Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Chia sẻ: Tran Van Tam Tam | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

Thêm vào BST

Báo xấu

1.399
lượt xem 73
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo - Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Chủ đề:

Bình luận(1) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

§2. Tæ soá löôïng giaùc cuûa goùc nhoïn Vaøo khoaûng 200 naêm tröôùc coâng nguyeân. Ô-ra-toâ-xten, moät nhaø toaùn hoïc vaø thieân vaên hoïc Hi Laïp ñaõ öôùc löôïng ñöôïc “chu vi” cuûa Traùi Ñaát nhôø vaøo hai quan saùt sau: 1) Moät ngaøy trong naêm, oâng ta ñeå yù thaáy Maët Trôøi chieáu thaúng caùc ñaùy gieáng ôû thaønh phoá Xy-en (nay goïi laø Ac-su-an), töùc laø tia saùng chieáu thaúng ñöùng. 2) Cuøng luùc ñoù ôû thaønh phoá A-lieeec-xan-dri-a caùch Xy-en 800km, moät thaùp cao 25m coù boùng treân maët ñaát daøi 3,1m. Ô-ra-toâ-xten ñaõ öôùc löôïng “chu vi” Traùi Ñaát nhö theá naøo? C B A S O Hình 14 1. Khaùi nieäm tæ soá löôïng giaùc cuûa moät goùc nhoïn a) Ñaët vaán ñeà Ta ñaõ bieát hai tam giaùc vuoâng coù cuøng goùc nhoïn α thì ñoàng daïng vôùi nhau, do ñoù tæ soá cuûa caùc caëp caïnh töông öùng cuûa chuùng baèng nhau. Chaúng haïn (xem hình 15), hai tam giaùc ABC, A’B’C’ vuoâng taïi A vaø A’, coù B = B ' = α . 108
A A’ α α B C’ C B b) a) Hình 15 Do ñoù ΔABC ~ ΔA’B’C’, vì vaäy ta coù caùc caëp tæ soá baèng nhau nhö sau: AB A ' B ' AC A ' C ' AC A ' C ' AB A ' B ' = = = = ; ; ; ;... BC B ' C ' BC B ' C ' AB A ' B ' AC A ' C ' Vaäy moïi tam giaùc ABC vuoâng taïi A, coù B = α luoân coù caùc tæ AB AC AB AC soá khoâng ñoåi, khoâng phuï thuoäc vaøo töøng , , , BC BC AC AB tam giaùc. Tuy nhieân chuùng phuï thuoäc vaøo ñoä lôùn cuûa goùc α. b) Ñònh nghóa Ta nhaéc laïi caùc khaùi nieäm caïnh keà, caïnh ñoái cuûa moät goùc trong tam giaùc. Xeùt goùc nhoïn B cuûa tam giaùc vuoâng ABC (h.16). A Ca ïn h ái ke ño á ïn h Ca α Caïnh huyeàn C B Hình 16 • AB ñöôïc goïi laø caïnh keà cuûa goùc B. • AC ñöôïc goïi laø caïnh ñoái cuûa goùc B. Cho goùc nhoïn α. Döïng moät tam giaùc vuoâng coù moät goùc nhoïn α. Caïnh keà vaø caïnh ñoái noùi tôùi trong ñònh nghóa döôùi ñaây laø cuûa goùc α. Ñònh nghóa : Tæ soá giöõa caïnh ñoái vaø caïnh huyeàn ñöôïc goïi laø sin cuûa goùc α, kí hieäu sinα. Tæ soá giöõa caïnh keà vaø caïnh huyeàn ñöôïc goïi laø coâsin cuûa goùc α, kí hieäu cosα. 109
Tæ soá giöõa caïnh ñoái vaø caïnh keà ñöôïc goïi laø tang cuûa goùc α, kí hieäu tgα, (hay tan α). Tæ soá giöõa caïnh keà vaø caïnh ñoái ñöôïc goïi laø coâtang cuûa goùc α, kí hieäu cotg α (hay cotα). Nhö vaäy: ñoái keà ; sin α = co s α = huyeàn huyeàn ñoái keà ; tgα = cot gα = keà ñoái 2. Tæ soá löôïng giaùc cuûa hai goùc phuï nhau : Ta coù theå chöùng minh deã daøng caùc ñaúng thöùc sau : sin α = cos β ; cosα = sinβ tgα = cot g β ; cot gα = tg β Nhö vaäy ta coù baûng tæ soá löôïng giaùc cuûa caùc goùc ñaëc bieät sau ñaây : Caùc em coù theå döïa vaøo nöûa tam giaùc ñeàu ôû treân vaø tam giaùc vuoâng caân ñeå suy ra caùc giaù trò ôû baûng treân (tröôøng hôïp 0o vaø 90o laø tröôøng hôïp ñeå tham khaûo theâm) Ñònh lí: Neáu hai goùc phuï nhau thì sin goùc naøy baèng cos goùc kia, tang goùc nay baèng coâtang goùc kia. 110
Coù theå em chöa bieát Baát ngôø veà côõ giaáy thöông maïi A4 (21cm × 29,7cm). • Tæ soá giöõa chieàu daøi vaø chieàu roäng cuûa tôø giaáy A4 xaáp xæ baèng 2 . • Giaû söû tôø giaáy A4 ñöôïc minh hoaï baèng hình 23. Neáu gaáp tôø giaáy theo caùc ñöôøng thaúng AC vaø BI thì ta seõ coù moät goùc vuoâng! D A I K B C Hình 23 • Neáu gaáp tôø giaáy theo ñöôøng phaân giaùc BM cuûa goùc ABC, sau ñoù gaáp tieáp theo ñöôøng phaân giaùc BN cuûa goùc ABM (h.24) thì ñieåm M seõ truøng vôùi ñieåm A! N D A M B C Hình 24 111
Baèng hieåu bieát cuûa mình, em coù theå giaûi thích ñöôïc caùc ñieàu lí thuù naøy ñaáy. Baøi taäp 17. Laäp caùc tæ soá löôïng giaùc cuûa goùc 34o baèng caùch veõ moät tam giaùc vuoâng coù goùc nhoïn 34o. Giaûi Ta coù : AB sin 340 = BC AC cos 340 = BC AB tg 340 = AC AC c otg 340 = AB 18. Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi C, trong ñoù AC = 0,90m, BC = 1,20m. Tính caùc tæ soá löôïng giaùc cuûa goùc B, töø ñoù suy ra caùc tæ soá löôïng giaùc cuûa goùc A. Giaûi AC 0,9 3 Theo ñeà baøi : tg B = = = BC 1, 2 4 ⇒ B ≈ 37 0 Maø A + B = 900 neân A ≈ 530 19. Haõy bieán ñoåi caùc tæ soá löôïng giaùc sau ñaây thaønh tæ soá löôïng giaùc cuûa caùc goùc nhoû hôn 45o. sin60o, cos75o, sin52o30’, cotg82o, tg80o. Giaûi sin 60 = sin(90 − 30 ) = cos 300 0 0 0 cos 750 = cos(900 − 150 ) = sin150 sin 52030 ' = sin 52,50 = sin(900 − 37,50 ) = cos 37,50 cot g 820 = cot g (900 − 80 ) = tg 80 tg 800 = tg (900 − 100 ) = cot g100 112
Luyeän taäp 20. Döïng goùc nhoïn α bieát raèng : 1 3 a) sin α = b) cos α = 0, 4 c) tgα = 3 5 Giaûi a) Caùch döïng : - Döïng goùc vuoâng xAy = 90o - Treân tia Ay , laáy ñieåm B sao cho AB = 1 - Döng ñöôøng troøn taâm B , baùn kính 3 , ñöôøng troøn caét Ax taïi ∧ ∧ 1 ñieåm C , noái BC ta ñöôïc ACB thoaû sin ACB = 3 1 Chöùng minh : thaät vaäy sin C = sin α = 3 Töông töï , caùc em coù theå tìm hieåu vaø giaûi ñöôïc caâu b) vaø c) 21. Söû duïng ñònh nghóa caùc tæ soá löôïng giaùc cuûa moät goùc nhoïn ñeå höùng minh raèng : vôùi caùc goùc nhoïn α tuyø yù , ta coù : a) sin α < 1 ; cos α < 1 sin α cos α b) tgα = ; cot gα = ; tgα .cot gα = 1 cos α sin α c) sin 2 α + cos 2 α = 1 Gôïi yù caâu c) : duøng ñònh lyù Pitago . Giaûi 113
AC AB a) Ta coù : sin α = ; cos α = maø vì AB , AC ñeàu nhoû BC BC hôn BC (BC laø caïnh huyeàn) neân sin α < 1 ; cos α < 1 AC AC BC sin α b) Ta coù : tgα = = = AB AB cos α BC AB AB BC cos α Töông töï cotgα = = = AC AC sin α BC sin α cos α ⇒ tgα .cot gα = =1 . cos α sin α AC 2 AB 2 c) sin α = ; cos α = 2 2 BC 2 BC 2 AB 2 + AC 2 BC 2 ⇒ sin α + cos α = = =1 2 2 BC 2 BC 2 22. Caïnh huyeàn cuûa moät tam giaùc vuoâng coù moät goùc 60o laø 8. Haõy tìm ñoä daøi cuûa ñoái dieän vôùi goùc 60o. Giaûi Ta coù BC = 8 ⇒ HC = 4 (vì BCH laø nöûa tam giaùc ñeàu) 2 ⎛ BC ⎞ BC 3 =4 3. HB = BC − HC = BC − ⎜ ⎟= 2 2 2 ⎝2⎠ 2 23. Tìm x trong hình 25 114
x o 45 20 21 Hình 25 Giaûi Do ABC = 450 vaø AHB = 900 neân tam giaùc ABH laø tam giaùc vuoâng caân Do ñoù AH = BH = 20 Ta laïi coù : Theo Pytago : x = AH 2 + HC 2 = 212 + 202 = 841 = 29 24. Haõy tìm cosα vaø tgα, neáu 3 40 a) sinα = b) sinα = c) sinα = 0,8. 5 41 Giaûi a) Ta coù sin 2 a + cos 2 a = 1 ⇒ cos a = 1 − sin 2 a (vì a laø goùc nhoïn neân cosa > 0 ) 2 ⎛ 3⎞ 16 4 Vaäy sin cos a = 1 − ⎜ ⎟ = = 2 ⎝5⎠ 25 5 3 sin a 5 3 tga = == cos a 4 4 5 Caùch laøm töông töï ñoái vôùi caâu b) vaø c) , caùc em coù theå töï giaûi 115
Coù theå em chöa bieát SÖÏ RA ÑÔØI CUÛA PHEÙP TOAÙN LÖÔÏNG GIAÙC Löôïng giaùc ra ñôøi trong quaù trình xaây döïng kim töï thaùp vaø söï quan saùt thieân vaên. Kim töï thaùp laø ñieàu thuù vò ñoái vôùi chuùng ta : haàu nhö taát caû caùc maët cuûa noù ñeàu taïo ra moät goùc töø 500 ñeán 550 vôùi beà maët neân. Trong baûn vieát tay cuûa Rhind, ngöôøi ta tìm thaáy coâng thöùc veà tyû soá cuûa phaân nöûa caïnh ñaùy so vôùi chieàu cao cuûa kim töï thaùp. Ñoái vôùi moät caïnh 360 saûi tay vaø moät chieàu cao 250 saûi tay, vieân thö kyù chæ ra 111 ñöôïc toång caùc phaân soá, vôùi lôøi ghi cuûa chuùng toâi : . Tyû soá ++ 2 5 50 naøy nghòch ñaûo vôùi tang 54,20 . Ñoä lôùn cuûa tyû soá nhö theá naøy raát quan troïng ñoái vôùi nhöõng ngöôøi xaây döïng kim töï thaùp bôûi vì hoï caàn tính toaùn chính xaùc ñeå gheùp nhöõng khoái ñaù lieân tieáp nhau. Veà phöông dieän naøy, nhöõng nhaø thieân vaên hoïc xöù Babylone theá kyû IV vaø V tröôùc coâng nguyeân, ñaõ tích luõy löôïng lôùn döõ lieäu thieân vaên vaø nhöõng nhaø thieân vaên hoïc xöù Babylone naøy ñaõ saép xeáp vieäc söû duïng nhöõng haèng soá goùc naøy (soá nghòch ñaûo cuûa tg moät goùc naøo ñoù) thaønh moät baûng ñöôïc khaéc treân baûng Plimton 322. Ngöôøi Hi Laïp ñaõ lôïi duïng nhöõng thaønh töïu cuûa nhöõng nhaø thieân vaên xöù babylone vaø tieáp tuïc nghieân cöùu nhöõng moái quan heä giöõa nhöõng goùc ôû taâm ñöôøng troøn vôùi chieàu daøi daây cung bò chaén. Neáu trong nhöõng quyeån saùch cuûa Euclide, ngöôøi ta tìm ñöôïc raát ít nhöõng pheùp toaùn löôïng giaùc, thì ngöôïc laïi , hai nhaø toaùn hoïc Hi Lap ñaõ söû duïng nhöõng moái quan heä goùc daây cung ñoù laø Eratostheøne de Cyrene (khoaûng 275 – 195 tröôùc CN) vaø Aristanque de Samos (khoaûng 310 – 230 tröôùc CN). Ngöôøi ñaàu tieân trong soá hoï ñaõ cho raèng chu vi Traùi Ñaát vaøo khoaûng 250000 stades (ñv ño), lôùn hôn moät chuùt so vôùi thöïc teá. Ngöôøi thöù hai ñaõ thieát laäp ñöôïc nhöõng tyû soá löôïng giaùc vaø ñaëc bieät, oâng ñaõ phaùt bieåu raèng tyû soá khoaûng caùch töø Traùi Ñaát ñeán Maët Traêng so vôùi khoaûng caùch töø Traùi Ñaát ñeán Maët 1 1 Trôøi vaøo khoaûng töø ñeán . 20 18 Moät theá kyû sau, Hipparque de Niceùe (khoaûng 180 – 125 tröôùc Cn) ñaõ söû duïng moät caùch heä thoáng moät ñöôøng troøn 3600 vaø chia nhoû noù ra, thöøa höôûng töø ngöôøi xöù Babylone, vaø oâng ñaõ döïng neân baûng coâng thöùc veà daây cung bieàu dieãn cho baûng coâng thöùc veà sin cuûa goùc. 116
Nhöõng nhaø toaùn hoïc xem Hipparque de Niceùe nhö laø cha ñeû cuûa caùc pheùp toaùn löôïng giaùc. Söï ño ñaït ñaàu tieân veà moät cung cuûa kinh tuyeán bôûi Eratostheøne (khoaûng 230 tröôùc CN). Asyøene (S), ngaøy nay laø Assounan, vaøo ngaøy 21 thaùng 6, Maët trôøi, vaøo luùc leân cao nhaát , phaûn xaï döôùi ñaùy gieáng thaúng ñöùng. Vaøo ñuùng ngaøy naøy, ôû Alexandrie (A), söï ño ñaïc veà chieàu daøi nhoû nhaát cuûa boùng Aa moät coät thaùp thaúng ñöùng AB cho pheùp xaùc ñònh ñöôïc ∧ ∧ goùc aBA cuõng chính laø goùc AOS bôûi leõ caùc tia saùng maët trôøi gaàn nhö laø song song vôùi nhau. Eùratostheøne öôùc löôïng cung SA vaøo 1 khoaûng so vôùi kinh tuyeán Traùi Ñaát. Maø khoaûng caùch töø Syøene 50 ñeán Alexandie vaøo khoaûng 5000 stades, ñieàu ñoù cho thaáy chu vi Traùi Ñaát khoaûng 250000 stades. 117
BAØI TAÄP TÖÏ GIAÛI Baøi 1 BC Cho tam giaùc ABC coù caùc goùc nhoïn vaø ñöôøng cao AH = . 2 Chöùng minh raèng : cotgB + cotgC = 2. Baøi 2 Döïa vaøo coâng thöùc sin 2 x + cos 2 x = 1 . Chöùng minh : sin4x +cos4x = 1 – 2 sin2x.cos2x Baøi 3 Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi A. B b a/Chöùng ming raèng tg = 2 a+c b/ Caùc em haõy ñöa ra moät coâng thöùc khaùc töông töï , 2b 2 c 2 c/ la = (la laø ñoä daøi phaân giaùc trong cuûa goùc A) 2 (b + c) 2 Baøi 4 Cho tam giaùc coù 3 goùc nhoïn a b c a/ Chöùng minh raèng : = = sin A sin B sin C 1 b/ Chöùng minh raèng : S = bcsinA 2 118