NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11
LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 1
PHƯƠNG PHÁP
1. Các kiến thức về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Cho hàm số
y f x
xác định trên miền
D R
.
a. Số thực M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số
y f x
trên
D
nếu
0 0
,
,
f x M x D
x D f x M
b. Số thực N được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số
y f x
trên D nếu
0 0
m,
,
f x x D
x D f x m
2. Một số kiến thức ta sử dụng trong các bài toán này
a) Dựa vào tập giá trị của hàm số lượng giác, chẳng hạn :
2
2
1 sin 1
0 sin 1
1 cos 1
0 cos 1
xx
x
x
b) Bảng biến thiên của hàm số lượng giác.
c) Kỹ thuật sử dụng máy tính cầm tay.
MỨC ĐỘ 1
BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của đồ thị hàm số
3 siny x
Lời giải
Tập xác định
.
Ta có: 1 sin 1x x
1 sin 1x x
3 1 3 sin 3 1x x
4 2y x
Ta có:
4
y
khi
sin 1
x
và
2
y
khi
sin 1x
Vậy
min 2
y
và
max 4
y
.
Bài 2. Tìm tập giá trị
T
của hàm số
3cos 2 5y x
TẬP GIÁ TRỊ VÀ MAX - MIN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11
LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 2
Lời giải
Tập xác định
.
Ta có:
1 cos 2 1 3 3cos 2 3 3 5 3cos 2 5 3 5 8 2
x x x y
Vậy tập giá trị của hàm số
3cos 2 5y x
là
8; 2
T
Bài 3. Tìm tập giá trị
T
của hàm số 2 2
sin 2cos 1y x x
trên khoảng
Lời giải
Ta có:
2 2 2 2 2
sin 2 cos 1 sin 2 1 sin 1 3 siny x x x x x
Với x
thì 2 2
0 sin 1 0 sin 1
x x
2
3 3 sin 3 1 2
x
Vậy tập giá trị của hàm số 2 2
sin 2cos 1y x x
trên
là
2 ; 3
T
Bài 4. Tìm giá trị nhỏ nhất
m
của hàm số 1
cos 1
y
x
Lời giải
ĐKXĐ:
cos x -1 x k2
. TXĐ:
/ 2
D k
Ta có:
1 1
: 1 cos 1 0 1 cos 2
1 cos 2
x D x x
x
Ta có:
1
2
y
khi
cos x 1
.
Vậy,
1
min
2
y
.
Bài 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2sin 1
3
P x
Lời giải
Ta có:
sin 1 2sin 2 2sin 1 1
3 3 3
x x x
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi
sin 1
3
x
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P
là
1
.
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11
LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 3
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: 10
2017cos8 2016
2017
y x
A.
min 1; maxy 4033
y
B.
min 1; maxy 4033
y
C.
min 1; maxy 4022
y
D.
min 1; max 4022
y y
Lời giải
Chọn B
Hàm số xác định trên
Ta có 10
1 cos8 1,
2017
x x
10
2017 2016 2017cos8 2016 2017 2016,
2017
x x
.
10
1 2017cos8 2016 4033,
2017
x x
Ta có
y
khi 10
cos8 1
2017
x
;
4033
y
khi 10
cos8 1
2017
x
.
Vậy
min 1; maxy 4033
y
.
Câu 2. Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số
4cosy x
là:
A. 0 và 4. B.
4 và 4. C. 0 và 1. D.
1 và 1.
Lời giải
Chọn B
Tập xác định:
0 ;D
.
Ta có:
1 cos 1, 0 ;x x
4 4co 4 ; s , 0x x
Ta có
4
y
khi
cos 1
x
và
4
y
khi
cos 1
x
.
Vậy
min 4 ; max 4
y y
Câu 3. Cho hàm số
sin .
4
y x
Giá trị lớn nhất của hàm số là:
A.
1
. B.
0
. C.
1
. D.
4
.
Lời giải
Chọn C
Ta có:
1 sin 1
4
x
. Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số sin
4
y x
là 1.
Câu 4. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số 2
1 cos 2
y x
là:
A.
0
và
2 1
. B.
1
và
. C.
2
và
1
D.
1
và
1
Lời giải
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11
LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 4
Chọn C
Ta có 2 2
1 cos 2 sin 2 sin 2
y x x x
Mặt khác
0 sin 1 2 sin 2 1
x x
2 1
y
Ta có:
2
y
khi
sin 0
x
và
y
khi
sin 1
x
Vậy giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số là
2
và
1
.
Câu 5. Cho hàm số
2sin 2
3
y x
. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. 4 ,y x
B. 4 ,y x
C. 0 ,y x
D. 2 ,y x
Lời giải
Chọn C
Ta có 1 sin 1,
3
x x
2 2sin 2 ,
3
x x
4 2sin 2 0 ,
3
x x
Ta có:
4
y
khi
sin 1
3
x
và
0
y
khi
sin 0
3
x
Suy ra chọn đáp án C.
MỨC ĐỘ 2
BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: 10
2017 cos 8 2016
2017
y x
.
Lời giải
Cách 1: Hàm số xác định trên
.
Ta có : 10
1 cos 8 1
2017
x
, x
10
2017 2017cos 8 2017
2017
x
, x
10
1 2017cos 8 2016 4033
2017
x
, x
Ta có
y
khi 10
cos 8 1
2017
x
;
4033
y
khi 10
cos 8 1
2017
x
.
Vậy
min 1; maxy 4033
y
.
Bài 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: 2
2cos sin 2 5y x x
.
NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU TÀI LIỆU TỰ HỌC TOÁN 11
LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/nhomwordvabiensoantailieutoan/ Trang 5
Lời giải
Ta có 2
2cos sin 2 5y x x
cos 2 sin 2 6
x x
2 cos 2 6
4
x
.
Do
2 2 cos 2 2
4
x
nên
2 6 2 cos 2 6 2 6
4
x
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số 2
2cos sin 2 5y x x
là
6 2
.
Bài 3. Gọi
M
,
m
lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
sin cosy x x
. Tính
P M m
.
Lời giải
Ta có in cos 2 si
4
s nx x xy
.
Mà 2
1 sin 1 2 sin 2 2 2
4 4 2
2M
x x P
m
.
Vậy
2 2
P.
Bài 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
sin 1
cos 2
x
y
x
.
Lời giải
Cách 1 :
cos 2 0
x
, x
. Vậy
sin 1
sin 1 cos 2
cos 2
x
y x y x
x
sin cos 1 2 0
x y x y
.
Ta có
2 2
2 2 2 2
4
1 1 2 1 4 4 1 3 4 0 0
3
y y y y y y y y
.
Vậy
min 0
y
min.
Cách 2 : Ta có sin 1 0
0 min 0 sin 1
cos 2 0
xy y x
x
.
Bài 5. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
2
2cos 2 3 sin cos 1y x x x
.
Lời giải
Cách 1:
2
2cos 2 3 sin cos 1y x x x
2
2cos 1 3 sin 2 2
x x
cos 2 3 sin 2 2
x x
1 3
2 cos 2 sin 2 2
2 2
x x
2cos 2 2
3
x
.
Mặt khác
0 2cos 2 2 4
3
x
, x
0 4
y
, x
.
Cách 2:
2
2cos 2 3 sin cos 1y x x x
2
2cos 1 3 sin 2 2
x x
cos 2 3 sin 2 2
x x
*
Ta có
1 3 2 1 3 2
y
0 4
y
.