TÀI LI U ÔN THI THPT QU C GIA - MÔN TOÁN
NĂM 2014-2015
****************************
A.C U TRÚC Đ THI ĐI H C MÔN TOÁN NĂM 2014 (Tham kh o)
Câu I (2 đi m):
- Kh o sát s bi n thiên và v đ th c a hàm s . ế
- Các bài toán liên quan đn ng d ng c a đo hàm và đ th c a hàm s : chi u bi n thiên ế ế
c a hàm s ; c c tr ; giá tr l n nh t và nh nh t c a hàm s ; ti p tuy n, ti m c n (đng và ế ế
ngang) c a đ th hàm s ; tìm trên đ th nh ng đi m có tính ch t cho tr c, t ng giao ướ ươ
gi a hai đ th (m t trong hai đ th là đng th ng)... ườ
Câu II (1 đi m):
Bi n đi l ng giác, ph ng trình l ng giác.ế ượ ươ ượ
Câu III (1 đi m):
Ph ng trình, b t ph ng trình; h ph ng trình đi s .ươ ươ ươ
Câu IV (1 đi m):
- Tìm gi i h n.
- Tìm nguyên hàm, tính tích phân.
- ng d ng c a tích phân: tính di n tích hình ph ng, th tích kh i tròn xoay.
Câu V (1 đi m):
Hình h c không gian (t ng h p): quan h song song, quan h vuông góc c a đng th ng, ườ
m t ph ng; di n tích xung quanh c a hình nón tròn xoay, hình tr tròn xoay; th tích kh i
lăng tr , kh i chóp, kh i nón tròn xoay, kh i tr tròn xoay; tính di n tích m t c u và th
tích kh i c u. Các bài toán v kho ng cách t m t đi m t i m t m t ph ng, kho ng cách
g a 2 đng th ng chéo nhau. ườ
Câu VI (1 đi m):
Bài toán t ng h p.(B t đng th c; c c tr c a bi u th c đi s )
Câu VII (1 đi m):Ph ng pháp t a đ trong m t ph ng . ươ
- Xác đnh t a đ c a đi m, vect . ơ
- Đng tròn, đng th ng, elip.ườ ườ
Câu VIII (1 đi m):Ph ng pháp t a đ trong không gian: ươ
- Vi t ph ng trình m t ph ng, đng th ng, m t c u. Tìm đi m tho đi u ki n cho ế ươ ườ
tr c.ướ
- Tính góc, tính kho ng cách t đi m đn m t ph ng; v trí t ng đi c a đng th ng, ế ươ ườ
m t ph ng và m t c u.
Câu IX (1 đi m):S ph c - T h p, xác su t.
B.CÁCH LÀM BÀI THI:
Khi làm bài thi chú ý không c n theo th t c a đ thi mà theo kh năng gi i đc câu ượ
nào tr c thì làm tr c. Khi nh n đc đ thi, c n đc th t k đ phân đnh đâu là các câuướ ướ ượ
h i quen thu c và d th c hi n u tiên gi i tr c, các câu h i khó nên gi i quy t sau. Có ư ướ ế
th ta đánh giá m t câu h i nào đó là d và làm vào gi y thi nh ng khi làm m i th y là khó ư
thì nên d t khoát chuy n qua câu khác, sau đó còn thì gi hãy quay tr l i gi i ti p. Khi g p ế
đ thi không khó thì nên làm r t c n th n, đng ch quan đ x y ra các sai sót do c u th ;
1
còn v i đ thi có câu khó thì đng nên n n lòng s m mà c n kiên trì suy nghĩ. Ph i bi t t n ế
d ng th i gian trong bu i thi đ ki m tra các sai sót (n u có) và t p trung suy nghĩ đ gi i ế
các câu khó còn l i (n u g p ph i). Khi làm bài thi b ng nhi u cách khác nhau mà đn đo ế
không bi t cách nào đúng sai thì không nên g ch b ph n nào h t đ giám kh o t tìm chế ế
đúng đ cho đi m.
C. M T S CH Đ ÔN T P
PH N I: HÌNH H C KHÔNG GIAN OXYZ
TÓM T T LÝ THUY T
I.H T A Đ TRONG KHÔNG GIAN
1.To đ đi m to đ véc t : ơ
( )
( )
1 2 3 1 2 3
1 1 2 2 3 3
1 2 3
1 1
2 2
3 3
1 1 2 2 3 3
2 2 2
1 2 3
Cho a (a;a ;a ),b (b ;b ;b )
1. a b a b ,a b ,a b
2. k.a ka ,ka ,ka
a b
3. a b a b
a b
4. a.b a .b a .b a .b
5. a a a a
a.b
6. cos(a;b) a.b
7. a cung phng
= =
=
=
=
= ==
= + +
= + +
=
r r
r r
r
r r
r r
r
r r
r r ur uur
r
1 1 2 2 3 3
2 3 3 1 1 2
2 3 3 1 1 2
a a a
1 2 3
b a k.b a b 0 b b b
1 2 3
8. a b a.b 0 a .b a .b a .b 0
a a a a a a
9. a b a;b , ,
b b b b b b
= = = =
= + + =
= =
r r r r r r
r r r r
r r r r
=
uuur
B A B A B A
10. AB (x x ,y y ,z z )
11.
2 2 2
B A B A B A
AB AB (x x ) (y y ) (z z )
= = + +
uuur
12.
r r r
a,b,c
đng ph ng
( )
. 0a b c =
r r r
13. a,b,c
r r r
không đng ph ng
( )
. 0a b cٹ�
r r r
14.M là trung đi mc a AB thì
2
,
2
,
2
BABABA
zzyyxx
M
15. G là tr ng tâm tam giác ABC
16. Véct đn v :ơ ơ
1 2 3
(1, 0, 0); (0,1, 0); (0, 0,1)e e e
= = =
ur uur ur
17.
OzzKOyyNOxxM
),0,0(;)0,,0(;)0,0,(
18.
OxzzxKOyzzyNOxyyxM
),0,(;),,0(;)0,,(
19.
2 2 2
ABC 1 2 3
1 1
S AB AC a a a
2 2
= = + +
uuur uuur
20.
ABCD
1
V (AB AC).AD
6
=
uuur uuur uuur
21.
/
.).(
//// AAADABV DCBAABCD
2/ Mt cu :
2.1.Ph ngươ trình maët caàu taâm I(a ; b ; c), baùn kính r
( ) ( ) ( )
2
r
+ + =
2 2 2
x a y b z c
(1)
Ph ngươ trình
D
+ + + =
2 2 2
x y z +2Ax+2By+2Cz 0
(2) (
A B C D
+ + >
2 2 2
vi 0
) laø
phöông trình maët caàu Taâm I(-A ; -B ; -C) vaø
= + +
2 2 2
r A B C D
2..2 Vò trí töông ñoái cuûa maët phaúng vaø maët caàu
Cho
( ) ( ) ( )
2
r
+ + =
2 2 2
(S): x a y b z c
vaø mp(): Ax + By + Cz + D = 0
2
G i d = d(I,()) là kh ang cách t tâm mc(S) đn mp( ế ):
d > r : (S) () =
d = r : () tieáp xuùc (S) taïi H (H: tieáp ñieåm, : tieáp dieän)
d < r : () caét (S) theo ñöôøng troøn coù ph ng ươ trình
( ) ( ) ( )
2
( )
+ + =
+ + + =
r
α
2 2 2
(S): x a y b z c
: Ax By Cz D 0
II. M T PH NG
1. Vect pháp tuy n c a mpơ ế
:
n
r
0
r
là véct pháp tuy n c a mp(ơ ế )
Giá của
n
r
mp()
2.P.trình t ng quát c a mp(
): Ax + By + Cz + D = 0(1). Mp(1) có 1VTPT
n
r
= (A;
3.M t s tr ng h p đcbi t c a ph ng trình m t ph ng ườ ươ
*Ph ng trình m t ph ng song song ho c ch a ox: ươ By+Cz+D=0 ( D0 song song, D=0
ch a)
*Ph ng trình m t ph ng song song ho c ch a oy: Axươ +Cz+D=0 ( D0 song song, D=0
ch a)
*Ph ng trình m t ph ng song song ho c ch a oz: Axươ +By+D=0 ( D0 song song, D=0
ch a)
*Ph ng trình m t ph ng ươ đi qua A(a,0,0) ; B(0,b,0); C(0,0,c):
1
c
z
b
y
a
x
vi
*Ph ng trình các m t ph ng t a đươ : (Oyz) : x = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Oxy) : z = 0
4. V trí t ng đi c a hai mp ( ươ
): A 1x +B 1y +C 1z + D 1 = 0 và (
) : A 2x +B 2y+C2z + D 2
= 0
°
1 1 1 2 2 2
α β( )cat( ) A :B :C A :B :C
۹
°
1 1 1 1
2 2 2 2
α β A B C D
( )/ /( ) A B C D
= =
°
1 1 1 1
2 2 2 2
α β A B C D
( ) ( ) A B C D
===
Ñaëc bieät
1 2 1 2 1 2
( ) ( ) A A B B C C 0
α β + + =
5.KC t M(x 0,y0,z0) đn ế (
) : Ax + By + Cz + D = 0
o o o
2 2 2
Ax By Cz D
A B C
α
+ + +
=+ +
d(M,( ))
6.Goùc gi a hai maët phaúng :
1 2
1 2
n .n
α β n . n
=
r r
r r
cos( , )
v i
1 2
n ; n
r r
là VTPT c a 2 m t ph ng
III. ĐNG TH NG TRONG KHÔNG GIANƯỜ
1.Phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng (d) qua M(xo ;yo ;zo) coù vtcp
a
r
=
(a1;a2;a3)
Rt;
tazz
tayy
taxx
(d)
3o
2o
1o
:
2.Phöông trình chính taéc cuûa (d)
32
a
z-z
a
yy
a
xx
(d)
o
1
o0
:
3
( v i a1.a2.a3 0)
3.Vò trí töông ñoái cuûa 2 ñöôøng thaúng :
Cho 2 đng th ng dườ 1 : có véct ch ph ngơ ươ
a
và đi qua M1, d2 : có véct ch ph ngơ ươ
b
và đi qua M2
* d1// d2
=
r r r
r uuuuur r
12
a^b 0
a^M M 0
*d1 d2
=
=
r r r
r uuuuur r
12
a^b 0
a^M M 0
* d1 c t d2
( )
=
r r r
r r uuuuur
12
a^b 0
a^b .M M 0
*d1 chéo d2
( )
r r uuuuur
12
a^b .M M 0
* Đc bi t d 1d2
. 0=
r r
a b
4.Góc gi a 2 đng th ng ư :
=
r r
r r
1 2
a.b
cos(d ;d ) a b
4
5. Kho ng cách gi a t M đn đng d ế ư 1:
( )
1
1
;
;
M M a
d M d
a
=
uuuuur r
r
6. Kho ng cách gi a 2 đng th ng song song ườ : d(d1 ;d2)=d(M1 ;d2).
7. Kho ng cách gi a 2 đng th ng chéo nhau ườ :
( )
1 2
; .
;
;
a b M M
a b
=
d d d
1 2
r r uuuuuur
r r
M T S D NG BÀI T P:
I/ M T S BÀI TOÁN V M T C U:
D ng toán 1: Tìm tâm và bán kính c a các m t c u có ph ng trình: ươ
D
+ + + =
2 2 2
x y z +2Ax+2By+2Cz 0
Ph ng pháp gi i:ươ
Tìm tâm: hoành đ l y h s c a x chia (-2), tung đ l y h s c a y chia (-2), cao đ l y
h s c a z chia (-2) Tâm m t c u là I(-A ;-B ;-C).
Tím bán kính
2 2 2
A +B +C - Dr=
Ví d : Tìm tâm và bán kính c a các m t c u sau:
a)
x y z x y
2 2 2 8 2 1 0+ + + =
Gi i:
a/Tâm m t c u là I(4;1;0), bán kính c a m t c u là:
+ + + + = + + + + =
b x y z x y z x y z x y z
2 2 2 2 2 2
8
/ 3 3 3 6 8 15 3 0 2 5 1 0
3
Tâm m t c u là I(1; -4/3; -5/2), bán kính c a m t c u là:
D ng toán 2: Tìm tâm H và bán kính r c a đng tròn giao tuy n gi a m t c u S(I ườ ế ;R)
và mp():
Ph ng pháp gi i:ươ
+ Tìm tâm H
B1: Vi t ph ng trình đng th ng d qua I và vuông góc mp(ế ươ ườ )
B2: Tâm H là giao đi m c a d và mp( ).
+ Bán kính
),(
22
IdRr
Ví d : Cho m t c u ( S) :
2 2 2
( 3) ( 2) ( 1) 100x y z + + + =
và m t ph ng
( ) : 2 2 9 0x y z
α
+ =
. Ch ng minh r ng ( S) và () c t nhau theo giao tuy n là đng tròn ế ườ
(T). Tìm tâm và bán kính đng tròn (T)ườ
Gi i:
M t c u ( S) có tâm I(3;-2;1) và bán kính R = 10. Ta có :
2.3 2( 2) 1 9
( ,( )) 6
4 4 1
d I
α
+
= =
+ +
<10=R mc(S) c t () theo giao tuy n là đng tròn (T). ế ườ
Mp
( )
α
có 1 VTPT là
(2; 2; 1)n=
r
Đng th ng d qua I vuông góc v i mpườ
( )
α
có m t VTCP là
(2; 2; 1)n=
r
ph ng trìnhươ
2 2 2 2 2 2
A +B +C -D ( 4) +(-1) +0 -1 4r= = =
2 2
2 2 2 2
4 5 19
A +B +C -D ( 1) + + +1
3 2 6
r
= = =