Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số
Trang 27
Baøi 1. Tìm m để các phương trình sau chỉ có 1 nghiệm:
a) 32
23(1)620
xmxmx
-++-=
b) 32
33(1)130
xxmxm
-+-++=
c) 32
236(1)3120
xmxmxm
-+--+=
d) 32
63(4)480
xxmxm
e) 32
23(1)6(2)20
xmxmxm
+-+-+-=
f) 3
320
xmxm
-+=
Baøi 2. Tìm m để các phương trình sau chỉ có 2 nghiệm:
a) 322
(1)(232)2(21)0
xmxmmxmm
-+--++-=
b) 3
320
xmxm
-+=
c) 32
(21)(31)(1)0
xmxmxm
-+++-+=
d) 32
33(1)130
xxmxm
-+-++=
Baøi 3. Tìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:
a) 3222
33(1)(1)0
xmxmxm
-+---=
b) 32
63(4)480
xxmxm
c) 32
23(1)6(2)20
xmxmxm
+-+-+-=
d) 3
1
0
3xxm
-+=
Baøi 4. Tìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm dương phân biệt:
a) 3222
33(1)(1)0
xmxmxm
-+---=
b) 32
63(4)480
xxmxm
c) 32
157
40
326
xxxm
-+++=
d) 32
(21)20
xmxmxm
-++--=
Baøi 5. Tìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm âm phân biệt:
a) 32
23(1)6(2)20
xmxmxm
+-+-+-=
b) 3222
33(1)(1)0
xmxmxm
-+---=
c) 32
390
xxxm
+-+=
d) 32
1820
xxmxm
-+-=
Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng
Trang 28
3. SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐƯỜNG. TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG.
1. Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của
tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm
(
)
000
;()
Mxfx
.
Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm
(
)
000
;()
Mxfx
là:
y – y0 = f ¢(x0).(x – x0) (y0 = f(x0))
2. Điều kiện cần và đủ để hai đường (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) tiếp xúc nhau là hệ
phương trình sau có nghiệm:
()()
'()'()
fxgx
fxgx
ì=
í=
î (*)
Nghiệm của hệ (*) là hoành độ của tiếp điểm của hai đường đó.
3. Nếu (C1): y = px + q và (C2): y = ax2 + bx + c thì
(C1) và (C2) tiếp xúc nhau Û phương trình 2
axbxcpxq
++=+
có nghiệm kép.
VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y = f(x)
Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến
D
của (C): y =f(x) tại điểm
(
)
000
;
Mxy
:
·
Nếu cho x0 thì tìm y0 = f(x0).
Nếu cho y0 thì tìm x0 là nghiệm của phương trình f(x) = y0.
·
Tính y
¢
= f
¢
(x). Suy ra y
¢
(x0) = f
¢
(x0).
·
Phương trình tiếp tuyến
D
là: y – y0 = f
¢
(x0).(x – x0)
Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến
D
của (C): y =f(x), biết
D
có hệ số góc k cho trước.
Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.
·
Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm. Tính f
¢
(x0).
·
D
có hệ số góc k
Þ
f
¢
(x0) = k (1)
·
Giải phương trình (1), tìm được x0 và tính y0 = f(x0). Từ đó viết phương trình của
D
.
Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.
·
Phương trình đường thẳng
D
có dạng: y = kx + m.
·
D
tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:
()
'()
fxkxm
fxk
ì
=+
í=
î (*)
·
Giải hệ (*), tìm được m. Từ đó viết phương trình của
D
.
Chú ý: Hệ số góc k của tiếp tuyến
D
có thể được cho gián tiếp như sau:
+
D
tạo với chiều dương trục hoành góc
a
thì k = tan
a
+
D
song song với đường thẳng d: y = ax + b thì k = a
+
D
vuông góc với đường thẳng d: y = ax + b (a
¹
0) thì k =
1
a
-
+
D
tạo với đường thẳng d: y = ax + b một góc
a
thì
tan
1
ka
ka
-=
+
a
Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến
D
của (C): y = f(x), biết
D
đi qua điểm
(;)
AA
Axy
.
Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.
·
Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm. Khi đó: y0 = f(x0), y
¢
0 = f
¢
(x0).
·
Phương trình tiếp tuyến
D
tại M: y – y0 = f
¢
(x0).(x – x0)
·
D
đi qua
(;)
AA
Axy
nên: yA – y0 = f
¢
(x0).(xA – x0) (2)
·
Giải phương trình (2), tìm được x0. Từ đó viết phương trình của
D
.
Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.
·
Phương trình đường thẳng
D
đi qua
(;)
AA
Axy
và có hệ số góc k: y – yA = k(x – xA)
Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số
Trang 29
·
D
tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:
()()
'()
AA
fxkxxy
fxk
ì
=-+
í=
î (*)
·
Giải hệ (*), tìm được x (suy ra k). Từ đó viết phương trình tiếp tuyến
D
.
Baøi 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm được chỉ ra:
a) (C): 32
371
yxxx
=--+
tại A(0; 1) b) (C): 42
21
yxx
=-+
tại B(1; 0)
c) (C):
34
23
x
yx
+
=
-
tại C(1; –7) d) (C):
2
1
21
yx
x
=+-
-
tại D(0; 3)
Baøi 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm được chỉ ra:
a) (C):
2
33
2
xx
yx
-+
=- tại điểm A có xA = 4
b) (C):
3(2)
1
x
yx
-
=
-
tại điểm B có yB = 4
c) (C):
1
2
x
yx
+
=
-
tại các giao điểm của (C) với trục hoành, trục tung.
d) (C): 2
221
yxx
=-+
tại các giao điểm của (C) với trục hoành, trục tung.
e) (C): 3
31
yxx
=-+
tại điểm uốn của (C).
f) (C): 42
19
2
44
yxx
=--
tại các giao điểm của (C) với trục hoành.
Baøi 3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với đường được chỉ ra:
a) (C): 32
2394
yxxx
=-+-
và d:
74
yx
=+
.
b) (C): 32
2394
yxxx
=-+-
và (P): 2
83
yxx
=-+-
.
c) (C): 32
2394
yxxx
=-+-
và (C’): 32
467
yxxx
=-+-
.
Baøi 4. Tính diện tích tam giác chắn hai trục toạ độ bởi tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm được
chỉ ra:
a) (C):
511
23
x
yx
+
=
-
tại điểm A có xA = 2 .
b) (C): 2
726
yxx
=-+
tại điểm B có xB = 2.
Baøi 5. Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm được chỉ ra chắn hai trục toạ độ một tam
giác có diện tích bằng S cho trước:
a) (C): 2
1
xm
yx
+
=
-
tại điểm A có xA = 2 và S =
1
2
.
b) (C):
3
2
xm
yx
-
=
+
tại điểm B có xB = –1 và S =
9
2
.
c) (C): 3
1(1)
yxmx
=+-+
tại điểm C có xC = 0 và S = 8.
Baøi 6. Viết phương trình tiếp tuyến D của (C), biết D có hệ số góc k được chỉ ra:
a) (C): yxx
32
235
=-+
; k = 12 b) (C):
21
2
x
yx
-
=
-
; k = –3
c) (C):
2
34
1
xx
yx
-+
=-; k = –1 d) (C): 2
43
yxx
=-+
; k = 2
Baøi 7. Viết phương trình tiếp tuyến D của (C), biết D song song với đường thẳng d cho trước:
Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng
Trang 30
a) (C):
32
231
3
x
yxx
=-++
; d: y = 3x + 2 b) (C):
21
2
x
yx
-
=
-
; d: 3
2
4
yx
=-+
c) (C):
2
23
46
xx
yx
--
=+; d:
250
xy
+-=
d) (C): 42
13
3
22
yxx
=-+
; d: y = –4x + 1
Baøi 8. Viết phương trình tiếp tuyến D của (C), biết D vuông góc với đường thẳng d cho trước:
a) (C):
32
231
3
x
yxx
=-++
; d:
2
8
x
y
=-+
b) (C):
21
2
x
yx
-
=
-
; d:
yx
=
c) (C):
2
3
1
x
yx
+
=
+
; d: y = –3x d) (C):
2
1
2
xx
yx
+-
=+; d: x – 2
Baøi 9. Viết phương trình tiếp tuyến D của (C), biết D tạo với chiều dương trục Ox góc a:
a) (C):
3
20
24;60
3
x
yxx=-+-=
a
b) (C):
3
20
24;75
3
x
yxx=-+-=
a
c)
0
32
():;45
1
x
Cy x
-
==
-
a
Baøi 10. Viết phương trình tiếp tuyến D của (C), biết D tạo với đường thẳng d một góc a:
a) (C):
3
20
24;:37;45
3
x
yxxdyx=-+-=+=
a
b) (C):
3
20
1
24;:3;30
32
x
yxxdyx=-+-=-+=
a
c)
0
43
():;:3;45
1
x
Cydyx
x
-
===
-
a
d)
0
37
():;:;60
25
x
Cydyx
x
-
==-=
-+
a
e)
2
0
3
():;:1;60
2
xx
Cydyx
x
-+
==-+=
-
a
Baøi 11. Tìm m để tiếp tuyến D của (C) tại điểm được chỉ ra vuông góc với đường thẳng d cho
trước:
a) (C):
2(21)2
1
xmxm
yx
++-+
=+ tại điểm A có xA = 0 và d là tiệm cận xiên của (C).
b) (C):
2
21
3
xmx
yx
+-
=-; tại điểm B có xB = 4 và d: x – 12y + 1 = 0 .
Baøi 12. Tìm m để tiếp tuyến D của (C) tại điểm được chỉ ra song song với đường thẳng d cho
trước:
a) (C):
2
(31)
(0)
mxmm
ym
xm
+-+
=¹
+ tại điểm A có yA = 0 và d:
10
yx
=-
.
Baøi 13. Viết phương trình tiếp tuyến D của (C), biết D đi qua điểm được chỉ ra:
a) (C): 3
32
yxx
=-+-
; A(2; –4) b) (C): 3
31
yxx
=-+
; B(1; –6)
c) (C):
( )
2
2
2
yx
=- ; C(0; 4) d) (C): 42
13
3
22
yxx
=-+
;
3
0;
2
D
æö
ç÷
èø
e) (C):
2
2
x
yx
+
=
-
; E(–6; 5) f) (C):
34
1
x
yx
+
=
-
; F(2; 3)
g) (C):
2
33
2
xx
yx
-+
=-; G(1; 0) h)
2
2
1
xx
yx
-+
=-; H(2; 2)
Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số
Trang 31
VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hai đường tiếp xúc
1. Điều kiện cần và đủ để hai đường (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) tiếp xúc nhau là hệ
phương trình sau có nghiệm:
()()
'()'()
fxgx
fxgx
ì=
í=
î (*)
Nghiệm của hệ (*) là hoành độ của tiếp điểm của hai đường đó.
2. Nếu (C1): y = px + q và (C2): y = ax2 + bx + c thì
(C1) và (C2) tiếp xúc nhau
Û
phương trình 2
axbxcpxq
++=+
có nghiệm kép.
Baøi 1. Tìm m để hai đường (C1), (C2) tiếp xúc nhau:
a) 32
12
():(3)2;():
CyxmxmxCtruïchoaønh
=++++
b) 32
12
():2(1);():
CyxxmxmCtruïchoaønh
=---+
c) 3
12
():(1)1;():1
CyxmxCyx
=+++=+
d) 32
12
():221;():
CyxxxCyxm
=++-=+
Baøi 2. Tìm m để hai đường (C1), (C2) tiếp xúc nhau:
a) 422
12
():21;():2
CyxxCymxm
=++=+
b) 422
12
():1;():
CyxxCyxm
=-+-=-+
c) 422
12
19
():2;():
44
CyxxCyxm
=-++=-+
d) 222
12
():(1)(1);():2
CyxxCyxm
=+-=+
e)
2
12
(21)
():;():
1
mxm
CyCyx
x
--
==
-
f)
22
12
1
():;():
1
xx
CyCyxm
x
-+
==+
-
VẤN ĐỀ 3: Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị
(C1): y = f(x) và C2): y = g(x)
1. Gọi
D
: y = ax + b là tiếp tuyến chung của (C1) và (C2).
u là hoành độ tiếp điểm của
D
và (C1), v là hoành độ tiếp điểm của
D
và (C2).
·
D
tiếp xúc với (C1) và (C2) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
()(1)
'()(2)
()(3)
'()(4)
fuaub
fua
gvavb
gva
ì=+
ï
ï=
í=+
ï=
ï
î
·
Từ (2) và (4)
Þ
f
¢
(u) = g
¢
(v)
Þ
u = h(v) (5)
·
Thế a từ (2) vào (1)
Þ
b =
j
(u) (6)
·
Thế (2), (5), (6) vào (3)
Þ
v
Þ
a
Þ
u
Þ
b. Từ đó viết phương trình của
D
.
2. Nếu (C1) và (C2) tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ x0 thì một tiếp tuyến chung của (C1) và
(C2) cũng là tiếp tuyến của (C1) (và (C2)) tại điểm đó.
Baøi 1. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị:
a) 22
12
():56;():511
CyxxCyxx
=-+=-+-
b) 22
12
():56;():14
CyxxCyxx
=-+=---