Thể tích lăng trụ

WWW.ToanCapBa.Net Biªn so¹n ThÇy nguyen hue ha nam

Ể

Ụ

TH TÍCH LĂNG TR

ụ ứ

ố

ề

ạ

D ng 1ạ

: Kh i lăng tr đ ng có chi u cao hay c nh đáy

ụ ứ

ủ

ạ

Ví d 1: ụ Đáy c a lăng tr đ ng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vuông cân t

i A

có

ế

ạ c nh BC = a

ụ ể t A'B = 3a. Tính th tích kh i lăng tr .

2 và bi

ố ờ ả

ạ

i A nên AB = AC = a AA ' AB ụ ứ 2

= 2 V AA 'B AA ' A 'B AB 8a � =�

ậ

L i gi Ta có ABCV vuông cân t ^� ABC A'B'C' là lăng tr đ ng = 2 AA ' 2a 2 V y V = B.h = S

ụ ứ

ề

ạ

ằ

ườ

Ví d 2:ụ Cho lăng tr t

ABC .AA' = 3a 2 giác đ u ABCD.A’B’C’D' có c nh bên b ng 4a và đ

ng chéo

ụ

ố

ể

5a. Tính th tích kh i lăng tr này

ờ ả

ụ ứ

L i gi ABCD A'B'C'D' là lăng tr đ ng nên BD2 = BD'2 DD'2 = 9a2 BD 3a=�

=� AB

ABCD là hình vuông

3a 2

Suy ra B = SABCD =

29a 4

ậ

V y V = B.h = S

ABCD.AA' = 9a3

ề ạ

ụ ứ

ủ

Ví d 3: ụ Đáy c a lăng tr đ ng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đ u c nh a = 4 và

ế

ố

ể

ệ

ằ

ụ t di n tích tam giác A’BC b ng 8. Tính th tích kh i lăng tr .

C'

bi A'

B'

ứ

A 'BC

ừ ệ

ạ

ạ suy ra c nh nào ? t

i sao ?

ị

ể + Phân tích V= B.h đ tìm B và h ố ượ ng nào ? trong hình là các đ i t ằ + Tìm diên tích B = SABC b ng công th c nào ? + T di n tích + Tìm h = AA' dùng tam giác nào và đ nh lí gì ? ờ ả

A

C

ể

ề

L i gi ọ G i I là trung đi m BC .Ta có

VABC đ u nên

I

�

3 &

AI BC A 'I BC(dl3 )

^ ^ ^

B

�

BC.A 'I A 'I

A'BC

A'BC BC

AA '

AB 3 2 1 2 ^� (ABC) AA ' AI

= 2

�

AA '

2 A 'I AI

^ -

WWW.ToanCapBa.Net

V y : Vậ

ABC.A’B’C’ = SABC .AA'= 8 3

WWW.ToanCapBa.Net Biªn so¹n ThÇy nguyen hue ha nam

ộ ứ

ọ ằ ể

ạ ỏ ủ

ườ

ằ

Ví d 4: ụ Cho hình h p đ ng có đáy là hình thoi c nh a và có góc nh n b ng 60 ớ ủ Đ ng chéo l n c a đáy b ng đ

ụ ộ ng chéo nh c a lăng tr . Tính th tích hình h p . ố ượ

ể

ng nào ?

ủ

ệ

ằ

+ Phân tích V= B.h đ tìm B và h trong hình là các đ i t + Tìm di n tích B c a hình thoi ABCD b ng cách nào ? + Tìm h = DD' trong tam giác vuông nào ? và đ nh lí gì ?

ị ờ ả L i gi Ta có tam giác ABD đ u nên : BD = a

ề 3

và SABCD = 2SABD =

ề

Theo đ bài BD' = AC =

a 3

a 3 2 = 2

� DD'B DD'

BD' BD a 2 6

ậ

V y V = S

ABCD.DD' =

ộ ấ

ắ ỏ ở ỗ

ườ

3a 2 m i góc t m bìa

ạ ồ ấ ạ

ộ

ấ ắ

ộ

i ta c t b đi ữ ậ i thành m t cái h p ch nh t không có n p.

ể

Ví d 5: ụ M t t m bìa hình vuông có c nh 44 cm, ng ạ m t hình vuông c nh 12 cm r i g p l ộ Tính th tích cái h p này.

C'

D'

C'

ố ượ

C

D

A'

B'

D

C

iả

A'

B'

A

A'

B

ề ể

ộ ộ

ậ

ể + Phân tích V= B.h đ tìm B và h trong hình ng nào ? là các đ i t ạ + Tìm h = AA' ? T i sao ? + Tìm AB ? Suy ra B = SABCD = AB2 ? Gi ề Theo đ bài, ta có AA' = BB' = CC' = DD' = 12 cm nên ABCD là hình vuông có AB = 44 cm 24 cm = 20 cm và chi u cao h p h = 12 cm V y th tích h p là V = S

ABCD.h = 4800cm3

Ậ Ự

ụ ứ ề ế ằ ấ ả ụ ằ ủ ạ t r ng t t c các c nh c a lăng tr b ng a. Tính th tích Ệ BÀI T P T RÈN LUY N Bài 1: Cho lăng tr đ ng có đáy là tam giác đ u bi

3a 4

ể 3 ủ ụ ệ ặ ổ và t ng di n tích các m t bên c a lăng tr . ; S = ĐS:

ụ ứ ể ề ạ giác đ u c nh a bi ế ằ BD' a 6 t r ng ụ

ụ ứ ế ằ ườ ng chéo là 6cm và 8cm bi ứ giác có đáy là hình thoi mà các đ ụ ặ ủ ụ ể ệ ằ t r ng chu vi đáy b ng Đs:V = 240cm3 và S =

ế ổ ạ

ể ặ

ạ ệ t t ng di n tích các Đs: V = 1080 cm3 ế ằ t r ng chi u cao i A ,bi ườ ụ ể 3a2 ứ . Tính th tích Bài 2: Cho lăng tr đ ng ABCD.A'B'C'D' có đáy là t ủ c a lăng tr . Đs: V = 2a3 Bài 3.Lăng tr đ ng t ổ ề ầ 2 l n chi u cao lăng tr .Tính th tích và t ng di n tích các m t c a lăng tr . 248cm2 ụ ứ ộ Bài 4: Cho lăng tr đ ng tam giác có đ dài các c nh đáy là 37cm ; 13cm ;30cm và bi 2 . Tính th tích lăng tr . ụ m t bên là 480 cm ụ ứ Bài 5: Cho lăng tr đ ng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân t ặ lăng tr là 3a và m t bên AA'B'B có đ ụ ng chéo là 5a . Tính th tích lăng tr . ề Đs: V = 24a3

WWW.ToanCapBa.Net

WWW.ToanCapBa.Net Biªn so¹n ThÇy nguyen hue ha nam

ạ ụ ứ ấ ả ặ ủ ế ổ ệ ề giác đ u có t ằ t c các c nh b ng nhau và bi

ứ 2 .Tính th tích lăng tr . ụ t t ng di n tích các m t c a lăng Đs: V =

ụ ứ ụ ằ ủ ề ạ ố

ủ

2 .Tính th tích kh i l p ph

ặ ằ ố ậ ố ậ ươ ệ ể ổ Đs: V = 2888 ươ ng

Bài 6:Cho lăng tr đ ng t ể ụ ằ tr b ng 96 cm 64 cm3 Bài 7.Cho lăng tr đ ng tam giác có các c nh đáy là 19,20,37 và chi u cao c a kh i lăng tr b ng trung bình ể ụ ạ ộ c ng các c nh đáy. Tính th tích c a lăng tr . ng có t ng di n tích các m t b ng 24 m Bài 8. Cho kh i l p ph Đs: V = 8 m3 ộ ậ ậ ế ằ ộ ườ ộ ướ ỉ ệ c t l ớ thu n v i 3,4,5 bi t r ng đ dài m t đ ộ ữ ậ ố ộ ủ ng chéo c a Đs: V =

5; 10; 13 . Tính th tích

ữ ậ ế ằ ộ ườ ặ ầ ượ ủ ể t r ng các đ ng chéo c a các m t l n l t là

ố ộ ữ Bài 9:Cho hình h p ch nh t có 3 kích th ể hình h p là 1 m.Tính th tích kh i h p ch nh t. 0,4 m3 Bài 10. Cho hình h p ch nh t bi kh i h p này. Đs: V = 6

ụ ứ

ữ ườ

ẳ

ặ

ẳ

D ng 2ạ

: Lăng tr đ ng có góc gi a đ

ng th ng và m t ph ng

ạ

i B

ể

ợ

ớ

ộ

Ví d 1:ụ Cho lăng tr đ ng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân t ớ v i BA = BC = a ,bi

0 . Tính th tích lăng tr . ụ

ụ ứ ế t A'B h p v i đáy ABC m t góc 60 ế ủ

ể

ứ

ủ

ệ

ằ

ệ ứ ượ

*) Tìm hình chi u c a A'B trên đáy ABC. Suy ra góc [A'B,(ABC)] = ? ố ượ ng nào ? *) Phân tích V= B.h đ tìm B và h trong hình là các đ i t *) Tìm di n tích B c a tam giác ABC b ng công th c nào ? *) Tìm h = AA' trong tam giác vuông nào ? và dùng h th c l

ng giác nào ?

ờ ả

^�

là

ABA ' AA ' AB.tan 60

a 3

SABC =

BA.BC

L i gi Ta có A 'A (ABC) A 'A AB& AB ế ủ hình chi u c a A'B trên đáy ABC . V y ậ góc[A 'B,(ABC)] ABA ' 60 � V 1 2

ậ

V y V = S

ABC.AA' =

a 2 3a 3 2

ạ

ớ

ợ

ể

ớ

ộ

i A v i 0. Tính AC' và th tích lăng tr . ụ

ﾼ

ế ủ

ụ ứ Ví d 2:ụ Cho lăng tr đ ng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông t AC = a , ﾼACB= 60 o bi ế t BC' h p v i (AA'C'C) m t góc 30 Phân tích *) Tìm hình chi u c a BC' trên (AA'C'C). Suy ra góc [BC',(AA'C'C)] = ? ng giác gì ? *) Tìm AC' trong tam giác nào?Dùng h th c l ố ượ *) Phân tích V= B.h đ tìm B và h trong hình là các đ i t ủ *) Tìm di n tích B c a tam giác ABC b ng công th c nào ? *) Tìm h = AA' trong tam giác vuông nào ? và dùng h th c l

ệ ứ ượ ể ng nào ? ứ ệ ằ ệ ứ ượ ng giác nào ?

WWW.ToanCapBa.Net

WWW.ToanCapBa.Net Biªn so¹n ThÇy nguyen hue ha nam

i: =�

. ^ ^

ờ ả ABC AB AC.tan60 = o a 3 ^�

L i gi V Ta có: AB AC;AB AA ' AB (AA 'C'C) ế ủ nên AC' là hình chi u c a BC' trên (AA'C'C). V y góc[BC';(AA"C"C)] =

ậ

� AC'B AC'

AB o tan30

ﾼBC'A = 30o 3a

= 2 AC' A 'C'

2a 2

- V = B.h = SABC.AA' V � AA 'C' AA '

ABCV

3a 6

ABC

2 a 3 2

= ử ề ậ là n a tam giác đ u nên . V y V = S

ườ ạ

ể ộ ổ ụ ợ ng chéo BD' 0. Tính th tích và t ng diên tích c a các m t bên c a ủ ặ

ủ ụ ạ ự ự ầ ủ ề ầ

ể ng nào ? ủ ệ ằ ụ ứ Ví d 3:ụ Cho lăng tr đ ng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông c nh a và đ ủ ớ ủ c a lăng tr h p v i đáy ABCD m t góc 30 lăng tr .ụ Phân tích *) D ng hình vuông ABCD hay A'B'C'D' và các c nh bên c a hình lăng tr . *) D ng BD' và BD ? ỏ phân tích yêu c u c a đ bài ra các yêu c u nh : ế ủ *) Tìm hình chi u c a BD' trên đáy ABCD. Suy ra góc [BD',(ABCD)] = ? ố ượ *) Phân tích V= B.h đ tìm B và h trong hình là các đ i t ứ *) Tìm di n tích B c a hình vuông ABCD b ng công th c nào ? ệ ứ ượ *) Tìm h = DD' trong tam giác vuông nào ? và dùng h th c l ng giác nào ?

^� (ABCD) DD' BD

ụ ứ i: ả Ta có ABCD A'B'C'D' là lăng tr đ ng nên ta có: ^ ế ủ và BD là hình chi u c a BD' trên ABCD .

�

BDD' DD' BD.tan 30

Gi DD' ậ V y góc [BD';(ABCD)] =

ﾼ DBD' 30= a 6 = 3

ABCD.DD' =

3a 3

24a 3

ậ V y V = S S = 4SADD'A' =

o .Tính th tích c a hình h p.

ộ ứ ạ tế ﾼBAD = 60o bi ợ ớ ủ ộ ộ ể

�

ề ạ đ u c nh a

i ả ABDV

ABD

2 a 3 4

�

ABCD

ABD

V ABB'

vuông t

iBạ

2 a 3 2 �

BB' ABtan30 a 3

V B.h S

.BB'

V y ậ

ABCD

3 3a 2

ầ Ví d 4:ụ Cho hình h p đ ng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi c nh a và AB' h p v i đáy (ABCD) m t góc 30 ỏ Phân tích yêu c u c a đ bài ra các yêu c u nh : ầ ủ ề ế ủ ể ự ằ ố ượ ệ D ABD có hình tính gì ? Suy ra di n tích B c a ABCD b ng cách nào? ệ ứ ượ *) Tìm hình chi u c a AB' trên (ABCD). Suy ra góc [AB',(ABCD)] = ? *) Phân tích V= B.h đ tìm B và h trong hình là các đ i t *) D ng BD. Suy ra +Tính h = BB' trong tam giác nào ? Dùng h th c l ng nào ? ủ ng giác nào ?

Ậ Ự

Ệ

BÀI T P T RÈN LUY N

WWW.ToanCapBa.Net

WWW.ToanCapBa.Net Biªn so¹n ThÇy nguyen hue ha nam

o . Tính th tích lăng tr ể

o . Tính th tích lăng tr . ụ

ạ ụ ứ ặ ớ đ ng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông cân t i B bi ộ ụ ế t A'C = a và A'C h p v i m t bên ĐS: ợ 2 /16 ớ ạ i B bi ộ

V = t BB' = AB = a và B'C h p v i đáy (ABC) V = ớ t AB' h p v i m t bên ĐS:

ợ 3 / 2 ợ ế ề ĐS: ế ặ ạ ụ ể ộ ụ ứ ể ụ ứ đ ng ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đ u c nh a bi o . Tính đ dài AB' và th tích lăng tr .

ộ V =

6;S

ﾼ ACB 60= = V a

o .Tính th tích lăng tr và di n tích tam giác ABC'. ĐS ệ

3 / 2 ụ ứ ế ế ạ đ ng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông t t AC = a và i A bi bi Bài 1. Cho lăng tr (AA'B'B) m t góc 30 Bài 2. Cho lăng tr đ ng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông t m t góc 30 Bài 3. Cho lăng tr (BCC'B') m t góc 30 = ; AB' a 3 Bài 4. Cho lăng tr ợ t BC' h p 2 ặ ộ ụ ể ớ v i m t bên (AA'C'C) m t góc 30

ề ế ả ặ ẳ tam giác đ u ABC A'B'C' có kho ng cách t A đ n m t ph ng (A'BC) b ng a và AA' ớ ặ ụ ể ừ 0 . Tính th tích lăng tr ĐS: ộ ậ ữ

o và h p v i (ABB'A') m t góc 45

2 / 8

ế ằ ữ ậ ố ộ ủ ộ ộ ng chéo A'C = a và bi o .Tính th tích c a kh i h p ch nh t. Đs: ằ V = 3 32a / 9 ớ ợ t r ng A'C h p v i (ABCD) V = 3a ợ ộ

ớ ứ ố ộ ố ậ ươ ể ụ Bài 5. Cho lăng tr ẳ ợ h p v i m t ph ng (A'BC) m t góc 30 ườ ộ Bài 6. Cho hình h p ch nh t ABCD A'B'C'D' có đ ể m t góc 30 Bài 7. Cho hình h p đ ng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông . G i O là tâm c a ABCD và OA' = a ủ Tính th tích c a kh i h p khi: ọ ng .

ộ

ợ ợ ớ ớ 1) ABCD A'B'C'D' là kh i l p ph 2) OA' h p v i đáy ABCD m t góc 60 o. 3) A'B h p v i (AA'CC') m t góc 30 ĐS o . ĐS ĐS ủ V = 32a V = 3a V = 34a

ụ

/16

ườ ụ ứ ợ ợ ộ ng h p sau đây: Bài 8. Cho lăng tr trong các tr

o . o . ĐS

6 / 9 3 / 4 3 / 9 ể = V a 3 3 / 8

ặ ớ ộ ớ 2) BD' h p v i m t (AA'D'D) m t góc 30

ụ ứ ủ ủ ề giác đ u b ng a và góc c a 2 đ ộ đ ng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông và BD' = a . Tính th tích lăng tr 1) BD' h p v i đáy ABCD m t góc 60 ợ ằ ổ ng chéo phát xu t t ụ ườ ặ ủ ề ụ ề

ủ o.Tính th tích lăng tr và t ng di n tích các m t c a lăng tr . ệ ộ ể ữ ậ Bài 9. Chi u cao c a lăng tr t bên k nhau là 60 Bài 10.Cho hình h p ch nh t ABCD A'B'C'D' có AB = a ;AD = b;AA' = c và BD' = AC' = CA' = ĐS = 2 V a ặ ấ ừ ộ ỉ m t đ nh c a 2 m t Đs: V = a3 và S = 6a2 2 c a ữ ậ ọ ộ ỉ ặ ộ ườ ng chéo. ợ 2 ở + ằ

ặ

ẳ

ộ 1) Chúng minh ABCD A'B'C'D' là h p ch nh t. ộ ườ 2) G i x,y,z là góc h p b i m t đ ng chéo và 3 m t cùng đi qua m t đ ng thu c đ = . + 2 2 ứ sin x sin y sin z 1 Ch ng minh r ng ữ : Lăng tr đ ng có góc gi a 2 m t ph ng ạ ớ i B v i BA = BC

ụ ứ ụ ứ ợ ớ

ộ ể ế

0 .Tính th tích lăng tr . ụ

ầ ủ ề ầ

D ng 3ạ Ví d 1.ụ Cho lăng tr đ ng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân t t (A'BC) h p v i đáy (ABC) m t góc 60 = a ,bi ỏ Phân tích yêu c u c a đ bài ra các yêu c u nh :

ớ ậ ạ i sao?

ﾼ

^� =

= =

ể ng nào ? ủ ứ ệ ằ ệ ứ ượ ng giác nào ? *) Nh n xét AB và A'B có vuông góc v i BC không ? t *) Suy ra góc[(A'BC);(ABC)] = ? ố ượ *) Phân tích V= B.h đ tìm B và h trong hình là các đ i t *) Tìm di n tích B c a tam giác ABC b ng công th c nào ? *) Tìm h = AA' trong tam giác vuông nào ? và dùng h th c l ờ ả i: ^ ^

ABA ' AA ' AB.tan 60

a 3

BA.BC

= V y V = S ậ

ABC.AA' =

3a 3 2

a 2

SABC = L i gi Ta có A 'A (ABC)& BC AB BC A 'B V y ậ góc[(A 'BC),(ABC)] ABA ' 60 � 1 2

ủ ạ ớ ụ ứ ề

ố ộ ể ệ ặ 0 và di n tích tam giác A’BC b ng 8. Tính th tích kh i lăng tr . ụ ằ ầ Ví d 2: ụ Đáy c a lăng tr đ ng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đ u . M t (A’BC) t o v i đáy m t góc 30 ỏ Phân tích yêu c u c a đ bài ra các yêu c u nh : ế ể ị ậ ớ ủ có hình tính gì ? Suy ra I là trung đi m c a BC cho ta v trí AI và A'I th nào v i

ố ượ ng nào ? ặ ở ầ ủ ề V A 'BC *) Nh n xét BC? Suy ra góc[(A'BC);(ABC)] = ? ể *) Phân tích V= B.h đ tìm B và h trong hình là các đ i t *) Đ t BC = 2x . Suy ra A'I b i tam giác nào ?

WWW.ToanCapBa.Net

WWW.ToanCapBa.Net Biªn so¹n ThÇy nguyen hue ha nam

ừ ệ ứ ở

^�

^ ^ ng giác nào ? (ABC) đ u ề nên A'I BC (đl 3 ^ ).

x 2 2

*) T di n tích tam giá A"BC suy ra x b i công th c nào? ệ ứ ượ *) Tìm h = AA' trong tam giác vuông nào ? và dùng h th c l i. ả ABCV Gi AI BC mà AA' ﾼA 'IA = 30o ậ V y góc[(A'BC);)ABC)] = 3 (cid:0) (cid:0) (cid:0) ả ử Gi s BI = x .Ta có

IAAIA : '

cos

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

3 3

(cid:0) A’A = AI.tan 300 =

V y Vậ

ABC.A’B’C’ = CI.AI.A’A = x3 3 2(cid:0)

(cid:0) Mà SA’BC = BI.A’I = x.2x = 8 .Do đó VABC.A’B’C’ = 8 3

ợ ớ ặ ẳ ề ạ giác đ u ABCD A'B'C'D' có c nh đáy a và m t ph ng (BDC') h p v i đáy ể ụ ứ o. Tính th tích kh i h p ch nh t. ố ộ ầ Ví d 3. ụ Cho lăng tr t ữ ậ ộ (ABCD) m t góc 60 ỏ Phân tích yêu c u c a đ bài ra các yêu c u nh : ị ố ượ ể ng nào ? ủ ứ ệ ằ ệ ứ ượ ầ ủ ề *) Xác đ nh góc[BDC');(ABCD)] = ? *) Phân tích V= B.h đ tìm B và h trong hình là các đ i t *) Tìm di n tích B c a ABCD b ng công th c nào ? *) Tìm h = CC' trong tam giác vuông nào ? và dùng h th c l ng giác nào ?

ﾼCOC' = 60o

/ 2

a 6

i. ả Gi ủ ọ G i O là tâm c a ABCD . Ta có ABCD là hình vuông nên OC BD^ CC' ^ (ABCD) nên OC' ^ BD (đl 3 ^ ậ V y góc[(BDC');(ABCD)] = Ta có V = B.h = SABCD.CC' ABCD là hình vuông nên SABCD = a2 OCC' V ậ V y V = / 2 vuông nên CC' = OC.tan60o = 3 a 6

ữ ậ ợ ớ ặ

ợ ớ ẳ ể ữ ậ ố ộ ộ ộ (A'BC) h p v i đáy o .Tính th tích kh i h p ch nh t. ộ o và A'C h p v i đáy (ABCD) m t góc 30 ầ ầ ủ ề Ví d 4.ụ Cho hình h p ch nh t ABCD A'B'C'D' có AA' = 2a ; m t ph ng (ABCD) m t góc 60 ỏ Phân tích yêu c u c a đ bài ra các yêu c u nh : ớ ậ ạ i sao?

ế ủ ố ượ ể ng nào ? ứ ệ ằ ủ ở ng giác nào ? ệ ứ ượ *) Nh n xét AB và A'B có vuông góc v i BC không ? t *) Suy ra góc[(A'BC);(ABCD)] = ? *) Tìm hình chi u c a A'C trên (ABCD) ? Suy ra góc[A'C,(ABCD)] = ? *) Phân tích V= B.h đ tìm B và h trong hình là các đ i t *) Tìm di n tích B c a ABCD b ng công th c nào ? ệ ứ ượ *) Tìm AB và AC b i tam giác vuông nào? Dùng h th c l *) Tìm h = AA' trong tam giác vuông nào ? và dùng h th c l ng giác nào ? ^ (cid:0) (ABCD) ủ ế AC là hình chi u c a A'C trên

ậ

ﾼ A 'CA 30= o ) . ﾼ

/ 3

[(A'BC),(ABCD)] =

= 2

AC = AA'.cot30o = 2a 3 AB = AA'.cot60o = 2a 3 = -

/ 3

4a 6 / 3 3 2

16a

ậ Ta có AA' (ABCD) . V y góc[A'C,(ABCD)] = BC ^ AB (cid:0) BC ^ A'B (đl 3 ^ ﾼ A 'BA 60= A 'AC (cid:0) V A 'AB (cid:0) V 2 V � ABC BC AC AB V y V = AB.BC.AA' =

Ậ Ự

Ệ

BÀI T P T RÈN LUY N

WWW.ToanCapBa.Net

WWW.ToanCapBa.Net Biªn so¹n ThÇy nguyen hue ha nam

ộ ộ ợ ớ ậ ữ ế ườ t đ ng chéo A'C h p v i đáy ABCD m t góc 30

2 / 3

32a ế ằ

V = 0 .Tính th tích h p ch nh t. đ ng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông và c nh bên b ng a bi

o.Tính th tích kh i lăng tr . ố

o. Tính th tích lăng tr .

ợ ộ ộ ể ữ ậ ạ ặ t r ng m t ộ ợ ể ụ ạ i B và AC = 2a bi ụ ứ ộ ụ ể Đs: ằ Đs: V = 3a3 ế ằ t r ng (A'BC) Đs:

ụ ứ ạ ớ

ế ằ ể ộ ớ t r ng (A'BC) h p v i đáy ABC m t góc 45 Đs:

i B và BB' = AB = h bi

o. Tính th tích lăng tr .

V =

ể ớ Đs:

o .

ợ ụ ứ ộ ụ ứ ụ ề ế ạ ể t c nh bên AA' = a.Tính th tích lăng tr trong các ườ ợ Bài 1. Cho h p ch nh t ABCD A'B'C'D' có AA' = a bi và ớ ặ m t (A'BC) h p v i đáy ABCD m t góc 60 ụ ứ Bài 2. Cho lăng tr ớ (ABC'D') h p v i đáy m t góc 30 Bài 3. Cho lăng tr đ ng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân t ớ ợ h p v i đáy ABC m t góc 45 = 3V a ﾼ BAC 120= i A v i AB = AC = a và Bài 4. Cho lăng tr đ ng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác cân t V = o. Tính th tích lăng tr . 3a ụ bi 3 / 8 ế ằ ạ t r ng (B'AC) Bài 5. Cho lăng tr đ ng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông t ợ 3h h p v i đáy ABC m t góc 60 2 / 4 ụ Bài 6. Cho lăng tr đ ng ABC A'B'C' có đáy ABC đ u bi tr ợ ộ ng h p sau đây: ặ ẳ

3 / 4

ớ ộ ớ

= 3V a 3 = V a = 3V a 3 ụ

o .

0 .

ẻ ừ ề ằ ủ ạ Đs: ĐS: ĐS: ộ ạ ụ A' c a tam giác A'BC b ng đ dài c nh đáy c a lăng tr . ể ủ ề 1) M t ph ng (A'BC) h p v i đáy ABC m t góc 60 o. ợ 2) A'B h p v i đáy ABC m t góc 45 3) Chi u cao k t ụ ứ t giác đ u ABCD A'B'C'D' có c nh bên AA' = 2a .Tính th tích lăng tr ườ ợ ộ Bài 7. Cho lăng tr ợ tr ng h p sau đây: trong các ĐS : V = 16a3 ặ ớ = ừ ế ằ ớ 1) M t (ACD') h p v i đáy ABCD m t góc 45 ộ ợ 2) BD' h p v i đáy ABCD m t góc 60 ặ ả 3) Kho ng cách t ĐS : V = 12a3 3 ĐS :

ụ ứ ể ạ

6 / 2

ườ ặ ẳ ợ ớ ợ ộ D đ n m t (ACD') b ng a . Bài 8. Cho lăng tr đ ng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông c nh a. Tính th tích lăng tr trong các tr ng h p sau đây: .

o 1)M t ph ng (BDC') h p v i đáy ABCD m t góc 60 2)Tam giác BDC' là tam giác đ u.ề 3)AC' h p v i đáy ABCD m t góc 45

ớ ợ ộ

ạ ể

ườ ợ ợ ộ ụ ứ Bài 9. Cho lăng tr ụ tích lăng tr trong các tr ng h p sau đây:

3 / 4 2 / 8

ế ằ ả

3 / 2

ớ đ ng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi c nh a và góc nh n A = 60o .Tính th ớ 1) (BDC') h p v i đáy ABCD m t góc 60 ừ C đ n (BDC') b ng 2)Kho ng cách t 0 ộ ợ 3)AC' h p v i đáy ABCD m t góc 45 V 16a / 3 ụ V = ĐS : 3a ĐS : V = 3a ĐS : V = 3a ọ o . ĐS: a / 2 ĐS : ĐS :

ữ ậ ể ộ

V = 33a = 3 V 3a V 3a= ố ộ ĐS

ng h p sau đây: 1) AB = a

3 11 3

ợ 3 2 Bài 10. Cho hình h p ch nh t ABCD A'B'C'D' có BD' = 5a ,BD = 3a.Tính th tích kh i h p trong các ườ tr : V 8a= ợ ộ

o 2) BD' h p v i AA'D'D m t góc 30 0 ộ ớ 3) (ABD') h p v i đáy ABCD m t góc 30

V 5a= V 16a=

ớ ợ ĐS : ĐS :

WWW.ToanCapBa.Net

WWW.ToanCapBa.Net Biªn so¹n ThÇy nguyen hue ha nam

ố

ụ

Kh i lăng tr xiên

ề ạ ụ ế ạ t c nh bên là

ợ ớ ộ

o . Tính th tích lăng tr . ụ

ầ

ạ D ng 4. Ví d 1. ụ Cho lăng tr xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đ u c nh a , bi ể a 3 và h p v i đáy ABC m t góc 60 ầ ủ ề ỏ Phân tích yêu c u c a đ bài ra các yêu c u nh : ữ ạ

ế ủ ớ ị

góc[CC',(ABC)] C'CH 60

�

CHC' C'H CC'.sin 60

3a 2

ể ng nào ? ủ ứ ệ ằ ệ ứ ượ *) Xác đ nh góc gi a c nh bên v i đáy : Hình chi u c a CC' trên (ABC) là gì? *) Suy ra góc[CC';(ABC)] = ? ố ượ *) Phân tích V= B.h đ tìm B và h trong hình là các đ i t *) Tìm di n tích B c a tam giác ABC b ng công th c nào ? *) Tìm h = CC' trong tam giác vuông nào ? và dùng h th c l ng giác nào ? ờ ả i: ^ (cid:0) ế ủ là hình chi u c a CC' trên (ABC) ﾼ L i gi Ta có C'H (ABC) CH V y ậ

ABC.C'H =

2 3 4

ậ SABC = .V y V = S

33a 3 8 ề ạ

ụ đ u c nh a . Hình chi u c a ườ ố ế ợ ớ ạ ế tam giác ABC bi ng tròn ngo i ti p ế ủ ộ t AA' h p v i đáy ABC m t góc

Ví d 2.ụ Cho lăng tr xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác A' xu ng (ABC) là tâm O đ 60 . ứ ữ ậ ằ

1) Ch ng minh r ng BB'C'C là hình ch nh t. ụ ể 2) Tính th tích lăng tr . ầ ỏ Phân tích yêu c u c a đ bài ra các yêu c u nh : ầ ủ ề ữ ạ ị ớ ế ủ ^ ứ ằ ặ ứ ể ẳ ^ AA' b ng cách Ch ng minh BC m t ph ng nào ? T đó có th BC ^ CC'

ﾼ

góc[AA ',(ABC)] OAA ' 60

ậ i sao? V y BB'C'C là hình gì? ể ng nào ? ủ ứ ệ ằ ệ ứ ượ *) Xác đ nh góc gi a c nh bên AA' v i đáy ABC : Hình chi u c a AA' trên (ABC) là gì? Suy ra góc[AA'';(ABC)] = ? ứ *) Ch ng minh BC không ? ạ t ố ượ *) Phân tích V= B.h đ tìm B và h trong hình là các đ i t *) Tìm di n tích B c a tam giác ABC b ng công th c nào ? *) Tìm h = AA'' trong tam giác vuông nào ? và dùng h th c l ng giác nào ? ờ ả i: ^ (cid:0) ế ủ là hình chi u c a AA' trên (ABC) =

ặ ^ ^ ạ t ủ BC A 'H ^ ^ ^ ể BC AA ' BC (AA 'H) ) .V y ậ � ữ ậ L i gi 1) Ta có A 'O (ABC) OA V y ậ ụ Ta có BB'CC' là hình bình hành ( vì m t bên c a lăng tr ) (đl 3 ^ AO BC ủ i trung đi m H c a BC nên � mà AA'//BB' nên BC BB' BB'CC' là hình ch nh t.

2 3

a 3 3

2 a 3 3 2 = a

o AOA ' A 'O AO t an60 ậ

/ 4

V � V y V = S

= ABC.A'O = 3 a

ề đ u nên 2) ABCV

ữ ậ ớ ộ ặ Ví d 3.ụ Cho hình h p ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình ch nh t v i AB =

ầ ượ ạ ớ ữ

3 AD = 7 .Hai m t bên ể

0 và 600. . Tính th tích kh i h p n u

ố ộ ế t t o v i đáy nh ng góc 45 ằ ế ạ

ầ ự ớ ị ^ AD ng cao A'H và HN (ABB’A’) và (ADD’A’) l n l bi t c nh bên b ng 1. ầ ủ ề ỏ Phân tích yêu c u c a đ bài ra các yêu c u nh : ườ ặ ữ *) Xác đ nh góc gi a m t bên v i đáy.D ng đ HM ^ AB Suy ra góc[(ABB'A');(ABCD)] =? góc[(ADD'A');(ABCD)] = ? ố ượ ể *) Phân tích V= B.h đ tìm B và h trong hình là các đ i t ng nào ?

WWW.ToanCapBa.Net

WWW.ToanCapBa.Net Biªn so¹n ThÇy nguyen hue ha nam

ệ ủ ứ ằ ự ế ượ ặ c ? Đ t x = A'H ể ạ ươ *) Tìm di n tích B c a ABCD b ng công th c nào ? *) Tìm h = A'H không dùng tr c ti p tam giác vuông nào đ ở ị *) Dùng hai tam giác nào b i đ nh lý gì đ t o ra ph ng trình theo x ?

AB , (đl 3 ^

HN )

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ,HM (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(cid:0)

0 = x /2

ờ ả L i gi i: ( ABCD ) ẻ K A’H NAAB MA AD ' , ' ﾼﾼo o A 'MH 45 ,A 'NH 60 ặ Đ t A’H = x . Khi đó A’N = x : sin 60

AA '

NA '

43 3

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) AN =

3 7

/ =

. 3 7 3 7

43 3 ABCD.A’B’C’D’ = AB.AD.x =

Mà HM = x.cot 450 = x 2 (cid:0) (cid:0) (cid:0) Nghĩa là x =

V y Vậ

Ậ Ự

Ệ

BÀI T P T RÈN LUY N

o . Tính th tích lăng tr .

ạ ụ ế ạ ằ ợ ể t c nh bên b ng 2a h p v i đáy ABCD V = ớ Đs:

ế ạ ạ ợ ể ộ ằ ớ t c nh bên b ng 8 h p v i Đs: V =336

o.Tính th tích lăng tr . ụ

ế ạ và bi ﾼ BAD 30= ộ ợ t c nh bên AA' h p V = Đs:

/ 4

ụ ể ề ề ạ Bài 1. Cho lăng tr ABC A'B'C'có các c nh đáy là 13;14;15và bi ụ ộ m t góc 45 3a 2 ụ Bài 2. Cho lăng tr ABCD A'B'C'D'có đáy ABCD là hình vuông c nh a và bi o.Tính th tích lăng tr . ụ đáy ABC m t góc 30 ộ Bài 3. Cho hình h p ABCD A'B'C'D'có AB =a;AD =b;AA' = c và ể ớ v i đáy ABC m t góc 60 abc 3 Bài 4. Cho lăng tr tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đ u c nh a và đi m A' cách đ u A,B,C

ể ế ụ bi t AA' = .Tính th tích lăng tr . Đs:

2a 3 3 ỉ

3 / 4

V = ằ Bài 5. Cho lăng tr ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đ u c nh a , đ nh A' có hình chi u trên (ABC) n m trên đ

o .

ụ ề ạ ợ ườ ủ ế ặ ộ ế ớ t m t bên BB'C'C h p v io đáy ABC m t góc 60 ữ ậ ứ

33a

ng cao AH c a tam giác ABC bi ằ 1) Ch ng minh r ng BB'C'C là hình ch nh t. ụ 2) Tính th tích lăng tr ABC A'B'C'. 3 / 8

V = Đs: ớ ợ

ề ớ ạ ể ụ ớ

S =

2a ĐS:

33a

ứ ệ ĐS : 3 / 2

Bài 6. Cho lăng tr ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đ u v i tâm O. C nh b CC' = a h p v i đáy ABC 1 góc 60o và C' có hình chi u trên ABC trùng v i O . ế ữ ậ ằ 1) Ch ng minh r ng AA'B'B là hình ch nh t. Tính di n tích AA'B'B. ụ 2) Tính th tích lăng tr ABCA'B'C'. V = ề ạ ế ườ ạ ừ ể 3 / 8 ụ t chân đ ng vuông góc h t A' trên ớ Bài 7. Cho lăng tr ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đ u c nh a bi ể ABC trùng v i trung đi m c a BC và AA' = a. ợ ớ

3 / 8 ĐS : 30o. V = ĐS: ế ủ ề ớ ủ ụ ở ạ 1) Tìm góc h p b i c nh bên v i đáy lăng tr . ụ ể 2) Tính th tích lăng tr ụ ủ ụ ế ằ ế ặ ả t r ng kho ng cách t

3 27a / 4 2

V = Đs: ủ

ộ

o .

ế ộ ặ ủ ộ ạ ộ ạ ừ ạ ấ ớ ộ Bài 8. Cho lăng tr xiên ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đ u v i tâm O. Hình chi u c a C' trên (ABC) là ợ ừ ể O.Tính th tích c a lăng tr bi O đ n CC' là a và 2 m t bên AA'C'Cvà BB'C'C h p o ớ v i nhau m t góc 90 Bài 9. Cho hình h p ABCD A'B'C'D' có 6 m t là hình thoi c nh a,hình chi u vuông góc c a A' trên(ABCD) ằ n m trong hình thoi,các c nh xu t phát t A c a h p đôi m t t o v i nhau m t góc 60

WWW.ToanCapBa.Net

WWW.ToanCapBa.Net Biªn so¹n ThÇy nguyen hue ha nam

ứ ườ ủ ng chéo AC c a ABCD. ằ ằ 1) Ch ng minh r ng H n m trên đ ặ 2) Tính di n tích các m t chéo ACC'A' và BDD'B'. ĐS:

2;S

ACC'A'

BDD'B'

ệ =

ủ ộ ể 3) Tính th tích c a h p. Đs:

o chân đ

3a 2 ườ ng vuông

ộ ạ ừ ườ ớ B' xuông ABCD trùng v i giao đi m 2 đ ạ ế ng chéo đáy bi t BB' = a. ợ ĐS : 60o ở ạ ổ ủ ệ ặ ộ ĐS:

Bài 10. Cho hình h p ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi c nh a và góc A = 60 ể góc h t 1) Tìm góc h p b i c nh bên và đáy. 2) Tính th tích và t ng di n tích các m t bên c a hình h p. 3 V 3a / 4 ể 2 &S a 15

Ố

ố

Ể TH TÍCH KH I CHÓP ạ : Kh i chóp có c nh bên vuông góc v i đáy

ớ ặ

ầ

D ng 1ạ Ví d 1.ụ Cho hình chóp SABC có SB = SC = BC = CA = a . Hai m t (ABC) và (ASC) cùng vuông góc ớ v i (SBC). Tính th tích hình chóp . ỏ Phân tích yêu c u c a đ bài ra các yêu c u nh :

ố ượ ể *) Phân tích V= B.h đ tìm B và h trong hình là các đ i t ng nào ? ể ầ ủ ề 1 3 ứ ủ ệ ằ *) Tìm di n tích B c a SBC b ng công th c nào ?

ờ ả

L i gi

^�

AC (SBC)

Ta có

(ABC) (ASC)

(SBC) (SBC)

.AC

Do đó

SBC

1 3

1 a 3 4

3 a 3 12

(cid:0) ^ (cid:0) (cid:0) ^ (cid:0) (cid:0)

ạ ớ ế i B v i AC = a bi t SA vuông góc ợ ớ ộ Ví d 2:ụ Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân t ớ v i đáy ABC và SB h p v i đáy m t góc 60 ứ ặ 1) Ch ng minh các m t bên là tam giác vuông . ể 2) Tính th tích hình chóp . ầ ạ ị ỏ ầ ủ ề Phân tích yêu c u c a đ bài ra các yêu c u nh : *) Xác đ nh góc[SB,(ABC)] = ? T i sao?

1 3B.h đ tìm B và h trong hình là các đ i t

ể ố ượ *) Phân tích V= ng nào ?

ủ ệ ở ằ *) Tìm di n tích B c a ABC b ng công th c nào ? Tính BA ? *) Tìm h = SA qua tam giác nào b i công th c gì ? ờ ả ứ ứ i: ^ ^ ^

^ � ^� ). ( đl 3 ^ ậ ^ (cid:0) ế ủ là hình chi u c a SB trên (ABC).

BA.BC

L i gi 1) SA (ABC) SA AB &SA AC mà BC AB BC SB ặ V y các m t bên chóp là tam giác vuông. 2) Ta có SA (ABC) AB ﾼ SAB 60= ậ V y góc[SB,(ABC)] = o ABCV

�V

= SAB SA AB.tan60

o60

2 a 4

o a 6 2

SABC = ; vuông cân nên BA = BC = a/ 2 1 2

.SA

ABC

1 3

V y ậ

1a a 6 a 6 24 3 4 2 Ví d 3.ụ Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đ u c nh a bi (SBC) h p v i đáy (ABC) m t góc 60

o. Tính th tích hình chóp .

ề ạ ế ớ t SA vuông góc v i đáy ABC và ợ ớ ộ ể

WWW.ToanCapBa.Net

WWW.ToanCapBa.Net Biªn so¹n ThÇy nguyen hue ha nam

ầ ủ ề ạ ị ỏ ầ Phân tích yêu c u c a đ bài ra các yêu c u nh : *) Xác đ nh góc[(SBC),(ABC)] = ? T i sao?

1 3

ố ượ ể *) Phân tích V= B.h đ tìm B và h trong hình là các đ i t ng nào ?

ủ ệ ằ *) Tìm di n tích B c a ABC b ng công th c nào ? *) Tìm h = SA qua tam giác nào và công th c gì ?

ứ ứ ờ ả i:

SMA 60= o

B.h

L i gi M là trung đi m c a BC,vì tam giác ABC đ u nên AM ^ BC (cid:0) ề [(SBC);(ABC)] = ﾼ ) . ﾼ .

S .SA ABC

1 3

o60

= SAM SA AM tan60

�

Ta có V = ể ủ SA ^ BC (đl3 ^ 1 3

B.h

.SA

ABC

1 3

ậ V y V =

o 3a = 2 3 a 3 8 ạ

ặ ộ

ừ ế ẳ Ví d 4.ụ Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông có c nh a và SA vuông góc đáy ABCD o. ợ ớ và m t bên (SCD) h p v i đáy m t góc 60 ể 1) Tính th tích hình chóp SABCD. ặ 2) Tính kho ng cách t A đ n m t ph ng (SCD). ề ả ể ự Phân tích đ bài đ d ng hình : ^ ạ giác ABCD và c nh bên SA

ứ ự *) D ng t ướ (ABCD) ? . ầ ủ ề ẩ ọ ầ ỏ H ng d n h c sinh phân tích yêu c u c a đ bài ra các yêu c u nh :

ạ ị *) Xác đ nh góc[(SCD),(ABCD)] = ? T i sao?

1 3

ố ượ ể *) Phân tích V= B.h đ tìm B và h trong hình là các đ i t ng nào ?

ệ ứ ủ

ằ ở ứ

ờ ả i: ^ ^ ( đl 3 ^ ).(1)

2 a

*) Tìm di n tích B c a ABCD b ng công th c nào ? *) Tìm h = SA qua tam giác nào b i công th c gì ? L i gi 1)Ta có SA (ABC) ậ V y góc[(SCD),(ABCD)] = SADV

.SA

ABCD

^� và CD AD CD SD ﾼSDA = 60o . vuông nên SA = AD.tan60o = a 3 1 3

3 a 3 3

o60

SD^

1 a 3 3 ,vì CD ^

V y ậ

(SAD) (do (1) ) nên CD ^ AH (cid:0) ^

�V SAD

a 3 2

ậ ế ừ ự 2) Ta d ng AH AH (SCD) V y AH là kho ng cách t 1 ậ . V y AH = ả 1 = 2 AH SA A đ n (SCD). 1 4 1 = 2 2 2 2 3a a AD 3a

Ậ Ự

Ệ

BÀI T P T RÈN LUY N

ạ ớ i B v i BA=BC=a bi

o. Tính th tích hình chóp .

ể ớ ộ ợ Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân t đáy ABC và SB h p v i (SAB) m t góc 30 ế Đs: V = 3 / 6 ớ t SA vuông góc v i a 2

ớ ế ằ

o .Tính th tích kh i chóp SABC

ể ợ ớ ộ ố Bài 2. Cho hình chóp SABC có SA vuông góc v i đáy (ABC) và SA = h ,bi (SBC) h p v i đáy ABC m t góc 30 Đs: ề 3h 3/ 3 ặ t r ng tam giác ABC đ u và m t V =

o và (SAC) h p v i (ABC) m t góc 60

ạ ế ợ ớ ợ ớ ằ ứ i A và SB vuông góc v i đáy ABC bi o .Ch ng minh r ng SC

V =

Đs: ớ t SB = a,SC h p v i 2 = SB2 + AB2 + AC2 Tính thể 3a 3/ 27 ^ ứ ệ t AC = AD = 4 cm,AB = 3 cm, BC = 5 cm. Bài 3. Cho hình chóp SABC có đáy ABC vuông t ộ ộ (SAB) m t góc 30 tích hình chóp. ế (ABC) bi di n ABCD có AD Bài 4: Cho t

WWW.ToanCapBa.Net

WWW.ToanCapBa.Net Biªn so¹n ThÇy nguyen hue ha nam

Đs: V = 8 cm3 ừ ẳ ặ ả A đ n m t ph ng (BCD). Đs: d =

ﾼ BAC 120= o

^ ể 1) Tính th tích ABCD. ế 2) Tính kho ng cách t 12/ 34 ố ạ ớ i A v i BC = 2a , , bi t ế SA (ABC)

o . Tính th tích kh i chóp SABC.

ớ ợ ể Đs:

ặ 3a / 9 ^ ố ế ớ

ố ộ ể Đs: ^ ố t SA o Tính th tích kh i chóp. ế ằ ữ ậ ớ t r ng SA (ABCD),SC = a và SC h p v i đáy V = (ABCD) , SC h p v i đáy ộ ố

ạ ọ ợ 3a 3/ 48 ợ Đs: V = 20a3 o và SA ^ (ABCD) ế ạ ế ằ ừ ố ằ ể A đ n c nh SC = a.Tính th tích kh i chóp SABCD. Đs:

ố ả t r ng kho ng cách t 3a 2/ 4 ế ố

ể ớ ộ ợ (ABCD) và (SCD) h p v i đáy m t góc 60 Đs:

ề ố ử ườ ng kính

3a 6/ 2 ườ 33R / 4

ế ể ợ ớ t (SBC) h p v i đáy ABCD m t góc 45 Đs: t AB = BC = a , AD = 2a , V = ng tròn đ V =

ạ

Bài 5: Cho kh i chóp SABC có đáy ABC là tam giác cân t ố ộ và m t (SBC) h p v i đáy m t góc 45 V = Bài 6: Cho kh i chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông bi m t góc 60 Bài 7: Cho kh i chóp SABCD có đáy ABCD là hình ch nh t bi o và AB = 3a , BC = 4a. Tính th tích kh i chóp. ể m t góc 45 Bài 8: Cho kh i chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi c nh a và góc nh n A b ng 60 Bi V = ạ Bài 9: Cho kh i chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông t i A và B bi SA ^ o Tính th thích kh i chóp SABCD. ố ộ ế ử ụ Bài 10 :Cho kh i chóp SABCD có đáy ABCD là n a l c giác đ u n i ti p trong n a đ o.Tính th tích kh i chóp SABCD. ố ộ AB = 2R bi ố

ộ ặ

ớ

: Kh i chóp có m t m t bên vuông góc v i đáy

ạ ặ

ớ ằ ặ

ườ ứ ố ể ạ

D ng 2 Ví d 1:ụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có c nh a. M t bên SAB là tam giác đ u ề n m trong m t ph ng vuông góc v i đáyABCD, 1) Ch ng minh r ng chân đ

ớ ng cao kh i chóp trùng v i trung đi m c nh AB. ố ể

ầ ^ ẳ ằ 2) Tính th tích kh i chóp SABCD. ầ ủ ề ể ứ ỏ Phân tích yêu c u c a đ bài ra các yêu c u nh : ủ (ABCD) ? *) H là trung đi m c a AB. Ch ng minh SH

1 3

ố ượ ể *) Phân tích V= B.h đ tìm B và h trong hình là các đ i t ng nào ?

ủ ệ ằ ở ứ ứ *) Tìm di n tích B c a ABCD b ng công th c nào ? *) Tìm h = SH qua tam giác nào b i công th c gì ?

^�

i: ủ ể SH AB đ u ề ^

ườ ủ ậ ố ờ ả L i gi ọ 1) G i H là trung đi m c a AB. ^� SABV mà (SAB) (ABCD) SH (ABCD) V y H là chân đ

ề 2) Ta có tam giác SAB đ u nên SA = ng cao c a kh i chóp. a 3 2

.SH

ABCD

1 3

3 a 3 6

suy ra

^ ạ i D , (ABC) ứ ệ ộ di n ABCD.

ị ứ ệ Ví d 2:ụ Cho t ề di n ABCD có ABC là tam giác đ u ,BCD là tam giác vuông cân t o .Tính th tích t ợ ớ ể (BCD) và AD h p v i (BCD) m t góc 60 ỏ ầ ầ ủ ề Phân tích yêu c u c a đ bài ra các yêu c u nh : ế ủ *) Xác đ nh góc[AD,(BCD)] = ? Tìm hình chi uc a AD trên (BCD) ?

1 3

ố ượ ể *) Phân tích V= B.h đ tìm B và h trong hình là các đ i t ng nào ?

ủ ứ ệ ằ ứ ở *) Tìm di n tích B c a BCD b ng công th c nào ? *) Tìm h = AH qua tam giác nào b i công th c gì ?

WWW.ToanCapBa.Net

WWW.ToanCapBa.Net Biªn so¹n ThÇy nguyen hue ha nam

(BCD)

i: ể ^ ủ ề (BCD) , mà (ABC) ^ (BCD) (cid:0) ^ ờ ả L i gi ọ G i H là trung đi m c a BC. Ta có tam giác ABC đ u nên AH . AH

a 3

Ta có AH ^ HD (cid:0) AH = AD.tan60o =a 3 & HD = AD.cot60o =

BCD (cid:0) V

o60

/ 3 2a 3 3

BC = 2HD = suy ra

.AH

. BC.HD.AH

BCD

1 1 3 2

1 3

3 a 3 9

V =

ạ ặ BC = a. M t bên SAC ớ Ví d 3:ụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân t vuông góc v i đáy, i B, có 0. i đ u t o v i m t đáy m t góc 45 ặ ằ ứ ạ ề ạ ớ ặ ườ ố ể ạ các m t bên còn l a. Ch ng minh r ng chân đ ộ ớ ng cao kh i chóp trùng v i trung đi m c nh AC. ố .

ề ể b. Tính th tích kh i chóp SABC ể ự Phân tích đ bài đ d ng hình : ^ ự *) D ng tam giác ABC và SAC d a vào (SAC) ầ ủ ề ầ ự (ABC) ? . ỏ Phân tích yêu c u c a đ bài ra các yêu c u nh : ị ủ *) Xác đ nh góc[(SAB),(ABC)] = ? và góc[(SBC),(ABC)] = ? *) So sánh tam giác SHI và SHJ cho gì ? Suy ra AH là gì c a tam giác ABC ?

1 3

ố ượ ể *) Phân tích V= B.h đ tìm B và h trong hình là các đ i t ng nào ?

ủ ứ ệ ằ ấ ở *) Tìm di n tích B c a ABC b ng công th c nào ? *) Tìm h = SH qua các tam giác nào b i tích ch t gì ?

(cid:0)

(cid:0) BC vì mp(SAC) (cid:0) mp(ABC) nên SH (cid:0) mp(ABC). SI (cid:0) AB, SJ thi

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ườ ng phân ế ủ ﾼ ế ﾼ = o t SIH SJH 45 SHJ HI HJ ừ ờ ả L i gi ẽ a) K SH ọ G i I, J là hình chi u c a H trên AB và BC (cid:0) BC, theo gi ả SHI Ta có: giác c a ủ ABCV

SH .

S ABC

1 3

(cid:0) b) HI = HJ = SH = nên BH là đ ủ ể đó suy ra H là trung đi m c a AC. a (cid:0) VSABC= 3a 2 12

Ậ Ự

Ệ

BÀI T P T RÈN LUY N

ề ạ ạ ẳ ằ ặ i S và n m trong m t ph ng Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC đ u c nh a, tam giác SBC cân t vuông góc v i (ABC). ườ ủ ủ ể ớ ứ 1) Ch ng minh chân đ ng cao c a chóp là trung đi m c a BC.

ể ố 2) Tính th tích kh i chóp SABC. Đs:

ế ớ t tam giác SAB cân t i A v i AB = AC = a bi ợ ẳ ặ ặ ộ ớ ớ ạ Bài 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC vuông cân t ẳ ằ n m trong m t ph ng vuông góc v i (ABC) ,m t ph ng (SAC) h p v i (ABC) m t góc 45

3a 3 24 ạ i S và o. Tính th tích ể 3a 12

Đs: ủ c a SABC.

ﾼo o BAC 90 ;ABC 30

^ ề ạ ; SBC là tam giác đ u c nh a và (SAB) (ABC).

+Bài 3: Cho hình chóp SABC có ﾼ ố Tính th tích kh i chóp SABC. Đs:

ể 2a 2 24

WWW.ToanCapBa.Net

WWW.ToanCapBa.Net Biªn so¹n ThÇy nguyen hue ha nam

^ ề ườ Bài 4: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đ u;tam giác SBC có đ

o .Tính th tích hình chóp SABC.

ế ặ ộ ợ ớ ể (ABC). Cho bi t SB h p v i m t (ABC) m t góc 30 Đs: ng cao SH = h và (SBC) 34h 3 9 ề ầ ượ ằ ẳ ặ t n m trong hai m t ph ng vuông góc ứ ệ ế ứ ệ ể t AD = a.Tính th tích t di n. Đs:

Bài 5: T di n ABCD có ABC và BCD là hai tam giác đ u l n l ớ v i nhau bi 3a 6 36 ề ặ ườ ng cao SH

ằ ặ ẳ ớ

ườ ứ ể ằ ạ ố Bài 6 :Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông .M t bên SAB là tam giác đ u có đ = h ,n m trong m t ph ng vuông góc v i ABCD, ớ ng cao kh i chóp trùng v i trung đi m c nh AB. 1) Ch ng minh r ng chân đ

ể ố 2) Tính th tích kh i chóp SABCD . Đs:

34h 9 ẳ

ề ạ ằ ặ ữ ậ D SAB đ u c nh a n m trong m t ph ng vuông Bài 7: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình ch nh t ,

o .Tính th tích hình chóp SABCD

ớ ế ộ ớ ợ ể góc v i (ABCD) bi t (SAC) h p v i (ABCD) m t góc 30 Đs:

^ ữ ậ

o .Tính th tích hình chóp SABCD.

3a 3 4 (ABCD) , hai m t ặ Đs:

38a 3 9

ể ớ ộ Bài 8: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình ch nh t có AB = 2a , BC = 4a, SAB ợ bên (SBC) và (SAD) cùng h p v i đáy ABCD m t góc 30

D SAD vuông cân t

ớ ạ i S , Bài 9:Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi v i AC = 2BD = 2a và

ể ẳ ặ ớ ằ n m trong m t ph ng vuông góc v i ABCD. Tính th tích hình chóp SABCD. Đs:

3a 5 12 D SAB

ạ i A và D; AD = CD = a ; AB = 2a, Bài 10: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông t

3a 3 2

ể ằ ẳ ặ ố ớ ề đ u n m trong m t ph ng vuông góc v i (ABCD). Tính th tích kh i chóp SABCD . Đs:

ạ

ố

ề

D ng 3

: Kh i chóp đ u ề

ứ ạ ằ ằ ạ

ườ ủ ủ ể ề ^ ằ Ví d 1:ụ Cho chóp tam giác đ u SABC c nh đáy b ng a và c nh bên b ng 2a. Ch ng minh r ng ề chân đ S c a hình chóp là tâm c a tam giác đ u ABC.Tính th tích chóp đ u SABC . ự ừ ạ ự tâm O d ng SO ầ ủ ề ẻ ừ ng cao k t ề (ABC) . T i sao ? ? D ng tam giác đ u ABC , t ỏ Phân tích yêu c u c a đ bài ra các yêu c u nh : ấ ở ầ *) So sánh SA,SB,SC suyra OA,OB,OC b i tích ch t nào ?

1 3

ố ượ ể *) Phân tích V= B.h đ tìm B và h trong hình là các đ i t ng nào ?

ủ ứ ệ ằ *) Tìm di n tích B c a ABC b ng công th c nào ? *) Tìm h = SO qua tam giác nào b i đ nh lí gì ?

^ (ABC) Ta có SA = SB = SC suy ra OA = OB = OC ủ ề

= AO = AH 2 3

2 SAO SO SA OA

�V

=� SO

.SO

- ở ị ờ ả L i gi i: ự D ng SO ậ V y O là tâm c a tam giác đ u ABC. ề Ta có tam giác ABC đ u nên 2a 3 a 3 = 3 3 2 2 2 11a = 3

ABC

1 3

3 a 11 12

a 11 3

.V y ậ

WWW.ToanCapBa.Net

WWW.ToanCapBa.Net Biªn so¹n ThÇy nguyen hue ha nam

ố ộ ằ giác SABCD có t ấ ả t c các c nh có đ dài b ng a . ứ ạ ề giác đ u. ể ^ ự ừ ạ ỏ (ABCD) . T i sao ? ầ ủ ề ộ ế ườ ế ừ ả gi thi t?

ố ượ ể B.h đ tìm B và h trong hình là các đ i t *) Phân tích V= ng nào ? Ví d 2:ụ Cho kh i chóp t ứ ằ ứ 1) Ch ng minh r ng SABCD là chóp t ố 2) Tính th tích kh i chóp SABCD. ự câu h i 1, d ng SO ? D ng hình thoi ABCD và t ỏ ầ Phân tích yêu c u c a đ bài ra các yêu c u nh : ng tròn không? Suy ra gì t *) Hình thoi ABCD có n i ti p trong đ 1 3 ứ ủ ệ ằ *) Tìm di n tích B c a ABCD b ng công th c nào ? *) Tìm h = SO qua tam giác nào b i đ nh lí gì ?

i: ^ (ABCD)

ườ ng tròn ạ ế

vuông t i Sạ ở ị ờ ả L i gi ự D ng SO Ta có SA = SB = SC = SD nên OA = OB = OC = OD (cid:0) ABCD là hình thoi có đ gno i ti p nên ABCD là hình vuông . Ta có SA2 + SB2 = AB2 +BC2 = AC2 nên ASCV

SO .

OS =�

ABCD

1 3

(cid:0)

2 3a 2 6

V y ậ

ố ứ ệ ể ề ạ Ví d 3:ụ Cho kh i t ằ di n đ u ABCD c nh b ng a, M là trung đi m DC.

ố ứ ệ ể a) Tính th tích kh i t ề di n đ u ABCD.

ừ ể M đ n mp(ABC).Suy ra th tích hình chóp MABC. ^ ừ ự ề ạ ế ự tâm O d ng DO ầ ủ ề ầ ả b)Tính kho ng cách t (ABC) . T i sao ? ? D ng tam giác đ u ABC ,t ỏ Phân tích yêu c u c a đ bài ra các yêu c u nh :

1 3

ố ượ ể *) Phân tích V= B.h đ tìm B và h trong hình là các đ i t ng nào ?

ệ ứ ủ ằ

^ ặ *) Tìm di n tích B c a ABC b ng công th c nào ? *) Tìm h = DO qua tam giác nào b i đ nh lí gì ? ẳ *) M t ph ng (DCO) (ABC) ? D ng MH ^ OC suy ra đi u gì ?Tính MH ? ề

^� DO

ABC

(

)

ABC

ở ị ự i: D ủ

ABC

2 3

2 3 4

ờ ả L i gi ọ a) G i O là tâm c a 1 S 3 ABC a ,

�

V =

2 DC OC

= DOC vu ng c DO ô

ó :

1 3

D -

ẻ ừ ế b) K MH// DO, kho ng cách t M đ n mp(ABC) là MH

1 2

ả a

�

S MH .

MABC

ABC

3a 2 24

1 3

.V y ậ

Ậ Ự

Ệ

BÀI T P T RÈN LUY N

ề ằ ạ ợ ớ ộ ể 60o . Tính th tích Bài 1: Cho hình chóp đ u SABC có c nh bên b ng a h p v i đáy ABC m t góc

Đs: hình chóp. 33a 16

WWW.ToanCapBa.Net

WWW.ToanCapBa.Net Biªn so¹n ThÇy nguyen hue ha nam

ề ạ ở ủ ặ đáy c a m t bên là 45 Bài 2: Cho hình chóp tam giác đ u SABC có c nh bên a, góc

a 3

ề ộ ủ 1) Tính đ dài chi u cao SH c a chóp SABC . Đs: SH =

3a 6

ể 2) Tính th tích hình chóp SABC. Đs:

o. Tính th tích

ề ặ ợ ớ ộ ể

o .

= hình chóp SABC. Đs: V ạ Bài 3: Cho hình chóp tam giác đ u SABC có c nh đáy a và m t bên h p v i đáy m t góc 60 3a 3 24 ề ườ ặ ộ ớ ợ ộ ng cao h h p v i m t m t bên m t góc 30 Bài 4 : Cho chóp tam giác đ u có đ

3h 3 3

ể Tính th tích hình chóp. Đs:

ề ườ ở ỉ ặ ng cao h và m t bên có góc ằ đ nh b ng 60 Bài 5 : Cho hình chóp tam giác đ u có đ

3h 3 8

ể Tính th tích hình chóp. Đs:

ứ ề ạ giác đ u SABCD có c nh đáy a và . Bài 6 : Cho hình chóp t ﾼ ASB 60= o

2a 3 3

ủ ề ệ ổ ặ 1) Tính t ng di n tích các m t bên c a hình chóp đ u. Đs:

3a 2 6

ể Đs: 2) Tính th tích hình chóp.

ứ ề ề ở ỉ ằ ủ giác đ u SABCD có chi u cao h ,góc Bài 7 : Cho hình chóp t

ể Tính th tích hình chóp. Đs:

o. ặ đ nh c a m t bên b ng 60 32h 3 chân đ

o và kho ng cách t ả

ứ ề ặ ớ ộ ừ ợ giác đ u có m t bên h p v i đáy m t góc 45 ng cao Bài 8: Cho hình chóp t

ế ể ặ ằ ủ c a chóp đ n m t bên b ng a.Tính th tích hình chóp . Đs: ườ 38a 3 3 ứ ề ạ ằ ợ ớ ộ giác đ u có c nh bên b ng a h p v i đáy m t góc 60 Bài 9: Cho hình chóp t

3a 3 12

ề Tính th tích hình chóp. Đs:

ấ ả ằ ạ ằ ứ giác Bài 10: Cho hình chóp SABCD có t

ủ ạ ằ ủ ể ề đ u.Tính c nh c a hình chóp này khi th tích c a nó b ng . Đs: AB = 3a ứ t c các c nh b ng nhau. Ch ng minh r ng SABCD là chóp t 39a 2 2

ạ

ố

ươ

D ng 4

: Kh i chóp & ph

ng pháp t

s th tích

ớ ,SA vuông góc v i đáy ABC

ỷ ố ể B, ở

AC a=

Ví d 1.ụ Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân , SA a= ể ủ

ọ ọ ặ

ố 1) Tính th tích c a kh i chóp S.ABC. 2) G i G là tr ng tâm tam giác ABC, m t ph ng ( ầ ượ ạ ẳ ể ủ ố a ) qua AG và song song t t i M, N. Tính th tích c a kh i chóp S.AMN ắ v i BC c t SC, SB l n l

^ ạ i B và SA (ABC). ạ ặ ầ ỏ Phân tích yêu c u c a đ bài ra các yêu c u nh :

ể ố ượ B.h đ tìm B và h trong hình là các đ i t *) Phân tích V= ng nào ? ớ Phân tích: ự *) D ng tam giác ABC vuông cân t ẳ ự *) D ng m t ph ng qua G và // BC , cho MN //BC . T i sao ? ầ ủ ề 1 3 ệ ủ ứ ằ ở ị ậ ỉ ố ể ự ế ứ ạ ủ ể ả *) Tìm di n tích B c a ABC b ng công th c nào ? *) Tìm h = SA qua tam giác nào b i đ nh lí gì ? *) Tính tr c ti p th tích SAMN quá ph c t p ta ph i làm sao ? L p t s th tích c a SAMN và SABC

WWW.ToanCapBa.Net

WWW.ToanCapBa.Net Biªn so¹n ThÇy nguyen hue ha nam

SA .

ề ? Suy ra đi u gì ? ờ ả L i gi i:

S ABC

ABC

1 3

a)Ta có: và SA a=

ﾼ

�

=�

2 a a .

ABC c n c AC a

AB a

ó :

SABC

ABCS

1 1 . 3 2

a 6

21 a= 2

D +

SG SI

2 3

�

ọ ể ọ G là tr ng tâm,ta có :

2 3

SAMN

�

b) G i I là trung đi m BC. a MN// BC // BC (cid:0)

SAMN

SABC

V V

SM SN . SB SC

4 9

a 2 27

. V y: ậ

SABC Cho tam giác ABC vuông cân

AB a= . Trên đ

ở

(

ườ ớ ạ ạ ặ ^ ứ ể .

SM SN SG SI SC SB 4 V= 9 ớ ng th ng qua C và vuông góc v i ắ i F và c t AD t i E. ố ứ ệ di n CDEF

ẳ ắ c) Tính th tích kh i t Ví d 2. ụ ấ ể (ABC) l y đi m D sao cho ABCDV a) Tính ^ CD a= . M t ph ng qua C vuông góc v i BD, c t BD t ABD ) i A và SC Phân tích : *) D ng tam giác ABC vuông cân t ặ ệ ẳ (ABC) t di n CEF. A và ẳ b) Ch ng minh ự ự *) D ng m t ph ng qua C và ầ ủ ề

CE ạ ^ BD cho thi ế ầ

ố ượ ủ ỏ Phân tích yêu c u c a đ bài ra các yêu c u nh : *) Phân tích V= Bh/ 3 đ tìm B và h c a ABCD là các đ i t ng nào ? ệ ứ ủ ằ ớ ứ ẳ ng th ng nào trong m t ph ng (ABD)? ủ ặ ẳ ậ ỉ ố ể ườ ứ ạ ự ế ể ả ạ ượ ọ ể *) Tìm di n tích B c a ABC b ng công th c nào ? *) Ch ng minh CE vuông góc v i 2 đ ằ *) Tính tr c ti p th tích CDEF ph c t p ta ph i làm sao ? L p t s th tích c a DCEF và DABC b ng ỉ ố t s các đ i l ng hình h c trong tam giác vuông nào ?

ABCD

ABC

1 3

^�

AB AC AB CD ,

)

AB EC

^ ^

ACD ( ABD )

DCEF

(*)

^� EC V V

3 a .CD 6 ^� AB ( DE DF . DA DB

DABC

�

c) Tính :Ta có: ờ ả L i gi i: a)Tính ABCDV b)Tacó: Ta có: DB EC EFDCV

2DA

.DE DA DC=

DE DC = DA DA

a a 2

1 2

Mà , chia cho

a + 2

DF DC = DB DB

1 3

DCEF

�

ươ ự T ng t :

DCEF

ABCD

V V

a 36

T (*) ừ .V yậ

DABC ộ

1 6 ặ

1 V= 6 ((cid:0) qua A, B và trung đi m M c a SC . )

ủ ể ố ứ ề ẳ Ví d 3.ụ Cho kh i chóp t

ỉ ố ể ủ ẳ giác đ u SABCD. M t m t ph ng ị ở ặ ố ầ Tính t s th tích c a hai ph n kh i chóp b phân chia b i m t ph ng đó.

^ ứ (ABCD) giác đ u ABCD và SO ể ể ự ự ự ạ ầ ủ ề ầ Phân tích. ề *) D ng t *) D ng (ABM) // CD đ có đi m N ? *) D ng BD và BN . T i sao ? ỏ *) Phân tích yêu c u c a đ bài ra các yêu c u nh : ứ ể ậ ỉ ố *) Phân tích hai chóp t ể giác thành các chóp tam giác nào đ l p t s ? ủ ớ ậ ỉ ố ể ủ ớ ớ *) Hãy so sánh th tích c a SABD và SBCD v i SABCD ? *) L p t s th tích c a SABN v i SABD ; SAMN v i SABC ?

WWW.ToanCapBa.Net

WWW.ToanCapBa.Net Biªn so¹n ThÇy nguyen hue ha nam

SAND

i: ế ệ ủ ố thì hình thang ABMN là thi t di n c a kh i

SADB

SABCD

SANB

SADB

SBMN

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) V V V *) ắ ở SN SD 1 4 1 2

SBMN

SBCD

SABCD

SBCD

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) V V V . . *) ờ ả L i gi )SD(cid:0) ẻ K MN // CD (N ẳ ặ chóp khi c t b i m t ph ng (ABM). 1 2 SN SD V V V V SM SC 1 4 1 8 1 2 1 2

SABCD

SABMN

ABMN

ABCD

V V Mà VSABMN = VSANB + VSBMN = . ﾼ VABMN.ABCD = 5 8 1 4 3 8 V (cid:0) Do đó : V 3 5

ạ ứ ạ ớ ề ạ Ví d 4ụ . Cho hình chóp t giác đ u S.ABCD, đáy là hình vuông c nh a, c nh bên t o v i đáy góc

o 60 i F.

ớ ặ ẳ ọ ể ắ ạ ạ . G i M là trung đi m SC. M t ph ng đi qua AM và song song v i BD, c t SB t ắ i E và c t SD t

ị a) Hãy xác đ nh mp(AEMF)

ể ố b) Tính th tích kh i chóp S.ABCD

ể ố

3 đ tìm B và h c a SABCD là các đ i t

ố ượ ng nào ?

ng giác nào?

ứ ể ậ ỉ ố giác thành các chóp tam giác nào đ l p t s ?

c) Tính th tích kh i chóp S.AEMF Phân tích: *)Xác đ nh góc gi a SA và ABCD là góc nào ? ữ ị *)Phân tích V Bh /= ủ ể ệ ứ ượ *)Tìm h = SO qua tam giác và h th c l *)Phân tích hai chóp t ể ứ ạ ủ ậ ỉ ố ể ủ ằ

ủ ể ớ

ậ ỉ ố ể *)Tính th tích c a SAEMF quá ph c t p thì sao ?L p t s th tích c a SAEMF và SABCD b ng cách nào ? *) Hãy so sánh th tích c a SABD và SBCD v i SABCD ? ủ *) L p t s th tích c a SAMF v i SACD ?

SO .

(cid:0) ớ ờ ả i: L i gi = a) G i ọ I . Ta có (AEMF) //BD (cid:0) EF // BD

S ABC

ABC

DABCS

= SO AO

o .tan 60

b) v i ớ SO AM 1 3

S ABC

có : . V yậ : + SOAV

2 S AV

. EMF

ứ c) Phân chia chóp t giác ta có = VSAMF + VSAME =2VSAMF

.S ABCD

= 2VSACD = 2 VSABC

SAMF

ố Xét kh i chóp S.AMF và S.ACD Ta có :

�

1 2 V V

SM SF . SC SD

1 3

SAC

SI SF = SO SD

SM =� SC 2 3

D ọ SAC có tr ng tâm I, EF // BD

SA a=

ạ .

ọ ầ ượ ặ Ví d 5. ụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh a, SA vuông góc đáy, G i B’, D’ là hình chi u c a A l n l ẳ t lên SB, SD. M t ph ng (AB’D’) c t SC t ^ i C’. AB D ' ạ ( ứ

ể ể ắ ế ủ ố a) Tính th tích kh i chóp S.ABCD. b) Ch ng minh ố c) Tính th tích kh i chóp S.AB’C’D’

3 đ tìm B và h c a SABCD là các đ i t ẳ

ầ ủ ề ể ủ ng nào ? ườ ứ ỏ Phân tích yêu c u c a đ bài ra các bài toán nh : *) Phân tích V Bh /= *) Ch ng minh SC vuông góc 2 đ ố ượ ng th ng nào trong (AB'D') ?

WWW.ToanCapBa.Net

WWW.ToanCapBa.Net Biªn so¹n ThÇy nguyen hue ha nam

ứ ể ậ ỉ ố *) Phân tích hai chóp t

giác thành các chóp tam giác nào đ l p t s ? ủ ớ ủ ể ể ớ ậ ỉ ố ể ủ ề *) Hãy so sánh th tích c a SABC và SACD v i SABCD ? *) Hãy so sánh th tích c a SAB'C' và SAC'D' v i SAB'C'D' ? *) L p t s th tích c a SAB'C' v i SABC . Suy ra đi u gì ? ờ ả ớ L i gi i:

S ABCD

ABCD

a) Ta có:

SBC

(

)

^ ^ ^

1 3 SAB ươ

( b) Ta có nên AB' ^ SC .T

) ng t

(*)

^ Suy ra: ' (AB'D')

S AB C

SABC '

c) Tính : Ta có: & SB AB ^ SC.V y SC ậ SB SC ' ' = . SB SC

SAC

D vuông cân nên

SB SB

SA SB

1 2 a 2 a 3

SAB C

2 3 3 a

�

(*)

�

Ta có:

SAB C

V V

1 3

SABC V 2

SA . 3 ^� BC AB ự AD' V SAB C ' V SC SC 2 a 2 + 2 1 3 = 3 a 2

/ 2 9

Từ

S.AB'C'D '

S.AB'C'

Ậ Ự

Ệ

BÀI T P T RÈN LUY N

3 ,trên AB,AC,AD l n l

ứ ầ ượ ủ ể ủ ọ diên ABCD. G i B' và C' l n l t là trung đi m c a AB và AC. Tính t s th tích c a kh i t ố ứ ệ ố ứ Đs: ứ ể ầ ượ ấ diên ABCD. ể diên ABCD có th tích 9m ỉ ố ể k = 1/ 4 t l y các đi m B',C',D' sao cho AB =

;AC'

ứ ệ ể Bài 1. Cho t di n AB'C'D và kh i t Bài 2. Cho t 2AB' 2AC = 3AD' ;AD = 3AD'. Tính t tích t di n AB'C'D'. Đs: V = 2 m3

a 2

ứ ề ể ạ ấ diên đ u ABCD có c nh a. L y các đi m B';C' trên AB và AC sao cho . Tính Bài 3. Cho t

2a 3 3a 2 36

ể ứ th tích t diên AB'C'D . Đs:

3 .G i M,P là trung đi m c a AB và CD và l y N trên AD sao cho

ọ ể ể ủ ể ứ ấ Đs: V = 1 m3 diênABCD có th tích 12 m diên BMNP.

3a 3/ 40

3 .L y A'trên SA sao cho ắ

ề ạ a 3,đ ẳ V = ớ ạ ể ắ i H và c t SC t ặ ng cao SA = a.M t ph ng qua A và Đs: ằ ạ ể ườ i K. Tính th tích hình chóp SAHK. ấ ặ ầ ượ ạ ớ ể i B',C',D' .Tính th

ằ ể ẳ ặ ắ ạ ố ặ

S.AMNP

ầ ượ ắ ứ ẳ ạ t t Đs: V = 1 m3 3, ABCD là hình bình hành , l y M trên SA sao cho 2SA = ể ấ Đs: V = 4m3 i N.Tính th tích kh i đa diên ABCDMN . ọ ề i M và P. Tính t c t SB,SDF t Đs:

ỉ ố ể ầ ầ ớ ứ Bài 4. Cho t DA = 3NA. Tính th tích t Bài 5. Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đ u c nh vuông góc v i SB t Bài 6. Cho hình chóp SABCD có th tích b ng 27m ẳ SA = 3SA'. M t ph ng qua A' và song song v i đáy hình chóp c t SB,SC,SD l n l tích hình chóp SA'B'C'D'. Bài 7. Cho hình chóp SABCD có th tích b ng 9m 3SM. M t ph ng (MBC) c t SD t ạ Bài 8. Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông c nh a, chi u cao SA = h. G i N là trung đi m SC. M t ph ng ch a AN và // BD l n l ể Bài 9 : Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành và I là trung đi m c a SC.M t ph ng qua AI và song song v i BD chia hình chóp thành 2 ph n.Tính t s th tích 2 ph n này. ủ Đs:

ấ = Tìm x đ ể

k = Bài 10: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành và l y M trên SA sao cho

- ể ặ ẳ ầ ằ m t ph ng (MBC) chia hình chóp thành 2 ph n có th tích b ng nhau. Đs: ể V = 2a h/ 9 ặ ẳ 1/ 2 SM SA 5 1 2

ố

ậ

ụ

ạ 5) D ng 5

: Ôn t p kh i chóp và lăng tr

ạ

Ví d 1:ụ Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông c nh 2a, SA vuông

WWW.ToanCapBa.Net

ằ

ủ

ể

ữ góc đáy. Góc gi a SC và đáy b ng

o và M là trung đi m c a SB.

ể ể

ố ố

ủ 1) Tính th tích c a kh i chóp S.ABCD. ủ 2) Tính th tích c a kh i chóp MBCD.

WWW.ToanCapBa.Net Biªn so¹n ThÇy nguyen hue ha nam

ứ

(ABCD)

ạ

ớ

ự + D ng t giác ABCD và SA ậ ự + D ng H trung đi m AB. Nh n xét MH v i AB ? T i sao ?

ạ

ị

ể + Xác đ nh góc[SC,(ABCD)] = ? T i sao ?

ố ượ

ể

+ Phân tích V=

ủ B.h đ tìm B và h c a SABCD là các đ i t

ng nào ?

1 3

ệ ứ ươ

+ Tính h = SA trong tam giác nào và h th c l

ng giác nào ?

ố ượ

ể

+ Phân tích V=

ủ B.h đ tìm B và h c a SABCD là các đ i t

ng nào ?

ạ

ấ

1 3 ườ

+ MABCD có đ

ng cao là gì ? t

ở i sao ? Tính MH b i tính ch t gì ?

ờ L i gi

ả : i

a)Ta có

SA .

1 S 3 ABCD = a a (2 ) 4

ABCD

SAC c

SA AC

= C

ó :

tan

a 8

�

2 a 4 .2

1 3

H A B

�

MH SA MH

/ /

3 (

)

b) K ẻ

Ta có:

^ o60

BCD

ABCD

1 2

DBC 1 S= 2

�

MBC

1 V= 4

ặ

ể

ạ

ớ

ộ

ố

Ví d 2:ụ Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a. Các m t bên SAB, SBC, SCA t o v i đáy m t góc 60

o .Tính th tích kh i chóp.

D C 2a

ự

ề

ạ

ớ

(ABC) v i H

ị

ớ

ở

(cid:0) ^

(ABC) và H cách đ u 3 c nh tam giác ABC. + D ng tam giác ABC và SH (cid:0) phân tích yêu c u c a đ bài ra các yêu c u nh : ỏ ầ ầ ủ ề ặ + Xác đ nh góc h p b i 3 m t bên v i đáy chóp ?

ể

ố ượ

+ Phân tích V=

ủ B.h đ tìm B và h c a SABC là các đ i t

ng nào ?

ứ

ệ ứ ượ

ng giác nào ?

ợ 1 3 ằ + Tính B = SABC b ng công th c nào ? + Tính h = SH trong tam giác nào và h th c l

WWW.ToanCapBa.Net

ả : i

WWW.ToanCapBa.Net Biªn so¹n ThÇy nguyen hue ha nam

)

( ABC

, k HEẽ

(cid:0) (cid:0) AB, HF (cid:0) BC, HJ (cid:0)

(cid:0) ﾼﾼ

= SAH

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ABC

)

(cid:0)

ọ )(

)(

ờ L i gi H SHạ AC suy ra SE (cid:0) AB, SF (cid:0) BC, SJ (cid:0) AC . Ta có ﾼ = = O SEH SFH SJH 60 SJH SFH nên HE =HF = HJ = r ườ ế ng tròn ng ai ti p ( r là bán kính đ Ta có SABC = cpbpapp ( )

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

ớ v i p =

Nên SABC =

22.3.4.9 a

cba 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

ặ

M t khác S

ABC = p.r

S p

62 3

(cid:0) (cid:0) (cid:0)

SH = r.tan 600 =

(cid:0)

22.

V y Vậ

SABC =

Tam giác vuông SHE: a 62 3 1 3

, AD = a,

AB a=

ữ ậ Ví d 3ụ : Cho hình h p ch nh t ABCD.A’B’C’D’ có ủ AA’ = a, O là giao đi m c a AC và BD. ố

ữ ậ

ủ ứ ệ

ể ể ộ

ỉ

(cid:0)

ộ ể ố ộ ố ườ ng cao đ nh C’ c a t

di n OBB’C’.

ộ

ự

ữ ậ

a) Tính th tích kh i h p ch nh t, kh i chóp OA’B’C’D’ b) Tính th tích kh i OBB’C’. c) Tính đ dài đ

ầ ủ ề

ầ

ủ

ể

ố ượ

+ D ng h p ch nh t , hình chóp OA'B'C'D' và OBB'C' . (cid:0) phân tích yêu c u c a đ bài ra các yêu c u nh : ỏ + Phân tích V= B.h đ tìm B và h c a OA'B'C'D' là các đ i t

ng nào ?

ố ượ

ể

+ Phân tích V=

ủ B.h đ tìm B và h c a OBB'C' là các đ i t

ng nào ?

1 3

ứ

ố ớ

ấ V

ề

ầ

ta có chi u cao yêu c u và

ứ

ằ + Tính B = SBB'C' b ng công th c nào ? + Tính h = OM ? Dùng tam giác nào và tính ch t gì ? OBB' ỉ ọ + Đ i v i chóp OBB'C' ch n đ nh C' và đáy là ể dùng công th c nào đ tìm nó ?

ả : i

ể =

AB A

ờ L i gi ố ộ ọ a) G i th tích kh i h p ch nh t là V. . D.AA ' Ta có :

ữ ậ 2 a a 3. = 2

+ 2

= ABD c DB

ó :

ố

a 2 ườ ng cao

ố ộ

ố

* Kh i OA’B’C’D’ có đáy và đ gi ng kh i h p nên: 3

�

V OA B C D '

1 V= 3

WWW.ToanCapBa.Net

WWW.ToanCapBa.Net Biªn so¹n ThÇy nguyen hue ha nam

�

ể

b) M là trung đi m BC

OM BB C ( ') 3 2

�

OM .

V O BB C

BB C '

1 3

ọ

ườ

a 1 . 3 2 ỉ

c) G i C’H là đ

12 ủ ứ ng cao đ nh C’ c a t

C H '

ệ

di n OBB’C’. Ta có

V 3 OBB C S

OBB ' = 2

+ 2

= ABD c DB

�

OBBS

C H = '

2a 3

ó : 1 a= 2

ằ

ạ

ng ABCD.A’B’C’D’có c nh b ng a.

Ví d 4ụ : Cho hình l p ph ể Tính th tích kh i t

ươ ậ ố ứ ệ di n ACB’D’.

ố ượ

ể

+ Phân tích V=

ủ B.h đ tìm B và h c a ACB'D' là các đ i t

ng nào ?

1 3

ể

ứ ạ

ậ

ươ

ố ứ ệ

ng thành 4 kh i t

di n có

ể

ề

ự ế + Tính tr c ti p th tích ACB'D' ph c t p ? Ta phân tích l p ph ằ th tích b ng nhau nào ? ậ + Khi đó nh n xét

? Suy ra đi u gì ?

V và CB'D'C'

ACB'D'

ươ

ượ

ố

ề

ể CB’D’C’

ố Kh i

có

2 a a .

V 1

ể

ậ

ng có th tích:

1 1 . 3 2 ố a=

ả : ờ i L i gi ậ ng đ Hình l p ph c chia thành: ố ố kh i ACB’D’ và b n kh i CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’. +Các kh i CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, ệ AB’A’D’ có di n tích đáy và chi u cao ằ b ng nhau nên có cùng th tích. 1 6 ươ +Kh i l p ph 3 2V

= 3

(cid:0)

ACB D

1 6

1 3

WWW.ToanCapBa.Net

ụ ứ

ằ

ạ

Ví d 5ụ

: Cho hình lăng tr đ ng tam giác có các c nh b ng a.

ố ứ ệ

di n A’B’ BC.

ể

ắ

ạ

ể

ố

ể a) Tính th tích kh i t ạ b) E là trung đi m c nh AC, mp(A’B’E) c t BC t

i F. Tính th tích kh i CA’B’FE.

ố ượ

ể

+ Phân tích V=

ủ B.h đ tìm B và h c a A'B'BC là các đ i t

ng nào ?

1 3

ể

ố

ố ứ ệ

ả

ự ế ể di n nào mà tính th tích đ n gi n h n ?

ứ ạ + Tính tr c ti p th tích CA'B'FE ph c t p ? Ta phân tích kh i chóp thành 2 ơ kh i t

ể

ả : ờ i L i gi ọ ố a) Kh i A’B’ BC:G i I là trung đi m AB, 3

CI .

2 a a .

A B B

A B BC '

1 3 2

1 3

ố

ườ

ố b)Kh i CA’B’FE: phân ra hai kh i CEFA’ và CFA’B’. ố +Kh i A’CEFcó đáy là CEF, đ

ng cao

A’A nên

A A '

A C

' EF

1 3 2

�

A C

' EF

ABC

1 S= 4

ọ

48 ố

ườ

ng cao JA’

A J '

nên

A B C

' F

FB'

16 ể +G i J là trung đi m B’C’. Ta có kh i A’B’CF có đáy là CFB’, đ 1 3

CBB

FB'

1 S= 2

2 a a

�

A B C

' F

a 4 1 3 4

2 3

+ V yậ :

V C

A'B'FE

WWW.ToanCapBa.Net Biªn so¹n ThÇy nguyen hue ha nam

ậ ươ

ng t

ự : ụ ứ

1B1C1 có ABC vuông. AB = AC = a; AA1 = a 2 . M là trung

Bài t p t Bài 1: Cho lăng tr đ ng ABCA

ể

ụ

ể

đi m AA

1. Tính th tích lăng tr MA

1BC1 Đs:V =

23a 12

ạ

i B, SA

Bài 2: Hình chóp SABCD có ∆ABC vuông t

ể

(ABC). ﾼACB = 60o, VMABC =

ể BC = a, SA = a 3 ,M là trung đi m SB.Tính th tích MABC . Đs:

1 a 4

WWW.ToanCapBa.Net

ớ

ể

ạ

ằ

ố

ﾼACB = 90o. ∆SAC và ∆SBD 3 . Tính th tích kh i chóp SABCD.

Bài 3: SABCD có đáy ABCD là hình thang v i đáy l n AB = 2, ề là các tam giác đ u có c nh b ng Đ s: VSABCD = 6 4

ề

ể

ườ

ợ ng h p sau:

Bài 4: Tính th tích hình chóp tam giác đ u SABC trong các tr

ằ

ạ

WWW.ToanCapBa.Net Biªn so¹n ThÇy nguyen hue ha nam

o . Đs: V =

a) C nh đáy b ng 1, góc ABC = 60

ụ

ạ

2 12 11 12 i A,

ạ ủ

ế

Tính VA’ABC theo a? Đs: V =

ộ Bài 5. Cho lăng tr ABCA’B’C’ có đ dài c nh bên = 2a, ∆ABC vuông t ể AB = a, AC = a 3 . Hình chi u vuông góc c a A’ trên (ABC) là trung đi m BC. 3a 2

ề

ạ

ằ

ớ

Bài 6: Cho hình chóp SABC có đáy ABCD là hình bình hành và SABCD = 3 và góc gi a 2 ữ ườ đ

o, các c nh bên nghiêng đ u v i đáy 1 góc 45

ng chéo b ng 60

Tính VSABCD . Đs:

3 3

Bài 7: Cho hình chóp SABC có SA = SB = SC = a. ASB = 60o, BSC = 90o,

ứ

CSA = 120o.Ch ng minh r ng ∆ABC vuông .Tính V ằ

SABC . Đs:

a 2 12

ạ

: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh 2a, SA = a ,SB=

ẳ

ầ ượ

ủ

ể

và ạ

G i M,N l n l

t là trung đi m c a các c nh

ặ ố

Bài 8 ọ ặ m t ph ng (SAB) vuông góc m t ph ng đáy. ể AB.BC.Tính theo a th tích kh i chóp S.BMDN

Đs:

v S BMDN

ạ

ề

ụ ứ

ằ

ạ

ể

ỉ ố ể

ụ

ề ầ

t là trung đi m c a BC, CC’, C’A’. Tính t s th tích hai ph n lăng tr

ặ

ẳ

ặ

ạ

ọ

ủ

ứ

ể

ớ

Bài 9: Cho lăng tr đ ng tam giác đ u ABCA’B’C’ có c nh đáy và c nh bên đ u b ng a. M, ủ ầ ượ do N, E l n l ạ (MNE) t o ra. Đs: k = 1 ạ ề Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông c nh a,m t bên SAD là tam giác đ u và ủ ể ầ ượ ớ ằ n m trong m t ph ng vuông góc v i đáy .G i M,N l n l t là trung đi m c a các c nh ố ứ ệ di n CMNP. SB,BC,CD.Ch ng minh AM vuông góc v i BP và tính th tích c a kh i t a