intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Tài liệu ôn thi HSG Quốc gia môn Toán chủ đề dãy số - Nguyễn Hoàng Vinh

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:91

Thêm vào BST
Báo xấu
20
lượt xem 7
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

"Tài liệu ôn thi HSG Quốc gia môn Toán chủ đề dãy số - Nguyễn Hoàng Vinh" được biên soạn bởi tác giả Nguyễn Hoàng Vinh, hướng dẫn ôn thi HSG Quốc gia môn Toán chủ đề dãy số. Hi vọng tài liệu này giúp ích cho quý thầy cô và các em học sinh trong quá trình dạy và học.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài liệu ôn thi HSG Quốc gia môn Toán chủ đề dãy số - Nguyễn Hoàng Vinh

  1. GVBS: Nguyễn Hoàng Vinh [TÀI LIỆU ÔN THI HSGQG 2021 – DÃY SỐ] CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ ÔN DỰ TUYỂN 2020 – 2021 LẦN 1 Nội dung: 1. Tính giới hạn theo định nghĩa, định lý kẹp, định lý Weierstrass, dùng công thức tổng quát… 2. Các tính chất, đánh giá xung quanh dãy số. 1 a Bài 1: Cho dãy số ( a n ) thỏa a1  0,a n +1 = a n + . Tính lim n +1 . a1 + a 2 + ... + a n an Lời giải: Từ giả thiết, ta có ( a n ) là dãy dương và tăng ngặt, suy ra a1 + a 2 + ... + a n  na n và điều này suy 1 1  1 1 ra a n +1  a n +  a n +1  a1 +  1 + + ... +  . na n an  2 n 1  1 1 Giả sử dãy ( a n ) bị chặn trên bởi M, suy ra 1 +  1 + + ... +  cũng bị chặn, hay an  2 n 1 1 1 1+  1 + + ... +  cũng bị chặn và điều này vô lý. M 2 n a n +1 1 a Vậy lima n = + và từ trên ta có đánh giá: = 1+ → 1 hay lim n +1 = 1 . an a n ( a1 + ... + a n ) an Bài 2: Cho dãy số ( x n ) thỏa x n + 2 = x n .x n +1 ( ( , x  x 2  0 . Tính lim n n 2x n − x n +1 1 x n +1 − x n )) . 1 Lời giải: Từ đề cho, đặt y n = ta suy ra công thức tổng quát cho yn và suy ra công xn x1 .x 2 thức cho x n = và suy ra kết quả. ( x1 − x2 ) n + 2x1 − x2 4 n +1 x n +1 Bài 3: Cho dãy số ( x n ) thỏa x1 ,x2  0 và x n + 2 = + 2 n +1 , tính lim . 2n + xn xn 1|Năm học 2021 - 2022
  2. GVBS: Nguyễn Hoàng Vinh [TÀI LIỆU ÔN THI HSGQG 2021 – DÃY SỐ] xn 1 1 Lời giải: Đặt y n = và từ giả thiết suy ra y n + 2 = + . Từ đây cho ta 2n 1 + yn 2 1 2 1 yn+2 − 1 = yn − 1  y n − 1 , n = 1; 2; 3;... do y n  với mọi giá trị n (dãy dương). Từ đây yn + 1 3 2 xn x n +1  x n +1 2 n  suy ra lim y n = 1  lim n = 1 và lim = lim  n +1 . .2  = 2 . 2 xn 2 xn  Bài 4: Cho hàm số f : D ⎯⎯ → , nghịch biến trên D và dãy ( xn ) xác định bởi xn +1 = f ( xn ) và thỏa điều kiện: 1/ x1  x3 , x1  x2 và ( x1 ; x2 )  D a = f ( b ) 2/  có nghiệm duy nhất a = b = l trên ( x1 ; x2 ) . b = f ( a ) Chứng minh dãy đã cho có giới hạn. Lời giải: Đầu tiên, ta chứng minh xn  ( x1 ; x2 )  D, n . Thật vậy, có thể xét quy nạp không hoàn toàn như sau x1  x2  x2  x3  x3  ( x1 ; x2 )  x3  x4 và x1  x3  x2  x4  x4  ( x1 ; x2 )  x3  x5 . Từ đó, ta có x3  x5 , x3  x4 . Quá trình này tiếp diễn liên tục cho ta điều phải chứng minh. Xét dãy x2 n = f ( f ( x2 n − 2 ) ) , x2 n +1 = f ( f ( x2 n −1 ) ) . Từ chứng minh trên ta có ( x2 n −1 ) là dãy tăng và ( x2n ) là dãy giảm. Đồng thời ( x2 n −1 )  ( x1 ; x2 ) , ( x2 n )  ( x1 ; x2 ) nên hai dãy đã cho hội tụ. Đặt a = lim x2 n , b = lim x2 n−1 . Lấy lim hai vế của xn +1 = f ( xn ) ta có hệ a = f ( b )  b = f ( a ) Vậy, theo giả thiết, hệ có nghiệm duy nhất a = b = l nên lim xn = l . Bài 5: Tìm giới hạn của dãy số ( xn ) biết xn = 1 + 2 1 + 3 1 + 1 + (n − 1) 1 + n 2|Năm học 2021 - 2022
  3. GVBS: Nguyễn Hoàng Vinh [TÀI LIỆU ÔN THI HSGQG 2021 – DÃY SỐ] Lời giải: Với 1  m  n − 1, đặt am = 1 + m 1 + (1 + m) 1 + 1 + (n − 1) 1 + n ta có am2 = 1 + mam +1  am2 − (m + 1) 2 = mam +1 − m 2 − 2m .  am2 − (m + 1) 2 = m( am +1 − ( m + 2)) Suy ra m | am +1 − am + 2 | m | am − (m + 1) |  | am+1 − m + 2 | . | am + (m + 1) | m + 2 n −1 n −1 Từ đó | a2 − 3 | | an−1 − n | | 1 + (n − 1) 1 + n − n |→ 0 (n → ) n +1 n +1 3 u +2 Bài 6: Cho dãy u1 = 1, u2 = , un + 2 = n +1 . 2 un + 2 a. Tính giới hạn của dãy đã cho. 1 n 1 b. Chứng minh n+2 −2   n − 1 − 1 , với mọi giá trị n nguyên dương lớn hơn 3. 2 i =3 iui Lời giải: a. 1 3 Cách 1: Quy nạp kết quả  u n  và đánh giá 2 2 1 1 2 2 un+2 − 1  un − 1 + u n +1 − 1  . u n − 1 + . u n +1 − 1 un + 2 u n +1 + 2 5 5 Sử dụng bổ đề và suy ra kết quả. 1 1 1 Cách 2: Từ biến đổi u n + 2 − 1 = u n +1 − u n . ta quy nạp 1 −  un  1 + , n  2 ta có kết quả. un + 2 n n 1 1 1 b. Thực hiện đánh giá: n − 1  nun  n + 1    với mọi n nguyên 2 n + 1 2 nun 2 n − 1 1 1 dương lớn hơn 2. Lại chú ý:  = n + 2 − n + 1 và tương tự ta có kết quả. 2 n +1 n +1 + n + 2 3|Năm học 2021 - 2022
  4. GVBS: Nguyễn Hoàng Vinh [TÀI LIỆU ÔN THI HSGQG 2021 – DÃY SỐ] ( 2 + Sn ) 2 Câu 7: Cho dãy S1 = 1, Sn +1 = . Biết rằng Sn = a1 + a2 + ... + an với ( an ) là một dãy nào đó, 4 + Sn 4 hãy chứng minh an  . 9n + 7 (China Girl MO 2016 day 2) 4 4 4 Lời giải: Ta có a1 = S1 = 1, an +1 = S n +1 − S n = . Vậy − = Sn − Sn −1 = an hay có công 4 + Sn an +1 an thức tính là 4 4 = an + an +1 an Bình phương 2 vế và cộng lại, đồng thời dùng AM – GM để có an  1, n = 1, 2,3,... . Ta có kết quả 16 16 = + a12 + a22 + ... + an2 + 8n  9 ( n + 1) + 7 an2+1 a12 Từ đây có kết quả.  x1 = 1  Câu 8: Dãy số thực ( un ) thỏa  2n n−1 . Đặt dãy yn = xn+1 − xn , chứng minh dãy  n (n − 1)2  xi , n  2 x =  i =1 đã cho có giới hạn hữu hạn. Lời giải:  1 1 1 Ta có CTTQ: xn+1 =  1 + + 2 + 3  xn và đánh giá  n n n   1 1 1  1 n xn+1   1 + + 2 + 3 + xn = xn = x   1 n −1 n 1− n n n n Và đánh giá xn  4 ( n − 1) Khi đó: 4|Năm học 2021 - 2022
  5. GVBS: Nguyễn Hoàng Vinh [TÀI LIỆU ÔN THI HSGQG 2021 – DÃY SỐ] (𝑛 + 1)2 + (𝑛 + 1) + 1 𝑛2 + 𝑛 + 1 𝑦𝑛+1 − 𝑦𝑛 = 𝑥𝑛+1 − 𝑥𝑛 (𝑛 + 1)3 𝑛3 𝑛2 + 3𝑛 + 3 (𝑛 + 1)(𝑛2 + 1) 𝑛2 + 𝑛 + 1 = · 𝑥𝑛 − 𝑥𝑛 (𝑛 + 1)3 𝑛3 𝑛3 𝑥𝑛 (𝑛2 + 3𝑛 + 3)(𝑛2 + 1) = 3[ − (𝑛2 + 𝑛 + 1)] 𝑛 (𝑛 + 1)2 𝑥𝑛 𝑛4 + 3𝑛3 + 4𝑛2 + 3𝑛 + 3 − (𝑛4 + 3𝑛3 + 4𝑛2 + 3𝑛 + 1) = 3[ ] 𝑛 (𝑛 + 1)2 𝑥𝑛 2 = 3[ ]>0 𝑛 (𝑛 + 1)2 Hay ( yn ) là một dãy tăng và bị chặn trên bởi 4 nên có giới hạn hữu hạn. 1 n a Bài 9: Cho dãy ( an ) thỏa a1 = 1, an +1 =  an +  . Tính  a2017  và lim n . 2 an  n (Kỷ yếu Olympic sinh viên 2017). Lời giải: Cách 1: Quy nạp n  an  n − 1, n = 1; 2;3;... Cách 2: Ta có chặn dưới: an +1  n theo AM – GM. 1 1 n n Từ đây có đánh giá: an +1  an + . và ta đặt dãy bn = thì đây là dãy tăng (xét n từ 2 2 2 n −1 n −1 trở lên) 1 1 1 1 1 1 1 1 1  Khi đó: an +1  an + bn  2 an −1 + 2 bn −1 + bn ...  n −1 a2 + bn  + 2 + ... + n −1  2 2 2 2 2 2 2 2 2  a2 a n Hay an +1  n −1 + bn = n2−1 + . Đến đây tính được phần nguyên và giới hạn. 2 2 n −1 Nhận xét: Từ cách 2, ta có một bài toán mở rộng sau 1 Cho hai dãy ( an ) , ( bn ) thỏa bn  an+1  ( an + bn ) , n = 1; 2;3;.... và ( bn ) là dãy tăng. Tính 2 lim ( an +1 − bn ) . a2 Từ cách 2, ta đánh giá kết quả bn  an +1  + bn . 2n−1 5|Năm học 2021 - 2022
  6. GVBS: Nguyễn Hoàng Vinh [TÀI LIỆU ÔN THI HSGQG 2021 – DÃY SỐ] n x Bài 10: Dãy số ( x n ) thỏa xn +1 = xn + , x1  0 . Tính lim n ,lim ( x n − n ) . xn n Lời giải: Quy nạp cho ta xn  n với mọi giá trị n > 1. Từ đây suy ra xn+1  x2 + n − 2 x n +1 x 2 + n − 2 Và 1   . n +1 n +1  x −1 x n −1 n −1 Xét: x n +1 − ( n + 1) = ( x n − n )  n   ( xn − n ) do xn = xn −1 +  xn −1 − 1 .  xn  xn xn −1 x1 ( x 2 − 2 ) Từ đây suy ra 0  xn +1 − ( n + 1)  và suy ra kết quả. n Bài 11: Cho dãy số ( xn ) xác định bởi  x1 = 0, x2 = 1   3xn −1 + 2 ,n  2  xn +1 = 10 x + 2 x + 2  n n −1 Chứng minh dãy đã cho có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó. Lời giải: Đề xuất DHBTB 2019 – Thái Nguyên 3x + 2 Xét hàm số f ( x, y ) = ; x  0, y  0 . 10 y + 2 x + 2 −10 ( 3x + 2 ) 30 y + 2 Ta có f y' =  0; f x' =  0; x  0, y  0 . Nên hàm số này đồng biến (10 y + 2 x + 2 ) (10 y + 2 x + 2 ) 2 2 theo x và nghịch biến theo y. 20 xn + xn −1 + 2 2 − xn +1 =  0, n  2 . 10 xn + 2 xn −1 + 2 Vậy 0  xn  2, n  1 . Vậy dãy đã cho bị chặn. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp ( x2 n +1 ) tăng và dãy ( x2n ) giảm. 1 15 Thật vậy, x =  x1  x1; x4 =  x2 . 6 17 Giả sử x2 n+1  x2 n−1 . 6|Năm học 2021 - 2022
  7. GVBS: Nguyễn Hoàng Vinh [TÀI LIỆU ÔN THI HSGQG 2021 – DÃY SỐ] Ta có x2 n +3 = f ( x2 n +1 , x2 n + 2 )  f ( x2 n −1 , x2 n + 2 )  f ( x2 n −1 , x2 n ) = x2 n +1 . x2 n + 2 = f ( x2 n , x2 n +1 )  f ( x2 n , x2 n −1 )  f ( x2 n − 2 , x2 n −1 ) = x2 n .  3a + 2  1 + 97 a = 10b + 2a + 2 a = b = 24 Vậy tồn tại lim x2 n+1 = a, lim x2 n = b . Ta có   b = 3 b + 2  1  10a + 2b + 2  a + b = 2 1 1 Nếu a + b = b = −a. 2 2 1 + 97 Khi đó 4a 2 − 2a + 1 = 0 vô nghiệm, vậy lim xn = . 24 Bài 12: Cho các dãy số thực (an ),(bn ),(cn ) thỏa mãn các điều kiện sau: i) a1 1, b1 c1 0, cn 1 an 1 bn 1 ii) an an 1 , bn bn 1 , cn cn 1 với mọi n  1. n n n Chứng minh rằng lim n (an bn ) 2 (bn cn ) 2 (cn an ) 2 0. Lời giải: Đề đề nghị DHBTB 2019 – chuyên Bình Long, Bình Phước. Đặt un (an bn )2 (bn cn )2 (cn an )2 , n. Ta sẽ ước lượng giá trị của un . Từ công thức đã cho, ta có cn −1 − an −1 an − bn = an −1 − bn −1 + n (c − a ) 2 2(an −1 − bn −1 )(cn −1 − an −1 )  (an − bn ) 2 = (an −1 − bn −1 ) 2 + n −1 2 n −1 + n n Xây dựng các đẳng thức tương tự với (bn − cn )2 ,(cn − an )2 rồi cộng lại, chú ý rằng ( x − y)( z − x) + ( y − z )( x − y ) + ( z − x)( y − z ) 1 = x 2 + y 2 + z 2 − xy − yz − zx = ( x − y )2 + ( y − z )2 + ( z − x)2  . 2 7|Năm học 2021 - 2022
  8. GVBS: Nguyễn Hoàng Vinh [TÀI LIỆU ÔN THI HSGQG 2021 – DÃY SỐ]  1 1  n2 − n + 1 Suy ra un = 1 − + 2  un −1 = un −1 với mọi n  2. Từ đây dùng đánh giá làm trội  n n  n2 n2 − n + 1 n + 1 n +1 n 3 3u3  , n  2 , ta có un   u3 = với n 3. n 2 n+2 n + 2 n +1 4 n+2 3u3 3u3 Do đó 0 nun n . Dễ thấy lim n 0 nên theo nguyên lý kẹp, ta có n 2 n 2 lim d n 3 n 0. Bài 13: Cho số thực   ( 1; 2 ) , xét dãy số dương ( u n ) thỏa un  u1 + u 2 + ... + u n −1 với mọi n > 1. Chứng minh tồn tại hằng số C dương sao cho un  Cn, n . Lời giải: TST Nghệ An 2021 n −1 Nếu dùng ý tưởng quy nạp, ta đưa đến kết quả  −1  C −1 , bằng cách xét hàm số ta có 2n n −1 1 1  −1   và cần chọn C sao cho C   2n 2 2  −1    1  Và để hoàn tất giả thiết đầu của quy nạp, ta chọn C = min u1 ,   .  2 −1  Bài 14: Cho dãy số (an ) được xác định bởi: 1 a1 = , ( an+1 + an )( 2 − an ) = 1, n  1 . 2 a) Tìm giới hạn của dãy (an ) khi n → +∞. a1 + a2 + ... + an 2 b) Chứng minh rằng 1 − , n = 1,2,... n 2 Lời giải: Đề đề nghị DHBTB Quảng Nam. a. + Biến đổi ( an+1 + an )( 2 – an ) = 1  1  an+1 + an = 2 − an 8|Năm học 2021 - 2022
  9. GVBS: Nguyễn Hoàng Vinh [TÀI LIỆU ÔN THI HSGQG 2021 – DÃY SỐ] an2 − 2an + 1 ( an − 1) 2 1  an+1 = − an = = , n  1 2 − an 2 − an 2 − an ( 1 − 1) 2 1 14 1 + a1 =   0,1 , a2 = 2 = =   0,1 2 2− 1 32 6 2   + Nhận xét: an  0,1 . Ta chứng minh bằng quy nạp  ( an − 1) 2 an+1 = 0  2 − a Giả sử an   0,1 , ta có:   an+1   0,1 n ( n ) 2  a − 1 1 an+1 = 2 − a  2 − 1 = 1  n   Vậy an  0,1 , n  1 2 − 2 ( an − 1) 2 − 2 2 + Với an   0,1 , ta có: an+1 − = − 2 2 − an 2 ( ) 2an2 − 2 + 2 an + 2 2 − 2 ( )= = 2 ( 2 − an ) 1 2 ( 2 − an )  ( )  2an2 − 2 + 2 an + 2 2 − 2    2− 2   an − 2  2− 2  = 1 .2  an − 2 ( 2 − an )   n a − 2(=  )  n a −  2   2 − an  2  n 2 − an 2− 2 1 2− 2  1  2− 2 = an − < an −  ...    a − 2 − an 1 2 2 2  2 2 n n  1  1 2− 2  1  2 −1 =  − =   2 2 2  2 2 n  1  2 −1 2− 2 Mà lim   = 0 , vậy lim an = là giới hạn cần tìm.  2 2 2 9|Năm học 2021 - 2022
  10. GVBS: Nguyễn Hoàng Vinh [TÀI LIỆU ÔN THI HSGQG 2021 – DÃY SỐ] b. Ta lại có: ( an+1 + an )( 2 − an ) = 1  1 1 = 2 − an  − 1 = 1 − an an+1 + an an+1 + an n n 1 Suy ra:  (1 − a ) =  a k =1 k k =1 + a −n k +1 k n n2 n2  n −  ak  n −n= n −n = k =1 (a k =1 k + ak +1 ) a1 + an+1 + 2 ak k =2 n2 n2 = n −n ≥ n − n (vì a1  an+1  an+1 − a1  0 ) an+1 − a1 + 2 ak 2 ak k =1 k =1 n n2 n −  ak  n −n k =1 2 ak k =1 n n2 Đặt x =  ak , khi đó: (*)  n − x  −n k =1 2x  2  2 x 1− 2 2 x – 4nx + n   0  n 1 −   x  n 1 +    2 2  2   2  n 2 n a k 1− 2 Vậy k =1  (đpcm). n 2 Bài 15: Cho hàm số fn ( t ) = t 3 + 3t 2 − 12 n2 a)Chứng minh rằng với mỗi n nguyên dương, phương trình fn ( t ) = 0 có nghiệm duy nhất xn dương b)Tìm lim nxn và n(nxn − 2) Lời giải Xét hàm fn ( t ) = t 3 + 3t 2 − 12 liên tục trên (0; + ) n2 10 | N ă m h ọ c 2 0 2 1 - 2 0 2 2
  11. GVBS: Nguyễn Hoàng Vinh [TÀI LIỆU ÔN THI HSGQG 2021 – DÃY SỐ]  f 'n (t) = 3t 2 + 6t  0  fn (t) đồng biến trên (0; + ); n  Z+ −12 0; 12 Mà fn (0) = 2 n n  fn (0).fn (2)  0; n  Z + Mà f n (t) liên tục và đồng biến trên (0; + )  fn (t) có nghiệm duy nhất  (0; + ); n  Z+ Từ cách chứng minh trên 0  x n  2n  Z +   3 12 x n + 3x n − 2 = 0(1) 2  n 2 8 12 12 2 Mà fn ( ) = 3 + 2 − 2  0 = fn (x n )   xn n n n n n +1 2 2   x n  ; n  Z + n +1 n 2n   n.x n  2; n  Z + n +1 2n Mà lim = 2 nên áp dụng nguyên lý kẹp  lim n.a n = 2 n +1 Đặt a n = n.x n − 2; n  Z +  lim a n = 0 an + 2  xn = ; n  Z + n Lại có: 11 | N ă m h ọ c 2 0 2 1 - 2 0 2 2
  12. GVBS: Nguyễn Hoàng Vinh [TÀI LIỆU ÔN THI HSGQG 2021 – DÃY SỐ] 3 2 12  an + 2   a n + 2  12 x + 3x − 2 = 0; n  Z + 3 n 2 n    + 3  − 2 = 0, n  Z + n  n   n  n  ( a n + 2 ) + 3n ( a n + 2 ) = 12n  ( a n + 2 ) + 3n a n2 + 4a n = 0 3 2 3 ( ) − (an + 2) 3  na n = , n  Z + . 3 (an + 4 ) − (an + 2) 3 −8 −2  lim na n = lim 3 (an + 4 ) = 12 = 3 ( lim a n = 0 ) −2  lim n ( nx n − 2 ) = 3  u = a, v = b 0  a  b  1 1 ( )  1 + un + un vn Bài 16: Cho hai dãy ( u n ) , ( v n ) thỏa u n +1 = , chứng minh dãy ( u n ) hội tụ và  v n  1 + vn + un vn  v n +1 =  un lim v n = + . Lời giải: 1 1 1 1 Từ giả thiết ta xây dựng − = − và điều này suy ra dãy ( u n ) bị chặn u n +1 + 1 v n +1 + 1 u1 + 1 v 1 + 1 trên. Mặt khác, ta có hai dãy ( u n ) , ( v n ) đều là dãy tăng nên tồn tại giới hạn cho dãy ( u n ) . Nếu ( v ) bị chặn trên thì tồn tại lim u n n = u,lim v n = v và điều này suy ra vô lý.  x1 = a  0  Bài 17: Cho dãy số ( x n ) thỏa  n x 2n + 2 , tính giới hạn dãy đã cho. x n +1 = 2n − 1 . x  n Lời giải Quy nạp cho ta, (x n ) dương n 2 1 1 + x n +1 = (x n + )  .2. x n . = 2; n  2n − 1 n 2 xn 12 | N ă m h ọ c 2 0 2 1 - 2 0 2 2
  13. GVBS: Nguyễn Hoàng Vinh [TÀI LIỆU ÔN THI HSGQG 2021 – DÃY SỐ]  (xn ) bị chặn dưới bởi 2 Vậy ta cần chứng minh dãy đã cho là dãy giảm Thật vậy, ta cần xn +1 − xn  0 hay 2n 2n + 2 xn  = xn +1  n −1 n n Mà x n +1  .2 2 hay ta cần 4n3  (2n − 1)2 (n + 1)  3n − 1  0 ( đúng) 2n − 1   x n +1  x n Vậy  nên dãy đã cho hội tụ x n  2; n  Từ đó lấy lim 2 vế ta được lim x n = 2 3x n +1 − x n 4 Bài 18: Dãy số ( x n ) thỏa x1 = 1; x 2 = 2; x n + 2 = + 2 . Chứng minh dãy đã cho có giới 2 n hạn. Lời giải: Quy nạp cho ta dãy tăng. Đặt sn = x1 + ... + xn và cộng theo vế để có đánh giá xn +1 x1  1 1   1 xn + 2 = − + 4  1 + 2 + ... + 2  và lưu ý xn+1  xn+2 nên suy ra xn + 2  3 + 8  1 + 1 −   19 và 2 2  2 n   n suy ra kết quả. 2n − 3 Bài 19: Dãy ( x n ) thỏa x1 = 1, x n = x n −1 . Đặt bn = x1 + x2 + ... + xn , tìm lim bn . 2n Lời giải: Từ giả thiết cho ta bn = −2 ( n + 1) a n −1 + 2a1 và sử dụng đánh giá 2n − 1 3 ( 2n − 1 + 2n − 3 ) = ( 2n − 2 ) để suy ra 0  ( n + 1) a n  ( n + 1) 1 2n − 1 2n − 3  và 2 ( 2n + 2 ) . ( 2n ) ( ) lim ( n + 1) a n = 0 . Bài 20: Cho dãy ( x n ) thỏa x n +1 = n xn + xn n ( , tính lim x n − n . ) 13 | N ă m h ọ c 2 0 2 1 - 2 0 2 2
  14. GVBS: Nguyễn Hoàng Vinh [TÀI LIỆU ÔN THI HSGQG 2021 – DÃY SỐ] đồng thời hàm số fn ( x ) n x n Lời giải: Chú ý nghiệm phương trình x = + là x n n −1 nghịch biến trên ( 0; n ) . Ta quy nạp n 1  xn  n − 2 + và chú ý rằng từ đây thì n −1 n−2 n  x n  n nên xn +1 = fn ( xn )  fn ( n) = n+ 1 n và đồng thời  n  x n +1 = fn ( x n )  fn  n 1 = = n −1 + nên giả thiết quy nạp đúng.  n −1  n −1 n −1 Bài 19: x n +1 1 1. Dãy số ( x n ) dương thỏa lim = , đặt Sn = x1 + x2 + ... + xn , chứng minh rằng lim Sn tồn xn 2 tại. 2. Cho các dãy dương ( a n ) , ( bn ) , ( c n ) được xác định bởi 1 1 1 a n +1 = a n + , b n +1 = b n + ,c n +1 = c n + bn c n c na n a n bn Có dãy nào trong ba dãy trên hội tụ không? Lời giải: Vì các dãy trên đều là dãy tăng nên 1 1 1 n +1 a n +1  a n + , b n +1  b n + ,c n +1  c n + và điều này suy ra a n +1  + a 0 , tương b0 c 0 a0c0 a 0 b0 b0 c 0 1  tự cho các dãy kia. Từ đây cho ta a n +1  a n +  an + , n = 1; 2; 3;...  n  n  n  + c 0  + b0   a b  a c   0 0  0 0  với  là một hằng số có thể chọn được. Từ đây suy ra kết quả là cả ba dãy đều có giới hạn là vô cùng. 3. Dãy số ( x n ) bị chặn dưới thỏa x1 = 3; x 2 = 1; x n + 2 + x n  2x n +1 + 1 , n = 1; 2; 3;... đồng thời bị n2 chặn trên. Chứng minh dãy đã cho hội tụ. 14 | N ă m h ọ c 2 0 2 1 - 2 0 2 2
  15. GVBS: Nguyễn Hoàng Vinh [TÀI LIỆU ÔN THI HSGQG 2021 – DÃY SỐ] CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ ÔN DỰ TUYỂN 2020 – 2021 LẦN 2 Nội dung: Định nghĩa giới hạn, tiêu chuẩn Cauchy và bài tập lý thuyết. Định nghĩa: Dãy ( x n ) gọi là có giới hạn hữu hạn L nếu   0; N : x n − L   , n  N . Phủ định mệnh đề này, dãy ( x n ) không hội tụ về L nếu   0; N  + , n  N : x n − L   . Dãy Cauchy: Dãy ( x n ) được gọi là một dãy Cauchy nếu   0, N : x n − x m   , n, m  N . Định lý: Dãy Cauchy thì hội tụ và dãy hội tụ là dãy Cauchy. x n +1 1 Bài 1: Dãy ( x n ) dương có lim = , tính lim nxn xn 3 x n +1 1 + x n +1 1 Lời giải: Do lim = nên N0  :  , n  N0 và điều này suy ra xn 3 xn 2 n + N0 xN 0 +n  2 1 n x N 0 , n  N 0 và khi đó, 0  ( n + N 0 ) x n + N 0  2 n 2 n x N0 và lim n = 0 nên suy ra kết quả. x n − x n −1 Bài 2: Dãy số ( x n ) thỏa lim ( x n − x n − 2 ) = 0 , chứng minh lim =0 n Lời giải: lấy giá trị   0 bất kì thì tồn tại n0 để x n − x n − 2   , n  n 0 từ đây suy ra ( x n − x n −1 = x n − x n − 2 − ( x n −1 − x n − 3 ) + ( x n − 2 − x n −4 ) − ( x n −3 − x n −1 ) ... − x n0 +1 − x n 0 −1 ) và có đánh giá xn − xn −1  ( n − n0 )  + xn0 +1 − xn0 −1 . x n − x n −1 x n 0 + 1 − x n 0 −1 Vậy  + , n  n 0 , từ đây suy ra kết quả. n n  1  Bài 3: Dãy số ( u n ) dương thỏa lim  u n +1 − u n  = 0 , chứng minh lim un = 0 .  2  15 | N ă m h ọ c 2 0 2 1 - 2 0 2 2
  16. GVBS: Nguyễn Hoàng Vinh [TÀI LIỆU ÔN THI HSGQG 2021 – DÃY SỐ] Lời giải: Tham khảo “Chuyên Khảo dãy số - Nguyễn Tài Chung”, tr.106 Bài 4: Dãy số ( u n ) bị chặn thỏa u n + 2  1 3 u n +1 + u n , chứng minh dãy đã cho hội tụ. 4 4 Lời giải: Tham khảo “Chuyên Khảo dãy số - Nguyễn Tài Chung”, tr.103 Bài 5: Dãy số ( u n ) bị chặn thỏa 2un+2  un+1 + un , n = 1; 2; 3;... , chứng minh dãy đã cho hội tụ. Lời giải: Tham khảo “Chuyên Khảo dãy số - Nguyễn Tài Chung”, tr.104 Bài 6: Dãy số dương ( u n ) và dãy dương ( x n ) thỏa lim xn = 0 đồng thời tồn tại số q thuộc (0;1) sao cho un+1  qun + xn , n = 1; 2; 3;... thì lim un = 0 . Lời giải: Lấy   0 , ta chứng minh tồn tại N để 0  un   ; n  N 1 Vì lim xn = 0 nên tồn tại N1 sao cho xn   = 2 (1 − q)  ; n  n1 . Khi đó, ta có un +1  qun + xn  qun +  ; un +2  qun +1 + xn +1  q2un + q +  ;… Thực hiện tương tự cho 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − qn ta đánh giá: un + n  qnun +  . , với mọi n = 1; 2; 3;... 1 1 1− q  Vì lim qn = 0 do q  ( 0;1) nên tồn tại n2 : qnun  ; n  n2 . Từ đó ta có 1 2 1 − qn  1   un + n  qnun +  .  + = + =  ; n  n2 1 1 1− q 2 1− q 2 2 Hay, tồn tại N = n1 + n2 thì 0  un   ; n  N nên lim un = 0 . Áp dụng: Bài 6.1: Dãy số ( x n ) thỏa x1 = 2; x n +1 = ( x + 1) . Tính giới hạn dãy đã cho n 2n + 1 n (Xem lời giải khác sách Huỳnh Kim Linh – tr40)  x1 = 3  Bài 6.2: Cho dãy số thực (xn) xác định bởi:  n+2 . Chứng minh rằng  xn = 3n ( xn −1 + 2), n  2 dãy số có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó. 16 | N ă m h ọ c 2 0 2 1 - 2 0 2 2
  17. GVBS: Nguyễn Hoàng Vinh [TÀI LIỆU ÔN THI HSGQG 2021 – DÃY SỐ] Hướng dẫn cách dùng Weierstrass + Ta có xn  0, n  * . + Ta sẽ chứng minh kể từ số hạng thứ hai, dãy số đã cho là giảm, tức là chứng minh 2 (n + 2) − (n − 1) xn −1  n+2 xn − xn −1  0   0  (n + 2) − (n − 1) xn −1  0  xn −1  , n  3 (*) bằng 3n n −1 phương pháp quy nạp. Thật vậy, 10 • n=3: x2 = nên (*) đúng. 3 n+2 n+2 n+2n+2  n+2 n+3 • Giả sử với n  3 ta có xn −1  , khi đó xn = ( xn −1 + 2)   + 2 =  n −1 3n 3n  n − 1  n −1 n . Như vậy, (xn) giảm kể từ số hạng thứ hai mà (xn) bị chặn dưới bởi 0 nên theo tính chất của dãy 1 đơn điệu, tồn tại giới hạn lim xn = a , ta có a = (a + 2), a  0 nên a=1. 3  15  u1 = 8 , u 2 = 2  Bài 6.3: Dãy số ( x n ) thỏa  2 . Tính giới hạn dãy đã u + 1 = u 2 + u + n , n   n + 2 2 n +1 n 4n 2 − 1 cho (Kỷ yếu hậu gặp gỡ toán học 2016) n + 1 n 2k Bài 6.4: Đặt Sn =  , tính lim Sn 2n+1 k=1 k Lời giải: Ta có n + 2 n +1 2k n + 2  21 22 2n +1  Sn +1 =  = 2n + 2  1 + 2 + 2n + 2 k =1 k + n +1    n + 2 n + 1  21 22 2n  n+2 n+2 =   + + + + = ( Sn + 1) 2(n + 1) 2n +1  1 2 n  2(n + 1) 2(n + 1) Áp dụng bổ đề suy ra lim Sn = 1 Bài 6.5: Dãy ( un ) dương và dãy ( xn ) có lim là 0. Biết tồn tại các số p, q  ( 0;1) có tổng < 1 sao cho un+ 2  pun + qun+1 + xn ; n = 1; 2; 3;... Chứng minh lim un = 0 17 | N ă m h ọ c 2 0 2 1 - 2 0 2 2
  18. GVBS: Nguyễn Hoàng Vinh [TÀI LIỆU ÔN THI HSGQG 2021 – DÃY SỐ] Lời giải: a − b = q Xét hệ phương trình  suy ra a2 − qa − p = 0 .  ab = p Xét nghiệm dương của phương trình f ( x ) = x2 − qx − p = 0 , vì f ( 0 ) . f (1)  0 nên phương trình có nghiệm x = a  ( 0;1) và chọn b = a − q  ( 0;1) (chú ý ab = p  0 ). Ta viết lại: un+ 2  ( a − b) un+1 + abun + xn ; n = 1; 2; 3;...  yn+1  ayn + xn ; n = 1; 2; 3;... với ( ) yn = un+1 + bun . Nhận xét rằng dãy yn thỏa bổ đề nên lim yn = 0 hay lim un+1 + bun = 0 . ( ) Mà dãy ( un ) dương nên 0  un+1  un+1 + bun  lim un+1 = lim un = 0 . Bài 7: Dãy ( u n ) thỏa điều kiện u n + 2 − u n +1  q u n +1 − u n , n = 1; 2; 3;... , chứng minh dãy đã cho có giới hạn hữu hạn. (q là số dương bé hơn 1) (Xem lời giải sách Huỳnh Kinh Linh trang 64) Áp dụng: Cho dãy ( x n ) thỏa x1 ; x 2  0, 4nx n = ( 6n − 1) x n −1 − ( 2n − 1) x n − 2 . Chứng minh dãy đã cho hội tụ. Lời giải: 2n − 1 1 Từ giả thiết cho ta x n − x n −1 = x n −1 − x n −2  x n −1 − x n −2 và suy ra kết quả. 4n 2 Bài 8: Cho dãy số ( u n ) dương và dãy ( S n ) thỏa Sn = u1 + u2 + ... + un hội tụ. Chứng minh Sn lim un = 0 . Nếu lim tồn tại hữu hạn thì kết luận lim un = 0 còn đúng không? n n Bài 8.1: (HSG Lào Cai 12, 2015 – 2016) Dãy số dương ( u n ) và đặt S n =  ui3 với mọi n = i =1 1,2,3,…. Biết u n +1  (S n − 1 ) u n + u n −1 , n = 1; 2; 3;... Tính limun. S n +1 Lời giải: Sách Huỳnh Kim Linh tr113 18 | N ă m h ọ c 2 0 2 1 - 2 0 2 2
  19. GVBS: Nguyễn Hoàng Vinh [TÀI LIỆU ÔN THI HSGQG 2021 – DÃY SỐ] Giả sử ( S n ) bị chặn trên thì lim un = 0 do dãy ( S n ) có giới hạn hữu hạn. Từ đây suy ra lim u 3n = lim ( S n +1 − S n ) = 0 . Nếu lim Sn = + thì từ giả thiết cho ta Sn+1un+1 + un  Sn un + un−1 , n = 2; 3;... và từ đây suy ra S 2 u 2 + u1 Sn un + un−1  S2 u2 + u1 , n = 1; 2; 3... Do đó 0  u n  , n = 1, 2, 3... và điều này suy ra kết Sn quả. n ai Bài 9: Dãy (an ) là một hoán vị của tập số nguyên dương, đặt Sn =  ; i = 1; 2; 3;... Chứng i=1 i minh lim Sn = + . Lời giải: Ta dùng tiêu chuẩn Cauchy Nhận xét: Lấy số tự nhiên N bất kì thì aN +1 ; aN + 2 ;...; a3 N có ít nhất N số lớn hơn N (Vì nếu có ít hơn N số lớn hơn N thì có nhiều hơn N số nhỏ hơn N+1 và điều này suy ra vô lý). Khi đó, 3N ai N 1 S3 N − SN =  i= N +1 i  9N 2 = . Từ đây áp dụng tiêu chuẫn Cauchy suy ra dãy ( Sn ) không có 9 giới hạn hữu hạn. 19 | N ă m h ọ c 2 0 2 1 - 2 0 2 2
  20. GVBS: Nguyễn Hoàng Vinh [TÀI LIỆU ÔN THI HSGQG 2021 – DÃY SỐ] CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ ÔN DỰ TUYỂN 2020 – 2021 LẦN 3 Nội dung: Các bài toán về giới hạn và đánh giá trên dãy số Bài 1: Cho trước số nguyên dương m > 1 và dãy số ( a n ) có các phần tử a0 ;a1 ;...;a n thỏa ; a n +1 = a n + a n2 ( 0  n  m ) . Chứng minh 1 − 1 1 1 a0 =  am  1 2 m m+2 1 1 1 Lời giải: Xây dựng đẳng thức − = , k = 1; 2;...; n . Làm tương tự và cộng a k −1 a k m + a k −1 1 1 theo vế, chú ý đây là dãy số tăng nên −  1  a n  1 . Từ đây ta đánh giá a0 a n 1 1 1 1 1 1 m 1 − =  , k = 1; 2;...; n và cộng theo vế suy ra −   am  1 − a k −1 a k m + a k −1 m + 1 a0 a m m + 1 m+2 . Và từ đây suy ra kết quả. Bài 2: Cho dãy ( a n ) là dãy các số nguyên lớn hơn 1 và tăng ngặt thỏa ai ; a j = 1, i  j và ( )  1 1 1  lim  + + ... +  = + . Chứng minh dãy đã cho chứa vô hạn số nguyên tố.  aa a 2a 3 a n a n +1   1 2  Lời giải: Giả sử dãy đã cho có hữu hạn số nguyên tố thì tồn tại số nguyên dương m để a n là hợp số với mọi n  m . Gọi pi là ước nguyên tố bé nhất của ai thì các pi phân biệt đồng thời a n  pi2 nếu a n là hợp số. Khi ấy, với mọi n > 1 ta có n m −1 n m −1 n 1 1 1 1 1  i =1 a i a i +1 = i =1 a i a i +1 + i=m a i a i +1  i =1 a i a i +1 + i = m pi pi + 1 m −1 1 1 n  1 1  m −1 1 n 1 m −1 1 n 1  +    + 2     +    +  i =1 a i a i +1 2 i = m  pi p i + 1  i =1 a i a i + 1 i = m p i i =1 a i a i + 1 i =1 i 2 2 2 Điều này chứng tỏa dãy tổng bị chặn trên nên vô lý. 20 | N ă m h ọ c 2 0 2 1 - 2 0 2 2
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
32=>2