MỤC LỤC
Trang
PHẦN 1 – PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH --------------------------------------- 1
A – Phương trình & Bất phương trình cơ bản --------------------------------------------- 1
I – Kiến thức cơ bản -------------------------------------------------------------------- 1
II – Các thí dụ --------------------------------------------------------------------------- 2
Bài tập tương tự ---------------------------------------------------------------- 12
B – Đưa về tích số (biến đổi đẳng thức, liên hợp) ----------------------------------------- 23
I – Kiến thức cơ bản -------------------------------------------------------------------- 23
II – Các thí dụ --------------------------------------------------------------------------- 24
Sử biến đổi đẳng thức ------------------------------------------------------------- 24
Bài tập tương tự ---------------------------------------------------------------- 31
Tổng hai số không âm ------------------------------------------------------------- 33
Bài tập tương tự ---------------------------------------------------------------- 34
Nhân liên hợp ---------------------------------------------------------------------- 35
Bài tập tương tự ---------------------------------------------------------------- 47
Đặt ẩn số phụ không hoàn toàn -------------------------------------------------- 56
Bài tập tương tự ---------------------------------------------------------------- 57
C – Đặt ẩn số phụ ------------------------------------------------------------------------------ 59
I – Kiến thức cơ bản -------------------------------------------------------------------- 59
II – Các thí dụ --------------------------------------------------------------------------- 60
Đặt một ẩn phụ --------------------------------------------------------------------- 60
Đặt hai ẩn phụ ---------------------------------------------------------------------- 70
Bài tập tương tự ---------------------------------------------------------------- 77
D – Sử dụng bất đẳng thức và hình học ----------------------------------------------------- 91
I – Kiến thức cơ bản -------------------------------------------------------------------- 91
II – Các thí dụ --------------------------------------------------------------------------- 93
Bài tập tương tự ---------------------------------------------------------------- 101
E – Lượng giác hóa ---------------------------------------------------------------------------- 105
I – Kiến thức cơ bản -------------------------------------------------------------------- 105
II – Các thí dụ --------------------------------------------------------------------------- 106
Bài tập tương tự ---------------------------------------------------------------- 114
F – Sử dụng tính đơn điệu của hàm số ------------------------------------------------------ 118
I – Kiến thức cơ bản -------------------------------------------------------------------- 118
II – Các thí dụ --------------------------------------------------------------------------- 119
Bài tập tương tự ---------------------------------------------------------------- 127
G – Bài toán chứa tham số -------------------------------------------------------------------- 131
I – Kiến thức cơ bản -------------------------------------------------------------------- 131
II – Các thí dụ ---------------------------------------------------------------------------- 133
Bài tập tương tự ---------------------------------------------------------------- 142
PHẦN 2 – HỆ PHƯƠNG TRÌNH ----------------------------------------------------------------------- 149
A – Hệ phương trình cơ bản ------------------------------------------------------------------ 149
I – Kiến thức cơ bản -------------------------------------------------------------------- 149
II – Các thí dụ ---------------------------------------------------------------------------- 151
Bài tập tương tự ---------------------------------------------------------------- 166
B – Biến đổi 1 phương trình thành tích số và kết hợp phương trình còn lại ----------- 176
I – Kiến thức cơ bản -------------------------------------------------------------------- 176
II – Các thí dụ ---------------------------------------------------------------------------- 176
Bài tập tương tự ---------------------------------------------------------------- 181
C – Đặt ẩn phụ đưa về hệ cơ bản ------------------------------------------------------------- 185
Các thí dụ --------------------------------------------------------------------------- 185
Bài tập tương tự ---------------------------------------------------------------- 191
D – Dùng bất đẳng thức ----------------------------------------------------------------------- 203
Các thí dụ --------------------------------------------------------------------------- 203
Bài tập tương tự ---------------------------------------------------------------- 205
E – Lượng giác hóa và Số phức hóa --------------------------------------------------------- 208
Các thí dụ --------------------------------------------------------------------------- 208
Bài tập tương tự ---------------------------------------------------------------- 213
F – Sử dụng tính đơn điệu của hàm số ------------------------------------------------------ 217
Các thí dụ --------------------------------------------------------------------------- 217
Bài tập tương tự ---------------------------------------------------------------- 222
G – Bài toán chứa tham số trong hệ phương trình ----------------------------------------- 227
Các thí dụ --------------------------------------------------------------------------- 227
Bài tập tương tự ---------------------------------------------------------------- 239
Tài liệu tham khảo ----------------------------------------------------------------------------- 248
Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình Đại số www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn
www.mathvn.com Page - 1 - dethithudaihoc.com
PHẦN 1 – PHƯƠNG TRÌNH & BẤT PHƯƠNG TRÌNH
A – PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
I – KIẾN THỨC CƠ BẢN
1/ Phương trình – Bất phương trình căn thức cơ bản
≥
= ⇔
=
.
≥
= ⇔
=
.
≥
<
> ⇔
≥
>
.
>
< ⇔ ≥
<
.
≥
> ⇔
>
.
Lưu ý
Đối với những phương trình, bất phương trình căn thức không có dạng chuẩn như trên, ta thực
hiện theo các bước:
Bước 1. Đặt điều kiện cho căn thức có nghĩa.
Bước 2. Chuyển vế sao cho hai vế đều không âm.
Bước 3. Bình phương cả hai vế để khử căn thức.
2/ Phương trình – Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
≥
=
= ⇔
= −
.
=
= ⇔
= −
.
(
)
(
)
> ⇔ − + >
.
>
< ⇔ <
> −
.
<
≥
> ⇔
< −
>
.
Lưu ý
Đối với những phương trình, bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối không có dạng chuẩn
như trên, ta thường sử dụng định nghĩa hoặc phương pháp chia khoảng để giải.
3/ Một số phương trình – Bất phương trình cơ bản thường gặp khác
có nghĩa
Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình Đại số www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn
www.mathvn.com Page - 2 - dethithudaihoc.com
Dạng 1.
(
)
+ =
●
Ta
có
:
(
)
(
)
(
)
(
)

⇔ + = ⇔ + + + =
●
Thay
+ =
và
o
(
)
ta
đượ
c:

+ + =
.
Dạng 2
.
(
)
(
)
(
)
(
)
+ = +
v
ớ
i
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
+ = +
=
.
●
Bi
ế
n
đổ
i v
ề dạ
ng:
(
)
(
)
(
)
(
)
− = −
.
●
Bì
nh ph
ươ
ng,
giả
i ph
ươ
ng
trì
nh h
ệ quả
.
L
ư
u
ý
Ph
ươ
ng
phá
p bi
ế
n
đổ
i trong
cả
hai
dạ
ng
là đư
a v
ề
ph
ươ
ng
trì
nh h
ệ quả
. Do
đó
,
để đả
m
bả
o
r
ằ
ng không xu
ấ
t hi
ệ
n nghi
ệ
m
ngoạ
i lai
củ
a ph
ươ
ng
trì
nh, ta nên thay th
ế
k
ế
t
quả và
o ph
ươ
ng
trì
nh
đầ
u
đề bà
i nh
ằ
m nh
ậ
n,
loạ
i nghi
ệ
m
chí
nh
xá
c.
II – CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Thí dụ 1. Giả
i ph
ươ
ng
trì
nh:
(
)
− + − = − ∗
Trích đề thi Cao đẳng sư phạm Nhà Trẻ – Mẫu Giáo TW1 năm 2004
Bà
i
giả
i tham
khả
o
( ) ( )


   
≥
− ≥
≥
=
∗ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ =
− + − = −
− + =
=
.
V
ậ
y nghi
ệ
m
củ
a ph
ươ
ng
trì
nh
là

=.
Thí dụ 2. Giả
i ph
ươ
ng
trì
nh:
(
)

− + + = − − ∗
Đề thi thử Đại học năm 2010 – THPT Thuận Thành – Bắc Ninh
Bà
i
giả
i tham
khả
o
( )


− ≤ ≤
− − ≥
∗ ⇔ ⇔
+
− + + = − − + = −
(
)
(
)
 
− ≤ ≤
− ≤ <
− ≤ ≤
+
= −
⇔ − ≥ ⇔ − ≤ < ⇔ ⇔ = −
= ±
+ − − =
+ = +
.
V
ậ
y nghi
ệ
m
củ
a ph
ươ
ng
trì
nh
là
= −
.
Phương trình – Bất phương trình – Hệ phương trình Đại số www.MATHVN.com Ths. Lê Văn Đoàn
www.mathvn.com Page - 3 - dethithudaihoc.com
Thí dụ 3. Giải phương trình:
(
)
− − + = ∗
Trích đề thi Cao đẳng sư phạm Ninh Bình khối M năm 2004
Bà
i
giả
i tham
khả
o
●
Đ
i
ề
u ki
ệ
n:

− ≥
⇔ ≥
+ ≥
.
(
)

∗ ⇔ − = + + ⇔ − = + + + ⇔ + = −
 
− ≥
≥
⇔ ⇔ ⇔ =
= ∨ =
+ = − +
.
●
K
ế
t h
ợ
p
đ
i
ề
u ki
ệ
n, nghi
ệ
m
củ
a ph
ươ
ng
trì
nh
là
=
.
Thí dụ 4. Giả
i ph
ươ
ng
trì
nh:
(
)
+ − = + ∗
Trích đề thi Cao đẳng Hóa chất năm 2004
B
à
i
giả
i tham
khả
o
●
Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
≥
.
(
)
(
)
∗ ⇔ + = + + ⇔ + = + + +
( ) ( ) ( )


≤
=
− ≥
=
⇔ + = − ⇔ ⇔ ⇔
= −+ = −
= −
●
So v
ớ
i
đ
i
ề
u ki
ệ
n, nghi
ệ
m
củ
a ph
ươ
ng
trì
nh
là
=
.
Thí dụ 5. Giả
i b
ấ
t ph
ươ
ng
trì
nh:
(
)
(
)
− ≤ + ∗
Trích đề thi Cao đẳng Kinh tế Kỹ Thuật Thái Bình năm 2004
Bà
i
giả
i tham
khả
o
( )
(
)
(
)
(
)

− ≥ ≤ − ∨ ≥
= −
= − ∨ ≥
∗ ⇔ + ≥ ⇔ ≥ − ⇔ ⇔
− ≤ ≤ ∈
− − ≤
− ≤ +
.
●
V
ậ
y t
ậ
p nghi
ệ
m
củ
a ph
ươ
ng
trì
nh
là
∈
và
= −
.
Thí dụ 6. Giả
i b
ấ
t ph
ươ
ng
trì
nh:
(
)
− > − ∗
Trích đề thi Cao đẳng bán công Hoa Sen khối D năm 2006 (Đại học Hoa Sen)
Bà
i
giả
i tham
khả
o
( ) ( )
≥ ≤
− ≥
≤ ∨ ≥
− ≥
∗ ⇔ ∨ ⇔ ∨ ⇔
<
− <
> >
− > −
.