Biên son: GV HUỲNH ðC KHÁNH
- §Æt
(
)
2
t log x
=
, bÊt ph−¬ng tr×nh trªn t−¬ng ®−¬ng víi
4 2 2
2
2
t 13t 36 0 4 t 9
1 1
3 log x 2
3 t 2 x
8 4
2 log x 3
2 t 3
4 x 8
− + < ⇔ < <
− < < −
− < < −
< <
⇔ ⇔ ⇔
< <
< <
< <
-
VËy bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm
( )
1 1
, 4,8
8 4
∪
.
Ví d 3.
Gi
i b
t ph
ươ
ng trình:
5 4.5 5
− − − − + −
− <
Li gii:
-
§Æt
x 5 3 2
X 5 0, Y 5 0
x− −
= > = >
.Kh
i ®ã bÊt ph−¬ng tr×nh cã d¹ng
2
X
4X 5Y
Y
− < (1)
- Do
Y 0
>
nªn
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2
x 5 1 3 x 2
1 X 4XY 5Y X 4XY 5Y 0 X Y X 5Y 0
X 5Y 0 X 5Y 5 5
x 5 1 3 x 2 x 6 3 x 2
− + −
⇔ − < ⇔ − − < ⇔ + − <
⇔ − < ⇔ < ⇔ <
⇔ − < + − ⇔ − < −
-
BÊt ph−¬ng tr×nh trªn t−¬ng ®−¬ng víi hai hÖ sau
( )
x 2 0
I 2 x 6
x 6 0
− ≥
⇔ ≤ <
− <
( ) ( ) ( )
22
x 6 0 x 6 x 6
II 6 x 18
x 21x 54 0 3 x 18
9 x 2 x 6
− ≥
≥ ≥
⇔ ⇔ ⇔ ≤ <
− + < < <
− > −
- VËy bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm l>:
2 x 18
≤ <
.
"/
Gii các bt phương trình sau:
1)
(
)
(
)
x x
x
1
5 1 5 1 2
4
+ + − =
2)
(
)
2 2 2
2 1 4
2
log x log x 3 5 log x 3
+ − > −
3)
2x x x 4 x 4
3 8.3 9.9 0
+ + +
− − >
.
%   # & /"#$
Ví d 1. Gii bt phương trình:
(
)
5 4
log 3 x log x
+ >
Li gii:
-
ð
i
u ki
n
x 0
>
.
-
§Æt
t
4
t log x x 4
= ⇔ =
, bÊt ph−¬ng tr×nh trë th>nh
(
)
t
5
log 3 2 t
+ >
t
t t
t
3 2
3 2 5 1
5 5
⇔ + > ⇔ + >
- H>m sè
( )
t
t
3 2
t
5 5
f
= +
nghÞch biÕn trªn
ℝ
v>
(
)
1 1.
f
=
-
BÊt ph−¬ng tr×nh trë
(
)
(
)
t 1 t 1
f f
> ⇔ <
,
ta ®−îc
4
log x 1 0 x 4.
< ⇔ < <
Biên son: GV HUỲNH ðC KHÁNH
- VËy bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm l>:
0 x 4
< <
.
Ví d 2. Gii bt phương trình:
22
32
x x 1
log x 3x 2
2x 2x 3
+ +
> − +
− +
Li gii:
- §Æt
(
)
2 2
u x x 1; v 2x 2x 3 u 0, v 0
= + + = − + > >
. Suy ra
2
v u x 3x 2
− = − +
.
-
BÊt ph−¬ng tr×nh ®D cho t−¬ng ®−¬ng víi
( )
3 3 3 3 3
u
log v u log u log v v u log u u log v v 1
v
= − ⇔ − = − ⇔ + > +
- XÐt h>m sè
( ) ( )
'
3
1
t log t t, ta co: t 1 0, t 0
t ln3
f f
= + = + > ∀ >
nªn hàm s ñång biÕn khi
t 0.
>
Tõ (1) ta cã
(
)
(
)
f u f v u v
> ⇔ >
2 2
2
x x 1 2x 2x 3
x 3x 2 0
1 x 2.
⇔ + + > − +
⇔ − + <
⇔ < <
- VËy bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm l>:
1 x 2
< <
.
Lưu ý:
1.
Víi bÊt ph−¬ng tr×nh d¹ng
log log
a b
u v
<
, ta th−êng gi¶i nh− sau:
§Æt
log
a
t u
=
(hoÆc
log
b
t v
=)
®−a vÒ bÊt ph−¬ng tr×nh mò v> sö dông chiÒu biÕn thiªn cña
h>m sè.
2.
Víi bÊt ph−¬ng tr×nh d¹ng
log log log
a a a
u
v u u u v v
v
< − ⇔ + < +
. Ta xÐt h>m sè
(
)
log
a
f t t t
= +
®ång biÕn khi
0
t
>
, suy ra
(
)
(
)
.
f u f v u v
< ⇔ <
"/
Gi
i các b
t ph
ươ
ng trình sau:
1)
(
)
3x
6 64
log x x log x
+ ≥
2)
x x x
2.2 3.3 6 1.
+ > −
3)
x x x x
16 3 4 9 .
− < +
2    ! -
Ví d .
Gi
i b
t ph
ươ
ng trình:
x
5 x
log 5 x
0
2 3x 1
+
−
<
− +
Li gii:
-
BÊt ph−¬ng tr×nh trªn t−¬ng ®−¬ng víi hai hÖ
( )
x
5 x
log 0
I 5 x
2 3x 1 0
+
>
−
− + <
v>
( )
x
5 x
log 0
II 5 x
2 3x 1 0
+
<
−
− + >
- Gi¶i hÖ (I)
+ 5 x 5 x 2x
log 0 1 0 0 x 5
5 x 5 x 5 x
+ +
> ⇔ > ⇔ > ⇔ < <
− − −
+ x
2 3x 1
< −
, ta vÏ ®å thÞ cña hai h>m sè
x
y 2
=
v>
y 3x 1
= −
trªn cïng mét hÖ trôc to¹ ®é.
Khi ®ã ta ®−îc nghiÖm l>
1 x 3.
< <
- Do ®ã hÖ (I) cã nghiÖm
1 x 3.
< <
Biên son: GV HUỲNH ðC KHÁNH
- Gi¶i hÖ (II)
+
5 x 5 5 x 5
5 x 5 x
log 0 0 1 5 x 0
2x x 0 x 5
5 x 5 x 0
5 x
− < <
− < <
+ +
< ⇔ < < ⇔ ⇔ ⇔ − < <
< ∨ >
− − <
−
.
+
x
2 3x 1
> −
x 1
⇔ <
hoÆc
x 3
>
.
- Do ®ã hÖ (II) cã nghiÖm
5 x 0.
− < <
- VËy bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm
( 5,0) (1,3)
− ∪
.
"/
Gi
i b
t ph
ươ
ng trình sau:
1 x
x
2 2x 1
0
2 1
−
− +
≤
−
.
*/#$   0 
Ví d 1. Gii bt phương trình:
( )
2 3
1
log x 2 4 log 8
x 1
− + ≤ +
−
Li gii:
- §iÒu kiÖn
x 2.
≥
- Ta cã nhËn xÐt sau:
+
(
)
2
x 2 4 4 log x 2 4 2 VT 2.
− + ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ ≥
+ 1
x 2 x 1 1 x 1 1 1
x 1
≥ ⇔ − ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≤
−
3
1 1
8 9 log 8 2 VP 2
1 1x x
⇔ + ≤ ⇔ + ≤ ⇔ ≤
− −
- VËy bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm khi v> chØ khi
VT 2 x 2 0
x 2
VP 2 x 2
=− =
⇔ ⇔ =
==
.
- VËy bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = 2.
Ví d 2. Gii bt phương trình:
(
)
x
x 9
log log 3 9 1
− <
Li gii:
- §Ó
(
)
x
9
log 3 9
−
cã nghÜa, ta cÇn cã
x x 2
3 9 3 3 x 2.
> ⇔ > ⇔ >
- Víi ®iÒu kiÖn trªn bÊt ph−¬ng tr×nh ®D cho t−¬ng ®−¬ng víi
( )
( )
9
x x
9
x 2
3x 9 1
log 3x 9 0
3 9 9
log 3x 9 x
>
− >
− > ⇔
− <
− <
-
§Æt
(
)
x
3 t, t 0
= >
,
ta cã hÖ x
3
2
t 10
t 0 3 10 x log 10
t t 9 0
>
⇔ > ⇔ > ⇔ >
− + >
.
Ví d 3.
Gi
i b
t ph
ươ
ng trình:
(
)
2 3 4 2 2
2 2
5x 6x x x log x x x log x 5 5 6 x x
+ − − > − + + + −
Li gii:
- ðiu kin: 2
x 0
0 x 3
6 x x 0
>
⇔ < ≤
+ − ≥
-
BÊt ph−¬ng tr×nh ®D cho t−¬ng ®−¬ng víi
( )
(
)
( )
2
2
x log x 5 6 x x 1 x 0 *
− + − + − >
-
Do
2 2 2
x 3 x log x 3log 3 log 32 5
≤
⇒
≤ < =
. VËy khi
0x3
< ≤
th×
2
xlog x 5 0,
− <
do ®ã
Biên son: GV HUỲNH ðC KHÁNH
( )
2
2
0x3 0x3 5
* x 3
2x 3x 5 0 2
6 x x 1 x 0
< ≤
< ≤
⇔ ⇔ ⇔ < ≤
− − >
+ − + − <
- VËy nghiÖm 5
x 3.
2
< ≤
Ví d 4. Gii bt phương trình:
(
)
2 2 x x 1 2
4x 8 2 x 4 x x .2 x.2 2 x
+
+ − > + − + −
Li gii:
-
ð
i
u ki
n:
2 x 2
− ≤ ≤ (1)
- BÊt ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng víi
(
)
(
)
x 2
4 x.2 x 1 2 2 x 0
− − + − >
(2)
- Tõ (1) ta cã
3
x 2 2
x 2 x.2 2.2 2.2 4.
≤
⇒
≤ < =
. Do ®ã (2) t−¬ng ®−¬ng víi
2
2
2 x 2
2 2 x 1 x
x 1 2 2 x 0
− ≤ ≤
⇔ − > −
− + − >
(3)
-
(3) t−¬ng ®−¬ng víi hai hÖ sau
+
( )
2
2 x 0
I : 1 x 2
1 x 0
− ≥ ⇔ < ≤
− <
+
( )
( )
( )
22
2
x 1
1 x 0 x 1
II : 1 x 1
7
5x 2x 7 0
4 2 x 1 x 1 x 5
≤
− ≥
≤
⇔ ⇔ ⇔ − ≤ ≤
− − <
− > − − < <
- VËy tËp nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh l>
x 1; 2 .
∈ −
Ví d 5. Gii bt phương trình:
( ) ( )
2 2
1 1
log x 1 log 3 2x
>
+ −
Li gii:
-
ð
i
u ki
n:
1 x 0 3
0 x 1 1 1 x
2
3
0 3 2x 1 1 x
x 0;1
2
− < ≠
< + ≠
− < <
⇔ ⇔
< − ≠ ≠ <
≠
●
(
)
2
log x 1 0 x 1 1 x 0.
+ > ⇔ + > ⇔ >
●
(
)
2
log 3 2x 0 3 2x 1 x 1.
− > ⇔ − > ⇔ <
-
Ta cã b¶ng xÐt dÊu
-
Tõ ®ã ta cã c¸c tr−êng hîp sau
+ TH1: Víi
1 x 0
− < <
th×
VT 0, VP 0
< >
suy ra bÊt ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm
+ TH2: Víi
0 x 1
< <
th×
VT 0, VP 0.
> >
Khi ®ã bÊt ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng víi
(
)
(
)
2 2
log x 1 log 3 2x 3 2x x 1 0 x 1.
+ < − ⇔ − > + ⇔ < <
log
2
(3-2x)
x
-
1
0 1
-
+
+
+ + -
2
3
log
2
(x+1)
Biên son: GV HUỲNH ðC KHÁNH
+ TH3: Víi
3
1 x
2
< <
th×
VT 0, VP 0,
> <
bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm víi mäi
3
1 x
2
< <
.
- VËy tËp nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh l>
{ }
3
0 x \ 1
2
< <
.
Lưu ý:
Víi bÊt ph−¬ng tr×nh d¹ng
1 1
log log
a b
u v
>
, ta th−êng gi¶i nh− sau:
+ LËp b¶ng xÐt dÊu cña
log
a
u
v>
log
b
v
trong tËp x¸c ®Þnh cña bÊt ph−¬ng tr×nh.
+ Trong tËp x¸c ®Þnh ®ã nÕu
log
a
u
v>
log
b
v
cïng dÊu th× bÊt ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng
víi
log log .
a b
u v
<
Ví d 6. Trong c¸c nghiÖm
(
)
x; y
cña bÊt ph−¬ng tr×nh
(
)
2 2
x 2y
log 2x y 1
+
+ ≥
, chØ ra c¸c
nghiÖm cã tæng
(
)
2x y
+
lín nhÊt.
Li gii:
- BÊt ph−¬ng tr×nh trªn t−¬ng ®−¬ng víi hai hÖ sau
( )
2 2
2 2
0 x 2y 1
I :
2x y x 2y
2x y 0
< + <
+ ≤ +
+ >
v>
( )
2 2
2 2
x 2y 1
II :
2x y x 2y
+ >
+ ≥ +
- Râ r>ng nÕu
(
)
x; y
l> nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh th× tæng
(
)
2x y
+
lín nhÊt chØ x¶y ra khi
nã l> nghiÖm cña hÖ
(
)
II
( ) ( )
2 2
2
2
x 2y 1
II
1 9
x 1 2y
8
2 2
+ >
⇔
− + − ≤
-
Ta cã
( )
1 1 9
2x y 2 x 1 2y
4
2 2 2
+ = − + − +
.
- Áp
dông bÊt ®¼ng thøc Bunhiac«pxki cho hai bé sè
1
x 1; 2y
2 2
− −
v>
1
2;
2
, ta ®−îc
( ) ( )
22
2
1 1 1 1 9 9 81
2 x 1 2y x 1 2y 4 .
2 8 2 16
2 2 2 2 2
− + − ≤ − + − + ≤ =
( )
9 1 1 9 9
2 x 1 2y 0 2x y
4 4 2
2 2 2
⇔ − ≤ − + − ≤ ⇔ < + ≤
- Du
'' ''
=
xy ra khi và ch$ khi
9
2x y 2
x 2
91
2x y
2y
1
x 1
2y
2 2
2
1
2
2
+ =
=
+ = ⇔ ⇔
−
−
=
=
- Víi
1
x 2, y
2
= =
tho¨ mDn bÊt ph−¬ng tr×nh
2 2
x 2y 1.
+ >