Chương 1: TÍCH PHÂN BỘI (MULTIPLE INTEGRALS)
1.1 TÍCH PHÂN KÉP TRÊN HÌNH CHỮ NHẬT (DOUBLE INTEGRALS OVER RECTANGLES)
CÁC ĐƯỜNG BẬC HAI VÀ MẶT BẬC HAI (QUADRATIC CURVES & SURFACES)
2
2
ax
bxy 2
cy
dx
ey
f
0
Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, đường bậc hai là đường có phương trình dạng:
trong đó a, b, c, d, e, f là các số thực.
2
2
2
ax
by
cz
2
dxy
2
exz
2
fyz
gx hy
kz m
0
Trong hệ tọa độ vuông góc Oxyz, mặt bậc hai là mặt có phương trình dạng:
trong đó a, b, c, d, e, f, g, h, k, m là các số thực.
2
2
Sau đây ta nhắc lại các đường và mặt bậc hai cơ bản:
1
2
2
x a
y b
2
2
(đường elip) (1)
1
2
2
x a
y b
2
(đường hyperbol) (2)
y
2
px
2
2
2
(3) (đường parabol)
1
2
2
2
x a
y b
z c
2
2
2
(mặt elipcoid) (4)
1
2
2
2
x a
y b
z c
2
2
2
(mặt hyperbolid 1 tầng) (5)
1
2
2
2
x a
y b
z c
2
2
(6) (mặt hyperbolid 2 tầng)
2
z
p q ,
*
x p
y q
2
2
(7) (mặt parabolid eliptic)
2
z
p q ,
*
x p
y q
2
2
2
(8) (mặt parabolid hyperbol)
0
2
2
2
x a
y b
z c
(9) (mặt nón)
(10) Các mặt trụ bậc hai: elip, hyperbol, parabol.
2
a b ,
c d ,
x y ,
R
a
/
x b c
,
y
d
THỂ TÍCH VÀ TÍCH PHÂN KÉP (VOLUMES AND DOUBLE INTEGRALS)
0
f x y . Đồ thị của f là mặt có phương trình:
Xét hàm hai biến f trên hình chữ nhật đóng:
z
, f x y ,
và giả sử
TCC_A3/Chương 1 _ Tích phân bội/ Trang1
Gọi S là khối nằm trên R và nằm dưới đồ thị của f :
3
S
/ 0
x y z , ,
x y ,
,
z
f x y ,
R Để tìm thể tích của S, trước tiên ta chia hình chữ nhật R thành các hình chữ nhật con, bằng cách chia khoảng
,a b thành m khoảng con
1,
x i
x i
x
có chiều rộng cùng bằng , và chia
b a m ,c d thành n khoảng con
y i
y 1,
i
y
có khoảng
d c n
y
x
x y ,
/
,
,
chiều rộng cùng bằng .
x y , i i
R ij
y i
y i
y i
x i
x i
x i
1
1
1
1
.
x y .
A
*
*
,
y ij
x ij
ij
Bằng cách vẽ các đường thẳng song song với các trục tọa độ qua các điểm biên của các khoảng con này ta sẽ thu được các hình chữ nhật:
ijR bởi một hình hộp chữ nhật có đáy là
*
*
,
R , xấp xỉ phần của S nằm ijR và . Thể tích của mỗi hộp này là
Mỗi hình chữ nhật có diện tích là Chọn điểm mẫu trên mỗi
y ij
f x ij
*
*
,
A .
y ij
f x ij
chiều cao là
m n
*
*
V
,
A
y ij
f x ij
i
1
j
1
Xấp xỉ của tổng thể tích V của S là:
m
n
*
*
V
,
A
y ij
f x ij
lim m n ,
i
1
j
1
Khi m và n càng lớn thì xấp xỉ này càng tốt, vậy:
m n
*
*
,
A
ĐỊNH NGHĨA: Tích phân kép (double integral) của hàm số f trên hình chữ nhật R là
f x y dA ,
y ij
f x ij
lim m n ,
1
1
i
j
R
, nếu giới hạn này tồn tại.
*
*
y
,
x ij
ij
)
,
Khi đó ta nói f khả tích (integrable).
ijR , nhưng nếu chọn x y ) thì tích phân kép sẽ đơn giản hơn: i
i
m n
,
A
f x y dA ,
j
f x y i
lim m n ,
i
1
j
1
R
Điểm mẫu các điểm mẫu tại góc trên, bên phải của có thể được chọn ở bất kì đâu trên hình chữ nhật ijR (điểm (
z
Vậy: Nếu
( , f x y thì thể tích V của khối nằm trên hình chữ nhật R và nằm dưới mặt f x y ,
) 0
V
f x y dA ,
R
TCC_A3/Chương 1 _ Tích phân bội/ Trang2
là:
m n
*
*
,
A
y ij
f x ij
i
1
j
1
Tổng gọi là tổng Riemann kép (double Riemann sum).
R
0, 2
0, 2
2
2
2
x
y
z
. Chia R thành bốn hình vuông bằng nhau và chọn điểm mẫu ở
16 paraboloid góc trên bên phải mỗi hình vuông
ijR .
2
2
z
16
x
2
y
Ví dụ 1: Ước lượng thể tích khối phía trên hình vuông và nằm dưới elliptic
Giải: Paraboloid là đồ thị của và diện tích của mỗi
2
hình chữ nhật là 1.
m n :
2
2
,
A
V
j
f x y i
i
1
j
1
f
A f
A f
A f
2, 2
A
1, 2
2,1
1,1
13.1 7.1 10.1 4.1 34
1
2 x dA .
R
x y ,
/ 1 1,
2
x
y
Xấp xỉ thể tích bằng tổng Riemann với
2
R
2
2
2
z
1
x
0
x
z
1 và
z
Ví dụ 2: Cho . Tính tích phân:
0
2
2 1
z
x
Giải: Vì
và trên hình chữ nhật R. Vậy:
1
2 x dA
2
2 1 .4
1 2
R
Ta tính tích phân kép như là thể tích của khối S nằm dưới hình trụ tròn
QUY TẮC TRUNG ĐIỂM (THE MIDPOINT RULE)
m n
,
A
f x y dA ,
j
f x y i
i
1
j
1
R
QUY TẮC TRUNG ĐIỂM CHO TÍCH PHÂN KÉP: (MIDPOINT RULE FOR DOUBLE INTEGRALS)
x i
x 1,
i
y i
y 1,
i
ix là trung điểm của
iy là trung điểm của
2
m n để ước lượng giá trị các tích phân sau:
2
x
R
x y ,
/ 0
x
2, 1
y
Trong đó, , .
23 y dA
2
R
,
,
,
y
. Diện tích mỗi hình chữ nhật con là
A .
với Ví dụ 3: Áp dụng quy tắc trung điểm với
x 2
y 1
2
3 2
5 4
7 4
1 2
1 2
2
2
2
x
3
,
A
j
Giải: Ta có 1 x
y dA
f x y i
i
1
j
1
R
f
A f
A f
A f
11,875
1 7 , 2 4
3 5 , 2 4
3 7 , 2 4
1 5 , 2 4
Do đó
TCC_A3/Chương 1 _ Tích phân bội/ Trang3
GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH (AVERAGE VALUE)
f
Giá trị trung bình của hàm hai biến f xác định trên hình chữ nhật R được định nghĩa:
f x y dA ,
ave
1 A R
R
f
với A(R) là diện tích của R
A R
f x y dA ,
ave
R
Nếu f (x,y) 0, phương trình có nghĩa hình hộp với đáy R, chiều
cao fave có cùng thể tích với khối nằm dưới đồ thị hàm f.
CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN KÉP (PROPERTIES OF DOUBLE INTEGRALS)
,
Giả sử tất cả các tích phân là tồn tại:
f x y ,
g x y dA
f x y dA ,
R
R
,
1.
cf x y dA c
f x y dA ,
R
R
g x y dA , .
,
x y ,
R
2. (c là hằng số)
thì
f x y dA ,
f x y ,
g x y ,
R
R
3. Nếu
R
a b ,
c d ,
1.2 TÍCH PHÂN LẶP (ITERATED INTEGRALS)
d
Giả sử f là hàm hai biến khả tích trên hình chữ nhật .
f x y dy ,
c
d
,
Kí hiệu là tích phân riêng (partial integral) theo biến y (cố định x trong hàm
d ). Khi đó
c đến y
f x y dy ,
f x y , lấy tích phân theo biến y từ y
c
phụ thuộc vào x,
A x
f x y dy ,
c
ta xem: d
b
d
b
,
f x y dy dx
A x dx
a
c
a
A x theo biến x từ x = a đến x = b ta được:
Lấy tích phân hàm
Tích phân bên phải của phương trình trên gọi là tích phân lặp (iterated integrals).
d
b
b d
Ta có thể viết:
f x y dydx
f x y dy dx
a
c
a c
, ,
b
d
d b
Tương tự, tích phân lặp
f x y dxdy
f x y dx dy
a
c
c a
, ,
2 3
3 2
(a)
2 x ydydx
(b)
2 x ydxdy
1 0
0 1
TCC_A3/Chương 1 _ Tích phân bội/ Trang4
Ví dụ 1: Tính các tích phân lặp sau:
2
2
2
2
2
2 x ydy
x
x
.
y 2
3 2
1
1
3
3 2
2
3
3
3
2 x ydydx
2 x ydy dx
2 x dx
Giải: (a) Xem x như hằng số, ta có
3 2
x 2
27 2
0 1
0
1
0
0
x
3
2 3
2
3
2
2
2 x ydxdy
2 x ydx dy
dy
9
ydy
Vậy:
3 x y 3
27 2
1 0
1
0
1
1
x
0
a b ,
R
c d ,
x y ,
/
a
x b c
,
y d
(b) Tương tự: .
d b
b d
,
,
f x y dA ,
f x y dydx
f x y dxdy
R
c a
a c
Nếu f liên tục trên hình chữ nhật thì: ĐỊNH LÍ FUBINI (FUBINI’S THEOREM):
Điều này vẫn đúng cho trường hợp f bị chặn trên miền R, f chỉ gián đoạn tại một
x
R
x y ,
/ 0
x
2, 1
y
số hữu hạn điểm trên đường cong trơn và các tích phân lặp tồn tại.
23 y dA
2
R
Ví dụ 2: Tính tích phân kép với .
y
2
2
2
2 2
2
2
3
x
3
x
3
xy
y
dx
x
7
dx
12
y dA
y dydx
0
0
0 1
R
y
1
2
z
16
Giải: Sử dụng định lý Fubini:
2
2
z
16
x
2
y
Ví dụ 3: Tính thể tích khối S bị chặn bởi elliptic paraboloid 22 x y , các mặt phẳng x = 2 , y = 2 và ba mặt phẳng tọa độ.
và trên hình
2 2
2
2
V
x
2
x
2
48
16
2 y dA
16
2 y dxdy
R
0 0
Giải: Ta có S là khối nằm dưới mặt chữ nhật R = [0, 2] [0, 2]. Ta có:
R
a b ,
c d ,
f x y ,
g x h y
b
f x y dA ,
R
a
d g x dx h y dy c
x sin cos
ydA
Đặc biệt, nếu và thì:
R
0,
0,
,
x sin cos
y
f x y ,
2
2
R
2
2
x sin cos
ydA
sin
xdx
cos
ydy
cos
x
y
1.1 1
Ví dụ 4: Cho . Tính .
. sin
2 0
2 0
0
0
R
TCC_A3/Chương 1 _ Tích phân bội/ Trang5
Giải:
1.3 TÍCH PHÂN KÉP TRÊN MIỀN TỔNG QUÁT (DOUBLE INTEGRALS OVER GENERAL REGIONS)
D
x y ,
/
a
y
,
Một miền phẳng D gọi là loại I nếu nó nằm giữa hai đồ thị của hai hàm liên tục theo biến x:
x b g x ,
1
g x 2
g x 1
2
g x là các hàm liên tục trên
,a b
với
f x y dA ,
D
,
.
Để tính với D là miền loại I, ta chọn hình chữ nhật
R
a b ,
c d ,
F x y
, x y ,
f x y , 0,
x y D , R D \
b d
F x y dA ,
,
chứa D và đặt
f x y dA ,
F x y dydx .
D
R
a c
0
,
y
hay
y
g
Ta có:
F x y với
x
g x 1
2
g
d
2
F x y dy ,
F x y dy ,
f x y dy ,
c
g x 2 g x 1
x g x 1
,
,
y
g
Vì nên
F x y
f x y ,
x
g x 1
2
D
x y ,
y
g
(vì )
x b g x ,
1
2
x
b
,
f x y dA ,
f x y dydx
D
a / g x 2 a g x 1
y
x y ,
D
c
/
,
x h y 2
d h y 1
Nếu f liên tục trên miền D loại I: thì:
Các miền phẳng loại II là các miền biểu diễn dưới dạng
x y ,
D
c
/
,
x
d h y 1
h y 2
Tương tự ta có:
d
,
Nếu f liên tục trên miền D loại II
f x y dA ,
f x y dxdy
D
y h y 2 c h y 1
TCC_A3/Chương 1 _ Tích phân bội/ Trang6
thì
x
2 y dA
D
2
2
y
2
x
và
y
1
x
Ví dụ 1: Tính ,
2
2
2
x
1
x
x
với D là miền bị chặn bởi .
1.
Giải: Giao điểm của các parabola:
2
2
D
x y ,
/ 1
x
1, 2
x
1
y
x
Miền D là miền loại I được xác định:
2
1 1
x
1
1
2
y
1
x
2
4
3
2
Khi đó:
2
y dydx
1
y
2
x
2
D
1
1
1
2
x
2
2
x
z
x x 2 xy y dx 3 x x 2 x x dx y dA 2 32 15
và ở phía và x y 2
y Ví dụ 2: Tính thể tích khối nằm dưới paraboloid trên miền D thuộc mặt phẳng Oxy bị chặn bởi đường thẳng parabola y = x2.
D
x y ,
/ 0
y
4,
y
x
y
1 2
y
4
2
2
2
2
Giải: Miền D là miền loại II, được xác định:
V
x
x
y dA
y dxdy
216 35
D
y
10 2
2
y
x
x y ,
2,
/ 0
D
x
Thể tích cần tìm: .
2 2
x
2
2
2
2
V
x
x
y dA
y dydx
2
216 35
D
0
x
. Khi đó thể tích cần tìm là: Lưu ý: Với bài toán này, ta có thể xem miền D là miền loại I được xác định: x 2
Nhận xét: Khi tính tích phân kép, không phải lúc nào ta cũng luôn có thể tùy ý áp dụng cả hai cách tính như ví dụ trên. Đôi khi ta phải vận dụng linh hoạt cả hai công thức theo nghĩa: đổi thứ tự lấy tích phân sao cho miền lấy tích phân vẫn biểu diễn được và các tích phân lặp được tính dễ hơn.
ĐỔI THỨ TỰ LẤY TÍCH PHÂN
D
x y ,
/
a
y
1
x y ,
/
c
y
,
x
x b g x , d h y 1
g x 2 h y 2
b
d
,
,
Nếu f liên tục trên miền D, trong đó D vừa là miền loại I vừa là miền loại II:
f x y dydx
f x y dxdy
g x 2 a g x 1
h y 2 c h y 1
TCC_A3/Chương 1 _ Tích phân bội/ Trang7
thì
1 1
2
sin
y dydx
0
x
1 1
2
2
sin
sin
Ví dụ 3: Tính tích phân lặp .
y dydx
y dA
0
x
D
D
x y ,
/ 0
x
1,
x
y
1
Giải: , với miền D được xác định như sau
2 sin y dy
Nhưng vì tích phân không
D
x y ,
/ 0
y
1, 0
x
y
y
1 1
1
2
2
2
sin
sin
sin
phải là hàm cơ bản nên ta có thể viết miền D thành miền loại II:
y dydx
y dA
y dxdy
0
x
0 0
D
x y
1
1
1
2
2
2
x
sin
y
dy
y
sin
cos
y
1 cos1
y dy
1 2
1 2
0
0
0
x
0
Khi đó:
,
g x y dA ,
CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN KÉP (PROPERTIES OF DOUBLE INTEGRALS)
f x y ,
g x y dA
f x y dA ,
D
D
D
,
1.
cf x y dA c
f x y dA ,
D
D
,
, với c là hằng số. 2.
thì
g x y dA ,
f x y ,
g x y ,
x y D ,
f x y dA ,
D
D
và D
3. Nếu .
, trong đó D D D 2 1
D 1
2
f x y dA ,
f x y dA ,
f x y dA ,
D
D 2
D 1
dA A D 1
4. Nếu không chồng lên nhau:
D
,
, A(D) là diện tích của miền D. 5.
thì ta có:
m f x y M ,
x y D ,
,
mA D
f x y dA MA D
D
x sin cos
x
6. Nếu
dA
e
D
1 sin
x
1, 1 cos
y
1 sin cos
1
x
y
Ví dụ 4: Ước lượng tích phân , với D là đĩa có tâm tại gốc và bán kính là 2.
1
1
x sin cos
x
e
e
1 e
e
Giải: Vì
22
4
1
x sin cos
x
x sin cos
x
e
.4
dA e
.4
dA
4 e
e
e
4 e
D
D
TCC_A3/Chương 1 _ Tích phân bội/ Trang8
Ta có: , nên: A D
1.4 TÍCH PHÂN KÉP TRONG TỌA ĐỘ CỰC (DOUBLE INTEGRALS IN POLAR COORDINATES)
R
r
/
a
r
b
,
,
Hình chữ nhật cực (polar rectangle) là miền có dạng .
a
r
b
,
ĐỔI TỌA ĐỘ CỰC TRONG TÍCH PHÂN KÉP (CHANGE TO POLAR COORDINATES IN A DOUBLE INTEGRALS):
b
cos , sin
r
rdrd
2
Nếu f liên tục trên hình chữ nhật cực R: 0
f x y dA ,
f r
R
a
3
x
4
với 0 thì .
2 y dA
R
2
2
2
2
x
y
1 và
x
y
Ví dụ 1: Tính , với R là miền thuộc nửa mặt phẳng trên
. 4
và bị chặn bởi các đường tròn
2
2
R
x y ,
/
y
0,1
x
y
Giải:
4
Miền R được mô tả như sau: .
R
r
/ 1
r
2, 0
,
2
2
2
2
3
x
4
y
dA
r 3 cos
4
r
sin
rdrd
R
0 1
2
15
2
4
2
3
2 r 3 cos
3 4 sin
r
drd
cos
r
sin
r
d
2 1
2
0 1
0
2
2
0
Biểu diễn hình chữ nhật cực: .
z và paraboloid
1z
x
y
2
2
Ví dụ 2: Tính thể tích khối bị chặn bởi mặt phẳng .
x
y
. 1
2
2
Giải: Giao của paraboloid với mặt phẳng Oxy là đường tròn
x
y
. 1
D
r
/ 0
r
1, 0
Vậy khối nằm dưới paraboloid và trên đĩa tròn D có pt:
,
2
2
2
2
Trong tọa độ cực: .
1
x
y
nên thể tích là:
1
r
2
1
2
2
2
V
x
y
dA
r
rdrd
1
1
2
D
0 0
,
r
D
/
,
r
h 1
h 2
cos , sin
r
rdrd
Vì
f x y dA ,
f r
R
h
thì Nếu f liên tục trên miền cực có dạng h 2 h 1
f x y ,
h 1, 1
h 0, 2
dA 1
rdrd
d
h
,
, r
h
Đặc biệt, nếu ta có diện tích miền D giới hạn bởi
A D
2
h
1 2
0
D
TCC_A3/Chương 1 _ Tích phân bội/ Trang9
là .
cos 2
r
.
Ví dụ 3: Dùng tích phân kép tính diện tích một cánh của hình hoa hồng bốn cánh (four-leaved rose) với phương trình trong tọa độ cực:
D
r
/
, 0
r
cos 2
,
Giải: Ta có một cánh của hoa hồng xác định trên miền:
4
4 c /4 os2
rdrd
dA
A D
8
D
/4
0
2
2
. Diện tích:
z
x
y
2
2
, trên mặt phẳng Oxy và bên
2
y
x
. Ví dụ 4: Tính thể tích khối nằm dưới paraboloid x trong hình trụ
2
2
2
x
y
x 2
y
1
2
2
r
2cos
Giải: Khối nằm trên đĩa D, đường tròn biên của nó có phương trình:
r cos
2 x 1 2 và x r
x
y
, biên của đường tròn trở thành .
D
r
/
1, 0
r
2cos
,
2
2
Trong tọa độ cực ta có Vậy đĩa D:
2 cos
2
2
2
V
x
2 r rdrd
y dA
3 2
D
0
2
Thể tích cần tìm là
1.5 ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN KÉP (CHANGE VARIABLE IN DOUBLE INTEGRALS)
Xét một phép biến đổi (transformation) T từ (Ouv) đến (Oxy):
T (u, v) = (x, y)
với x = g(u,v), y = h(u,v) T là phép biến đổi C1 nếu g và h có các đạo hàm riêng cấp 1 liên tục.
2 .
,
T là một hàm có miền xác định và miền giá trị đều là tập con của
,x y gọi là ảnh của
T u v 1 1
x y , 1 1
1
1,u v . Nếu không có hai điểm có cùng
1
Nếu 1 ảnh thì T gọi là 1-1 (one to one).
thì
Miền R là ảnh của miền S nếu R gồm ảnh của tất cả các điểm trong S.
2
Nếu T là 1-1 thì T có phép biến đổi ngược (inverse transformation) T-1 từ (Oxy) đến (Ouv), ta có thể giải tìm u, v theo x, y: u = G(x,y) và u = H(x,y).
x u
v
2, y
uv 2
S
/ 0
u
1, 0
u v ,
v
Ví dụ 1: Cho phép biến đổi xác định bởi hệ phương trình: . Tìm ảnh của
. 1
hình vuông:
0, 0
1 u
x u
2, y
. 0
0
1
x
v Biên 1 : S
Giải: Tìm ảnh các biên của hình vuông:
TCC_A3/Chương 1 _ Tích phân bội/ Trang10
Vậy ảnh của S1 là đoạn thẳng nối (0, 0) và (1, 0) trong (Oxy).
2
2
u
1, 0
1
1
v
x
v
y ,
v 2
x
1
, 0
: một phần của parabola.
1
x
y 4
1, 0
Biên S2:
1 u
v 3 : S
2
x u
2 1,
y
u 2
x
1, -1
:
0
x
y 4
Biên
S
0, 0
đây là một phần của parabola.
1 v
u 4 :
x
v
2, y
0
1
0
x
: đây là đoạn thẳng nối (-1, 0) và (0, 0).
Biên
J
x y , u v ,
x y u v
x y v u
x u y u
x v y v
ĐỊNH NGHĨA: Định thức Jacobi của phép biến đổi T cho bởi x = g(u,v), y = h(u,v) là
ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN KÉP (CHANGE OF VARIABLES IN A DOUBLE INTEGRAL): Giả sử:
T là phép biến đổi C1 có định thức Jacobi khác 0 biến miền S trong (Ouv) thành
miền R trong (Oxy).
f liên tục trên R và R, S là các miền phẳng loại I hoặc loại II.
,
,
dudv
f x y dA ,
y u v ,
f x u v
x y , u v ,
R
S
2
x
u
v
2 ,
y
uv 2
T là 1-1, có thể trừ trên biên của S thì
ydA
2
2
y
x y 4 4 ,
x y 4 4 ,
Ví dụ 2: Đổi biến để tính tích phân , trong đó R là miền bị chặn
R . 0
bởi trục Ox và các parabola
Giải:
2
2
J
u 4
v 4
0
u 2 v 2
2 v u 2
, x y u v ,
x u y u
x v y v
1
1 1
3
ydA
uv J dA 2
8
2
v
4
2
Tính định thức Jacobi:
3 u v uv dudv
3 v dv
R
S
0
0 0
x y x y
dA
e
Vậy:
R
Ví dụ 3: Tính tích phân , trong đó R là hình thang (trapezoid) có các đỉnh (vertex)
TCC_A3/Chương 1 _ Tích phân bội/ Trang11
là (1, 0), (2, 0), (0, -2) và (0, -1).
Giải:
Dùng phép biến đổi: T: (Ouv) (Oxy):
u = x + y, v = x y
x
u v
y ,
u v
1 2
1 2
Phép biến đổi ngược: T-1: (Oxy) (Ouv):
J
, x y u v ,
1 2
x u y u
x v y v
1 2 1 2
1 2 1 2
Tính định thức Jacobi:
y
0,
x
y
2,
x
0,
x
y 1
Để tìm miền S trong (Ouv) tương ứng với miền R, ta để ý biên của R nằm trên các đường thẳng:
u
v v ,
2,
u
v v ,
. 1
Các đường thẳng ảnh trong (Ouv) là:
S
u v ,
/1
v
2, -
v u
v
2
v
2
x y x y
1
1
e
dA
u e J dudv v
u e dudv v
e e
vdv
e e
Vậy S là hình thang với các đỉnh: (1, 2), (2, 2), (-2, 2) và (-1, 1):
1 2
1 2
3 4
R
S
1
v
1
Vậy: .
1.6 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN KÉP (APPLICATIONS OF DOUBLE INTEGRALS)
DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG (AREA OF DOMAIN)
dxdy
A D ( )
D
Từ định nghĩa tích phân kép ta có công thức tính diện tích miền D như sau:
f x y ( ,
) 0
, giới hạn dưới bởi mặt z = 0 và z Thể tích hình trụ cong giới hạn trên bởi mặt giới hạn xung quanh bởi mặt trụ song song trục Oz và đường chuẩn là biên miền D được tính bởi công thức:
V
f x y ( ,
)dxdy
D
z
z
)
)
THỂ TÍCH VẬT THỂ (VOLUME OF SOLID)
f x y 2 ( ,
f x y 1( ,
)
, giới hạn dưới bởi mặt
f x y ( , 2
(với ), giới hạn xung quanh bởi mặt trụ song song trục Oz và đường chuẩn là
V E (
)
)
) dxdy
f x y ( , 2
f x y ( , 1
D
TCC_A3/Chương 1 _ Tích phân bội/ Trang12
Thể tích miền E giới hạn trên bởi mặt f x y ) ( , 1 biên miền D được tính bởi công thức:
z
f x y ( ,
)
DIỆN TÍCH MẶT CONG (SURFACE AREA)
và có hình chiếu xuống mặt phẳng Oxy là
2
2
S
1
f
f
dxdy
' x
' y
D
Diện tích mặt cong S có phương trình miền D được tính bởi công thức:
x y ( ,
)
KHỐI LƯỢNG CỦA MẢNH PHẲNG (MASS OF LAMINA)
được tính
M
( ,
) dxdy
x y
D
Khối lượng của mảnh phẳng D trong mặt phẳng Oxy có khối lượng riêng bởi công thức:
x y ( ,
)
TRỌNG TÂM CỦA MẢNH PHẲNG (CENTERS OF MASS)
thì tọa độ trọng tâm của D được tính bởi
x
x y ( ,
) dxdy
y
x y ( ,
) dxdy
D
D
;
y
x 0
0
x y ( ,
) dxdy
x y ( ,
) dxdy
D
D
Nếu D là mảnh phẳng có khối lượng riêng công thức:
1.7 TÍCH PHÂN BA LỚP (TRIPLE INTEGRALS)
x b c
x y z , ,
y
z
d r ,
B
a
/
,
s
Đầu tiên, ta chia B thành các hình hộp con bằng cách chia
Ta xét trường hợp đơn giản nhất với hàm 3 biến f xác định trên hình hộp chữ nhật:
,c d
,a b thành l đoạn con
x i
x 1,
i
có độ dài bằng x , chia
y , chia
,r s thành n đoạn
thành m đoạn con có chiều rộng
z . Mặt phẳng đi qua các điểm cuối của
con có chiều rộng
những đoạn con này song song với các mặt phẳng tọa độ, chia
B
,
,
,
ijk
x i
1
x i
y i
y i
1
z i
z i
1
hình hộp B thành lmn hình hộp con
l
m
n
*
*
*
,
,
V
Mỗi hình hộp con có thể tích là: V = xyz.
y ijk
z ijk
ijk
f x
i
1
1
1
k
j
*
*
*
,
y
,
B
z
Tổng Riemann bội ba là: ,
x ijk
ijk
ijk
ijk
. với điểm mẫu
l
m n
*
*
*
,
,
,
z
V
f x y z dV ,
y ijk
ijk
ijk
f x
lim l m n , ,
i
1
j
1
k
1
B
ĐỊNH NGHĨA: Tích phân ba lớp của f trên hình hộp B là
TCC_A3/Chương 1 _ Tích phân bội/ Trang13
nếu giới hạn này tồn tại.
,
,
x y z i j
k
l
m
n
,
,
V
f x y z dV ,
j
k
f x y z , i
lim l m n , ,
i
1
j
1
k
1
B
(ở góc trên, bên phải) thì ta sẽ có biểu diễn tích phân ba lớp đơn giản hơn Ta có thể chọn điểm mẫu một cách tùy ý trong mỗi hình hộp con, nhưng nếu ta chọn điểm mẫu là
a b ,
c d ,
r s ,
B
s d b
,
,
,
f x y z dV ,
f x y z dxdydz
B
r c a
ĐỊNH LÍ FUBINI CHO TÍCH PHÂN BA LỚP (FUBINI’S THEOREM FOR TRIPLE INTEGRALS) Nếu f là hàm số liên tục trên hình hộp chữ nhật thì:
Lưu ý: Ta có thể thay đổi thứ tự lấy tích phân của các biến x, y, z.
2 xyz dV
B
B
x y z , ,
/ 0
1, 1
x
y
2, 0
z
3
Ví dụ 1: Tính tích phân ba lớp , với B là hình hộp chữ nhật cho bởi:
3 2
3
3 2 1
2
2
2
2 xyz dV
xyz dxdydz
dydz
dz
yz 2
z 3 4
27 4
0 1
0
0 1 0
B
Giải: Ta chọn tích phân với x, rồi y, rồi z, ta có
,
F x y z dV ,
,
f x y z dV ,
E
B
Bây giờ, ta định nghĩa tích phân ba lớp trên một miền bị chặn tổng quát E trong không gian 3 chiều. Chọn hình hộp chữ nhật B chứa E. Ta định nghĩa hàm F bằng f trên E và bằng 0 trên B\E. Ta có:
E
x y z , ,
x y D u x y , ,
,
,
/
1
z u x y 2
Một khối E gọi là loại I nếu nó nằm giữa đồ thị của hai hàm liên tục theo x và y:
với D là hình chiếu của E lên (Oxy).
,
2
,
,
,
f x y z dV ,
f x y z dz dA
E
,
u x y
D u x y 1
Khi đó:
E
x y z , ,
/
a
y
,
,
,
x b g x ,
1
g x 2
u x y 1
z u x y 2
Đặc biệt, nếu hình chiếu D của E lên (Oxy) là miền phẳng loại I thì:
,
g x u x y
b
2
2
,
,
,
f x y z dV ,
f x y z dzdydx
E
,
a g x u x y
1
1
TCC_A3/Chương 1 _ Tích phân bội/ Trang14
Phương trình trên sẽ trở thành
x y z , ,
y
E
c
/
,
,
,
,
d h y 1
x h y 2
u x y 1
z u x y 2
Nếu D là miền phẳng loại II, thì
,
d
h y u x y 2
2
,
,
,
f x y z dV ,
f x y z dzdxdy
,
E
c h y u x y
1
1
zdV
Và ta có:
E
Ví dụ 2: Tính , với E là khối tứ diện
x
0,
y
0,
z
0, và
x
y
z 1
(tetrahedron) bị chặn bởi bốn mặt phẳng:
Giải: Để tính tích phân bội 3 ta cần vẽ 2 miền:
miền E và hình chiếu D của E lên (Oxy).
,
0,
1
y
x
,
u x y
u x y 1
2
1
x y z , ,
x
1, 0
, 0
/ 0
E
1
x
x
y
z
y
và lưu ý giao của hai trên là mặt phẳng z = 1 – x – y. Vậy mặt phẳng z = 0 và mặt phẳng z = 1 – x – y là đường thẳng x + y = 1. Hình chiếu của E là miền tam giác. Ta có: E là miền loại I nên:
1
x y
1 1
x
1 1
x
1
2
zdV
zdzdydx
x
1
y dydx
1
3 x dx
1 2
1 6
1 24
E
0 0
0
0 0
0
x y z , ,
E
y z D u y z , ,
,
x u
y z ,
/
1
2
Biên dưới của tứ diện là mặt phẳng z = 0 và biên
2
,
,
,
Khối E là loại II nếu nó có dạng:
f x y z dV ,
f x y z dx dA
E
u y z ,
D u y z , 1
Khi đó ta có
với D là hình chiếu của E trên (Oyz).
E
x y z , ,
x z D u x z , ,
,
,
/
1
y u x z 2
2
,
,
,
Khối E là loại III nếu nó có dạng:
f x y z dV ,
f x y z dy dA
E
u x z ,
D u x z , 1
Khi đó ta có
TCC_A3/Chương 1 _ Tích phân bội/ Trang15
với D là hình chiếu của E trên (Oxz).
2
x
2 z dV
2
E 2 x
y
z
Ví dụ 3: Tính , trong đó E là miền bị chặn bởi
y . 4
paraboloid và mặt phẳng
2
2
2
y
x
z
z
y
x
Giải: Nếu ta xem khối E là loại I, ta cần xét hình chiếu D1 của nó lên (Oxy) là parabolic y = x2.
2
2
z
y
x
z
y
x
Vì nên mặt biên dưới của E là
2
2
2
E
x y z , ,
/ 2
x
2,
x
y
4,
4
x
z
4
x
và mặt trên là . Do đó miền E:
2
y x
2 4
2
2
x
2 z dV
x
2 z dzdydx
2
2
E
2
x
y x
Tích phân cần tính được viết dưới dạng:
2
2
2
2
x
y
z
z
x
. Biên trái của E là paraboloid
Tích phân này rất khó để tính.
2
2
,
x
z
,
,
4
Bây giờ ta xét E là loại III, hình chiếu D3 của E lên (Oxz) là 4 đĩa và biên phải là mặt phẳng y = 4.
, ta có:
u x z
u x z 1
2
4
2
2
2
2
2
x
2 z dV
x
4
x
z
x
2 z dA
2
2
E
x
z
D 3
D 3
2 z dy dA
Lấy
x
r
cos
và z
r
sin
2
2
4
x
2
2
2
2
2
2
2
x
2 z dV
4
x
z
x
2 z dA
4
x
z
x
2 z dzdx
2
E
D 3
2
4
x
2
2
2
2
2
4
r
rrdrd
4
r
4 r dr
128 15
0
2 d 0
0 0
Chuyển sang tọa độ cực trong (Oxz) với ta được:
1.8 TÍCH PHÂN BA LỚP TRONG TỌA ĐỘ TRỤ (TRIPLE INTEGRALS IN CYLINDRICAL COORDINATES)
r
TỌA ĐỘ TRỤ (CYLINDRICAL COORDINATES)
Trong tọa độ trụ, điểm P trong không gian 3 chiều được xác định bởi bộ ba có thứ tự z , với r, là tọa độ cực của hình chiếu của , , P lên (Oxy) và z là khoảng cách từ (Oxy) đến P.
x
r
cos ,
y
r
sin ,
z
z
Để chuyển từ tọa độ trụ sang tọa độ vuông góc ta sử dụng công thức
2
2
r
x
y
2,
tan
z
z
,
y x
TCC_A3/Chương 1 _ Tích phân bội/ Trang16
Ngược lại, muốn chuyển tọa độ vuông góc sang tọa độ trụ ta sử dụng công thức
, 1 2
32,
3, 3, 7
và tìm tọa độ vuông góc của nó.
. Ví dụ 1: (a) Vẽ điểm có tọa độ trụ là (b) Tìm tọa độ trụ của điểm có tọa độ vuông góc là
x
y
3,
z
1
2 3
2 3
.
2 cos 1, (a) Tọa độ vuông góc là
2sin 1, 3, 1
2
2
r
x
y
3 2 , tan
1
2
k
z ,
Giải:
7
3 3
3 2,
,
7
và
3 2,
, 7
.
7 4
4
(b)
Tọa độ trụ là:
7 4
TÍNH TÍCH PHÂN BA LỚP VỚI TỌA ĐỘ TRỤ (EVALUATING TRIPLE INTEGRALS WITH CYLINDRICAL COORDINATES):
E
x y D u x y , ,
x y z , ,
,
,
/
z u x y 2
1
E có hình chiếu D lên (Oxy) được mô tả trong tọa độ cực:
D
r
/
,
r
,
h 1
h 2
Giả sử f liên tục, khối E là loại I:
,
2
,
,
,
f x y z dV ,
f x y z dz dA
,
E
u x y
D u x y 1
Ta đã biết:
cos , sin
r
u r 2
h 2
,
cos , sin , r
f x y z dV ,
f r
z rdzdrd
E
cos , sin
r
u r 1
h 1
2
2
2
4
x
2
2
x
y dzdydx
Chuyển tích phân kép sang tọa độ cực ta được công thức tích phân ba lớp trong tọa độ trụ:
2
2
2
2
4
x
x
y
Ví dụ 2: Tính .
2
2
2
2
E
x y z , ,
/ 2
x
2,
4
x
y
4
x
,
x
y
z
2
Giải: Đây là tích phân ba lớp trên khối E được xác định như sau:
2
2
x
y
. 4
Hình chiếu của E trên (Oxy) là đĩa
E
r
, ,
z
/ 0
2 , 0
r
2,
r
z
2
Khối E được biểu diễn đơn giản hơn trong tọa độ trụ:
2
4
x
2
2
2
2 2
2
2
3
x
2 y dzdydx
2 r rdzdrd
r
2
r dr
16 5
2
2
2
0 0
r
0
2 d 0
2
4
x
x
y
TCC_A3/Chương 1 _ Tích phân bội/ Trang17
Theo công thức tích phân ba lớp trong tọa độ trụ ta có:
1.9 TÍCH PHÂN BA LỚP TRONG TỌA ĐỘ CẦU (TRIPLE INTEGRALS IN SPHERICAL COORDINATES)
,
OP
TỌA ĐỘ CẦU (SPHERICAL COORDINATES)
P với ,
giống như góc trong tọa độ trụ, và là góc giữa trục dương Oz với đoạn thẳng OP. Lưu ý:
.
0 và 0
Điểm P trong không gian có tọa độ cầu ,
z
cos ,
r
x sin ,
r
cos , y
r
sin
Liên hệ giữa tọa độ vuông góc và tọa độ cầu:
Ta có:
2
2
2
x
sin cos ,
y
2 z
sin sin ,
cos ,
x
y
z
2,
Vậy:
, trong tọa độ cầu. Vẽ điểm đó và tìm tọa 4
3
Ví dụ 1: (a) Cho điểm
0, 2 3,
2
độ vuông góc của nó.
trong tọa độ vuông góc. (b) Cho điểm
Tìm tọa độ cầu của điểm đó.
x
sin cos
2sin
Giải:
c os 4 3
3 2
y
sin sin
2sin
sin 3 4
3 2
z
cos
2 cos
1
3
,
, 1
a. Ta có:
3 2
3 2
2
2
2
x
y
z
. Vậy tọa độ vuông góc là
cos
cos
0
,
x sin
2
z
1 2
4,
b. Ta có:
4 . 2 3 2 , 3 2
Vậy tọa độ cầu là .
E
/
a
b ,
c
,
d
,
TÍNH TÍCH PHÂN BA LỚP VỚI TỌA ĐỘ CẦU (EVALUATING TRIPLE INTEGRALS WITH SPHERICAL COORDINATES)
,
Nếu khối E được biểu diễn trong tọa độ cầu: .
d
b
2
,
f
sin d d d
sin cos ,
sin sin ,
cos
f x y z dV ,
a c a
E
,
/
b
c
,
,
d
E với
,
TCC_A3/Chương 1 _ Tích phân bội/ Trang18
Công thức tích phân ba lớp trong tọa độ cầu:
2
2
2
x
y
z
3/2
dV
e
2
2
2
B
B
x y z , ,
/
x
y
z
Ví dụ 2: Tính , với B là hình cầu đơn vị:
1
.
2
2
,
/ 0
1, 0
2 , 0
y
2 2 z
B ,
3/2
3/2
2
1
Giải: Biểu diễn B trong tọa độ cầu:
x 1
2
2
2
x
y
z
2
2
2
dV
e
e
d d d
sin
sin
d
d
d
e
e
3
1
4 3
B
0 0 0
0
0
0
với 2
ĐỔI BIẾN TỔNG QUÁT TRONG TÍCH PHÂN BA LỚP (CHANGE OF VARIABLES IN TRIPLE INTEGRALS)
ĐỊNH NGHĨA: Định thức Jacobi của phép biến đổi T cho bởi x = g(u,v,w), y = h(u,v,w), z = k(u,v,w) là
J x y z , , u v w , ,
x u y u z u x v y v z v x w y w z w
ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN BA LỚP: Giả sử:
T là phép biến đổi C1 có định thức Jacobi khác 0 biến khối S trong (uvw) thành khối R trong (xyz).
f liên tục trên R và R, S là các khối loại I hoặc loại II hoặc loại III.
,
, ( ,
,
,
,
,
,
,
dudvdw
f x y z dV ,
f x u v w y u v w z u v w )
, x y z , u v w , ,
R
S
2
2
2
1
T là 1-1, có thể trừ trên biên của S thì
, trong đó a, b, c là các số thực dương.
2
2
2
x a
y b
z c
TCC_A3/Chương 1 _ Tích phân bội/ Trang19
Ví dụ 3: Tính thể tích của elipcoid
x
au y ,
bv z ,
cw
2
2
2
u
v
w
1
Giải: Đặt . Phương trình elipcoid trong không gian (uvw) có dạng:
x y z , ,
J
a 0
0 0 b 0
abc
0
,
u v w ,
0 0
c
x u y u z u
x v y v z v
x w y w z w
Tính định thức Jacobi của phép biến đổi:
V
dxdydz
abc dudvdw
2
2
2
2
2
2 v w
u
1
1
2
2
y 2 b
z c
x a
2
2
2
x
sin cos ,
y
2 z
sin sin ,
cos ,
x
y
z
Thể tích cần tìm: .
2
2
/ 0
,
1, 0
2 , 0
Đổi sang tọa độ cầu: .
x
y
2 2 z
với Hình cầu đơn vị trong tọa độ cầu: B ,
2 sin
2
J
2
1
2
2
V abc
d d d
sin
abc
sin
d
d
d
abc
4 3
0 0 0
0
0
0
. Vậy: Jacobi của phép biến đổi: 1
1.10 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BA LỚP (APPLICATIONS OF TRIPLE INTEGRALS)
THỂ TÍCH VẬT THỂ (VOLUME OF SOLID)
(
dxdydz
V E )
E
Từ định nghĩa tích phân ba lớp ta có công thức tính thể tích khối E như sau:
x y z ( , ,
)
KHỐI LƯỢNG CỦA VẬT THỂ (MASS OF OBJECT)
M
x y z ( , ,
) dxdydz
E
Khối lượng của vật thể E có khối lượng riêng được tính bởi công thức:
x y z ( , ,
)
TRỌNG TÂM CỦA VẬT THỂ (CENTERS OF MASS)
thì tọa độ trọng tâm
x
x y z ( , ,
) dxdydz
y
x y z ( , ,
) dxdydz
z
x y z ( , ,
) dxdydz
E
E
E
;
y
;
z
x 0
0
0
x y z ( , ,
) dxdydz
x y z ( , ,
) dxdydz
x y z ( , ,
) dxdydz
E
E
E
TCC_A3/Chương 1 _ Tích phân bội/ Trang20
Nếu E là vật thể trong không gian Oxyz có khối lượng riêng của E được tính bởi công thức:
![Tài liệu tham khảo Tiếng Anh lớp 8 [mới nhất/hay nhất/chuẩn nhất]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250806/anhvan.knndl.htc@gmail.com/135x160/54311754535084.jpg)
![Phiếu bài tập cuối tuần Tiếng Việt 1 tuần 2 đề 2: [Hướng dẫn chi tiết]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250728/thanhha01/135x160/42951755577464.jpg)
