Tài liệu ôn thi đại học môn Toán năm 2014

Ạ Ọ Ệ TÀI LI U ÔN THI Đ I H C MÔN TOÁN NĂM 2014

Ẽ Ồ Ị Ủ

Ự Ế

Ầ

Ả

Ố

PH N I: KH O SÁT S BI N THIÊN VÀ V Đ TH C A HÀM S

ẽ ồ ị ự ế ả ữ ộ ạ ố là m t trong nh ng d ng toán mà chúng ta s ẽ Kh o sát s bi n thiên v đ th hàm s

ả ặ ạ ọ ề ậ ả ườ ậ ạ ph i g p trong các đ thi đ i h c chính vì v y ph i th ng xuyên làm bài t p d ng này

ầ ộ ạ ắ ằ ề ầ ế ụ m t cách thu n th c. Hãy làm đi làm l i nhi u l n vì ch c r ng n u không làm th ườ ng

ẽ xuyên chúng ta s quên.

ƯƠ

ố ẽ ồ ị ủ

ố ủ

ủ ạ ế

ố

ấ ơ ố

ườ ủ ồ ị ệ ế ậ ố i h n c a hàm s và đ ng ti m c n (n u có) c a đ th hàm s

ế

Ọ Ả NG PHÁP GI I A. PH ự ế ả Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s y = f(x) ậ ị 1. T p xác đ nh c a hàm s ự ế 2. S bi n thiên: ế ề Chi u bi n thiên ạ ệ Tính đ o hàm c p 1 và tìm nghi m c a đ o hàm (n u có) ệ ủ ậ ế K t lu n tính đ n đi u c a hàm s ự ị ủ C c tr c a hàm s ố ớ ạ ủ Gi ả ậ L p b ng bi n thiên ẽ ồ ị 3. V đ th Ụ B. VÍ D MINH H A

ẽ ồ ị ự ế ủ ả VD1: Kh o sát s bi n thiên và v đ th (C) c a hàm s ố y = x4 x2 + 6

i:ả Gi ị ậ T p xác đ nh: D = R

3 6x2 + 1

ẽ ồ ị ủ ự ế ố ả VD2: Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s y = 4x

Ạ Ọ Ệ

TÀI LI U ÔN THI Đ I H C MÔN TOÁN NĂM 2014 i:ả Gi

+ x 2 + x

1 1

ẽ ồ ị ủ ự ế ố ả VD3: Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s

(cid:0) RD

\ (cid:0)

(cid:0)1

(cid:0) ị

i:ả ậ ự ế ề ế Gi 1. T p xác đ nh: 2. S bi n thiên: * Chi u bi n thiên:

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ớ Ta có ọ (cid:0) v i m i x 1 (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(cid:0) ả ; 1) vµ ( 1; + (cid:0) )

;

(cid:0) - (cid:0) (cid:0) - (cid:0) - (cid:0) - ậ ứ ; ti m c n đ ng: x = 1

1 ố ồ ế Hàm s đ ng bi n trên các kho ng ( ị ự * C c tr : ự ố ị Hàm s không có c c tr . ự ớ ạ ạ i vô c c: i h n t * Gi = ; ti m c n ngang: y = 2 = y y 2 lim lim ậ ệ (cid:0) +(cid:0) x x = - = +(cid:0) lim ệ + ( 1)

x ế * B ng bi n thiên:

lim ( 1) ả x (cid:0)

1 + (cid:0)

y’ + +

y + (cid:0) 2

2 (cid:0)

ồ ị 3. Đ th :

Ạ Ọ Ệ TÀI LI U ÔN THI Đ I H C MÔN TOÁN NĂM 2014

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

Ụ

Ầ

Ả

Ố

o0o(cid:0) PH N II: Ý PH CÂU KH O SÁT HÀM S

Ự Ố

ị

ổ ấ ỉ ị

ổ ấ

ổ ấ ự ự

ố ố ố ố ố ố i x Ị Ủ I. C C TR C A HÀM S ổ ấ ự 1. Hàm s f có c c tr <=> y ' đ i d u ự ổ ấ 2. Hàm s f không có c c tr <=> y ' không đ i d u ầ ộ ự 3. Hàm s f ch có m t c c tr <=> y ' đ i d u 1 l n ự ể ị ự ạ ầ 4. Hàm s f có 2 c c tr (c c đ i và c c ti u) <=> y ' đ i d u 2 l n ầ ị 5. Hàm s f có 3 c c tr <=> y ' đ i d u 3 l n ạ ự ạ ạ 0 n u:ế 6. Hàm s f đ t c c đ i t

ố i x ạ ự ể ạ 0 n u:ế 7. Hàm s f đ t c c ti u t

ạ ự ạ ố i x ị ạ 0 => f ' (x0) = 0 8. Hàm s f có đ o hàm và đ t c c tr t

ỉ ạ ự ị ạ ữ ể ạ i nh ng đi m mà t ạ i đó đ o

ị ộ ặ ạ

)

( C(cid:0)

ệ ƯƠ ố ớ ố t tiêu ho c đ o hàm không xác đ nh. Ế

( ;M x 0

y 0

(

x 0

ế ủ Ế ể i đi m .

) (

) +

(

y 0

x 0

- ạ ng trình ti p tuy n có d ng: .

(

y 0

ế ế ệ ố ế (cid:0) ươ ố ấ ỳ Chú ý: Đ i v i m t hàm s b t k , hàm s ch đ t c c tr t hàm tri II. PH NG TRÌNH TI P TUY N Lo i 1ạ : Ti p tuy n c a hàm s t ố ạ ế ) (cid:0) Tính đ o hàm và giá tr ị . (cid:0) Ph ạ ế ươ Lo i 2ạ : Bi ủ ế k . t h s góc c a ti p tuy n là ) (cid:0) Gi k= , tìm nghi m ệ ả x x ng trình: 0 i ph .

- ạ Ệ ế ng trình ti p tuy n d ng:

Ạ Ọ TÀI LI U ÔN THI Đ I H C MÔN TOÁN NĂM 2014 ) ( + x k x 0 ( A x . y ế

)

) +

( k x

)

) ) ( C(cid:0) . k, khi đó ( ươ

- ẳ

d v C là h ph

)

( k x =

( f x (

)

ả ệ ng trình sau ph i có nghi m: (cid:0) ề = - (cid:0) Ph ươ ế Lo i 3:ạ ế ủ C) đi qua đi m ể Ti p tuy n c a ( (cid:0) G i ọ d là đường th ng qua ệ ố A và có h s góc là ) ( ủ ( (cid:0) Đi u ki n ti p xúc c a à ệ ế ) + y ệ x (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(cid:0)xf

xf '

y (cid:0) ế

xf ' ạ

Ế Ế (cid:0) NGH CH BI N Ị (cid:0) Ề Ồ ậ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ồ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) .

ỉ ể III. CÁC BÀI TOÁN V Đ NG BI N ị có t p xác đ nh là mi n Cho hàm sô (cid:0) f(x) đ ng bi n trên ,0 D (cid:0) f(x) ngh ch bi n trên ị ườ (ch xét tr D ợ f(x) = 0 t ế ng h p i m t s h u h n đi m trên mi n ề D) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ề D. . Dx ,0 ộ ố ữ ạ o0o(cid:0)

Ầ

ƯƠ

ƯỢ

PH N III. PH

NG TRÌNH L

NG GIÁC

ệ ứ + a

ơ ả 1

a a tan .cot

+ p

(

)

tan

cot

sin cos

a cos a sin

� a � �

� � �

2 p

(cid:0) (cid:0) I. CÔNG TH CỨ 1. H th c LG c b n a 2 cos sin a a

(

)

+ p

cot

tan

1 2 sin

� � �

1 2 cos 2. Công th c ứ LG th

(cid:0) (cid:0)

sinacosb sinbcosa

(cid:0) (cid:0)

(cid:0)

� a 1 � � ườ ( sin (

ặ ng g p ) = a b )

a b

cos

cos a cos b sinasinb

ứ ộ

Công th c c ng:

(

)

tan

b a tan tan m b a 1 tan tan

a sin 2

a 2sin .cos 2

(cid:0) (cid:0)

- = - a

cos

sin

2 cos

1 1 2sin

a cos 2 =

cos 3

4 cos

ứ Công th c nhân:

3cos 3

a =

sin 3

3sin

4sin 3

3 tan

a tan 3 =

tan 2 a

a 1 3 tan

cosa.cosb =

[cos(a(cid:0) b)+cos(a+b)]

Tích thành t ng:ổ

sina.sinb =

[cos(a(cid:0) b)(cid:0) cos(a+b)]

1 2 1 2

sina.cosb =

[sin(a(cid:0) b)+sin(a+b)]

1 2

Ạ Ọ Ệ TÀI LI U ÔN THI Đ I H C MÔN TOÁN NĂM 2014

sin

2sin

cos

ổ

T ng thành tích:

= b

sin

2 cos

- -

2 cos

cos

= - b

2sin

sin

cos

a b 2 a b 2 a b 2 a b 2

- -

tan

+ a b 2 + a b 2 + a b 2 + a b 2 a b sin( ) b a cos .cos

(cid:0) (cid:0)

ứ ạ ậ

cos2a =

(1+cos2a)

Công th c h b c:

sin2a =

(1(cid:0) cos2a)

1 2 1 2

ố

ể

ễ

t =

tan

Bi u di n các hàm s LG theo

a 2

sin

; cos

; tan

t t

t 2 t

t 2 + t

1 + 1

ươ

3. Ph

* sinu=sinv

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ơ ả ng trìng LG c b n = + p v k u 2 = - + p v

p k 2

)Zk (cid:0)

* cosu=cosv(cid:0) u=(cid:0) v+k2(cid:0) u=v+k(cid:0) (

ƯỢ

ƯỜ

u u=v+k(cid:0) NG TRINH L

* cotu=cotv (cid:0) Ặ NG G P

* tanu=tanv (cid:0) Ộ Ố ƯƠ ậ ươ

II. M T S PH 1. Ph

ươ

i các ph

ng trình này ta dùng các

ố ượ ng trình LG c b n.

công th c LG đ đ a ph

ố ượ ng giác: ể ả ng giác: đ gi ơ ả ố ượ

ươ

ữ

NG GIÁC TH ố ớ ộ ấ ậ ng trình b c nh t, b c hai đ i v i m t hàm s l ộ ậ ấ ố ớ ng trình b c nh t đ i v i m t hàm s l ề ươ ể ư ươ ng trình v ph ớ ố ậ ng trình b c hai đ i v i m t hàm s l

ng giác: là nh ng ph

a. Ph ứ b. Ph

ạ ng trình có d ng ươ ể ả ng i các ph

ặ

ươ

x và cosx:

ể ươ

ệ

(cid:0)

ộ a.sin2x+b.sinx+c=0 (ho c ặ a.cos2x+b.cosx+c=0, a.tan2x+b.tanx+c=0, a.cot2x+b.cotx+c=0) đ gi ằ ố trình này ta đ t t b ng hàm s LG.. ấ ố ớ ậ ng trình b c nh t đ i v i sin 2. Ph ệ ề D ngạ : asinx+bcosx=c. Đi u ki n đ ph

ng trình có nghi m là

ế ươ

ồ ặ

ượ

tan

C ách 1:

Chia hai v ph

ng trình cho a r i đ t

c: sinx+tan

(cid:0) cosx= cos

, ta đ

c a

at�� =

b a sin(x+a )= cos

sinx cosa + sina cosx= cos

sinj

c a

ế ươ

C ách 2:

Chia hai v ph

, ta đ

sin

cos

c a ng trình cho a + 2

c:ượ b + 2

c + 2

(cid:0) (cid:0)

cos

;

b sin

ươ

. Khi đó ph

ng trình t

ng đ

ng:

Đ t: ặ

a + 2

b + 2

at�� =

(

)

sin

j sin

cos

sin

sin cos

hay

c + 2

Ạ Ọ Ệ TÀI LI U ÔN THI Đ I H C MÔN TOÁN NĂM 2014

a ố ớ

ươ

ấ ậ

ng trình thu n nh t b c hai đ i v i sinx và cosx:

3. Ph ạ D ng:

ầ asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0 (*). p

ể

ệ

ớ

Cách 1: + Ki m tra nghi m v i

ả ử

+ Gi

x(cid:0) 0: chia hai v ph

ng trình cho cos

2x ta đ

ượ atan2x+btanx+c=0.

tan

Chú ý:

ế ươ � x � �

� � �

ụ

ứ ạ ậ

(cid:0)

ươ

ng trình đ i x ng đ i v i sin

x và cosx:

(cid:0)

L�u y �ca�c co�ng th��c:

2 sin

cos

sin

2 cos

= x

2 sin

cos

sin

- -

s cos 1 2 cos Cách 2: Áp d ng công th c h b c. ố ứ ố ớ 4. Ph a(sinx(cid:0) cosx)+ bsinxcosx=c. ạ D ng: i:ả Đ t ặ t= sinx(cid:0) cosx. Đi u ki n ề Cách gi p � � = + = � � 4 � � p � � = - � � 4 � �

ệ (cid:0) t (cid:0) p � � � � 4 � � p � � + 2 cos � � 4 � �

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

Ầ

o0o(cid:0) PH N IV: TÍCH PHÂN

(cid:0) C

dx.0

Ầ Ớ I. B NG NGUYÊN HÀM C N NH :

x dxa

Ả 1. (cid:0) (cid:0) (cid:0)

xdx

cos

a a ln Cx sin

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 2. (cid:0)

xdx

sin

cos

x n

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 6. (cid:0) 7. (cid:0) 8. (cid:0) (cid:0) (cid:0) (n # 1) 3. (cid:0) (cid:0)

tgx

dx 2 cos

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 9. (cid:0)

cot

dx x e

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 10. (cid:0)

dx

e

C

dx sin 2

4. (cid:0) 5. (cid:0)

ấ ủ II. Các tính ch t c a tích phân:

dxxf

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ấ Tính ch t 1: (cid:0)

Ạ Ọ Ệ

TÀI LI U ÔN THI Đ I H C MÔN TOÁN NĂM 2014 ậ ướ ế ằ ậ N u tích phân có c n trên b ng c n d ế ằ i thì k t b ng 0

dxxf

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ấ Tính ch t 2: (cid:0) (cid:0)

ả ậ ấ ố ướ Trong tính tích phân mu n đ o c n thì thêm d u “ “ vào tr c tích phân.

dxxkf

dxxfk

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ấ Tính ch t 3: (cid:0) (cid:0) k R(cid:0)

ệ ố ệ ố ể ấ Trong tích phân có h s k thì chuy n h s ra ngoài d u tích phân.

dxxf

dxxg

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ấ Tính ch t 4: (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ấ ườ ợ ượ ề Đây là tính ch t tách tích phân, tùy tr ng h p mà tách đ c nhi u tích phân.

dxxf

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ấ Tính ch t 5: (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ề ấ Đây là tính ch t tách mi n tích phân.

dxxf

dxtf

dxuf

...

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Tính ch t 6:ấ (cid:0) (cid:0) (cid:0)

dxxf

(cid:0)xf

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ụ ỉ ụ ậ ộ Tích phân ố ộ ch ph thu c vào hàm s , c n a và b mà không ph thu c vào (cid:0)

ế ố ệ cách kí hi u bi n s tích phân.

ươ

ƯƠ

Ư

A. Ph

ng pháp 1:

NG PHÁP Đ A VÀO VI PHÂN

Ủ ƯƠ Ắ NGUYÊN T C C A PH NG PHÁP:

dxxf

(cid:0)xg

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ả ạ ta đ a “ư ” vào vi phân thì ph i đ o hàm , ta s cóẽ (cid:0) * Tích phân I =

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ẽ ở ủ ậ . ’ v y tích phân c a ta s tr thành: I =

(cid:0)xg

xgdxf xg

(cid:0) (cid:0)

Ệ

(cid:0)xgd

dx thành

(cid:0) (cid:0) (cid:0) Ạ Ọ TÀI LI U ÔN THI Đ I H C MÔN TOÁN NĂM 2014 ổ ư ự ả + Ta th y tích phân đã có s thay đ i nh sau: và tích phân ph i chia

(cid:0) cho

(cid:0) ấ (cid:0)xg ’. (cid:0)xg ườ ẽ + Và ’ th ng s rút g n đ ọ ượ ớ ử ố s . c v i t

ư ọ ườ ầ ủ ể ư * L u ý khi ch n cái gì đ đ a vào vi phân: Cái đó th ng là 1 thành ph n c a Tích phân

ế ầ ầ ặ ầ ạ ố ho c cái gì đó g n g n gi ng(liên quan đ n Tích phân c n tính), khi đ o hàm cái đó thì

ượ ớ ớ ườ ọ ượ ặ ư đ c cái m i mà cái m i này th ng giúp cho Tích phân rút g n đ c ho c đ a Tích phân

ấ ơ ả ề ạ v d ng r t c b n.

ươ

ƯƠ

Ặ

B. Ph

ng pháp 2:

NG PHÁP Đ T t

Ủ ƯƠ Ắ NGUYÊN T C C A PH NG PHÁP:

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ườ 1. Tích phân có thì th ẽ ặ ng ta s đ t t =

ẽ ặ ử ạ ẫ ố 2. Tích phân có d ng phân s thì th ta s đ t t = m u.

ứ ạ ể ặ ầ ấ 3. Trong câu tích phân có thành ph n nào ph c t p nh t thì ta có th đ t t = cái đó.

ẽ ượ ặ ạ ọ ớ ớ Và quan tr ng là ta đ t cái gì thì khi đ o hàm cái đó s đ c cái m i, cái m i này

ả ượ ễ ễ ễ ạ ọ ụ ph i giúp tích phân đ c thu g n và d bi u di n l i. Các em cùng xem các ví d trong

ể ắ ủ ầ ươ ặ ph n này đ n m rõ quy trình c a ph ng pháp đ t t.

ươ

ƯƠ

Ừ

Ầ

C. Ph

ng pháp 3:

NG PHÁP TÍCH PHÂN T NG PH N

Ủ ƯƠ Ắ NGUYÊN T C C A PH NG PHÁP:

Cdx A .

C *

(cid:0) ụ ướ thì ta làm theo các b c sau: Ví d ta tính: (cid:0)

Bdx

Cdx

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) B c 1ướ : Đ t ặ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ả Gi i thích:

ẵ ở ề ả ư ư ướ ạ đ bài. L u ý là ph i u tiên ch n c, còn l i cái gì thì A và Cdx ta đã có s n ọ Cdx tr

ễ ơ ở ư ậ đó là A( s dĩ nh v y là vì xác đ nh ị B d h n là xác đ nh ị D.

Ạ Ọ TÀI LI U ÔN THI Đ I H C MÔN TOÁN NĂM 2014

ằ Xác đ nh c A s đ ẽ ượ B.

ằ Xác đ nh c Ệ ị B b ng cách: Ta tính đ o hàm ạ (cid:0) Cdx s đ ị D b ng cách: Ta tính ẽ ượ D.

ầ ượ ừ ừ ứ c: B c 2ướ : Thay vào công th c tích phân t ng t ng ph n đ

vdu

BdxD

vu .

DA .

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) hay (cid:0) (cid:0)

vu.

vdu

b a

b và (cid:0) a

(cid:0) c 3ướ : Tính (cid:0) B

ạ ườ ắ ặ ừ ặ ầ * Các d ng th ng g p trong Tích phân t ng ph n và nguyên t c đ t:

sin.

dx .

axP .

dx .

cos

dx .

xPn

exP . n

xPn

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ; ; ; ạ D ng 1: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

xPu

sin

cos

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ố ớ ạ ặ Đ i v i d ng này ta đ t: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(cid:0)xPn

xx /

3/1

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ụ ữ ư ứ là nh ng đa th c. ví d nh Tùy vào b cậ ệ t:

(cid:0) ...

(cid:0) ầ ừ ấ ầ ả ừ c a ủ mà ta ph i t ng ph n t ng y l n. ặ Đ c bi (cid:0)xPn

ln.

log.

dx .

xPn

xP n

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ; ạ D ng 2: (cid:0) (cid:0)

log/

dxxP n

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ố ớ ạ ặ Đ i v i d ng này ta đ t: (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

sin

cos

ln/

nx a /

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ố ớ ạ ế ợ ớ ả k t h p v i nhau. Đ i v i d ng này ta ph i ạ D ng 3:

ừ ế ầ ầ ạ ặ ử ụ s d ng tích phân t ng ph n đ n 2 l n. Tuy nhiên d ng này ít g p.

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

o0o(cid:0) ́ PH N 5: SÔ PH C

́ Ư Ầ

́ ́

́ ́ ̣

́ ư ̣ ̣ ̉

(cid:0) ́ ̀ (cid:0) Dang đai sô cua sô ph c la: ̀ ́ ̀ ̀ ̀ ̀ ̀ R va ì 2 = –1) ́ ́Ư TOM TĂT KIÊN TH C ́ ư 1. Khai niêm vê sô ph c: ́ ự ́ ư z = a + b.i (a, b (cid:0) ̀ ơ ̣ ̉ ̣ ̉ ̉ Ta goi a la phân th c, b la phân ao va i la đ n vi ao cua sô ph c z

Ạ Ọ TÀI LI U ÔN THI Đ I H C MÔN TOÁN NĂM 2014 + = 2 ́ ư ̉

(cid:0) ́ ̉

= - a b.i ̀

(cid:0) Hai sô ph c băng nhau: a + b.i = c + d.i

(cid:0) ́ ́ ́ ư ợ ́ ư ̣ ̣ Ệ (cid:0) Mô đun cua sô ph c z la ́ ̀ ̀ ợ Sô ph c liên h p cua z la ́ Tâp h p cac sô ph c ki hiêu la C (cid:0) (cid:0) (cid:0) ́ ̀ ́ ư (cid:0)

̀ ́ ̀ ̉ ̉

(cid:0) ́ ́ ́ ́ ́ ́  Chu y: (cid:0) Nêu a = 0 thi z = b.i la sô thuân ao (sô ao) ̀ ́ (cid:0) Nêu b = 0 thi z = a la sô th c ́ ự ̀ ̀ ̀ ̀ ư ̉

(cid:0) (cid:0) ́ ̀ ̀ ư ́ ự ́ ư ̣ ̣ ̉ ̣

n = i4.q + r = ir (0 (cid:0)

(cid:0) ̉ r < 4 , r (cid:0) (cid:0) ̀ ̃ ̀ ́ N) ́ ư ̉ ̣ ̉ ̉ ̣ ̉

́ ̣ ́ ư 2. Phep toan trên tâp sô ph c

́ ̀ ́ ́ V i hai sô ph c z ́ ư 1 = a + b.i va z̀ 2 = c + d.i bât ki, ta co: (cid:0)

(cid:0)

.i (z

b.i)(c d.i) 2 2 d c

ac bd + 2 2 d c

ad 2 d

bc 2 c

- - (cid:0) (cid:0) ự Sô 0 v a la sô th c, v a la sô ao ́ C Tâp sô th c la tâp con cua tâp sô ph c: R T ìư 2 = –1 ta suy ra i3 = –i ; i4 = 1. Tông quat: í Trong mp(Oxy) điêm M(a ; b) goi la điêm biêu diên hinh hoc cua sô ph c z = a + b.i ́ ́ ́ ơ z1 + z2 = (a + c) + (b + d).i z1 – z2 = (a – c) + (b – d).i z1.z2 = ac + ad.i + bc.i + bd.i2 = (ac – bd) + (ad + bc).i z 1 z

́ ́  Chu y: (cid:0) ́ ́ ́ ư ̣ ̣ ̣ (cid:0)

(cid:0)

̀ Tinh chât phep công va nhân trên tâp C nh trên tâp R (a + b.i)2 = a2 + 2ab.i + b2.i2 = (a2 – b2) + 2ab.i (a + b.i)3 = a3 + 3a2b.i + 3a b2.i2 + b3.i3 = (a3 – 3ab2) + (3a2b – b3).i ươ ̣ ̣

́ ̀ ́ ư ̣ R va a ̀ (cid:0) 0) (*)

- +

́ ̀ ́ ư ̣ 3. Ph Trên tâp sô ph c C, cho ph Nêu ́ (cid:0) ́ ́ ự ơ ng trinh bâc hai v i hê sô th c 2 + b.z + c = 0 (a, b, c (cid:0) ̀ ươ ng trinh a.z = b2 – 4ac < 0 thi pt(*) co hai nghiêm ph c la: ̀

b i.

z 1

- - D D (cid:0) &

́ ́  Chu y:

(cid:0) Hai nghiêm z

1 + z2 =

b a

- ́ ́ ̀ ợ ̣ ̉ . ́ 1 va z̀ 2 la hai sô ph c liên h p. Dê thây: z ư & z1.z2 =

c a 1 + z2 = 2a va tich P = z

1.z2

(cid:0) ́ ̀ ́ ̉ Nêu hai sô ph c z ́ư 1 = a + b.i va z̀ 2 = a – b.i co tông S = z

̀ ươ ̣ ̉ ́ 2 – Sz + P = 0 ̀ ng trinh: z ́ = a2 + b2 thi z̀ 1 va z̀ 2 la hai nghiêm cua ph

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

Ố

Ầ

Ể

o0o(cid:0) PH N VI: TH TÍCH KH I CHÓP

Ề Ể Ố TH TÍCH KH I CHÓP Đ U

Ạ Ọ Ệ TÀI LI U ÔN THI Đ I H C MÔN TOÁN NĂM 2014

1 3

ứ ố ể V= Bh Công th c tính th tích kh i chóp:

B : die�n t�ch �a�y h: chie�u cao

(cid:0) (cid:0) v i ớ (cid:0)

ố ố ứ ề giác đ u ề Kh i chóp t Kh i chóp tam giác đ u

ẳ ạ ố ừ ỉ ủ ế đ nh đ n tâm c a đáy

ặ ườ ườ ớ

ự ủ ọ

ng Ạ Ớ Ố + Đáy là đa giác đ u ề + M t bên là các tam giác cân + Đ ng cao là đo n th ng n i t + Đ ng cao vuông góc v i mp đáy ề Chú ý: Tam giác đ u thì tâm, chính là tr c tâm ,tr ng tâm c a tam giác. Hình vuông thì tâm ườ chéo hình vuông. ể là giao đi m các đ KH I CHÓP CÓ C NH BÊN VUÔNG GÓC V I ĐÁY

1 3

ố ể V= Bh ứ Công th c tính th tích kh i chóp:

B : die�n t�ch �a�y h: chie�u cao

(cid:0) (cid:0) v i ớ (cid:0)

ạ ố ớ ườ ạ Kh i chóp có c nh bên vuông góc v i đáy,đ ng cao chính là c nh bên đó

Ớ Ặ

Ố KH I CHÓP CÓ 1 M T BÊN VUÔNG GÓC V I ĐÁY

1 3

ố ể V= Bh ứ Công th c tính th tích kh i chóp:

B : die�n t�ch �a�y

h: chie�u cao

(cid:0) (cid:0) v i ớ (cid:0)

ố ặ ớ ườ ườ ặ ng cao chính là đ ủ ng cao c a m t bên

ủ ố Kh i chóp có m t m t bên vuông góc v i đáy, đ ấ đó xu t phát t ộ ừ ỉ đ nh c a kh i chóp

Ạ Ọ Ệ TÀI LI U ÔN THI Đ I H C MÔN TOÁN NĂM 2014

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

Ầ

o0o(cid:0) PH N VII: LOGARIT & MŨ

Ứ I. CÔNG TH C MŨ

(cid:0) (cid:0)

(cid:0)

1a 0a

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

a(cid:0) 1(cid:0) n

{

+ γ�

} (n Z , n 1, a R / 0 )

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

+ a.a...a 123 (n Z , n 1, a R) γ� n thua so a(cid:0) a 1 n

0; m, n N

n m a

m na

(cid:0) (cid:0) ( a ) (cid:0)

m n

1 n m a

1 m n

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

m n

m n a .a m

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

m n

m.n

n m

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

a m n (a )

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

(a.b)

(a ) n a .b n

(cid:0) (cid:0)

(

)

(cid:0) (cid:0)

a b Ứ II. CÔNG TH C LOGARIT

log N M

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

)

log ( a

log N log N 1

N N

log 1 0(cid:0) a log a 1(cid:0) a

log N a

. log N a

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(cid:0) (cid:0)

log a a log Na

log

log N a cb

2. log N ab

M(cid:0) N(cid:0) a log (N .N ) 1 2

log N log N 1

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

log N log b. log N

(cid:0) (cid:0)

log N b

(cid:0) (cid:0)

log b a

log N a

log N k a

1 k

a log N a log b a 1 log a b

(cid:0) (cid:0) (cid:0) và

Ạ Ọ Ệ TÀI LI U ÔN THI Đ I H C MÔN TOÁN NĂM 2014

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

Ầ

ƯƠ

Ặ

Ẳ

o0o(cid:0) Ọ Ộ

PH N VIII: PH

NG PHÁP T A Đ TRONG M T PH NG

ươ ườ I. Ph ng trình đ ẳ ng th ng:

ươ ố ủ ườ 1. Ph ng trình tham s c a đ ẳ ng th ng:

(

;

M x y có vect )

=r u

a b ( ; )

D ả ử ặ ẳ ườ Gi s trong m t ph ng Oxy cho đ ẳ ng th ng đi qua đi m ể ơ ỉ ch

ươ ph ng

D ươ ố ủ ườ Khi đó ph ng trình tham s c a đ ẳ ng th ng :

x 0 y 0

(cid:0) D (cid:0) ố (t Tham s ) (1) (cid:0)

ươ ủ ườ ổ 2. Ph ng trình t ng quát c a đ ẳ ng th ng:

ử ữ ằ ố ươ ươ ổ B ng cách kh tham s t gi a hai ph ng trình (1) ta có ph ủ D ng trình t ng quát c a có

d ng:ạ

+ = , v i ớ 2 c 0 a

(cid:0) ax

ậ *Nh n xét:

=r n

a b ( ; )

+ = , v i ớ 2 0 a

(cid:0) ươ ơ ế a, N u ế D ng trình: thì D có vect pháp tuy n

r u

b a ( ;

)

b a ; )

= - (

kx b

- có ph r u ể ấ Và nh n ậ làm vect ơ ỉ ươ ch ph ơ ỉ ươ ch ph ng

ườ ẳ ươ ộ ạ ệ ố ổ ượ b, Đ ng th ng có ph ng trình ng ( có th l y véc t + là m t d ng t ng quát trong đó h s k d c

ộ ố ệ ố ọ ọ ố g i là h s góc và s b g i là tung đ g c.

ươ ố ủ ườ ẳ ị 3. V trí t ng đ i c a hai đ ng th ng

+ a x b y 1

= c 1

D ườ Xét hai d ẳ : ng th ng

+ a x b y 2

= c 2

D D ọ ộ ủ ể ủ ệ ươ T a đ giao đi m c a và chính là nghi m c a ph ng trình:

0 =

+ a x b y 1 + a x b y 2

c 1 + c 2

(cid:0) (cid:0) (I) (cid:0)

ườ Ta có các tr ợ ng h p sau:

(

)

(

x y ; 0 0

Ạ Ọ Ệ D D ệ ệ ạ ộ TÀI LI U ÔN THI Đ I H C MÔN TOÁN NĂM 2014 ế M x y . ) ; + N u h (I) có m t nghi m ể i đi m khi đó c t ắ 2 t

D D ệ ế ệ ố + N u h (I) có vô s nghi m khi đó trùng v i ớ 2 .

D D ệ ế ệ + N u h (I) vô nghi m khi đó song song v i ớ 2 .

ườ ẳ ữ 4. Góc gi a hai đ ng th ng

ố ớ ệ ọ ộ ề ẳ ặ ườ Trong m t ph ng đ i v i h t a đ đ các vuông góc cho hai đ ẳ ng th ng:

+ a x b y 1

= c 1

+ a x b y 2

= c 2

b b 1 2

a a 1 2 +

2 a 2

2 a 1

2 b 1

2 b 2

D D ọ ạ ở 1 G i ọ j là góc nh n t o b i và khi đó ta có:

�

+ �

r n 1

r n 2

a a 1 2

b b 1 2

D ^ D ^ Chú ý: +

= -� k k 2. 1

2,k k thì

D D D ^ D ầ ượ + N u ế , l n l ệ ố t có h s góc là

(

;

ứ ả ừ ộ ộ ườ ể ế ẳ 5. Công th c tính kho ng cách t m t đi m đ n m t đ ng th ng

M x y đ n đ )

ẳ ả ặ ừ ộ ể ế ườ Trong m t ph ng Oxy kho ng cách t m t đi m ẳ ng th ng

+ = c

+ : ax

d M (

D = )

by 0 +

D ượ ứ đ c tính theo công th c:

ươ ườ II. Ph ng trình đ ng tròn

ươ ườ ướ 1. Ph ng trình đ ng tròn có tâm và bán kính cho tr c

ặ ườ ươ ẳ Trong m t ph ng Oxy cho đ ng tròn (C) tâm I(a;b) bán kính R có ph ổ ng tình t ng quát

+ 2

là:

x a

(

)

= 2 y b )

(

- - (1)

ậ ươ ể ượ ế ướ ạ + Nh n xét: Ph ng trình (1) có th đ c vi i d ng t d

2 2

+ = by c 2

- - - v i ớ

2 2

+ = by c 2

- - ươ ươ ườ ề ớ Ng ượ ạ c l i ph ng trình là là ph ng trình đ ng tròn (C) v i đi u

- > c

- ườ ki n ệ . Khi đó đ ng tròn có tâm I(a;b) và bán kính

Ạ Ọ Ệ TÀI LI U ÔN THI Đ I H C MÔN TOÁN NĂM 2014

ươ ế 2. Ph ế ng trình ti p tuy n

+ 2

ươ ế ủ ườ ế ươ Ph ng trình ti p tuy n c a đ ng tròn (C) có ph ng trình:

x a

(

)

= 2 y b )

(

;

- -

M x y thu c đ )

ể ạ ộ ườ T i đi m ng tròn là:

(

a x )(

)

(

b y )(

) 0

x 0

+ x 0

y 0

- - - -

ươ ườ III. Ph ng trình đ ng Elip

ị ườ 1. Đ nh nghĩa đ ng elip

,F F và m t đ dài không đ i 2a l n h n

1 2F F . Elip là t p h p các

ố ị ộ ộ ớ ổ ơ ậ ợ ể Cho hai đi m c đ nh

+ F M F M 1

c= 2

ể ẳ ạ đi m M trong m t ph ng sao cho:

F F 1 2

,F F đ

ượ ọ ể ộ ượ ọ ự ủ Các đi m ể c g i là các tiêu đi m. Đ dài đ c g i là tiêu c c a Elip.

= - (

c ;0),

c ( ;0)

ươ ắ ủ 2. Ph ng trình chính t c c a Elip

F 1

= F 2

ệ ụ ọ ộ Chon h tr c t a đ Oxy sao cho

+ F M F M 1

= (a>b)

x a

y b

ươ ắ (E)={M| } có ph ng trình chính t c là:

- V i ớ 2 b

ệ ữ ườ 3. Liên h gi a đ ng tròn và Elip

- ự ủ ư ườ ấ ạ ầ ỏ ừ ệ ứ T h th c ta th y tiêu c c a Elip càng nh thì Elip có d ng g n nh đ ng

tròn.

a b

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ế N u phép co ớ (V i 0

' 2

2 ' 2

x a

y b

ườ ươ ượ ạ Thì đ ng tròn (C) có ph ng trình: đ c t o thành E líp

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

Ầ

ƯƠ

o0o(cid:0) Ọ Ộ

PH N IX: PH

NG PHÁP T A Đ TRONG KHÔNG GIAN

Ạ Ọ Ệ TÀI LI U ÔN THI Đ I H C MÔN TOÁN NĂM 2014

I. M T C U

(

)

(

)

- + - + - = y b

x a

ặ ầ ươ Ặ 1. Ph Ầ : ng trình m t c u

(1)

ặ ầ ươ ạ tri n:ể

(2) M t c u có tâm I(a; b; c) và bán kính R : ặ ầ ng trình m t c u d ng khai Ph x2 +y2 +z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0, đk: a2 + b2 + c2 – d > 0

- Tâm I(a; b; c) và bán kính R=

2 +

2. Chú ý:

(

)

(

) 2 +

(

)

a) M t c u có tâm I và qua A thì R = IA =

- - - ặ ầ

AB và tâm I là trung đi m AB

1 2

ườ ể ặ ầ b) M t c u có đ ng kính AB thì R =

ặ ầ ở ạ ặ ầ

ươ ả ệ ể ồ d ng (2) r i ặ ế t ph ng trình và gi ng trình m t c u i h đ tìm a, b, c, d. (Ho c )

ươ ớ ặ ầ thay t a đ t ng đi m vào ph ươ

= 2

; )

(

;

(S) : x a ( )

+ - z (

c )

) y b

R và đi m ể

M x y z , G i ọ ( ; )

I a b c là tâm mc(S),

ể c) M t c u qua 4 đi m A, B,C, D thì vi ể ể ng đ i c a đi m v i m t c u: - ọ ộ ừ ố ủ ( + -

ặ ầ (S) ặ ầ (S) ặ ầ ằ ằ

ọ ộ ể ặ ầ ủ ể ể ể ộ ặ ầ (S) (Hay Thay t a đ đi m M vào PT m t c u th a ỏ ị 3. V trí t Cho R là bán kính c a m t c u.  IM > R Đi m M n m ngoài m t c u  IM < R Đi m M n m trong m t c u  IM = R  Đi m M thu c m t c u

mãn)

ươ ng đ i gi a hai m t c u:

ặ ầ ị ố ữ 4. V trí t Cho hai m t c u S ặ ầ 1(I1, R1) và S2(I2, R2).

R R 2

R 1

R 2

- (cid:0) (cid:0) (S1), (S2) trong nhau (S1), (S2) ngoài nhau (cid:0) 1 2 I I (cid:0) 1 2 I I

R R 2

R 1

R 2

- (cid:0) (cid:0) ế ế (S1), (S2) ti p xúc trong (S1), (S2) ti p xúc (cid:0) 1 2 I I (cid:0) 1 2 I I

ngoài

< R R 2 1

< I I 1 2

+ R 1

R 2

- ộ ườ ắ (cid:0) (cid:0) ng tròn. (S1), (S2) c t nhau theo m t đ

r n (cid:0)

Ẳ

Ặ ƯƠ ơ ơ ế ủ (cid:0) pháp tuy n c a ￛ (cid:0) : r 0 là véct

r n ≠ (cid:0) :

II. M T PH NG TRONG KHÔNG GIAN 1. PH 1. Vect ặ 2. C p véct Ổ NG TRÌNH T NG QUÁT MP (cid:0) : pháp tuy n c a mp ủ ng c a mp ế ủ ơ ỉ ươ ch ph

Ạ Ọ

r a ,

r b có giá song song v i (ớ (cid:0) ) ho c n m ằ

ặ ặ ủ (cid:0) ) ￛ Ệ ngươ

r n

TÀI LI U ÔN THI Đ I H C MÔN TOÁN NĂM 2014 r r b là c p vtcp c a ( a không cùng ph trong ((cid:0) )

r : n

r a

r = [ a

r , b

ặ và c p vtcp ]

r , b r o ; yo ; zo) có vtpt n

A(x – xo) + B(y – yo ) + C(z – zo ) = 0

ệ ữ 3 Quan h gi a vtpt (cid:0) ) qua M(x 4. Pt mp( = (A;B;C):

= (A; B; C)

r ((cid:0) ) : Ax + By + Cz + D = 0 ta có n ặ t ph

ươ ế ố ẳ ầ ể ơ ng trình m t ph ng c n: ộ 1 đi m thu c mp và 1 véct pháp

Chú ý : Mu n vi tuy nế

r n

ướ *) Các b t ph

ươ ơ ặ ẳ ẳ ớ ơ vuông góc v i m t ph ng)

ề ạ ư ể ế c vi ạ ộ B1: Tìm to đ vect ạ ộ ể B2: Tìm to đ đi m M B3: Th vàp pt: A(x –x ặ ổ ủ ng trình t ng quát c a m t ph ng: ế ( là vect pháp tuy n A B C ( ) ; ; ẳ ặ ộ 0(x0; y0; z0) thu c m t ph ng 0) + B(yy0) +C(zz0) = 0, khai tri n đ a pt v d ng: Ax + By

ế +Cz + D = 0 *) Chú ý:

ủ

) (P) thì Ax1+By1+Cz1+D=0 ư

ế

ế ơ ơ

ể Trong tr ươ pháp tuy n thì tìm hai vect ủ ượ c vect ằ ặ  Cho mp (P) :Ax + By +Cz + D = 0 r = a. VTPT c a (P) A B C n ( ; ; 1; y1; z1)(cid:0) b. N u đi m M(x ợ ườ ng h p ch a tìm đ  r r ;a b ng không có giá song song ho c n m trong mp . Khi đó VTPT c a mp là:

(

)

r n

;

(

cùng ph r r r a b� � n ; � � ƯƠ Ữ Ố Ặ Ẳ 2. V TRÍ T NG Đ I GI A HAI M T PH NG:

t có các vecto pháp tuy n là ầ ượ l n l

); =

A B C '; )

A B C ;

;

ￛ

�

A (Ho cặ 1 A

(cid:0) (cid:0) Ị Cho mp (P) :Ax + By +Cz + D = 0 và (P’): A’x + B’y +C’z + D’ = 0. Khi đó (P) và (P’) ur A B C n ' ; ( ) k A B C '; (P) // (P’) ) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

' =

)

A B C ;

( k A B C ';

D 1

(

)

(

�

) � � P '

A (Ho cặ 1 A

= ( � � (cid:0) D kD ( ) ; � � = D kD (

)

(

)

ￛ

A B C

(cid:0) (cid:0) ) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

A B C

' ur k n '

A B C ;

;

ế ur r =� n k n ' � D kD ur r =� n k n ' � = D kD r n ) (Ho c ặ 1

ắ ۹ (P) c t (P’) ợ ườ

۹ ế

�

A B C : : r r n^� n

Trong tr ng h p này n u AA’ +BB’ +CC’ = 0

: ẳ ặ hai m t ph ng

vuông góc Chú ý:

A B C ;

(

)

Ệ Ạ Ọ TÀI LI U ÔN THI Đ I H C MÔN TOÁN NĂM 2014

r n

A B C ;

)

(

;

Cho mp (P): Ax + By + Cz + D = 0 suy ra (P) có VTPT

(

)

A B C ;

(

;

)

ứ Ể Ẳ

r n ; là VTPT r ớ n 3. KHO NG CÁCH T M T ĐI M Đ N 1 M T PH NG:

Ax 0

d M P

, (

(

))

0 +

By Cz D + B C

ế 1. N u (P’) // (P) thì (P’) cũng nh n 2. N u ế ( Ả ị Ặ 0; y0; z0) và mp (P) :Ax + By +Cz + D = 0 Đ nh lý: ậ ặ thì (P’) ch a ho c song song v i giá Ế Ừ Ộ ể Cho đi m M(x +

Ẳ III. Đ

ƯỜ 1. Vi ng th ng

ươ ơ ặ ủ ườ ỉ ch ph ẳ ng (a; b; c) ( là vect có giá song song ho c trùng

ớ ườ v i đ

0(x0; y0; z0) thu c đ

ộ ườ ẳ ng th ng

x 0

x 0 y

z 0

NG TH NG TRONG KHÔNG GIAN ế t PTTS, PTCT c a đ ơ ạ ộ B1: Tìm to đ vect ẳ ng th ng đó. ạ ộ ể B2: Tìm to đ đi m M = (cid:0) (cid:0) - - - (cid:0) B3: PTTS: PTCT: V i ớ a1, a2, a3 ￛ 0 (cid:0) (cid:0)

ườ ủ ế ẳ ng th ng d là giao tuy n c a hai mp (P):Ax+By+Cz+D = 0 và (P’):

B C C A A B

r uur uur u

;

2. Chú ý a) ế N u đ A’x+B’y+C’z+D’ = 0

B C C A A B '

� =� � �

� � �

Khi đó đt d có VTCP:

0 (th

ộ ộ ố ể ả ệ ườ ng cho x = 0), gi i h ph ươ ng

uuur AB

ể

D ớ ặ ớ ườ ẳ ẳ ẳ ủ có cùng VTCP

thì d và D ủ Mu n tìm m t đi m thu c d thì ta cho x = x trình tìm y, z ườ b) Đ ng th ng d qua 2 đi m A, B thì d có VTCP là ườ c) Đ ng th ng d vuông góc v i m t ph ng(P) thì d có VTCP là VTPT c a (P) ườ d) đ e) hai đ ng c a chúng vuông góc

(

)

ng th ng d song song v i đ ườ ƯƠ ẳ Ố ƯỜ Ữ Ị

)

a b c ; ; ur ( = u '

ng th ng vuông góc thì hai vect NG Đ I GI A HAI Đ qua M(x0; y0; z0) và có vect ẳ ẳ ng th ng ơ ỉ ươ ch ph Ẳ NG TH NG r ơ ỉ ươ u ng ch ph 3. V TRÍ T Cho D

a b c '; ng

b t '

;

x 0 + y 0

c t '

' 0

x � � = y � � z �

D D có PTTS là: D ’ qua M’(x’0; y’0; z’0) và có vect ơ ỉ ươ ch ph + = a t x ' ' ' 0 + y ' 0 +

r u

D ’.

ế ế ươ ườ thì l y t a đ đi m ấ ọ ộ ể M D� th vào ph ng trình đ ẳ ng th ng

ả

ur ku= ấ *) N u th y ' ả X y ra 2 kh năng:

M D� thì hai đ

ườ ẳ TH1: ng th ng trên trùng nhau

TÀI LI U ÔN THI Đ I H C MÔN TOÁN NĂM 2014

M D� thì 2 đ '

ẳ Ạ Ọ ườ ng th ng trên song song Ệ TH2:

r u

ur ku '

(cid:0) ả ệ ươ ươ ủ ấ thì gi i h ph ồ ng trình g m hai ph ng trình c a 2 đ ườ ng

a t '

b t '

' 0 ' 0 +

c t '

' 0

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ế *) N u th y th ngẳ + at x 0 y 0 (cid:0) (cid:0)

ườ ẳ ắ ng th ng trên c t nhau

z ệ ệ

ườ ng th ng trên chéo nhau

ẳ

ườ ƯỜ ƯƠ Ố Ữ Ặ Ẳ ệ ấ TH3: h có duy nh t nghi m thì hai đ ẳ ệ TH4: h vô nghi m thì hai đ ế ng th ng trên vuông góc. *) N u aa’+ bb’ + cc’ = 0 thì hai đ Ị 4. V TRÍ T NG Đ I GI A Đ (cid:0) Ằ x (cid:0) (cid:0) NG TH NG VÀ M T PH NG = x 0 y ườ ẳ ặ ẳ ng th ng d: Cho m t ph ng (P): Ax + By + Cz + D = 0 và đ (cid:0) (cid:0)

) 1

x 0

( (

y 0

z +

) ( ) 3 ) (

ct + Ax By Cz D

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ệ ươ Xét h ph ng trình (cid:0) (cid:0) (cid:0)

0 + at) + B(y0 + bt) + C(z0 + ct) + D

ươ ng trình : A(x

ắ iạ t

ố ố ệ thì d và (P) có vô s giao đi m ặ ể hay d n m trong m t ằ

ẳ Thay (1), (2), (3) vào (4), ta có ph = 0 (*) TH1: (*) vô nghi mệ thì d và (P) không có giao đi m ể hay d và (P) song song TH2: (*) có 1 nghi m ệ t duy nh tấ thì d và (P0 có 1 giao đi m ể hay d và (P) c t nhau 1 đi m ể TH3: (*) có vô s nghi m ph ng (P)

)

(

(cid:0) ợ ườ ủ ặ ủ ng h p d // (P) ho c thì VTCP c a d và VTPT c a (P) vuông

ả ả ừ ộ ể m t đi m trên

ế ặ ẳ Chú ý: 1. Trong tr góc ữ 2. Khi d // (P) thì kho ng cách gi a d và (P) chính là kho ng cách t d đ n m t ph ng (P)

o0o(cid:0)

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

Ầ

Ề

Ử

Ầ

PH N X: Đ THI TH Ấ

Ả A. PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH ( 7,0 đi m )ể

(

)C .

Ệ - TÀI LI U ÔN THI Đ I H C MÔN TOÁN NĂM 2014 = ể ồ ị Cho hàm s : ố Câu I : ( 2,0 đi m ). Ạ Ọ 2x 1 + có đ th là x 1

ả

ể ệ

)C đi m ể M có ậ ạ A và i

ộ ươ ế ườ ố ẽ ồ ị ậ ủ ( ườ ng ti m c n c a ớ ồ ị ( ế ạ M v i đ th i ồ ị ( )C . Tìm trên đ th )C c t hai đ ệ ắ ng ti m c n t

+ =

cos

1 0

ự ế 1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th hàm s (C). ủ 2. G i ọ I là giao đi m c a hai đ hoành đ d ng sao cho ti p tuy n t ả B tho mãn IA .

IB+ Câu II : ( 2,0 đi m )ể i ph 1. Gi

+ sin ) + =

x sin 2 2 x (

+ - y

cos 2 ( + y x ) ( 1

x 1 0 ) + = y 2

ươ ả ng trình : (cid:0) - (cid:0) (cid:0) 2. Gi ả ệ ươ i h ph ng trình: (cid:0) (cid:0)

3 x dx

- (cid:0) ể Tính tích phân: I = . Câu III : ( 1,0 đi m ).

ằ ạ .S ABC có c nh bên b ng ở ạ a , góc t o b i

045 . Tính th tích kh i chóp.

ặ ố

ươ ể

1 2

(cid:0) ứ ằ Ch ng minh r ng: - - - ỏ 1 b b (2

Câu IV : ( 1,0 đi m )ể ằ ặ m t bên và m t đáy b ng Câu V : ( 1,0 đi m ). Cho a,b,c d 1 a a (2 ể Ầ Ự Ọ ặ ầ

1) ầ c làm 1 trong 2 ph n, ph n A ho c

.Cho hình chóp tam giác đ u ề ể ng th a mãn : ab + bc + ca = 2abc. 1 c c (2 ỉ ượ (3,0 đi m)(Thí sinh ch đ

ươ B. PH N T CH N: ầ ph n B) A. Theo ch ẩ : ng trình chu n

Câu VIa : (2,0 đi m).ể

)2;3(K

(

xC :)

)

IMK

060

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ườ ng tròn (cid:0) (cid:0) ớ ệ ụ Oxy, cho đi m ể (CM (cid:0) ọ ộ ể ẳ 1. Trong m t ph ng v i h tr c ớ v i tâm là ặ I. Tìm t a đ đi m sao cho và đ .

ớ ệ ụ ọ ươ ế ể ộ

ụ ọ ộ ầ ượ ạ t ph ủ ự ắ ẳ 2. Trong không gian v i h tr c t a đ Oxyz, cho đi m A(4; 5; 6). Vi ph ng (P) qua A, c t các tr c t a đ l n l ặ ng trình m t i I, J, K mà A là tr c tâm c a tam giác IJK. t t

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ả : i ph ng trình

)2;1M (

ể ươ Gi ng trình nâng cao

ườ ẳ ậ ớ ọ ộ Oxy). L p ph ẳ ng th ng qua ạ và t o v i

ươ ằ ệ ng trình đ 4 .

ớ ệ ọ ể ườ ẳ Câu VII a.(1,0 đi m):ể ươ B. Theo ch Câu VIb: ( 2,0 đi m ). ặ 1. Trong m t ph ng t a đ ( ụ ọ ộ ộ các tr c t a đ m t tam giác có di n tích b ng ộ 2. Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho đi m M(2 ; 1 ; 0) và đ ng th ng d có

= + x 1 2t = - + 1 t y

= -

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ươ ế ươ ố ủ ườ ể ẳ ph ng trình: Vi t ph ng trình tham s c a đ ắ ng th ng đi qua đi m M, c t (cid:0) (cid:0)

8.3

++ 1 9

(cid:0) ẳ ng th ng d. ả ấ ươ Gi i b t ph ng trình sau : ớ ườ và vuông góc v i đ ể Câu VII b.( 1,0 đi m ).

Ạ Ọ Ệ TÀI LI U ÔN THI Đ I H C MÔN TOÁN NĂM 2014

.............................................................H tế .................................................................... ĐÁP ÁN

2x 1 + có đ th là x 1

ộ Câu Ý - Đi mể 1,00 I ồ ị 1 Cho hàm s : ố N i dung )C . (

(cid:0) RD

\ (cid:0)

ả ự ế ẽ ồ ị ố (cid:0) ị 0,25

ậ ự ế ề ế

3 +

(

) 2 1

1. Kh o sát s bi n thiên và v đ th hàm s (C) (cid:0)1 1. T p xác đ nh: 2. S bi n thiên: * Chi u bi n thiên: = (cid:0) - Ta có: .

(

)

) ; 1

- +(cid:0) 1;

- (cid:0) - ả và ( 0,25

y = là ti m c n ngang.

lim x

= +(cid:0)

= -

x = -

lim x 1

; lim + x 1

x 2 + x

1 1

- ườ ệ ậ => đ ẳ ng th ng (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ố ớ ạ ạ i h n t x 2 = + x ố ồ ế Hàm s đ ng bi n trên các kho ng ị ự * C c tr : ự ị Hàm s không có c c tr . ự i vô c c: * Gi 1 1 - - (cid:0) ườ ậ ứ ệ - => đ ẳ ng th ng là ti m c n đ ng. (cid:0) - (cid:0) - 0,25 ả

x 2 + x ế * B ng bi n thiên:

1 + (cid:0)

x y' y 2

(cid:0) (cid:0) + || + +(cid:0) || 2 -

ồ ị 3. Đ th : 0,25

ồ ị ạ Đ th hàm s c t tr c ố ắ ụ Ox t ể i đi m

1 � � ;0 � � 2 � � ) ( 0; 1

( I -

)1; 2

- ạ

ệ ể ể i đi m ủ ậ .

ồ ị ồ ị ọ

1,00 ủ ệ 2

ậ ủ ( ng ti m c n c a ế ng sao cho ti p tuy n t

ườ ắ ậ ả ng ti m c n t

)C .Tìm trên đồ ế ạ M v iớ i ạ A và B tho mãn :

)C c t hai đ .

ố ắ ụ Oy t Đ th hàm s c t tr c ố Đ th hàm s có giao đi m c a 2 ti m c n là ự ẽ ồ ị (H c sinh t v đ th ) ườ 2. G i ọ I là giao đi m c a hai đ ể )C đi m ể M có hoành đ d th ị ( ộ ươ ị ( ệ ồ đ th = IB+ IA 40

)

( I -�

)1; 2

x = -

0,25 ệ là giao 2 ti m c n. * TCĐ (

x >

;

x 2 0 x 0

(

)

(

)

= y

+ x 0

)C t

3 +

(

1 1

x 2 0 x 0

) 1

x 0

Ạ Ọ TÀI LI U ÔN THI Đ I H C MÔN TOÁN NĂM 2014 y = ậ d 2 : ) * G iọ Ệ ) 1d : � M x � 0 � ,TCN ( 1 �- 1 ( ( ) � �+ 1 � - D - ươ ế ế 0,25 * Ph ớ ( ng trình ti p tuy n v i i ạ

)

) =

)

{

}

( �

( = � d

1; 2

d 1

( + B x 2 0

x 2 0 x 0

� � �

�- � 4 � ( , � �+ 1 � �

� � A � � �

D - D * (

(

) 1

2 + =

(

x 0

) 1

9 0

+ x 0

36 +

) 1

( x � 0 � > x 0

y =

) 1

(cid:0) 0,25 (cid:0) - * (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 0,25

+ =

� ( = �� x 0 > x 0 0 )2;1M(cid:0) ( x sin 2

cos 2

sin

cos

1 0

. +

x =� ả

+ =

cos

1 0

cos 2 +

( ươ 1,00 ng trình : i ph II 1 Gi

x (

) +

�

+ x

= x

sin

cos

sin

cos

sin 2 ( (

+ sin ) 2 + ) (

�

sin

cos

2 cos

) 1

0,5

sin

cos

�

� k Z

(

)

cos

= (cid:0)

p 2

1 2

- (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - 0,5 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

) + =

x (

+ - y

4 p 2 3 ( + y x ) ( 1

1 0 ) + = y 2

(cid:0) - (cid:0) 1,00 2 (cid:0) Gi ả ệ ươ i h ph ng trình: (cid:0) (cid:0)

) + =

)

x �(cid:0) �

(cid:0) - (cid:0)

x � � ( x

+ - y

+ = 1 ( + y x

(1) ) + = y 2

0 (2)

(

)

�

0,5 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

+ = x y

( ( + y x 1 0 y x ) ( ) ) ( + + = + - y x y 1 0 2 y = không th a mãn h nên: ệ ỏ 0 ) ) ( thì ( + = + � y 1 0 2 0 =

= -

= y

+ - y + = 1 + = y

Do y (cid:0) 0,5 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ệ ở Khi đó h tr thành (cid:0) (cid:0)

ệ ươ ậ V y h ph ệ ng trình có nghi m (0;1) , (1;2) .

1,00 III

3 x dx

- (cid:0) Tính tích phân: I = .

= 3 x dx

3 2 x x dx .

� x

- -

0,5

�

2 x dx

= - 2 1

= - tdt 2

2 = tdt 3

Ạ Ọ Ệ TÀI LI U ÔN THI Đ I H C MÔN TOÁN NĂM 2014 - - Đ t ặ

=� t =� t

ổ ậ Đ i c n: 0,5 =>

)

) = 4 t dt

= - 3 2 x x dx .

= t tdt . .

� x

( � 1

( � t

2 3

t = 5

2 2 . 3 15

4 45

3 � t 2 � 3 3 �

1 � � 0 �

- - - -

ằ 1,00 IV ạ ở a , góc t o b i

ố ể ặ ằ Cho hình chóp tam giác đ u ề ặ m t bên và m t đáy b ng ạ .S ABC có c nh bên b ng 045 . Tính th tích kh i chóp.

ọ ấ

làm) => Câu l y 9. ỏ ươ 1,00 V ự (H c sinh t Cho a,b,c d ng th a mãn : ab + bc + ca = 2abc.

1 a a (2

1 b b (2

1 c c (2

1 2

(cid:0) ứ ằ Ch ng minh r ng: - - -

ọ ự ấ (H c sinh t làm) => Câu l y 10.

1,00 VI a

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ớ ệ ụ Oxy, cho đi m ể 4 ẳ 1. Trong m t ph ng v i h tr c 2 ớ y

)2;3(K ọ

IMK

060

01 .

và đ ộ v i tâm là ngườ ể I. Tìm t a đ đi m (cid:0) (cid:0) ặ tròn xC :) ( (CM (cid:0) ) sao cho

(

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 0,25

IMK

IMK )

(cid:0) (cid:0) (cid:0) 0,25 đ u.ề (cid:0)

(

)

(CM (cid:0) y (

0 (

(

x 0

y 0

2;2(

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 0,25 sao cho KM = R = 2. )2 . Suy ra tâm I(1 ; 2) và bán kính R = 2. 4 K (cid:0) (C ). . Suy ra Tìm x ( )1 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ả ử s KM * Ta có x C (:) ấ IK = 2. Suy ra ậ * Nh n th y (CM (cid:0) ) và * Do 060 ầ Do đó yêu c u bài toán xM ( ) * Gi 0 Ta có (1) (2) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ừ T (1) và (2) suy ra (cid:0) (cid:0) (cid:0)

0,25 1,00 a

ớ ệ ụ ọ ộ ặ ể ụ ọ ắ

ự ủ 2. Trong không gian v i h tr c t a đ Oxyz, cho đi m A(4; 5; 6). ộ ầ ế Vi t ph ng trình m t ph ng (P) qua A, c t các tr c t a đ l n ượ ạ t t l ươ ẳ i I, J, K mà A là tr c tâm c a tam giác IJK.

Ệ TÀI LI U ÔN THI Đ I H C MÔN TOÁN NĂM 2014

+ + =

) :

y b

z c

x a

0,50 Ạ Ọ G i ọ I(a;0;0), J(0;b;0), K(0;0;c) (cid:0) (

+ + =

;5;6),

(4;5

b ;6)

(4 =

= -

uur = IA uuur JK

uur = JA uur IK

(0;

b c ; ),

(

c ;0; )

4 5 b a + b 5 + a

6 c = c 6 = c 6

77 4 77 5 77 6

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) (cid:0) 0,50 (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0)

1,00 VII (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ả ươ a Gi i ph ng trình :

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

1 yi

i 2 ủ (cid:0) là các căn b c 2 c a

(cid:0) (cid:0) (cid:0) 0,25 0,50 ậ * Ta có : * G i ọ (cid:0) .

i i 4 (cid:0)Ryx , y

(cid:0)i

hay 1

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) * Ta có : (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

xy i

2 1

2 i

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 0,25 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) và

ườ ươ ậ 1,00 VI b 1. Trong m t ph ng t a đ ( ng trình đ

ọ ộ Oxy). L p ph ụ ọ ớ ộ ộ ẳ ạ ệ

i ẳ ặ ng th ng và t o v i các tr c t a đ m t tam giác có di n tích

)2;1M ( 4 .

(

( A a

) ;0 ,

) ủ b là giao đi m c a d v i Ox, Oy,

ể ớ ầ

= . Theo gi 1

= . 8

- =

0,25 ả ế suy ra: thi t, ta có: qua b ng ằ ọ * G i d là ĐT c n tìm và y b

2 a �

4 0

1 + = b d x : 1

b a+ = . Nên: 8 b a+ = -

0,25 .

x a ab = thì 2 8 ab = - thì 2 8 = -� - = b

. Ta có:

4 0

b 4 = - +

�

2 2 2

4 0

* Khi * Khi + 2 b 0,25 - V i ớ

= -

�

2 2 2

� . 2 2 2 ) ( + x : 1 ) ( + + x : 1

0,25 - -

( + 2 1 ( 2 1

) - = y ) - = y 2

4 0

V i ớ

ớ ệ ọ ộ ể 1,00 b 2. Trong không gian v i h t a đ Oxyz, cho đi m M(2 ; 1 ; 0) và

= + x 1 2t = - +

= -

y z

1 t t

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ườ ẳ ươ đ ng th ng d có ph ng trình: (cid:0) (cid:0)

ế ể ẳ t ph ng trình tham s c a đ ắ ng th ng đi qua đi m M, c t

ớ ườ ươ Vi và vuông góc v i đ ố ủ ườ ẳ ng th ng d.

ủ ế ọ ườ G i H là hình chi u vuông góc c a M trên d, ta có MH là đ ng th ng ẳ 0,25

TÀI LI U ÔN THI Đ I H C MÔN TOÁN NĂM 2014

Ệ ắ

r u

ọ ộ ủ d nên t a đ c a H có d ng : (1 + 2t ; (cid:0) 1 + t ; (cid:0) t).

2 3

Ạ Ọ ớ đi qua M, c t và vuông góc v i d. Vì H (cid:0) ạ uuuur = (2t (cid:0) 1 ; (cid:0) 2 + t ; (cid:0) t) Suy ra : MH Vì MH (cid:0) ộ d và d có m t vect ơ ỉ ươ ch ph ng là 0,50 2.(2t – 1) + 1.((cid:0) 2 + t) + ((cid:0) 1).((cid:0) t) = 0 (cid:0) = (2 ; 1 ; (cid:0) 1), nên : uuuur . Vì th , ế MH t = =

;

4 3

2 3

1 � � 3 �

� . � �

= +

- -

2 t

= - y 1 4t

= -

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ươ ố ủ ườ ẳ Suy ra, ph ng trình tham s c a đ ng th ng MH là: 0,25 (cid:0) (cid:0)

8.3