck n k
=−
với
0kn
.
Tính chất của các số 𝑪𝒏
𝒌: Ta có hai đẳng thức sau:
k n k
nn
CC
−
=
và
1
11
k k k
n n n
C C C
−
−−
+=
.
II. CÂU HỎI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1. BÀI TẬP TỰ LUẬN.
Bài 1: Một nhóm gồm bốn bạn Hà, Mai, Nam, Đạt xếp thành một hàng từ trái sang phải để tham gia
một cuộc phỏng vấn.
a) Hãy liệt kê ba cách sắp xếp bốn bạn trên theo thứ tự.
b) Có bao nhiêu cách sắp xếp thứ tự bốn bạn trên để tham gia phỏng vấn?
Bài 2: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau.
Bài 3: a) Sắp xếp 5 người vào một băng ghế có 7 chỗ. Hỏi có bao nhiêu cách.
b) Trong một cuộc thi điền kinh gồm
6
vận động viên chạy trên
6
đường chạy. Hỏi có bao nhiêu
cách xếp các vận động viên vào các đường chạy đó?
Bài 4: Có 10 cuốn sách toán khác nhau. Chọn ra 4 cuốn, hỏi có bao nhiêu cách.
Bài 5: Tính các biểu thức: a)
97
8
!!
!
A+
=
b)
86
5
!!
!
B−
=
c)
3
46
=−D P A
d)
32
96
3=+E A C
Bài 6: Một nhóm có 5 nam và 3 nữ. Chọn ra 3 người sao cho trong đó có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao
nhiêu cách.
Bài 7: Trong ngân hàng đề kiểm tra cuối học kì II môn Toán 10 có
20
câu lí thuyết và
40
câu bài
tập. Người ta chọn ra
5
câu lí thuyết và
10
câu bài tập trong ngân hàng đề để tạo thành một đề thi.
Hỏi có bao nhiêu cách lập đề thi gồm
15
câu hỏi theo cách chọn như trên?
Bài 8: Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7 có thể lập được bao nhiêu:
a) Số gồm 5 chữ số khác nhau b) Số chẵn gồm 5 chữ số khác nhau
c) Số lẻ gồm 5 chữ số khác nhau d) Số gồm 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 5
e) Số gồm 5 chữ số khác nhau và phải có mặt chữ số 5
2. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Số các hoán vị của n phần tử khác nhau đã cho (
1n
) được kí hiệu là
n
P
và bằng:
A.
( 1)( 2)...2.1 !
n
P n n n n= − − =
B.
( 1)( 2)...( )( ) !
n
P n n n n k n n n= + + + + =
C.
n
Pn=
D.
( 1)( 2)...2.1 0!
n
P n n= − − =
Câu 2: Số chỉnh hợp chập k của n phần tử khác nhau đã cho được kí hiệu là
k
n
A
và bằng:
A.
( )
! (1 )
!!
k
n
n
A k n
k n k
=
−
B.
( )
! (1 )
!
=
−
k
n
n
A k n
nk
C.
k
nn
AP=
D.
( )
!
!!
n
k
n
Ak n k
=−
Câu 3: Một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho là
A. Một kết quả sắp xếp thứ tự k phần tử được lấy từ n phần tử đã cho.
B. Một tập con gồm k phần tử được lấy từ n phần tử đã cho.
C. Một kết quả sắp xếp thứ tự k phần tử.
D. Một kết quả sắp xếp thứ tự n phần tử.
Câu 4: Có bao nhiêu cách xếp 5 người vào 5 chổ ngồi trên một dãy ghế dài?
A.120 B. 5 C. 20 D. 25
Câu 5:Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 nữ sinh, 3 nam sinh thành một hàng dọc:
A. 6 B. 72 C. 720 D. 144
Câu 5: Cho 10 điểm, không có 3 điểm nào thẳng hàng. Có bao nhiêu đường thẳng khác nhau tạo nên
từ 2 trong 10 điểm trên:
A.90 B. 20 C.45 D.30
Câu 6: Có bao nhiêu số gồm hai chữ số khác nhau được lập từ các số 6;7;8;9
A.4 B. 16 C.24 D. 12
Câu 7: Một lớp học có 10 học sinh được bầu chọn vào 3 chức vụ khác nhau: lớp trưởng, lớp phó, thư
ký(không kiêm nhiệm). Số cách lựa chọn khác nhau là:
A.30 B.1000 C.720 D.120
Câu 8: Một người có 4 cái quần, 6 cái áo, 3 cái cà vạt. Để chọn 1 quần, 1 áo, 1 cà vạt, thì số cách
chọn khác nhau là:
A.13 B.72 C. 12 D. 3
Câu 9: Có bao nhiêu số gồm ba chữ số khác nhau được lập từ các số 6;7;8;9
A.4 B. 16 C.24 D.12
Câu 10:
k
10
A 720=
thì k có giá trị là:
A.2 B. 3 C. 4 D. 5
Câu 11:
3
n
C 10=
thì n có giá trị là
A.100 B. 20 C. 5 D. 90
Câu 12: Trên bàn có 8 cây bút chì khác nhau, 6 cây bút bi khác nhau và 10 cuốn tập khác nhau. Một
học sinh muốn chọn đồ vật: hoặc 2 cây bút chì; hoặc 1 cây bút bi; hoặc 1 cuốn tập thì số cách chọn
là:
A.48 B. 24 C. 48 D. 72
Câu 13: Có bao nhiêu cách xếp khác nhau cho 6 người ngồi vào 4 chỗ trên một bàn dài?
A.
15
. B.
720
. C.
30
. D.
360
.
Câu 14: Trong trận chung kết bóng đá phải phân định thắng thua bằng đá luân lưu 11 mét. Huấn
luyện viên mỗi đội cần trình với trọng tài một danh sách sắp thứ tự 5 cầu thủ trong số 11 cầu thủ để
đá luân lưu 5 quả 11 mét. Hãy tính xem huấn luyện viên của mỗi đội có bao nhiêu cách lập danh
sách gồm 5 cầu thủ.
A.
462
. B.
55
. C.
55440
. D.
11!.5!
.