intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Tài liệu ôn toán - Bài tập giải tích lớp 12 - Phần 4

Chia sẻ: Nguyễn Ngân | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:13

Thêm vào BST
Báo xấu
176
lượt xem 48
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'tài liệu ôn toán - bài tập giải tích lớp 12 - phần 4', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tài liệu ôn toán - Bài tập giải tích lớp 12 - Phần 4

  1. Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số Baøi 1. Tìm m để các phương trình sau chỉ có 1 nghiệm: a) 2 x 3 - 3(m + 1) x 2 + 6 mx - 2 = 0 b) x 3 - 3 x 2 + 3(1 - m) x + 1 + 3m = 0 c) 2 x 3 - 3mx 2 + 6(m - 1) x - 3m + 12 = 0 d) x 3 - 6 x 2 - 3(m - 4) x + 4m - 8 = 0 e) 2 x 3 + 3(m - 1) x 2 + 6(m - 2) x + 2 - m = 0 f) x 3 - 3mx + 2 m = 0 Baøi 2. Tìm m để các phương trình sau chỉ có 2 nghiệm: a) x 3 - (m + 1) x 2 - (2 m 2 - 3m + 2) x + 2 m(2 m - 1) = 0 b) x 3 - 3mx + 2 m = 0 c) x 3 - (2m + 1) x 2 + (3m + 1) x - (m + 1) = 0 d) x 3 - 3 x 2 + 3(1 - m) x + 1 + 3m = 0 Baøi 3. Tìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: a) x 3 - 3mx 2 + 3(m 2 - 1) x - (m 2 - 1) = 0 b) x 3 - 6 x 2 - 3(m - 4) x + 4m - 8 = 0 13 c) 2 x 3 + 3(m - 1) x 2 + 6(m - 2) x + 2 - m = 0 x -x+m = 0 d) 3 Baøi 4. Tìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm dương phân biệt: a) x 3 - 3mx 2 + 3(m 2 - 1) x - (m 2 - 1) = 0 b) x 3 - 6 x 2 - 3(m - 4) x + 4m - 8 = 0 13 52 7 d) x 3 - mx 2 + (2 m + 1) x - m - 2 = 0 x - x + 4x + m + = 0 c) 3 2 6 Baøi 5. Tìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm âm phân biệt: a) 2 x 3 + 3(m - 1) x 2 + 6(m - 2) x + 2 - m = 0 b) x 3 - 3mx 2 + 3(m 2 - 1) x - (m 2 - 1) = 0 c) x 3 + 3 x 2 - 9 x + m = 0 d) x 3 - x 2 + 18mx - 2 m = 0 Trang 27
  2. Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng 3. SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐƯỜNG. TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG. 1. Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M0 ( x0 ; f ( x0 ) ) . Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M0 ( x0 ; f ( x0 ) ) là: y – y0 = f ¢(x0).(x – x0) (y0 = f(x0)) 2. Điều kiện cần và đủ để hai đường (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) tiếp xúc nhau là hệ phương trình sau có nghiệm: ì f ( x ) = g( x ) (*) í f '( x ) = g '( x ) î Nghiệm của hệ (*) là hoành độ của tiếp điểm của hai đường đó. 3. Nếu (C1): y = px + q và (C2): y = ax2 + bx + c thì (C1) và (C2) tiếp xúc nhau Û phương trình ax 2 + bx + c = px + q có nghiệm kép. VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y = f(x) Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến D của (C): y =f(x) tại điểm M0 ( x0 ; y0 ) : · Nếu cho x0 thì tìm y0 = f(x0). Nếu cho y0 thì tìm x0 là nghiệm của phương trình f(x) = y0. · Tính y¢ = f¢ (x). Suy ra y¢(x0) = f¢ (x0). · Phương trình tiếp tuyến D là: y – y0 = f¢ (x0).(x – x0) Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến D của (C): y =f(x), biết D có hệ số góc k cho trước. Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm. · Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm. Tính f¢ (x0). · D có hệ số góc k Þ f¢ (x0) = k (1) · Giải phương trình (1), tìm được x0 và tính y0 = f(x0). Từ đó viết phương trình của D. Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc. · Phương trình đường thẳng D có dạng: y = kx + m. · D tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm: ì f ( x ) = kx + m (*) í f '( x ) = k î · Giải hệ (*), tìm được m. Từ đó viết phương trình của D. Chú ý: Hệ số góc k của tiếp tuyến D có thể được cho gián tiếp như sau: + D tạo với chiều dương trục hoành góc a thì k = tana + D song song với đường thẳng d: y = ax + b thì k = a 1 + D vuông góc với đường thẳng d: y = ax + b (a ¹ 0) thì k = - a k -a = tan a + D tạo với đường thẳng d: y = ax + b một góc a thì 1 + ka Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến D của (C): y = f(x), biết D đi qua điểm A( x A ; y A ) . Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm. · Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm. Khi đó: y0 = f(x0), y¢0 = f¢ (x0). · Phương trình tiếp tuyến D tại M: y – y0 = f¢ (x0).(x – x0) · D đi qua A( x A ; y A ) nên: yA – y0 = f¢ (x0).(xA – x0) (2) · Giải phương trình (2), tìm được x0. Từ đó viết phương trình của D. Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc. · Phương trình đường thẳng D đi qua A( x A ; y A ) và có hệ số góc k: y – yA = k(x – xA) Trang 28
  3. Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số · D tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm: ì f ( x) = k( x - x A ) + yA (*) í î f '( x ) = k · Giải hệ (*), tìm được x (suy ra k). Từ đó viết phương trình tiếp tuyến D. Baøi 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm được chỉ ra: a) (C): y = 3 x 3 - x 2 - 7 x + 1 tại A(0; 1) b) (C): y = x 4 - 2 x 2 + 1 tại B(1; 0) 3x + 4 2 d) (C): y = x + 1 - c) (C): y = tại C(1; –7) tại D(0; 3) 2x - 3 2x -1 Baøi 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm được chỉ ra: x2 - 3x + 3 a) (C): y = tại điểm A có xA = 4 x -2 3( x - 2) b) (C): y = tại điểm B có yB = 4 x -1 x +1 c) (C): y = tại các giao điểm của (C) với trục hoành, trục tung. x -2 d) (C): y = 2 x - 2 x 2 + 1 tại các giao điểm của (C) với trục hoành, trục tung. e) (C): y = x 3 - 3 x + 1 tại điểm uốn của (C). 14 9 x - 2 x 2 - tại các giao điểm của (C) với trục hoành. f) (C): y = 4 4 Baøi 3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với đường được chỉ ra: a) (C): y = 2 x 3 - 3 x 2 + 9 x - 4 và d: y = 7 x + 4 . b) (C): y = 2 x 3 - 3 x 2 + 9 x - 4 và (P): y = - x 2 + 8 x - 3 . c) (C): y = 2 x 3 - 3 x 2 + 9 x - 4 và (C’): y = x 3 - 4 x 2 + 6 x - 7 . Baøi 4. Tính diện tích tam giác chắn hai trục toạ độ bởi tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm được chỉ ra: 5 x + 11 a) (C): y = tại điểm A có xA = 2 . 2x - 3 b) (C): y = x 2 - 7 x + 26 tại điểm B có xB = 2. Baøi 5. Tìm m để t iếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm được chỉ ra chắn hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng S cho trước: 2x + m 1 a) (C): y = tại điểm A có xA = 2 và S = . x -1 2 x - 3m 9 b) (C): y = tại điểm B có xB = –1 và S = . x+2 2 c) (C): y = x3 + 1 - m( x + 1) tại điểm C có xC = 0 và S = 8. Baøi 6. Viết phương trình tiếp tuyến D của (C), biết D có hệ số góc k được chỉ ra: 2x -1 a) (C): y = 2 x 3 - 3 x 2 + 5 ; k = 12 b) (C): y = ; k = –3 x -2 x2 - 3x + 4 d) (C): y = x 2 - 4 x + 3 ; k = 2 c) (C): y = ; k = –1 x -1 Baøi 7. Viết phương trình tiếp tuyến D của (C), biết D song song với đường thẳng d cho trước: Trang 29
  4. Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng x3 2x -1 3 - 2 x 2 + 3 x + 1 ; d: y = 3x + 2 ; d: y = - x + 2 a) (C): y = b) (C): y = 3 x -2 4 2 x - 2x - 3 1 3 d) (C): y = x 4 - 3 x 2 + ; d: y = –4x + 1 ; d: 2 x + y - 5 = 0 c) (C): y = 4x + 6 2 2 Baøi 8. Viết phương trình tiếp tuyến D của (C), biết D vuông góc với đường thẳng d cho trước: x3 2x -1 x - 2 x 2 + 3 x + 1 ; d: y = - + 2 a) (C): y = b) (C): y = ; d: y = x 3 8 x -2 x2 + 3 x2 + x - 1 c) (C): y = d) (C): y = ; d: y = –3x ; d: x – 2 x +1 x+2 Baøi 9. Viết phương trình tiếp tuyến D của (C), biết D tạo với chiều dương trục Ox góc a: x3 x3 - 2 x 2 + x - 4; a = 600 - 2 x 2 + x - 4; a = 750 a) (C): y = b) (C): y = 3 3 3x - 2 ; a = 450 c) (C ) : y = x -1 Baøi 10. Viết phương trình tiếp tuyến D của (C), biết D tạo với đường thẳng d một góc a: x3 - 2 x 2 + x - 4; d : y = 3 x + 7; a = 450 a) (C): y = 3 x3 1 - 2 x 2 + x - 4; d : y = - x + 3; a = 30 0 b) (C): y = 3 2 4x - 3 ; d : y = 3 x; a = 450 c) (C ) : y = x -1 3x - 7 ; d : y = - x; a = 60 0 d) (C ) : y = -2 x + 5 x2 - x + 3 ; d : y = - x + 1; a = 60 0 e) (C ) : y = x -2 Baøi 11. Tìm m để tiếp tuyến D của (C) tại điểm được chỉ ra vuông góc với đường thẳng d cho trước: x 2 + (2m + 1) x - 2 + m a) (C): y = tại điểm A có xA = 0 và d là tiệm cận xiên của (C). x +1 2 x 2 + mx - 1 b) (C): y = ; tại điểm B có xB = 4 và d: x – 12y + 1 = 0 . x -3 Baøi 12. Tìm m để t iếp tuyến D của (C) tại điểm được chỉ ra song song với đường thẳng d cho trước: (3m + 1) x - m 2 + m (m ¹ 0) tại điểm A có yA = 0 và d: y = x - 10 . a) (C): y = x+m Baøi 13. Viết phương trình tiếp tuyến D của (C), biết D đi qua điểm được chỉ ra: a) (C): y = - x 3 + 3 x - 2 ; A(2; –4) b) (C): y = x 3 - 3 x + 1 ; B(1; –6) 14 3 æ 3ö 2 c) (C): y = ( 2 - x 2 ) ; C(0; 4) x - 3 x 2 + ; D ç 0; ÷ d) (C): y = 2 2 è 2ø x +2 3x + 4 e) (C): y = f) (C): y = ; E(–6; 5) ; F(2; 3) x -2 x -1 x2 - 3x + 3 x2 - x + 2 g) (C): y = h) y = ; G(1; 0) ; H(2; 2) x -2 x -1 Trang 30
  5. Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hai đường tiếp xúc 1. Điều kiện cần và đủ để hai đường (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) tiếp xúc nhau là hệ phương trình sau có nghiệm: ì f ( x ) = g( x ) (*) í f '( x ) = g '( x ) î Nghiệm của hệ (*) là hoành độ của tiếp điểm của hai đường đó. 2. Nếu (C1): y = px + q và (C2): y = ax2 + bx + c thì (C1) và (C2) tiếp xúc nhau Û phương trình ax 2 + bx + c = px + q có nghiệm kép. Baøi 1. Tìm m để hai đường (C1), (C2) tiếp xúc nhau: a) (C1 ) : y = x3 + (3 + m) x 2 + mx + 2; (C2 ) : truïc hoaønh b) (C1 ) : y = x 3 - 2 x 2 - (m - 1) x + m; (C2 ) : truïc hoaønh c) (C1 ) : y = x 3 + m( x + 1) + 1; (C2 ) : y = x + 1 d) (C1 ) : y = x 3 + 2 x 2 + 2 x - 1; (C2 ) : y = x + m Baøi 2. Tìm m để hai đường (C1), (C2) tiếp xúc nhau: a) (C1 ) : y = x 4 + 2 x 2 + 1; (C2 ) : y = 2mx 2 + m b) (C1 ) : y = - x 4 + x 2 - 1; (C2 ) : y = - x 2 + m 1 9 c) (C1 ) : y = - x 4 + 2 x 2 + ; (C2 ) : y = - x 2 + m 4 4 d) (C1 ) : y = ( x + 1)2 ( x - 1)2 ; (C2 ) : y = 2 x 2 + m (2m - 1) x - m 2 e) (C1 ) : y = ; (C2 ) : y = x x -1 x2 - x + 1 ; (C2 ) : y = x 2 + m f) (C1 ) : y = x -1 VẤN ĐỀ 3: Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị (C1): y = f(x) và C2): y = g(x) 1. Gọi D: y = ax + b là tiếp tuyến chung của (C1) và (C2). u là hoành độ tiếp điểm của D và (C1), v là hoành độ tiếp điểm của D và (C2). · D tiếp xúc với (C1) và (C2) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm: ì f (u) = au + b (1) ï f '(u) = a (2) ï í ïg(v ) = av + b (3) g '(v ) = a (4) ï î · Từ (2) và (4) Þ f¢ (u) = g¢ (v) Þ u = h(v) (5) · Thế a từ (2) vào (1) Þ b = j(u) (6) · Thế (2), (5), (6) vào (3) Þ v Þ a Þ u Þ b. Từ đó viết phương trình của D. 2. Nếu (C1) và (C2) tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ x0 thì một tiếp tuyến chung của (C1) và (C2) cũng là tiếp tuyến của (C1) (và (C2)) tại điểm đó. Baøi 1. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị: a) (C1 ) : y = x 2 - 5 x + 6; (C2 ) : y = - x 2 + 5 x - 11 b) (C1 ) : y = x 2 - 5 x + 6; (C2 ) : y = - x 2 - x - 14 Trang 31
  6. Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng c) (C1 ) : y = x 2 - 5 x + 6; (C2 ) : y = x 3 + 3 x - 10 VẤN ĐỀ 4: Tìm những điểm trên đồ thị (C): y = f(x) sao cho tại đó tiếp tuyến của (C) song song hoặc vuông góc với một đường thẳng d cho trước · Gọi M(x0; y0) Î (C). D là tiếp tuyến của (C) tại M. Tính f¢ (x0). · Vì D // d f¢ (x0) = kd nên (1) 1 D^d f¢ (x0) = - hoặc nên (2) kd · Giải phương trình (1) hoặc (2) tìm được x0. Từ đó tìm được M(x0; y0) Î (C). Baøi 1. Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng d cho trước: x2 + 3x + 6 1 a) (C): y = ; d: y = x x +1 3 2 x + x +1 b) (C): y = ; d là tiệm cận xiên của (C) x +1 x2 + x - 1 c) (C): y = ; d là đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của (C). x -1 x2 - x + 1 d) (C): y = ; d: y = x x Baøi 2. Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà tiếp tuyến tại đó song song với đường thẳng d cho trước: x2 - x + 1 a) (C): y = x 3 + x 2 + x + 10 ; d: y = 2 x b) (C): y = ; d: y = –x x VẤN ĐỀ 5: Tìm những điểm trên đường thẳng d mà từ đó có thể vẽ được 1, 2, 3, … tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) Giả sử d: ax + by +c = 0. M(xM; yM) Î d. · Phương trình đường thẳng D qua M có hệ số góc k: y = k(x – xM) + yM · D tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm: ì f ( x ) = k ( x - x M ) + yM (1) í î f '( x ) = k (2) · Thế k từ (2) vào (1) ta được: f(x) = (x – xM).f¢ (x) + yM (3) · Số tiếp tuyến của (C) vẽ từ M = Số nghiệm x của (3) Baøi 1. Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà từ đó vẽ được đúng một tiếp tuyến với (C): a) (C ) : y = - x 3 + 3 x 2 - 2 b) (C ) : y = x 3 - 3 x + 1 Baøi 2. Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó vẽ được đúng một tiếp tuyến với (C): x2 + x + 2 x +1 a) (C ) : y = b) (C ) : y = ; d là trục tung ; d là trục hoành x -1 x -1 2x2 + x x 2 + 3x + 3 c) (C ) : y = d) (C ) : y = ; d: y = 1 ; d: x = 1 x +1 x+2 x+3 e) (C ) : y = ; d: y = 2x + 1 x -1 Trang 32
  7. Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số Baøi 3. Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó vẽ được ít nhất một tiếp tuyến với (C): x2 - 6x + 9 x 2 + 3x + 3 a) (C ) : y = b) (C ) : y = ; d là trục tung ; d là trục tung -x + 2 x +1 2x +1 3x + 4 c) (C ) : y = d) (C ) : y = ; d: x = 3 ; d: y = 2 x -2 4x - 3 Baøi 4. Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó vẽ được hai tiếp tuyến với (C): x2 + x - 2 x2 - x -1 a) (C ) : y = b) (C ) : y = ; d là trục hoành ; d là trục tung x+2 x +1 x 2 + 3x + 3 c) (C ) : y = ; d: y = –5 x+2 Baøi 5. Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó vẽ được ba tiếp tuyến với (C): a) (C ) : y = - x 3 + 3 x 2 - 2 ; d: y = 2 b) (C ) : y = x 3 - 3 x ; d: x = 2 c) (C ) : y = - x 3 + 3 x + 2 ; d là trục hoành d) (C ) : y = x 3 - 12 x + 12 ; d: y = –4 e) (C ) : y = x 4 - x 2 - 2 ; d là trục tung e) (C ) : y = - x 4 + 2 x 2 - 1 ; d là trục tung Baøi 6. Từ điểm A có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với (C): 1 æ4 4ö b) (C ) : y = x 3 - 2 x 2 + 3 x + 4; A ç ; ÷ a) (C ) : y = x 3 - 9 x 2 + 17 x + 2 ; A(–2; 5) 3 è9 3ø c) (C ) : y = 2 x 3 + 3 x 2 - 5; A(1; -4) Baøi 7. Từ một điểm bất kì trên đường thẳng d có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với (C): a) (C ) : y = x 3 - 6 x 2 + 9 x - 1 ; d: x = 2 b) (C ) : y = x 3 - 3 x ; d: x = 2 VẤN ĐỀ 6: Tìm những điểm mà từ đó có thể vẽ được 2 tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) và 2 tiếp tuyến đó vuông góc với nhau Gọi M(xM; yM). · Phương trình đường thẳng D qua M có hệ số góc k: y = k(x – xM) + yM · D tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm: ì f ( x ) = k ( x - x M ) + yM (1) í î f '( x ) = k (2) · Thế k từ (2) vào (1) ta được: f(x) = (x – xM).f¢ (x) + yM (3) · Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C) Û (3) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2. · Hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau Û f¢ (x1).f¢ (x2) = –1 Từ đó tìm được M. Chú ý: Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C) sao cho 2 tiếp điểm nằm về hai phía với trục ì(3) coù 2 nghieäm phaân bieät hoành thì í î f ( x1 ). f ( x2 ) < 0 Baøi 1. Chứng minh rằng từ điểm A luôn kẻ được hai tiếp tuyến với (C) vuông góc với nhau. Viết phương trình các tiếp tuyến đó: x2 + x +1 1ö æ a) (C ) : y = 2 x 2 - 3 x + 1; A ç 0; - ÷ b) (C ) : y = ; A(1; -1) 4ø x +1 è x2 + 2x + 2 c) (C ) : y = ; A(1; 0) d) x +1 Trang 33
  8. Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng Baøi 2. Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó có thể vẽ được hai tiếp tuyến với (C) vuông góc với nhau: a) (C ) : y = x 3 - 3 x 2 + 2 ; d: y = –2 b) (C ) : y = x 3 + 3 x 2 ; d là trục hoành 2 x2 + x + 1 x2 - 2 x + 1 c) (C ) : y = d) (C ) : y = ; d là trục tung ; d là trục tung x +1 x -1 x 2 - 3x + 2 e) (C ) : y = ; d: x = 1 x Baøi 3. Tìm m để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt mà tại đó hai tiếp tuyến với (C) vuông góc với nhau: - x2 + x - m x 2 + mx - 8 a) (C ) : y = b) (C ) : y = ; d: y = –1 ; d là trục hoành 2x + m x-m x 2 - 2mx + m c) (C ) : y = ; d là trục hoành x+m Baøi 4. Tìm m để từ điểm A kẻ được 2 tiếp tuyến với (C) sao cho 2 tiếp điểm nằm về hai phía với trục hoành; x+2 a) (C ) : y = ; A(0; m) b) x -1 VẤN ĐỀ 7: Các bài toán khác về tiếp tuyến Baøi 1. Cho hypebol (H) và điểm M bất kì thuộc (H). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B. 1) Chứng minh M là trung điểm của đoạn AB. 2) Chứng minh diện tích của DIAB là một hằng số. 3) Tìm điểm M để chu vi DIAB là nhỏ nhất. 2x -1 x +1 4x - 5 a) ( H ) : y = b) ( H ) : y = c) ( H ) : y = x -1 x -1 -2 x + 3 Baøi 2. Cho hypebol (H) và điểm M bất kì thuộc (H). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B. 1) Chứng minh M là trung điểm của đoạn AB. 2) Chứng minh tích các khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận là không đổi. 2) Chứng minh diện tích của DIAB là một hằng số. 3) Tìm điểm M để chu vi DIAB là nhỏ nhất. x2 - 3x + 4 x 2 - 3x + 3 x2 + 2 x + 2 a) ( H ) : y = b) ( H ) : y = c) ( H ) : y = 2x - 2 x -1 x +1 Baøi 3. Tìm m để tiếp tuyến tại điểm M bất kì thuộc hypebol (H) cắt hai đường tiệm cận tạo thành một tam giác có diện tích bằng S: 2 mx + 3 a) ( H ) : y = ; S=8 x-m Baøi 4. Tìm điểm M thuộc hypebol (H) tại đó tiếp tuyến cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B sao cho DOAB vuông cân: x2 + x + 1 2 x2 + 5x x2 + 3x + 3 a) ( H ) : y = b) ( H ) : y = c) ( H ) : y = x -1 x+2 x+2 2 2x - x +1 Baøi 5. Cho (C): y = . Chứng minh rằng trên đường thẳng d: y = 7 có 4 điểm sao x -1 cho từ mỗ i điểm có thể kẻ đến (C) hai tiếp tuyến tạo với nhau một góc 450. Trang 34
  9. Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số Baøi 6. Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong (C) tạo với các trục toạ độ một tam giác có diện tích S cho trước: x3 + 1 1 1 a) (C ) : y = x + ; S = 4 b) (C ) : y = ;S= 2 x x Trang 35
  10. Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng 4. HỌ ĐỒ THỊ Cho họ đường (Cm): y = f(x, m) (m là tham số). M(x0; y0) Î (Cm) Û y0 = f(x0, m) (1) Xem (1) là phương trình theo ẩn m. Tuỳ theo số nghiệm của (1) ta suy ra số đồ thị của họ (Cm) đi qua M. · Nếu (1) nghiệm đúng với mọ i m thì mọ i đồ thị của họ (Cm) đều đi qua M. Khi đó, M được gọi là điểm cố định của họ (Cm). · Nếu (1) có n nghiệm phân biệt thì có n đồ thị của họ (Cm) đi qua M. · Nếu (1) vô nghiệm thì không có đồ thị nào của họ (Cm) đi qua M. VẤN ĐỀ 1: Tìm điểm cố định của họ đồ thị (Cm): y = f(x, m) Cách 1: · Gọi M(x0; y0) là điểm cố định (nếu có) của họ (Cm). M(x0; y0) Î (Cm), "m Û y0 = f(x0, m), "m (1) · Biến đổi (1) về một trong các dạng sau: · Dạng 2: (1) Û Am 2 + Bm + C = 0 , "m · Dạng 1: (1) Û Am + B = 0, "m ìA = 0 ï ìA = 0 Û íB = 0 Ûí (2a) (2b) îB = 0 ïC = 0 î · Giải hệ (2a) hoặc (2b) ta tìm được toạ độ (x0; y0) của điểm cố định. Chú ý: Các hệ (2a), (2b) là các hệ phương trình có 2 ẩn x0, y0. Cách 2: · Gọi M(x0; y0) là điểm cố định (nếu có) của họ (Cm). M(x0; y0) Î (Cm), "m Û y0 = f(x0, m), "m (1) · Đặt F(m) = f(x0, m) thì F(m) = y0 không đổi. Þ F¢ (m) = 0 (3) · Giải (3) tìm được x0. Thay x0 vào (1) tìm được y0. Từ đósuy ra được các điểm cố định. Baøi 1. Tìm các điểm cố định của họ đồ thị (Cm) có phương trình sau: b) y = mx 2 + 2(m - 2) x - 3m + 1 a) y = (m - 1) x - 2m + 1 c) y = (m + 1) x 3 - 2 mx 2 - (m - 2) x + 2 m + 1 d) y = (1 - 2m ) x 2 - (3m - 1) x + 5m - 2 e) y = x 3 + mx 2 - 9 x - 9m f) y = (m - 2) x 3 - mx + 2 g) y = 2mx 4 - x 2 - 4m + 1 h) y = x 4 + mx 2 - m - 5 (m - 1) x - 2 x + 3m - 1 (m ¹ -1, m ¹ -2) i) y = k) y = (m + 2) x + 4m x-m x 2 - 5mx + 7 -2 x 2 + (m + 2) x + m 2ö æ (m ¹ 0) l) y = çm ¹ ± m) y = ÷ mx - 2 2x - m 3ø è 2 x 2 + 6 x + 4m x 2 + (m - 1) x + m n) y = o) y = 2 x 2 + (5m + 2) x + 6 x 2 + 2 mx + 2 m + 1 Baøi 2. Chứng minh rằng họ đồ thị (Cm) có 3 điểm cố định thẳng hàng. Viết phương trình đường thẳng đi qua 3 điểm cố định đó: a) y = (m + 3) x 3 - 3(m + 3) x 2 - (6m + 1) x + m + 1 b) y = (m + 2) x 3 - 3(m + 2) x 2 - 4 x + 2m - 1 c) y = (m - 4) x 3 - (6 m - 24) x 2 - 12mx + 7m - 18 Trang 36
  11. Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số d) y = (m + 1) x3 - (2 m + 1) x - m + 1 VẤN ĐỀ 2: Tìm điểm mà không có đồ thị nào của họ đồ thị (Cm): y = f(x, m) đi qua · Gọi M(x0; y0) là điểm mà không có đồ thị nào của họ (Cm) đi qua. M(x0; y0) Ï (Cm), "m Û y0 = f(x0, m) vô nghiệm m (1) · Biến đổi (1) về một trong các dạng sau: ìA = 0 · Dạng 1: (1) Û Am + B = 0 vô nghiệm m Û í (2a) îB ¹ 0 éì A = B = 0 ê íC ¹ 0 · Dạng 2: (1) Û Am 2 + Bm + C = 0 vô nghiệm m Û ê î (2b) êì A ¹ 0 ê í B2 - 4 AC < 0 ëî Chú ý: · Kết quả là một tập hợp điểm. · Những điểm nằm trên tiệm cận đứng cố định của hàm hữu tỷ là những điểm đồ thị không đi qua. Baøi 1. Tìm các điểm trong mặt phẳng mà không có đồ thị nào của họ (Cm) đi qua: m2 m +1 a) y = (m + 2) x + m 2 + 2 m b) y = x+ m2 + m + 1 m2 + m + 1 c) y = mx 2 + 2(1 - m ) x + 1 + m (m ¹ 0) d) y = x 2 - m 3 x + m 2 - 2 e) y = 2 x3 + 3mx 2 - m 3 - 5m 2 - 4 f) y = mx 3 - m 2 x 2 - 4 mx + 4 m 2 - 6 (m - 2) x - m 2 + 2 m - 4 (3m + 1) x - m 2 + m g) y = h) y = x -m x+m x 2 + mx + 8 - m x 2 - 2 mx + m + 2 i) y = k) y = x -1 x-m 2 2 x + mx - 2m + 4 x + (3m - 1) x - 10 l) y = m) y = 2 x 2 - 3x + 2 x + 2x + 5 Baøi 2. Tìm các điểm thuộc (L) mà không có đồ thị nào của họ (Cm) đi qua: a) (Cm): y = mx 3 - m 2 x 2 - 4 mx + 4 m 2 - 6 ; (L) là trục hoành. b) (Cm): y = 2 x 3 - 3(m + 3) x 2 + 18mx + 6 ; (L): y = x 2 + 14 . x 2 - mx + m 2 - m + 1 c) (Cm): y = ; (L) là trục tung. mx + m 2 + m + 1 (m + 1) x 2 + m 2 x + 1 d) (Cm): y = ; (L): x = 2. x+m m2 x 2 + 1 e) (Cm): y = ; (L): y = 1. x VẤN ĐỀ 3: Tìm điểm mà một số đồ thị của họ đồ thị (Cm): y = f(x, m) đi qua · Ta có: M(x0; y0) Î (Cm) Û y0 = f(x0, m) (1) · Biến đổi (1) về một trong các dạng sau: hoặc Am 2 + Bm + C = 0 Am + B = 0 (2a) (2b) · Số nghiệm của (2a) hoặc (2b) theo m = Số (Cm) đi qua M. Trang 37
  12. Khảo sát hàm số Trần Sĩ Tùng Baøi 1. Tìm các điểm trong mặt phẳng sao cho có đúng k đồ thị của họ (Cm) đi qua: - x 2 + mx - m 2 2 mx + m2 + 2m a) (Cm): y = b) (Cm): y = ; k = 1. ; k = 2. 2( x + m ) x-m c) (Cm): xy - 2my - 2mx + m 2 x - 4 m = 0 ; k = 1. Baøi 2. Tìm các điểm thuộc (L) sao cho có đúng k đồ thị của họ (Cm) đi qua: a) (Cm): y = x 3 + (m 2 + 1) x 2 - 4 m ; (L): x = 2; k = 1. b) (Cm): y = x 3 + (m 2 + 1) x 2 - 4 m ; (L): x = 2; k = 2. c) (Cm): y = x 3 + (m 2 + 1) x 2 - 4 m ; (L): x = 2; k = 3. Baøi 3. Chứng minh rằng các điểm thuộc (L) có đúng k đồ thị của họ (Cm) đi qua: mx 2 - (m 2 + m - 1) x + m 2 - m + 2 a) (Cm): y = ; (L): x > 1; k = 2. x-m (m + 1) x 2 - m 2 b) (Cm): y = ; (L): x > 0; k = 2. x-m c) (Cm): y = x 4 - 2 mx 2 + m 2 + 1 ; (L): y = 1; k = 1. d) (Cm): y = x 3 - (m + 1) x 2 - (2 m3 - 3m + 2) x + 2 m(2m - 1) ; (L): x = 1, y > –2; k = 2. Trang 38
  13. Trần Sĩ Tùng Khảo sát hàm số 5. TẬP HỢP ĐIỂM Bài toán: Tìm tập hợp các điểm M(x; y) thoả tính chất a. · Nhận xét: Tìm tập hợp điểm M trong mặt phẳng toạ độ là tìm phương trình của tập hợp điểm đó. Dạng 1: Tìm toạ độ của điểm M. 1) Tìm điều kiện (nếu có) của tham số m để tồn tại điểm M. 2) Tính toạ độ điểm M theo tham số m. Có các trường hợp xảy ra: ì x = f (m) Trường hợp 1: M í î y = g(m ) Khử tham số m giữa x và y, ta có một hệ thức giữa x, y độc lập với m có dạng: F(x, y) = 0 (gọi là phương trình quĩ t ích) ì x = a (haèng soá ) Trường hợp 2: M í î y = g(m ) Khi đó điểm M nằm trên đường thẳng x = a. ì x = f (m) Trường hợp 3: M í î y = b (haèng soá ) Khi đó điểm M nằm trên đường thẳng y = b. 3) Giới hạn quĩ t ích: Dựa vào điều kiện (nếu có) của m (ở bước 1), ta tìm được điều kiện của x hoặc y để tồn tại điểm M(x; y). Đó là giới hạn của quĩ t ích. 4) Kết luận: Tập hợp các điểm M có phương trình F(x, y) = 0 (hoặc x = a, hoặc y = b) với điều kiện của x hoặc y (ở bước 3). Dạng 2: Trong trường hợp ta không thể t ính được toạ độ của điểm M theo tham số m mà chỉ thiết lập được một hệ thức chứa toạ độ của M thì ta tìm cách khử tham số m trong hệ thức để tìm được hệ thức dạng F(x, y) = 0. Chú ý: Nếu bài toán chỉ hỏi : Điểm M chạy trên đường nào thì ta chỉ tìm phương trình F(x, y) = 0 mà không cần tìm giới hạn của quĩ tích. Baøi 1. Tìm tập hợp các điểm đặc biệt của họ đồ thị đã cho. a) (Pm): y = 2 x 2 - (m - 2) x + 2m - 4 . Tìm tập hợp các đỉnh của (Pm). b) (Cm): y = x 3 - 3mx 2 + 2 x - 3m - 1 . Tìm tập hợp các điểm uốn của (Cm). c) (Cm): y = 2 x3 - 3(2m + 1) x 2 + 6m(m + 1) x + 1 . Tìm tập hợp các điểm cực đại của (Cm). (m - 1) x + 1 d) (Hm): y = . Tìm tập hợp các tâm đố i xứng của (Hm). mx - 1 2 x 2 - 3mx + 5m e) (Hm): y = . Tìm tập hợp các điểm cực đại của (Hm). x -2 Baøi 2. Cho (C) và (C¢). Tìm tập hợp trung điểm của đoạn thẳng. 1) Tìm m để (C) và (C¢) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. 2) Tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn thẳng AB. a) (C): y = x 3 + 3 x 2 + mx + 1 và (C’): y = x 3 + 2 x 2 + 7 . b) (C): y = x 2 - mx + 3 và (C¢): y = mx + 2 . x -1 và (C¢): 2 x - y + m = 0 c) (C): y = x +1 ( x - 2)2 d) (C): y = và (C¢) là đường thẳng đi qua A(0; 3) và có hệ số góc m. 1- x Trang 39
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
6=>0