108
§2. Tæ soá löôïng giaùc cuûa goùc nhoïn
Vaøo khoaûng 200 naêm tröôùc coâng nguyeân. Ô-ra-toâ-xten, moät
nhaø toaùn hoïc vaø thieân vaên hoïc Hi Laïp ñaõ öôùc löôïng ñöôïc “chu
vi” cuûa Traùi Ñaát nhôø vaøo hai quan saùt sau:
1) Moät ngaøy trong naêm, oâng ta ñeå yù thaáy Maët Trôøi chieáu thaúng
caùc ñaùy gieáng ôû thaønh phoá Xy-en (nay goïi laø Ac-su-an), töùc laø
tia saùng chieáu thaúng ñöùng.
2) Cuøng luùc ñoù ôû thaønh phoá A-lieeec-xan-dri-a caùch Xy-en
800km, moät thaùp cao 25m coù boùng treân maët ñaát daøi 3,1m.
Ô-ra-toâ-xten ñaõ öôùc löôïng “chu vi” Traùi Ñaát nhö theá naøo?
O
BC
S
A
Hình 14
1. Khaùi nieäm tæ soá löôïng giaùc cuûa moät goùc nhoïn
a) Ñaët vaán ñeà
Ta ñaõ bieát hai tam giaùc vuoâng coù cuøng goùc nhoïn α thì ñoàng
daïng vôùi nhau, do ñoù tæ soá cuûa caùc caëp caïnh töông öùng cuûa
chuùng baèng nhau. Chaúng haïn (xem hình 15), hai tam giaùc ABC,
A’B’C’ vuoâng taïi A vaø A’, coù
l
l
'BB
α
=
=.
109
BC
A
a)
α
C’B
A’
b)
α
Hình 15
Do ñoù ΔABC ~ ΔA’B’C’, vì vaäy ta coù caùc caëp tæ soá baèng nhau
nhö sau:
'' '' '' ''
;;;;...
'' '' '' ''
AB A B AC A C AC A C AB A B
BC B C BC B C AB A B AC A C
====
Vaäy moïi tam giaùc ABC vuoâng taïi A, coù
l
B
α
=
luoân coù caùc tæ
soá ,,,
A
BACABAC
BC BC AC AB khoâng ñoåi, khoâng phuï thuoäc vaøo töøng
tam giaùc. Tuy nhieân chuùng phuï thuoäc vaøo ñoä lôùn cuûa goùc α.
b) Ñònh nghóa
Ta nhaéc laïi caùc khaùi nieäm caïnh keà, caïnh ñoái cuûa moät goùc trong
tam giaùc. Xeùt goùc nhoïn B cuûa tam giaùc vuoâng ABC (h.16).
A
CB
Caïnh huyeàn
Caïnh keá
Caïnh ñoái
α
Hình 16
• AB ñöôïc goïi laø caïnh keà cuûa goùc B.
• AC ñöôïc goïi laø caïnh ñoái cuûa goùc B.
Cho goùc nhoïn α. Döïng moät tam giaùc vuoâng coù moät goùc nhoïn
α. Caïnh keà vaø caïnh ñoái noùi tôùi trong ñònh nghóa döôùi ñaây laø
cuûa goùc α.
Ñònh nghóa :
Tæ soá giöõa caïnh ñoái vaø caïnh huyeàn ñöôïc goïi laø sin cuûa goùc α,
kí hieäu sinα.
Tæ soá giöõa caïnh keà vaø caïnh huyeàn ñöôïc goïi laø coâsin cuûa goùc α,
kí hieäu cosα.
110
Tæ soá giöõa caïnh ñoái vaø caïnh keà ñöôïc goïi laø tang cuûa goùc α, kí
hieäu tgα, (hay tan α).
Tæ soá giöõa caïnh keà vaø caïnh ñoái ñöôïc goïi laø coâtang cuûa goùc α,
kí hieäu cotg α (hay cotα).
Nhö vaäy:
sin
α
=ñoái
hu
eàn ; sco
α
=keà
hu
y
eàn
tg
α
=ñoái
keà ; cot g
α
=keà
ñoái
2. Tæ soá löôïng giaùc cuûa hai goùc phuï nhau :
Ta coù theå chöùng minh deã daøng caùc ñaúng thöùc sau :
sin cos ; cos sin
tg cot ; cotggtg
α
βαβ
α
βαβ
=
=
==
Nhö vaäy ta coù baûng tæ soá löôïng giaùc cuûa caùc goùc ñaëc bieät sau
ñaây :
Caùc em coù theå döïa vaøo nöûa tam giaùc ñeàu ôû treân vaø tam giaùc
vuoâng caân ñeå suy ra caùc giaù trò ôû baûng treân (tröôøng hôïp 0o vaø
90o laø tröôøng hôïp ñeå tham khaûo theâm)
Ñònh lí: Neáu hai goùc phuï nhau thì sin goùc naøy baèng cos goùc
kia, tang goùc nay baèng coâtang goùc kia.
111
Coù theå em chöa bieát
Baát ngôø veà côõ giaáy thöông maïi A4 (21cm × 29,7cm).
• Tæ soá giöõa chieàu daøi vaø chieàu roäng cuûa tôø giaáy A4 xaáp xæ
baèng 2.
• Giaû söû tôø giaáy A4 ñöôïc minh hoaï baèng hình 23. Neáu gaáp tôø
giaáy theo caùc ñöôøng thaúng AC vaø BI thì ta seõ coù moät goùc
vuoâng!
K
Hình 23
BC
D
A
I
• Neáu gaáp tôø giaáy theo ñöôøng phaân giaùc BM cuûa goùc ABC, sau
ñoù gaáp tieáp theo ñöôøng phaân giaùc BN cuûa goùc ABM (h.24) thì
ñieåm M seõ truøng vôùi ñieåm A!
M
Hình 24
BC
D
AN
112
Baèng hieåu bieát cuûa mình, em coù theå giaûi thích ñöôïc caùc ñieàu lí
thuù naøy ñaáy.
Baøi taäp
17. Laäp caùc tæ soá löôïng giaùc cuûa goùc 34o baèng caùch veõ moät tam
giaùc vuoâng coù goùc nhoïn 34o.
Giaûi
Ta coù :
0
0
0
0
sin 34
cos 34
34
c34
A
B
BC
A
C
BC
A
B
tg AC
A
C
otg
A
B
=
=
=
=
18. Cho tam giaùc ABC vuoâng taïi C, trong ñoù AC = 0,90m,
BC = 1,20m. Tính caùc tæ soá löôïng giaùc cuûa goùc B, töø ñoù suy ra
caùc tæ soá löôïng giaùc cuûa goùc A.
Giaûi
Theo ñeà baøi :
l
0,9 3
1, 2 4
AC
tg B BC
===
l
0
37B⇒≈
Maø
ll
0
90AB+= neân
l
0
53A≈
19. Haõy bieán ñoåi caùc tæ soá löôïng giaùc sau ñaây thaønh tæ soá löôïng
giaùc cuûa caùc goùc nhoû hôn 45o.
sin60o, cos75o, sin52o30’, cotg82o, tg80o.
Giaûi
000 0
sin 60 sin(90 30 ) cos30=−=
0000
75 cos(90 15 ) sin15cos =−=
00000
sin 52 30' sin 52,5 sin(90 37,5 ) cos37,5==−=
0000
cot 82 cot (90 8 ) 8gg tg=−=
000 0
80 (90 10 ) cot 10tg tg g=−=