Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 1
Ch
ủ đề:
TÍNH CHAÁT CAÙC ÑÖÔØNG TRUNG TUYEÁN, ÑÖÔØNG PHAÂN GIAÙC,
ÑÖÔØNG TRUNG TRÖÏC, ÑÖÔØNG CAO CUÛA TAM GIAÙC.
1/
Toùm taét lyù thuyeát:
+ Ñöôøng trung tuyeán laø ñöôøng xuaát phaùt töø ñænh vaø ñi qua trung ñieåm caïnh ñoái
dieän cuûa tam giaùc.
G
N
P
A
B
C
M
C
B
A
AM laø trung tuyeán cuûa ABC MB = MC
+ Moät tam giaùc coù 3 ñöôøng trung tuyeán. Ba ñöôøng trung tuyeán cuûa tam giaùc ñoàng
quy taïi moät ñieåm. Ñieåm ñoù caùch ñænh baèng 2/3 ñoä daøi ñöôøng trung tuyeán ñi qua
ñænh ñoù.
GA GB GC 2
AM BN CP 3
= = =
+ Giao ñieåm cuûa ba ñöôøng trung tuyeán goïi laø troïng taâm cuûa tam giaùc.
+ Trong moät tam giaùc vuoâng, ñöôøng trung tuyeán öùng vôùi caïnh huyeàn baèng moät
nöûa caïnh huyeàn.
+ Ñöôøng phaân giaùc cuûa tam giaùc laø ñöôøng thaúng xuaát phaùt töø moät ñænh vaø chia
goùc coù ñænh ñoù ra hai phaàn baèng nhau.
C
B
A
K
J
I
O
F
E
D
C
B
A
D
C
B
A
+ Moät tam giaùc coù ba ñöôøng phaân giaùc. Ba ñöôøng phaân giaùc cuûa tam giaùc cuøng ñi
qua moät ñieåm. Ñieåm ñoù caùch ñeàu ba caïnh cuûa tam giaùc. (giao ñieåm ñoù laø taâm cuûa
ñöôøng troøn tieáp xuùc vôùi ba caïnh cuûa tam giaùc)
+ Trong moät tam giaùc caân, ñöôøng phaân giaùc keû töø ñænh ñoàng thôøi laø ñöôøng trung
tuyeán öùng vôùi caïnh ñaùy.
+ Ñöôøng trung tröïc cuûa ñoaïn thaúng laø ñöôøng vuoâng goùc taïi trung ñieåm cuûa ñoaïn
thaúng ñoù.
Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 2
G
N
P
A
B
C
M
2/
Baøi taäp:
Baøi taäp 1: Cho hình veõ. Haõy ñieàn vaøo choã troáng (…) cho ñöôïc keát quaû ñuùng:
a) GM = …… GA; GN = …… GB; GP = …… GC.
b) AM = …… GM; BN = …… GN; CP = …… GP.
a)
1
2
;
1
2
;
1
2
b) 3 ; 3 ; 3
Baøi taäp 2: Cho ABC coù BM, CN laø hai ñöôøng trung tuyeán caét nhau taïi G. Keùo daøi BM laáy ñoaïn ME =
MG. Keùo daøi CN laáy ñoaïn NF = NG. Chöùng minh:
a) EF = BC.
+ Ñöôøng trung tröïc cuûa tam giaùc laø ñöôøng trung tröïc cuûa caïnh tam giaùc. Moät tam
giaùc coù ba ñöôøng trung tröïc. Ba ñöôøng trung tröïc cuûa tam giaùc cuøng ñi qua moät
ñieåm. Ñieåm ñoù caùch ñeàu ba ñænh cuûa tam giaùc
B
A
m
O
m
A
B
C
B
A
+ Caùc ñieåm naèm treân ñöôøng trung tröïc cuûa ñoaïn thaúng AB caùch ñeàu hai ñaàu ñoaïn
thaúng AB.
+ Taäp hôïp caùc ñieåm caùch ñeàu hai ñaàu ñoaïn thaúng AB laø ñöôøng trung tröïc cuûa
ñoaïn thaúng AB.
+ Ñoïan vuoâng goùc keû töø ñænh ñeán ñöôøng thaúng chöùa caïnh ñoái dieän ñöôïc goïi laø
ñöôøng cao cuûa tam giaùc.
+ Moät tam giaùc coù ba ñöôøng cao. Ba ñöôøng cao cuûa tam giaùc cuøng ñi qua moät
ñieåm. Ñieåm naøy goïi laø tröïc taâm cuûa tam giaùc.
C
B
D
A
H
H
F
E
D
C
B
A
H
E
D
F
C
B
A
Vuihoc24h – Kênh học tập Online Page 3
b) Ñöôøng thaúng AG ñi qua trung ñieåm cuûa BC.
Baøi taäp 3: Keùo daøi trung tuyeán AM cuûa ABC moät ñoaïn MD coù ñoä daøi baèng 1/3 ñoä daøi AM. Goïi G laø
troïng taâm cuûa ABC. So saùnh caùc caïnh cuûa BGD vôùi caùc trung tuyeán cuûa ABC.
Baøi taäp 4: Cho ABC vuoâng taïi A. Goïi M laø trung ñieåm cuûa BC vaø G laø troïng taâm cuûa ABC. Bieát
GM = 1,5cm. AB = 5cm. Tính AC vaø chu vi cuûa tam giaùc ABC.
Baøi taäp 5: Cho ABC caân taïi A. Caùc ñöôøng cao BH vaø CK caét nhau taïi I. Chöùng minh AI laø phaân giaùc
cuûa goùc BAC.
Baøi taäp 6: Cho
0
xOy 90=
vaø tam giaùc ABC vuoâng caân taïi A, coù B thuoäc Ox, C thuoäc Oy, A vaø O
thuoäc hai nöûa maët phaúng ñoái nhau coù bôø laø BC. Chöùng minh raèng OA laø tia phaân giaùc cuûa goùc xOy.
Baøi taäp 7: Caùc phaân giaùc ngoaøi cuûa tam giaùc ABC caét nhau vaø taïo thaønh EFG.
a) Tính caùc goùc cuûa EFG theo caùc goùc cuûa ABC.
b) Chöùng minh raèng caùc phaân giaùc trong cuûa ABC ñi qua caùc ñieûnh E, F, G.
Baøi taäp 8: Hai ñöôøng phaân giaùc cuûa goùc B vaø C trong tam giaùc ABC caét nhau ôû I. Chöùng minh raèng
0A
BIC 90 2
=+
Baøi taäp 9: Cho ABC. Goïi I laø giao ñieåm cuûa hai tia phaân giaùc hai goùc A vaø B. Qua I veõ ñöôøng thaúng
song song vôùi BC, caét AB taïi M, caét AC taïi N. Chöùng minh raèng MN = BM + CN.
Baøi taäp 10: Cho goùc nhoïn xOy. Treân tia Ox laáy hai ñieåm A vaø B. Tìm treân tia Oy ñieåm C sao cho CA =
CB.
Baøi taäp 11; Cho tam giaùc ABC coù AC > AB, phaân giaùc trong cuûa goùc A caét BC taïi D. treân AC laáy ñieåm
E sao cho AB = AE. Chöùng minh raèng AD vuoâng goùc vôùi BE.
Baøi taäp 12: Cho ABC caân ôû A. Qua A keû ñöôøng thaúng d song song vôùi ñaùy BC. Caùc ñöôøng phaân giaùc
cuûa goùc B vaø C laàn löôït caét d taïi E vaø F. Chöùng minh raèng:
a) d laø phaân giaùc ngoaøi cuûa goùc A.
b) AE = AF.