(lo i)ạ
Tµi liÖu dïng cho «n thi ®¹i häc
Chuyªn ®Ò 2: Ph¬ng tr×nh, hÖ ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh Vµ hÖ bÊt
ph¬ng tr×nh ®¹i sè
M T S KĨ NĂNG GI I H PH NG TRÌNHỘ Ố Ả Ệ ƯƠ
Trong các đ thi đ i h c nh ng năm g n đây , ta g p r t nhi u bài toán v h ph ng trình . Nh mề ạ ọ ữ ầ ặ ấ ề ề ệ ươ ằ
giúp các b n ôn thi t t , bài vi t này tôi xin gi i thi u m t s d ng bài và kĩ năng gi i chúngạ ố ế ớ ệ ộ ố ạ ả
I.H S D NG PH NG PHÁP BI N Đ I T NG Đ NG.Ệ Ử Ụ ƯƠ Ế Ổ ƯƠ ƯƠ
Đ c đi m chung c a d ng h này là s d ng các kĩ năng bi n đ i đ ng nh t đ c bi t là kĩ năng phânặ ể ủ ạ ệ ử ụ ế ổ ồ ấ ặ ệ
tích nh m đ a m t PT trong h v d ng đ n gi n ( có th rút theo y ho c ng c l i ) r i th vào PTằ ư ộ ệ ề ạ ơ ả ể ặ ượ ạ ồ ế
còn l i trong h .ạ ệ
*Lo i th nh t , trong h có m t ph ng trình b c nh t v i n x ho c y khi đó ta tìm cách rút y theo xạ ứ ấ ệ ộ ươ ậ ấ ớ ẩ ặ
ho c ng c l iặ ượ ạ
Ví d 1 .ụ Gi i h ph ng trình ả ệ ươ
( ) ( ) ( )
( )
2 2
2
x y 1 x y 1 3x 4x 1 1
xy x 1 x 2
+ + + = − +
+ + =
Gi i.ả
D th y x = 0 không th a mãn PT(2) nên t (2) ta có : ễ ấ ỏ ừ
2
x 1
y 1 x
−
+ =
thay vào (1) ta đ cượ
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
x 1 x 1
x x 3x 4x 1 x 1 2x 1 x 1 3x 1
x x
� �
− −
+ = − + − − = − −�
� �
� �
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
3 2 3 2
x 1
x 1 2x 2x x 1 x 1 3x 1 x 1 2x 2x 4x 0 x 0
x 2
=
− + − − = − − − + − = =� � � = −
T đó , ta đ c các nghi m c a h là : (1;-1) , (-2;ừ ượ ệ ủ ệ
5
2
−
)
*Lo i th hai , M t ph ng trình trong h có th đ a v d ng tích c a các ph ng trình b c nh t hai nạ ứ ộ ươ ệ ể ư ề ạ ủ ươ ậ ấ ẩ
Ví d 2 .ụ Gi i h ph ng trình ả ệ ươ
( )
( )
2 2
xy x y x 2y 1
x 2y y x 1 2x 2y 2
+ + = −
− − = −
Gi i .ả
Đi u ki n : x≥1 ; y≥0ề ệ
PT (1)
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
x xy 2y x y 0 x y x 2y x y 0
− − − + = + − − + =� �
( t đi u ki n ta có x+y>0)ừ ề ệ
x 2y 1 0 x 2y 1
− − = = +� �
thay vào PT (2) ta đ c :ượ
*lo i th ba , đ a m t ph ng trình trong h v d ng ph ng trình b c hai c a m t n , n còn l i làạ ứ ư ộ ươ ệ ề ạ ươ ậ ủ ộ ẩ ẩ ạ
tham số
Ví d 3.ụ Gi i h ph ng trình ả ệ ươ
( ) ( ) ( )
( )
2
2 2
y = 5x 4 4 x 1
y 5x 4xy 16x 8y 16 0 2
+ −
− − + − + =
Gi i .ả
Bi n đ i PT (2) v d ng ế ổ ề ạ
( )
2 2
y 4x 8 y 5x 16x 16 0
− + − + + =
Coi PT (2) là ph ng trình n y tham s x ta có ươ ẩ ố
2
' 9x
∆ =
t đó ta đ c nghi m ừ ượ ệ
( )
( )
y 5x 4 3
y 4 x 4
= +
= −
Thay (3) vào (1) ta đ c : ượ
( ) ( ) ( )
2
4
x y 0
5x 4 5x 4 4 x 5
x 0 y 4
= − =�
+ = + − = =�
1
Tµi liÖu dïng cho «n thi ®¹i häc
Thay (4) vào (1) ta đ c : ượ
( ) ( ) ( )
2
x 4 y 0
4 x 5x 4 4 x x 0 y 4
= =�
− = + − = =�
V y nghi m c a h là : (0;4) , (4;0) , (ậ ệ ủ ệ
4
5
−
;0)
II.H S D NG PH NG PHÁP Đ T N PHỆ Ử Ụ ƯƠ Ặ Ẩ Ụ
Đi m quan tr ng nh t trong h d ng này là phát hi n n ph ể ọ ấ ệ ạ ệ ẩ ụ
( ) ( )
a f x, y ;b g x, y= =
có ngay trong t ngừ
ph ng trình ho c xu t hi n sau m t phép bi n đ i h ng đ ng th c c b n ho c phép chia cho m tươ ặ ấ ệ ộ ế ổ ằ ẳ ứ ơ ả ặ ộ
bi u th c khác 0.ể ứ
Ví d 4ụ. Gi i h ph ng trình ả ệ ươ
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
2
x 1 y y x 4y 1
x 1 y x 2 y 2
+ + + =
+ + − =
Gi i .ả
D th y y=0 không th a mãn PT(1) nên HPTễ ấ ỏ
( )
2
2
x 1 y x 4
y
x 1 y x 2 1
y
++ + =
� �
+
+ − =
� �
� �
Đ t ặ
2
a b 2
x 1
a ,b y x 2 ab 1
y
+ =
+
= = + − =
gi i h ta đ c a=b=1 t đó ta có h ả ệ ượ ừ ệ
2
x 1 y
x y 3
+ =
+ =
H này b n đ c có th gi i d dàng.ệ ạ ọ ể ả ễ
Ví d 5.ụ Gi i h ph ng trình ả ệ ươ
( )
( )
2 2
2
3
4xy 4 x y 7
x y
1
2x 3
x y
+ + + =
+
+ =
+
Gi i . Đi u ki n : x +y ≠0ả ề ệ
HPT
( ) ( ) ( )
2 2
2
3
3 x y x y 7
x y
1
x y x y 3
x y
+ + − + =
+
+ + + − =
+
Đ t ặ
( )
1
a x y a 2 ;b x y
x y
= + + = −
+
ta đ c h ượ ệ
( )
( )
2 2
3a b 13 1
a b 3 2
+ =
+ =
Gi i h ta đ c a=2 , b=1 ( do |a|≥2 ) t đó ta có h ả ệ ượ ừ ệ
1
x y 2 x y 1 x 1
x y x y 1 y 0
x y 1
+ + = + = =
� �
+� �
� � �
− = =
� �
− =
III.H S D NG PH NG PHÁP HÀM SỆ Ử Ụ ƯƠ Ố
H lo i này ta g p nhi u hai d ng f(x)=0 ệ ạ ặ ề ở ạ (1)và f(x)=f(y) (2) v i f là hàm đ n đi u trên t p D và x,yớ ơ ệ ậ
thu c D .Nhi u khi ta c n ph i đánh giá n x,y đ x,y thu c t p mà hàm f đ n đi uộ ề ầ ả ẩ ể ộ ậ ơ ệ
* Lo i th nh t , m t ph ng trình trong h có d ng f(x)=f(y) , ph ng trình còn l i giúp ta gi i h n x,yạ ứ ấ ộ ươ ệ ạ ươ ạ ớ ạ
thu c t p D đ trên đ trên đó hàm f đ n đi uộ ậ ể ể ơ ệ
Ví d 6 .ụ Gi i h ph ng trình ả ệ ươ
( )
( )
3 3
8 4
x 5x y 5y 1
x y 1 2
− = −
+ =
Gi i . ả
2
Tµi liÖu dïng cho «n thi ®¹i häc
T PT (2) ta có ừ
8 4
x 1; y 1 x 1; y 1���
Xét hàm s ố
( )
[ ]
3
f t t 5t;t 1;1= − −�
có
( )
[ ]
2
f ' t 3t 5 0; t 1;1= − < ∀ −�
do đó f(t) ngh ch bi n trên ị ế
kho ng (-1;1) hay PT (1)ả
x y=�
thay vào PT (2) ta đ c PT : ượ
8 4
x x 1 0+ − =
Đ t a=xặ4 ≥0 và gi i ph ng trình ta đ c ả ươ ượ
4
1 5 1 5
a y x
2 2
− + − +
= = =� �
*lo i th hai , là d ng h đ i x ng lo i hai mà khi gi i th ng d n đ n c hai tr ng h p (1) và (2)ạ ứ ạ ệ ố ứ ạ ả ườ ẫ ế ả ườ ợ
Ví d 7.ụ Gi i h ph ng trình ả ệ ươ
2 y 1
2 x 1
x x 2x 2 3 1
y y 2y 2 3 1
−
−
+ − + = +
+ − + = +
Gi i .ả
Đ t ặ
a x 1;b y 1= − = −
ta đ c h ượ ệ
( )
( )
2 b
2 a
a a 1 3 1
b b 1 3 2
+ + =
+ + =
Tr v v i v 2 PT ta đ c : ừ ế ớ ế ượ
2 a 2 b
a a 1 3 b b 1 3+ + + = + + +
(3)
Xét hàm s ố
( ) ( )
2
2 t t
2
t 1 t
f t t t 1 3 ;f ' t 3 ln 3
t 1
+ +
= + + + = +
+
Vì
( )
2 2 2
t 1 t t t 1 t 0 f ' t 0, t+ > − + + > > ∀� � �
do đó hàm s f(t) đ ng bi n trên Rố ồ ế
Nên PT (3)
a b=�
thay vào PT (1) ta đ c ượ
2 a
a a 1 3+ + =
(4)
Theo nh n xét trên thì ậ
2
a a 1 0+ + >
nên PT (4)
()
2
ln a a 1 a ln 3 0+ + − =�
( l y ln hai v )ấ ế
Xét hàm s ố
hay hàm g(a) ngh ch bi n trên R và do PT (4) có nghi m a=0 nên PT (4) có nghi m duy nh t a=0ị ế ệ ệ ấ
T đó ta đ c nghi m c a h ban đ u là : x=y=1ừ ượ ệ ủ ệ ầ
IV.H S D NG PH NG PHÁP ĐÁNH GIÁỆ Ử Ụ ƯƠ
V i ph ng pháp này, c n l u ý phát hi n các bi u th c không âm và n m v ng cách v n d ng các b tớ ươ ầ ư ệ ể ứ ắ ữ ậ ụ ấ
đ ng th c c b nẳ ứ ơ ả
Ví d 8ụ . Gi i h ph ng trình ả ệ ươ
2
32
2
2
3
2xy
x x y
x 2x 9
2xy
y y x
y 2y 9
+ = +
− +
+ = +
− +
Gi i.ả
C ng v v i v hai PT ta đ c ộ ế ớ ế ượ
2 2
3 2 2
3
2xy 2xy x y
x 2x 9 y 2y 9
+ = +
− + − +
(1)
Ta có :
( )
2
3 2 3
3 32 2
2 xy 2 xy
2xy
x 2x 9 x 1 8 2 xy
2
x 2x 9 x 2x 9
= +− = +−� � − + − +
T ng t ươ ự
3 2
2xy xy
x 2x 9
− +
mà theo b t đ ng th c Côsi ấ ẳ ứ
2 2
x y 2 xy+
nên VT(1)≤VP(1)
D u b ng x y ra khi ấ ằ ả
x y 1
x y 0
= =
= =
th l i ta đ c nghi m c a h là : (0;0) , (1;1)ử ạ ượ ệ ủ ệ
Ví d 9ụ . Gi i h ph ng trình ả ệ ươ
3
3
y x 3x 4
x 2y 6y 2
= − + +
= − −
3
Tµi liÖu dïng cho «n thi ®¹i häc
Gi i.ả
HPT
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
3
2
3
y 2 x 3x 2 y 2 x 1 x 2 1
x 2 2 y 3y 2 x 2 2 y 1 y 2 2
− = − − − − = − + −
� �
� �
� �
− = − − − = + −
� �
N u x>2 t (1) suy ra y-2<0 di u này mâu thu n v i PT(2) có (x-2) và (y-2) cùng d uế ừ ề ẫ ớ ấ
T ng t v i x<2 ta cũng suy ra đi u vô lí . ươ ự ớ ề V y nghi m c a h là x=y=2ậ ệ ủ ệ
Hy v ng m t s ví d trên s giúp b n ph n nào kĩ năng gi i h .Đ k t thúc bài vi t m i các b n cùngọ ộ ố ụ ẽ ạ ầ ả ệ ể ế ế ờ ạ
gi i các h ph ng trình sauả ệ ươ
( )
( )
( )
( )
( )
( )
3
2 2 3
3 2
2
4 2 3 2
x 2 3y 8
xy 3x 2y 16
1) 2)
x y 2x 4y 33 x y 2 6
2 x 2x y 1 x y 1
x 3y 9
3) 4)
y 4 2x 3 y 48y 48x 155 0 y 4x 1 ln y 2x
+ =
− − =
� �
+ − − = − =
+ − − = +
+ =
+ − − − + = + + + + =
0
3 2
2 2
2 2
x
2 2 2
2
3 2
y
2
x y 2
x x 2 x 4 y 1 y 3 y 5
5) 6) x xy y y 0
x y x y 44
y
e 2007 x y 2x y 0
y 1
7) 8)
x2x 3x 6y 12x 13 0
e 2007 x 1
+ =
+ + + + = − + − + −
� �
� � + + − =
+ + + =
= −
− + =
−
+ + − + =
= −
−
§1. HÖ ph¬ng tr×nh ph¬ng tr×nh ®¹i sè
Mét sè d¹ng hÖ ph¬ng tr×nh thêng gÆp
1) HÖ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt: C¸ch tÝnh ®Þnh thøc
2) HÖ ph¬ng tr×nh ®èi xøng lo¹i 1: HÖ kh«ng thay ®æi khi ta thay x bëi y vµ ngîc l¹i
3) HÖ ph¬ng tr×nh ®èi xøng lo¹i 2: NÕu ®æi vai trß cña x vµ y th× ph¬ng tr×nh nµy trë thµnh ph-
¬ng tr×nh kia vµ ngîc l¹i
4) HÖ ph¬ng tr×nh ®¼ng cÊp bËc 2: XÐt 2 trêng hîp, sau ®ã ®Æt x = ty
5) Mét sè hÖ ph¬ng tr×nh kh¸c
C¸c vÝ dô
VÝ dô 1. Mét sè hÖ d¹ng c¬ b¶n
1) Cho hÖ ph¬ng tr×nh
=+++
=++
8
)1)(1(
22 yxyx
myxxy
a) Gi¶i hÖ khi m = 12
b) T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm
2) Cho hÖ ph¬ng tr×nh
2 2 2
1 1
2
a
x y
x y a
+ =
+ = +
T×m a ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã ®óng 2 nghiÖm ph©n biÖt
3) Cho hÖ ph¬ng tr×nh
2 2
2 2
1
3 2
x xy y
x xy y m
− + =
− + =
T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm
4
Tµi liÖu dïng cho «n thi ®¹i häc
4) Cho hÖ ph¬ng tr×nh
−=+
=+
222 6ayx
ayx
a) Gi¶i hÖ khi a = 2
b) T×m GTNN cña F = xy + 2(x + y) biÕt (x, y) lµ nghiÖm cña hÖ
5) Cho hÖ ph¬ng tr×nh
+=+
+=+
ymx
xmy
2
2
)1(
)1(
T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt
6) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:
=−+
=−+
22
22
xy
yx
7) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:
=+++++++
=+++
myxxyyx
yx
1111
311
a) Gi¶i hÖ khi m = 6
b) T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm
VÝ dô 2. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:
+
=
+
=
2
2
2
2
2
3
2
3
y
x
x
x
y
y
(KB 2003)
HD: TH1 x = y suy ra x = y = 1
TH2 chó ý: x>0, y> 0 suy ra v« nghiÖm
VÝ dô 3. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:
=+
=+
358
152
33
22
yx
xyyx
HD: Nhãm nh©n tö chung sau ®ã ®Æt S = 2x + y vµ P = 2x. y
⇒
§s: (1, 3) vµ (3/2, 2)
VÝ dô 4. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:
=+
−=−
)2(1
)1(33
66
33
yx
yyxx
HD: tõ (2) : - 1 ≤ x, y ≤ 1 hµm sè:
( )
tttf 3
3−=
trªn [-1;1] ¸p dông vµo ph¬ng tr×nh (1)
VÝ dô 5. CMR hÖ ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm duy nhÊt:
+=
+=
x
a
xy
y
a
yx
2
2
2
2
2
2
HD:
=−
=
223
2axx
yx
; xÐt
23
2)( xxxf −=
, lËp BBT suy ra KQ
VÝ dô 6. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:
=−+
=−+
22
22
xy
yx
HD B×nh ph¬ng 2 vÕ, ®ãi xøng lo¹i 2
VÝ dô 7.
−=+
−=+
)1(
)1(
2
2
xayxy
yaxxy
x¸c ®Þnh a ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt
HD sö dông §K cÇn vµ ®ñ
⇒
a = 8
VÝ dô 8. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:
+=
−=−
)2(5
)1(2010
2
2
yxy
xxy
5